Luận văn thạc sĩ điểm bất động chung đối với các ánh xạ dãn trong không gian b metric và không gian b metric nón

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN ĐỨC THẮNG

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI
CÁC ÁNH XẠ DÃN TRONG KHÔNG GIAN
b-METRIC VÀ KHƠNG GIAN b-METRIC NĨN
Ngành: Tốn giải tích
Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN - 2020

c


LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Các tài liệu trong luận văn là trung
thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận
văn Thạc sĩ của các tác giả khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này
đã được cảm ơn và các thơng tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ
nguồn gốc.
Tác giả

Nguyễn Đức Thắng

i

c


LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này
tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong
quá trình học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phịng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Tốn, các thầy cơ giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong q trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Bản luận văn chắc chắn sẽ khơng tránh khỏi những khiếm khuyết vì
vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cơ giáo và các bạn
học viên để luận văn này được hồn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tơi
trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 04 năm 2020
Tác giả

ii

c

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

i

LỜI CẢM ƠN

ii

MỤC LỤC

iii

MỞ ĐẦU

1

Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3

1.1. Không gian b

metric

3

1.2. Điều kiện T

thác triển

7

1.3. Khơng gian b

metric nón

9

Chƣơng 2. ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ DÃN
TRONG KHÔNG GIAN b

METRIC VÀ KHÔNG GIAN b

METRIC NÓN

2.1. Điểm bất động chung đối với ánh xạ dãn trong không gian
b metric
2.2. Điểm bất động đối với điều kiện T thác triển trong không gian
b metric
2.3. Điểm bất động chung đối với ánh xạ dãn trong khơng gian
b metric nón
2.4. Điểm bất động đối với điều kiện T thác triển cho ánh xạ dãn
trong không gian b metric nón

16

16
22

25
32

KẾT LUẬN

36

TÀI LIỆU THAM KHẢO

37

iii

c


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Năm 1922, Banach đã chứng minh một định lý nổi tiếng về điểm bất
động trong không gian metric, gọi là nguyên lý ánh xạ co Banach, từ đó đã thiết
lập sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tốn tử Tx  x . Đã có
nhiều mở rộng của nguyên lý ánh xạ co Banach về điểm bất động. Sự mở rộng
được thiết lập cho nhiều loại ánh xạ khác nhau trên các không gian kiểu metric.
Năm 2007, Huang và Zhang đã giới thiệu khơng gian metric nón và chứng minh
định lí điểm bất động đối với ánh xạ co trong không gian đó. Năm 2012, Stanic,
Cvetkovic, Simic và Dimitrijevic đã đạt được một số kết quả về điểm bất động
chung dưới điều kiện co kiểu Ciric trên khơng gian metric nón, Tương tự, năm
1989, Bakhtin đã giới thiệu không gian b  metric, là sự mở rộng khác của
không gian metric. Năm 1993, Czerwik đã mở rộng định lý điểm bất động
Banach trong không gian b  metric. Không gian b  metric nón là sự mở rộng

của cả khơng gian metric nón và khơng gian b  metric.
Việc nghiên cứu về ánh xạ giãn cũng là lĩnh vực nghiên cứu rất thú vị
trong lý thuyết điểm bất động. Điều này đã được phát triển vào năm 1984 từ
cơng trình của Wang, Li, Gao và Iseki bằng cách giới thiệu các khái niệm về
ánh xạ dãn trong không gian metric đầy đủ. Daffer và Kaneko sử dụng hai tự
ánh xạ trong không gian metric đầy đủ, để tổng quát kết quả của Wang và các
cộng sự. Kể từ đó, các định lý điểm bất động và điểm bất động chung đã được
nhiều tác giả chứng minh cho ánh xạ giãn trong các không gian khác nhau,
chẳng hạn: không gian G-metric, không gian d  metric, không gian b  metric,
không gian b  metric riêng, khơng gian metric nón, khơng gian b  metric
nón, … Một số kết quả về khơng gian b  metric nón sử dụng ánh xạ kiểu giãn
đã được thiết lập bởi Huang, Zhu và Xi-Wen vào năm 2012. Gần đây, năm
2016, P.K Verma đã thiết lập một số kết quả về điểm bất động chung đối với

1

c


các ánh xạ giãn trong không gian b  metric nón.
Theo hướng nghiên cứu này, chúng tơi chọn đề tài: “Điểm bất động chung
đối với các ánh xạ giãn trong không gian b  metric và không gian b  metric

nón”.
Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học
trong và ngồi nước quan tâm nghiên cứu.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày một số kết quả về Điểm
bất động chung đối với các ánh xạ giãn trong không gian b  metric và khơng
gian b  metric nón.

3. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của giải tích hàm.
4. Bố cục luận văn
Nội dung đề tài được viết dựa trên các tài liệu [8] và [9] gồm 37 trang,
trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài
liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của không
gian b  metric và không gian b  metric nón.
Chương 2: Là nội dung chính của đề tài, trình bày một số kết quả về
điểm bất động chung đối với các ánh xạ giãn trong không gian b  metric và

khơng gian b  metric nón.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

2

c


CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian b  metric
Định nghĩa 1.1.1. Cho E là một tập khác rỗng và k  1 là số thực cho trước.
Hàm số  : E  E  [0, ) được gọi là một b  metric nếu với mọi
u, v, w  E các điều kiện sau được thỏa mãn:
a ) (u, v )  0  u  v ;
b ) (u, v )  (v, u ) ;

c ) (u, v )  k (u, w )  (w, v ) .

Bộ ba (E , , k ) được gọi là không gian b  metric với hệ số k  1 .
Ví dụ 1.1.2. Mỗi khơng gian metric là không gian b  metric với k  1 , nhưng
ngược lại khơng đúng. Ví dụ lấy E   và  : E  E  [0, ) là ánh xạ xác
định bởi
(u, v )  | u  v |2 với mọi u, v  E .

Khi đó (E , , k ) là không gian b  metric với hệ số k  2 . Nhưng (E , ) khơng
phải là khơng gian metric.
Ví dụ 1.1.3. Cho E  {  1, 0,1} và d : E  E  [0, ) là ánh xạ xác định bởi
(u, v )  (v, u ) với mọi u, v  E ,

(u, u)  0, u  E ,

(1, 0)  3, (1,1)  (0,1)  1 .
Khi đó (E, , k ) là khơng gian b  metric với k 

3
, nhưng khơng là khơng
2

gian metric vì bất đẳng thức tam giác không thỏa mãn. Thật vậy, ta có
(1,1)  (1, 0)  1  1  2  3  (1, 0) .

3

c


Định nghĩa 1.1.4. Cho (E , ) là không gian b  metric, u  E và {un } là
một dãy trong E . Khi đó

(i ) {un } hội tụ đến u khi và chỉ khi lim (un , u)  0 .
n 

Kí hiệu lim un  u hoặc un  u khi n   .
n 

(ii ) {un } là dãy Cauchy khi và chỉ khi lim (un , um )  0 .
n ,m 

(iii ) (E , ) là đầy đủ khi và chỉ khi mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ.

Định nghĩa 1.1.5.Cho (E , ) là không gian b  metric và ánh xạ T : E  E .
Ta nói rằng T liên tục tại u0  E nếu với mọi dãy {un } trong E , un  u0 khi

n   thì Tun  Tu0 khi n   . Nếu T liên tục tại mỗi điểm u0  E thì
ta nói T liên tục trên E .
Mệnh đề 1.1.6. Cho (E, , k ) là không gian b  metric, giả sử {un } và {vn }
là các dãy hội tụ đến u, v  E tương ứng. Khi đó

1
(u, v )  lim inf (un , vn )  lim sup (un , vn )  k 2(u, v ) .
2
n 
n 
k
Đặc biệt, nếu u  v thì lim (un , vn )  0 . Ngoài ra, với mỗi w  E , ta có
n 

1
(u, w )  lim inf (un , w )  lim sup (un , w )  k (u, w ) .

n 
n 
k

Bổ đề 1.1.7. Cho (E, , k ) là không gian b  metric với hệ số k và {un } là dãy
trong E sao cho un  u và un  v . Khi đó u  v .
Chứng minh. Giả sử (u, v )    0 . Khi đó theo giả thiết un  u và un  v
nên n 0 sao cho với mọi n  n 0 thì (un , u ) 



và (un , v ) 
. Suy ra
2k
2k



0  (u, v )  k ((u, un )  (un , v ))  k     
 2k 2k 

4

c


với mọi n  n 0 . Điều này mâu thuẫn với (u, v )    0 .
Cho (E, , k ) là không gian b  metric với hệ số k

Bổ đề 1.1.8.

và

{uk }kn0  E . Khi đó
(u n , u 0 )  k (u 0 , u 1 )    k n 1(u n 2 , u n 1 )  k n 1(u n 1, u n ) .

Chứng minh. Ta có
(un , u 0 )  k [ (u 0, u1 )  (u1, u 2 )]  k (u 0, u1 )  k (u1, un )

 k (u0, u1 )  k 2[(u1, u2 )  (u2 , un )]

 k (u0, u1 )  k 2(u1, u2 )  k 2(u2, un )
…

 k (u0, u1 )    k n 1(un 2, un 1 )  k n 1(un 1, un ) .
Bổ đề 1.1.9. Cho {un } là dãy trong không gian b  metric (E , , k ) với hệ số
k  1 sao cho
 (u n , u n  1 )   (u n 1, u n )

với n   và 0    1 / k . Khi đó {un } là dãy Cauchy trong (E , , k ) .
Chứng minh. Cho m, n   và m  n . Áp dụng bất đẳng thức kiểu tam giác
vào bộ ba {um , um 1, un },{um 1, um 2, un },...,{un 2, un 1, un } ta có

(um , un )  k ((um , um 1 )  (um 1, un ))

 k (um , um 1 )  k 2 ((m 1, um 2 )  (um 2, un ))
 ...  k (um , um 1)  k 2(um 1, um 2 )  ...
k n m 1((un 2, un 1 )  (un 1, un ))

 k (um , um 1 )  k 2(um 1, um 2 )  ...

k n m 1(un 2, un 1 )  k n m (un 1, un ) .
Bây giờ từ  (u n , u n  1 )   (u n 1, u n ) và k  1 suy ra

5

c


(um , un )  (k m  k 2m 1  ...  k n mn 1 )(u0, u1 )

 km (1  (k)  ...  (k)n m 1 )(u0, u1 )
km

(u0 , u1 )  0 khi m   .
1  k


Vậy {un } là dãy Cauchy.

Năm 2016, Daheriya, Likhitker và Ughade ([2]) đã chứng minh định lý
sau đây về điểm bất động đối với một ánh xạ với điều kiện kiểu giãn cho không
gian b  metric:
Định lý 1.1.10 ([2]) Cho (E , , k ) là một không gian b  metric đầy đủ với hệ
số k  1 và T là ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện:
 Tu,Tv  

(u,Tu ) 1  (v,Tv )
1  (u, v )

 (u, v ) ,

với mọi u, v  E , u  v ; trong đó ,   0 là các hằng số thực với
k     k và   1 . Khi đó T có một điểm bất động trong E .

Kết quả sau đây đã được chứng minh bởi Mohanta (Th.3.3 [5]) đối với
ánh xạ liên tục trong không gian b  metric:
Định lý 1.1.11. [5] Cho (E , , k ) là không gian b  metric với hệ số k  1 và

T : E  E là ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện sau:
(Tu,Tv )  .max (u,Tv ), (v,Tu ) 

.(u,Tv ) 1  (v,Tv )
1  (u, v )

 (u, v )

với u, v  E , u  v ,trong đó , ,   0 , k     (1  )k  k 2 ,
  1   . Khi đó T có một điểm bất động trong E .

Định nghĩa 1.1.12. Cho S và T là các ánh xạ từ không gian metric (E , ) vào
chính nó. Cặp ánh xạ (S ,T ) được gọi là tương thích nếu
lim n  (STun ,TSun )  0 , với mọi dãy {un }  E sao cho

6

c


lim n  Sun  lim n  Tun  t với t nào đó thuộc E .

Định nghĩa 1.1.13. Cho S và T là các ánh xạ từ không gian metric (E , ) vào
chính nó. Nếu v  Su  Tu với u  E thì u được gọi là điểm trùng của S và

T , v được gọi là giá trị trùng của S và T .
Định nghĩa 1.1.14. Cho (E , ) là không gian metric. Cặp ánh xạ S ,T : E  E
gọi là tương thích yếu nếu chúng giao hốn tại những điểm trùng, tức là nếu
Su  Tu với u  E thì STu  TSu .

Mệnh đề 1.1.15. Cho (E ,  ) là không gian metric và S ,T : E  E là các ánh
xạ tương thích yếu. Nếu S và T có một điểm trùng duy nhất, tức là
v  Su  Tu thì v là điểm bất động chung duy nhất của S và T .

1.2. Điều kiện T  thác triển
Ozturk và Kaplan [6] đã chỉ ra rằng tồn tại ánh xạ S : E  E không
thỏa mãn điều kiện co, nhưng nếu một ánh xạ T : E  E được chọn phù hợp
thì nó xảy ra “điều kiện co”, cịn được gọi là điều kiện T  co. Ở đây, lưu ý
rằng S có một điểm bất động. Điều này cho thấy sự quan trọng của điều kiện
T  co trong lý thuyết điểm bất động. Điều kiện T  co được định nghĩa như

sau:
Định nghĩa 1.2.1. Cho (E , ) là một không gian metric và T : E  E  F .
Khi đó T được gọi là   co Banach nếu với u, v  E ,   (0,1) sao cho
(Tu,Tv )  (u, v ) .

Định nghĩa 1.2.2. Cho S và T là hai ánh xạ từ khơng gian metric (E ,  ) vào
chính nó. Ánh xạ S được gọi là T  co nếu tồn tại số k  (0,1) sao cho
(TSu,TSv )  k (Tu,Tv ) , với mọi u, v  E .

Ví dụ 1.2.3. Cho E  [1,  ] với metric cảm sinh trong  và  : E  E  
là hàm số xác định bởi (u, v )  | u  v | . Lấy S : E  E là ánh xạ xác định

bởi Su  8 / u , với mọi u  E . Khi đó S khơng thỏa mãn điều kiện   co

7

c


Banach (Su, Sv )  (u, v ),   1 , vì

(Su, Sv) 

8

u



8

v



8(u, v)
uv( u  v )

là co  xy





x  y  8.

Bây giờ, lấy ánh xạ T : E  E   xác định bởi Tu  1  ln u , với u  E
. Khi đó S là một ánh xạ T  co, thỏa mãn:

(TSu,TSv )  1  ln Su  1  ln Sv
 ln

8

 ln

8

u
v
1
1
 ln u  ln v   Tu,Tv 
2
2

Như vậy, S là một ánh xạ T  co, nhưng nó khơng phải là ánh xạ co. Ngoài ra
u  4 là điểm bất động chung duy nhất trong E .

Lấy ý tưởng bởi Ozturk và Kaplan [6], chúng ta định nghĩa khái niệm T 
thác triển trong không gian b  metric như sau:
Định nghĩa 1.2.3. Cho (E , , k ) là không gian b  metric với hằng số k  1 và

ánh xạ S : E  E . Ánh xạ S được gọi là thỏa mãn T  thác triển trong không
gian b  metric, đối với ánh xạ đơn ánh và liên tục T : E  E , nếu bất đẳng
thức: (Tu,Tv )  (TSu,TSv ) thoả mãn với mọi u, v  E , u  v , trong đó
k.

Sau đây là ví dụ về ánh xạ T  thác triển trong không gian b  metric:
Ví dụ 1.2.4. Cho E  [1, ) và  : E  E   là ánh xạ xác định bởi

(u, v )  | u  v |2, u, v  E .
Khi đó (E , , k ) là không gian b  metric với hệ số k  2 . Lấy ánh xạ
S : E  E xác định bởi Su  2 / u . Khi đó S là ánh xạ co. Thật vậy, với

u  v ta có

8

c


(Su, Sv ) 



4 u v

2

uv

uv(



4

uv(



2

u  v)

với mọi u, v  E , trong đó  

4 u v



u  v)

2

.(u, v )  (u, v )  (u, v )

4

uv(

2



u  v)

u, v  E , u  v . Do đó S là co.

2

. Ở đây chú ý rằng   1 ,

Bây giờ lấy T : E  E là ánh xạ xác định bởi Tu  1  4 ln u . Khi đó ta có
(Tu,Tv )  16 ln u  ln v

2

2

và (TSu,TSv )  4 ln u  ln v .

Do đó
 Tu,Tv   4. TSu,TSv   . TSu,TSv   k  TSu,TSv  .

Ở đây   4  k  2 .
Như vậy, S là T  thác triển trong không gian b  metric (E , , k ) . Chú ý rằng
1
3

u  (4) là một điểm bất động của S .

1.3. Không gian b  metric nón

Định nghĩa 1.3.1 Cho E là tập khác rỗng và  là quan hệ được xác định trong
nó. Khi đó (E , ) được gọi là tập sắp thứ tự bộ phận nếu
i )  là phản xạ, tức là u  u với mọi u  E ,

ii )  là phản đối xứng, tức là u  v và v  u  u  v , với mọi u, v  E .

iii )  có tính chất bắc cầu, tức là u  v và v  w  u  w , u, v, w  E .
Định nghĩa 1.3.2. Cho E là khơng gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ và C là
tập con khác rỗng của E . Khi đó, C được gọi là một nón khi và chỉ khi
i ) C đóng và C  {}, ở đó  là phần tử không của E .

9

c


ii ) u, v  C và a, b  0  au  bv  C ,

iii ) C  (C )  .

Sử dụng định nghĩa trên của nón C , ta định nghĩa quan hệ thứ tự bộ phận 
trong C thỏa mãn:

i) u  v  v  u  C ,
ii ) u  v  u  v và u  v ;

iii ) u  v tức là v  u  C với mọi u, v  C .

Nón C được gọi là chuẩn tắc, nếu K  0 sao cho:

iv )   u  v || u ||  K || v || với mọi u, v  C .

Số thực dương bé nhất thỏa mãn iv ) gọi là hằng số chuẩn tắc của C .
Nón C gọi là chính qui nếu mỗi dãy tăng và bị chặn trên đều hội tụ. Tương
đương, nón C gọi là chính qui nếu mỗi dãy giảm và bị chặn dưới đều hội tụ.
Mỗi nón chính qui đều chuẩn tắc, nhưng tồn tại nón chuẩn tắc mà khơng chính
qui.
Định nghĩa 1.3.3. Cho E là tập khác rỗng và  : E  E  F là ánh xạ
thỏa mãn các điều kiện sau
i )   (u, v ) với u, v  E và (u, v )    u  v, u, v  E ;
ii ) (u, v )  (v, u ), u, v  E ;
iii ) (u, v )  v(u, w )  (w, v ), u, v, w  E .

Khi đó (E ,  ) được gọi là khơng gian metric nón.
Định nghĩa 1.3.4. Giả sử E là tập khác rỗng và k  1 là hằng số. Cho

 : E  E  F là một ánh xạ. Khi đó bộ ba (E , , k ) (hay gọn là (E , ) ) được
gọi là khơng gian b  metric nón với hệ số k nếu:
i )   (u, v ), u, v  E và (x , y )    x  y với x , y  X ,
ii ) (u, v )  (v, u ), u, v  E ,

10

c


iii ) (u, v )  k[(u, w )  (w, v )] với u, v, w  E .

Chú ý rằng khơng gian metric nón là khơng gian b  metric nón (với k  1 ),
nhưng ngược lại khơng đúng. Xét ví dụ sau:
Ví dụ 1.3.5. Lấy E  {1,2, 3, 4}, F   2, C  (u, v )  F : x  0, y  0 .
Xét ánh xạ  : E  E  F xác định bởi
(u, v )  (| u  v |1,| u  v |1 ) nếu u  v ,

(u, v )   nếu u  v .

Khi đó (E ,  ) là một khơng gian b  metric nón có hệ số k  6 / 5  1 . Nhưng
bất đẳng thức tam giác không thỏa mãn.
1 1
1 1
5 5
(1,1)  (1, 2)  (1, 4)  (4, 2)  ( , )  ( , )  ( , ) ,
3 3
2 2
6 6

1 1
1 1
5 5
(1, 1)  (3, 4)  (3,1)  (1, 4)  ( , )  ( , )  ( , ) .
2 2
3 3
6 6

Do đó (E ,  ) khơng là khơng gian metric nón.

Ví dụ 1.3.6. Cho E là tập hợp các hàm đo được Lebesgue trên [0,1] sao cho



1
0

| s(u ) |2 du   . Xét ánh xạ  : E  E  [0,  ] xác định bởi
(s, t ) 



1
0

| s(u )  t(u ) |2 du

Khi đó,  thỏa mãn các tính chất sau:
i ) (s, t )  0  s  t ,

ii ) (s, t )  (t, s ) ,
iii ) (s, t )  2[(s, r )  (r, t )], r, s, t  E .

Vì vậy, (E ,  ) là khơng gian b  metric nón có hằng số k  2 .
Ví dụ 1.3.7. Cho E   , F  2 , C  {(u, v )  F : u, v  0}   2 và ánh
xạ  : E  E  F xác định bởi

11

c

(u, v )  (| u  v |,  | u  v |) ,

trong đó   0 là hằng số. Khi đó (E ,  ) là một khơng gian metric nón.
Ví dụ 1.3.8. Cho B  {ei : i  1, 2,..., n } là cơ sở trực giao của n với tích
trong (.,.) và p  0 . Xét không gian



E p  [u ] | ui : [0,1]   n với



1

0



| (u(x ),e j ) |p dx  , j  1,2,..., n ,

trong đó [u ] là lớp tương đương của u đối với quan hệ của các hàm bằng nhau
hầu khắp nơi. Lấy F  Rn và





C B  v  n : (v,e j )  0, j  1,2,... là một nón đặc.
Định nghĩa
n

(u, v )   ei  | ((u  v )(x ), ei ) |p dx , u, v  E p .
i 1

1

0

Khi đó (E p , ) là khơng gian metric nón với k  2p1 . Nếu p  1 thì (E p , )
là khơng gian b  metric nón.
Định nghĩa 1.3.9. Cho (E ,  ) là không gian b  metric nón, u  E và {un } là
một dãy trong E . Khi đó
i ) {un } hội tụ đến u nếu với mỗi c  E ,   c , tồn tại N sao cho
(un , u )  c với mọi n  N . Ký hiệu lim n



un  u hoặc un  u khi

n  .
ii ) {un } là một dãy Cauchy nếu với mỗi c  E với   c , tồn tại một số tự

nhiên N sao cho (un , um )  c với mọi n, m  N .
iii ) (E , d ) là một không gian b  metric nón đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy trong

E đều hội tụ.
Bổ đề 1.3.10. Cho C là một nón và {un } là một dãy trong E . Nếu a  intC
và   un   khi n   , thì N sao cho với mọi n  N , ta có u n  a .
12

c


Bổ đề 1.3.11. Cho u, v, w  E , nếu u  v và v  w , thì u  w .

Bổ đề 1.3.12. Cho C là một nón và   u  a với a  intC . Khi đó u   .

Bổ đề 1.3.13. Cho C là một nón. Nếu u  C và u  u với một số 0    1
nào đó, thì u   .

Bổ đề 1.3.14. Cho C là một nón và a  b  c với mỗi c  intC . Khi đó a  b

Định nghĩa 1.3.15. Cho (E , ) là một không gian metric và T : E  E  F .
Khi đó T được gọi là ánh xạ dãn nếu với mọi u, v  E , tồn tại   1 , sao cho
(Tu,Tv )  (u, v ) .

Tương tự, trong khơng gian b  metric ta có khái niệm T  thác triển như
sau:
Định nghĩa 1.3.16. Cho S : E  E là tự ánh xạ của khơng gian b  metric
nón (E, d ) với hằng số k  1 . Ánh xạ S được gọi là thỏa mãn T  thác triển
đối với ánh xạ đơn ánh liên tục T : E  E , nếu bất đẳng thức sau thỏa mãn:
(Tu,Tv )  .(TSu,TSv ) ,

với mọi u, v  E , u  v , ở đây   k .
Ví dụ 1.3.17. Cho E  [0, ] với metric cảm sinh trong  ,  : E  E  
là ánh xạ xác định bởi (u, v)  | u  v | với mọi u, v  E và S : E  E là
ánh xạ xác định bởi Su 

4

u

với mọi u  E . Ta sẽ chỉ ra rằng S không thỏa

mãn điều kiện (Su, Sv)  (u, v) , ở đó   1 . Ta có
(Su, Sv ) 

4

u



4

v



4 (u, v )

uv ( u  v )



4d (u, v )

[2(uv )]3/4

(Su, Sv )  2(u, v) vì (uv )3/4  1 với mọi u, v  E , u  v .

Như vậy S không thỏa mãn điều kiện thác triển với   2 . Mặt khác, lấy ánh
xạ T : E  E   xác định bởi Tu  1  4 ln u , thì ta có

(TSu,TSv )  | 1  4 ln Su  1  ln Sv |
13

c


 4 ln

4

u

 ln

4

v



1
1
| 4 ln u  4 ln v |  (Tu,Tv ) .
2
2

Suy ra (Tu,Tv)  2(TSu,TSv ) . Do đó S là T  thác triển với   2 . Đồng

thời u  2 là điểm bất động chung duy nhất trong E .
Năm 2012, Huang và Wen [3], sử dụng điều kiện thác triển, đã chứng
minh các định lí sau:
Định lí 1.3.18. Cho (E, ) là khơng gian metric nón đầy đủ và T : E  E là
toàn ánh. Giả sử rằng tồn tại   1 sao cho

(Tu,Tv )  (u, v ) với mọi u, v  E .

Khi đó T có một điểm bất động duy nhất.
Định lí 1.3.19. Cho (E, ) là khơng gian metric nón đầy đủ và T : E  E là
toàn ánh. Giả sử rằng tồn tại 1, 2 , 3  0 với 1  2  3  1 thỏa mãn điều
kiện:
(Tu,Tv )  1(u, v )  2(u,Tu )  3(v,Tv )

với mọi u, v  E , u  v . Khi đó T có một điểm bất động duy nhất.
Bây giờ, ta sẽ trình bày việc tổng qt hóa kết quả trên cho hai tự ánh xạ.
Trước tiên ta chứng minh Bổ đề sau sẽ sử dụng trong kết quả chính.
Bổ đề 1.3.20. Cho (E, ) là khơng gian b  metric nón và {un } là một dãy
trong E . Nếu tồn tại số   (0,1 / k ) , ở đó k  1 sao cho

(un 1, un )  (un , un 1 ) với n  1, 2,...
thì {un } là dãy Cauchy trong E .
Chứng minh. Bằng qui nạp ta có

(un 1, un )  (un , un 1 )  2(un 1, un 2 )  ...  n (u1, u0 ) .
Từ đó với các số nguyên m  1, p  1 , suy ra

(um  p , um )  k[(um p , um  p1 )  (um  p 1, um )]

14

c


 k (um p , um  p1 )  k (um  p 1, um )
 k (um  p , um  p 1 )  k 2[(um  p 1, um  p 2 )  (um  p 2, um )]

 k (um  p , um  p 1 )  k 2(um  p 1, um  p 2 )  k 2(um  p 2, um )
 k (um  p , um  p 1 )  k 2(um  p 1, um  p 2 )  k 3d (um  p 2 , um  p 3 )  ...

k p 1(um 2, um 1 )  k p 1(um 1, um )
 k m  p 1(u1, u 0 )  k 2m  p 2(u1, u0 ) 

...  k p 1m 1(u1, u0 )  k p 1m (u1, u 0 )

 [km p 1  k 2m  p2  ...  k p1m 1 ](u1, u0 )  k p1m (u1, u 0 )





k m p

1  (k / )  ...  (k / )p 2 (u1, u0 )  k p 1m (u1, u0 )

k m  p 1  (k / )p 1
 
(u1, u 0 )  k p 1m (u1, u 0 )

1  (k / )



k / 

p 1

 k m p

k 

1

(u1, u0 )  k p 1m (u1, u0 )

k
 m 1(1  k 1 p p 1 )(u1, u 0 )  k p 1 m (u1, u 0 )
k 
k p m 1

(u1, u 0 )  k p 1 m (u1, u 0 )   khi m   với  tùy ý.
k 



p

Giả sử   c đã cho, khi đó theo Bổ đề 1.3.10 tồn tại m 0   sao cho
k p  m 1
(u1, u 0 )  k p 1 m (u1, u 0 )  c với mỗi m  m 0 .
k 

Như vậy
k p m 1
(um  p , um ) 
(u1, u 0 )  k p 1 m (u1, u 0 )  c
k 

với mọi m  m 0 và mỗi p   bất kì. Do đó theo Bổ đề 1.3.11, {un } là dãy
Cauchy trong (E, ) . Bổ đề được chứng minh.

15

c


CHƯƠNG 2

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ DÃN TRONG
KHÔNG GIAN b  METRIC VÀ KHÔNG GIAN b  METRIC NÓN
2.1. Điểm bất động chung đối với ánh xạ dãn trong không gian b  metric
Trước tiên, trong không gian metric, Daffer và Kaneko [1] đã chứng
minh kết quả về điểm bất động chung sau đây:
Định lý 2.1.1 [1]. Cho (E ,  ) là một không gian metric đầy đủ, S : E  E là
đơn ánh và T : E  E là toàn ánh, đồng thời tồn tại một số   1 sao cho
(Tu,Tv )  (Su, Sv ) , với mỗi u, v  E .

Khi đó S và T có một điểm bất động chung duy nhất .
Sử dụng khái niệm ánh xạ tương thích cho một cặp ánh xạ, Rhoades [7]
đã tổng quát hóa kết quả trên của Daffer và Kaneko, như sau:
Định lý 2.1.2 ([7]). Cho (E , ) là một không gian metric đầy đủ, S ,T : E  E

là các ánh xạ tương thích thỏa mãn điều kiện
(Tu,Tv )  (Su, Sv ) , với mỗi u, v  E ,

và S (E )  T (E ) trong đó T liên tục. Khi đó S và T có một điểm bất động
chung duy nhất.
Đối với khơng gian b  metric, kết quả sau là tổng quát hóa của Định lý
1.14 ([1]) cho một cặp ánh xạ đã làm yếu đi điều kiện về tính liên tục và tính
đầy đủ:
Định lý 2.1.3. Cho (E , , k ) là một không gian b  metric với hệ số k  1 và
S ,T : E  E là các ánh xạ thỏa mãn

i) S (E )  T (E )
ii) (Tu,Tv ) 

(Su,Tu )[1  (Sv,Tv )]
 (Su, Sv ) ,
1  (Su, Sv )

với mọi u, v  E , u  v ; ở đó   0 ,   1 và k     k .

16

c

(2.1)


Nếu một trong các không gian con S (E ) hoặc T (E ) là đầy đủ, thì S và T có
một điểm trùng. Hơn nữa, nếu cặp (S ,T ) là tương thích yếu, thì S và T có
một điểm bất động chung duy nhất trong E .

Chứng minh. Lấy u 0  E và chọn u1  E sao cho Su 0  Tu1 . Điều này là có
thể vì S (E )  T (E ) . Tiếp tục quá trình này, ta xây dựng được một dãy
{un }  E sao cho Sun 1  Tun , với mọi n  1, 2, 3, ... Để chỉ ra rằng {un }

là một dãy Cauchy, ta đặt u  un và v  un 1 trong điều kiện (1.1), ta có
 Sun 1, Sun    Tun ,Tun 1 





   Su , Su

 Sun ,Tun  1   Sun 1,Tun 1 
1   Sun ,Tun 1 



n

n 1

.

Suy ra
(Sun 1, Sun ) 

(Sun , Sun 1 )[1  (Sun 1, Sun )]
1  v(Sun , Sun 1 )

 (Sun , Sun 1 )

 (Sun , Sun 1 )  (Sun , Sun 1 ) .
Do đó
(1  )(Sun 1, Sun )  (Sun , Sun 1 ) .

Từ đó suy ra
(Sun , Sun 1 )  (Sun 1, Sun ) , trong đó  

1
.


Dễ thấy   (0,1 / k ) , vì k     k và   1 . Theo Bổ đề 1.3.13, {un } là
một dãy Cauchy. Mặt khác, bằng quy nạp, ta có

(Sun , Sun 1 )  n .(Su0, Su1 ) , với mọi n  0 .
Khi đó với m, n  N , m  n , theo (2.2) ta có
(Sun , Sum )  k  (Sun , Sun 1 )  (Sun 1, Sum )

17

c

(2.2)


 k (Sun , Sun 1 )  k 2(Sun 1, Sun 2 )  ...
 k m n 1  (Sum 2, Sum 1 )  (Sum 1, Sum )

 kn  k 2n 1  ...  k m n 1m 2  k m n 1m 1  (Su 0, Su1 )


 k n  k 2n 1  ...  k m n 1m 2  k m n m 1  (Su 0, Su1 )



 kn 1  (k)  (k)2  ...  (k)m n 2  (k)m n 1  (Su0, Su1 )


kn

.(Su 0, Su1 )  0 khi n, m   .
1  k

Vì vậy, {Sun } là dãy Cauchy trong S (E ) .
Bây giờ giả sử S (E ) là không gian con đầy đủ của E . Khi đó tồn tại
y  S (E )  T (E ) sao cho Sun  v và cả Tun  v . Trong trường hợp, T (E )

đầy đủ, điều này cũng xảy ra với v  T (E ) . Vậy {Sun } hội tụ đến v  T (E ) .
Bây giờ, lấy u  E sao cho Tu  v . Nếu Su  v , thì đặt u  un , v  u trong

(1.1) , ta có
(Sun 1,Tu )  (Tun ,Tu )



(Sun , Sun 1 ) 1  (Sun ,Tu)
1  (Sun , Su)

 (Sun , Su) .

Cho n   , ta được
0

(u, u ) 1  (Su, u )
1  (u, Su )

 (u, Su )  (u, Su ) ,

Từ đó, Su  Tu  v . Do đó, v là một điểm trùng của S và T .

Đối với tính duy nhất của điểm trùng, giả sử ngược lại tồn tại w  v là một
điểm trùng khác của S và T , tức là Sz  Tz  w với z  E nào đó. Khi đó
sử dụng điều kiện (1.1), ta có
(w, v )  (Tz,Tu ) 

(Sz,Tz ) 1  (Su,Tu )
1  (Sz , Su )

18

c

 (Sz , Su )


 (w, v )  (w , v ) ,

điều này là mâu thuẫn. Do đó w  v . Do đó, S và T có một điểm trùng duy

nhất trong E . Hơn nữa, nếu S và T là tương thích yếu, thì từ Mệnh đề 1.3.10,
S và T có một điểm bất động chung duy nhất trong E . Do đó v là một điểm

bất động chung duy nhất trong E . Định lí được chứng minh.



Chú ý 2.1.4. Nếu đặt S  I (ánh xạ đồng nhất) trong Định lý 2.1.3 ở trên, thì
ta sẽ nhận được kết quả chính của Mohanta (ĐL 3.1 [5]).
Định lý 2.1.5. Cho (E , , k ) là một không gian b  metric với hệ số k  1 và
S ,T : E  E là các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau đây:

i ) S (E )  T (E )
ii ) (Tu,Tv )  .max (Su,Tv ), (Sv,Tu ) 
(Su,Tu ) 1  (Sv,Tv )
1  (Su, Sv )

(2.3)

 (Su, Sv )

với mọi u, v  E , u  v , trong đó , ,   0 là các hằng số thực sao cho
k     (1  )k  k 2 và   (1  ).

iii) Một trong các không gian con S (E ) hoặc T (E ) là đầy đủ.
Nếu cặp (S ,T ) là tương thích yếu thì S và T có một điểm bất động chung duy
nhất trong E .
Chứng minh. Lấy u 0  E và chọn u1  E sao cho Su 0  Tu1 . Điều này là có
thể vì S (E )  T (E ) . Tiếp tục quá trình này, ta xây dựng được một dãy {un }
trong E sao cho Tun  Sun 1  vn , với mọi n  1,2, 3,... Để chỉ ra {vn } là

một dãy Cauchy, ta đặt u  un , v  un 1 trong điều kiện (2.3), ta có

(Tun ,Tun 1 )  .max{(Sun ,Tun 1 ), (Sun 1,Tun )}


(Sun ,Tun ) 1  (Sun 1,Tun 1 )
1  (Sun , Sun 1 )

19

c

 (Sun , Sun 1 ) .


Từ đó

(Sun 1, Sun )  .max{(Sun , Sun ), (Sun 1, Sun 1 )}


(Sun , Sun 1 ) 1  (Sun 1, Sun )
1  (Sun , Sun 1 )

 (Sun , Sun 1 ) .

Suy ra

(Sun 1, Sun )  k .max 0, (Sun 1, Sun )  (Sun , Sun 1 )

 (Sun , Sun 1 )  (Sun , Sun 1 ) .

Do đó
(Sun 1, Sun )  k  [(Sun 1, Sun )  (Sun , Sun 1 )]

 (Sun , Sun 1 )  (Sun , Sun 1 ) .
Điều này kéo theo
(1  k   ).(Sun 1, Sun )  (  k ).(Sun , Sun 1 ) ,

suy ra
(Sun , Sun 1 ) 

ở đây  

1  k  
.(Sun 1, Sun )  .(Sun 1, Sun ) ;
  k

1  k  
1
 , vì k     (1  )k  k 2 và   1   .
  k
k

Hiển nhiên   (0,1 / k ) . Vì thế
(Sun , Sun 1 )  (Sun 1, Sun ) , với mọi n  1, 2, 3... ,   (0,1 / k ) .

Bằng quy nạp ta nhận được

(Sun , Sun 1 )  n (Su 0, Su1 ) với mọi n  0 .
Khi đó với m, n  N và m  n , ta có
(Sun , Sum )  k  (Sun , Sun 1 )  (Sun 1, Sum )

 k (Sun , Sun 1 )  k 2(Sun 1, Sun 2 )  ...
 k m n 1  (Sum 2, Sum 1 )  (Sum 1, Sum )
20

c


 k n  k 2n 1  ...  k m n 1m 2  k m n 1m 1  (Su0, Su1 ) ,



 k n  k 2n 1  ...  k m n 1m 2  k m n m 1  (Su 0, Su1 ) ,vì k  1


 k n 1  k   (k )2  ...  (k )m n 2  (k )m n 1  (Su0, Su1 )



k n

(Su0, Su1 ) .
1  k
Từ đó suy ra {Sun } là một dãy Cauchy trong S (E ) . Giả sử S (E ) là không gian
con đầy đủ của E . Khi đó tồn tại v  S (E )  T (E ) sao cho Sun  v và cả
Tun  v . Trong trường hợp T (E ) đầy đủ, điều này cũng xảy ra với v  T (E )

. Do đó {Sun } hội tụ đến v  T (E ) . Lấy u  E sao cho Tu  v . Nếu Su  v
, thì sử dụng (2.3), ta có
(Tun ,Tu )   max (Sun ,Tu ), (Su,Tun ) 

(Sun ,Tun ) 1  (Su,Tu )
1  (Sun , Su )

Cho n   , ta được
(v, v )   max 0, (Su,Tv ) 

  Sun ,Tu  .

(v, v ) 1  (Su, v )
1  (v, Su )

 (v, Su ) .

Do đó (Su, v )  (v, Su ) là mâu thuẫn vì 1     , với mọi ,   0 .
Vậy Su  v . Như vậy, Tu  Su  v và v là một điểm trùng của S và T .
Đối với tính duy nhất của điểm trùng, ta giả sử ngược lại w là một điểm trùng
khác của S và T , tức là Sz  Tz  w với z  E nào đó. Sử dụng điều kiện
(2.3), ta có
(Tz ,Tu )   max (Sz ,Tu ), (Su,Tz ) 

(Sz ,Tz ) 1  (Su,Tu )
1  (Sz, Su )

21

c

 (Sz , Su ) .