Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 10 doc

Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 10

ĐỀ SỐ 18

Câu1 ( 2 điểm )
Tìm m để phương trình ( x
2
+ x + m) ( x
2
+ mx + 1 ) = 0 có 4
nghiệm phân biệt .
Câu 2 ( 3 điểm )
Cho hệ phương trình :





64
3
ymx
myx

a) Giải hệ khi m = 3
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x > 1 , y > 0 .

Câu 3 ( 1 điểm )
Cho x , y là hai số dương thoả mãn x
5
+y
5
= x
3
+ y
3
. Chứng minh
x
2
+ y
2


1 + xy
Câu 4 ( 3 điểm )
1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) . Chứng minh
AB.CD + BC.AD = AC.BD
2) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O) đường
kính AD . Đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A cắt cạnh BC tại
K và cắt đường tròn (O) tại E .
a) Chứng minh : DE//BC .
b) Chứng minh : AB.AC = AK.AD .
c) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Chứng minh tứ giác
BHCD là hình bình hành .

ĐỀ SỐ 19
Câu 1 ( 2 điểm )
Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau :

232
12


A ;
222
1

B ;
123
1

C

Câu 2 ( 3 điểm )
Cho phương trình : x
2
– ( m+2)x + m
2
– 1 = 0 (1)
a) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình .Tìm m thoả mãn x
1
–
x
2
= 2 .
b) Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của m để phương trình có hai
nghiệm khác nhau .
Câu 3 ( 2 điểm )
Cho
32
1
;
32
1



 ba

Lập một phương trình bậc hai có các hệ số bằng số và có các nghiệm là
x
1
=
1
;
1
2


 a
b
x
b
a

Câu 4 ( 3 điểm )
Cho hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau tại A và B . Một đường
thẳng đi qua A cắt đường tròn (O
1
) , (O
2
) lần lượt tại C,D , gọi I , J là
trung điểm của AC và AD .
1) Chứng minh tứ giác O

1
IJO
2
là hình thang vuông .
2) Gọi M là giao diểm của CO
1
và DO
2
. Chứng minh O
1
, O
2
, M
, B nằm trên một đường tròn
3) E là trung điểm của IJ , đường thẳng CD quay quanh A . Tìm
tập hợp điểm E.
4) Xác định vị trí của dây CD để dây CD có độ dài lớn nhất .