Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian b mêtric

1

Mục lục
Lời cảm ơn

2

Một số kí hiệu được dùng trong luận văn

3

Lời nói đầu

4

1 Kiến thức liên quan

6

1.1

Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Bất đẳng thức Cauchy - Bunhiakovski - Schwartz . . . . . . . . .

6

1.3

Mệnh đề về giới hạn các hàm số cơ bản . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Các không gian hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5

Khai triển Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.6

Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.6.1

Các đònh nghóa và tính chất của biến đổi Fourier . . . . .

8

1.6.2

Biến đổi Fourier cho hàm thuộc L 2 (R) . . . . . . . . . .

9

Bất đẳng thức Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.7

2 Các kết quả chính

10

2.1

Chỉnh hóa bài toán (5)-(7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2

Ví dụ minh họa bài toán (5)-(7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3

Chỉnh hóa bài toán (9)-(10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4

Ví dụ minh họa cho bài toán 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Kết luận

27

Tài liệu tham khảo

28


2

Lời cảm ơn
Lời đầu tiên, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tất cả Quý
Thầy Cô đã tận tình giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quan trọng
trong suốt thời gian tôi học tại khoa Sư phạm Toán trường Đại học Vinh.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Thầy hướng dẫn của tôi
là Thầy PGS. TS. Phạm Hoàng Quân, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi
vượt qua mọi khó khăn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến gia đình tôi vì sự động
viên, là chỗ dựa vững chắc, tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất giúp tôi hoàn
thành chương trình học tập và luận văn cao học này.
Cuối cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến Quý Thầy Cô trong Hội
đồng chấm luận văn đã dành thời gian quý báu xem xét và góp ý cho những
điểm còn thiếu sót để luận văn của tôi được đầy đủ và chính xác hơn. Rất
mong nhận được sự chỉ bảo quý báu của Quý Thầy Cô.
Xin chân thành cảm ơn.
TP. Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2015
Tác giả

La Thanh Hùng


3

Một số kí hiệu được dùng trong luận văn
Trong luận văn này, ta có các kí hiệu sau
. C[0,T ] : chuẩn trong không gian C[0, T ].
. 2 : chuẩn trong không gian L 2 (R).
. : chuẩn trong không gian L 2 (0, π).
. H 1 (R) : chuẩn trong không gian H 1 (R).
. H 2 (R) : chuẩn trong không gian H 2 (R).
t

F (t) = 0 k(s)ds với k(.) là hệ số dẫn nhiệt chính xác và phụ thuộc vào thời
gian của phương trình parabolic.
t
Fε (t) = 0 kε (s)ds với kε (.) là hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu và phụ thuộc vào thời
gian của phương trình parabolic.
f(ω) =

√1
2π

+∞
−∞

f (x)e−iωx dx(ω ∈ R): biến đổi Fourier của hàm f ∈ L 1 (R).

4

Lời nói đầu
Trong những năm gần đây, bài toán nhiệt ngược thời gian đã được nghiên
cứu bởi nhiều tác giả như Hào (xem [3, 13]), Fu (xem [1, 9]), David (xem [2])
... Các tác giả đã khảo sát bài toán ngược thời gian cho nhiều loại phương trình
nhiệt như phương trình nhiệt với hệ số hằng, hệ số phụ thuộc thời gian, nguồn
nhiệt phi tuyến,...). Trong bài báo [1], Fu và các đồng tác giả đã khảo sát bài
toán nhiệt ngược thời gian với hệ số hằng trong miền không bò chặn như sau
∂u
(x, t)
∂t
u(x, T )

∂ 2u
(x, t),
∂x2
= ϕ(x),

=

(x, t) ∈ R × (0, T ),
x ∈ R.

(1)
(2)

Sử dụng phương pháp chỉnh hóa Fourier, các tác giả đã thu được ước lượng
sai số ở cấp độ Holder tại những thời điểm 0 < t < T và ước lượng sai số dạng
logarit tại thời điểm ban đầu t = 0. Trong [3], Hào và Đức đã khảo sát bài

toán (1)-(2) và thu được kết quả tương tự nhưng họ sử dụng một phương pháp
khác (phương pháp mollification). Năm 2008, Tuấn và Trọng (xem [5]) tiến
hành chỉnh hóa trường hợp không thuần nhất của bài toán (1)-(2) trong miền bò
chặn bằng phương pháp tựa giá trò biên có điều chỉnh. Một năm sau đó, Tuấn
và Trọng trong [6] đã sử dụng phương pháp quen thuộc là phương pháp chặt
cụt để mở rộng kết quả nghiên cứu trước đó. Ngoài ra, dạng tổng quát của bài
toán (1)-(2) đã được khảo sát bởi Nam (xem [8]). Cụ thể, tác giả đã sử dụng
phương pháp chặt cụt để chỉnh hóa bài toán sau
ut + Au(t) =
u(T ) =

f (t, u(t)), 0 < t < T

(3)

ϕ,

(4)

trong đó A là toán tử tự liên hợp dương và f là một hàm Lipschitz.
Gần đây, bài toán (1)-(2) và (3)-(4) đã được khảo sát trong trường hợp hệ
số dẫn nhiệt phụ thuộc vào thời gian (xem [10, 11, 13, 14]). Đây là một hướng
nghiên cứu xuất phát từ thực tế khi mà hệ số dẫn nhiệt của một vật thể phụ
thuộc vào vật liệu của vật đó tuy nhiên một vật thể trong thực tế thường không
đồng nhất. Hơn nữa, một vật thể có thể biến đổi theo thời gian do các quá
trình ăn mòn, oxi hóa, ... do đó hệ số dẫn nhiệt không phải là hằng số. Hơn
nữa, trường hợp này theo chúng tôi biết chưa được nghiên cứu. Vì những lí do
đó, trong luận văn này chúng tôi chọn đề tài Chỉnh hóa bài toán parabolic
ngược với hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu.
Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán tìm nhiệt độ u(x, t), (x, t) ∈

5
[0, π] × [0, T ] thỏa mãn bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic
tuyến tính thuần nhất với hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc vào thời gian và bò nhiễu
trong miền bò chặn [0, π] và miền không bò chặn R. Như vậy, dữ liệu trong bài
toán này là một bộ gồm hai thành phần là phân bố nhiệt tại thời điểm cuối g(·)
và hệ số dẫn nhiệt k(·).
Bài toán 1: Xét trên miền bò chặn [0, π]
∂u
(x, t) =
∂t
u(0, t) =
u(x, T ) =

∂ 2u
(x, t),
∂x2
u(π, t) = 0,
g(x),

k(t)

(x, t) ∈ (0, π) × (0, T ),
t ∈ [0, T ],
x ∈ (0, π),

(5)
(6)
(7)

với (g, k) là dữ liệu có được do đo đạc thỏa g ∈ L 2 (0, π) và k : [0, T ] → (0, ∞)
là hàm liên tục sao cho tồn tại p, q > 0
(8)

0 < p ≤ k(t) ≤ q,
với mọi 0 ≤ t ≤ T .
Bài toán 2: Xét trên miền không bò chặn R
∂u
(x, t)
∂t
u(x, T )

∂ 2u
= k(t) 2 (x, t),
∂x
= g(x),

(x, t) ∈ R × [0, T ),
x ∈ R,

(9)
(10)

với (g, k) là dữ liệu có được do đo đạc thỏa g ∈ L 2 (R) và k : [0, T ] → (0, ∞)
là hàm liên tục thỏa (8).
Cấu trúc của luận văn được chia thành 2 chương. Cụ thể:
+ Chương 1: Kiến thức chuẩn bò. Mục này trình bày các khái niệm về bài
toán chỉnh, bài toán không chỉnh, các bất đẳng thức, mệnh đề, đònh lí, đònh
nghóa, các phép biến đổi được sử dụng trong quá trình trình bày luận văn.

+ Chương 2: Chỉnh hóa và ước lượng sai số bài toán parabolic ngược với
hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu trong miền bò chặn [0, π] và miền không bò chặn R.
Đưa ra một số ví dụ minh họa cho kết quả.
Cuối cùng là phần kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo.


6

Chương 1
Kiến thức liên quan
1.1 Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh
Đònh nghóa 1.1.1.
Bài toán chỉnh: Cho X và Y là 2 không gian đònh chuẩn, K : X −→ Y là
một ánh xạ. Phương trình Kx = y được gọi là chỉnh nếu thỏa các điều kiện sau
đây:
i) Sự tồn tại: Với mỗi y ∈ Y , có ít nhất một x ∈ X sao cho Kx = y.
ii) Sự duy nhất: Với mỗi y ∈ Y , có nhiều nhất một x ∈ X với Kx = y.
iii) Tính ổn đònh: Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào dữ liệu y, tức là với
mọi dãy (x n ) ⊂ X sao cho Kx n −→ Kx (tức là dãy dữ liệu nhiễu hội tụ đến
dãy dữ liệu chính xác khi n −→ ∞) thì x n −→ x (tức là dãy nghiệm nhiễu hội
tụ đến nghiệm chính xác khi n −→ ∞).
Đònh nghóa 1.1.2.
Bài toán không chỉnh: Bài toán được gọi là không chỉnh nếu nó không thỏa
ít nhất một trong 3 điều kiện của bài toán chỉnh.

1.2 Bất đẳng thức Cauchy - Bunhiakovski - Schwartz
Cho n ∈ N, k = 1, n và x k , yk ∈ R, ta có
n

xk yk

k=1

n

2

≤

n

x2k
k=1

yk2 .
k=1

1.3 Mệnh đề về giới hạn các hàm số cơ bản
Với x ∈ R, ta có các mệnh đề cơ bản sau
i)
ex − 1
ln (1 + x)
lim
= 1; lim
= 1.
x→0
x→0
x
x

7

ii) Với mọi k ∈ N,

ex
= +∞;
x→+∞ xk
lim

lim xk ex = 0.

x→−∞

iii) Với mọi k ∈ N,
ln x
= 0; lim xk ln x = 0.
x→+∞ xk
x→0
lim

1.4 Các không gian hàm cơ bản
Ta kí hiệu Ω là một tập đo được trong R k .
Đònh nghóa 1.4.1. (Đònh nghóa không gian L p (Ω))
Cho f đo được trên Ω. Nếu |f | p (1 ≤ p < ∞) khả tích trên Ω ta đònh nghóa
f

Lp (Ω)

1
p

p

=
Ω

|f | dx

.

Tập hợp tất cả các hàm f thỏa |f | p (1 ≤ p < ∞) khả tích trên Ω được ký
hiệu là Lp (Ω).
Đònh lí 1.4.1. Cho 1 ≤ p < ∞, (Lp (Ω), .

Lp (Ω) )

là một không gian Banach.

Đònh nghóa 1.4.2. Cho tập mở Ω ⊆ R k , k ∈ N. Ta đặt
L1loc (Ω)

=

f : Ω → R đo được : f ∈ L1 (ω) với mọi ω ⊆ Rk thỏa
ωlà tập compăc chứa trong Ω} .

Đònh nghóa 1.4.3. (Đạo hàm suy rộng)
Cho f ∈ L 1loc (Ω), α = (α1 , ..., αk ) ∈ Zk , αi ≥ 0 (i = 1, ..., k). Hàm
gα ∈ L1loc (Ω) gọi là đạo hàm riêng suy rộng thứ α của f nếu
f D α ϕdx = (−1)|α|

Ω

gα ϕdx,
Ω

với mọi ϕ ∈ Cc∞ (Ω). Ở đây, |α| = α 1 + ... + αk và D α ϕ =

∂ |α| ϕ

α
α
∂x1 1 ...∂xk k

Đònh nghóa 1.4.4. (Không gian Sobolev)
Với m ∈ N, 1 ≤ p ≤ ∞, ta đònh nghóa
W m,p (Ω) = {f ∈ Lp (Ω) : D α f ∈ Lp (Ω), |α| ≤ m}

.


8
1
p

với chuẩn f

W m,p (Ω)

Dαf

=
|α|≤m

p
Lp (Ω)

.

Đặc biệt, nếu p = 2, ta kí hiệu H m (Ω) = W m,2 (Ω).
Đònh lí 1.4.2. Không gian Hm (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
D α f D α gdx.

f, g =
|α|≤m Ω

Đònh lí 1.4.3. Cho T > 0 và X là không gian Banach với chuẩn . X . Không gian
C([0, T ]; X) là không gian Banach gồm tất cả những hàm liên tục u : [0, T ] → X
với chuẩn u C([0,T ];X) = sup u(t) X .
t∈[0,T ]

Khi X = R, ta viết C([0, T ]; X) = C[0, T ].

1.5 Khai triển Fourier
Đònh lí 1.5.1. (Khai triển Fourier Sin)
Với f ∈ L2 (0, π), ta có khai triển Fourier Sin của f như sau
f (x) =

∞

bn sin(nx), (0 < x < π),

n=1

trong đó bn =

2
π

π
0

f (x)sin(nx)dx, (n ≥ 1) là các hệ số khai triển Fourier Sin.

Đònh lí 1.5.2. (Đẳng thức Parseval)
Với f ∈ L2 (0, π), ta có
f

2
2

π
=
2

∞
n=1

|bn |2 .

1.6 Biến đổi Fourier

1.6.1

Các đònh nghóa và tính chất của biến đổi Fourier

Đònh nghóa 1.6.1. Cho f ∈ L1 (R), khi đó ta đònh nghóa biến đổi Fourier của f là
1
f (w) = √
2π

∞

f (x) e−iwx dx,

−∞

với w ∈ R. Khi đó, ta đònh nghóa biến đổi Fourier ngược của f là
1
f (x) = √
2π
∨

∞
−∞

f (x) eiwx dw.


9
Tính chất 1.6.2. Cho f, g ∈ L1 (R), c là hằng số thuộc R. Khi đó, ta có
i) f + g = f + g,

ii) c f = c f ,
∞
−∞

iii) f ∗ g = f . g, với (f ∗ g)(x) =

1.6.2

f (x − y) g(y) dy.

Biến đổi Fourier cho hàm thuộc L2 (R)

Đònh lí 1.6.1. (Đònh lí Plancherel) Với mọi f ∈ L2 (R), N > 0, ta đặt
1
FN {f }(w) = √
2π

N

f (x) e−iwx dx,
−N

với w ∈ R. Khi đó,
a) FN {f } hội tụ trong L2 (R) đến một hàm F {f } khi N → ∞. Hơn nữa
F {f }

2
2

=

∞

2

F {f }(w) dw =

−∞

∞

2

f (x) dx =

−∞

f

2
.
2

b) Nếu f ∈ L2 (R) ∩ L1 (R) thì F {f } = f h.k.n trên R.
c) Đặt
N
1
gN (x) = √
F {f }(w) eixw dw,
2 π −N

d)

thì gN hội tụ trong L2 (R) đến f khi N → ∞.
F là toán tử đẳng cấu từ L2 (R) vào L2 (R).

1.7 Bất đẳng thức Holder
Giả sử 1 ≤ p , q ≤ ∞,

1
p

+

1
q

= 1, Ω ⊂ R. Khi đó nếu f ∈ L p (Ω),

g ∈ Lq (Ω) thì f.g ∈ L1 (Ω) và
f g dx ≤
Ω

f

Lp (Ω)

g

Lq (Ω)

.


10

Chương 2
Các kết quả chính
Trong chương 2, các kết quả chúng tôi tham khảo trong bài báo [15], [16];
chúng tôi trình bày và chứng minh chi tiết các kết quả chỉnh hóa bài toán
parabolic ngược thời gian với hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu trong miền bò chặn [0, π]
và miền không bò chặn R.

2.1 Chỉnh hóa bài toán (5)-(7)
Trong tiểu mục 2.1, chúng tôi xét (g ε , kε ), (g, k) ∈ L2 (0, π) × C[0, T ] là dữ
liệu đo đạc và dữ liệu chính xác sao cho g ε − g ≤ ε và kε − k C[0,T ] ≤ ε.
Áp dụng khai triển chuỗi Fourier, chúng tôi tìm được nghiệm của bài toán
(5)-(7) như sau

u(x, t) =

∞
m=1

trong đó g m



exp m2

T

t



k(s)ds gm sin(mx), (x, t) ∈ [0, π] × [0, T ],

(2.1)

π

2
=
π

g(x) sin(mx)dx.
0

Sử dụng phương pháp chặt cụt chuỗi, chúng tôi lần lượt có nghiệm chỉnh
hóa tương ứng với dữ liệu (g, k), (g, k ε ) và (gε , kε ) như sau

uε (g, k)(x, t)

=
m
uε (g, kε )(x, t)

=
m

uε (gε , kε )(x, t)

=
m
exp m2 (F (T ) − F (t)) gm sin(mx),

(2.2)

exp m2 (Fε (T ) − Fε (t)) gm sin(mx),

(2.3)

exp m2 (Fε (T ) − Fε (t)) (gε )m sin(mx), (2.4)


11
với
gm

=

π

2
π

g(x) sin(mx)dx, (gε )m
0

gε (x) sin(mx)dx,
0

t

F (t) =

π

2
=
π

t

k(s)ds, Fε (t) =
0

kε (s)ds,
0

và mε > 0 là tham số chỉnh hóa sẽ được chọn sau sao cho lim mε = +∞.
ε→0

Bổ đề 2.1.1. Tồn tại δ > 0 sao cho
3

1
ε

1
ε

ε 4 ln
3
ε 4 ln

< 1,
2
< 1,

với mọi ε ∈ (0, δ).
3

Chứng minh. Từ lim ε 4 ln
ε→0

2

1
ε

3

= 0, tồn tại δ 1 > 0 sao cho ε 4 ln
3

với mọi ε ∈ (0, δ 1 ). Với ε ∈ (0, e−1 ), ta có ε 4 ln
3
4

chọn δ = min{δ 1 ; e−1 } > 0, thì ε ln
Kết thúc chứng minh.

1
ε

<ε

3
4

ln

1
ε
1
ε

3

< ε 4 ln
2

1
ε

1
ε
2

2

<1

. Nếu ta

< 1 với mọi ε ∈ (0, δ).

Bổ đề 2.1.2. Cho ε > 0 và mε > 0 sao cho lim mε = +∞ và lim εm2ε = 0.
ε→0

ε→0

Khi đó, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi ε ∈ (0, δ)
|em

2

Rs
t

(kε (r)−k(r))dr

− 1| ≤ 2T εm2ε ,

với mọi 0 ≤ t ≤ s ≤ T và m ∈ [−mε ; mε ].
Chứng minh.
Với mọi r ∈ [0, T ], ta có
|kε (r) − k(r)| ≤ kε − k

C[0,T ]

≤ ε.

Suy ra
−ε ≤ kε (r) − k(r) ≤ ε.

Do đó, ta được

s

−εT ≤ −ε(T − t) ≤ −ε(s − t) ≤

t

(kε (r) − k(r))dr ≤ ε(s − t) ≤ εT.

Từ đó, ta có
2

2

e−εT mε − 1 ≤ e−εT m − 1 ≤ em

2

Rs
t

(kε (r)−k(r))dr

− 1 ≤ em

2

εT

2

− 1 ≤ eεT mε − 1.


12
Suy ra
|em

2

Rs
t

(kε (r)−k(r))dr

2

2

− 1| ≤ hε (t) = max{|e−εT mε − 1|, |eεT mε − 1|}.

Ta có

2

|e−εT mε − 1|
lim
= 1,
ε→0 | − εT m2
ε|
2

|eεT mε − 1|
lim
= 1.
ε→0
|εT m2ε |

Nên tồn tại δ > 0 sao cho với mọi ε ∈ (0, δ)
 −εT m2
ε −1|
 |e
≤ 2,
2
|−εT mε |
2
 |eεT mε −1|
|εT m2ε |

Do đó, ta có

≤ 2.

2

|e−εT mε − 1| ≤ 2εT m2ε ,
2
|eεT mε − 1| ≤ 2εT m2ε .

Cuối cùng, ta được
|em

2

Rs
t

(kε (r)−k(r))dr

− 1| ≤ hε (t) ≤ 2εT m2ε .

Kết thúc chứng minh
Đònh lí 2.1.1. Chọn mε =

ln( 1ε )
2qT

và uε (gε , kε ) là nghiệm chỉnh hóa được đònh

nghóa bởi (2.4) tương ứng với dữ liệu đo (gε , kε ). Khi đó, chúng ta có các phát
biểu sau

i) Nếu u là nghiệm chính xác của bài toán (5)-(7) thỏa mãn
1
2q u(., T ) + u(., 0) < ∞ thì tồn tại δ > 0 sao cho
uε (gε , kε )(., t) − u(., t) ≤

1+

1
u(., T ) + u(., 0)
2q

pt

ε 4qT ,

với mọi ε ∈ (0, δ).
ii) Nếu u là nghiệm chính xác của bài toán (5)-(7) thỏa mãn
1
2q u(., T ) +4qT uxx (., 0) < ∞ thì tồn tại δ > 0 sao cho
uε (gε , kε )(., t) − u(., t) ≤
với mọi ε ∈ (0, δ).

1
1+
u(., T ) +4qT uxx (., 0)
2q

pt

ε 4qT

,
ln 1ε


13
Chứng minh. i) Với 0 < ε ≤ q, ta được
|kε (t)| − |k(t)| ≤ kε − k

C[0,T ]

≤ ε ≤ q.

Suy ra
|kε (t)| ≤ 2q,
với mọi t ∈ [0, T ].
Do (2.3), (2.4) và g ε − g ≤ ε, ta có
uε (gε , kε )(., t) − uε (g, kε )(., t)

2

=

π
2

em

2

(Fε (T )−Fε (t))

m2

≤ e4mε (T −t)q
4m2ε (T −t)q

≤ e

π
2

((gε )m − g m )
2

m
|(gε )m − g m |

ε2 ,

với mọi ε ∈ (0, q].
Suy ra
2

(2.5)

uε (gε , kε )(., t) − uε (g, kε )(., t) ≤ e2mε (T −t)q ε.
Từ (2.2), (2.3) và Bổ đề 2.1.2, suy ra tồn tại δ
ε ∈ (0, δ 1 ) ta có ước lượng

1

> 0 sao cho với mọi

2

=

=

uε (g, kε )(., t) − uε (g, k)(., t)
2
2
2
π
em (Fε (T )−Fε (t)) − em (F (T )−F (t)) gm
2 mε


RT
2
m
(kε (s)−k(s))ds
2
π
em (F (T )−F (t)) e t
− 1 gm
2 m

2

ε

≤

2
(2T εm2ε )2 e2q(T −t)mε

π
2

∞

m=1

|gm |2 .

Do đó, ta có
2

uε (g, kε )(., t) − uε (g, k)(., t) ≤ 2T εm2ε eq(T −t)mε g .

(2.6)

2


14

Từ (2.1) và (2.2), ta được
uε (g, k)(., t) − u(., t)

2

π
2

=

π
2

=

em

2

(F (T )−F (t))

2

gm

m≥mε

e−2m

2

F (t)

em

2

F (T )

2

gm

m≥mε
2

≤ e−2mε pt

π
2

−2m2ε pt

≤ e

em

2

F (T )

2

gm

m≥mε

u(., 0)

2

.

Suy ra
2

(2.7)

uε (g, k)(., t) − u(., t) ≤ e−mε pt u(., 0) .

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có ước lượng

≤

uε (gε , kε )(., t) − u(., t)

uε (gε , kε )(., t) − uε (g, kε )(., t) + uε (g, kε )(., t) − uε (g, k)(., t)

+ uε (g, k)(., t) − u(., t) .

(2.8)

Từ (2.5), (2.6), (2.7) và (2.8), ta có
uε (gε , kε )(., t) − u(., t)
2

2

2

≤ e2q(T −t)mε ε + 2T εm2ε eq(T −t)mε g + e−mε pt u(., 0) .
Với mε =

ln( 1ε )
4qT ,

ta đánh giá

uε (gε , kε )(., t) − u(., t) ≤

√

t

εε 2T +

1
t
3
u(., T ) ε 4T ε 4 ln

2q

Từ Bổ đề 2.1.1, tồn tại δ 2 > 0 sao cho
3

ε 4 ln

1
ε

< 1,

với mọi ε ∈ (0, δ 2 ).
Do đó, nếu ta chọn δ = min {1; q; δ 1 ; δ 2 } > 0 thì

√
ε < 1,



pt
 ε 2Tt < ε 4qT
,
pt
t

ε 4T < ε 4qT ,


 34

ε ln 1ε < 1,

1
ε

pt

+ u(., 0) ε 4qT .


15
với ε ∈ (0, δ).
Từ đó, ta có ước lượng
uε (gε , kε )(., t) − u(., t) ≤

1+

1
u(., T ) + u(., 0)
2q

pt

ε 4qT ,

với mọi ε ∈ (0, δ).
ii) Do (2.1) và (2.2)
uε (g, k)(., t) − u(., t)

2

π
2

=

em

2

(F (T )−F (t))

2

gm

m≥mε

≤

1 −2m2ε pt π
e
m4ε
2

≤

1 −2m2ε pt
e
uxx (., 0)

m4ε

m2 em

2

F (T )

2

gm

m≥mε
2

.

Suy ra
uε (g, k)(., t) − u(., t) ≤

1 −m2ε pt
e
uxx (., 0) .
m2ε

(2.9)

Từ (2.5), (2.6), (2.8) và (2.9), ta có
uε (gε , kε )(., t) − u(., t)
≤

2

2

e2q(T −t)mε ε + 2T εm2ε eq(T −t)mε g +

Với mε =

ln( 1ε )
4qT ,

1 −m2ε pt
e
uxx (., 0) .
m2ε

ta được

uε (gε , kε )(., t) − u(., t)

≤

√ t
1
t
3
εε 2T +
u(., T ) ε 4T ε 4 ln
2q

1
ε

Từ Bổ đề 2.1.1, ta suy ra tồn tại δ 2 > 0 sao cho
ε

3
4

ln

1
ε

pt

ε 4qT
+ 4qT uxx (., 0)
.
ln 1ε

2

< 1,

với mọi ε ∈ (0, δ 2 ).
Do đó, nếu ta chọn δ = min {1; q; δ 1 ; δ 2 } > 0 thì

√

1

ε<
,



ln 1ε


pt
t

ε 2T < ε 4qT ,
pt
t

4T < ε 4qT ,
ε



1

3

 ε 4 ln 1ε <
,
ln 1ε

16
với mọi ε ∈ (0, δ).
Ta có ước lượng
1
1+
u(., T ) +4qT uxx (., 0)
2q

uε (gε , kε )(., t) − u(., t) ≤

pt

ε 4qT
,
ln 1ε

với mọi ε ∈ (0, δ).
Kết thúc chứng minh.

2.2 Ví dụ minh họa bài toán (5)-(7)
Xét bài toán parabolic ngược thời gian tuyến tính thuần nhất với hệ số
phụ thuộc thời gian như sau
ut (x, t)
u(0, t)

= k(t)uxx (x, t),

(x, t) ∈ (0, π) × [0, 1),

= u(π, t) = 0,

t ∈ [0, 1],

trong đó
(2.10)

k(t) = 2t + 1,
và
u(x, 1) = g(x) =

sin x
.
e2

(2.11)

Từ đó,
π

g =(

2

sin x
1
2 =
ds)
e2

π −2
e ,
2

0

và
1 ≤ k(t) ≤ 3,
với mọi t ∈ [0, 1].
Ta có nghiệm chính xác của bài toán là
u(x, t) = exp −t2 − t sin(x).
Với t = 0, ta được
u(x, 0) = sin(x).
Xét dữ liệu đo (g ε , k ε ) như sau
ε
)g(x),
π −2
e
2

gε (x)

= (1+

kε (t)

= k(t) + ε.

(2.12)
(2.13)

17
Khi đó,
π

gε − g
kε − k

C[0,T ]

=

ε
π −2 (
2e

2

sin x
1
2 = ε,
dx)
e2

0

= ε.

Với ε lần lượt là sai số dữ liệu như sau ε 1 = 10−1 , ε2 = 10−2 , ε3 =

ln( ε1 )
10−3 , ε4 = 10−4 , ε5 = 10−5 , ta đặt mε =
, ta có nghiệm chỉnh hóa
6
tại thời điểm t = 0
uε (gε , kε )(x, t) =
m
exp m2 (Fε (T ) − Fε (t)) (gε )m sin(mx),(x, t) ∈ [0, π]×[0, T ],

π

2
trong đó (g ε )m =
π

t

g ε (x) sin(mx)dx và Fε (t) =
0

kε (s)ds.
0

Ta có các bảng sau đưa ra sai số giữa nghiệm chỉnh hóa u
nghiệm chính xác u tại thời điểm t = 0 và t = 0.5.

εi (gεi , kεi )

và

18
Bảng 1.1. Sai số tại thời điểm t = 0.

ε1
ε2
ε3
ε4
ε5

ε
= 10−1
= 10−2
= 10−3
= 10−4
= 10−5

uεi (gεi , kεi )(., 0)−u(., 0)
0.948374934409619
0.087224199978273
0.008649895004784
0.000864267741018
0.000086419559986

Bảng 1.2. Sai số tại thời điểm t = 0.5.

ε1
ε2
ε3

ε4
ε5

ε
= 10−1
= 10−2
= 10−3
= 10−4
= 10−5

uεi (gεi , kεi )(., 0)−u(., 0.5)
0.397260643072915
0.038043738348231
0.003787957715703
0.000378632010818
0.000037861563874

Tiếp theo, chúng ta có các hình vẽ minh họa cho nghiệm chính xác và nghiệm
chỉnh hóa tại thời điểm t = 0 và t = 0.5.

Hình 1.1: Nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa u
t = 0.

εi (gεi , kεi )

tại thời điểm


19

Hình 1.2: Nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa u
t = 0.5.

εi (gεi , kεi )

tại thời điểm

Trong hình 1.1 và hình 1.2, đường số 0 minh họa cho nghiệm chính xác gần
như trùng với các đường số i minh họa cho các nghiệm chỉnh hóa tương ứng
với sai số dữ liệu ε i , i = 3, 4, 5 do sai số giữa chúng khá nhỏ.


20
Cuối cùng, ta có hình vẽ nghiệm chính xác u và nghiệm chỉnh hóa
uεi (gεi , kεi ), i = 1, .., 5.

Hình 1.3: Nghiệm chính xác u(., t) và các nghiệm chỉnh hóa
uεi (gεi , kεi )(., t), i = 1, 2.


21

Hình 1.4: Các nghiệm chỉnh hóa u εi (gεi , kεi )(., t), i = 3, 4, 5.

2.3 Chỉnh hóa bài toán (9)-(10)
Trong tiểu mục 2.3, chúng tôi khảo sát bài toán (9)-(10) tương tự như (5)-(7)
nhưng miền khảo sát ở đây là miền không bò chặn R. Ngoài ra, chúng tôi xét
(gε , kε ), (g, k) ∈ L2 (R) × C[0, T ] là dữ liệu đo đạc và dữ liệu chính xác sao cho
gε − g 2 ≤ ε và kε − k C[0,T ] ≤ ε.
Bằng phương pháp biến đổi Fourier, chúng tôi tìm được biến đổi Fourier

của nghiệm chính xác bài toán (9)-(10) thỏa
u(w, t) = ew

2

(F (T )−F (t))

g(w),

(2.14)

với w ∈ R.
Giả sử rằng u là nghiệm chính xác của bài toán (9)-(10) ứng với dữ liệu
chính xác (g, k) và (g ε , kε ) là dữ liệu đo sao cho g−g ε 2 ≤ ε, k−kε C[0,T ] ≤ ε.
Sử dụng phương pháp chặt cụt tích phân, chúng tôi có nghiệm chỉnh hóa


22
cho bài toán (9)-(10) tương ứng với các dữ liệu (g ε , kε ), (g, kε ) và (g, k) như sau
uε (gε , kε )(x, t)

uε (g, kε )(x, t)

uε (g, a)(x, t)

1
√
2π

=

1
√
2π

=

1
√
2π

=

+∞

ew

2

(Fε (T )−Fε (t))

gε (w)eiwx χ[−bε ,bε ] (w)dw,

−∞

(2.15)

+∞

ew

2

(Fε (T )−Fε (t))

g(w)eiwx χ[−bε ,bε ] (w)dw,

−∞

(2.16)

+∞

ew

2

(F (T )−F (t))

g(w)eiwx χ[−bε ,bε ] (w)dw,

−∞

(2.17)

trong đó b ε → + ∝ khi ε → 0 là tham số chỉnh hóa sẽ được chọn sau.
Sử dụng đònh lí Plancherel và bất đẳng thức tam giác, ta có đánh giá sau

=
=

uε (gε , kε ) (., t) − u(., t)
uε (gε , kε ) (., t) − u(., t)

2
2

uε (gε , kε ) (., t) − uε (g, kε (., t)
+ uε (g, k)(., t) − u(., t) 2 .

2

+ uε (g, kε ) (., t) − uε (g, a)(., t) 2
(2.18)

Đònh lí 2.3.1. Cho ε > 0, gε , g ∈ L2 (R) thỏa mãn gε −g
thỏa (8) và kε − k C[0,T ] ≤ ε. Đặt

2

≤ ε và k, kε ∈ C[0; T ]

M = 2q.
Nếu nghiệm chính xác u(., t) của bài toán (9)-(10) thuộc H1 (R) với mọi t ∈ [0; T ]
thì tồn tại δ > 0 sao cho với mọi ε ∈ (0; δ), ta có
uε (gε , kε ) (., t) − u(., t)
trong đó C1 = 1 +

1
M

2

≤

C1
ln 1ε

1
2

1

g

2

+ (2M T ) 2 u(., t)

H 1 (R) .

Chứng minh. Với mọi 0 < ε ≤ maxt∈[0;T ] k(t), ta có
|kε (t)| − |k(t)| ≤ kε − k < ε ≤ max k(t),
t∈[0;T ]

|kε (t)| < max k(t) + max k(t) = M,
t∈[0;T ]

t∈[0;T ]

23
với mọi t ∈ [0, T ].
.
Từ (2.15) và (2.16), ta đánh giá
|uε (gε , kε ) (w, t) − uε (g, kε ) (w, t)|2

= e2w

2

(Fε (T )−Fε (t))

= e2w

2

RT

≤ e2w

2

t

kε (s)ds

M(T −t)

.|gε (w) − g(w)|2 .χ2[−bε ,bε ] (w)

.|gε (w) − g(w)|2 .χ2[−bε ,bε ] (w)

.|gε (w) − g(w)|2 .χ2[−bε ,bε ] (w).

Suy ra
2
2

uε (gε , kε ) (., t) − uε (g, kε ) (., t)

bε

≤

e2w

2

M(T −t)

−bε

.|gε (w) − g(w)|2 dw

2

e2bε M(T −t) ε2 ,

≤

2

e2bε MT ε2 .

≤
Do đó, ta có

uε (gε , kε ) (., t) − uε (g, kε ) (., t)

2

Từ (2.16), (2.17) và bổ đề 2.1.2, suy ra tồn tại δ
ε ∈ (0; δ 1 ) ta có
|uε (g, kε ) (w, t) − uε (g, a) (w, t)|

= |ew
= ew
= ew

2

(Fε (T )−Fε (t))

2

(F (T )−F (t))

2

RT
t

b2ε T M

≤ e

k(s)ds

− ew

|ew

|ew

2

2

(F (T )−F (t))

(kε (s)−k(s))ds

.2b2ε T ε|g(w)|χ[−bε ,bε ] (w).

1

> 0 sao cho với mọi

||g(w)|χ[−bε ,bε ] (w)

(Fε (T )−Fε (t)−F (T )+F (t))

RT
t

2

(2.19)

≤ ebε MT ε.

2

− 1||g(w)|χ[−bε ,bε ] (w)

− 1||g(w)|χ[−bε ,bε ] (w)

Từ đó
bε

uε (g, kε ) (., t) − uε (g, a) (., t)

2

≤
=
=

b2ε T M

e
−bε

.2b2ε T ε|g(w)|

2

4b4ε e2bε T M T 2 ε2
b2ε T M

2b2ε e

bε
−bε

2

(F (T )−F (t))

dw
1
2

|g(w)|2 dw

T ε g 2.

Từ (2.14) và (2.17), ta có
|uε (g, a)(w, t) − u(w, t)| = ew

1
2

2

|g(w)|χR\[−bε ,bε ] (w)

(2.20)


24
= |u(w, t).χR\[−bε ,bε ] (w)|.
Do đó, ta được
uε (g, a)(., t) − u(., t)

2
2

=
R\[−bε ,bε ]

w2
|u(w, t)|2 dw
w2

1
|wu(w, t)|2 dw
2
bε R\[−bε ,bε ]

1
u(., t) 2H 1 (R)
2
bε
1
u(., t) 2H 1 (R) .
b2ε

≤
≤
=

(2.21)

Từ (2.18), (2.19), (2.20) và (2.21), ta ước lượng
uε (gε , kε ) (., t) − u(., t)

2

2

2

≤ ebε T M ε + 2b2ε ebε T M T ε g
2

Nếu ta chọn b ε sao cho e bε T M =

bε =

√1
ε

2

+

u(., t) H 1 (R)
.
bε

thì
1
2

ln 1ε
2M T

.

Do đó
uε (gε , kε ) (., t) − u(., t)
Vì

2

√
≤ ε+

√

ε ln 1ε
g
M

√
ε ln 1ε
√
limε→0 ε ln 1ε
limε→0

1
2
3
2

1

2

= 0,
= 0,

nên tồn tại δ 2 > 0 sao cho với mọi ε ∈ (0, δ 2 )
√

√
nghóa là

ε ln 1ε

ε ln 1ε

1
2
3
2

< 1,
< 1,

√
1

1 ,
 ε<
(ln 1ε ) 2
√
1
1

1 .
 ε ln ε <
ln
( 1ε ) 2

+

(2M T ) 2 u(., t)
ln 1ε

1
2

H 1 (R)

.


25
Vậy với mọi ε ∈ (0; δ) với δ = min{δ 1 , δ 2 , M
2 }, ta có
uε (gε , kε ) (., t) − u(., t)

2

≤

1+

1
g
M

1

2

+ (2M T ) 2 u(., t)

1

H 1 (R )

ln

1
ε

1
2

.

Suy ra
uε (gε , kε ) (., t) − u(., t)

2

C1

≤

ln

1
ε

1
2

,

1

1
trong đó C 1 = 1 + M
g 2 + (2M T ) 2 u(., t)
Kết thúc chứng minh.

H 1 (R) .

2.4 Ví dụ minh họa cho bài toán 2
Xét bài toán parabolic ngược thời gian tuyến tính thuần nhất với hệ số phụ
thuộc thời gian trong miền không bò chặn R
ut (x, t) =
u(x, 1) =

(2.22)
(2.23)

(x, t) ∈ R × [0, 1],
x ∈ R,

k(t)uxx (x, t),
g(x),

1 −x2
trong đó k(t) = 2t + 1; g(x) = √ e 12 .
6
2

t
−3w
Suy ra g(w) = e
; F (t) = 0 (2s + 1)ds = t2 + t.
Bằng phương pháp biến đổi Fourier, ta có
u(w, t) = ew

2

(F (1)−F (0))

g(w) = ew

2

(2−t2 −t) −3w2

e

= e−w

2

(t2 +t+1)

.

Xét dữ liệu đo như sau
gε (x) =
kε (t) =

Khi đó, g ε − g
hóa (2.15)

2

1+ε

=
=
=

ew

2

ew

2

ew

2

1
4

g(x),

2t + 1 + ε.

≤ ε và kε − k

uε (gε , kε )(w, 0)

6
π

C[0,T ]

≤ ε. Với t = 0, ta có nghiệm chỉnh

(Fε (1)−Fε (0))

(2+ε)

(ε−1)

gε (w).χ[−bε ;bε ] (w)

1+ε

6
π

1+ε

6
π

1

4

2

e−3w χ[−bε ;bε ] (w)
1
4

χ[−bε ;bε ] (w).

(2.24)

Ta có bảng sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa tại t = 0.