đa thức duy nhât và bi-urs kieu (1,n) cho hàm phân hình trên trường không acsimet

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
oOo





ðặng Tuấn Hiệp






ðA THỨC DUY NHẤT VÀ BI-URS
KIỂU (1,N) CHO HÀM PHÂN HÌNH
TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET



Chuyên ngành: ðại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 05




LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN TRỌNG HÒA







Thành phố Hồ Chí Minh – 2009
2
Mở đầu
Một trong các vấn đề quan trọng của lý thuyết hàm giải tích là nghiên
cứu các không điểm và điểm kỳ dò. Theo hướng này, vào những năm 20 của
thế kỷ XX, R. Nevanlinna đã công bố các công trình nghiên cứu mà ngày
nay được xem là một trong những thành tựu đẹp đẽ và sâu sắc nhất của
toán học: Lý thuyết Nevanlinna. Nội dung chính của lý thuyết Nevanlinna
là hai đònh lý cơ bản: đònh lý cơ bản thứ nhất là một tương tự siêu việt
của đònh lý cơ bản của đại số, đònh lý cơ bản thứ hai là mở rộng của đònh
lý Picard. Gần 60 năm sau, P. Vojta đã phát hiện ra bản dòch của lý thuyết
Nevanlinna trong số học: đònh lý Roth. Phát hiện này đã giúp P. Vojta đề
ra giả thuyết tổng quát về lý thuyết Nevanlinna số học mà một trong các
hệ quả là đònh lý Fermat tiệm cận. Sự tương tự giữa lý thuyết Nevanlinna
và xấp xỷ Diophant đã cho một công cụ mới để nghiên cứu các vấn đề của
số học: chỉ cần tìm ra từ điển thích hợp, có thể phiên dòch các kết quả của
lý thuyết Nevanlinna thành các kết quả số học. Lý thuyết Nevanlinna cũng
cho một sự tương tự giữa số đại số và hàm phân hình. Nếu xét trên trường
cơ sở là trường không Acsimet, mà trường các số phức p-adic là một ví dụ,
chúng ta có lý thuyết Nevanlinna p-adic, được xây dựng và phát triển bởi

Hà Huy Khoái, Mỵ Vinh Quang, Mai Văn Tư, W. Cherry, P. C. Hu, C. C.
Yang, A. Escassut, A. Boutabaa, Giả thuyết nổi tiếng của W. Cherry chỉ ra
có sự tương tự giữa trường số phức và trường p-adic: "Mọi kết quả đúng cho
đa thức (hoặc hàm hữu tỷ) trên C thì cũng đúng cho hàm nguyên (hàm phân
hình, tương ứng) trên C
p
, trừ những kết quả hiển nhiên sai", nghóa là tồn tại
một bản dòch từ trường số phức C sang trường không Acsimet K. Đây là
vấn đề đã và đang nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế
giới.
Năm 1926, R. Nevanlinna đã chứng minh: hàm phân hình trên C xác
đònh một cách duy nhất bởi ảnh ngược, không tính bội của năm giá trò phân
biệt. Đònh lý năm điểm của Nevanlinna suy ra rằng hai hàm nguyên khác
hằng chung nhau bốn giá trò hữu hạn phải trùng nhau (ta nói rằng hai hàm
3
f và g chung nhau giá trò a nếu f
−1
(a)=g
−1
(a)). Kết quả này không thể
tốt hơn, vì hai hàm e
z
và e
−z
chung nhau tại 0, 1, −1. Sau đó, Polya chỉ ra,
nếu hai hàm phân hình f và g chung nhau bốn giá trò phân biệt, kể cả bội,
thì g là biến đổi Mobius của f, nghóa là g =
af + b
cf + d
với các hằng số a, b, c, d

thỏa mãn (c, d) =(0, 0).
Lý thuyết về tập xác đònh duy nhất của các hàm phân hình được F.
Gross nêu ra một cách tự nhiên: Liệu chỉ xét nghòch ảnh của một tập con
S mà không phải là nghòch ảnh của từng phần tử, chúng ta có thể nhận
được các kết quả tương tự đònh lý năm điểm Nevanlinna hay không? Tức
là có tồn tại hay không tập S để với bất kỳ các hàm phân hình f, g thỏa
mãn f
−1
(S)=g
−1
(S) kéo theo f = g?
Ký hiệu W là trường số phức C hoặc trường K đóng đại số, đặc số
không, đầy đủ với chuẩn không Acsimet, A(W) là vành các hàm chỉnh
hình trên W, M(W) là trường các hàm phân hình trên W. Giả sử S là tập
con không rỗng của

W = W ∪ {∞}, F là một họ nào đó các hàm xác đònh
trên W lấy giá trò trên

W, f ∈F. Đặt
E
f
(S)=

a∈S
{(z,m) ∈ W × N|z là không điểm bội m của f − a},
E
f
(S)=


a∈S
{z ∈ W|z là không điểm của f − a}.
Hai hàm phân hình f,g được gọi là chung nhau S, tính cả bội (tương ứng,
không tính bội) nếu E
f
(S)=E
g
(S) (tương ứng, E
f
(S)=E
g
(S)). Tập S được
gọi là tập xác đònh duy nhất (tương ứng, tập xác đònh duy nhất không tính bội)
cho họ các hàm F, kí hiệu là URS (tương ứng, URSIM), nếu với mọi hàm
f,g ∈F thỏa mãn E
f
(S)=E
g
(S) (tương ứng, E
f
(S)=E
g
(S)) thì f = g.
Giả sử B = {a
1
,a
2
, ,a
n
} là tập hữu hạn, chúng ta gọi P

B
(z)=
(z − a
1
)(z − a
2
) (z − a
n
) là đa thức liên kết với tập hợp B. Trong [13], C.
C. Yang - P. Li đã nêu khái niệm sau.
Đònh nghóa. Đa thức P (z) ∈ W[z] được gọi là đa thức duy nhất mạnh
cho họ các hàm F nếu với mọi hàm f,g ∈Fvà hằng số c =0nào đó thỏa
mãn P(f)=cP (g) thì c =1và f = g. Tương tự, đa thức P (z) ∈ W[z] được
gọi là đa thức duy nhất cho họ các hàm F nếu với mọi hàm f,g ∈Fthỏa
4
mãn P(f)=P (g) thì f = g.
Từ các đònh nghóa của URS và đa thức duy nhất ta thấy rằng có một
mối quan hệ chặt chẽ giữa chúng. Cho tập S là URS cho các hàm phân hình,
chúng ta xây dựng một đa thức P (z) không có nghiệm bội và nhận S làm
tập nghiệm. Khi đó điều kiện E
f
(S)=E
g
(S) có nghóa là P (f) và P (g) có
cùng không điểm với cùng bội, điều này yếu hơn điều kiện P(f)=cP (g).
Nghóa là, nếu S là URS cho các hàm phân hình thì đa thức P liên kết
với S cũng là đa thức duy nhất mạnh cho các hàm phân hình. Vì vậy để
nghiên cứu URS cho các hàm phân hình ta nghiên cứu các đa thức duy nhất.
Khi xem xét sự xác đònh của hàm phân hình thông qua ảnh ngược
của một tập hợp ta gặp rất nhiều khó khăn để giảm số điểm của tập hợp

đó. Cho đến nay, chưa có phương pháp nào để tìm URS cho các hàm phân
hình phức (tương ứng, p-adic) có số phần tử bé hơn 11 (tương ứng, 10). Vì
vậy có một vấn đề được đặt ra là xem xét sự xác đònh của các hàm phân
hình thông qua ảnh ngược của nhiều hơn một tập hợp.
Đònh nghóa. ([3]) Giả sử S, T là các tập con trong

W = W ∪ {∞} sao
cho S ∩T = ∅. Khi đó cặp (S, T) được gọi là bi-URS cho F nếu với hai hàm
khác hằng số f,g ∈Fthỏa mãn E
f
(S)=E
g
(S) và E
f
(T )=E
g
(T ) thì f = g.
Năm 1996, P. Li và C. C. Yang ([12]) đã chứng minh rằng trên C tồn
tại bi-URS kiểu (1,n) cho hàm phân hình có dạng ({∞},S) với #S ≥ 15.
Trên trường K không Acsimet, năm 1971, W. W. Adams và E. G. Straus đã
chỉ ra: với mọi a = b ∈ K, cặp ({a}, {b}) là bi-URS cho hàm nguyên. Năm
1998, A. Boutabaa và A. Escassut ([4]), bằng các ước lượng phù hợp cho đa
thức P (z)=z
n
− az
m
+1, đã chỉ ra: với mọi n ≥ 5 và ω ∈ K ∪ {∞},
tồn tại bi-URS cho M(K) có dạng ({ω}, {z
1
,z

2
, ,z
n
}). Tiếp theo, trong
[6], các tác giả đã chứng minh không tồn tại bi-URS cho M(K) có dạng
({ω}, {z
1
,z
2
,z
3
}). Sau đó, đến năm 2001, bằng cách sử dụng các ước lượng
hàm Nevanlinna, Hà Huy Khoái và Tạ Thò Hoài An ([9]) đã chỉ ra sự tồn
tại của bi-URS cho M(K) có dạng ({ω}, {z
1
,z
2
,z
3
,z
4
}). Như vậy, vấn đề
tồn tại bi-URS cho M(K) kiểu (1,n) đã được giải quyết trọn vẹn và n =4
là số tốt nhất có thể.
Gần đây, bằng cách sử dụng công cụ của Hình học đại số, xây dựng
các đa thức liên kết và xét tính hyperbolic của các đường cong tương ứng,
5
Nguyễn Trọng Hòa ([3], [10]) đã chỉ ra sự tồn tại bi-URS cho M(K) kiểu
(2,n), với mọi n ≥ 3 và khẳng đònh n =3là số bé nhất có thể. Các kết
quả của Tạ Thò Hoài An và Nguyễn Trọng Hòa đạt được là những đóng

góp mới không chỉ ở nội dung mà ở cả phương pháp tiếp cận khi nghiên
cứu các vấn đề tương tự. Bởi vậy chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên
cứu về đa thức duy nhất và song tập xác đònh duy nhất kiểu (1,n) cho hàm
phân hình trên trường không Acsimet. Cụ thể, chúng tôi muốn hệ thống lại
một cách chi tiết các chứng minh của những kết quả mà các tác giả đã chỉ
ra. Qua đó, chúng tôi sẽ cố gắng xây dựng các ví dụ cụ thể để minh họa các
kết quả trong một số trường hợp đặc biệt. Đề tài của chúng tôi mang tên:
"Đa thức duy nhất và bi-URS kiểu (1,n)
cho hàm phân hình trên trường không Acsimet".
Phương pháp của chúng tôi là sử dụng ước lượng các hàm Nevanlinna
để đánh giá tập không điểm của một lớp các đa thức thỏa mãn một số điều
kiện nào đó.
Nội dung của luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận, các tài liệu
tham khảo và ba chương.
Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản về giải tích p-adic và lý
thuyết Nevanlinna p-adic. Đây là các kiến thức cơ sở cho các chương sau.
Chương 2 trình bày các kết quả về đa thức duy nhất cho các hàm
phân hình trên trường không Acsimet.
Chương 3 trình bày các kết quả về song tập xác đònh duy nhất kiểu
(1,n) cho các hàm phân hình trên trường không Acsimet.
Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Trọng
Hòa, ngưới đã đặt vấn đề và dẫn dắt tác giả hoàn thành công việc của mình.
Tác giả xin gửi tới TS. Nguyễn Trọng Hòa lời cảm ơn chân thành. Tác giả
cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS. TS. Mỵ Vinh Quang người thầy
đầu tiên đã hướng dẫn tác giả trong công việc nghiên cứu các vấn đề về
lý thuyết Nevanlinna p-adic và các áp dụng. Tác giả cũng xin chân thành
biết ơn ban chủ nhiệm khoa Toán-Tin, Đại học Sư phạm thành phố Hồ
Chí Minh, đặc biệt là TS. Nguyễn Thái Sơn đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả
hoàn thành công việc của mình. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới PGS.
6

TS. Bùi Tường Trí, TS. Trần Huyên, PGS. TS. Đậu Thế Cấp và PGS. TS.
Lê Hoàn Hóa đã giảng dạy cho tác giả các chuyên đề cao học. Tác giả cũng
xin gửi lời cảm ơn tới tập thể cán bộ Phòng Khoa học công nghệ và Sau
đại học, Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện
thuận lợi giúp tác giả hoàn thành công việc học tập và nghiên cứu của mình.
Cuối cùng, tác giả xin tỏ lòng biết ơn đến Mẹ, người mà đã chấp nhận
khó khăn và dành hết tình thương yêu, động viện tác giả hoàn thành công
việc học tập của mình.
7
Chương 1
Các kiến thức cơ sở
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ sở về hàm
phân hình và lý thuyết Nevanlinna trên trường không Acsimet. Trước hết,
chúng tôi đưa ra các ký hiệu dùng trong luận văn.
• K là trường đóng đại số, đặc số 0 và đầy đủ với chuẩn không Acsimet.
• C là trường các số phức.
• C
p
là trường các số phức p-adic.
• L là C hoặc K.
•A(L) là vành các hàm nguyên trên L.
•M(L) là trường các hàm phân hình trên L.
• W là trường đóng đại số, đặc số 0.
•

W là không gian xạ ảnh một chiều trên W.
•Flà một họ các hàm xác đònh trên W và lấy giá trò trên

W.
8

1.1 Trường không Acsimet
Các khái niệm và kết quả được nhắc đến trong phần này được trình
bày một cách chi tiết trong [8].
Chuẩn không Acsimet
Đònh nghóa 1.1. Một chuẩn trên trường W là ánh xạ
|.| : W → R
+
=[0, ∞),
thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) |x| =0⇔ x =0,
(2) |xy| = |x||y|; ∀x, y ∈ W,
(3) |x + y|≤|x| + |y|; ∀x, y ∈ W.
Nếu thay (3) bởi điều kiện mạnh hơn: (3

) |x + y|≤max{|x|, |y|} thì ta thu
được chuẩn không Acsimet.
Mỗi chuẩn | .| trên trường W cảm sinh một hàm khoảng cách d xác
đònh bởi d(x, y)=|x − y| với mọi x, y ∈ W, và do đó chuẩn này cảm sinh
một tôpô trên W. Trường với chuẩn không Acsimet được gọi là trường không
Acsimet, ký hiệu K. Hai chuẩn trên một trường W gọi là tương đương nếu
nó cùng cảm sinh một tôpô trên W.
Cho r là số thực dương và điểm x ∈ W. Ký hiệu đóa mở, đóa đóng tâm
x bán kính r theo thứ tự bởi:
D(x, r)={y ∈ W|d(x, y) <r},
D(x, r)={y ∈ W|d(x, y) ≤ r}.
Đóa D = D(0, 1) được gọi là đóa đơn vò.
Với hằng số c>1, hàm v
c
: W → R ∪ {∞},
v

c
(x)=

− log
c
|x| nếu x =0,
+∞ nếu x =0.
được gọi là hàm cộng tương ứng của chuẩn |.|.
9
Mệnh đề 1.1. Một chuẩn trên trường W là không Acsimet nếu và chỉ nếu hàm
cộng v tương ứng của nó thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) v(x)=+∞⇔x =0,
(2) v(xy)=v(x)v(y); ∀x, y ∈ W,
(3) v(x + y) ≥ min{v(x),v(y)}; ∀x, y ∈ W.
Không gian p-adic (Xem [8], [2])
Một ví dụ của chuẩn không Acsimet là chuẩn p-adic, được xác đònh
như sau:
Cho p là số nguyên tố. Với mỗi số nguyên a =0, ta có thể viết a = p
v
a

,
p không chia hết a

. Số tự nhiên v được xác đònh duy nhất bởi a và p, cho
nên ta nhận được hàm
v
p
: Z
∗

→ Z
+
,v
p
(a)=v.
Có thể mở rộng hàm v
p
lên trường các số hữu tỷ: với mọi x = a/b ∈ Q, đặt
v
p
(x)=

v
p
(a) − v
p
(b) nếu x =0,
+∞ nếu x =0.
Khi đó, chúng ta có chuẩn p-adic tương ứng, ký hiệu |.|
p
trên Q, xác đònh
bởi:
|x|
p
=

p
−v
p
(x)

nếu x =0,
0 nếu x =0.
Đònh lý 1.1 (Ostrowski [8]). Mọi chuẩn không tầm thường trên Q đều tương
đương với chuẩn p-adic hoặc chuẩn giá trò tuyệt đối thông thường.
Như vậy chỉ có hai hướng mở rộng trường các số hữu tỷ Q. Mở rộng
theo chuẩn giá trò tuyệt đối thông thường ta được trường các số thực R. Mở
rộng theo chuẩn p-adic ta được trường các số p-adic, ký hiệu là Q
p
.
Gọi
Q
p
là bao đóng đại số của Q
p
. Tuy đóng đại số nhưng Q
p
không
đầy đủ theo tôpô không Acsimet. Ký hiệu C
p
=

Q
p
là trường mở rộng
đầy đủ của
Q
p
theo tôpô không Acsimet, và được gọi là trường các số phức
p-adic.
Mệnh đề 1.2. C

p
là trường đóng đại số và đầy đủ theo chuẩn không Acsimet.
C
p
là không gian khả ly nhưng không compact đòa phương.
10
1.2 Hàm phân hình p-adic
Đònh nghóa 1.2. Một chuỗi lũy thừa
f(z)=
∞

n=0
a
n
z
n
; a
n
∈ K,
hội tụ trên đóa D(0,ρ) được gọi là hàm chỉnh hình p-adic trên đóa ấy. Hàm
chỉnh hình p-adic trên toàn K được gọi là hàm nguyên p-adic.
Giả sử f và g là các hàm chỉnh hình p-adic không có không điểm
chung trên một đóa. Khi đó hàm
ϕ =
f
g
,
được gọi là hàm phân hình p-adic trên đóa đó. Nếu f và g là các hàm nguyên
p-adic thì ϕ là hàm phân hình p-adic trên K, còn gọi là hàm phân hình p-adic.
Sau này, nếu không cần phân biệt, chúng ta gọi chung hàm phân hình

trên K và hàm phân hình trên C là hàm phân hình.
Cho f là hàm chỉnh hình p-adic khác hằng số trên đóa D(0,ρ). Với
mỗi 0 <r<ρ, ta đònh nghóa hạng tử tối đại:
µ(r, f) = max
n≥0
{|a
n
|r
n
},
tương ứng là chỉ số tâm:
ν(r, f ) = max
n≥0
{n : |a
n
|r
n
= µ(r, f )}.
Chúng ta quy ước
µ(0,f) = lim
r→0
+
µ(r, f); ν(0,f) = lim
r→0
+
ν(r, f ).
Bổ đề 1.1. Chỉ số tâm ν(r, f ) tăng lên khi r → ρ và thỏa mãn công thức
log µ(r, f) = log |a
ν(0,f )
| +


r
0
ν(t, f) − ν(0,f)
t
dt + ν(0,f) log r.
Bổ đề 1.2 (Đònh lý chuẩn bò Weierstrass). Cho f là hàm chỉnh hình trên đóa
D(0,ρ). Khi đó, có tồn tại một đa thức monic P có bậc là ν(r, f ) và một hàm
chỉnh hình p-adic g trên
D(0,r) sao cho f = gP. Hơn nữa, g không có không
điểm trong
D(0,r) và P có đúng ν(r, f) không điểm kể cả bội trên D(0,r).
11
Cho hàm phân hình f trên D(0,ρ), thì khi đó f =
g
h
, với g, h là hai
hàm chỉnh hình p-adic không có không điểm chung trên D(0,ρ). Ta đònh
nghóa
µ(r, f)=
µ(r, g)
µ(r, h)
.
Bổ đề 1.3. Giả sử f là hàm phân hình trên D(0,ρ), khi đó
µ(r, f

) ≤
1
r
µ(r, f).

Bổ đề 1.4. Với mỗi 0 <r<ρvà f,g là các hàm phân hình trên đóa D(0,ρ)
ta có:
(1) µ(r, f)=0⇔ f ≡ 0,
(2) µ(r, fg)=µ(r, f)µ(r, g),
(3) µ(r, f + g) ≤ max{µ(r, f),µ(r, g)}.
1.3 Lý thuyết Nevanlinna p-adic
Một trong những vấn đề quan trọng nhất của lý thuyết hàm giải tích
là nghiên cứu các không điểm và cực điểm. Công trình quan trọng đầu tiên
trong hướng này là kết quả của Hadamard nói rằng, nếu f(z) là hàm chỉnh
hình trong mặt phẳng phức thì ta có bất đẳng thức sau đây: `` Số các không
điểm của f(z) trong hình tròn D
r
≤ log max
|z|≤r
|f(z)| + O(1)''. Bất đẳng thức
trên cho ta một mối liên hệ giữa cấp tăng của hàm chỉnh hình với số không
điểm của nó. Có thể thấy rõ ý nghóa của đònh lý Hadamard khi xem nó
như là một sự tương tự siêu việt của đònh lý cơ bản của đại số nói rằng, số
nghiệm của một đa thức trên trường đóng đại số đúng bằng số bậc của đa
thức. Tuy nhiên đònh lý Hadamard có hai thiếu sót:
1. Thứ nhất, tồn tại các hàm giải tích, chẳng hạn f(z)=e
z
có cấp tăng
rất lớn, nhưng không có không điểm nào cả. Khi đó, đònh lý Hadamard
không cho một ước lượng dưới của cấp tăng.
2. Thứ hai, khi f(z) là hàm phân hình, vế phải của bất đẳng thức
Hadamard có thể trở thành vô hạn, và như vậy ta không thu được
cận trên của số các không điểm của hàm f(z).
12
Lý thuyết Nevanlinna ra đời nhằm khắc phục những thiếu sót này. Sau đây

là các khái niệm và kết quả chính của lý thuyết này.
Cho f là hàm chỉnh hình trên D(0,ρ). Với mỗi t ≥ 0, ta đặt n(t,
1
f
)
là số các không điểm kể cả bội của f trong D(0,t). Với mỗi 0 <r<ρ,ta
đònh nghóa hàm đếm các không điểm của f bởi công thức
N

r,
1
f

=

r
0
n(t,
1
f
) − n(0,
1
f
)
t
dt + n

0,
1
f


log r.
Từ bổ đề 1.2 cho ta
n

r,
1
f

= ν(r, f ).
Do đó, kết hợp với bổ đề 1.1 ta thu được công thức Poision-Jensen cho các
hàm chỉnh hình:
N

r,
1
f

= log µ(r, f) − log |a
n(0,
1
f
)
|. (1.1)
Tương tự, chúng ta cũng đặt ¯n(t,
1
f
) là số các không điểm phân biệt của f
trong D(0,t) và đònh nghóa
N


r,
1
f

=

r
0
¯n

t,
1
f

− ¯n

0,
1
f

t
dt +¯n

0,
1
f

log r.
Cho f là hàm phân hình trên D(0,ρ), khi đó f =

g
h
, với g,h là hai hàm
chỉnh hình không có không điểm chung trên D(0,ρ). Ta đònh nghóa n(t, f)
và hàm đếm các cực điểm N(r, f ) của f như sau:
n(t, f)=n

t,
1
h

; N(r, f )=N

r,
1
h

.
Áp dụng công thức (1.1) cho các hàm g và h, chúng ta nhận được công thức
Poision-Jensen cho các hàm phân hình:
N

r,
1
f

− N(r, f) = log µ(r, f ) − C
f
, (1.2)
trong đó C

f
là hằng số chỉ phụ thuộc vào f.
Mệnh đề 1.3. Với mọi hàm phân hình f ta có
N(r, f)=

r
0
n(t, f) − n(0,f)
t
dt + n(0,f) log r.
13
Đònh nghóa 1.3 (Hàm xấp xỉ). Cho f là hàm phân hình trên D(0,ρ).Ta
gọi hàm m(r, f) = log
+
µ(r, f) = max{0, log µ(r, f )} là hàm xấp xỉ của f.
Nhận xét. Hàm xấp xỉ m(r, f ) đo độ lớn của tập hợp mà tại đó hàm f nhận
giá trò gần với ∞ trong hình tròn bán kính r.
Đònh nghóa 1.4 (Hàm đặc trưng). Cho f là hàm phân hình trên D(0,ρ).
Ta gọi hàm T (r, f)=m(r, f )+N(r, f) là hàm đặc trưng của f.
Mệnh đề 1.4. Hàm đặc trưng T (r, f ) là hàm tăng theo biến r và hơn nữa nếu
f là hàm phân hình trên K thì ta có lim
r→∞
T (r, f)=∞.
Đònh lý 1.2 (Đònh lý cơ bản thứ nhất). Giả sử r là một số thực dương, f là
hàm phân hình trên K và a ∈ K bất kỳ. Khi đó
T

r,
1
f − a


= T (r, f)+O(1).
Đònh lý 1.3 (Đònh lý cơ bản thứ hai). Giả sử r là một số thực dương, f là
hàm phân hình khác hằng số trong K và a
1
,a
2
, ,a
q
∈ K(q ≥ 1) là các số
phân biệt. Khi đó
(q − 1)T (r, f) ≤ N(r, f )+
q

i=1
N

r,
1
f − a
i

− N
Ram
(r, f) − log r + O(1)
≤
¯
N(r, f)+
q


i=1
¯
N

r,
1
f − a
i

− N
0

r,
1
f


− log r + O(1),
trong đó N
Ram
(r, f)=N(r, 1/f

)+2N(r, f ) − N(r, f

) là hạng tử rẽ nhánh
và N
0
(r, 1/f

) là hàm đếm các không điểm của f


khi f không nhận các giá
trò a
1
,a
2
, ,a
q
.
Đònh nghóa 1.5. Cho f là hàm phân hình trên K và a ∈ K ∪ {∞}. Ta đặt
δ
f
(a) = lim
r→∞
inf
m

r,
1
f−a

T (r, f)
=1− lim
r→∞
sup
N

r,
1
f−a


T (r, f)
,
Θ
f
(a)=1− lim
r→∞
sup
¯
N

r,
1
f−a

T (r, f)
,θ
f
= lim
r→∞
inf
N
Ram
(r, f)
T (r, f)
.
Đònh lý 1.4 (Quan hệ số khuyết). Giả sử f là hàm phân hình trên K. Khi
đó, tập hợp các phần tử a ∈ K ∪ {∞} sao cho Θ(a) =0là đếm được và hơn
nữa,


a∈K∪{∞}
δ
f
(a) ≤

a∈K∪{∞}
Θ
f
(a) ≤

a∈K∪{∞}
δ
f
(a)+θ
f
≤ 2.
14
Bổ đề 1.5. Giả sử q ∈ N
∗
,a∈ K và f ∈M(K) sao cho mọi không điểm của
f − a đều có bội lớn hơn hoặc bằng q. Khi đó Θ
f
(a) ≥ 1 −
1
q
.
Chứng minh. Từ giả thiết của bổ đề, ta có ¯n

r,
1

f − a

≤
1
q
n

r,
1
f − a

.
Suy ra
¯
N

r,
1
f−a

T (r, f)
≤
1
q
N

r,
1
f−a


T (r, f)
. Do đó lim
r→∞
sup
¯
N

r,
1
f−a

T (r, f)
≤
1
q
.
Vì vậy Θ
f
(a) ≥ 1 −
1
q
.
Đònh lý 1.5. Với mọi >0 bất kỳ, luôn tồn tại f ∈M(K) sao cho

a∈K∪{∞}
Θ
f
(a) ≥ 2 − .
Chứng minh. Với mọi p, q ∈ N
∗

ta đặt g = u
p
,h = v
q
, trong đó u, v là các
hàm nguyên không có không điểm chung. Lấy f =
g
h
∈M(K). Theo công
thức (1.2) và bổ đề 1.4 ta có T (r, f ) = max{T (r, g),T(r, h)} + O(1).
Áp dụng bổ đề 1.5 ta thu được
Θ
f
(0) = 1 − lim
r→∞
sup
¯
N

r,
1
f

T (r, f)
=1− lim
r→∞
sup
¯
N


r,
1
g

T (r, f)
≥ 1 − lim
r→∞
sup
¯
N

r,
1
g

T (r, g)
=Θ
g
(0) ≥ 1 −
1
p
,
Θ
f
(∞)=1− lim
r→∞
sup
¯
N(r, f)
T (r, f)

=1− lim
r→∞
sup
¯
N

r,
1
h

T (r, f)
≥ 1 − lim
r→∞
sup
¯
N

r,
1
h

T (r, h)
=Θ
h
(0) ≥ 1 −
1
q
.
Do đó


a∈K∪{∞}
Θ
f
(a) ≥ Θ
f
(0) + Θ
f
(∞) ≥ 2 −
1
p
−
1
q
.
Chọn p, q đủ lớn sao cho
1
p
+
1
q
≤ , khi đó ta sẽ có hàm phân hình f thỏa
mãn

a∈K∪{∞}
Θ
f
(a) ≥ 2 − .
15
Đònh lý 1.6. Tồn tại f ∈M(K) sao cho


a∈K∪{∞}
Θ
f
(a)=2.
Chứng minh. Lấy f(z)=
∞

i=1

1 −
z
b
i

i
,g(z)=
∞

i=1

1 −
z
b
i

, trong đó b ∈ K
sao cho |b| > 1. Theo hệ quả 1.25 trong [8], ta được f,g ∈A(K), và hơn nữa
¯
N


r,
1
f

= N

r,
1
g

. Ta có T (r, f )=T

r,
1
f

+ O(1) = N

r,
1
f

+ O(1).
Do đó
Θ
f
(0) = 1 − lim
r→∞
sup
¯

N

r,
1
f

T (r, f)
=1− lim
r→∞
sup
N

r,
1
g

N

r,
1
f

.
Với mọi k ∈ N
∗
và r đủ lớn, ta sẽ thấy N

r,
1
f


≥ N

r,
1
g
k

+ O(log r).
Suy ra N

r,
1
f

≥ kN

r,
1
g

+ O(log r). Do đó lim
r→∞
sup
N

r,
1
g


N

r,
1
f

≤
1
k
.
Vì vậy Θ
f
(0) ≥ 1 −
1
k
, ∀k ∈ N
∗
. Cho k →∞, ta phải có Θ
f
(0) = 1.
Hơn nữa, do f ∈A(K) nên Θ
f
(∞)=δ
f
(∞)=1.
Tóm lại, ta có 2 ≥

a∈K∪{∞}
Θ
f

(a) ≥ Θ
f
(∞)+Θ
f
(0) = 2.
Do đó

a∈K∪{∞}
Θ
f
(a)=2.
Đònh lý 1.7. Tồn tại f ∈M(K) sao cho

a∈K∪{∞}
δ
f
(a)+θ
f
=2.
Chứng minh. Lấy g là hàm chỉnh hình siêu việt trên K, tức là g ∈A(K) −
K[z]. Khi đó, với r đủ lớn, ta có µ(r, g

)=
1
r
µ(r, g). Suy ra
T (r, g

)=m(r, g


) = log µ(r, g) − log r
= m(r, g)+O(log r)
= T (r, g)+O(log r).
Xét hàm phân hình f =
1
g
. Hệ thức Wronskian của f là
W =




1 g
0 g





= g

∈A(K).
16
Theo đònh lý 2.15 trong [8] ta có N

r,
1
W

= N

Ram
(r, f). Do đó
N
Ram
(r, f)=N

r,
1
g


= T

r,
1
g


= T (r, g

)+O(1)
= T (r, g)+O(log r)=T (r, f )+O(log r).
Suy ra θ
f
=1. Mặt khác, ta có δ
f
(0) = δ
g
(∞)=1.
Với mọi a ∈ K ∪ {∞}, a =0ta có δ

f
(a)=δ
g
(a
−1
)=0.
Do đó

a∈K∪{∞}
δ
f
(a)+θ
f
= δ
f
(∞)+θ
f
=2.
Từ các kết quả trên, chúng ta có thể khẳng đònh số ''2'' trong bất đẳng
thức quan hệ số khuyết là số nhỏ nhất có thể chọn được.
Đònh lý 1.8. Với mọi δ ∈ [0, 1], luôn tồn tại f ∈M(K) và a ∈ K ∪ {∞} sao
cho δ
f
(a)=δ.
Chứng minh. Nếu f ∈A(K) thì δ
f
(∞)=1và δ
f
(a)=0, ∀a ∈ K.
Với mọi δ ∈ (0, 1) ta đặt

g(z)=
∞

i=1

1 − a
z
b
i

,h(z)=
∞

i=1

1 −
z
b
[
i
1−δ
]

.
Trong đó a, b ∈ K thỏa mãn |a| =1,a =1và |b| > 1, [x] là số nguyên
lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng x. Gọi n là số nguyên i lớn nhất sao cho

i
1 − δ


log |b|≤log r. Khi đó µ(r, h)=r
n
n

i=1
|b|
−
[
i
1−δ
]
. Suy ra
log µ(r, h)=n log r −
n

i=1

i
1 − δ

log |b|.
Áp dụng bổ đề 6.3 trong [5] với  =1− δ và ρ =
log r
log |b|
ta thu được
log µ(r, h)=(1− δ)
(log r)
2
2 log |b|
+ O(log r).

Tương tự, ta cũng tính được
log µ(r, g)=
(log r)
2
2 log |b|
+ O(log r).
17
Theo hệ quả 1.25 trong [8], ta được g, h ∈A(K), hơn nữa dễ thấy g, h
không có không điểm chung, nên áp dụng công thức (1.2) và bổ đề 1.4 với
ϕ =
g
h
∈M(K), ta có
N(r, ϕ)=N

r,
1
h

=(1− δ)
(log r)
2
2 log |b|
+ O(log r),
T (r, ϕ)=
(log r)
2
2 log |b|
+ O(log r).
Do đó

δ
ϕ
(∞)=1− lim
r→∞
sup
N(r, ϕ)
T (r, ϕ)
= δ.
Chọn f = a +
1
ϕ
, khi đó δ
f
(a)=δ
ϕ
(∞)=δ.
Trong cách xây dựng hàm f trong đònh lý 1.8, chúng ta thấy hàm ϕ
chỉ có các cực điểm đơn, do đó Θ
ϕ
(∞)=δ
ϕ
(∞). Vì vậy, ta có kết quả sau
đây.
Đònh lý 1.9. Với mọi Θ ∈ [0, 1], luôn tồn tại f ∈M(K) và a ∈ K ∪ {∞} sao
cho Θ
f
(a)=Θ.
Kết luận chương 1
Nội dung của chương 1 là trình bày các kiến thức cơ sở về giải tích
p-adic. Đặc biệtlà lý thuyết Nevanlinna p-adic, với hai đònh lý cơ bản. Lý

thuyết này chính là một sự mở rộng đònh lý cơ bản của đại số. Lý thuyết
Nevanlinna p-adic là công cụ chủ yếu của chúng tôi trong công việc nghiên
cứu các vấn đề về đa thức duy nhất và song tập xác đònh duy nhất kiểu
(1,n) cho các hàm phân hình trên trường không Acsimet.
Trong chương này, các kết quả của đònh lý 1.5, 1.6, 1.7, 1.8 và 1.9 là các
kết quả mới của chúng tôi. Những kết quả này bổ sung và khẳng đònh đánh
giá số khuyết của Nevanlinna là tốt nhất.
18
Chương 2
Đa thức duy nhất
Khái niệm đa thức duy nhất được đưa ra lần đầu tiên bởi P. Li và C.
C. Yang ([12]) năm 1995. Trong bài báo đó các tác giả đã chứng minh được
rằng, mọi đa thức lấy hệ số trên C bậc bé hơn 5 không phải là đa thức duy
nhất yếu (do đó cũng không phải là đa thức duy nhất mạnh) và họ đưa ra
nhận xét rằng không dễ để có thể khẳng đònh một đa thức có phải là đa
thức duy nhất hay không. Gần đây, B. Shiffman ([14]) đã đưa ra một điều
kiện đủ tổng quát cho một đa thức phức là đa thức duy nhất. Sau đó, H.
Fujimoto ([7]) cũng đưa ra những điều kiện đủ để một đa thức phức là đa
thức duy nhất mạnh. Đối với trường không Acsimet, năm 2001, bằng cách
sử dụng các ước lượng hàm Nevanlinna, Hà Huy Khoái và Tạ Thò Hoài An
([9]) đã đưa ra điều kiện đủ để một đa thức là đa thức duy nhất yếu và mạnh
cho các hàm phân hình trên trường không Acsimet K. Sau đó, đến năm
2002, J. T-Y. Wang ([16]) đã chỉ ra điều kiện cần và đủ để lớp các đa thức
thỏa mãn điều kiện tách nghiệm là đa thức duy nhất yếu và mạnh cho các
hàm phân hình trên trường không Acsimet, đặc số p ≥ 0 bất kỳ.
Đònh nghóa 2.1. ([9]) Một đa thức khác hằng số P(z) ∈ W[z] được gọi là đa
thức duy nhất yếu cho F nếu với các hàm khác hằng f,g ∈Fthỏa mãn điều
kiện P(f)=P (g) thì f = g. Tương tự, đa thức P(z) ∈ W[z] được gọi là đa
thức duy nhất mạnh cho F nếu với các hàm khác hằng f,g ∈F và hằng số
khác không c ∈ W thỏa mãn điều kiện P (f)=cP (g) thì c =1và f = g.

Trong chương này, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu các điều kiện
cần và điều kiện đủ để một đa thức lấy hệ số trên W là đa thức duy nhất
yếu (mạnh). Trong suốt phần này, chúng ta luôn giả sử rằng P (z) ∈ W[z] là
một đa thức monic bậc q ≥ 1. Ta viết
P

(z)=q(z − d
1
)
q
1
(z − d
2
)
q
2
(z − d
k
)
q
k
,
19
trong đó q
1
+ q
2
+ ···+ q
k
= q − 1,d

i
= d
j
; ∀i = j và k được gọi là chỉ số đạo
hàm của P .
Đònh nghóa 2.2. ([1])
• Đa thức P (z) được gọi là thỏa mãn điều kiện (H) nếu
P (d
i
) = P (d
j
); ∀i = j.
• Đa thức P (z) được gọi là thỏa mãn điều kiện (G) nếu
P (d
1
)+P (d
2
)+···+ P (d
k
) =0.
2.1 Các trường hợp đặc biệt
• Nếu q =1thì P (z)=z + a. Khi đó P (f)=P(g) ⇒ f + a = g +
a ⇒ f = g. Do đó P là đa thức duy nhất yếu cho F. Tuy nhiên,
P (f)=cP (g) ⇒ f = cg +(c − 1)a, do đó P không là đa thức duy nhất
mạnh cho F.
• Nếu q =2thì P (z)=z
2
+ az + b. Với bất kỳ hàm khác hằng số f ∈F,
đặt g = −f − a, khi đó P(f)=P (g) nhưng f = g. Do đó, P không
là đa thức duy nhất yếu (do đó cũng không là đa thức duy nhất mạnh)

cho F.
Đònh lý 2.1. Nếu q =3thì P không là đa thức duy nhất yếu và mạnh cho
M(W).
Chứng minh. Giả sử P (z)=z
3
+ az
2
+ bz + c. Đặt Q(z)=P (z + d), khi đó
Q(z)=z
3
+(a +3d)z
2
+(3d
2
+2ad + b)z + d
3
+ ad
2
+ bd + c.
Chọn d ∈ W sao cho 3d
2
+2ad + b =0. Khi đó Q(z) sẽ có dạng
Q(z)=z
3
+ a
1
z
2
+ a
2

.
Nếu a
1
=0thì ta chọn f = h và g = ξh, với h ∈M
∗
(W) bất kỳ và
ξ
3
=1,ξ =1. Nếu a
1
=0thì ta chọn
f(z)=−a
1
1+z
z
2
+ z +1
và g(z)=−a
1
z + z
2
z
2
+ z +1
.
20
Trong mọi trường hợp, ta dễ dàng kiểm tra được Q(f)=Q(g), nhưng f = g.
Lấy f

= f + d, g


= g + d. Khi đó f

,g

∈M(W) và f

= g

. Nhưng ta có
P (f

)=P (f + d)=Q(f)=Q(g)=P (g + d)=P (g

).
Vậy P không là đa thức duy nhất yếu cho M(W). Do đó P cũng không là
đa thức duy nhất mạnh cho M(W).
Đònh lý 2.2. Nếu k =1thì P không là đa thức duy nhất yếu và mạnh cho F.
Chứng minh. Giả sử k =1, khi đó q ≥ 2 và P

(z)=q(z − d)
q−1
. Suy ra
P (z)=(z − d)
q
+ c, với d, c ∈ K và c =0. Với bất kì hàm khác hằng số
f ∈Fvà hằng số ξ =1sao cho ξ
q
=1. Đặt hàm g = ξf +(1− ξ)d. Dễ
dàng kiểm tra được P (f)=P (g), nhưng f = g. Do đó P (z) không thể là

đa thức duy nhất yếu (do đó cũng không là đa thức duy nhất mạnh).
Đònh lý 2.3. Nếu k =2và min{q
1
,q
2
} =1thì P không là đa thức duy nhất
yếu và mạnh cho M(W).
Chứng minh. Giả sử k =2và min{q
1
,q
2
} =1, khi đó q ≥ 3 và
P

(z)=q(z − d
1
)(z − d
2
)
q−2
.
Suy ra
P (z)=(z − d
2
)
q
+
q
q − 1
(d

2
− d
1
)(z − d
2
)
q−1
+ b.
Đặt Q(z)=P (z + d
2
), khi đó
Q(z)=z
q
+ az
q−1
+ b,
với a =
q
q − 1
(d
2
− d
1
) =0. Xét hai hàm phân hình
f =
ϕ
q−1
− ψ
q−1
ψ

q
− ϕ
q
aϕ; g =
ϕ
q−1
− ψ
q−1
ψ
q
− ϕ
q
aψ,
trong đó ϕ, ψ ∈M(W),ϕ ≡ ψ.
Dễ dàng kiểm tra được Q(f)=Q(g), nhưng f = g.
Lấy f

= f + d
2
,g

= g + d
2
. Khi đó f

,g

∈M(W) và f

= g


. Nhưng ta có
P (f

)=P (f + d
2
)=Q(f)=Q(g)=P (g + d
2
)=P (g

).
Vậy P không là đa thức duy nhất yếu cho M(W). Do đó P cũng không là
đa thức duy nhất mạnh cho M(W).
21
Từ các trường hợp đặc biệt đã xem xét ở trên, chúng ta có thể đưa ra một
điều kiện cần để một đa thức bất kỳ trên W là đa thức duy nhất yếu (mạnh)
cho M(W).
Hệ quả 2.1. Nếu P là đa thức duy nhất yếu cho M(W) thì q =1hoặc k ≥ 3
hoặc k =2và min{q
1
,q
2
}≥2.
Hệ quả 2.2. Nếu P là đa thức duy nhất mạnh cho M(W) thì k ≥ 3 hoặc
k =2và min{q
1
,q
2
}≥2.
Trong [2], chúng tôi phân tích khá rõ một số sự khác biệt của lý

thuyết Nevanlinna p-adic. Lý do cơ bản là chúng ta đang làm việc trên
trường không Acsimet, nên chắc chắn sẽ có một số tính chất đặc thù và dễ
dàng kiểm tra hơn khi xét trên trường số phức nói chung. Đối với đa thức
duy nhất trên trường không Acsimet chúng ta cũng có các tính chất khác
biệt mà trong trường số phức không có được. Cụ thể là mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.1. ([16]) Các khẳng đònh sau là tương đương:
(1) P (z) là đa thức duy nhất yếu (mạnh) cho M(K).
(2) P (z) là đa thức duy nhất yếu (mạnh) cho trường các phân thức trên K.
2.2 Đa thức duy nhất yếu
Đònh lý sau đây cho ta biết một điều kiện đủ để đa thức P(z) ∈ W[z]
là đa thức duy nhất yếu.
Đònh lý 2.4. Giả sử P(z) ∈ W[z] là đa thức thỏa mãn điều kiện (H), có chỉ
số đạo hàm k ≥ 3. Khi đó P (z) là đa thức duy nhất yếu cho M(W).
Để chứng minh đònh lý này, chúng ta cần một số khái niệm sau đây.
Giả sử f là hàm phân hình khác hằng số. Đònh nghóa hàm
χ
a
f
: K ∪ {∞} → Z,
xác đònh như sau:
Trường hợp a ∈ K:
χ
a
f
(z)=

0 nếu f(z) = a,
1 nếu f(z)=a.
22
Trường hợp a = ∞:

χ
∞
f
(z)=

−1 nếu z là cực điểm của f,
0 trong các trường hợp còn lại.
Với điều kiện C cho trước, ta đònh nghóa
χ
∗
f

|
C
(z)=

χ
0
f

(z) nếu z thỏa mãn điều kiện C và f(z) = d
j
; ∀j,
0 trong các trường hợp còn lại.
Chứng minh. Giả sử tồn tại hai hàm phân hình khác hằng số f và g sao
cho P (f)=P (g). Ta chứng minh f = g. Thật vậy, giả sử f = g. Đặt
ϕ =
1
f
−

1
g
.
Khi đó ϕ ≡ 0 và
T (r, ϕ) ≤ T (r, f )+T (r, g)+O(1). (2.1)
Từ giả thiết P(f)=P (g) chúng ta suy ra f và g có cực điểm với cùng bội.
Do đó χ
∞
f
(z)=χ
∞
g
(z).
Mặt khác, từ giả thiết P(f)=P (g) ta có f

(z)P

(f(z)) = g

(z)P

(g(z)).Do
P thỏa mãn điều kiện (H) nên nếu f(z)=d
j
(1 ≤ j ≤ k) thì g(z)=d
j
hoặc
g

(z)=0. Vì vậy, ta có bất đẳng thức

χ
d
j
f
(z) ≤ χ
d
j
g
(z)+χ
∗
g

|
f=d
j
(z).
Điều này kéo theo
k

j=1
χ
d
j
f
(z) − χ
∞
f
(z) ≤
k


j=1

χ
d
j
g
(z)+χ
∗
g

|
f=d
j
(z)

− χ
∞
g
(z)
≤ χ
0
ϕ
(z)+
k

j=1
χ
∗
g


|
f=d
j
(z).
23
Áp dụng đònh lý cơ bản thứ hai cho hàm f và các giá trò d
1
,d
2
, ,d
k
ta có
(k − 1)T (r, f) ≤
k

j=1
N

r,
1
f − d
j

+
N(r, f) − N
0

r,
1
f



− log r + O(1)
≤
N

r,
1
ϕ

+
k

j=1
N
0

r,
1
g


|
f=d
j
− N
0

r,
1

f


− log r + O(1)
≤ T

r,
1
ϕ

+
k

j=1
N
0

r,
1
g


|
f=d
j
− N
0

r,
1

f


− log r + O(1). (2.2)
Mặt khác, theo đònh lý cơ bản thứ nhất ta có
T

r,
1
ϕ

= T (r, ϕ)+O(1).
Do đó, bất đẳng thức (2.2) trở thành
(k − 1)T (r, f) ≤ T (r, ϕ)+
k

j=1
N
0

r,
1
g


|
f=d
j
− N
0


r,
1
f


− log r + O(1). (2.3)
Đối với hàm g ta cũng có bất đẳng thức tương tự
(k − 1)T (r, g) ≤ T (r, ϕ)+
k

j=1
N
0

r,
1
f


|
g=d
j
− N
0

r,
1
g



− log r + O(1). (2.4)
Cộng các bất đẳng thức (2.3), (2.4) và kết hợp với bất đẳng thức (2.1) ta có:
(k − 1) (T (r, f )+T (r, g)) ≤ 2(T (r, f)+T (r, g))
+
k

j=1
N
0

r,
1
g


|
f=d
j
− N
0

r,
1
g


+
k


j=1
N
0

r,
1
f


|
g=d
j
− N
0

r,
1
f


−2 log r + O(1).
24
Dễ dàng nhận thấy:
k

j=1
N
0

r,

1
g


|
f=d
j
≤ N
0

r,
1
g


,
k

j=1
N
0

r,
1
f


|
g=d
j

≤ N
0

r,
1
f


.
Do đó, ta có
(k − 3) (T(r, f )+T(r, g)) ≤−2 log r + O(1).
Cho r →∞ta thu được k<3, mâu thuẫn.
Đònh lý được chứng minh.
Đònh lý 2.4 chỉ cho chúng ta các điều kiện đủ để một đa thức là đa
thức duy nhất yếu cho M(W). Các điều kiện đó chưa phải là điều kiện cần
và đủ, tức là có tồn tại các đa thức duy nhất yếu cho M(W) nhưng không
thỏa mãn các điều kiện của đònh lý 2.4. Ví dụ sau đây sẽ cho chúng ta thấy
rõ điều này.
Ví dụ. (Xem [8]) Xét đa thức
F
n,b
(z)=
(n − 1)(n − 2)
2
z
n
− n(n − 2)z
n−1
+
n(n − 1)

2
z
n−2
+ b.
Khi đó
F

n,b
(z)=
n(n − 1)(n − 2)
2
z
n−3
(z − 1)
2
,
F
n,b
có chỉ số đạo hàm k =2và F
n,b
(0) = b, F
n,b
(1) = b +1, tức là F
n,b
vẫn
thỏa mãn điều kiện (H).
Mệnh đề 2.2 ([8 ]). Nếu n ≥ 6 thì F
n,b
là đa thức duy nhất yếu cho M(W).
2.3 Đa thức Y

n,m
Trong [8], các tác giả đã đưa ra đa thức
Y
n,m
(z)=z
n
− az
m
+ b,
trong đó n, m ∈ Z
+
,n > m) và đồng thời khẳng đònh với n ≥ m +2,đa
thức Y
n,m
là đa thức duy nhất yếu cho M(K) nếu một trong hai điều kiện
sau thỏa mãn
25
(i) (n, m)=1,n>
1
2

5+

17 + 4m(m − 3)

,
(ii) (n, m)=1,m= n − 2 ≥ 3.
Sau đó, các tác giả có đặt ra một câu hỏi: ``Có phải đa thức Y
n,n−1
là đa thức

duy nhất yếu cho M(K) khi n ≥ 5?''. Đònh lý sau đây sẽ cho chúng ta câu
trả lời phủ đònh cho câu hỏi trên.
Đònh lý 2.5. Với mọi n ≥ 2 đa thức Y
n,n−1
không là đa thức duy nhất yếu cho
M(K).
Chứng minh. Xét hai hàm phân hình:
f =
ϕ
n−1
− ψ
n−1
ϕ
n
− ψ
n
aϕ, g =
ϕ
n−1
− ψ
n−1
ϕ
n
− ψ
n
aψ,
trong đó ϕ, ψ ∈M(K),ϕ ≡ ψ.
Dễ thấy f = g. Tuy nhiên, ta lại có Y
n,n−1
(f)=Y

n,n−1
(g).
Vì vậy, Y
n,n−1
không là đa thức duy nhất yếu cho M(K).
Hiển nhiên, khi đó Y
n,n−1
cũng không là đa thức duy nhất mạnh cho
M(K).
Bây giờ, chúng ta sẽ xét tất cả các giá trò m, n sao cho Y
n,m
là đa thức
duy nhất yếu cho M(K). Một vấn đề đặt ra là cần phải thêm các điều kiện
nào của m, n để cho Y
m,n
cũng sẽ là đa thức duy nhất mạnh cho M(K).
Đònh lý sau đây là câu trả lời cho vấn đề này.
Đònh lý 2.6. Nếu m, n là các giá trò sao cho Y
n,m
là đa thức duy nhất yếu cho
M(K) và hơn nữa 2m ≥ n +3thì Y
n,m
là đa thức duy nhất mạnh cho M(K).
Chứng minh. Giả sử có hai hàm f,g ∈M
∗
(K) và hằng số khác không c ∈ K
sao cho Y
n,m
(f)=cY
n,m

(g). Ta cần chứng minh f = g. Đặt
h
1
= −
1
b
f
m
(f
n−m
− a),h
2
=
c
b
g
m
(g
n−m
− a).
Khi đó, từ đẳng thức Y
n,m
(f)=cY
n,m
(g), ta có h
1
+ h
2
=1− c.
Nếu c =1và chú ý rằng T(r, f )=T(r, g)+O(1) thì theo đònh lý cơ bản