áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn khi tính toán thiết kế công trình cầu trong đó có cầu cong

Cầu Hầm


áP DụNG PHƯƠNG PHáP PHầN Tử HữU HạN




TS. Lê HOàng Hà
Công ty cổ phần T vấn thiết kế Đờng bộ




1. Sơ lợc về phơng pháp Phần
tử hữu hạn (PTHH)
Các căn cứ toán học của phơng pháp
PTTH đã xuất hiện cách đây hơn 100 năm,
vào những thập niên cuối của thế kỷ 19.
Lord Rayleigh (năm 1870) và Ritz (năm
1909) đã sáng tạo ra phơng pháp tính với
việc lập ra các phơng trình xấp xỉ trong môi
trờng cơ học chất rắn. Tiếp đó, vào năm
1915, V. Galerkin đã xây dựng đợc phơng
pháp giải gần đúng theo các vùng riêng biệt
của kết cấu, dựa trên việc giải các phơng
trình vi phân. Lý thuyết này đợc áp dụng
rộng rãi cho việc giải các bài toán hệ thanh
và bản. Theo quan niệm của nhiều chuyên

gia, phơng pháp của Galerkin có thể đợc
coi là nền tảng lý thuyết cho phơng pháp
PTHH sau này [1, 2]. Tiếp theo, năm 1943,
R. Courant đã phát triển các ý tởng trên, sử
dụng các phơng trình tuyến tính, kết hợp
với việc chia kết cấu thành tập hợp của các
phần tử tam giác và áp dụng phơng pháp
này để giải các bài toán kết cấu chịu xoắn.
Phơng pháp này về sau tiếp tục đợc phát
triển lên và rất phổ biến về sau này, đó
chính là phơng pháp PTHH.
a)

n = 2 n = 3 n = 4

b)
n = 6 n = 8 n = 12

c)
n = 8n = 6n = 4

d)
n = 20n = 15n = 10

Hình 1. Các loại phần tử khác nhau đợc dùng
trong phơng pháp PTHH
Khái niệm chung của phần tử hữu hạn
đợc R. Courant, M. Turner, H. Martin và L.
Topp giới thiệu lần đầu tiên năm 1956. Tuy
nhiên mãi đến năm 1960, khái niệm và

nguyên lý tính toán theo phơng pháp
TVTK * số 4 - 2007
48
www.cauduongonline.com.vn


Cầu Hầm


phần tử hữu hạn đợc R. Courant giới
thiệu chính thức. Phơng pháp PTHH trong
thời gian này dùng để áp dụng giải quyết
các vấn đề trong việc giải các bài toán trong
lĩnh vực cơ học chất rắn và cơ học ứng
dụng. Đến cuối thập niên 60 của thê kỷ
trớc, phơng pháp PTHH đợc mở rộng để
tính toán trong lĩnh vực tấm bản chịu uốn,
tấm vỏ chịu uốn
Trong phơng pháp PTHH, có thể sử
dụng các loại phần tử khác nhau: phần tử
phẳng (hình 1 - a, b) và phần tử khối (hình 1
- c, d); phần tử có biên thẳng (hình 1 - a, c)
hay phần tử có biên cong (hình 1 - b, d).
Những loại phần tử này đợc dùng để tính
toán các dạng kết cấu khác nhau nh tấm,
vỏ, màng, bản, khối đối xứng và khối phi đối
xứng
Hiện nay, với sự giúp sức của các máy
định điện tử có tốc độ cao và dung lợng bộ
nhớ lớn, phơng pháp PTHH đợc áp dụng

rất nhiều khi giải quyết các bài toán không
gian xét đến sự làm việc trong các môi
trờng khác nhau, với các giai đoạn làm việc
khác nhau của vật liệu dới tác dụng của
nhiều loại tải trọng khác nhau
2. áp dụng phơng pháp PTHH khi
tính toán các công trình cầu
Việc tính toán với độ chính xác cao các
kết cấu cầu, trong đó có cầu cong, cầu rẽ
nhánh và các kết cấu cầu đặc biệt khác là
một công việc khó khăn, thậm chí trong rất
nhiều trờng hợp không thể đa ra kết quả
tính toán chính xác đợc. Do vậy, khi tính
toán thiết kế các công trình cầu, thờng áp
dụng các phơng pháp tính toán và các
phơng pháp tính gần đúng, với kết quả
nhận đợc mô hình hóa gần đúng sự làm
việc của kết cấu trong thực tế. Khi tính toán
thiết kế, kết cầu cầu thờng đợc tính toán
theo các phơng pháp sau: phơng pháp
lực hoặc chuyển vị, các phơng pháp sai
phân hữu hạn, phần tử hữu hạn, tơng tự
mạng dầm, bản gập khúc Trong các
phơng pháp tính toán kể trên, ph
ơng pháp
phần tử hữu hạn đợc dùng rất phổ biến vì
những u điểm riêng của nó. Nhiều nghiên
cứu [3, 4, 5, 6] đã chỉ ra rằng, áp dụng
phơng pháp phần tử hữu hạn cho phép tính
toán các kết cấu cầu khi làm việc ở trạng

thái ứng suất-biến dạng và góp phần tăng
thêm độ tin cậy của các kết quả nhận đợc.
Hiệu quả của phơng pháp PTHH đợc thể
hiện rõ cùng với khả năng tính toán kết cấu
khi làm việc với các điều kiện biên khác
nhau, với các loại tải trọng khác nhau và với
các dạng kết cấu khác nhau .v.v.
Việc áp dụng phơng pháp PTHH cho
phép tiến hành tính toán các kết cấu cầu
phức tạp, các dạng cầu khác nhau khi xét
đến giai đoạn làm việc của vật liệu khác
nhau khi chịu các loại tải trọng khác nhau
[3,6].
3. ứng dụng phơng pháp PTHH khi
tính toán các cầu có kết cấu
phức tạp
ứng dụng phơng pháp PTHH khi tính
toán các dạng cầu có kết cấu phức tạp là
một công việc không dễ dàng, khi giải các
dạng kết cấu này cần phải kết hợp giữa các
lý thuyết tính toán, các mô hình tính toán và
rất nhiều các kết quả thí nghiệm trong thực
tế. Hiện nay, khi tính toán các kết cấu phức
tạp, có thể sử dạng 2 sau:
- Mô hình dạng thanh phần tử;
- Mô hình dạng khối phần tử.
TVTK * số 4 - 2007
49
www.cauduongonline.com.vn

Cầu Hầm




Hình 2. Mô hình tính toán kết cấu nhịp cầu cong
và cầu có kết cấu phức tạp bằng mô hình dạng
thanh phần tử
Khi áp dụng mô hình tính toán kết cấu
dạng thanh phần tử, một đoạn kết cấu đợc
coi nh một phần tử dạng thanh có độ cứng
tơng đơng, do vậy việc giải bài toán tính
toán kết cấu cầu dạng này sẽ áp dụng
phơng pháp PTHH với mô hình tính toán
hệ các phần tử thanh. Mô hình này đợc thể
hiện dới dạng một tập hợp các điểm trong
không gian, đợc liên kết với nhau bằng các
đờng thẳng hoặc các đờng cong (hình 2).
Các điểm trong không gian này có thể biểu
diễn các điểm tùy ý hoặc điểm đặc biệt của
kết cấu nh tại vị trí trên trụ, tại điểm rẽ
nhánh hay tại vị trí thay đổi tiết diện. Còn
các đờng thẳng (hoặc đờng cong) nối các
điểm này, đợc thể hiện bằng cách nối với
trọng tâm của tiết diện điểm này với trọng
tâm tiết diện của điểm khác [3].
Trình tự tính toán kết cấu bằng mô hình
dạng thanh phần tử có thể chia thành 3
bớc sau:

- chuẩn bị số liệu: mô tả sơ đồ kết cấu
cần tính toán, chia ra các phần tử, đánh số
các điểm nút và các phần tử thanh, lựa chọn
trục của hệ tọa độ cục bộ và hệ tọa độ
chung. Sau đó tiến hành lập các ma trận:
ma trận độ cứng của phần tử trong hệ tọa
độ địa phơng [k], ma trận chuyển hệ tọa
độ địa phơng sang hệ tọa độ chung [c].
Tiếp theo lập các véctơ ngoại lực {P} tại các
điểm nút của phần tử thanh dựa trên các
điều kiện làm việc của kết cấu;
- giai đoạn tính toán: tính toán ma trận
độ cứng của phần tử theo hệ tọa độ chung
[k] = [c]
T
[k] [c], sau đó tính ma trận độ cứng
[R] cho toàn bộ hệ kết cấu. Theo công thức
{

} = [R]
-1
{P} tính toán đợc véctơ chuyển vị
của các điểm nút của kết cấu trong hệ tọa
độ chung:
- xử lý kết quả: sau khi có đợc véctơ
chuyển vị của các điểm nút của phần tử,
nhận đợc nội lực và ứng suất tại các điểm
nút này dới dạng biểu đồ và số.
A
A

A-A

Hình 3. Mô hình tính toán kết cấu nhịp cầu rẽ
nhánh bằng mô hình dạng khối
phần tử trong không gian
TVTK * số 4 - 2007
50
www.cauduongonline.com.vn


Cầu Hầm


Khi áp dụng phơng pháp PTHH để
tính toán các kết cấu phức tạp, bên cạnh
việc áp dụng mô hình tính toán bằng dạng
thanh phần tử, còn áp dụng mô hình tính
toán bằng dạng khối phần tử. Trong trờng
hợp tồn tại một đoạn của kết cấu, nơi xuất
hiện các ứng suất và biến dạng đáng kể, thì
sẽ tách riêng đoạn kết cấu này và khi tính
toán áp dụng mô hình dạng khối phần tử.
Khi áp dụng mô hình tính toán dạng
khối phần tử, đối với cầu thẳng và cầu cong,
kết quả tính toán thờng tin cậy và có độ sai
khác không nhiều so với áp dụng tính toán
áp dụng mô hình dạng thanh phần tử [3]. Ưu
điểm của việc áp dụng mô hình dạng khối
phần tử chỉ đợc thể hiện rõ khi tính toán

các kết cấu phức tạp nh phần cầu rẽ
nhánh, phần khối dầm trên đỉnh trụ hoặc
phần cục bộ neo đầu dầm .v.v. Khi áp dụng
mô hình này, thông thờng sử dụng phần tử
lăng trụ tam giác (4 mặt) hoặc lăng trụ tứ
giác (6 mặt). Mô hình tính toán kết cấu đợc
thể hiện dới dạng tập hợp các khối phần tử
trong không gian, đợc liên kết với nhau tại
các điểm nút của các khối phần tử này (hình
3).
Trình tự tính toán kết cấu bằng mô hình
dạng khối phần tử có thể chia thành 2 bớc
sau:
- mô tả sơ đồ kết cấu cần tính toán,
chia ra các phần tử, đánh số các điểm nút
và các khối phần tử, lựa chọn trục của hệ
tọa độ cục bộ và hệ tọa độ chung. Sau đó
tiến hành tính toán chuyển vị của các khối
phần tử theo hệ tọa độ cục bộ và hệ tọa độ
chung;
- tính toán nội lực, chuyển vị và ứng
suất tại các điểm nút của các khối phần tử,
thể hiện kết quả này dới dạng biểu đồ và
số.
4. Ví dụ tính toán cầu cong áp
dụng phơng pháp PTHH
Trong ví dụ dới đây, xem xét 1 kết cầu
dầm bản BTCT DƯL dầm cong liên tục mặt
bằng, bán kính cong của dầm R = 60m.
Dầm bản đợc bố trí trên các trụ cột với

đờng kính D = 1,25m (hình 4). Trên hình
này, sơ đồ tính toán của kết cấu nhịp cầu
cong đợc mô hình dới dạng tập hợp các
phần tử trong không gian. Kết cấu 5 nhịp
dầm bản có sơ đồ 30+3x35+30m, chiều cao
dầm h = 1,45m, chiều rộng cầu  = 12m.
Kết cấu nhịp đợc liên kết ngàm với trụ P3
và P4, trên trụ trụ P2 và P5 đợc đặt 1 gối
cầu tại giữa nhịp, còn tại mố A1 và A2 đặt 2
gối. Trên các trụ bố trí các khối dầm đặc,
còn tại vị trí phía ngoài các trụ, dầm đợc
khoét rỗng tạo lỗ để tiết kiệm vật liệu.
a)

b)
Ts-int. Ts-out.Ts
Bs
Bs-int.
Bs-out.
1234 5678
910 1112
Bs
910 1112
567 81234
Bs-out.Bs-int.
Ts Ts-out.Ts-int.

Hình 4. Mô hình tính toán kết cấu nhịp cầu cong
TVTK * số 4 - 2007
51

www.cauduongonline.com.vn


Cầu Hầm


Kết cấu nhịp dầm bản và trụ cột đợc
mô hình bằng các khối lăng trụ tam giác
hoặc lăng trụ tứ giác, các khối này đợc liên
kết với nhau tại các điểm nút (hình 4). Số
lợng phần tử trên nhịp 1, 5 là 14x28 = 392,
trên nhịp 2, 3, 4 là 13x28 = 364 phần tử. Trụ
P2, P3, P4, P5 đợc mô hình bằng 8 x 4 =
32 phần tử tại trụ, và 8 phần tử gối. Tổng
cộng toàn cầu là 2376 phần tử.
Tính toán và thiết kế kết cấu nhịp dầm
bản dới tác động của tải trọng bản thân
của kết cấu và hoạt tải, phù hợp với tiêu
chuẩn thiết kế cầu hiện hành 22TCN 272-05
[7]. Trên hình 5 thể hiện sơ đồ bố trí hoạt tải
gồm xe 3 trục HL-93 với tải trọng mỗi trục là
145 kN và tải trong rải đều tơng đơng 9,3
N/mm
2
theo phơng ngang cầu.
a)
145 145 145
4.3 4.3 9.0
9.3 /

b)
500
55002600
3500
1800
500
500
e = 3250
HL - 93: P = 145 / 2 = 72,5 kN
P (kN)
q = 9,3 N/ mm
P (kN)
B = 12000
1800
P (kN) P (kN)
500
2600
3500
e = 250

Hình 5. Sơ đồ bố trí hoạt tải:
a xe HL-93 và tải trọng rải đều tơng đơng,
b - bố trí hoạt tải theo phơng ngang cầu



a)

b)

Hình 6. Bố trí cốt thép CĐC trên mặt cắt ngang
của kết cấu nhịp dầm bản cong:
a - tại vị trí giữa nhịp, b tại vị trí trên gối
Bê tông của kết cấu nhịp dùng loại C-
35, còn cáp cờng độ cao dùng loại 12 tao
bó xoắn 7 sợi 15.2mm (6-12) với lực kéo F
= 75% [Fp]. Sơ đồ bố trí cốt thép CĐC trên
mặt cắt ngang của kết cấu nhịp cầu cong
đợc thể hiện trên hình 5: tại giữa nhịp 3 bố
trí 24 bó cáp CĐC, tại nhịp 2 và 4 là bố trí 20
bó, còn tại nhịp 1 và 5 bố trí 16 bó cáp.
a)

b)

Hình 6. Biểu đồ bao ứng suất tại thớ trên (a) và
thớ dới (b) trên mặt cắt ngang của kết cấu nhịp
cầu cong (dạng duỗi thẳng)
TVTK * số 4 - 2007
52
www.cauduongonline.com.vn


Cầu Hầm


a)

b)

Hình 7. Biểu đồ ứng suất chủ (a) và ứng suất
tiếp (b) tại các điểm thớ trên và thớ dới
của mặt cắt ngang kết cấu nhịp
Trong phạm vi tiến hành nghiên cứu,
tác giả sử dụng chơng trình tính toán kết
cấu chuyên dụng, trong đó phơng pháp
tính dựa trên phơng pháp phần tử hữu hạn,
cho phép tính toán nội lực và ứng suất
không những theo phơng dọc cầu, mà còn
theo các điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang kết
cấu nhịp. Kết quả tính toán nội lực và ứng
suất của kết cấu nhịp đợc thể hiện dới
dạng số hoặc biểu đồ. Theo tiêu chuẩn thiết
kế cầu 22TCN 272-05 kết quả nhận đợc sẽ
phải nhỏ hơn giới hạn cho phép (đợc quy
định và tính toán theo quýy trình) [7].
Trên hình 6 thể hiện thể hiện biểu đồ
bao ứng suất tại thớ trên và thớ dới trên
mặt cắt ngang của kết cấu nhịp cầu cong
(dạng duỗi thẳng), còn trên hình 7 biểu đồ
ứng suất chủ và ứng suất tiếp tại các điểm
trên thớ trên và thớ dới của kết cấu nhịp.
5. Kết luận
Dựa vào việc áp dụng phơng pháp
PTHH khi thiết kế tính toán các công trình
cầu, đặc biệt là các cầu có kết cấu phức tạp,
tác giả đa ra một vài kết luận sau:
1. Hiện nay, phơng pháp PTHH là

phơng pháp rất hiệu quả, dùng để nghiên
cứu và tính toán các kết cấu cầu phức tạp,
trong đó có cầu cong, cầu rẽ nhánh, cũng
nh các khu vực cục bộ của kết cấu cầu.
2. Khi áp dụng phơng pháp PTHH để
tính toán các kết cấu cầu, hợp lý khi áp
dụng mô hình dạng thanh phần tử và mô
hình dạng khối phần tử trong không gian.
Thông thờng, khi dùng để tính toán các kết
cấu chung, tổng thể thì áp dụng mô hình
dạng thanh phần tử, còn khi dùng để tính
toán các kết cấu cục bộ thì áp dụng mô hình
dạng khối phần tử.
3. Phơng pháp PTHH cho phép tính
toán nội lực, ứng suất và chuyển vị không
những theo phơng dọc cầu, mà còn theo
các điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang kết cấu
nhịp. Việc áp dụng phơng pháp còn cho
phép tính toán các dạng kết cấu khác nhau
khi xét đến giai đoạn làm việc khác nhau
của vật liệu khi chịu các loại tải trọng khác
nhau.
Tài liệu tham khảo

1. Bathe K. L. Finite Element Procedure. New
Jersey: Prentice-Hall, 1996, 1037 p.
2. Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., Elsevier.
Finite Element Method Volume 1 - The Basis.
McGraw-Hill, 2000, 665 p.
3. . ., ..

. .: ,
1992, 256 .
4. .., ..

. .: , 1988, 447 .
5. . ., . .

. .: , 2002,
597 .
6. Barker R. M., Puckett J. A. Design of highway
bridges. American: John Wiley & Son, 1997,
1169 pages.
7. Tiêu chuẩn thiết kế cầu 22TCN272-05. Việt
Nam, 2005.
TVTK * số 4 - 2007
53
www.cauduongonline.com.vn