Bài tập số phức

Chuyªn ®Ò : sè phøc
Bài 1: Thực hiện các phép toán
sau:
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
i
ii
ii
ii
ii
i
i
+
−−
+−+
−−+
−+
+
−
1
123
)4
223
121
)3
321
1
)2
2

21
)1
2
23
32
Bài 2: Tìm phần thực,phần ảo, số
phức đối và số phức liên hợp của
các số phức sau :
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )( )
( ) ( )
( )
100
2
10
33
9
9
33
2
1
...111)6
1
5252
1
1
1

)5
1
2
1
)4
2123)3
23)2
2142)1
i
iiz
i
ii
i
i
i
z
i
i
i
z
iiz
iz
iiiz
++
+++++=
+−++
+−+







+
−
=






−=
−−+=
−=
+−+−=
( ) ( )
( )( )
( )
2
3
2
20092
45
1
1
)10
21
1
)9

2009...32
...1
)8
44
2
11
)7
zz
z
iz
z
zz
iiii
iii
z
ii
i
ii
z
+−
+
−=
++
++++
++++
=
+−−
−
+−
=

Bài 3: Chứng minh các đẳng thức
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
nn
mm
mm
m
mm
mm
mm
m
mm
zzzzz
ii
ii
ii
i
−=++++−
−−=+
−=+
+−=+
−=+
−
++

++
+
+
+
1...11)5
2211)4
211)3
2211)2
211)1
12
1212
134
12
24
22
14
2
4
với m,n là các số tự nhiên khác 0 .
Bài 4: Tìm tập hợp các điểm trong
mặt phẳng phức biểu diễn các số
phức z thoả mãn :
( )
( )
( )
izziz
aziz
iz
iz
zz

izz
zz
33)6
23)5
4
2
2
)4
9)3
425)2
65)1
2
2
−+=+
=+−
=
+
−
=−
=−+−
=++
Bài 5 : Giải các phương
trình sau trên C :
( ) ( )
( )
( )
[ ]
( )
( )
( )

( ) ( )
( )
( )( )
( ) ( )
0562)22
073)21
01)20
011)19
0121)18
0125)17
012)16
075)15
032)14
0341)13
1
1
)12
021)11
16)10
0125)9
09)8
0)7
054)6
02)5
0
2
1
33)4
512)3
21

41
2
21
)2
02759)1
23
2
2
2
32
2
2
2
2
2
2
2
3
2
8
4
2
2
2
2
2
=−+−
=−−+−
=+−+
=−−++

=−+++
=−+
=−++
=+−
=+−
=+−
=
−
++
=+−+
=






+
−
=−+
=+
=+
=+−
=+−
=







+++−
+=+
+
+−
=
+
−
=−++
zzz
zzzz
izziz
iziz
iziz
izz
izz
zz
zz
iz
i
z
zz
zzi
iz
iz
iz
z
zz
zz
zzi

i
izizi
izz
i
i
i
i
izi
09189)23
24
=−+−
zzz
( )( )( )( )
( ) ( )
( ) ( )
05
949)28
1653)27
2977351)26
02222)25
0122)24
2
2
2
2
44
234
234
=−
+++++

=+++
=+−+−
=+++−
=++−+
z
zzzzz
zz
zzzz
zzzz
zzzz
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
011)42
01323)41
01121)40
0122)39
033)38
063)37
0121)36
01121)35
0212)34
02
2
1

21)33
021232)32
0313)31
0253)30
063)29
234
234
234
234
24
24
23
23
2
2
2
2
2
2
=++−++−+
=+++−
=+−−+−−
=+−+−
=+−
=+−
=−++−
=+++−++−
=−+−
=−++−
=+−+−

=++−
=+−
=+−
izizziiz
zzzz
zizziz
zzzz
iizz
zz
izziiz
iziziz
iziiz
iziz
iziiz
iziz
zz
zz
Bài 6 : Giải các hệ phương
trình sau :
Trêng thpt ng« gia tù
Chuyªn ®Ò : sè phøc





++=
=+=






−=+
−=+



=+
=



−−=+
+=



−=+
+=+



+−=+
−−=



−=+
+=+

izz
izz
zzz
zzz
zz
zz
izz
izz
izz
izz
izz
izz
izz
izz
232
232
)7
310
310
)6
2
1
)5
105
71
)4
45
32
)3
25

55
)2
25
4
)1
1
2
2
2
2
1
12
2
2
21
2
1
3
2
3
1
21
2
2
2
1
21
2
2
2

1
21
2
2
2
1
21
2
2
2
1
21
Trêng thpt ng« gia tù
Chuyªn ®Ò : sè phøc





=
=++
===





=
=++
=++




=−−+
=−−





+=
−=−
1
1
1
)11
1
1
1
)10
3342
1623
)9
12
11
)8
321
321
321
22

2
zzz
zzz
zzz
xyz
zxyzxy
zyx
yxyx
yxxy
xy
y
y
x
x
Bài 7: Xác định modun và acgumen của mỗi
số phức sau :






−






+−=







+






+=
−
+
=
−
+
=
4
sin
4
cos
7
sin
7
cos2)4
4
sin

4
cos
7
sin
7
cos)3
15
64
)2
347
3115
)1
ππππ
ππππ
iiz
iiz
i
i
z
i
i
z
( )
( )
16
45
1
62
)5
i

i
z
+
+
=
Bài 8: Viết các số phức sau dưới dạng đại số :
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
iiz
iz
i
i
z
iziz
+−=








+−=
+
−
=

−=+=
−
15)5
2
3
2
1
)4
1
3
)3
1)231)1
4
2009
5
9
7
2009
Bài 9: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số
phức sau :
( )
( )
2009
2008
5
9
6
5
sin
3

sin
62
)2
3
6
sin
6
cos)1






−
−
=
+






−=
ππ
ππ
i
i
z

iiiz
2008
2008
1
)3
w
wz
+=
biết
1
1
=+
w
w
Bài 10: Tìm số nguyên dương n để các số phức
sau là số thực , số ảo :
n
n
i
i
z
i
i
z







+−
+
=








+
+−
=
51
64
)2
33
62
)1
Bài 11 : Cho
ϕϕ
sincos iz
+=
, kí hiệu
ϕ
i
ez
=

được gọi là dạng mũ của số phức z. a)CMR:
ϕϕ
ϕϕϕϕ
sin
2
;cos
2
=
−
=
+
−− iiii
eeee

b)Hạ bậc các biểu thức :sin
4
x ; cos
6
x .
c)Biến đổi thành tổng P = cos
3
x.sin4x .
Bài 12: a)Phân tích thành nhân tử :
ϕ
i
e
−
1
theo
2

ϕ
i
e
b)
ZnnRxkx
∈≥∈≠∀
,1;,2
π
.Tính :

nxxxS
nxxxS
sin...2sinsin'
cos...2coscos1
+++=
++++=
Bài 13 :Giải phương trình,hệ phương trình trênC:





=++
=+++
==−−
01
0122
)3
)2031)1
20092008

23
3
25
zz
zzz
zziz
Bài 14: Tính các tổngsau khi n = 4k + 1 :

12
12
12
12
5
12
3
12
1
12
2
12
22
12
4
12
2
12
0
12
...'
...

+
+
−
++++
+
−
++++
−+−+−=
−+−+−=
n
n
n
nnnn
n
n
n
nnnn
CCCCCS
CCCCCS
Bài 15 :Chứng minh khi n chẵn :
( )
( )
xCxCxC
x
nx
xCxCxC
x
nx
nn
n

n
nn
n
nn
n
n
nn
n
11
2
2
331
2
4422
tan1...tantan
sin
sin
tan1...tantan1
cos
cos
−−
−
−++−=
−+++−=
Bài 15 : Rút gọn các tổng sau :
( )
( )
nxrxrxrxrS
nxrxrxrS
xnxxxS

xnxxxS
n
n
sin...3sin2sinsin)4
cos...2coscos1)3
12sin...5sin3sinsin)2
12cos...5cos3coscos)1
32
2
++++=
++++=
−++++=
−++++=
Trêng thpt ng« gia tù