Phương trình p(f) = q(g) và BI URS cho hàm phân hình trên trường không acsimet

1
Lời mở đầu
Năm 1926, Nevanlinna đã chứng minh: hàm phân hình trên C xác định một
cách duy nhất bởi ảnh ngợc, không tính bội của năm giá trị phân biệt. Định
lý năm điểm của Nevanlinna suy ra hai hàm nguyên khác hằng chung nhau bốn
giá trị hữu hạn phải trùng nhau (ta nói rằng hai hàm
f và g chung nhau giá trị a
nếu f
1
(a)=g
1
(a)). Kết quả này không thể tốt hơn, vì hai hàm e
z
và e
z
chung
nhau tại
0, 1, 1. Lý thuyết về tập xác định duy nhất của các hàm phân hình đợc
Gross nêu ra một cách tự nhiên: Liệu chỉ xét nghịch ảnh của một tập con
S mà
không phải là nghịch ảnh của từng phần tử, chúng ta có nhận đợc các kết quả
tơng tự định lý năm điểm Nevanlinna không? Tức là có tồn tại hay không tập
S
để với bất kỳ các hàm phân hình f,g thoả mãn f
1
(S)=g
1
(S) kéo theo f = g?
Ký hiệu W là trờng số phức C hoặc trờng K đóng đại số, đặc số 0, đầy đủ
với chuẩn không Acsimet,
A(W) là vành các hàm chỉnh hình trên W, M(W) là

trờng các hàm phân hình trên W, A
n
(W), P
n
(W) theo thứ tự là không gian affin và
xạ ảnh
n-chiều trên trờng W. Giả sử S là tập con không rỗng của

W = W {},
F là một họ nào đó các hàm xác định trên W lấy giá trị trên

W,f F. Đặt
E
f
(S)=

aS
{(z,m) WxN | z là không điểm bội m của f a}.
E
f
(S)=

aS
{z W | z là không điểm của f a}.
Hai hàm phân hình f,g đợc gọi là chung nhau S, tính cả bội (tơng ứng, không
tính bội
)nếuE
f
(S)=E
g

(S) (tơng ứng, E
f
(S)=E
g
(S)). Tập S gọi là tập xác
định duy nhất
(tơng ứng, tập xác định duy nhất không tính bội)chohọcác
hàm
F, kí hiệu là URS (tơng ứng, URSIM), nếu với mọi hàm f,g F thoả mãn
E
f
(S)=E
g
(S) (tơng ứng, E
f
(S)=E
g
(S)) thì f = g.
Khái niệm sau đây đợc đa ra bởi Gross - Yang.
Họ
S =(S
1
,S
2
, ,S
n
) các tập không rỗng S
1
,S
2

, ,S
n
W,S
i
S
j
= , 1 a
2
i = j a n đợc gọi là n-URS (tơng ứng, n-URSIM)chohọcáchàmF nếu với mọi
hàm
f,g F thoả mãn E
f
(S)=E
g
(S) (tơng ứng, E
f
(S)=E
g
(S)) thì f = g, với
E
f
(S)=(E
f
(S
1
),E
f
(S
2
), E

f
(S
n
)), E
f
(S)=(E
f
(S
1
), E
f
(S
2
), E
f
(S
n
)). 1-URS
(tơng ứng,
1-URSIM) là URS (tơng ứng, URSIM), 2-URS (2-URSIM) gọi là
bi-URS (bi-URSIM).
Với mỗi họ
S =(S
1
,S
2
, ,S
n
), định nghĩa số các phần tử của S là #S =
#S

1
+#S
2
+ +#S
n
, trong đó, #S
i
là số phần tử của S
i
. Ký hiệu
c
n
(F):=min{#S | S là nURS cho F},i
n
(F):=min{#S | S là nURSIM cho F}.
Lý thuyết về tập xác định duy nhất hiện nay nghiên cứu theo các hớng sau:
(1) Tìm các
n-URS và n-URSIM cho A(W), M(W) với số phần tử bé nhất có
thể. Từ đó xác định các
c
n
,i
n
cho A(W), M(W) với mỗi n.
(2) Tìm các đặc trng của n-URS và n-URSIM cho A(W), M(W).
Theo hớng nghiên cứu thứ hai, năm 1997, Boutabaa, Escassut và Haddad đa
ra đặc trng của URS cho các đa thức trên trờng đóng đại số bất kỳ. Năm 1999,
Cherry và Yang đã mở rộng kết quả này cho
A(K). Hainămsau,Khoái-Anđã
đa ra một đặc trng của URS cho

M(C). Năm 2002, Wang đarađặctrng của
bi-URS cho
M(L) với L là trờngđóngđạisốcóđặcsốp 0.
Theo hớng thứ nhất, trên C, định lý năm điểm của Nevanlinna tơng ứng với
n =5. Trờng hợp n =1, kết quả tốt nhất cho đến nay là chỉ ra URS cho M(C)
có 11 phần tử. Trên K, Hu - Yang đã chỉ ra tồn tại URS cho M(K) có 10 phần
tử, và đó cũng là tập có số phần tử ít nhất đã tìm đợc. Trờng hợp
n =2, năm
1996, Li -Yang đã chứng minh, trên
C tồn tại bi-URS cho h àm phân hình có dạng
(S, {}) với #S 15. Trên trờng K, năm 1971, Adams và Straus đã chỉ ra: với
mọi
a = b, cặp ({a}, {b}) là bi-URS cho hàm nguyên. Năm 1998, Boutabba và
Escassut đã chỉ ra: với mọi
n 5 và K {}, tồn tại bi-URS cho M(K) có
dạng
({z
1
,z
2
, ,z
n
}, {}). Cũng tại đây, các tác giả đã chứng minh không tồn
tại bi-URS cho
M(K) có dạng ({z
1
,z
2
,z
3

}, {}). Năm 2001, Khoái - An chỉ ra sự
tồn tại của bi-URS cho
M(K) dạng ({z
1
,z
2
,z
3
,z
4
}, {}). Nh vậy, vấn đề tồn tại
bi-URS cho
M(K) kiểu (1,n) đã giải quyết trọn vẹn và n =4là số tốt nhất có thể.
Khi nghiên cứu bài toán về tập xác định duy nhất và đa thức duy nhất, các tác
giả trớc đây vẫn thờng tìm các điều kiện cho đa thức
P (z) để với hằng số C =0,
3
phơng trình P (f)=CP (g) và P(f)=P (g) chỉ có nghiệm f = g. Năm 2003, H.
H. Khoái và C. C. Yang ([41]) đã tổng quát thành vấn đề trên
C : Tồn tại hay
không nghiệm phân hình của phơng trình hàm
P (f)=Q(g) với P, Q C[z]?
Ngay lập tức, bài toán này nhận đợc sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế
giới. Ngoài những kết quả của H. H. Khoái - C. C. Yang ([41]), của C. C. Yang -
P. Li ([53]) trên
C, trong những năm gần đây, ngời ta mở rộng việc nghiên cứu
bài toán này trên các trờng có đặc số mà tiêu biểu là A. Escassut và C. C. Yang
([20]), A. Escassut - T. T. H. An ([5]).
Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu hai vấn đề sau:
Vấn đề 1. Nghiệm phân hình của phơng trình hàm P(f)=Q(g) trên trờng

W.
Vấn đề 2. Các tập song xác định duy nhất (bi-URS) cho M(K) kiểu (2,m).
Luận án đợc chia thành ba chơng cùng với phần mở đầu, kết luận, danh
mục các công trình đã công bố và 57 tài liệu tham khảo.
Chơng 1 dành cho việc trình bày các kiến thức cơ sở sẽ dùng trong luận án.
Chơng 2 dành giới thiệu những kết quả nghiên cứu phơng trình tổng quát
P (f)=Q(g) trong M(K) và M(C). Nội dung chính của chơng là phát biểu và
chứng minh các điều kiện đủ để phơng trình
P (f)=Q(g) không có nghiệm khác
hằng trong M(K) và M(C), điều kiện cần và đủ để phơng trình P (f)=P (g)
không có nghiệm khác hằng phân biệt trong M(K). Ngoài ra, ở một số trờng
hợp đặc biệt, chúng tôi cố gắng chỉ ra một họ nghiệm phân hình khác hằng của
các phơng trình này.
Chơng 3 nghiên cứu về bi-URS cho các hàm phân hình trên trờng không
Acsimet. Kết quả chính của chơng này là đa ra một lớp bi-URS tổng quát cho
M(K) kiểu (2,m) với mọi m 3 và khẳng định m =3là bé nhất có thể.
Kết quả nghiên cứu của luận án đã đóng góp cụ thể trong đề tài Lý thuyết
Nevanlinna p-adic và ứng dụng, chơng trình nghiên cứu cơ bản cấp nhà nớc,
chủ nhiệm đề tài GS. TSKH. Hà Huy Khoái, Viện Toán học, Hà nội.
4
Chơng 1
Cáckiếnthứccơsở.
Nội dung chơngnàytrìnhbàycáckháiniệmcơsởcơbảnnhấtliênquanđến
toàn bộ luận án.
1.1 Trờng không Acsimet.
Chuẩn không Acsimet.
Định nghĩa 1.1.1. Một chuẩn không Acsimet trên trờng K là ánh xạ
| . |: K R
+
=[0, )

thoả mãn các điều kiện sau:
(1) | x |=0 x =0,
(2) | xy |=| x || y |,
(3) | x + y |a max {| x |, | y |}
Trờng với chuẩn không Acsimet đợc gọi là trờng không Acsimet.
Không gian p-adic. Một ví dụ của chuẩn không Acsimet là chuẩn p-adic,
đợc xác định nh sau:
Cho
p là số nguyên tố. Số nguyên a bất kỳ có thể biểu diễn dới dạng a = p
v
a

,
p không chia hết a

. Số tự nhiên v đợc xác định duy nhất bởi a và p, cho nên ta
thu đợc hàm
v
p
: Z \{0} Z
+
,v
p
(a)=v. Cóthểmởrộnghàmv
p
lên trờng
5
các số hữu tỷ: Với mỗi x =
a
b

Q, đặt
v
p
(x)=

v
p
(a) v
p
(b) nếu x =0
+ nếu x =0.
Khi đó, ta có chuẩn p-adic tơng ứng, ký hiệu ||
p
, trên Q, xác định bởi:
| x |
p
=

p
v
p
(x)
nếu x =0
0 nếu x =0.
Chỉ có hai hớng mở rộng trờng các số hữu tỷ Q : Mở rộng theo chuẩn giá trị
tuyệt đối thông thờng ta đợc trờng số thực
R, mở rộng theo chuẩn p-adic ta
đợc trờng các số p-adic, kí hiệu là
Q
p

. Gọi Q
p
là bao đóng đại số của Q
p
. Tuy
đóng đại số nhng Q
p
không đầy đủ theo tôpô không Acsimet. Kí hiệu C
p
=

Q
p
là trờng mở rộng đầy đủ theo tôpô không Acsimet bao đóng đại số của Q
p
, và
đợc gọi là
trờng các số phức p-adic.
Hàm chỉnh hình và hàm phân hình p-adic.
Định nghĩa 1.1.4. Một chuỗi luỹ thừa f(z)=


n=0
a
n
z
n
,a
n
C

p
, hội tụ trên
đĩa
D(0,r) gọi là hàm chỉnh hình p-adic trên đĩa ấy. Hàm chỉnh hình trên toàn
C
p
đợc gọi là hàm nguyên p-adic.
Giả sử
f và g là các hàm chỉnh hình p-adic không có không điểm chung trên
một đĩa. Khi đó hàm
=
f
g
đợc gọi là hàm phân hình p-adic trên đĩa đó. Nếu
f,g là các hàm nguyên p-adic thì là hàm phân hình trên C
p
, còn gọi là hàm
phân hình p-adic
.
Không gian hyperbolic.
Định nghĩa 1.2.2. Giả sử D là đĩa đơn vị trong C, khoảng cách hyperbolic giữa
hai điểm
a, b D xác định bởi
d
hyp
(a, b):=
1
2
log
1+

b a
1 ab



1



b a
1 ab



.
Cho X là không gian con phức liên thông, x, y X. Xét dãy các hàm chỉnh hình
f
i
: D X, i =1, 2, ,m, và các điểm a
i
,b
i
D sao cho f
1
(a
1
)=x, f

m
(b
m
)=
y, f
i
(b
i
)=f
i+1
(a
i+1
),i=1, 2, ,m1. Khi đó, ta nói rằng x và y đợc nối với nhau
6
bởi chuỗi các đĩa Kobayashi.Đặtd
kob,X
(x, y)=d
X
(x, y):=inf

m
i=1
d
hyp
(a
i
,b
i
),
trong đó, cực tiểu lấy với mọi cách chọn f

i
,a
i
,b
i
. Hàm d
X
(x, y) xác định một
nửa khoảng cách trên
X, đợc gọi là nửa khoảng cách Kobayashi của hai điểm
x, y X. Trờng hợp X là không gian không liên thông, ta định nghĩa d
X
(x, y)=
nếu x và y thuộc hai thành phần liên thông khác nhau.
Định nghĩa 1.2.3. Không gian X đợc gọi là hyperbolic Kobayashi nếu nửa
khoảng cách Kobayashi
d
X
là khoảng cách, nghĩa là với mọi x, y X, d
X
(x, y)=0
khi và chỉ khi x = y.
Định nghĩa 1.2.4. Không gian X đợc gọi là hyperbolic Brody nếu mọi ánh xạ
chỉnh hình từ
C vào X P
n
(C) là ánh xạ hằng.
Định lý 1.2.5. Mọi không gian hyperbolic Kobayashi là không gian hyperbolic
Brody.
Chúng ta biết rằng, trên C, mỗi đờng cong xạ ảnh đều là diện Riemann và

ngợc lại. Bởi vậy, để chứng minh đờng cong xạ ảnh trên
C là hyperbolic, ngời
ta thờngsửdụngmệnhđềsauđây:
Mệnh đề 1.2.6. Mọi diện Riemann compact có giống g 2 là đa tạp hyperbolic
Kobayashi và do đó cũng là đa tạp hyperbolic Brody.
Nếu W là trờng không Acsimet, chúng ta có định lý:
Định lý 1.2.7. (Picard - Berkovich). Giả sử X P
2
(K) là đờng cong đại số trơn
xác định trên trờng
K, đầy đủ với chuẩn không Acsimet không tầm thờng, có
giống
g
X
1. Khi đó, mọi ánh xạ chỉnh hình từ đờng thẳng affine A
1
(K) lên X
đều là ánh xạ hằng.
Nếu đờng cong X trên K có giống g
X
1 thì X cũng đợc gọi là hyperbolic
trên K.
Nhận xét 1.2.8. Nếu F (x, y) là đa thức trên W sao cho đờng cong đại số
C = {(x, y) A
2
(W) | F(x, y)=0}
có giống g
C
2 (trờng hợp phức) và g
C

1 (trờng hợp p-adic) thì không tồn tại
các hàm phân hình phân biệt
f,g khác hằng để F(f(z),g(z)) = 0 với mọi z W.
7
1.2 Các 1-dạng chính quy trên đờngcongĐạisố.
Gọi R(X, Y , Z),S(X, Y , Z ) là các đa thức thuần nhất trên W. Đặt
W
1
= W (X, Y )=




XY
dX dY




,W
2
= W (Y,Z)=




YZ
dY dZ

,
W
3
= W (X, Z)=




XZ
dX dZ




.
Các 1-dạng
i
=
R(X, Y , Z)
S(X, Y, Z)
W
i
,i=1, 2, 3, gọi là các 1-dạng hữu tỷ trên P
2
(W).
1-dạng
i
gọi là xác định tốt nếu deg R +2=deg S.

Giả sử F (x, y) là đa thức bậc n 2 của W[x, y]. Kí hiệu

F là đa thức thuần
nhất của
F, C và

C theo thứ tự là các đờng cong đại số xác định bởi F trên
A
2
(W) và P
2
(W).
Định nghĩa 1.3.1. 1-dạng trên

C đợc gọi là chính quy nếunólàhạnchếcủa
1-dạng hữu tỷ trên P
2
(W) sao cho không có cực điểm nào của thuộc

C. 1-dạng
hữutỷchínhquyxácđịnhtốttrên

C đợc gọi là 1-dạng kiểu Wronskian.
Mệnh đề 1.3.2. Giả sử

C là đờng cong đại số trên P
2
(K) có giải kỳ dị X với
giống
g. Khi đó tồn tại g các 1-dạng hữu tỷ chính quy độc lập tuyến tính trên

X (và cũng là trên

C).
Nếu W là C, chúng ta có kết quả sau:
Định lý 1.3.6. Giả sử C là đờng cong đại số bất khả quy bậc n trên A
2
(C) xác
định bởi phơng trình affine
F (x, y)=0sao cho
F
y
0,Xlà diện Riemann thu
đợc từ phép giải kỳ dị của
C. Khi đó các 1-dạng vi phân chính quy trên X (và
cũng là trên
C) chỉ là các dạng vi phân có dạng
(x, y)dx
F
y
(x, y)
trong đó, (x, y)=0là phơng trình đờng cong bậc n 3 liên hợp với C. Nh
vậy, không gian các 1-dạng vi phân trên
X có số chiều là g, với g là giống của
X.
8
Chơng 2
Phơng trình hàm P(f)=Q(g) trên K
và C.
2.1 Những vấn đề chung
Giả sử P(z),Q(z) là các đa thức không tuyến tính trên W. Sử dụng các công

cụ của hình học đại số, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại các hàm phân hình khác
hằng
f,g trên W để P(f)=Q(g).
Gọi f,g là các hàm phân hình thoả mãn P (f)=Q(g). Khi đó, với mỗi z W,
điểm (f(z),g(z)) thuộc đờng cong = {P (x) Q(y)=0}. Nếu là hyperbolic
thì
f = g. Một vấn đề cơ bản của Hình học Đại số là giống của đờng cong đại
số bằng số chiều của không gian các
1-dạng hữu tỷ, chính quy xác định trên nó.
Vì vậy, để nghiên cứu tính hyperbolic của đờng cong
{P (x) Q(y)=0}, chúng
tôi ớc lợng giống của nó bởi việc xây dựng vừa đủ các
1-dạngkiểuWronskian
độclậptuyếntínhtrênđờng cong này.
Trớc hết, chúng ta c ó kết quả sau:
Bổ đề 2.1.1. Nếu degP = degQ =2thì phơng trình P(f )=Q(g) luôn có nghiệm
phân hình khác hằng trên
W.
Ký hiệu P(x),Q(y) làcácđathứctrênW theo thứ tự bậc n, m 2
P (x)=a
n
x
n
+ + a
1
x + a
0
,a
n
=0,Q(y)=b

m
y
m
+ + b
1
y + b
0
,b
m
=0. (1.1)
9
Khi đó,
P

(x)=na
n
(x
1
)
n
1
ããã(x
k
)
n
k
,Q

(y)=mb
m

(y
1
)
m
1
ããã(y
l
)
m
l
, (1.2)
Không mất tính tổng quát, ta có thể xem n m. Đặt
F (x, y):=P (x) Q(y),

F (X, Y , Z):=Z
n

P (
X
Z
) Q(
Y
Z
)

, (1.3)
P

(X, Z ):=Z
n1

P

(x)



x=
X
Z
,Q

(Y,Z ):=Z
m1
Q

(y)



y =
Y
Z
.
Ký hiệu

C :=

(X : Y : Z) P
2
(W) |

F (X, Y , Z)=0

, (1.4)
=
W (Y,Z)
P

(X, Z )
=
W (X, Z)
Z
nm
Q

(Y,Z )
=
W (X, Y )

n1
i=0
(n i)a
i
X
i
Z
n1i


m

I
j=0
(n j)b
j
Y
j
Z
n1j
. (1.5)
Chúng ta có bổ đề sau:
Bổ đề 2.1.3. Giả sử P (z),Q(z) W[z] là các đa thức bậc n, m tơng ứng,

1
, ,
k
là các không điểm phân biệt của P

,
1
, ,
l
là các không điểm
phân biệt của
Q

và

C là đờng cong xạ ảnh xác định bởi (1.4). Ký hiệu

là

tập các điễm kỳ dị của

C. Khi đó:
(i) Nếu | n m |< 2, thì


= {(
i
:
j
:1)| P(
i
) Q(
j
)=0}.
(ii)
Nếu n m 2, thì


= {(
i
:
j
:1)| P(
i
) Q(
j
)=0} {(0 : 1 : 0)}.
(iii)
Nếu m n 2, thì

= {(
i
:
j
:1)| P(
i
) Q(
j
)=0} {(1 : 0 : 0)}.
Các kí hiệu sau đợc dùng trong suốt chơng này.
:= {(
i
:
j
:1)| (
i
:
j
:1)là điểm kỳ dị của

C},
:= {
i
| tồn tại không điểm
j
của Q để (
i
:

j
:1) },
:= {
j
| tồn tại không điểm
i
của P để (
i
:
j
:1)} },
I := #,J:= #.
Các kết luận trong phần còn lại của chơng này chỉ phát biểu cho trờng hợp
n m. Nếu m>n,bằng cách thay đổi vai trò của P và Q một cách thích hợp,
chúngtasẽnhậnđợc các kết quả tơng tự.
10
2.2 Phơng trình hàm P (f)=Q(g) trên K.
Trờng hợp P = Q.
Địnhlýsaulàđiềukiệnđủđểphơng trình P(f)=Q(g) không có nghiệm
phân hình khác hằng trên
K.
Định lý 2.2.1. Giả sử P(x),Q(y) là các đa thức không tuyến tính khác nhau bậc
n, m tơng ứng . , ,I,J làcáckíhiệuđãchoởtrên,k và l theothứtựlàchỉ
số đạo hàm của
P và Q. Khi đó, không tồn tại các hàm phân hình khác hằng
f,g trên K để P (f)=Q(g) nếu một trong các điều kiện sau đợc thoả mãn:
(i) k I n m +2,
(ii) l J 2,
(iii) k I =1và gọi là không điểm của P

có bội n

sao cho / , thì
n

n m +2,
(iv) l J =1và gọi là không điểm duy nhất của Q

sao cho / , thì
phải là không điểm bội.
Để chứng minh định lý này, chúng ta cần bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.2. (i) Nếu J<l,thì 1-dạng
:=
W (X, Z )

t|
t
/
(Y
t
Z)
m
t
,
chính quy trên

C.
(ii) Nếu I<k,thì 1 -dạng
:=
Z

nm
W (Y, Z )

i|
i
/
(X
i
Z)
n
i
,
chính quy trên

C.
Giả sử
ij
=(
i
:
j
:1)là một điểm kỳ dị của

C.Thếthì
P (x) P(
i
)=
n

t=n

i
+1
a
it
(x
i
)
t
,Q(y) Q(
j
)=
m

t=m
j
+1
b
jt
(y
j
)
t
,
11
với P (
i
)=Q(
j
). Do vậy,

F (X, Y , Z )=Z
n
{P (
X
Z
) Q(
Y
Z
)} = Z
n

{P (
X
Z
) P (
i
)} {Q(
Y
Z
) Q(
j
)}

=
n

t=n
i
+1
a

it
(X
i
Z)
t
Z
nm
m

t=m
j
+1
b
jt
(Y
j
Z)
t
.
Khai triển Piuseux

F (X, Y , Z) tại
ij
, ta nhận đợc
(n
i
+1)ord

ij
,

0
F
(X
i
Z)=(m
j
+1)ord

ij
,
0
F
(Y
j
Z).
Chúng ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.2.3. Giả sử P(x),Q(y) là hai đa thức không tuyến tính khác nhau bậc
n, m tơng ứng,

C là đờng cong xác định bởi (1.4), P thoả mãn điều kiện tách
nghiệm và
J 2. Sắp xếp các
j
trong sao cho m
1
m
2
m
J
và lấy

(
i
1
:
1
:1), (
i
2
:
2
:1) . Khi đó, đờng cong

C là hyperbolic trên K nếu
một trong các điều kiện sau thoả mãn:
(i) m
1
m
2
2,m
1
n
i
1
và m
2
n
i
2
,
(ii) n

i
1
>m
1
m
2
n
i
2
,m
2
> 2 và
m
1
+1
m
1

n
i
1
m
1
m
2
2
,
(iii) m
1
n

i
1
,n
i
2
>m
2
2,m
1
> 2 và
m
2
+1
m
2

n
i
2
m
2
m
1
2
,
(iv) n
i
1
>m
1

,n
i
2
>m
2
,m
2
> 2,
m
1
+1
m
1

n
i
1
m
1
m
2
2
và
m
2
+1
m
2

n

i
2
m
2
m
1
2
.
Trờng hợp J =# =1, chúng ta có kết quả sau.
Mệnh đề 2.2.5. Giả sử P (x),Q(y) là hai đa thức không tuyến tính khác nhau bậc
n, m tơng ứng ,

C là đờng cong xác định bởi (1.4), , , ,J đãchoởtrênvà
J =1. Kí hi ệu n
i
là bội của
i
tơng ứng,
1
có bội m
1
. Khi đó,

C là
hyperbolic nếu

i|
i

n

i
(n m +2) m
1
max
i|
i

{n
i
}.
Chú ý 2.2.6. Nếu k = I = J = l =1, thì P (x)=a(x )
n
+ c, Q(y)=b(y )
m
+
c, a =0,b=0.
Khi đó, tồn tại
f = +
h
m
n

a
,g= +
h
n
m

b
,

thoả mãn P(f)=Q(g), với h là hàm phân hình bất kỳ.
12
Tổng hợp các Mệnh đề 2.2.3, 2.2.5 và Chú ý 2.2.6, ta có:
Định lý 2.2.7. Cho P(z),Q(z) là hai đa thức không tuyến tính bậc n, m, tơng
ứng, v à
, ,I,J là các kí hiệu đợc định nghĩa ở trên. Sắp xếp các
j
sao
cho
m
1
m
2
m
J
.
1.GiảsửJ 2,Pthỏamãnđiềukiệntáchnghiệmvà(
i
t
:
t
:1) với
t =1, 2. Khi đó, không tồn tại các hàm phân hình khác hằng f,g để P(f)=Q(g)
nếu một trong các điều kiện sau thoả mãn:
(i) m
1
m
2
2,m
1

n
i
1
và m
2
n
i
2
,
(ii) n
i
1
>m
1
m
2
n
i
2
,m
2
> 2 và
m
1
+1
m
1

n
i

1
m
1
m
2
2
,
(iii) m
1
n
i
1
,n
i
2
>m
2
2,m
1
> 2 và
m
2
+1
m
2

n
i
2
m

2
m
1
2
,
(iv) n
i
1
>m
1
,n
i
2
>m
2
,m
2
> 2,
m
1
+1
m
1

n
i
1
m
1
m

2
2
và
m
2
+1
m
2

n
i
2
m
2
m
1
2
.
2.GiảsửJ =1, ký hiệu
1
,
2
, ,
I
là các không điểm phân biệt của P

với bội n
1
,n
2

, ,n
I
tơng ứng, sao cho (
i
:
1
:1) ,i=1, 2, ,I. Khi đó,
không tồn tại các hàm phân hình khác hằng
f và g thoả mãn P(f)=Q(g) nếu
I

i=1
n
i
(n m +2) m
1
max
1aiaI
{n
i
}.
3.Giảsửl = J = I = k =1. Khi đó, phơng trình P (f)=Q(g) luôn có
nghiệm phân hình khác hằng trên
K.
Trờng hợp P Q.
Định lý 2.2.9. Giả sử P (z) là đa thức không tuyến tính bậc n thoả mãn điều kiện
tách nghiệm,
k là chỉ số đạo hàm của P và
1
, ,

k
là các không điểm phân biệt
của
P

với bội tơng ứng n
1
,n
2
, ,n
k
. Sắp xếp các
i
sao cho n
1
n
2
n
k
.
Cần và đủ để k hông tồn tại các hàm phân hình khác hằng phân biệt f,g thoả
mãn
P (f)=P (g) là k 3 hoặc k =2và min{n
1
,n
2
} 2.
Chứng minh. Kí hiệu
H

(x, y):=
P (x) P (y )
x y
,F

(X, Y, Z ):=Z
n1
H

(
X
Z
,
Y
Z
).
C

:= {(X : Y : Z) P
2
(K) |F

(X, Y, Z )=0}.
Đặt
:= na
n
(X Y )
n4
=
(X Y )

n3
W (X, Z )
(Y
1
Z)
n
1
(Y
k
Z)
n
k
.
13
Từ tính chính quy của suy ra điều kiện cần của định lý.
Ngợc lại, nếu
k =1, ký hiệu
n
=1và h làhàmphânhìnhkháchằngbấtkỳ
trên
K,thì
f = h + ,g= h + ,
là nghiệm của phơng trình P (f)=P (g).
Trờng hợp k =2và min{n
1
,n
2
} < 2, thì
f = {
b

2
3ac
9a
2
}{
i

3
2i
}h + {
i +

3
2i
}
1
h

b
3a
,
g = {
b
2
3ac
9a
2
}{
i +

3
2i
}h + {
i

3
2i
}
1
h

b
3a
,
là các nghiệm phân hình khác hằng phân biệt của phơng trình P (f)=P (g).
Nếu k =2,n
1
2 và n
2
=1, thì đờng cong C

có giống 0, nghĩa là tồn tại các
hàm phân hình khác hằng
f,g để (f(z):g(z):1) C

. Định lý đã đợc chứng
minh.
2.3 Phơng trình hàm P (f)=Q(g) trên C.
Định lý 2.3.1. Giả sử P(x),Q(y) là hai đa thức không tuyến tính khác nhau trên
C bậc n, m tơng ứng. , ,I,J đã cho ở trên, k và l theo thứ tự là chỉ số đạo

hàm của
P và Q. Khi đó, không tồn tại các hàm phân hình khác hằng f, g trên
C để P(f)=Q(g) nếu một trong các điều kiện sau đợc thoả mãn:
(i) k I n m +3,
(ii) l J 3,
(iii) k I =2
và n
1
+ n
2
n m +3, trong đó n
1
,n
2
là số bội của các không
điểm phân biệt

1
,
2
của P

sao cho
1
,
2
/ ,
(iv) l J =2và m
1
+ m

2
3, trong đó m
1
,m
2
là số bội của các không điểm
phân biệt

1
,
2
của Q

sao cho
1
,
2
/ ,
(v) k I =1và n
1
n m +3 với n
1
là số bội của không điểm
1
của P

sao cho
1
/ ,
14

(vi) l J =1và m
1
3 với m
1
là số bội của không điểm
1
của Q

sao cho

1
/ .
Định lý 2.3.1 đợc suy ra trực tiếp từ hai bổ đề sau:
Bổ đề 2.3.2. Nếu J<l, I<k,thì các 1-dạng
:=
W (X, Z)

t|
t
/
(Y
t
Z)
m
t
, :=
Z
nm
W (Y,Z)

i|
i
/
(X
i
Z)
n
i
,
chính quy trên

C.
Bổ đề 2.3.3.
Nếu

i|
i
/
n
i
n m +3 hoặc

t|
t
/
m
t
3, thì

C là hyperbolic.

Mệnh đề 2.3.4 sau đây là một sự tơng tự của Mệnh đề 2.2.3 trên C.
Mệnh đề 2.3.4. Giả sử P, Q là hai đa thức không tuyến tính khác nhau bậc n, m
tơng ứng, P thoảmãnđiềukiệntáchnghiệmvà

C là đờng cong xạ ảnh xác
định bởi (1.4),
, ,Jđợc định nghĩa ở trên và J 2. Sắp xếp
1
,
2
, ,
J

sao cho m
1
m
2
m
J
và lấy hai điểm (
1
:
1
:1), (
2
:
2
, :1) . Khi đó,
đờng cong

C là hyperbolic nếu một trong các điều kiện sau đợc thoả mãn:
(i) m
1
m
2
3,m
1
n
1
,m
2
n
2
,
(ii) m
1
n
1
,m
1
> 3,n
2
>m
2
3,
m
2
+1
m
2

n
2
m
2
m
1
3
,
(iii) n
1
>m
1
m
2
> 3,m
2
n
2
,
m
1
+1
m
1

n
1
m
1

m
2
3
,
(iv) n
1
>m
1
m
2
> 3,n
2
>m
2
,
m
1
+1
m
1

n
1
m
1
m
2
3
và
m

2
+1
m
2

n
2
m
2
m
1
3
.
Trờng hợp J =# =1,lýluậntơngtựMệnhđề2.2.5,tacómệnhđềsau:
Mệnh đề 2.3.6. Giả sử P (x),Q(y) là hai đa thức không tuyến tính khác nhau bậc
n, m tơng ứng ,

C
là đờng cong xác định bởi (1.4), , , ,J đãchoởtrênvà
J =1. Kí hi ệu n
i
là bội của
i
tơng ứng,
1
có bội m
1
. Khi đó,

C là

hyperbolic nếu

i|
i

n
i
(n m +3) m
1
max
i|
i

{n
i
}.
Nếu k = I = J = l =1, phơng trình P(f)=Q(g) sẽ trở thành a(f )
n
=
b(g )
m
. Gọi h là hàm phân hình khác hằng bất kỳ, thì
f = +
h
m
n

a
,g= +
h

n
m

b
,
15
là nghiệm của phơng trình đã cho.
Tổng hợp các Mệnh đề 2.3.4, 2.3.6 và chú ý trên, ta có kết quả sau:
Định lý 2.3.8. Gọi P (z),Q(z) là hai đa thức không tuyến tính khác nhau bậc
n, m tơng ứng, , ,I,J là các kí hiệu đợc định nghĩa ở trên. Sắp xếp các

j
sao cho m
1
m
2
m
J
.
1.GiảsửJ 2,Pthỏamãnđiềukiệntáchnghiệmvà(
t
:
t
:1) với
t =1, 2. Khi đó, không tồn tại các hàm phân hình khác hằng f, g để P(f)=Q(g)
nếu một trong các điều kiện sau thoả mãn:
(i) m
1
m
2

3,m
1
n
1
,m
2
n
2
,
(ii) m
1
n
1
,m
1
> 3,n
2
>m
2
3,
m
2
+1
m
2

n
2
m
2

m
1
3
,
(iii) n
1
>m
1
m
2
> 3,m
2
n
2
,
m
1
+1
m
1

n
1
m
1
m
2
3
,
(iv) n

1
>m
1
m
2
> 3,n
2
>m
2
,
m
1
+1
m
1

n
1
m
1
m
2
3
và
m
2
+1
m
2

n
2
m
2
m
1
3
.
2.GiảsửJ =1, ký hiệu
1
,
2
, ,
I
là các không điểm phân biệt của P

với bội n
1
,n
2
, ,n
I
tơng ứng sao cho (
t
:
1
:1) ,t=1, 2, ,I. Khi đó,
không tồn tại các hàm phân hình khác hằng
f và g thoả mãn P(f)=Q(g) nếu
I

t=1
n
t
(n m +3) m
1
max
1ataI
{n
t
}.
3.Giảsửl = J = I = k =1. Khi đó, phơng trình P (f)=Q(g) luôn có
nghiệm phân hình khác hằng trên
C.
Kết luận.
Kết quả chính của chơng này là đa ra các điều kiện đủ để phơng trình
P (x) Q(y)=0không có nghiệm phân hình khác hằng trên K (các Định lý 2.2.1
và 2.2.7) và trên
C (các Định lý 2.3.1 và 2.3.8). Đặc biệt, trên K, chúng tôi tìm
đợc điều kiện cần và đủ để phơng trình
P (x)=P (y) không có nghiệm phân
hình khác hằng phân biệt (Định lý 2.2.9). Cùng với Bổ đề 2.1.1, những kết quả
này cho phép chúng ta khẳng định phơng trình
P (x) Q(y)=0hầu nh không
có nghiệm phân hình khác hằng trên K và C nếu degP, degQ 3, cho dù đờng
cong
{P (x) Q(y)=0} có hoặc không có kỳ dị hữu hạn.
16
Chơng 3
Bi-URS cho hàm phân hình trên trờng

không Acsimet.
3.1 Đặt vấn đề
Việc nghiên cứu bài toán URS cho các hàm phân hình hiện gặp nhiều khó
khănkhimuốngiảmsốphầntửcủaURS.Chođếnnaycha tìm ra phơng pháp
để xác định URS cho các hàm phân hình phức (p-adic, tơng ứng) có số phần tử
ít hơn 11 (tơng ứng, 10). Bởi vậy, một vấn đề đợc đặt ra rất tự nhiên là xét
sự xác định của các hàm phân hình thông qua ảnh ngợc của nhiều hơn một tập
hợp. Theo hớng này chúng ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 3.1.2. Một họ các tập con không rỗng, hữu hạn và đôi một không
giao nhau
(S
1
,S
2
, ,S
n
), (n N

) của

W
đợc gọi là n-tập xác định duy nhất
(kí hiệu, n-URS) cho họ không rỗng các hàm F nếu với mọi hàm f,g F sao cho
E
f
(S
i
)=E
g
(S

i
),i=1, 2, ,n thì f = g. Nếu n =2thì cặp 2-URS gọi là bi-URS.
Một vấn đề cơ bản đ ợc đặt ra: giả sử
(S
1
,S
2
, ,S
n
) là một họ các tập con
hữu hạn đôi một rời nhau của

W, hãy tìm các điều kiện của n và các S
i
để
(S
1
,S
2
, ,S
n
) là n-URS cho các hàm phân hình trên W. Trờng hợp W là C nếu
n =5, #S
i
=1, bài toán trở thành định lý năm điểm của Nevanlinna. Nếu n =1
bài toán trở thành bài toán về tập xác định duy nhất cho hàm nguyên và hàm phân
hình trên
C. Trên K, khi n =4và #S
i
=1, chúng ta có các kết quả của Adams

và Strauss. Đối với hàm phân hình trên
C, Yang - Li đã chỉ ra tồn tại bi-URS
có dạng
({},S) với #S 15. Boutabaa - Escassut đã chứng minh rằng, với mọi
17
s 5 và mọi K, tồn tại bi-URS cho M(K) có dạng ({}, {u
1
,u
2
, ,u
s
}).
Escassut - Haddad - Vidad chỉ ra rằng không tồn tại bi-URS cho M(K) có dạng
({}, {u
1
,u
2
,u
3
}). Năm 2001, Khoái - An, thông qua việc xây dựng điều kiện
đại số cho các đa thức duy nhất, đã chứng tỏ rằng, với các
a
i
đủ tổng quát thì
({}, {a
1
,a
2
,a
3

,a
4
}) là bi-URS cho M(K). Nh vậy, bài toán bi-URS cho M(K)
dạng ({},S) với S K đã giải quyết trọn vẹn. Trong phạm vi chơng này, chúng
tôi nghiên cứu bi-URS cho
M(K) dạng (S, T ) với #S =2, #T = m.
3.2 Bi-URS kiểu (2, m) cho M(K).
Bổ đề 3.2.2. Giả sử :=
u
1
z + v
1
u
2
z + v
2
là phép biến đổi phân tuyến tính khác hằng
trên

W. Thế thì, S là URS cho M(W) khi và chỉ khi S

= (S) cũng vậy.
Chúngtacókháiniệmsau:
Định nghĩa 3.2.3. Ta nói rằng mệnh đề S(a
1
,a
2
, ,a
m
) đúng với a

1
,a
2
, ,a
m
đủ tổng quát thuộc W nếu tồn tại tập con đại số thực sự W
m
sao cho
S(a
1
,a
2
, ,a
m
) đúng với mọi (a
1
,a
2
, ,a
m
) W
m
\.
Định lý 3.2.4. Nếu a
1
,a
2
,b
1
,b

2
, ,b
m
là các phần tử phân biệt và đủ tổng quát
của

K, thì cặp ({a
1
,a
2
}, {b
1
,b
2
, ,b
m
}) là bi-URS cho hàm phân hình trên K với
mọi
m 3. Không tồn tại bi-URS cho các hàm phân hình trên K kiểu (2,m) với
m<3.
Do 3.2.2, để thuận lợi cho việc tính toán, chúng ta lấy
S = {1},T= {0,a
1
,a
2
, ,a
n
},
với các a
i

phân biệt, a
i
/ {1, 1, 0},i=1, 2, n và n 2. Giả sử f, g là các hàm
phân hình khác hằng trên
K thoả mãn

E
f
(S)=E
g
(S),
E
f
(T )=E
g
(T ).
Khi đó, ta đợc
(f
2
1)
n+1
g
2
(g a
1
)
2
(g a
n
)

2
= C(g
2
1)
n+1
f
2
(f a
1
)
2
(f a
n
)
2
.
18
Điều này có nghĩa là phơng trình
(x
2
1)
n+1
y
2
(y a
1
)
2
(y a
n

)
2
C(y
2
1)
n+1
x
2
(x a
1
)
2
(x a
n
)
2
=0
nhận các hàm f, g là nghiệm. Đặt
P (x, y):=(x
2
1)
n+1
y
2
(y a
1
)
2
(y a
2

)
2
(y a
n
)
2
,
F (x, y):=
1
x y
{P (x, y) P (y,x)},
F
c
(x, y):= P (x, y) CP (y, x),C=0, 1.
F

c
(X, Y, Z ):=Z
4(n+1)
F
c
(
X
Z
,
Y
Z
),
F

(X, Y, Z ):=Z
4n+3
F (
X
Z
,
Y
Z
),

c
:={(x, y) A
2
(K) | F
c
(x, y)=0},
:={(x, y) A
2
(K) | F(x, y)=0},


c
:={(X : Y : Z) P
2
(K) | F

c
(X, Y, Z )=0},

:={(X : Y : Z) P
2
(K) | F

(X, Y, Z )=0}.
Khi đó, cặp (S, T ) là bi-URS cho M(K) nếu phơng trình F (x, y)=0và phơng
trình
F
c
(x, y)=0chỉ có nghiệm f = g trên M(K). Điều này có nghĩa là chúng ta
phải chứng minh các đờng cong


c
và

là hyperbolic trên M(K).
Xét các trờng hợp:
(#S =2, #T =3), (#S =2, #T>3), (#S =2, #T<3).
A. Bi-URS kiểu (2, 3).
Bởi nhận xét sau định lý 3.2.4, không mất tính tổng quát, ta lấy S = {1, 1},T =
{0,a,b}
với a = b và a, b / {1, 1, 0}. Khi đó,
P (x, y)= (x
2
1)
3
y
2
(y a)

2
(y b)
2
,
F (x, y)=
1
x y

P (x, y) P (y,x)

,
F
c
(x, y)= P(x, y) CP (y, x),C=0, 1.
F

c
(X, Y, Z )=Z
12
F
c
(
X
Z
,
Y
Z
),
F

(X, Y, Z )=Z
11
F (
X
Z
,
Y
Z
),
19

c
= {(x, y) A
2
(K) | F
c
(x, y)=0},
= {(x, y) A
2
(K) | F(x, y)=0},


c
= {(X : Y : Z) P
2
(K) | F

c
(X, Y, Z )=0},

= {(X : Y : Z) P
2
(K) | F

(X, Y, Z )=0}.
Bổ đề 3.2.5. Với a, b sao cho a = b, a, b =0, 1 và hệ









x y =0,
(a + b)x
3
(2ab +3)x
2
+2(a + b)x ab =0,
(a + b)y
3
(2ab +3)y
2
+2(a + b)y ab =0,
F (x, y)=0,
không có nghiệm, thì đờng cong

c
chỉkỳdịtạicácđiểmsau: (1:1:1), (a :
0:1), (b :0:1), (0 : a :1), (0 : b :1), (a : a :1), (b : b :1), (a : b :1), (b : a :1), (0 : 0 :
1), (1 : 0 : 0), (0:1:0), (x
c
: y
c
:1), với x
c
,y
c
là hai trong ba không điểm phân biệt
nào đó của đa thức
(a + b)z
3
(2ab +3)z
2
+2(a + b)z ab.
Bởi xét tính chính quy của
:=
(y
2
1)(y y
c
)dx
(x
2
1)

(a + b)y

3
(2ab +3)y
2
+2(a + b)y ab

,
trên

c
, ta có mệnh đề:
Mệnh đề 3.2.7. Nếu a + b =0và giả thiết Bổ đề 3.2.5 đợc thoả mãn, thì

c
hyperbolic trên P
2
(K).
Chứng minh tơng tự Bổ đề 3.2.5, ta nhận đợc kết quả sau:
Bổ đề 3.2.8. Nếu a, b thoả mãn a = b, a, b =0, 1 và hệ phơng trình





(a + b)x
3
(2ab +3)x
2
+2(a + b)x ab =0,
(a + b)y
3

(2ab +3)y
2
+2(a + b)y ab =0,
F (x, y)=0,
không có nghiệm, thì đờng cong

P
2
(K) chỉ kỳ dị tại các điểm sau: (1:
1:1), (1:1:1), (1 : 1:1), (1 : 1 : 1), (a :0:1), (b :0:1), (0 : a :1), (0 : b :1), (a :
b :1), (b : a :1), (1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0).
Mệnh đề sau khẳng định tính hyperbolic của

.
Mệnh đề 3.2.10. Nếu a + b =0và giả thiết của Bổ đề 3.2.8 đợc thoả mãn, thì


hyperbolic trên P
2
(K).
20
Nếu a + b =0, thì S

= {1, +1},T

= {0,a,a}. Khi đó, ta có:
Mệnh đề 3.2.11. Với mọi a

K,a/

0, 1

, cặp ({1}, {0,a,a}) không phải
là bi-URS cho các hàm phân hình trên
K.
Tổng hợp các Mệnh đề 3.2.7, 3.2.10, 3.2.11, ta có định lý sau:
Định lý 3.2.12. Với mọi a, b thoả mãn a = b, a, b =0, 1,a+ b =0và hệ phơng
trình









(a + b)x
3
(2ab +3)x
2
+2(a + b)x ab =0,
(a + b)y
3
(2ab +3)y
2
+2(a + b)y ab =0,
(x
2
1)

3
y
2
(y a)
2
(y b)
2
(y
2
1)
3
x
2
(x a)
2
(x b)
2
x y
=0,
không có nghiệm, thì cặp ({1}, {0,a,b}) là bi-URS cho hàm phân hình trên K.
B. Bi-URS kiểu (2,m) với m 4.
Ta lấy S = {1},T= {0,a
1
,a
2
, ,a
n
} (n 3) với a
1
,a

2
, ,a
n
là các phần tử
phân biệt của
K\{0, 1, 1}. Ký hiệu

1
:=
n

i=1
a
i
,
2
:= (1)
2

1ai<jan
a
i
a
j
, ,
n
:= (1)
n
a
1

a
2
a
n
,
là các đa thức đối xứng cơ bản của a
1
,a
2
, ,a
n
và
r(z):=
1
z
n+1
+(2
2
+ n +1)z
n
+(3
3
+ n
1
)z
n1
+ +((n 1)
n1
+4
n3

)z
3
+
+(n
n
+3
n2
)z
2
+2
n1
z +
n
.
Bổ đề 3.2.13. Nếu
1
=0, thì

c
chỉ kỳ dị tại các điểm sau:
{(1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0), (1:1:1), (x
c
: y
c
:1)}{(a : b :1)| a, b {0,a
1
,a
2
, ,a
n

}},
với x
c
,y
c
là các không điểm phân biệt của r(z) sao cho F
c
(x
c
,y
c
)=0.
Nhận xét 3.2.14. (ii) Giả sử r(z) có k không điểm phân biệt d
i
,i=1, 2, ,k với
bội
n
1
,n
2
, ,n
k
, tơng ứng,

k
i=1
n
i
= n +1. Với m ỗi C cho trớc, có thể chọn
các

a
i
sao cho tồn tại cặp (d
i
,d
j
),i = j để F
c
(d
i
,d
j
)=0, chẳng hạn, c họn a
i
thoả
mãn
P (d
i
,d
j
)
P (d
j
,d
i
)
= C. Nếu (d
i
,d
j

) và (d
t
,d
h
) là các điểm kỳ dị của
c
, thì
P (d
i
,d
j
)
P (d
j
,d
i
)
=
P (d
t
,d
h
)
P (d
h
,d
t
)
.
21

Do đó, nếu chọn các a
i
sao cho
1
=0và với mỗi C, chỉ có t, 0 a t a (k 2),
không điểm phân biệt d
c
j
{d
1
,d
2
, ,d
k
} của r(z) để với mỗi không điểm d
c
j
,
tồn tại không điểm d
c
I
j
{d
1
,d
2
, ,d
k
},j=1, 2, ,t thoả mãn
P (d

c
I
1
,d
c
1
)
P (d
c
1
,d
c
I
1
)
=
P (d
c
I
2
,d
c
2
)
P (d
c
2
,d
c
I

2
)
= =
P (d
c
I
t
,d
c
t
)
P (d
c
t
,d
c
I
t
)
,
thì tập các điểm kỳ dị hữu hạn của
c
là
{(1, 1), (0, 0), (a
i
, 0), (0,a
i
), (a
i
,a

j
), 1 a i, j a n} {(d
c
I
j
,d
c
j
), 1 a j a t},
và

t
j=1
n
c
j
a n 1.
Mệnh đề 3.2.15. Nếu
1
=0và các a
i
đủ tổng quát, thì

c
hyperbolic trên P
2
(K).
Bổ đề 3.2.16. Nếu a
1
,a

2
, ,a
n
K\{0, 1, 1} phân biệt và đủ tổng quát, thì


chỉkỳdịtại{(1:0:0), (0 : 1 : 0), (1:1:1)} {(a : b :1) | a = b
{0,a
1
,a
2
, ,a
n
}}.
Mệnh đề 3.2.18. Nếu
1
=0và điều kiện của bổ đề 3.2.16 đợc thoả mãn, thì


hyperbolic trên P
2
(K).
Với mỗi C cho trớc, bởi nhận xét 3.2.14, nếu hệ phơng trình





r(x)=0,
r(y)=0,

F (x, y)=0,
không có nghiệm, thì không tồn tại các không điểm d
i
,d
j
,d
h
phân biệt của r(z) để
P (d
i
,d
j
)
P (d
j
,d
i
)
=
P (d
h
,d
j
)
P (d
j
,d
h
)
.

Điều này có nghĩa là với mỗi không điểm d
c
j
, tồn tại không
quá một không điểm
d
c
I
j
của r(z) để F
c
(d
c
I
j
,d
c
j
)=0. Mặt khác, nếu F
c
(d
c
I
j
,d
c
j
)=0
thì F
c

(d
c
j
,d
c
I
j
) =0, tức là, t a

k
2

+1. Do đó, nếu k>4 thì k t 2. Nế u k =4
thì t =2. Nếu k =3, bởi giả thiết, F (d
i
,d
j
) =0với mọi i = j cho nên t =1. Còn
nếu
k =2thì t =1, nhng khi đó, min{n
1
,n
2
} 2. Nếu k =1thì t =0. Nh vậy,
nếu chọn các
a
i
sao cho hệ phơng trình

r(x)=0,
r(y)=0,
F (x, y)=0,
(*)
22
không có nghiệm, thì các Mệnh đề 3.2.15 và 3.2.18 đúng. Bởi vậy, đặt
=

(a
1
,a
2
, ,a
n
) (

K)
n
| ít nhất một trong các điều kiện sau thoả mãn
(i) a
1
+ a
2
+ + a
n
=0
(ii) hệ (*) có nghiệm

,
thì là một tập đại số của (

K)
n
(vì các điều kiện xác định đều là các điều kiện
đại số) và
=(

K)
n
. Ta nhận đợc bổ đề sau:
Bổ đề 3.2.20. Tồn tại tập đại số K
n
sao cho với mọi (a
1
,a
2
, ,a
n
) K\,
các đờng cong

c
và

là hyperbolic trên P
2
(K).

Định lý sau đợc suy trực tiếp từ các Mệnh đề 3.2.15, 3.2.18 và Định lý
Picard-Berkovich.
Định lý 3.2.21. Với a
1
,a
2
, ,a
n
là các phần tử phân biệt và đủ tổng quát của

K,
cặp ({1}, {0,a
1
,a
2
, ,a
n
}) là bi-URS cho hàm phân hình trên

K với mọi n 3.
C. Bi-URS kiểu (2,m),m<3.
Nhận xét 3.2.22. Không tồn tại bi-URS cho hàm phân hình trên K kiểu (2,m)
với m<3.
Chứng minh của định lý 3.2.4. Định lý 3.2.4 đợcsuyratrựctiếptừcácĐịnh
lý 3.2.12, 3.2.21, Nhận xét 3.2.22 và Bổ đề 3.2.2.
Kết luận.
Kết quả chính trong chơng này là:
-Địnhlý3.2.12chomộtđiềukiệnđủđểcặp
(S, T ) kiểu (2, 3) là bi-URS cho
hàm phân hình trên

K.
- Định lý 3.2.21 cùng bổ đề 3.2.2 đã xây dựng đợc một lớp tổng quát các tập
S, T kiểu (2 ,n) là bi-URS cho hàm phân hình trên K với mọi n 4.
- Định lý 3.2.4 về cơ bản giải quyết hoàn chỉnh bài toán bi-URS kiểu (2,m)
cho các hàm phân hình trên K : Nếu S, T làcáctậpconđủtổngquátcủa

K,
#S =2, #T = m 3, th ì (S, T ) là bi-URS cho các hàm phân hình trên K. Kết quả
này không thể tốt hơn vì các cặp
(S, T ) với #S =2, #T<3 đều không phải là
bi-URS cho các hàm phân hình trên
K (nhận xét 3.2.22).
23
Kết luận của Luận án.
Luận án nghiên cứu hai vấn đề cơ bản sau:
-Nghiệmphânhìnhkháchằngcủaphơng trình hàm
P (f)=Q(g) trên trờng
số phức và trờng không Acsimet.
- Các tập song xác định duy nhất (bi-URS) cho hàm phân hình trên
K.
Cáckếtquảchínhcủaluậnánlà:
1. Đaracácđiềukiệnđủđểphơng trình
P (x) Q(y)=0không c ó nghiệm
phân hình khác hằng trên
K (bổ đề 2.1.1, các định lý 2.2.1 và 2.2.7) và trên
C (các định lý 2.3.1 và 2.3.8). Đặc biệt chỉ ra đợc điều kiện cần và đủ để
phơng trình
P (x)=P (y) không có nghiệm phân hình khác hằng phân biệt trên
K (định lý 2.2.9). Những kết quả này cho phép chúng ta khẳng định phơng trình
P (x) Q(y)=0hầu nh không có nghiệm phân hình khác hằng trên W (là C

hoặc K)vàbàitoánđặtrađãđợc giải quyết khá trọn vẹn trên K. Các kết quả
củaH.H.Khoái-C.C.Yang([41]),C.C.Yang-P.Li([53]),A.Escassut-C.
C. Yang ([20]) có thể suy ra đợc từ các định lý này nh một hệ quả.
2. Xây dựng một lớp tổng quát bi-URS kiểu
(2,n),n 3 cho hàm phân hình
trên
K và chỉ ra n =3là tốt nhất có thể. Cụ thể là
+đarađiềukiệnđủđểcặp
(S, T ) là bi-URS kiểu (2, 3) cho hàm phân hình
trên
K (địnhlý3.2.12).
+ xây dựng đợc một lớp tổng quát các tập
S, T để cặp (S, T) là bi-URS kiểu
(2,n) là cho hàm phân hình trên K, với mọi n 4 (địnhlý3.2.21cùngbổđề
3.2.1, 3.2.2).
+ giải quyết trọn vẹn bài toán về sự tồn tại bi-URS kiểu
(2,n) cho các hàm
phân hình trên
K (định lý 3.2.4).
Cùng với các kết quả đã biết về bi-URS cho hàm phân hình kiểu
(1,n) với
n 4, đóng góp lớn nhất của phần này là đã giải quyết hoàn chỉnh bài toán về sự
tồn tại bi-URS cho các hàm phân hình trên trờng không Acsimet và chỉ ra một
phơng pháp để tiếp cận vấn đề này trên
C.
24
Danh môc c«ng tr×nh ®· c«ng bè
C¸c kÕt qu¶ cña luËn ¸n ®−îc c«ng bè trong c¸c c«ng tr×nh sau:
[1] Nguyen Trong Hoa, The p-adic case on the functional equation P(f)=Q(g),
East-West J. of Math., Vol. 6, No 1 (2004), pp. 15-27.

[2] Nguyen Trong Hoa,
On the functional equation P(f)=Q(g) in the p-adic field, in
L. H. Son, W. Tutschke and S. Jain,
Methods of Complex and Clifford Analysis,
SAS International Publication, (2004), pp. 327-334.
[3] Nguyen Trong Hoa,
On the functional equation P(f)=Q(g) in non- Archimedean
field,
Acta Mathematica Vietnamica, Vol. 31, No 2 (2006), pp. 167-180.
[4] Nguyen Trong H oa,
On the functional equation P(f)=Q(g) in Complex numbers
field,
Vietnam Journal of Mathematics, Vol. 34, No 3 (2006), pp 317-329.
[5] Ha Huy Kho ai and Nguyen Trong Hoa,
Bi-URS for p-adic meromorphic func-
tions,
The Ramanujan Journal (to appear).
25
Các kết quả chính của luận án đợc báo cáo trong các hội nghị, hội
thảo sau:
[1] Recent trends of applied mathematics based on partial differential equations
and complex analysis,
ICAM Hanoi 2004, August 25- 29.
[2]
Không gian Hyperbolic p-adic và ứng dụng, Xeminar liên phòng Đại số và Lý
thuyết số, Viện Toán học, Hà nội, 2005.
[3] Xeminar Khoa Toán, Trờng Đại học Vinh, năm 2005 và 2006.
[4]
Hội nghị Đại số-Hình học-Tôpô 2005, ĐHSP TP Hồ Chí Minh, 25- 28 /11/2005.
[5]

International Conference on Number Theory and Related Topics, Institute of
Mathematics, Hanoi 12-15 /12/2006.