Đề thi học sinh giỏi lớp 10 THPT tỉnh Thái Nguyên năm 2013 môn Toán pptx

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
TỈNH THÁI NGUYÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2012 - 2013

MÔN THI: TOÁN (Chuyên Tin học)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức:
2 9 3 2 1
.
5 6 2 3
x x x
P
x x x x
  
  
   

a. Rút gọn P.
b. Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức P là số nguyên.
Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình:

   
2
2 1 3 0. 1x m x m    

a. Chứng minh rằng với
m

phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
.
b. Tìm các giá trị của
m
để
22
12
xx
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3 (3,0 điểm)
a. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

2
3x 2x 5x 2 0yy    
.
b. Trong một hộp có 2012 viên sỏi. Hai người A và B tham gia trò chơi bốc sỏi như
sau: Mỗi người lần lượt phải bốc ít nhất 1 viên và nhiều nhất 30 viên sỏi. Người nào
bốc được viên sỏi cuối cùng sẽ thắng cuộc. Hỏi ai luôn thắng cuộc và chỉ ra thuật chơi.
Câu 4 (1 điểm) Từ 1 đến 2013 có bao nhiêu số tự nhiên biểu diễn được dưới dạng hiệu
bình phương của hai số nguyên (dạng
22
ab
).
Câu 5 (2 điểm) Cho tam giác
ABC
, lấy điểm
M
nằm trong tam giác

ABC
, các đường
thẳng
,,AM BM CM
cắt các cạnh
,,BC CA AB
tương ứng tại
', ', '.A B C

a. Chứng minh rằng:
' ' '
1.
AA' ' '
MA MB MC
BB CC
  

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
MA' ' '
MA MB MC
f
MB MC
  


Hết
Họ và tên thí sinh:
SBD:

ĐÁP ÁN MÔN TOÁN CHUYÊN TIN.

Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1

a
(1 điểm)
Điều kiện:
 
0
4*
9
x
x
x










0,25
  
2 9 3 2 1

23
23
x x x
P
xx
xx
  
  




0,25
     
     
2 9 3 3 2 1 2
2
2 3 2 3
x x x x x
xx
x x x x
      


   

  
  
 
 

1 2 1
.
2 3 3
x x x
x x x
  

  






0,5
b
(1 điểm)
Với điều kiện (*)
4
1
3
P
x




0,25
Với
x

, để
P
thì
 
3 1; 2; 4x     

0,25
 
4; 2; 5;1; 7x

0,25
 
1;4;16; 25;49x

0,25
Câu 2
a
(1 điểm)
Ta có
   
2
2
' 1 3 3 4m m m m       

0,5
=
2
37
0, .
24

mm

    




0,5



b
(1 điểm)
Ta có
 
12
12
21
3
x x m
x x m
  







0,25
     
22
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2x 4 1 2 3 4 10 10x x x x x m m m m          

0,25
=
2
5 15 15
2.
2 4 4
m

  




0,25
Vậy
22
12
xx
đạt giá trị nhỏ nhất là
15
4
khi
5

.
4
m 


0,25
Câu 3
a
(1,5 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với
 
2
2x 1 3x 5x 2y   


0,25
Vì
x
nên
2x 1 0
do đó
22
3x 5x 2 12x 20x 8 1
4 4 6x 7
2x 1 2x 1 2x 1
y y y
   
      
  

0,25
Do
,xy
nên
1
2x 1
là số nguyên, do đó
2x 1 1
hoặc

0,5
A
B
C
M
A'
B'
C'
2x 1 1  

Từ đó tìm được 2 nghiệm
   
1;0 , 0; 2 .

0,5
b
(1,5 điểm)
Ta thấy
 

2012 1 30 .64 28  

0,5
Người A đi trước sẽ thắng cuộc bằng cách
0,5
Lần đầu bốc 28 viên sỏi. Những lần sau bốc số viên sỏi cộng với số
viên sỏi người B vừa bốc bằng 31 viên.
0,5
Câu 4
(1 điểm)
+ Ta có
  
22
x y x y x y   
. Đây là tích của hai số nguyên có
cùng tính chẵn, lẻ. Suy ra
22
xy
hoặc là số lẻ hoặc khi là số chẵn
thì sẽ chia hết cho 4.

0,5
+ Ngược lại
- Nếu
n
lẻ thì
 
2
2
2 1 1n k k k    

.
- Nếu
n
chia hết cho 4 thì
   
22
4 1 1n k k k    
.
Vậy điều kiện cần và đủ để một số biểu diễn dưới dạng hiệu bình
phương của hai số nguyên là: Số đó là số lẻ hoặc chia hết cho 4.



0,5
+ Trong các số tự nhiên từ 1 đến 2013 có 1007 số lẻ và 503 số chia
hết cho 4. Vậy tổng số có 1510 số
0,5
Câu 5
a
(1 điểm)

Gọi




1 2 3
; ; ;
ABC MBC MCA MAB
S S S S S S S S   

0,25
1 2 3 1 2 3
' ' '
1
AA' ' '
MA MB MC S S S S S S
BB CC S S S S

      


0,75
b
(1 điểm)
Ta có
1 2 3
1 1 1
AA' ' AA'
11
' ' '
MA MA S S S S S
MA MA MA S S S
  
      

Tương tự ta có

3 1 1 2
23
;
''
MB S S MC S S
MB S MC S





0,5

Do đó
2 3 3 1 1 2 2 1 3 2 1 3
1 2 3 1 2 2 3 3 1
6
S S S S S S S S S S S S
f
S S S S S S S S S
   

  
         
   


   

0,25

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
1 2 3
S S S M  
là trọng tâm của
tam giác
ABC
.
0,25

Chú ý: Nếu thí sinh làm theo cách khác so với đáp án mà vẫn đúng thì vẫn cho điểm
tối đa.