Bài giảng số phức

SỐ PHỨC
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:
TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 1 / 33
Dạng đại số của số phức Những khái niệm cơ bản
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 2 / 33
Dạng đại số của số phức Những khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Số i, được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho
i
2
= −1.
Định nghĩa
Dạng đại số của số phức là
z = a + bi; (a, b) ∈ R
2
. a gọi là phần thực của số
phức z, ký hiệu là Re (z), b gọi là phần ảo của số
phức z, ký hiệu là Im (z).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 3 / 33
Dạng đại số của số phức Những khái niệm cơ bản
Tập hợp số phức ta ký hiệu là C. Tập số thực là
tập con của tập số phức vì với mọi a ∈ R ta luôn
có a = a + 0i. Vậy R ⊂ C.
Ví dụ
Số phức −1 + i, 2 + 3i,
Định nghĩa
Tất cả các số phức có dạng 0 + bi, b = 0 được gọi

là số thuần ảo. Số phức i, 3i, −i, là những số
thuần ảo.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 4 / 33
Dạng đại số của số phức Những khái niệm cơ bản
Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm trên
mặt phẳng xOy.
Định nghĩa
Khoảng cách từ z đến O gọi là môđun của số
phức z và ký hiệu là |z| hoặc mod(z).
|z| =
√
a
2
+ b
2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 5 / 33
Dạng đại số của số phức Những khái niệm cơ bản
Ví dụ
Môđun của số phức 1 + i
√
3 là
|z| =

1
2
+
√
3
2
= 2.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 6 / 33
Dạng đại số của số phức Các phép toán
Định nghĩa số phức bằng nhau
Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng có
phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau.
z
1
= a
1
+ b
1
i = z
2
= a
2
+ b
2
i
⇐⇒ a
1
= a
2
và b
1
= b
2
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 7 / 33
Dạng đại số của số phức Các phép toán
Ví dụ

Tìm các số thực x, y thỏa
(1 + 2i)x + (3 − 5i)y = 5 − i
Giải.
(1 + 2i)x + (3 − 5i)y = 1 − 3i
⇔ (x + 3y) + (2x − 5y)i = 5 − i
⇔

x + 3y = 5
2x − 5y = −1
⇔

x = 2
y = 1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 8 / 33
Dạng đại số của số phức Các phép toán
Định nghĩa phép cộng và phép trừ của 2 số phức
Cho z
1
= a
1
+ b
1
i, z
2
= a
2
+ b
2
i là 2 số phức. Khi
đó

z
1
+ z
2
= (a
1
+ a
2
) + (b
1
+ b
2
)i,
z
1
− z
2
= (a
1
− a
2
) + (b
1
− b
2
)i.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 9 / 33
Dạng đại số của số phức Các phép toán
Ví dụ
Tìm phần thực và phần ảo của số phức

z = (2 + 3i) + (−3 + 4i) − (6 − 5i)
Giải.
z = (2 − 3 − 6) + (3 + 4 − 5)i = −7 + 2i
⇒ Re (z) = −7, Im (z) = 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 10 / 33
Dạng đại số của số phức Các phép toán
Định nghĩa phép nhân của 2 số phức
Cho z
1
= a
1
+ b
1
i, z
2
= a
2
+ b
2
i là 2 số phức. Khi
đó
z
1
.z
2
= (a
1
.a
2
− b

1
.b
2
) + (a
1
.b
2
+ a
2
.b
1
)i.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 11 / 33
Dạng đại số của số phức Các phép toán
Ví dụ
Cho z
1
= 1 + 2i, z
2
= 2 + bi. Tìm tất cả b sao
cho z
1
.z
2
là số thực.
Giải.
z
1
.z
2

= (1.2−2.b)+(1.b+2.2)i = (2−2b)+(b+4)i.
Để z
1
.z
2
là số thực thì b + 4 = 0 ⇒ b = −4.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 12 / 33
Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp
Định nghĩa
Số phức z = a − bi được gọi là số phức liên hợp
của số phức z = a + bi.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 13 / 33
Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp
Tính chất của số phức liên hợp
1
z + z = 2.Re (z), z − z = 2i.Im (z).
2
z.z = |z|
2
.
3
z = z khi và chỉ khi z là một số thực.
4
z
1
± z
2
= z
1
± z

2
.
5
z
1
.z
2
= z
1
.z
2
.
6
z
1
z
2
=
z
1
z
2
.
7
z = z.
8
z
n
= (z)
n

, ∀n ∈ N
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 14 / 33
Dạng đại số của số phức Phép chia 2 số phức
Định nghĩa phép chia 2 số phức
z
1
z
2
=
a
1
+ b
1
i
a
2
+ b
2
i
=
(a
1
+ b
1
i)(a
2
− b
2
i)
(a

2
+ b
2
i)(a
2
− b
2
i)
z
1
z
2
=
a
1
a
2
+ b
1
b
2
a
2
2
+ b
2
2
+
a
2

b
1
− a
1
b
2
a
2
2
+ b
2
2
i.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 15 / 33
Dạng đại số của số phức Phép chia 2 số phức
Ví dụ
Tính z =
2 + 3i
1 + 2i
Giải.
z =
2 + 3i
1 + 2i
=
2.1 + 3.2
1
2
+ 2
2
+

1.3 − 2.2
1
2
+ 2
2
i =
8
5
−
1
5
i.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 16 / 33
Dạng lượng giác của số phức Những khái niệm cơ bản
Cho số phức z = a + bi, z = 0. Gọi r là khoảng
cách từ z tới gốc O và ϕ là góc giữa hướng dương
của trục thực và bán kính véctơ của điểm z.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 17 / 33
Dạng lượng giác của số phức Những khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Biểu thức z = r(r cos ϕ + i sin ϕ) gọi là dạng
lượng giác của số phức z. Ở đây r = |z| chính là
môđun của số phức z, ϕ gọi là acgumen của số
phức z và ký hiệu là Arg z
Chú ý. Góc ϕ được giới hạn trong khoảng
0  ϕ < 2π hoặc −π < ϕ  π.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 18 / 33
Dạng lượng giác của số phức Các phép toán
Cho
z

1
= r
1
(cos ϕ
1
+ i sin ϕ
1
), z
2
= r
2
(cos ϕ
2
+ i sin ϕ
2
)
Sự bằng nhau.
z
1
= z
2
⇔

r
1
= r
2
ϕ
1
= ϕ

2
+ k2π, k ∈ Z
Phép nhân hai số phức.
z
1
.z
2
= r
1
.r
2
(cos(ϕ
1
+ ϕ
2
) + i sin(ϕ
1
+ ϕ
2
)).
Phép chia hai số phức.
z
1
z
2
=
r
1
r
2

(cos(ϕ
1
−ϕ
2
) + i sin(ϕ
1
−ϕ
2
)), z
2
= 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 19 / 33
Dạng lượng giác của số phức Các phép toán
Ví dụ
Tìm mod(z) = r và argument Arg(z) = ϕ của số
phức z = (1 + i
√
3)(2 − 2i).
Giải.
z = 2(cos
π
3
+i sin
π
3
).2
√
2(cos(−
π
4

)+i sin(−
π
4
)) =
= 4
√
2(cos(
π
3
−
π
4
) + i sin(
π
3
−
π
4
)) =
= 4
√
2(cos
π
12
+ i sin
π
12
).
Vậy mod(z) = r = 4
√

2 và ϕ =
π
12
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 20 / 33
Dạng lượng giác của số phức Các phép toán
Ví dụ
Tìm argument ϕ của số phức z =
1 + i
√
3
1 + i
.
Giải.
z =
2(cos
π
3
+ i sin
π
3
)
√
2(cos
π
4
+ i sin
π
4
)

=
=
√
2(cos(
π
3
−
π
4
) + i sin(
π
3
−
π
4
)) =
=
√
2(cos
π
12
+ i sin
π
12
).
Vậy ϕ =
π
12
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 21 / 33

Dạng mũ của số phức Công thức Euler
Định lý
e
iϕ
= cos ϕ + i sin ϕ
Nếu z = e
iϕ
= cos ϕ + i sin ϕ thì |z| = 1 và
z
−1
=
1
cos ϕ + i sin ϕ
=
cos ϕ − i sin ϕ
(cos ϕ + i sin ϕ)(cos ϕ − i sin ϕ)
= cos ϕ −i sin ϕ.
Vậy z
−1
= z.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 22 / 33
Dạng mũ của số phức Dạng mũ của số phức
Dạng mũ của số phức là z = re
iϕ
Ví dụ
Tìm dạng mũ của số phức z =
−1 + i
√
3
1 − i

.
Giải.
z =
−1 + i
√
3
1 − i
=
2e
i
2π
3
√
2e
i
−π
4
=
√
2e
i
2π
3
−i
−π
4
=
=
√
2e

i
11π
12
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 23 / 33
Dạng mũ của số phức Dạng mũ của số phức
Ví dụ
Biểu diễn các số phức có dạng z = e
2+iy
, y ∈ R
lên mặt phẳng phức.
Giải.
z = e
2+iy
= e
2
.e
iy
= e
2
(cos y + i sin y).
Vì y là 1 số thực bất kỳ nên tập hợp tất cả những
số phức có dạng z = e
2+iy
, y ∈ R là đường tròn
tâm O bán kính r = e
2
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 24 / 33
Nâng số phức lên lũy thừa Lũy thừa của số phức i
Lũy thừa của số phức i

i
1
= i, i
2
= −1, i
3
= i
2
.i = −i, i
4
= (i
2
)
2
= 1,
i
5
= i
4
.i = i, i
6
= i
4
.i
2
= −1,
i
7
= i
4

.i
3
= −i, i
8
= (i
4
)
2
= 1
Định lý
Giả sử n là 1 số tự nhiên, khi đó i
n
= i
r
, với r là
số dư khi chia n cho 4.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 25 / 33