bài giảng không gian euclide

KHÔNG GIAN EUCLIDE
Bài giảng điện tử
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:
TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 1 / 56
Công của lực
−→
F
A =
−→
F .
−→
s = F .s. cos α
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 2 / 56
−→
a = (a
1
, a
2
),
−→
b = (b
1
, b
2
).
<
−→

a ,
−→
b >= a
1
.b
1
+ a
2
.b
2
; ||
−→
a || =

a
2
1
+ a
2
2
cos α =
<
−→
a ,
−→
b >
||
−→
a ||.||
−→

b ||
; d(
−→
a ,
−→
b ) = ||
−→
a −
−→
b ||
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 3 / 56
Nội dung
1
Định nghĩa không gian Euclide, độ dài của
véc-tơ, khoảng cách giữa 2 véc-tơ, góc giữa 2
véc-tơ
2
Sự trực giao, hệ trực giao, hệ trực chuẩn, cơ sở
trực giao, quá trình trực giao hóa
Gram-Schmidt, bù trực giao, hình chiếu vuông
góc, khoảng cách từ 1 véc-tơ đến 1 không gian
con
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 4 / 56
Không gian Euclide Định nghĩa
Cho R−kgv E . Khi đó E được gọi là không gian
Euclide (thực) nếu
< ·, · >: E × E → R
(x, y ) −→< x, y > − gọi là tích vô
hướng của 2 véctơ.
Tích vô hướng < x, y > thỏa mãn 4 tiên đề

1
< x, y >=< y, x >, ∀x, y ∈ E
2
< x + y, z >=< x, z > + < y, z >,
∀x, y , z ∈ E
3
< αx, y >= α < x, y >, ∀x, y ∈ E , ∀α ∈ R.
4
< x, x >> 0, x = 0 và < x, x >= 0 ⇔ x = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 5 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
Ví dụ
R−kgv R
3
là không gian Euclide với tích vô hướng
(x, y ) −→< x, y >= x
1
.y
1
+ x
2
.y
2
+ x
3
.y
3
= x.y
T
với x = (x

1
, x
2
, x
3
), y = (y
1
, y
2
, y
3
).
Ví dụ
R−kgv R
n
là không gian Euclide với tích vô hướng
< ·, · >: R
n
× R
n
→ R
(x, y ) −→< x, y >=
n

i=1
x
i
y
i
= x.y

T
với x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
), y = (y
1
, y
2
, . . . , y
n
).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 6 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
Ví dụ
Trong R−kgv R
2
có thể xác định tích vô hướng
khác (x, y ) −→< x, y >= x
1
.y
1
+ 2x
2
.y
2
với x = (x
1

, x
2
), y = (y
1
, y
2
).
< x, y >= x
1
.y
1
+ 2x
2
.y
2
= y
1
.x
1
+ 2y
2
.x
2
=< y, x >
< x + y, z >= (x
1
+ y
1
)z
1

+ 2(x
2
+ y
2
)z
2
=
(x
1
z
1
+ 2x
2
z
2
) + (y
1
z
1
+ 2y
2
z
2
) =< x, z > + < y, z >
< αx, y >= α.x
1
.y
1
+ 2α.x
2

.y
2
= α(x
1
y
1
+ 2x
2
y
2
) =
α. < x, y >
< x, x >= x
1
.x
1
+ 2x
2
.x
2
= x
2
1
+ 2x
2
2
 0. Dấu "="
⇔ x
1
= x

2
= 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 7 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
Ví dụ
Trong R−kgv R
2
hàm số sau không là một tích
vô hướng (x, y ) −→< x, y >= x
1
.y
1
− 3x
2
.y
2
với x = (x
1
, x
2
), y = (y
1
, y
2
).
Cho x = (1, 2). Khi đó
< x, x >= 1.1 − 3.2.2 = −11 < 0.
Không thỏa mãn tiên đề 4.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 8 / 56
Không gian Euclide Ví dụ

Ví dụ
Không gian véctơ C
[a,b]
các hàm số liên tục trên
đoạn [a, b] là không gian Euclide với tích vô hướng
< ·, · >: C
[a,b]
× C
[a,b]
→ R
(f , g) −→< f , g >=
b

a
f (x)g(x)dx
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 9 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
Chứng minh.
< f , g >=
b

a
f (x)g(x)dx =
b

a
g(x)f (x)dx =
< g, f >, ∀f , g ∈ C
[a,b]
< f + g , h >=

b

a
(f (x) + g(x))h(x)dx =
b

a
f (x)h(x)dx +
b

a
g(x)h(x)dx =
< f , h > + < g , h >, ∀f , g, h ∈ C
[a,b]
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 10 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
< αf , g >=
b

a
(αf (x))g(x)dx =
α
b

a
f (x)g(x)dx = α < f , g >,
∀f , g ∈ C
[a,b]
, ∀α ∈ R.
< f , f >=

b

a
(f (x))
2
dx > 0, f (x) = 0 và
< f , f >=
b

a
(f (x))
2
dx = 0 ⇔ f (x) ≡ 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 11 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
Ví dụ
Trong không gian P
2
(x) cho tích vô hướng
< p, q >=

1
0
p(x)q(x)dx,
∀p(x) = a
1
x
2
+ b
1

x + c
1
, q(x) = a
2
x
2
+ b
2
x + c
2
.
Tính tích vô hướng của
p(x) = x
2
− 4x + 5, q(x) = x + 1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 12 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
Tích vô hướng của p(x) và q(x) là
< p, q >=

1
0
p(x)q(x)dx =
=

1
0
(x
2
− 4x + 5)(x + 1)dx =

19
4
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 13 / 56
Không gian Euclide Độ dài véctơ (chuẩn của véctơ)
Định nghĩa
Cho x ∈ E , trong đó E là không gian Euclide, ta
gọi độ dài hay chuẩn của véctơ x là
||x|| =
√
< x, x >
Ví dụ
Trong R
2
cho tích vô hướng
< x, y >= 3x
1
y
1
+ x
1
y
2
+ x
2
y
1
+ x
2
y
2

với x = (x
1
, x
2
), y = (y
1
, y
2
), và u = (1, 2). Tìm
độ dài của véctơ u.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 14 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
Độ dài của véctơ u là ||u|| =
√
< u, u >.
< u, u >= 3.1.1 + 1.2 + 2.1 + 2.2 = 11
⇒ ||u|| =
√
11
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 15 / 56
Không gian Euclide Khoảng cách giữa hai véctơ
Định nghĩa
Trong không gian Euclide E , khoảng cách giữa 2
véctơ u, v là độ dài của véctơ u − v. Kí hiệu
d(u, v). Vậy d (u, v) = ||u − v||.
Ví dụ
Trong R
2
cho tích vô hướng
< x, y >= x

1
y
1
− 2x
1
y
2
− 2x
2
y
1
+ 5x
2
y
2
với x = (x
1
, x
2
), y = (y
1
, y
2
), và u = (1, −1),
v = (0, 2). Tìm khoảng cách giữa 2 véctơ u, v.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 16 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
Khoảng cách giữa 2 véctơ u, v là
d(u, v) = ||u − v|| =
√

< u − v , u −v >. Ta có
u − v = (1, −3) ⇒< u − v , u −v >=
= 1.1 − 2.1.(−3) − 2.(−3).1 + 5(−3)(−3) = 58.
Vậy d(u, v) =
√
< u − v , u −v > =
√
58
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 17 / 56
Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ
Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski
Định lý
Trong không gian Euclide E , ta có
| < x, y > |  ||x||.||y||, ∀x, y ∈ E .
Dấu ” = ” xảy ra ⇔ x và y là phụ thuộc tuyến
tính.
Chứng minh. ∀x, y ∈ E, ∀λ ∈ R ta có
< x − λy, x − λy > 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 18 / 56
Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ
⇔< x, x > −2λ < x, y > +λ
2
< y, y > 0.
⇔ ||x||
2
− 2λ < x, y > +λ
2
||y||
2
 0.

Bất đẳng thức đúng với mọi λ ∈ R nên
∆

= (< x, y >)
2
− ||x||
2
.||y||
2
 0
⇔ (< x, y >)
2
 ||x||
2
.||y||
2
⇔ | < x, y > |  ||x||.||y||
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 19 / 56
Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ
Nếu | < x, y > | = ||x||.||y|| thì ∆

= 0 khi đó
||x||
2
− 2λ < x, y > +λ
2
||y||
2
= (λ − λ
0

)
2
.
Do đó nếu λ = λ
0
thì < x − λ
0
y, x − λ
0
y >= 0
hay x − λ
0
y = 0 ⇔ x = λ
0
y ⇒ x, y phụ thuộc
tuyến tính.
Bất đẳng thức BCS trong R
2
|x
1
.y
1
+ x
2
.y
2
| 

x
2

1
+ x
2
2
.

y
2
1
+ y
2
2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 20 / 56
Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ
Định nghĩa
Ta gọi góc giữa 2 véctơ x, y ∈ E là góc α sao cho
cos α =
< x, y >
||x||.||y ||
, (0  α  π)
< x, y >= ||x||.||y||. cos α.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 21 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
Ví dụ
Trong R
2
cho tích vô hướng
< x, y >= x
1
y

1
+ 2x
1
y
2
+ 2x
2
y
1
+ 5x
2
y
2
với x = (x
1
, x
2
), y = (y
1
, y
2
), và u = (1, 1),
v = (1, 0). Tìm góc α giữa 2 véctơ u, v .
Ta có
cos α =
< u, v >
||u||.||v||
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 22 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
< u, v >= 1.1 + 2.1.0 + 2.1.1 + 5.1.0 = 3

||u|| =
√
< u, u > =
√
1.1 + 2.1.1 + 2.1.1 + 5.1.1
=
√
10
||v|| =
√
< v, v > =
√
1.1 + 2.1.0 + 2.0.1 + 5.0.0
= 1
Vậy cos α =
3
√
10
⇒ α = arccos
3
√
10
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 23 / 56
Sự trực giao Định nghĩa
Sự trực giao
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 24 / 56
Sự trực giao Định nghĩa
Sự trực giao
Định nghĩa
Trong không gian Euclide E với tích vô hướng

< ·, · >
1
Hai véctơ x, y ∈ E được gọi là trực giao
⇔< x, y >= 0. Kí hiệu x ⊥ y
2
Véctơ x được gọi là trực giao với tập hợp
M ⊂ E nếu nó trực giao với mọi véctơ của M.
Kí hiệu x ⊥ M.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 25 / 56