Luận văn thạc sĩ mô hình quản lý rủi ro tín dụng ngân hàng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

--------

LÊ TRUNG THỰC

MƠ HÌNH QUẢN LÝ RỦI RO
TÍN DỤNG NGÂN HÀNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ NGÀNH CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

Hà Nội, 2012

z


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

--------

LÊ TRUNG THỰC

MƠ HÌNH QUẢN LÝ RỦI RO
TÍN DỤNG NGÂN HÀNG
Ngành: Công nghệ Thông tin
Chuyên ngành: Công nghệ phần mềm
Mã số: 60 48 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ NGÀNH CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. ĐỖ ĐỨC GIÁO

Hà Nội, 2012

z


Mơ hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là quá trình nghiên cứu thật sự nghiêm túc
của tơi trong thời gian qua. Trong luận văn tôi đã áp dụng các kiến thức cổ điển,
xác suất thống kê để từ đó đƣa ra đƣợc mơ hình phù hợp với bài tốn thực tế,
xây dựng thuật tốn và một phần mềm mơ phỏng. Các kết quả có đƣợc của luận
văn hồn tồn do tôi nghiên cứu dƣới sự giúp đỡ của thầy hƣớng dẫn. Nếu có gì
sai sót tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm.

Hà nội, ngày 25 tháng 09 năm 2012
Tác giả

Lê Trung Thực

-1-

z


Mơ hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng

Lời nói đầu

Trong nền kinh tế hiện nay, nổi bật lên các ngành kinh tế tài chính phát triển rất
mạnh mẽ. Theo đó là những bƣớc tiến mạnh mẽ của ngành tốn học tài chính nói
chung và tốn học rủi ro nói riêng để phục vụ cho nhu cầu tất yếu trong kinh tế tài
chính. Đã có rất nhiều các mơ hình rủi ro cổ điển đƣợc áp dụng một cách tối ƣu để đƣa
ra các dự báo gần chính xác, từ đó giúp cho việc quản trị rủi ro trong các hoạt động
kinh tế tài chính tốt hơn, dễ dàng hơn rất nhiều.
Mơ hình Lundberg-Cramér cổ điển ( quan trọng nhất là xấp xỉ LundbergCramér và bất đẳng thức cùng tên ) là mơ hình rủi ro dùng đƣợc cho hầu hết các ngành
kinh tế tài chính hiện nay ( nhƣ : Bảo hiểm, Tín dụng…)
Mục đích của luận văn là nghiên cứu bài toán thiệt hại và lợi nhuận của hoạt
động cho vay khơng thế chấp - tín dụng ngân hàng. Từ đó áp dụng các xấp xỉ, đẳng
thức, bất đẳng thức trong lý thuyết rủi ro và toán học tài chính để đƣa ra đƣợc mơ hình
gần đúng cho việc dự báo cũng nhƣ quản lý các rủi ro do hoạt động mang đến.
Luận văn gồm 4 chƣơng:
Chương 1:
Trình bày bài tốn thực tế, các khái niệm cần thiết để phân tích bài tốn thực tế
sang góc độ Tốn học:
1.
2.
3.
4.

Bài tốn thực tế.
Lý thuyết ngẫu nhiên.
Q trình Poisson
Q trình Poisson phức hợp

Và một số các tính chất quan trọng của các khái niệm trên.
Chương 2:

Nội dung của chƣơng này là áp dụng việc phân tích bài tốn thực tế, áp dụng lỹ
thuyết rủi ro, tốn học tài chính để đƣa ra mơ hình dự báo và quản lý rủi ro thích hợp:
1.
2.
3.
4.

Biểu phí lợi nhuận thực và thiệt hại
Hàm xác suất vƣợt định mức tín dụng
Mơ hình Lundberg-Cramér
Xấp xỉ Lundberg-Cramér

Chương 3:
Chƣơng này sẽ đƣa ra các thuật toán phù hợp để có thể dùng ngơn ngữ lập trình
thể hiện mơ hình quản lý rủi ro đã tìm đƣợc, dựa trên một phƣơng pháp mô phỏng số
và các khái niệm liên quan. Từ những thuật tốn đã có, sử dụng ngơn ngữ lập trình
Java để lập trình một phần mềm tƣơng thích với các thuật tốn và mơ hình.
1. Các khái niệm số ngẫu nhiên
2. Phƣơng pháp mô phỏng
-2-

z


Mơ hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng

3. Thiết kế thuật tốn
4. Phần mềm ứng dụng
5. Ví dụ ứng dụng thực tế
Để hoàn thành luận văn này em xin bày tỏ sự kính trọng và lịng biết ơn sâu sắc

tới PGS.TS. Đỗ Đức Giáo và đặc biệt là TS.Lê Phê Đô, thầy đã chỉ bảo, hƣớng dẫn và
giúp đỡ tận tình trong quá trình em làm luận văn này. Do về mặt kiến thức và thời gian
còn hạn chế, luận văn còn nhiều khiếm khuyết. Em mong đƣợc sự đóng góp ý kiến của
các thầy cơ và mọi ngƣời để luận văn hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cám ơn!
Hà Nội -2012
Tác giả

-3-

z


Mơ hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt
BNN: Biến ngẫu nhiên.
ĐLNN: Đại lƣợng ngẫu nhiên.
ĐVTG: Đơn vị thời gian.
ĐVTT: Đơn vị tiền tệ.
RPS : Risk Processing Simulation ( Mô phỏng quá trình rủi ro ).
QTNN: Quá trình ngẫu nhiên.
VaR: Value at Risk ( Giá trị rủi ro ).

-4-

z


Mơ hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng

Danh mục các bảng
Thứ tự

Tên bảng

Trang

Bảng 2.1

Bảng phân vị phân phối chuẩn

38

Bảng 2.2

So sánh 2 mơ hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng: mơ hình
Lundberg-Cramér và mơ hình VaR
Số liệu với các tham số

40

Bảng 3.1

48

trong trƣờng hợp phân phối mũ
Bảng 3.2

Số

liệu

với

các

hợp phân phối Pareto

-5-

z

tham
số 49
trong trƣờng


Mơ hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng

Danh mục các hình vẽ, đồ thị
Thứ tự

Tên hình

Trang

Hình 1.1

Hoạt động vay vốn tín dụng ngân hàng trên thực tế

14

Hình 1.2

Sơ đồ hoạt động phịng phân tích rủi ro tín dụng ngân hàng

15

Hình 3.1

Giao diện chính của phần mềm RPM

52

Hình 3.2

Trƣờng hợp khơng thỏa mãn điều kiện lợi nhuận thực

52

Hình 3.3

Giao diện với lựa chọn cho phân phối mũ

53

Hình 3.4

Giao diện với lựa chọn cho phân phối Pareto

53

Hình 3.5

Bảng kết quả giá trị mơ phỏng rủi ro phân phối mũ

55

Hình 3.6

Biểu đồ kết quả mơ phỏng nợ xấu phân phối mũ

55

Hình 3.7

Bảng kết quả mơ phỏng nợ xấu phân phối Pareto

56

Hình 3.8

Biểu đồ kết quả của q trình mơ phỏng nợ xấu phân phối 56
Pareto

Hình 3.9

Biểu đồ kết quả mơ phỏng 1 (khơng có rủi ro)

57

Hình 3.10 Biểu đồ kết quả mơ phỏng 1 (có rủi ro)

57

Hình 3.11 Tham số đầu vào mơ phỏng

58

Hình 3.12 Bảng kết quả mơ phỏng lần 12 rủi ro với bộ tham số trên

58

Hình 3.13 Lƣu tham số đầu vào và đơn vị tiền tệ cho vay

59

Hình 3.14 Mơ phỏng lần đầu rủi ro

60

Hình 3.15 Mơ phỏng lần xảy ra nhiều nợ xấu nhất

60

-6-

z

Mơ hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng

MỤC LỤC
Danh mục ký hiệu và các chữ viết tắt .............................................................................. 4
Danh mục các bảng ........................................................................................................... 5
Danh mục các hình và đồ thị ............................................................................................ 6
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ BÀI TOÁN ..................................................... 9
1.1. ........................................................................................................................... K
iến thức chuẩn bị ...................................................................................................... 9
1.1.1. ..................................................................................................................... Q
uá trình ngẫu nhiên ............................................................................................... 9
1.1.2. ..................................................................................................................... Q
uá trình Poisson .................................................................................................. 12
1.2. ........................................................................................................................... P
hân tích bài tốn ..................................................................................................... 14
1.2.1. ..................................................................................................................... B
ài toán thực tế ..................................................................................................... 14
1.2.2. ..................................................................................................................... B
ài tốn thực tế trên góc nhìn tốn học ................................................................ 15
1.2.3. ..................................................................................................................... B
iến đổi Laplace ................................................................................................... 16
1.2.4. ..................................................................................................................... X
uất hiện n “nợ xấu” ............................................................................................ 17
1.2.5. ..................................................................................................................... K
hoảng thời gian giữa 2 “nợ xấu” liên tiếp .......................................................... 18
1.3. ........................................................................................................................... Q
uá trình Wiener và Poisson phức hợp .................................................................... 20
1.3.1. ..................................................................................................................... Q
uá trình Wiener ................................................................................................... 20

1.3.2. ..................................................................................................................... Q
uá trình Poisson phức hợp .................................................................................. 21
CHƢƠNG 2. MƠ HÌNH QUẢN LÝ RỦI RO TÍN DỤNG ......................................... 23
2.1. ........................................................................................................................... Q
uản lý rủi ro và thiệt hại ......................................................................................... 23
2.1.1. ..................................................................................................................... M
ơ hình quản lý rủi ro ........................................................................................... 23
2.1.2. ..................................................................................................................... B
iểu phí lợi nhuận hoạt động tín dụng ................................................................. 24
2.2. ........................................................................................................................... P
hƣơng trình tích phân cân bằng tài chính .............................................................. 25
-7-

z


Mơ hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng

2.3. ........................................................................................................................... X
ấp xỉ hàm xác suất vƣợt định mức ......................................................................... 27
2.3.1. ..................................................................................................................... H
àm sinh Moment ................................................................................................. 28
2.3.2. ..................................................................................................................... B
ất đẳng thức Lundberg-Cramer .......................................................................... 28
2.3.3. ..................................................................................................................... X
ấp xỉ Lundberg-Cramer ...................................................................................... 29
2.3.4. ..................................................................................................................... X
ấp xỉ theo moment điều chỉnh ............................................................................ 31
2.3.5. ..................................................................................................................... X
ác suất vƣợt hạn mức với phạm vi hữu hạn ....................................................... 33

2.4. ........................................................................................................................... M
ơ hình định lƣợng giá trị rủi ro tín dụng VaR ........................................................ 34
2.4.1. ..................................................................................................................... Đ
ịnh lƣợng giá trị thua lỗ với độ tin cậy ........................................................... 34
2.4.2. ..................................................................................................................... T
ính giá trị rủi ro bằng phƣơng pháp kinh tế ....................................................... 37
2.5. ........................................................................................................................... S
o sánh chuyển mơ hình Lundberg-Crame'r và VaR .............................................. 37
CHƢƠNG 3. THIẾT KẾ THUẬT TOÁN VÀ PHẦN MỀM ..................................... 40
3.1. ........................................................................................................................... C
ác khái niệm mô phỏng số ..................................................................................... 40
3.1.1. ..................................................................................................................... L
iên hệ số ngẫu nhiên và tựa ngẫu nhiên ............................................................. 41
3.1.2. ..................................................................................................................... P
hƣơng pháp tạo thể hiện biến ngẫu nhiên .......................................................... 41
3.1.3. ..................................................................................................................... T
hể hiện quá trình Poisson phức hợp ................................................................... 43
3.2. ........................................................................................................................... T
huật toán ƣớc lƣợng ............................................................................................... 43
3.2.1. ..................................................................................................................... T
huật tốn cho mơ hình rủi ro .............................................................................. 43
3.2.2. ..................................................................................................................... Ƣ
ớc lƣợng khoảng cho thời gian .......................................................................... 45
3.3. ........................................................................................................................... P
hần mềm mơ phỏng ứng dụng mơ hình rủi ro ....................................................... 48
3.3.1. ..................................................................................................................... G
iới thiệu .............................................................................................................. 48
3.3.2. ..................................................................................................................... N
gơn ngữ lập trình sử dụng .................................................................................. 48
-8-

z


Mơ hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng

3.3.3. ..................................................................................................................... G
iao diện và sử dụng kết quả ................................................................................ 52
3.3.3.1. ............................................................................................................ G
iao diện chính ......................................................................................... 52
3.3.3.2. ............................................................................................................ G
iao diện kết quả ...................................................................................... 54
3.3.3.3. ............................................................................................................ B
iểu đồ quỹ đạo ....................................................................................... 57

KẾT LUẬN .............................................................................................................. 61
DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN
LUẬN VĂN ........................................................................................................................... 62
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 63

-9-

z


Mơ hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng

CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ BÀI TOÁN
1.1. Kiến thức chuẩn bị:

1.1.1. Quá trình ngẫu nhiên:
Định nghĩa 1.1. [3]Biến ngẫu nhiên

X đƣợc gọi là biến ngẫu nhiên khi nó đại diện cho giá trị của một biến cố.
Giả sử biến cố A là số các mặt sấp khi gieo 3 đồng xu. X đại diện cho giá trị của biến
cố A : X={0,1,2,3} gọi là một biến cố ngẫu nhiên.
Định nghĩa 1.2. [1]Phân phối mũ
Biến ngẫu nhiên X có phân phối mũ với tham số λ > 0 nếu hàm mật độ xác suất có
dạng sau:

Trong đó là tham số của phân bố, thƣờng đƣợc gọi là tham số tỉ lệ.
Từ định nghĩa ta dễ dàng nhận thấy:
 Hàm phân phối của X :
.
 Kỳ vọng và phƣơng sai:
Định lý 1.3. Một số tính chất của phân phối mũ
i. Ta nói X là biến ngẫu nhiên không nhớ nếu
, với mọi s, t >0
hay

(1.2)
có phân phối mũ khi và chỉ khi

ii.

(1.1)

khơng nhớ.

là các biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng phân phối mũ với

tham số λ > 0. Khi đó

có phân phối Gamma với các

tham số n và λ > 0 nhƣ sau:
=
Định nghĩa 1.4. [3]Phân phối Poisson
Phân phối Poisson với tham số > 0 là một dãy số.
Nói một biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số

- 10 -

z

> 0 nếu:


Mơ hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng

i.
ii.

, với

Định lý 1.5. Một số tính chất cơ bản của phân phối Poisson
i. Giả sử X có phân phối Poisson với tham số λ > 0. Khi đó ta có:
là hai biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối Poisson tƣơng ứng với các

ii.

tham số

. Thì

tham số

.

cũng là một biến ngẫu có phân phối Poisson với

iii. Nếu N là một biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson tham số λ > 0. X là biến
ngẫu nhiên thỏa mãn phƣơng trình sau:
(1.3)
Khi đó
Trong đó

có phân phối Poisson với tham số
là xác suất xảy ra biến cố

iv. Luật biến cố hiếm:
A là biến cố xảy ra với xác suất .
sát. Vậy

.

trong một phép thử.
là số lần xuất hiện A trong n lần quan

có phân phối nhị thức :

Luật biến cố hiếm chỉ ra rằng khi p rất bé và chỉ số quan sát n rất lớn có thể
xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối Poisson:

Chứng minh
i. Xét

:

(đpcm)
ii. Dễ dàng nhận thấy :

iii. Ta có:

- 11 -

z


Mơ hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng

iv. Xét

Giả sử rằng:
Suy ra :
.
Và :
Mà khi

….

thì :

Định nghĩa 1.6. [3]Q trình ngẫu nhiên
Giả sử 1 thí nghiệm ngẫu nhiên đƣợc chỉ rõ bởi các kết cục trong không gian
mẫu

( tập hợp tất cả các trạng thái có thể của kết cục ).

Với mỗi ta gắn với một hàm thời gian theo qui tắc
Họ chỉ số các biến ngẫu nhiên

với t thuộc I.

với mỗi i cố định gọi là quá trình ngẫu

nhiên với khơng gian mẫu .
Trong q trình xem xét q trình ngẫu nhiên, ta bỏ qua

và dùng

kí hiệu cho

quá trình ngẫu nhiên.
-

Đồ thị hàm số

theo t gọi là 1 thể hiện hay 1 quỹ đạo mẫu.

là một biến ngẫu nhiên.

-

Định nghĩa 1.7. [4]Quá trình đếm
Giả sử A là một biến cố.Kí hiệu
khoảng thời gian
Khi đó

là số lần xuất hiện biến cố A trong

.

gọi là quá trình đếm.

là quá trình đếm khi nó là biến ngẫu nhiên thỏa mãn:
i.
ii.

- 12 -

z


Mơ hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng

, với mọi

iii.

, với

iv.

.

gọi là quá trình điểm tƣơng ứng với quá trình đếm

v.

Định nghĩa 1.8. [4]Số gia độc lập, số gia dừng
i. Nói q trình đếm

có số gia độc lập, tức là với mọi

mọi

các số gia sau đây sẽ là các biến ngẫu nhiên

độc lập :
ii.

và với

.

gọi là có số gia dừng nếu , với mọi s>0,

các gia số

là các biến ngẫu nhiên cùng phân phối.

và

1.1.2. Quá trình Poisson:
Định nghĩa 1.9. [3]Định nghĩa quá trình Poisson
là quá trình Poisson với tham số

Ta nói

hay cƣờng độ .Nếu:

i.
ii.

là q trình có số gia độc lập.

iii. Mỗi số gia

) có phân phối Poisson với tham số

, với mọi

và
iv.

.

Định nghĩa 1.10. [4]Định nghĩa quá trình Poisson từ quá trình đếm
Quá trình đếm

gọi là quá trình Poisson nếu nó thỏa mãn các điều kiện

sau:
i. Có số gia độc lập.
ii. Có số gia dừng.
iii. Tồn tại hằng số

sao cho với

khá bé:

Định lý 1.11. Một số tính chất cơ bản của quá trình Poisson
Suy ra tƣơng tự từ định lý về tính chất của phân phối Poisson ta có một số các kết quả
nhƣ sau:
i. X(t) là quá trình Poisson cƣờng độ
Poisson với tham số

.

ii. Theo khai triển Taylor khi

:

- 13 -

z

, thì

tuân theo luật phân phối

Mơ hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng

Nhƣ vậy dễ dàng suy ra đƣợc một hệ quả : “Quá trình Poisson là quá trình
điểm thỏa mãn các điều kiện trên và ngược lại”.
, với

iii. Cho
cƣờng độ

là

quá trình Poisson lần lƣợt với

.Khi đó:
là q trình Poisson với cƣờng độ

-

.

là quá trình Poisson với cƣờng độ

-

là một quá trình Poisson cƣờng độ

iv. Xét

.

với

và

.Thì:
(1.4)

Phân phối Erlang:
Định nghĩa 1.12. [7]
X có phân phối Gamma khi hàm mật độ của X có dạng sau

ở đây

là hàm Gamma.

Phân phối Erlang là trƣờng hợp riêng của phân phối Gamma với

là số nguyên

dƣơng.
Giả sử

là thời điểm xuất hiện sự kiện lần thứ n của quá trình Poisson
và

là khoảng thời gian từ xuất hiện thứ

đến lần thứ

Khi đó ta có một số các mệnh đề sau đây:
có phân phối Erlang hay phân phối Gamma với hàm mật độ:

i.

(1.5)
là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối mũ tham số λ > 0.

ii.

Phân loại quá trình Poisson:
là quá trình Poisson cƣờng độ . Mỗi khi biến cố A xuất hiện ta

Xét

có thể phân thành một trong các
Kí hiệu

lớp con.

là số lần biến cố A loại xảy ra trong khoảng thời gian

.

Định lý 1.13. [7]Cơ chế phân loại Bernoulli
Giả sử khi một sự kiện xảy ra, xác suất nó thuộc loại là
mỗi q trình đếm

với

là một q trình Poisson với cƣờng độ

. Khi đó,
.

Chứng minh
Xét

sự kiện xảy ra trong khoảng thời gian
.

- 14 -

z

số các sự kiện thuộc lớp là

=>


Mơ hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng

Áp dụng mục iv. định lý 1.11

là các biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số

.

là một q trình Poisson.

1.2. Phân tích bài tốn:
1.2.1. Bài tốn thực tế:
Tín dụng ngân hàng là quan hệ giữa ngân hàng với các tổ chức tín dụng và các
tổ chức kinh tế, cá nhân theo nguyên tắc hoàn trả. Việc hoàn trả đƣợc nợ gốc trong tín
dụng có nghĩa là việc thực hiện đƣợc giá trị hàng hố trên thị trƣờng, cịn việc hồn trả
đƣợc lãi vay trong tín dụng là việc thực hiện đƣợc giá trị thặng dƣ trên thị trƣờng. Tín
dụng ngân hàng có ít nhất hai bên tham gia là ngân hàng và khách hàng tín dụng, đối
tƣợng ngân hàng cho vay trong tín dụng là tiền tệ.[2]

Hình 1.1. Hoạt động vay vốn tín dụng Ngân hàng trên thực tế
Do tính chất của hoạt động tín dụng, đặc biệt là hoạt động tín dụng cho vay
khơng thế chấp, nó mang rất nhiều rủi ro có thể gây thiệt hại nghiêm trọng đến tài sản
của ngân hàng cũng nhƣ ảnh hƣởng đến các hoạt động khác. Bộ phận phân tích rủi ro
- 15 -

z


Mơ hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng

tín dụng ngân hàng đƣợc hình thành, mục đích là sử dụng mơ hình dự báo rủi ro để
quản lý tốt những rủi ro trong tín dụng ngân hàng. Bộ phận phân tích rủi ro có nhiệm
vụ thu thập các hồ sơ đƣợc yêu cầu vay vốn tín dụng, các hồ sơ đã đƣợc vay vốn tín
dụng, tình hình nguồn thu lợi nhuận từ các gói vay đã phát hành… Từ đó, áp dụng một
mơ hình dự báo rủi ro, đƣa ra các phƣơng án quản lý đối với các gói tín dụng đó. Quan
trọng hơn hết phịng phân tích rủi ro sẽ là bộ phận tham gia hỗ trợ quyết định có hay
khơng cho một doanh nghiệp, tổ chức, cá nhân vay vốn tín dụng khơng thế chấp dựa
trên kết quả mơ phỏng từ mơ hình dự báo của mình.

Hình 1.2. Sơ đồ hoạt động phịng phân tích rủi ro tín dụng Ngân hàng
Vì vậy, việc xây dựng đƣợc một mơ hình dự báo phù hợp và chính xác đƣợc
xem nhƣ vấn đề quan trọng nhất của bộ phân phân tích rủi ro tín dụng ngân hàng.
Trong luận văn này sẽ áp dụng một xấp xỉ cổ điển trong toán học tài chính để xây
dựng mơ hình quản lý rủi ro tín dụng ngân hàng. Xấp xỉ Lundberg- Cramér cổ điển.

1.2.2. Bài tốn thực tế trên góc nhìn tốn học:
Theo nhƣ bài tốn thực tế ở trên thì các vấn đề cần quan tâm tại một thời điểm
ở đây bao gồm:
Vấn đề 1: Số lƣợng các gói vay tín dụng đã phát hành.
Vấn đề 2: Tổng số tiền lãi suất và tín dụng đã đƣợc thanh tốn.
Vấn đề 3: Đây là vấn đề quan trọng nhất trong các nghiên cứu sau này của mơ
hình quản lý rủi ro. Đó là số lần xuất hiện “nợ xấu” ( nó bao gồm các gói vay tín dụng
sẽ khơng đƣợc khách hàng chi trả hay do khơng cịn khả năng chi trả ). Sự xuất hiện
“nợ xấu” sẽ ảnh hƣởng nặng nề đến quỹ vốn của hoạt động tín dụng trong ngân hàng
nói chung và cả những hoạt động bên cạnh đó nữa.

- 16 -

z


Mơ hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng

Với các phạm vi vấn đề 1 và 2 chúng ta có thể dễ dàng tính tốn đƣợc bằng một con số
chính xác và cụ thể dựa trên số liệu đã có trên thực tế. Vậy “nợ xấu” hay sự dự đoán
sự xuất hiện của “nợ xấu” sẽ là vấn đề trọng tâm cho việc nghiên cứu mơ hình quản lý
rủi ro.
Gọi

là số “nợ xấu” tại thời điểm

. Trên thực tế các thời điểm này là hoàn

toàn ngẫu nhiên và độc lập nhau.
Kí hiệu

là khoảng thời gian tính từ lần xuất hiện “nợ xấu” thứ

Xem xét

là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối.

đến lần thứ .

là thời điểm xuất hiện “nợ xấu” thứ . Nhƣ vậy :
Mục tiêu của bài toán là ƣớc lƣợng xác suất xuất hiện không quá n lần “nợ xấu” trong
khoảng thời gian
một cách tối ƣu nhất.Hay đồng nghĩa với việc ƣớc lƣợng giá trị
sau:
P{

> t} = P{N(t) < n}

(1.6)

1.2.3. Biến đổi Laplace:
Phép biến đổi Laplace là một phép biển đổi tích phân cơ bản có rất nhiều ứng
dụng (trong kỹ thuật, kinh tế…). Nó cho phép biến mỗi hàm gốc theo một biến t thành
hàm ảnh theo một biến . Phép biến đổi này sẽ giúp ta có đƣợc từ một hàm gốc rất

phức tạp về một hàm ảnh với các biểu thức đơn giản hơn gấp nhiều lần chỉ với các
phép tính đại số.
Cơng thức Laplace. [9]
là một hàm số thực ,

Cho
Kí hiệu

là hàm ảnh của hàm

theo biến đổi Laplace sau:
(1.7)

-

Nếu tích phân ở biểu thức (1.7) tồn tại với giá trị phức thuộc miền nào đó
thì phép biến đổi Laplace của (t) tồn tại.

-

Ngƣợc lại ta nói phép biến đổi Laplace của hàm

-

Biến số s của hàm

không tồn tại.

là phức hay thực tƣơng đƣơng với pháp biến đổi

Laplace ở trên là phức hay thực.
Điều kiện tồn tại biến đổi Laplace:
Hàm biến thực

là hàm gốc của phép biến đổi Laplace nếu nó thỏa mãn các

điều kiện nhƣ sau:
i.

, với mọi

.

ii.

liên tục từng khúc trên miền

iii.

không tăng nhanh hơn hàm mũ khi
Tức là: tồn tại M >0,

.

sao cho:

- 17 -

z

Mơ hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng

(với mọi

),

đƣợc gọi là chỉ số tăng của hàm

đó.
Định nghĩa 1.14. [3]Tích chập hai hàm số
Tích chập của hai hàm số

) , với

và

là hàm số

đƣợc xác

định bởi công thức sau:
(1.8)
Mệnh đề 1.15. Một số tính chất của tích chập
i. Tích chập có tính giao hốn.
ii. Nếu
là các hàm gốc thì tích chập của chúng cũng là một hàm gốc.
Và:

,

Thì :
Chứng minh
i.

là các hàm gốc:

ii. Do

Giả sử

Vậy

lần lƣợt có chỉ số tăng

.

là hàm gốc với chỉ số tăng tƣơng tứng là

Xét:

Ví dụ 1. Một số ví dụ về hàm gốc
i. Hàm bƣớc nhảy đơn vị:

Đây là 1 hàm gốc với chỉ số tăng
- 18 -

z

.

.


Mơ hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng

ii. Các hàm số sơ cấp

liên tục và không tăng nhanh hơn hàm mũ.Nhƣng

không đồng nhất bằng 0 khi

chúng không phải hàm gốc.Nhƣng

hàm tích với hàm bƣớc nhảy đơn vị

lại là một hàm gốc.

1.2.4. Xuất hiện n “nợ xấu”:
Giả sử xuất hiện

nợ xấu trong khoảng thời gian

với xác suất là

.

Vậy suy ra:

Đặt

là hàm phân phối của

.

Áp dụng công thức biến đổi Laplace ta có:
(1.9)
Bổ đề 1.16.
Nếu hàm mật độ của

lần lƣợt là

và

và

ta có các đẳng

thức:

và

(1.10)

Chứng minh
Dễ thấy

Bổ đề 1.17.
Xét các biến ngẫu nhiên

độc lập, có cùng hàm mật độ

. Khi đó :

(1.11)
Chứng minh
Sử dụng phƣơng pháp chứng minh đệ qui:
-

Xét với n = 2:

Đạo hàm 2 vế trên miền D theo t:

- 19 -

z


Mơ hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng

-

Xét tƣơng tự với n tổng quát:

Theo bổ đề 2.4

.

Từ 2 bổ đề trên ta suy ra:
Hay:

1.2.5. Khoảng thời gian giữa “nợ xấu” thứ

đến thứ :

Với khoảng thời gian khá bé h. Kí hiệu

.

Giả sử :

, với
Trong đó:
Chia khoảng thời gian (0,t] thành n đoạn con có độ dài là h.
.
Xác suất khơng có sự kiện nào xuất hiện trong khoảng (0,t] tƣơng đƣơng với
điều kiện khơng có sự kiện nào xảy ra trong các đoạn con độ dài h của nó. T ở đây là
thời điểm xuất hiện sự kiện đầu tiên.
Xác suất để xảy ra sự kiện trong mỗi một đoạn con là ngẫu nhiên và độc lập với
nhau. Vậy:

Khai triển Taylor :
Do

và
Nên

Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên T:
- 20 -

z


Mơ hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng

Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên T:
(1.12)
T có phân phối mũ với tham số λ.
Từ việc phân tích về các khoảng thời gian giữa 2 lần xuất hiện “nợ xấu”, ta thấy
đƣợc chúng là các biến ngẫu nhiên có cũng phân phối mũ với tham số λ > 0 và hàm
mật độ

Và :

Thay vào biểu thức (1.10) thu đƣợc một biểu thức đại số đơn giản hơn rất
nhiều so với trƣớc đây:
(1.13)

1.3. Quá trình Wiener và Poisson phức hợp:
1.3.1.Quá trình Wiener:
Di động ngẫu nhiên:
, trong đó

Cho

Giả sử

là q trình Bernuolli.

là q trình tổng tƣơng ứng. Nhƣ vậy có thể nói

là vị trí của phần

tử tại thời điểm n.
, với

Q trình Wiener:
Giả sử quá trình ngẫu nhiên di động là đối xứng, tức là :
nhảy độ dài h tại mỗi δ giây.
Đặt

là các bƣớc nhảy tích lũy đến thời điểm t.

Tại thời điểm t, quá trình thực hiện đƣợc n = [t/δ] bƣớc nhảy, do đó:
Trong đó
, vì
- 21 -

z

và có bƣớc


Mơ hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng

Nếu rút ngắn độ dài của bƣớc nhảy và thời gian giữa các bƣớc nhảy hay nói
cách khác

,sao cho :

và đặt

là q trình nhận đƣợc.

Khi đó:
Ta nhận đƣợc một q trình thời gian liên tục

bắt đầu tại điểm gốc, có

trung bình khơng tại mọi điểm, nhƣng phƣơng sai tăng tuyến tính theo thời gian. Gọi
là quá trình Wiener. [7]
Quá trình Wiener đƣợc sử dụng để mơ hình hóa chuyển động Brown, sự chuyển
động ngẫu nhiên của các phần tử độc lập cạnh nhau…
Khi δ tiến dần đến 0:
(1.14)
Hay nói cách khác

tiệm cận tới tổng số vô hạn các biến ngẫu nhiên.

1.3.2.Quá trình Poisson phức hợp:
Định nghĩa 1.19. [6]
là một quá trình Poisson cƣờng độ λ>0. Dãy
nhiên độc lập cùng phân phối và dãy này độc lập với

là các biến ngẫu

. Khi đó:
, với

Gọi là 1 q trình Poisson phức hợp.

Phân tích bài tốn theo nghĩa rộng:
Dựa vào bài tốn tín dụng ngân hàng với 3 vấn đề chính đƣa ra ban đầu, kết hợp
cùng những kiến thức chuẩn bị. Ta đi phân tích sâu hơn vào các “giá trị” của rủi ro “
nợ xấu” chứ khơng chỉ tính số các rủi ro đó nữa, bởi vì trên thực tế thì giá trị của các
gói vay tín dụng hồn tồn khác nhau theo yêu cầu khách hàng và vì vậy giá trị rủi ro
cũng hoàn toàn khác nhau. Nhƣ vậy, vấn đề cốt yếu ở đây đó là tính tổng giá trị của
các “nợ xấu” đã xuất hiện tính đến thời điểm t>0.
: Quá trình đếm, đếm số “nợ xấu” xuất hiện đến thời điểm

t.

: Giá trị của “ nợ xấu “ thứ k.

-

là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng phân phối và hồn
tồn độc lập với

.
(1.15)

Là tổng số tiền thiệt hại do “nợ xấu” mang lại thại thời điểm t > 0.
Chú ý:

-

trong trƣờng hợp này không thể nhận giá trị âm.

- 22 -

z


Mơ hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng

từ biểu thức (1.15) là một quá trình Poisson phức hợp hay

-

là q trình ngẫu nhiên có bƣớc nhảy chính là các biến ngẫu nhiên

Đặc điểm của quá trình Poisson phức hợp:
Mệnh đề 1.20. [6]
1) Các số gia của quá trình Poisson phức hợp độc lập nhau.
Trong trƣờng hợp đặc biệt:
độc lập nhau.

và
cùng phân phối với

2) Do
phối với

,

cùng phân

.

Suy ra các số gia

là

độc lập và dừng với
Mệnh đề 1.21. [6]Xác suất của phân phối Poisson phức hợp
Giả sử
của

lần lƣợt là hàm phân phối và kỳ vọng

và µ

.

(Do N(t) là q.trình Poisson t/số λ)
.
Trong đó

là tích chập của n lần

.
(1.16)

Mệnh đề 1.22. Kỳ vọng và phƣơng sai của phân phối Poisson phức hợp
i.

.

ii.

.

Chứng minh
i. Có :

ii. Xét

(Đpcm).
- 23 -

z