Ảnh hưởng của các thăng giáng lượng tử và nhiệt động học lên kết cặp siêu chảy trong hạt nhân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN KHOA HỌC VÀ
CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN VẬT LÝ
************


Nguyễn Quang Hưng


ẢNH HƯỞNG CỦA CÁC THĂNG GIÁNG LƯỢNG TỬ
VÀ NHIỆT ĐỘNG HỌC LÊN KẾT CẶP SIÊU CHẢY TRONG HẠT NHÂN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 62. 44. 01. 01



TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ





Hà Nội – 2009
Công trình được hoàn thành tại:
Viện nghiên cứu Vật lý và Hoá học RIKEN, Nhật Bản.
Viện Vật lý, Viện Khuoa học và Công nghệ Việt Nam.

Người hướng dẫn khoa học:
TSKH. Nguyễn Đình Đăng, Viện nghiên cứu Vật lý và Hoá học RIKEN, Nhật Bản.
GS. TS. Hoàng Ngọc Long, Viện Vật lý, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam.

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Phản biện 3:

Luận án sẽ được bả
o vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước họp tại Viện
Vật lý, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi: giờ ngày tháng
năm


Có thể tìm hiểu luận án tại:

1. Thư viện Viện Vật lý.
2. Thư viện Quốc gia Việt Nam.

1
Mở đầu
Nhiều thí nghiệm tiến hành trong hai thập kỷ gần đây đã tạo ra được các hạt nhân
phức hợp (compound nuclei) ở trạng thái kích thích cao. Những hạt nhân đó được tạo
thành trong các phản ứng kết hợp ion nặng (heavy-ion fusion reaction) hoặc từ các
tán xạ không đàn hồi (inelastic scattering) của hạt nhận nhẹ lên bia nặng. Thời gian
cần thiết để các hạt nhân phức hợp này có cân bằng nhiệt là vào khoảng ∼
10
-23
giây,
ngắn hơn nhiều so với thời gian sau đó các hạt phức hợp này bắt đầu phân rã (cỡ ∼
10

-15
giây). Do vậy có thể dùng nhiệt động học thống kê để mô tả các hạt nhân phức
hợp này tại một nhiệt độ nhất định. Nhiệt độ này được tính từ năng lượng toàn phần
của hạt phức hợp. Đó là lý do vì sao các hệ này có thể được coi như là các hạt nhân ở
nhiệt độ hữu hạn hoặc hạt nhân nóng (hot nuclei). Vùng nhiệt độ đặc trưng cho một
hạt nhân ở tr
ạng thái cân bằng nhiệt thường nhỏ hơn năng lượng liên kết của các
nơtron (neutron binding energy), tức là cỡ T < 6 – 8 MeV.
Chuyển pha là đặc trưng chung của các hệ vô hạn trong nhiệt đông học. Tại điểm
chuyển pha, hay còn được gọi là điểm tới hạn, tính chất vật lý của hệ thay đổi một
cách đột ngột. Các chuyển pha như là chuyển pha từ trạng thái siêu dẫn sang trạ
ng
thái thường đã được thực nghiệm tìm thấy trong các chất bán dẫn kim loại, các chất
khí siêu lạnh hoặc khí Heli lỏng,….Các chuyển pha này được mô tả rất tốt bằng các
lý thuyết trường trung bình (mean-field theories), ví dụ như lý thuyết Bardeen-
Cooper-Schrieffer (BCS) về siêu dẫn. Trong các hệ vô hạn hoặc rất lớn, các thăng
giáng thường là rất nhỏ và không đóng vai trò quan trọng. Tuy nhiên, trong các hệ
hữu hạn nhỏ như hạt nhân nguyên tử hoặc những hạt kim lo
ại bán dẫn siêu nhỏ, thì
các thăng giáng lượng tử và nhiệt động học trở nên rất quan trọng. Do vậy, các lý
thuyết thường được áp dụng cho các hệ vô hạn cần được chỉnh sửa lại để tính tới ảnh
hưởng của các thăng giáng lượng tử và nhiệt động học này. Hai lý thuyết rất phổ biến
trong số đó là lý thuyết BCS và phương pháp xấp xỉ gần đúng pha ngẫu nhiên
(random-phase approximation – RPA), m
ột phương pháp mô tả các dao động nhỏ
quanh trường trung bình.
Mục đích chính của luận án này là nghiên cứu ảnh hưởng của các thăng giáng
lượng tử và nhiệt động học lên tính chất kết cặp trong các hệ hữu hạn. Để thực hiện
được điều đó, chúng tôi lần đầu tiên xây dựng một phương pháp gần đúng pha ngẫu
nhiên tự hợp trong biểu diễn giả hạt (self-consistent quasiparticle random-phase

approximation – SCQRPA). Phương pháp này có th
ể hoạt động được cho hạt nhân
nguyên tử cũng như các hệ hữu hạn khác không những tại nhiệt độ bằng không mà
còn tại nhiệt độ và moment góc hữu hạn.
Luận án được trình bày như sau. Chương 1 giới thiệu phương pháp tìm nghiệm
chính xác của Hamiltonian kết cặp (pairing Hamiltonian) tại nhiệt độ bằng không.
Chương này cũng nghiên cứu việc hợp nhất lời giải chính xác của mô hình kết cặp
nhiề
u mức với ba tập hợp thống kê chính. Chi tiết về phương trình SCQRPA tại nhiệt
độ bằng không, nhiệt độ và moment góc khác không được trình bày tương ứng trong
các chương 2, 3 và 4. Chương cuối của luận án tóm tắt các kết quả thu được và đề

2
xuất những hướng nghiên cứu tiếp theo để phát triển mô hình lý thuyết đã được xây
dựng.

3
Chương 1. Nghiệm chính xác của Hamiltonian kết cặp.
Hamiltonian kết cặp
(1)
mô tả một hệ có N hạt với năng lượng đơn hạt
sinh ra từ các toán tử sinh hạt
(particle creation operators) trên các quỹ đạo thứ j (j-th orbitals) với suy biến mức

(
). Các hạt này tương tác với nhau thông qua một lực tương tác cặp đơn cực
(monopole-pairing force) với hằng số tương tác cặp G. Ký hiệu ~ chỉ toán tử nghịch
đảo thời gian
. Bài toán kết cặp mô tả bởi Hamiltonian (1) đã được
Richardson giải chính xác lần đầu vào thập niên 60 dựa trên các phương trình

Richardson. Gần đây, một số tác giả đã đưa ra một phương pháp giải mới dựa trên
phương pháp toán học SU(2) cho các moment góc, hay còn gọi là phương pháp giả
spin (quasi-spin method). Phương pháp mới này đã rút gọn bài toán từ việc giải các
phương trình Richardson xuống việc chéo hoá ma trận của Hamiltonian (1) và làm
cho bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều so v
ới giải phương trình Richardson.
Tính chất nhiệt động học của các hệ vô hạn thường được mô tả bởi ba tập hợp
thống kê chính. Đó là tập hợp thống kê đại chính tắc (grand canonical ensemble –
GCE), chính tắc (canonical ensemble – CE) và vi chính tắc (microcanonical
ensemble – MCE). GCE bao gồm các hệ đồng nhất ở trạng thái cân bằng nhiệt. Mỗi
hệ này chia sẻ năng lượng và số hạt của chúng với môi trường nhiệt xung quanh tại
nhiệt độ T
. Trong CE, các hệ cũng liên kết với môi trường nhiệt xung quanh nhưng
số hạt của hệ không thay đổi. MCE là tập hợp của một hệ cô lập về nhiệt với năng
lượng và số hạt đều cố định. Trong giới hạn nhiệt động học, thăng giáng của năng
lượng và số hạt bằng không, do đó ba tập hợp thống kê này cho cùng một giá trị trung
bình của các đại l
ượng nhiệt động học. Tuy nhiên, sự khác nhau trong kết quả thu
được từ ba tập hợp thống kê này sẽ xuất hiện khi chúng ta áp dụng nhiệt động học
vào các hệ nhỏ như hạt nhân nguyên tử.

Hình 1. Khe năng lượng kết cặp Δ, năng lượng toàn phần
, và nhiệt dung riêng C
theo nhiệt độ T, thu được trong lý thuyết FTBCS (đường chấm), CE (đường gạch
chấm mỏng), và GCE (đường gạch chấm dầy) áp dụng cho mô hình nhiều kết cặp
mức với N = 8, 10, and 12 hạt (G = 0.9 MeV). Đường liền mỏng thể hiện khe năng

4
luợng kết cặp thu được từ việc mở rộng công thức hiệu số khối lượng hạt nhân chẵn
lẻ. Đuờng liền dầy là kết quả thu được từ công thức hiệu số khối lượng đã được cải
biên.
Trong chương này, chúng tôi so sánh một cách hệ thống tính chất kết cặp của hạt
nhân thu được bằng cách hợp nhất lời giải chính xác của Hamiltonian (1) v
ới ba tập
hợp thống kê chính cũng như trong lý thuyết BCS thông thường tại nhiệt độ hữu hạn
(FTBCS). Các tính toán được thực hiện bằng số cho khe năng lượng kết cặp (pairing
gap), năng lượng toàn phần (total energy), nhiệt dung riêng (heat capacity), entropy
và nhiệt độ vi chính tắc (microcanonical temperature) trong phạm vi mô hình kết cặp
nhiều mức (multilevel pairing model), hay còn được gọi là mô hình Richardson. Đây
là một mô hình có lời giải chính xác được sử dụng rất rộng rãi để kiểm tra các g
ần
đúng của bài toán nhiều hạt. Các kết quả thu được đã chỉ ra rằng sự chuyển pha rõ rệt
từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái thường theo tiên đoán của lý thuyết FTBCS bị
xoá nhoà trong tính toán chính xác với cả ba tập hợp thống kê. Hệ quả là khe năng
lượng kết cặp thu được trong GCE và CE không bị gãy tại nhiệt độ tới hạn (critical
temperature – T
c
) theo như tiên đoán của lý thuyết FTBCS mà giảm đều theo sự tăng
của nhiệt độ T và không biến mất cho dù T có thể rất cao. Các kết quả thu được với
GCE và CE rất gần nhau ngay cả trong các hệ với số hạt nhỏ (xem Hình 1). Đối với

MCE, mặc dù nó có thể dùng để nghiên cứu tính chất kết cặp của các hệ cô lập ở
năng lượng kích thích cao, tuy nhiên nhiệt độ rút ra từ mậ
t độ mức (level density) là
không rõ ràng do kích thước nhỏ của hệ. Sự không rõ ràng về nhiệt độ này phụ thuộc
vào hình dạng và các tham số của phân bố dùng để làm trơn mật độ mức gián đoạn.
Trong nghiên cứu này, chúng tôi chỉ ra rằng phân bố Gauss khớp tốt nhất cho nhiệt
độ và entropy thu được trong MCE với các giá trị tương ứng trong CE. Ngoài ra,
trong chương này chúng tôi cũng đề xuất một công thức mới để tính khe năng lượng
kế
t cặp tại nhiệt độ hữu hạn từ hiệu số năng lượng toàn phần của các hệ có khối
lượng chẵn và lẻ. Công thức mới có tính đến việc loại bỏ các phần năng lượng không
tương quan (uncorrelated energies) ra khỏi năng lượng toàn phần của hệ. Kết quả thu
được từ công thức mới này rất gần với kết quả chính xác của mô hình nhiều mức
[xem các Hình 1 (a1), (a2), (a3)
].

5
Chương 2: SCQRPA tại nhiệt độ bằng không
Tại nhiệt độ bằng không, một trong những phương pháp thường được dùng để
nghiên cứu các tương quan lượng tử nằm ngoài trường trung bình đó là gần đúng pha
ngẫu nhiên (RPA). RPA được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu hạt nhân nguyên tử.
RPA bao gồm các tương quan trong trạng thái cơ bản và là một lý thuyết đơn giản về
trạng thái kích thích của hạt nhân. Tuy nhiên, hạn chế củ
a RPA là nó không hoạt
động trong vùng mà cường độ tương tác cặp G lớn hơn giá trị tới hạn G
c
. Nguyên
nhân là các phương trình RPA được xây dựng dựa trên giả thuyết gần đúng giả boson
(quasiboson approximation – QBA). QBA vi phạm nguyên lý Pauli giữa các cặp
Fermion và do đó giả thuyết này không còn đúng khi hằng số tương tác cặp G lớn.

Do đó, RPA cần được cải biên đặc biệt là khi áp dụng vào việc nghiên cứu các hệ
hữu hạn như hạt nhân nguyên tử. Rất nhiều phương pháp đã được đề xuất để cải tiến
RPA. Trong s
ố đó là các phương pháp RPA tái chuẩn hoá (renormalize RPA –
RRPA) và RPA tự hợp trong biểu diễn hạt-hạt (self-consistent particle-particle RPA
– SCRPA). Các phương pháp trên đều đưa vào các tương quan trạng thái cơ bản nằm
ngoài RPA. Tuy nhiên, các kiểm tra của RRPA và SCRPA trong phạm vi một số mô
hình có lời giải chính xác đã chỉ ra rằng các kết quả thu được trong RRPA vẫn xa so
với nghiệm chính xác của mô hình. Trong khi đó kết quả thu được trong SCRPA chỉ
gần với lời giải chính xác trong vùng tương tác cặp yếu v
ới hằng số tương tác cặp G
< G
c
. Trong vùng tương tác cặp lớn (G >> G
c
), SCRPA cho kết quả xa so với lời giải
chính xác. Trong vùng này, hay còn gọi là vùng siêu dẫn (superfluid region), biểu
diễn hạt-hạt không còn đúng nữa và nó phải được thay thế bằng biểu diễn giả hạt. Hệ
quả là một mô hình mở rộng của SCRPA trong vùng siêu dẫn đã được đề xuất và
được gọi là RPA tự hợp trong biểu diễn giả hạt (SCQRPA). SCQRPA được áp dụng
lần đầu tiên cho mô hình một mức hay mô hình seniority và sau đó được m
ở rộng cho
mô hình kết cặp hai mức. Tuy nhiên, SCQRPA cũng vẫn không hoạt động tại G = G
c
.
Mục đích chính của Chương 2 này là xây dựng lý thuyết SCQRPA có thể hoạt
động với tất cả các giá trị của G và cho các trường hợp lý tưởng hơn, ví dụ như mô
hình kết cặp nhiều mức. Nguyên nhân sụp đổ của SCQRPA tại G = G
c
là do sự vi

phạm bảo toàn số hạt trong lý thuyết BCS được sử dụng trong SCQRPA. Sự vi phạm
này có thể loại bỏ được bằng cách thực hiện phương pháp hình chiếu số hạt (particle-
number projection – PNP). Do vậy, phương pháp Lipkin-Nogami, một phương pháp
xấp xỉ hình chiếu số hạt trước biến phân (PNP before variation), sẽ được sử dụng
trong chương 2 này để xây dựng lý thuyết SCQRPA.
Các phương trình SCQRPA thu được bằng cách liên kết một cách tự h
ợp các
phương trình BCS với các phương trình RPA giả hạt (quasiparticle RPA – QRPA).
Tính chất tự hợp được thể hiện thông qua một tập hợp của các phương trình cho khe
năng lượng kết cặp, biên độ và năng lượng của QRPA với các hệ số chắn (screening
factors). Các hệ số này được tính bằng giá trị trung bình của tích của các toán tử giả
kết cặp (quasiparticle-pair operators). Ngoài ra SCQRPA còn tính đến các hệ số
tương quan trạng thái cơ bả
n (ground-state correlation factors). Các hệ số này được
biểu diễn thông qua các biên độ giật lùi (backward-going amplitudes) trong QRPA.

6
SCQRPA kết hợp với phương pháp Lipkin-Nogami được gọi là LNSCQRPA. Các
phương pháp gần đúng đã đề xuất ở trên được kiểm tra trong phạm vi của mô hình
kết cặp nhiều mức với lời giải chính xác đã được trình bày trong chương 1.

Hình 2. Năng lượng của trạng thái cơ bản (a) và trạng thái kích thích đầu tiên
(b) theo G thu được từ các phương pháp gần đúng khác nhau và từ lời giải chính xác
của mô hình nhiều mức với N = 10 hạt.
Chúng tôi thực hiện các tính toán bằng số cho năng lượng trạng thái cơ bản và các
trạng thái kích thích của các hệ có số hạt N khác nhau. Các kết quả thu được đã chỉ ra
rằng đối với năng lượng trạng thái cơ bản, việc kết hợp SCQRPA với phươ
ng pháp
Lipkin-Nogami không những giúp cho chúng ta tránh được sự sụp đổ của BCS hay
QRPA mà còn khiến cho kết quả thu được xích lại gần với lời giải chính xác của mô

hình [Hình 2(a)]. Đối với năng lượng trạng thái kích thích đầu tiên, phương pháp
LNSCQRPA cho kết quả rất gần với nghiệm chính xác trong vùng tương tác cặp yếu.
Trong khi đó các phương pháp QRPA và SCQRPA mô tả rất tốt lời giải chính xác
trong vùng tương tác cặp mạnh. Tại G rất lớn, tấ
t cả phương pháp trên đều cho cùng
một giá trị gần với lời giải chính xác [Hình 2 (b)].
Chương 3. SCQRPA tại nhiệt độ hữu hạn
Thăng giáng ảnh hưởng rất mạnh lên kết cặp trong hạt nhân tại nhiệt độ hữu hạn.
Các ảnh hưởng này đã được nghiên cứu rất rộng rãi trong lý thuyết FTBCS. Lý
thuyết FTBCS tiên đoán sự biến mất của khe năng lượng kết cặp tại mộ
t nhiệt độ tới
hạn
, trong đó là khe năng lượng kết cặp tại nhiệt độ T = 0. Tại ,
trong hệ xảy ra một sự chuyển pha rất rõ rệt từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái
thường (superfluid-normal phase transition). Tiên đoán này rất phù hợp với những
kết quả thực nghiệm tìm được trong các hệ vĩ mô như các chất siêu dẫn kim loại.
Trong các hệ này, các thăng giáng lượng tử và nhiệt động học thường rất nhỏ. Tuy
nhiên, trong các hệ hữu hạn nhỏ như hạt nhân nguyên tử các thăng giáng này trở nên
r
ất lớn. Do vậy, lý thuyết FTBCS cần phải được cải biên khi áp dụng vào nghiên cứu
các hệ hạt nhân. Ảnh hưởng của các thăng giáng nhiệt lên tính chất kết cặp của hạt
nhân đã được nghiên cứu rất rộng rãi trong vòng ba thập kỷ trước đây. Trong số đó là
các lý thuyết như lý thuyết vĩ mô của Landau về sự chuyển pha, lý thuyết Hartree-
Fock-Bogoliubov (HFB) tại nhiệt độ hữu hạn, gần đ
úng quãng đường tĩnh (static-

7
path approximation – SPA) … Các lý thuyết nêu trên đã chỉ ra rằng các thăng giáng
nhiệt đã xoá nhoà dịch chuyển pha từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái thường. Hệ
quả là khe năng lượng kết cặp thu được không bị gãy tại nhiệt độ

như theo tiên
đoán của lý thuyết FTBCS. Một lý thuyết vi mô được đề xuất gần đây với tên gọi là
BCS đã được cải biên (modified BCS – MBCS). Lý thuyết MBCS đã lần đầu tiên chỉ
ra rằng thăng giáng của số giả hạt (quasiparticle-number fluctuation) chính là nguồn
gốc vi mô gây nên sự không biến mất của khe năng lượng kết cặp tại nhiệt độ
.
Kết quả tính toán khe năng năng lượng kết cặp dựa vào mật độ mức đo được trong
thực nghiệm cũng khẳng định sự tồn tại của khe năng lượng kết cặp tại
. Trong
các lý thuyết nêu trên, các giả hạt được giả thuyết là chuyển động độc lập với nhau.
Số lượng tử chiếm (occupation numbers) của các hạt này tuân theo phân bố Fermi-
Dirac. Do vậy, trong các lý thuyết này các hệu ứng động học nằm ngoài trường trung
bình như các dao động biên độ nhỏ trong lý thuyết RPA vẫn chưa được tính tới. Mục
đích chính của chương 3 này là mở rộng lý thuyết SCQRPA đã đề xuất trong chương
2 tới nhiệ
t độ hữu hạn hạn nhằm nghiên cứu ảnh hưởng của các thăng giáng lượng tử
và nhiệt động học lên tính kết cặp trong hạt nhân.
Các phương trình cho khe năng lượng kết cặp và số hạt tại nhiệt độ T≠0 được thực
hiện dựa trên tập hợp thống kê đại chính tắc GCE. Trong GCE, giá trị trung bình của
bất kỳ toán tử
nào được cho bởi
(2)
trong đó,
, là toán tử số hạt và là thế hoá (chemical
potential). Áp dụng nguyên lý biến phân lên Hamiltonian
, chúng tôi thu được
phương trình cho khe năng lượng kết cặp. Phương trình này gồm hai phần, một phần
không phụ thuộc
và một phần phụ thuộc vào các mức đơn hạt,
(3)

trong đó,
là các hệ số của biến đổi Bogoliubov từ biểu diễn hạt sang giả hạt.
Trong trường trung bình của các giả hạt, số lượng tử chiếm của các giả hạt được biểu
diễn dưới dạng phân bố Fermi-Dirac cho các Fermion không tương tác với nhau
trong đó là năng lượng của các giả hạt. Trong phương trình (3),
tương tự như khe năng luợng kết cặp trong phương trình FTBCS thông thường,
trong khi đó
có chứa thăng giáng số giả hạt . Lý thuyết mà được
xây dựng dựa trên phương trình (3) đuợc gọi là lý thuyết FTBCS1. FTBCS1 trở thành
FTBCS thông thường nếu
. Trường trung bình của các giả hạt sau đó được hợp
nhất một cách tự hợp với các QRPA phonon bằng cách giải một tập hợp các phương
trình cho giá trị trung bình của tích các toán tử giả kết cặp hay còn gọi là các hệ số
chắn (screening factors) tại nhiệt độ T≠0. Số luợng tử chiếm
sau đó thu được bằng
cách áp dụng phương pháp hàm Green hai thời gian (double-time Greem’s function).
Biểu thức cuối cùng cho
có dạng

8
(4)
tức là không còn tuân theo phân bố Fermi-Dirac nữa. Trong phương trình (4),
là
độ rộng năng luợng trong phân bố của các giả hạt (quasiparticle damping) và
là
toán tử khối luợng (mass operator). Lý thuyết mà được xây dựng dựa trên phương
trình (3) hợp nhất với các phương trình QRPA với số lượng tử chiếm
cho bởi
phương trình (4) được gọi là FTBCS1+SCQRPA. Các lý thuyết tương ứng sử dụng

phương pháp Lipkin-Nogami được lần lượt gọi là FTLN1 và FTLN1+SCQRPA.
Các lý thuyết đã đề xuất ở trên được kiểm tra trong phạm vi bài toán mô hình kết
cặp nhiều mức, với lời giải chính xác tại nhiệt độ T≠0 đã được trình bày trong
chương 1, cũng như với một số hạt nhân thực như
56
Fe và
120
Sn. Các tính toán bằng
số được thực hiện cho các hệ có số hạt N và hằng số tương tác cặp G khác nhau. Đối
với hạt nhân
56
Fe, chúng tôi sẽ so sánh kết quả thu được với kết quả của tính toán
Monte-Carlo lượng tử tại nhiệt độ hữu hạn (QMC). Các phân tích bằng số cho khe
năng lượng kết cặp, năng luợng toàn phần và nhiệt dung riêng đã chỉ ra rằng trong
vùng cuờng độ tương tác cặp trung bình và mạnh, thăng giáng số giả hạt trong
FTBCS1 (kết hợp với hoặc không kết hợp với các hiệu chỉnh của SCQRPA) đã xoá
nhoà dịch chuyển pha từ trạng thái siêu dẫn trạng thái thường. Kết quả là, khe năng
lượng kết cặp thu được không bị gẫy tại nhiệt độ
mà luôn hữu hạn cho dù nhiệt
độ lên tới rất cao. Hiệu chỉnh gây bởi phương pháp hình chiếu số hạt trong phương
pháp Lipkin-Nogami chỉ đáng kể tại vùng nhiệt độ thấp
. Trong khi đó, các
hiệu chỉnh của SCQRPA đã xoá nhoà tất cả các dấu hiệu của sự chuyển pha từ siêu
dẫn sang thường ngay cả trong hạt nhân nặng như
120
Sn.
Việc kết hợp trường trung bình của các giả hạt với các QRPA phonon đã làm cho
phân bố của số lượng tử chiếm của các giả hạt không còn tuân theo phân bố Fermi-
Dirac nữa. Tuy nhiên, với hạt nhân nặng như
120

Sn thì sự khác nhau này là không
đáng kể. Kết quả là, đối với những hạt nhân này, FTBCS1 (+SCQRPA) cho các kết
quả giống nhau. Đối với các hệ hạt nhân nhẹ thì sự chênh lệch lớn hơn. Do vậy
FTBCS1+SCQRPA phải được sử dụng thay cho FTBCS1 trong việc nghiên cứu tính
chất kết cặp của các hạt nhân nhẹ.
Năng lượng toàn phần và nhiệt dung riêng thu được từ các lý thuyết FTBCS1
(FTLN1) + SCQRPA rất gần với lời giải chính xác của mô hình nhi
ều mức cũng như
với các kết quả từ tính toán Monte-Carlo lượng tử tại nhiệt độ hữu hạn đối với hạt
nhân
56
Fe [xem Hình 3]. Do vậy FTBCS1 (FTLN1) + SCQRPA có thể được sử dụng
cho nhiều nghiên cứu khác về tính chất nhiệt động học của các hệ hữu hạn như hạt
nhân, các hệ mà tương tác cặp đóng vai trò rất quan trọng. So với các lý thuyết khác,
lợi thế của các lý thuyết đề xuất trong Chương 3 này nằm ở tính vi mô của nó và rất
đơn giản khi áp dụng cho các hệ hạt nhân nặng với tương tác cặp lớn.

9

Hình 3. Khe năng lượng kết cặp trung bình
(a, d), năng lượng toàn
phần
(b, e), và nhiệt dung riêng C (c, f) theo nhiệt độ T, thu được trong mô hình
nhiều mức với N = 10, G=0.9 MeV (các hình bên trái), và trong hạt nhân
56
Fe (các
hình bên phải).
Chương 4. SCQRPA tại nhiệt độ và moment góc khác không
Thăng giáng không những ảnh hưởng tới hạt nhân tại nhiệt độ bằng không và khác
không mà còn ảnh hưởng tới các hạt nhân quay (rotating nuclei). Chuyển động quay

của toàn bộ hạt nhân như trong các hạt nhân hình cầu ảnh hưởng nhiều đến mật độ
mức của hạt nhân. Mối liên hệ giữa chuyển động quay phi tập thể (noncollective
rotation) này với các tương quan kết cặ
p là chủ đề của rất nhiều nghiên cứu lý thuyết.
Vấn đề này lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Kammuri (1964), và sau đó được xác
nhận bởi Moretto (1972). Các tác giả này đã mở rộng lý thuyết FTBCS để nghiên cứu
hiệu ứng gây bởi hình chiếu M của toán tử moment góc toàn phần trên trục z của hệ
phòng thí nghiệm hay trục đối xứng trong trường hợp hạt nhân biến dạng. Các kết
quả
thu được trong các công trình của hai tác giả này đã chỉ ra rằng, bên cạnh vùng
mà khe năng lượng kết cặp giảm theo sự tăng nhiệt độ và moment góc M và biến mất
tại các giá trị tới hạn T
c
và M
c
, xuất hiện một vùng mà giá trị của moment góc M gần
với M
c
. Trong vùng này khe năng lượng kết cặp tái xuất hiện (reappear) tại nhiệt độ
T = T
1
, tăng theo T tại T > T
1
, đạt cực đại và giảm xuống cho tới khi biến mất tại
nhiệt độ T ≥ T
2
. Hiệu ứng này được gọi là kết cặp lạ (anomalous pairing) hay còn gọi
là kết cặp gây ra bởi nhiệt độ (thermally assisted pairing correlation). Các nghiên cứu
gần đây về khe năng lượng kết cặp trong các hạt kim loại siêu nhỏ với số hạt chẵn và
lẻ cũng tìm thấy sự tái xuất hiện tương tự của khe năng lượng kết cặp tại nhiệt độ hữu

hạn. Hiệu ứng này c
ũng được xác nhận trong nghiên cứu gần đây nhất bằng cách hợp
nhất lời giải chính xác của Hamiltonian kết cặp với CE tại nhiệt độ và tần số quay
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)

10
hữu hạn. Các kết quả thu được theo phương pháp này cũng chỉ ra sự tái xuất hiện của
khe năng lượng kết cặp tại nhiệt độ tới hạn. Tuy nhiên khác với các kết quả thu được
từ lý thuyết FTBCS, khe năng lượng kết cặp thu được bằng cách trên tái xuất hiện tại
một nhiệt độ T = T
1
, tăng lên theo T và luôn hữu hạn tại T > T
1
. Tính chất này gây ra
bởi sự xuất hiện của các thăng giáng của các tham số bậc (order parameters).
Trong chương 4 này chúng tôi mở rộng lý thuyết SCQRPA tại nhiệt độ hữu hạn
(trình bày trong chương 3) tới moment góc khác không nhằm mục đích nghiên cứu
ảnh hưởng của các thăng giáng lượng tử và nhiệt động học lên tính chất kết cặp trong
các hạt nhân nóng và quay (hot rotating nuclei).
Hamiltonian trong hệ quay mô tả một hệ có N hạt tương tác với nhau với mộ
t lực
tương tác cặp không đổi G. Các hạt này quay quanh trục đối xứng (quay phi tập thể)
theo một tốc độ góc (tần số quay)
với hình chiếu không đổi M (hoặc K) của toán tử
moment góc toàn phần dọc theo trục đối xứng này. Hamiltonian kết cặp của hệ này

có dạng
(5)
trong đó, H là Hamiltonian (1), thế hoá
và tốc độ góc là hai nhân Lagrangian
(Lagrangian multiplier) cần được xác định. Toán tử số hạt
và moment góc được
biểu diễn dưới dạng
(6)
trong đó,
với ( ) là các toán tử sinh (huỷ) hạt với moment góc k,
hình chiếu
và năng lượng . Kí hiệu k được sử dụng ở đây để chỉ các trạng thái
đơn hạt
trong cơ sở biến dạng (deformed basis) với hình chiếu dương . Kí
hiệu –k chỉ các trạng thái nghịch đảo thời gian
( > 0). Áp dụng phương
pháp tương tự như đã trình bày trong trong chương 3 cho Hamiltonian (5), chúng tôi
thu được phương trình cho khe năng lượng kết cặp tại nhiệt độ và moment góc hữu
hạn. Về mặt hình thức, các phương trình này giống như phương trình (3). Tuy nhiên,
thăng giáng số giả hạt
biến thành thăng giáng số giả hạt tại
nhiệt độ và moment góc khác không. Trong trường trung bình của các giả hạt, số
lượng tử chiếm có dạng phân bố Fermi-Dirac của các Fermion không tương tác
(7)
Lý thuyết được xây dựng dựa trên phuơng trình cho khe năng lượng kết cặp với các
phương trình cho số hạt, moment góc toàn phần (6) và số lượng tử chiếm (7) được
gọi là FTBCS1 tại moment góc khác không. Quá trình kết hợp trường trung bình của
các giả hạt với các QRPA phonon tại nhiệt độ và moment góc khác không được tiến
hành giống như đã trình bày trong chương 3. Nghĩa là chúng tôi áp dụng phương
pháp hàm Green hai thời gian. Số lượng tử chiếm cuối cùng có dạ

ng
(8)
Phương trình này giống với phương trình (4), tuy nhiên toán tử khối lượng
và
độ rộng phân bố năng luợng của các giả hạn
bị tách ra thành hai số hạng. Mỗi

11
số hạng trong đó tương ứng với giá trị âm và dương của hình chiếu moment góc đơn
hạt
. Lý thuyết FTBCS1 kết hợp với QRPA với số lượng tử chiếm cho bởi
phương trình (8) được gọi là FTBCS1+SCQRPA tại nhiệt độ và moment góc hữu hạn.
Các lý thuyết FTBCS1 (+SCQRPA) được kiểm tra trong phạm vi mô hình nhiều mức
với N = 10 hạt cũng như với một số hạt nhân thực (cầu và biến dạng),
20
O,
22
Ne, and
44
Ca. Các tính toán bằng số được thực hiện cho khe năng lượng kết cặp, năng lượng
toàn phần và nhiệt dung riêng theo nhiệt độ, moment góc toàn phần M và tốc độ quay
. Các kết quả thu được từ lý thuyết FTBCS áp dụng cho mô hình kết cặp nhiều mức
đã chỉ ra sự xuất hiện của hiệu ứng kết cặp gây bởi nhiệt độ. Tuy nhiên, hiệu ứng này
được không tìm thấy trong tính toán của lý thuyết FTBCS cho một số hạt nhân thực.
Do ảnh hưởng của thăng giáng số giả hạt, khe năng lượng kết cặp thu được từ lý
thuyết FTBCS1 tại các giá trị moment góc
M khác nhau giảm đều theo T và không
biến mất dù ở nhiệt độ rất cao, ngay cả trong trường hợp tính toán với mô hình cũng
như với một số hạt nhân thực. Hiệu ứng kết cặp gây bởi nhiệt độ cũng được tìm thấy
trong tất cả các trường hợp nhưng trong đó khe năng lượng kết cặp tái xuất hiện tại

một nhiệt độ
, tăng lên theo T và luôn hữu hạn tại . Hiệu ứng tìm được
này tương đối giống với các kết qủa thu được bằng cách hợp nhất lời giải chính xác
của Hamiltonian kết cặp với CE tại nhiệt độ và tần số quay hữu hạn.
Hiệu ứng đi ngược (backbending) của moment quán tính (moment of inertia),
, được tìm thấy trong tính toán theo mô hình cũng như trong hạt nhân
22
Ne
trong vùng nhiệt độ thấp, trong khi đó nó bị xoá nhoà theo sự tăng của nhiệt độ. Hiệu
ứng này không tìm thấy trong
20
O and
44
Ca, phù hợp với các số liệu thực nghiệm và
kết quả tính toán của các mô hình lý thuyết khác.
Hiệu chỉnh gây ra bởi sự kết hợp trường trung bình của các giả hạt với QRPA
phonon lên khe năng lượng kết cặp, năng lượng toàn phần và nhiệt dung riêng là
đáng kể trong vùng xung quanh nhiệt độ tới hạn
và tại moment góc M ( hoặc tốc
độ quay
) lớn. Sự hiệu chỉnh này lớn hơn trong các hệ nhỏ hơn. Hệ quả là tất cả dấu
hiệu của sự chuyển pha từ trạng thái siêu dẫn sang thường bị xoá nhoà trong cả
trường hợp bài toán mô hình lẫn hạt nhân thực.

12

Hình 4. Khe năng lượng kết cặp trung bình
theo nhiệt độ T tại các giá trị moment
góc M khác nhau [(a), (d)], và theo moment góc M [(b), (e)] và theo tốc độ quay

[(c), (f)] tại các T khác nhau đối với mô hình kết cặp nhiều mức N = 10, G = 0.5
MeV và hạt nhân
20
O, G = 1.04 MeV thu được theo lý thuyết FTBCS1.
Kết luận
Luận án lần đầu tiên đề xuất một lý thuyết gần đúng pha ngẫu nhiên tự hợp trong
biểu diễn giả hạt (SCQRPA). SCQRPA là một lý thuyết vi mô, có thể hoạt động tốt
cho hạt nhân nguyên tử và các hệ hữu hạn khác không những tại nhiệt độ bằng không
mà còn tại nhiệt độ và moment góc khác không cũng như tại mọi giá trị của hằng s
ố
tương tác cặp. Lý thuyết SCQRPA kết hợp với phương pháp Lipkin-Nogami, một
phương pháp xấp xỉ hình chiếu số hạt, nhằm loại bỏ các thăng giáng lượng tử gây bởi
sự vi phạm bảo toàn số hạt trong lý thuyết BCS. Lý thuyết SCQRPA được kiểm tra
bằng bài toán mô hình có lời giải chính xác, cũng như trong các hệ hạt nhân thực từ
nhẹ đến nặng. Các kết quả thu được đã chỉ ra ngu
ồn gốc vi mô của các thăng giáng
lượng tử và nhiệt động học trong các hệ hữu hạn. Các nguồn gốc vi mô này không
thể tìm thấy được trong nghiệm chính xác bởi không thể tách riêng các thăng giáng
này ra khỏi nghiệm chính xác của bài toán cần xem xét. Tại nhiệt độ bằng không,
việc loại bỏ các thăng giáng lượng tử gây bởi sự vi phạm bảo toàn số hạt trong lý
thuyết BCS khiến các kết quả thu được trong lý thuyết SCQRPA xích lại g
ần nghiệm
chính xác của mô hình nhiều mức. Tại nhiệt độ khác không, lý thuyết SCQRPA đã
chỉ ra rằng thăng giáng của số giả hạt chính là nguồn gốc vi mô xoá nhoà sự chuyển
pha từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái thường. Đối với hệ hạt nhân quay, các thăng
giáng số giả hạt đã khiến một hệ nhỏ trong trạng thái thường tại nhiệt độ bằng không

13
có thể chuyển thành siêu dẫn tại nhiệt độ khác không. So với các lý thuyết khác, lợi
thế của lý thuyết SCQRPA nằm ở chỗ đây là một lý thuyết vi mô và đơn giản khi áp

dụng cho các hệ hạt nhân nặng, các hệ mà chúng ta không thể tìm được lời giải chính
xác do kích thước quá lớn của ma trận cần được chéo hoá. Ngoài ra luận án cũng
nghiên cứu và so sánh một cách có hệ thống tính chất kết cặp siêu chảy của các hệ
hữ
u hạn tại nhiệt độ khác không bằng cách hợp nhất lời giải chính xác của mô hình
kết cặp nhiều mức với ba tập hợp thống kê chính: tập hợp thống kê đại chính tắc
(GCE), tập hợp thống kê chính tắc (CE) và tập hợp thống kê vi chính tắc (MCE). Kết
quả thu được đã chứng tỏ rằng sự chuyển pha từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái
thường đối với các hệ h
ữu hạn quả thực bị xoá nhoà trong cả ba tập hợp thống kê trên.
Luận án cũng đề xuất một phương pháp mới để cải tiến công thức tính khe năng
lượng kết cặp tại nhiệt độ hữu hạn dựa vào hiệu số khối lượng của hạt nhân chẵn và
lẻ. Công thức mới có tính đến việc loại bỏ các phần năng lượng phi tương quan ra
khỏ
i năng lượng toàn phần và kết quả thu được rất gần với kết quả của CE hoặc GCE.
Công thức mới này có ý nghĩa quan trọng trong việc tính toán khe năng lượng kết cặp
từ mật độ mức đo được trong thực nghiệm.
Lý thuyết SCQRPA đề xuất trong luận án có nhiều ứng dụng hứa hẹn. Một trong
số đó là việc nghiên cứu các hạt nhân giàu neutron và các hạt nhân không bền, đặc
biệt là các hạt nhân nhẹ. Ngoài ra, lý thuyết SCQRPA có thể dùng để nghiên cứu mật
độ mức đo được trong thực nghiệm mà lý thuyết BCS không thể mô tả được. Hơn
nữa, chúng tôi hi vọng có thể áp dụng lý thuyết SCQRPA để nghiên cứu sự chuyển
pha từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái thường với giả thiết coi hạt nhân như một hệ
cô lập (isolated system) và vi mô (microcanonical). Một ứng dụng khác nữa của lý
thuyết SCQRPA mà chúng tôi đ
ã và đang triển khai nghiên cứu là sự dịch chuyển từ
trạng thái BCS sang trạng thái đông đặc boson BEC trong các hệ hữu hạn như hạt
nhân nguyên tử. BEC đã được tìm thấy trong một số thí nghiệm gần đây trong các
khí nguyên tử Fermi cực lạnh.

14
Các công trình của tác giả liên quan đến luận án
1) N. Quang Hung and N. Dinh Dang (2007), “Self-consistent quasiparticle
random-phase approximation for a multilevel pairing model”, Phys. Rev. C 76,
054302; ibid 77, 029905 (E).
2) N. Dinh Dang and N. Quang Hung (2008), “Pairing within the self-consistent
quasiparticle random-phase approximation at finite temperature”, Phys. Rev. C 77,
064315.
3) N. Quang Hung and N. Dinh Dang (2008), “Pairing in hot rotating nuclei”, Phys.
Rev. C 78, 064315.
4) N. Dinh Dang and N. Quang Hung (2008), “Nuclear pairing at finite
temperature and finite angular momentum”, Int. Jour. Mod. Phys. E 17, 2160.
5) N. Quang Hung and N. Dinh Dang (2008), “Self-consistent quasiparticle RPA
for a multilevel pairing model”, World Scientific pp. 503 – 510.
6) N. Dinh Dang and N. Quang Hung (2008), “Thermal pairing assisted by
quasiparticle-number fluctuations”, RIKEN Accel. Prog. Rep. 41, 37.
7) N. Quang Hung and N. Dinh Dang (2008), “Effects of thermal fluctuations and
angular momentum on nuclear pairing properties”, RIKEN Accel. Prog. Rep. 41, 38.
8) N. Dinh Dang and N. Quang Hung (2009), “Nuclear pairing at finite
temperature and angular momentum”, American Institute of Physics (AIP) conference
proceedings 1090, pp. 179 – 183.
9) N. Quang Hung and N. Dinh Dang (2009), “Exact and approximate ensemble
treatments of thermal pairing in a multilevel model”, Phys. Rev. C 79, 054328.
10) N. Quang Hung and N. Dinh Dang (2009), “Thermodynamical ensemble
treatments of nuclear pairing in a multilevel model”, RIKEN Accel. Prog. Rep. 42 (in
press).
11) N. Dinh Dang, N. Quang Hung and P. Schuck (2009), “BCS-BEC transition in
finite systems”, RIKEN Accel. Prog. Rep. 42 (in
press).