Chuyên đề 5: Kỹ năng sử dụng đường tròn lượng giác pdf

Chuyên đề: KỸ NĂNG SỬ DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
Trình bày: Hoàng Ngọc Hùng
TTCM Toán Trường THPT Kỳ Lâm
I.Kiến thức cần nhớ
1. Khái niệm đường tròn lượng giác
Là đường tròn định hướng, đơn vị, nhận gốc tọa độ O làm tâm.
2. Biểu diễn một cung, một góc lượng giác trên ĐTLG
Trường hợp 1:
m
kx
2
2
π
α
+=
với
]2;0[
πα
∈
, k
∈
Z, m
∈
N, m > 2
B1:Xác định điểm ngọn
α
trên đường tròn lượng giác
tương ứng điểm M
1
B2:Tìm các điểm khác bằng cách chia ĐTLG thành một 2m - giác đều
nhận M

1
làm đỉnh.
Khi đó số các điểm trên ĐTLG biểu diễn toàn bộ góc (cung) lượng giác.
Ví dụ 1
24
3
ππ
kx +=
ta có:
24
3
ππ
kx +=

⇔
4
2
4
3
ππ
kx +=
Ta có biểu diễn trên hình vẽ
Ví dụ 2
π
π
kx +=
4
3
Trên ĐTLG chỉ có hai điểm đối xứng nhau qua
tâm O

1
O
O
M
1
M
2
O
M
1
M3M
4
M
2
O
M
1
Nhận xét: Đa giác nhận được từ các điểm trên ĐTLG là một đa giác có số đỉnh chẵn nên đối
xứng qua tâm O
Trường hợp 2:
12
2
+
+=
m
kx
π
α
với
]2;0[

πα
∈
, k
∈
Z, m
∈
N, m > 1
B1:Xác định điểm ngọn
α
trên đường tròn lượng giác
tương ứng điểm M
1
B2:Tìm các điểm khác bằng cách chia ĐTLG thành một 2m + 1 - giác đều
nhận M
1
làm đỉnh.
Khi đó số các điểm trên ĐTLG biểu diễn toàn bộ góc (cung) lượng giác
Nhận xét: Đa giác nhận được từ các điểm trên ĐTLG là một đa giác có số đỉnh lẻ nên nhận
trục OM
1
làm trục đối xứng
Ví dụ 1:
3
2
4
3
ππ
kx +=
B1:Xác định điểm ngọn
4

3
π
trên đường tròn lượng giác
tương ứng điểm M
1
B2:Tìm các điểm khác bằng cách chia ĐTLG thành một tam giác đều
nhận M
1
làm đỉnh.
3. Tổng hợp nghiệm trên ĐTLG nếu có các trường hợp
+Hai điểm đối xứng qua gốc toạ độ và có điểm đầu là
α
khi đó :
πα
kx
+=
+Các điểm tạo thành đa giác đều có số chẵn 2n đỉnh và có điểm đầu là
α
khi đó:
n
kx
2
2
π
α
+=
+Các điểm tạo thành đa giác đều có số lẻ 2n + 1 đỉnh và có điểm đầu là
α
khi đó:
12

2
+
+=
n
kx
π
α
II.Các ví dụ:
Dạng 1:







+=
+=
m
kx
n
kx
π
β
π
α
Phương pháp:
Bước 1: Biểu diễn các họ nghiệm
n
kx

π
α
+=
và
m
kx
π
β
+=
trên cùng một đường tròn lượng
giác. (Vòng tròn với các nghiệm)
2
M
2
M
1
O
M
3
Bước 2: Lấy những nghiệm chung nhất của hai họ nghiệm và tổng hợp nghiệm ( nghiệm được
khoanh 2 vòng)
Ví dụ 1:



=
=
π
π
kx

kx 2
Ví dụ 2







+=
+=
π
π
π
π
kx
kx
2
3
2
2
Ví dụ 3:







+=

+=
π
π
ππ
kx
kx
2
36
Dạng 2:






+=
+=
m
kx
n
kx
π
β
π
α
Phương pháp:
Bước 1: Biểu diễn các họ nghiệm
n
kx
π

α
+=
và
m
kx
π
β
+=
trên cùng một đường tròn lượng
giác. (Vòng tròn với các nghiệm)
Bước 2: Chỉ lấy những nghiệm một lần chung cho hai họ nghiệm và tổng hợp nghiệm nếu các
điểm đó tạo thành đa giác đều)
Ví dụ 1:



=
=
π
π
kx
kx 2
Ví dụ 2




=
+=
π

π
π
kx
kx
2
Ví dụ 3:






+=
+=
π
π
ππ
kx
kx
2
36
Dạng 3:







+≠

+=
m
kx
n
kx
π
β
π
α
Phương pháp:
Bước 1: Biểu diễn các họ nghiệm
n
kx
π
α
+=
và
m
kx
π
β
+=
trên cùng một đường tròn lượng
giác. (Vòng tròn với các nghiệm
n
kx
π
α
+=
và gạch chéo đối với họ nghiệm

m
kx
π
β
+=
)
Bước 2: Chỉ lấy những nghiệm được vòng tròn mà không bị gạch chéo tổng hợp nghiệm nếu
tạo thành đa giác đều)
Ví dụ 1:



=
≠
π
π
kx
kx 2
3
(Loại do điều kiện)
Ví dụ 2







+=
+−≠

π
π
π
π
kx
kx
2
2
2
Ví dụ 3:







+≠
+=
π
π
ππ
kx
kx
2
36
VD: Giải phương trình:
1 tan
2 sin
1 cot

x
x
x
+
=
+
Giải:
Điều kiện của phương trình đã cho là: cosx ≠ 0, sinx ≠ 0 và cot x ≠ -1.
Ta biến đổi phương trình đã cho:
1 tan cos sin sin
2 sin . 2 sin
1 cot cos sin cos
x x x x
x x
x x x x
+ +
= ⇒ =
+ +
⇔

sin
2 sin
cos
x
x
x
=
⇔
⇒ sinx
1

2 0
cos x
 
− =
 ÷
 
⇔

sin 0
2
cos
2
x
x
=



=


⇔
x = ±
2
4
k
π
π
+
, k∈ Z

Giá trị x = -
2
4
k
π
π
+
, k∈ Z bị loại do điều kiện cot x ≠ -1.
Vậy nghiệm của của phương trình đã cho là x =
2
4
k
π
π
+
, k∈ Z.
Bài tập tự luyện
Giải các phương trình lượng giác sau:
1)
0
2cos1
.2sin
=
− x
x
2)
0)tan1(3cos =− xx
3)
0
sin22

cos.sin)sin(cos2
66
=
−
−+
x
xxxx
4
M
2
O
M
1