Tính toán công trình ngầm theo quan điểm liên kết một chiều giữa kết cấu và môi trường đất đá

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG
HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ





Cao Chu Quang





tÝnh to¸n c«ng tr×nh ngÇm
theo quan ®iÓm liªn kÕt mét chiÒu
gi÷a kÕt cÊu vμ m«i tr−êng ®Êt ®¸

Chuyên ngành: Xây dựng công trình đặc biệt
Mã số: 62 58 50 05






TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT

HÀ NỘI - 2006

Công trình được hoàn thành tại:
HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ




Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Hợi





PHẢN BIỆN 1: GS.TSKH Đào Huy Bích

PHẢN BIỆN 2: GS.TS Nguyễn Mạnh Yên

PHẢN BIỆN 3: PGS.TS Trần Đức Nhiệm

Luận án đã được bảo vệ tại: Hội đồng chấm luận án cấp Nhà nước
họp tại Học viện Kỹ thuật Quân sự,
Nghĩa Đô - Từ Liêm – Hà Nội

Vào hồi 8giờ30 ngày 23 tháng 10 năm 2006









Có thể tìm hiểu luận án tại:
• Thư viện Quốc gia
• Thư viện Học viện Kỹ thuật Quân s
ự

1
Mở đầu
1. Tính cấp thiết của đề tài nghiên cứu
Do sự phát triển kinh tế và quốc phòng các loại kết cấu công trình
ngầm ngày càng đợc ứng dụng rộng rãi trong thực tế nh các đờng
hầm (tuy-nen) trên các tuyến đờng sắt và đờng bộ, các đờng tàu
điện ngầm trong các thành phố lớn, các đờng hầm dẫn nớc và xả
nớc trong các nhà máy thủy điện, các hệ thống đờng ống kỹ thuật
cấp thoát nớc, dẫn dầu, dẫn khí, bể chứa. Đặc biệt trong lĩnh vực quốc
phòng các đờng hầm đợc xây dựng để làm sở chỉ huy, công trình ẩn

nấp - chiến đấu, cất giấu các loại vũ khí, trang bị kỹ thuật chiến đấu,
các kho hậu cần, quân y Do đó việc nghiên cứu các phơng pháp
tính toán và thiết kế công trình ngầm là vấn đề có ý nghĩa thực tế.
Cho đến nay hầu hết các phơng pháp tính toán công trình ngầm đặt
trong môi trờng đất đá đều thừa nhận sơ đồ liên kết giữa kết cấu và môi
trờng là liên kết hai chiều trên toàn bộ miền tiếp xúc ban đầu của
chúng, không thay đổi trong suốt quá trình chất tải và không phụ thuộc
dạng của tải trọng. Trong thực tế, khi chịu tải một bộ phận của kết cấu sẽ
dịch chuyển về phía của môi trờng, một bộ phận khác dịch chuyển theo
hớng tách khỏi môi trờng, nghĩa là miền tiếp xúc môi trờng- kết cấu
sẽ thay đổi trong quá trình chịu tải. Sơ đồ làm việc của hệ phản ánh sự
tơng tác thực của kết cấu và môi trờng nh mô tả trên có thể mô hình
hóa bằng cách đa vào các liên kết một chiều giữa môi trờng và kết cấu
(hình 2.1). Miền liên kết một chiều (miền tiếp xúc) này sẽ thay đổi phụ
thuộc vào quy luật, trị số của tải trọng tác dụng trên kết cấu và không
xác định trớc đợc. Độ cứng của các liên kết này đặc trng cho độ cứng
của môi trờng đất đá nên có tính biến dạng.
Từ sự phân tích trên có thể thấy rằng việc sử dụng mô hình liên kết
hai chiều giữa kết cấu và môi trờng đất đá trong suốt quá trình chịu
tải khi tính toán công trình ngầm - nh hầu hết các công trình nghiên
cứu từ trớc đến nay đã thừa nhận - là mô hình tính gần đúng, cha
hoàn toàn phù hợp với thực tế và kết quả tính toán nội lực của công
trình thiên về phía không an toàn khi thiết kế. Vì vậy, việc nghiên cứu
phơng pháp tính công trình ngầm theo quan điểm liên kết một chiều
giữa kết cấu và môi trờng nhằm làm cho sơ đồ tính chính xác hơn,
phù hợp với thực tế hơn khi xác định trạng thái ứng suất - biến dạng
của công trình ngầm là vấn đề rất có ý nghĩa thực tế và khoa học.
Với các lí do trên đề tài nghiên cứu của luận án đợc chọn là: "Tính
toán công trình ngầm theo quan điểm liên kết một chiều giữa kết cấu
và môi trờng đất đá".

2
2. Mục đích, nội dung, phơng pháp, phạm vi nghiên cứu của luận án
Mục đích của luận án
Xây dựng mô hình, thuật toán và chơng trình để tính công trình
ngầm theo quan điểm liên kết một chiều giữa kết cấu và các môi
trờng biến dạng của đất đá và phân tích ảnh hởng của các liên kết
này đến trạng thái ứng suất biến dạng của kết cấu.
Nội dung và phơng pháp nghiên cứu của luận án
Nội dung của luận án đợc giải quyết theo hai bớc:
1/ Xác định miền liên kết một chiều (miền tiếp xúc thực giữa kết
cấu và môi trờng) dới tác dụng của tải trọng đã cho. Biết đợc
miền tiếp xúc này sẽ xác định đợc sơ đồ tính của hệ.
2/ Tính chuyển vị và nội lực của kết cấu công trình ngầm dới tác dụng
của tải trọng đã cho với sơ đồ tính đã đợc xác định trong bớc một.
Khi giải bài toán của bớc một đợc áp dụng các nguyên lý, các
phơng pháp của cơ học kết cấu và các điều kiện ràng buộc về lực
của các liên kết một chiều với công cụ tính toán là phơng pháp quy
hoạch toán học. Đây là nội dung chủ yếu của luận án. Bài toán của
bớc hai đợc giải trên cơ sở kết hợp các thuật toán của bớc một và
các thuật toán của phơng pháp phần tử hữu hạn (do khuôn khổ của
luận án có hạn nên các thuật toán của phần tử hữu hạn không trình
bày trong luận văn).
Phạm vi nghiên cứu của luận án
Công trình ngầm đợc khảo sát trong luận án là các loại kết cấu
ngầm làm việc theo sơ đồ bài toán phẳng (biến dạng phẳng, ứng suất
phẳng). Trong thực tế các kết cấu này có dạng đờng hầm, có chiều
dài lớn hơn đáng kể chiều rộng của công trình (thông thờng tỷ lệ
này 4). Tải trọng đợc khảo sát là tải trọng tĩnh cho trớc, có quy
luật phân bố bất kỳ, không phụ thuộc vào biến dạng của công trình và

đợc đặt trực tiếp lên kết cấu. Vật liệu kết cấu biến dạng đàn hồi
tuyến tính. Môi trờng đất đá biến dạng đàn hồi tuyến tính, đàn hồi
phi tuyến, đàn dẻo.
3. Cấu trúc của luận án
Cấu trúc của luận án bao gồm phần mở đầu, bốn chơng và phần
kết luận, cuối cùng là tài liệu tham khảo và phụ lục. Trong phần mở
đầu nêu lên tính cấp thiết của đề tài luận án, mục đích, nội dung,
phạm vi, phơng pháp nghiên cứu của luận án. Trong chơng I tổng
quan về các phơng pháp tính toán kết cấu công trình ngầm chịu tác
dụng của tải trọng tĩnh, từ đó lựa chọn và xác định mục đích, nội
dung, phạm vi, phơng pháp nghiên cứu của luận án. Chơng II dành
cho việc thiết lập các phơng trình cơ bản và phơng pháp giải bài

3
toán công trình ngầm có các liên kết một chiều biến dạng đàn hồi
tuyến tính bằng phơng pháp quy hoạch toán học. Trong chơng III
xây dựng các thuật toán và chơng trình nhằm tự động hoá toàn bộ
quá trình giải bài toán ở chơng II trên máy tính, đồng thời nghiên
cứu bằng số trạng thái nội lực - chuyển vị của công trình ngầm có các
liên kết một chiều đàn hồi tuyến tính. Chơng IV dành cho việc thiết
lập các phơng trình, thuật toán và chơng trình để giải bài toán công
trình ngầm có các liên kết một chiều biến dạng phi tuyến (đàn hồi phi
tuyến, đàn dẻo lý tởng) bằng phơng pháp lặp trên cơ sở lời giải của
bài toán quy hoạch toàn phơng và phân tích bằng số ảnh hởng của
các liên kết một chiều biến dạng phi tuyến đến trạng thái nội lực -
chuyển vị của hệ. Cuối cùng là phần kết luận chung, trong đó đánh
giá các kết quả chính và mới đã đạt đợc của luận án. Phần phụ lục
giới thiệu mã nguồn của chơng trình tính.

chơng i

Tổng quan về phơng pháp tính toán kết cấu
công trình ngầm chịu tác dụng của tải trọng Tĩnh
Đã tiến hành tổng quan các phơng pháp tính toán công trình
ngầm theo quan điểm tách kết cấu ra khỏi môi trờng với các mô
hình nền khác nhau, quan điểm kết cấu và nền cùng làm việc đồng
thời và các phơng pháp tính kết cấu có các liên kết một chiều. Từ
tổng quan rút ra các kết luận:
- Phơng pháp tính công trình ngầm theo quan điểm liên kết một
chiều giữa kết cấu và môi trờng đất đá là phơng pháp hiện đại vì nó
phản ánh sự làm việc thực của hệ và, do đó, chính xác hơn các
phơng pháp tính toán truyền thống trong đó coi liên kết giữa kết cấu
và môi trờng là liên kết hai chiều và phân bố liên tục trên toàn bộ
miền tiếp xúc kết cấu - môi trờng.
- Các công trình nghiên cứu theo hớng sử dụng mô hình liên kết
một chiều khi tính công trình ngầm tuy đã bắt đầu phát triển nhng
chỉ mới ở giai đoạn ban đầu. Hơn nữa khi sử dụng mô hình này các
tác giả chỉ hạn chế đối với các loại kết cấu có hình dạng đối xứng
chịu tải trọng đối xứng (tải trọng này do áp lực địa tầng gây ra). Với
các dạng kết cấu và tải trọng này miền liên kết một chiều có thể giả
định trớc và không thay đổi trong quá trình chịu tải. Các nghiên cứu
đối với công trình ngầm có dạng bất kỳ, chịu tải trọng có quy luật bất
kỳ (chẳng hạn, tải trọng do áp lực sóng nổ) theo quan điểm liên kết
một chiều với miền liên kết phụ thuộc vào quy luật phân bố của tải
trọng (miền này không thể giả định trớc đợc) hầu nh cha đợc
đề cập đến.

4
- Trong các công trình nghiên cứu liên quan đến tính toán các kết
cấu công trình nói chung và công trình ngầm nói riêng có các liên kết
một chiều các tác giả chủ yếu sử dụng phơng pháp xấp xỉ liên tục sơ

đồ tiếp xúc kết cấu- môi trờng. Phơng pháp tính kết cấu có các liên
kết một chiều bằng phơng pháp quy hoạch toán học - là một trong
các phơng pháp hiện đại và rất có hiệu quả- chỉ mới đợc áp dụng
để tính các hệ có các liên kết một chiều tuyệt đối cứng hoặc các hệ
cầu dây văng; còn đối với kết cấu công trình ngầm tiếp xúc với môi
trờng đất đá nh là hệ có các liên kết một chiều biến dạng tuyến
tính hoặc phi tuyến, phơng pháp trên cha đợc ứng dụng.
Từ các kết luận trên đã lựa chọn đề tài, xác định mục đích, nội
dung, phơng pháp và phạm vi nghiên cứu của luận án nh đã trình
bày trong phần mở đầu.
chơng ii
Thiết lập các phơng trình cơ bản để tính
công trình ngầm theo quan điểm liên kết một chiều
giữa kết cấu v môi trờng đất đá
biến dạng đn hồi tuyến tính

Khảo sát công trình ngầm dới dạng kết cấu thanh phẳng với
chiều rộng của tiết diện ngang bằng đơn vị (hình 2.1a). Thay thế
đờng cong liên tục của kết cấu bằng đờng gãy khúc gồm n đoạn
thẳng (phần tử thanh), mỗi phần tử có chiều dài
i
l , có diện tích tiết
diện
i
F
và mô men quán tính
i
J
không đổi (1,2, ,)in
=

. Các đỉnh của
đờng gãy khúc gọi là các "nút". Thay thế liên kết đàn hồi phân bố
trên bề mặt tiếp xúc kết cấu - môi trờng bằng các liên kết đàn hồi
tập trung (hay gối đàn hồi) đặt tại các "nút" (hình 2.1b). Đặc trng độ
cứng
i
K
của gối đàn hồi phụ thuộc vào tính chất cơ học của môi
trờng đất đá xung quanh, chiều dài của các phần tử thanh kề với gối
tựa và đợc xác định nh sau:

1
2
ii
i
ll
KC

+

=


, (2.1)
trong đó:
i
K
- độ cứng của các liên kết đàn hồi, C - hệ số nền WinKler,
1
,

ii
ll

- chiều dài các phần tử thanh thứ (1)i và thứ ()i kề với nút i của
kết cấu.
Khi không kể đến lực ma sát giữa kết cấu và nền, phơng của các
gối đàn hồi trùng với phơng của phân giác của góc tại các "nút". Nếu
kể đến ảnh hởng của ma sát giữa bề mặt vỏ hầm và môi trờng đất đá,
gối đàn hồi có phơng lệch về phía dới so với hớng phân giác của

5
góc ở đỉnh đờng gãy khúc một góc

: arctg


=
, (2.2)
trong đó

hệ số ma sát giữa vỏ hầm và môi trờng đất đá.
Liên kết đàn hồi một chiều
a) b)

Hình 2.1 Mô hình hóa sự làm việc của công trình ngầm:
a) hệ thực, b) mô hình liên kết một chiều
Bằng cách thay thế trên sơ đồ tính của hệ kết cấu công trình
ngầm- môi trờng đất đá dẫn tới hệ thanh siêu tĩnh có các liên kết
một chiều (hình 2.1b).
Mô hình tính của hệ trong chơng này đợc hình thành trên cơ sở

các giả thiết sau:
1. Hệ kết cấu công trình ngầm - môi trờng đất đá làm việc theo
sơ đồ phẳng.
2. Biến dạng của hệ là nhỏ nên các tính toán đợc tiến hành trên
sơ đồ không biến dạng.
3. Tải trọng tác dụng tĩnh, đặt trực tiếp lên kết cấu, có quy luật
phân bố bất kỳ cho trớc, không phụ thuộc vào quá trình biến dạng
của kết cấu.
4. Vật liệu kết cấu công trình ngầm và môi trờng đất đá xung
quanh công trình biến dạng đàn hồi tuyến tính.
5. Phản lực của môi trờng đất đá lên công trình ngầm tuân theo
định luật WinKler và đợc thay bằng các liên kết đàn hồi một chiều.
Do cha biết trớc miền tiếp xúc thực của hệ kết cấu - môi trờng
nên trong sơ đồ tính xuất phát miền liên kết một chiều đợc giả định
là tồn tại trên toàn bộ miền tiếp xúc. Miền thực của nó sẽ đợc xác
định trong quá trình giải bài toán.
Chiều của phản lực và chuyển vị trong liên kết tiếp xúc một chiều
đợc quy ớc nh sau:
- Chiều của phản lực là dơng khi hớng vào trong lòng kết cấu,
nghĩa là tơng ứng với chiều của lực nén.
- Chiều của chuyển vị là dơng khi hớng trong lòng kết cấu.

6
Khảo sát công trình ngầm dới dạng hệ khung kín có các liên kết
một chiều đàn hồi tuyến tính chịu tải trọng tĩnh bất kỳ (gọi là hệ xuất
phát) (hình 2.2a). Hệ xuất phát trong trờng hợp tổng quát là hệ
thanh siêu tĩnh. Để tính hệ xuất phát ta sử dụng hệ thay thế và hệ cơ
bản, các hệ này đợc hình thành từ hệ xuất phát siêu tĩnh nh sau:
Tất cả các liên kết đàn hồi một chiều trong hệ xuất phát đợc
thay bằng liên kết đàn hồi hai chiều có cùng độ cứng. Các liên kết

này đợc gọi là các liên kết thay thế. Hệ kết cấu công trình ngầm với
các liên kết thay thế gọi là hệ thay thế (hình 2.2b). Hệ thay thế trong
trờng hợp tổng quát là hệ siêu tĩnh có các liên kết đàn hồi hai chiều.
Để tính hệ thay thế siêu tĩnh ta sử dụng phơng pháp lực của
cơ học kết cấu với việc sử dụng hệ cơ bản, hệ này nhận đợc bằng
cách thay thế các liên kết nút cứng trong hệ thay thế siêu tĩnh bằng
các liên kết khớp và cặp mô men cha biết
i
X
(đóng vai trò là các ẩn
số cơ bản) sao cho chuyển vị của các liên kết thay thế không gây ra
bất kỳ nội lực nào trong hệ cơ bản. Điều này luôn luôn có thể làm
đợc khi ta chọn hệ cơ bản là hệ tĩnh định (hình 2.2c).
Liên kết đàn hồi hai chiềuLiên kết đàn hồi một chiều
1
n
n-1
3
2
i
a)
1

n
3
2
n-1
i
b)
1

X
n-1
X
X
n
X
3
2
X
X
i
c)

Hình 2.2 Sơ đồ tính của công trình ngầm có các liên kết một chiều:
a) hệ siêu tĩnh xuất phát, b) hệ thay thế, c) hệ cơ bản
Các ẩn số
i
X
không những phải thoả mãn các điều kiện cân bằng
của hệ mà còn phải thoả mãn các điều kiện ràng buộc về lực và
chuyển vị đối với các liên kết đàn hồi một chiều trên bề mặt tiếp xúc
của hệ thực kết cấu - môi trờng. Để xây dựng điều kiện cân bằng
của hệ dới tác dụng của các lực ta sử dụng nguyên lý thế năng biến
dạng bù (nguyên lý biến phân Castigliano).
Đối với các hệ biến dạng hàm công bù của các lực (ngoại lực) có
thể tính qua thế năng biến dạng bù của nội lực.
Các biểu thức nội lực và phản lực liên kết trong hệ thay thế siêu
tĩnh có thể xác định theo các ẩn số cơ bản trong hệ cơ bản tĩnh định
dới dạng:

7

00
11
00
11
),),
),),
( 1,2, , ; 1,2, , )
nn
mmp mii mmp mii
ii
nn
m mp mii k kp kii
ii
aM M MX bN N NX
cQ Q QX dR R RX
mpks
==
==

=+ =+




=+ =+


==

, (2.3)
trong đó:
,,,
mmmk
M
NQR- tơng ứng là giá trị mô men uốn, lực dọc và lực
cắt trong phần tử thanh thứ m và phản lực trong liên kết thay thế thứ k
trong hệ thay thế siêu tĩnh,
0000
,,,
mp mp mp kp
M
NQR- tơng ứng là giá trị của mô
men uốn, lực dọc, lực cắt trong phần tử thanh thứ m và phản lực trong liên
kết thay thế thứ k do tải trọng gây ra trên hệ cơ bản,
,,,
mi mi ki
mi
M
NQR-
tơng ứng là giá trị của mô men uốn, lực dọc, lực cắt trong phần tử thứ m
và phản lực trong liên kết thay thế thứ k do ẩn số lực
1
i
X
=

gây ra trong
hệ cơ bản,
(1,2, ,)
i
X
in= - các ẩn số của phơng pháp lực, 1,2, ,mp
=
-
chỉ số các phần tử,
1,2, ,in
=
- chỉ số của ẩn số phơng pháp lực,
1,2, ,ks= - chỉ số các gối đàn hồi (cũng là chỉ số của các liên kết đàn
hồi một chiều).
Ký hiệu
*
V - thế năng biến dạng bù nội lực của hệ. Khi hệ biến
dạng tuyến tính thế năng biến dạng bù bằng thế năng biến dạng và
đợc xác định theo công thức sau:
22 22
*
111 1
1
2
ppp
s
mm mk
mmm k
mm mk
M

NQR
Vdsdsds
E
JEF GFK

=== =


=+++





, (2.4)
trong đó:
,,,
mmmk
M
NQR- ký hiệu nh trong (2.3), ,
mm
J
F - mô men quán
tính và diện tích tiết diện của thanh thứ m,
E
- mô đun đàn hồi khi
uốn (kéo, nén),
G
-mô đun đàn hồi khi trợt của vật liệu,

hệ số điều
chỉnh khi kể đến sự phân bố không đều của ứng suất tiếp,
k
K
- độ
cứng của liên kết thay thế thứ k.
Thay (2.3aữ 2.3d) vào (2.4) và đặt:

=== =


=+++





02 02 02 02
111 1
() () () ()
22 22
ppp
s
mp mp mp kp
o
mmm k
mm mk
MN QR
Vdsdsds
EJ EF GF K

, (2.5)
1111
ppp
s
mi mj ki kj
mi mj
mi mj
ij
mmmk
mm mk
QQ
MM NN RR
ds ds ds
EJ EF GF K

====


=+++





, (2.6)
00 00
1111
ppp
s
mi ki

mi
mp mp mp kp
mi
ip
mmmk
mm mk
MM NN QQ RR
ds ds ds
EJ EF GF K

====


= + + +





, (2.7)
ta nhận đợc biểu thức cuối cùng để xác định thế năng biến dạng bù
của hệ đàn hồi tuyến tính nh sau:

8

*0
11 1
1
2
nn n

iij j ip i
ij i
VXXXV

== =
=++

, (2.8)
trong đó:
ij

- chuyển vị theo phơng
i
X
do 1
j
X
=
gây ra trong hệ cơ
bản,
ip

- chuyển vị theo phơng
i
X
do tải trọng gây ra trong hệ cơ
bản,
0
V - thế năng biến dạng do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản (đại
lợng này là hằng số và không phụ thuộc vào các ẩn số lực

i
X
).
Nguyên lý thế năng biến dạng bù (nguyên lý biến phân Castigliano)
dới dạng toán học:
*
min.V (2.9)
Các liên kết thực là các liên kết đàn hồi một chiều. Các phản lực
trong liên kết này chỉ tồn tại với điều kiện:
0
k
R . (2.10)
Kết hợp (2.9) và (2.10), tính đến (2.8) và (2.3d) đồng thời chú ý
đến
0
V không phụ thuộc các ẩn số
i
X
, ta có thể hình thành bài toán
tính công trình ngầm có các liên kết một chiều nh sau:
Tìm các lực
(
)
1,2, ,
i
X
in= sao cho:

*
11 1

1
min
2
nn n
iij j ip i
ij i
VXXX

== =
=+

, (2.11)
với các ràng buộc:
0
1
0, ( 1,2, , )
n
ki
kkp i
i
R
RRX k s
=
=+ =

. (2.12)
(
**0
VVV
=

: thế năng bù rút gọn).
Bài toán đợc diễn đạt theo hệ các phơng trình (2.11) và (2.12) là
bài toán quy hoạch toán học dạng toàn phơng. Sau khi tìm đợc các
ẩn số cơ bản
(
)
1,2, ,
i
Xi n=
từ bài toán trên ta có thể xác định đợc sơ
đồ làm việc thực của hệ (sơ đồ tiếp xúc một chiều giữa kết cấu và
môi trờng), theo đó nếu các liên kết có giá trị phản lực
0
k
R
=

(
k
R
xác định theo (2.3d)) thì liên kết không làm việc, còn các liên kết
có giá trị phản lực
0
k
R > thì liên kết làm việc. Nội lực của hệ tơng
ứng với sơ đồ làm việc thực đợc xác định theo các công thức (2.3a)
ữ(2.3c). Sau khi xác định đợc sơ đồ làm việc thực (hệ làm việc) và
nội lực thực của hệ theo phơng pháp trên ta có thể xác định chuyển
vị của hệ theo các phơng pháp quen biết trong cơ học kết cấu hoặc
bằng các chơng trình tính toán kết cấu hiện hành, chẳng hạn SAP-

2000. Trong luận án đã sử dụng phơng pháp phần tử hữu hạn để xác
định chuyển vị của hệ sau khi xác định đợc miền liên kết một chiều
bằng phơng pháp quy hoạch toán học.
Bài toán (2.11)-(2.12) đợc viết lại dới dạng ma trận nh sau:

()()
{
}
min 0F

XfX , (2.13)

9
trong đó:
*
()
TT
FV== +XXCXPX, (2.13a)
() () ()
{}
() () ()
{}
== =
12 1 2
( ) , , , , , ,
TT
ss
ff f RR RfX X X X X X X AX-B, (2.13b)
với:
{}

12
, , ,
T
n
XX X=X , (2.13c)

1
( , 1,2, , )
2
ij
ij n


==

C
, (2.13d)

{
}
12
, , ,
T
pp np
= P , (2.13e)

()
0
1
, ( 1,2, , )

n
ki
kkp i
i
R
RRXk s
=
=+ =

X , (2.13g)
( 1,2, , ; 1,2, , )
ki
R
ksjn

= = =

A . (2.13h)

{
}
00 0
12
, , ,
T
pp sp
RR R=B
, (2.13f)
Do không có các ràng buộc
0X

nên các điều kiện Kuhn-Tucker
của bài toán quy hoạch toàn phơng (2.13) dẫn tới dạng:

{
}
min
),)2 ,
)0;0, ) 0.
TT
T
T
ab
cd

+


+= + =


=


XCX PXAX B
AX Y B CX A U P
YU YU
, (2.14)
Hệ phơng trình trên, ngoài các biến cơ bản
X của bài toán, còn xuất

hiện thêm các biến mới - các nhân tử Lagrăng
U và các biến phụ Y .
Giả thiết ma trận vuông
n chiều C là ma trận đối xứng và xác
định dơng. Do đó, từ phơng trình (2.14b) ta nhận đợc:

()
1
1
()
2
T
= +XU C AU P
. (2.15)
Sau khi thay (2.15) vào (2.14) và nhân phơng trình thứ nhất với -1
các điều kiện Kuhn - Tucker có dạng:

}
) 2 , ) 0, 0, ) 0,
T
abc= =GU Y H U Y U Y , (2.16)
trong đó: véc tơ
H và ma trận G đợc tính theo các công thức:

1
1
2

=
+HACPB

, (2.17)

1
1
4
T
=GACA
. (2.18)
Véc tơ
H là véc tơ s chiều, ma trận G là ma trận cấp s xác định
dơng nếu A có hạng s. Trong mọi trờng hợp các phần tử đờng chéo
của nó là dơng:
1
1
0.
4
T
kk k k
G

=
>AC A

(
k
A là ma trận dòng thứ k của ma trận A ).

10
Các điều kiện (2.16) là các điều kiện Kuhn- Tucker đối với bài toán:

{
}
min ( ) 0
TT

=
+UUGUHUU . (2.19)
Bài toán quy hoạch (2.19) là bài toán đối ngẫu của (2.13).
Để giải bài toán đối ngẫu (2.19) đã sử dụng phơng pháp
Hildreth- D'esopo. Lời giải đợc bắt đầu từ điểm chấp nhận đợc
0
0=U . Các thành phần của bớc lặp tiếp theo
1
U đợc xác định tuần
tự do cực tiểu hoá
()

U theo từng thành phần
k
U của véc tơ U với
ràng buộc
0
k
U , các thành phần còn lại giữ các giá trị đã nhận đợc
trong bớc lặp cuối. Tơng tự sẽ nhận đợc
2
U từ
1
U và v.v Nói
chung,

1p +
U đối với
1, 2, p
=
đợc tìm theo công thức:


{
}
11
max 0,
pp
kk
UW
++
= , (2.20)
trong đó
()
1
11
11
1
,1,2, ,
2
ks
ppp
k
kkjjkjj
jjk
kk

H
WGUGUks
G

++
==+

= + + =



. (2.21)
Qúa trình lặp đợc tiếp tục cho đến khi
p
U hay ()
p

U , hoặc ()
p
XU
không còn thay đổi trong phạm vi của độ chính xác cho phép.
Điều kiện dừng tính lặp đợc kiểm tra nh sau:

(
)
1
2
() ( 1) () ( 1)
T
nn nn

<

UU UU , (2.22)
với

- vô cùng bé đợc chọn trớc nào đó, thờng chọn
6
10


=
.
Trên cơ sở các thuật toán nhận đợc đã tiến hành tính toán bằng số
(tính tay) đối với kết cấu dầm liên tục có các liên kết một chiều (hệ có hai
bậc siêu tĩnh). Kết quả tính toán đã khẳng định độ tin cậy của phơng
pháp tính kết cấu có các liên kết một chiều bằng phơng pháp quy hoạch
toán học (dạng toàn phơng).

chơng iii
Giải bằng số các bi toán công trình ngầm
với các liên kết một chiều biến dạng đn hồi tuyến Tính
Với mục đích tự động hoá toàn bộ quá trình giải bài toán công trình
ngầm theo quan điểm liên kết một chiều bằng phơng pháp quy hoạch
toàn phơng với các thuật toán đã đợc thiết lập trong chơng II, trong
chơng này sẽ xây dựng thêm các công thức tính toán bằng số dới
dạng ma trận đối với các chuyển vị

ij

và
ip

(các đại lợng này trong
chơng II mới dẫn ra dới dạng tổng quát). Các công thức này cùng
với các thuật toán trong chơng II cho phép lập trình để giải bài toán
trên máy tính.

11
Công trình ngầm có các dạng kết cấu thờng gặp là: dạng vòm tờng
thẳng (vòm tròn hoặc vòm parabôn), dạng hình tròn, dạng vòm móng
ngựa, dạng hình chữ nhật có chu vi kín. Để thuận lợi cho việc xây dựng
thuật toán cũng nh lập trình ta chọn hệ cơ bản đối với các kết cấu trên
theo một cách duy nhất là hoá khớp tại các đỉnh kết cấu và đặt vào đó
"n" cặp mô men ẩn số
(1,2, ,)
i
X
in= . Để thống nhất ký hiệu, số nút và số
phần tử trong hệ cơ bản đợc đánh số nh trên hình vẽ 3.1.
Với hệ cơ bản trên lực cắt tại hai đầu phần tử đợc xác định bởi
các phơng trình:

0,
(1,2, ,)
0,
cd
ii i

dc
ii i
Ql M
in
Ql M

+=

=

+=


, (3.1)
trong đó:
,
dc
ii
QQ- lực cắt tại nút đầu và cuối của phần tử thứ i ,
,
dc
ii
M
M - mô men tại nút đầu và nút cuối của phần tử thứ i do ngoại
lực tác dụng trên phần tử thứ
i gây ra,
i
l - chiều dài của phần tử thứ i .
(i)
N

d
X

i
R
c)
R
(i -1)
O
R
i-1
i-1
P
i

i-1
X
X
(i)
i
Y
i
i-1
Q
(i-1)
Q
i-1
y
X
x

d
N
i-1
d

i-1
i-1
P
i-1
b)
N
N
c
i-1
i
c
X
i-1
c
(i)
Q
c
i-1
i
Q
(i)
d
i
i
i

i
P
N
(i +1)
a)
Y
R
i+1
i
P
y
Q
d
i
d)
i
N
(i +1)
i
i
x
d
Q
i
c
c
i

Hình 3.1 Sơ đồ tính các phản lực liên kết tại các nút của hệ
Lực dọc tại nút đầu các phần tử thanh và phản lực trong các liên

kết đàn hồi
(
)
,1,2, ,
d
ii
NRi n=
đợc tính từ hệ phơng trình:

,TZ = F (3.2)
trong đó:
Z - là véc tơ phản lực cha biết tại các nút (bao gồm véc tơ lực dọc tại nút
đầu các phần tử thanh
N và véc tơ phản lực trong các gối tựa đàn hồi R ) do
ngoại lực gây ra trong hệ cơ bản, gồm 2n phần tử:

{
}
{}
{}
{}

==



==

12 12
12 12

,
: , .
T
dd d
nn
T
T
dd d
nn
NN NRR R
với N N N R R R
N
Z
R
NR
, (3.3)
T - là ma trận hình học của kết cấu, cấp 2nx2n:

12

=




11
11
12 2
12 2
2
2
1
1
1
1
cos 0 . 0 cos cos 0 . 0
sin 0 . 0 sin sin 0 . 0
cos cos . 0 0 0 cos . 0
sin sin . 0 0 0 sin . 0
0cos.0 0 0 0.0
0sin.0 0 00.0
. . . . . .

00.cos 000.0
00.sin 000.0
00.cos cos00.cos
00.sin sin00.
n
n
n
n
nn n
nn
T















sin
n
,(3.4)
F - là véc tơ lực nút 2n chiều do ngoại lực đã cho và lực cắt đã biết

gây ra trong hệ cơ bản:

(
)
()
()
()






+

+
=





11
11
11 1 1
11 1 1
sin sin cos
cos cos sin

sin sin cos

cos cos sin

dc x
nn n n
dc x
nn n n
dc x
ii i i i i
dc x
ii i i i i
QQ F
QQ F
QQ F
QQ F
F
(
)
(
)

+








11 1 1
11 1 1

sin sin cos
cos cos sin
dc x
nn n n n n
dc x

nn n n n n
QQ F
QQ F
. (3.5)
Lực dọc tại các nút cuối phần tử
()
1,2, ,
c
i
Ni n= đợc xác định từ
phơng trình:
0,
(1,2, ,),
dcx c dx
iii iii
NNF NNF
in

+==+


=


, (3.6)
trong đó:
,
dc
ii
NN- giá trị lực dọc tại nút đầu và cuối của phần tử thứ i ,

x
i
F
- tổng hình chiếu của ngoại lực tác dụng trên phần tử thứ i lên trục
ox của nó.
Sau khi xác định đợc tất cả các phản lực liên kết do ngoại lực (bao gồm
tải trọng và các ẩn số) gây ra trong hệ cơ bản, bằng cách xét từng phần tử kết
hợp với phơng pháp mặt cắt sẽ xác định đợc các biểu thức nội lực do
ngoại lực gây ra trong hệ cơ bản. Với các biểu thức nội lực này có thể tính
đợc các giá trị
, ( , 1,2, , )
ij ip
ij n

= theo các công thức (2.6)-(2.7). Trong
luận án đã xây dựng các thuật toán tính
, ( , 1,2, , )
ij ip
ij n

= dới dạng các
công thức và các bảng tơng ứng với các trờng hợp tải trọng khác nhau,
thuận lợi cho việc lập trình trên máy tính.
Trên cơ sở các phơng trình, thuật toán của chơng II và III đã lập
trình để giải bài toán công trình ngầm theo quan điểm liên kết một
chiều bằng phơng pháp quy hoạch toàn phơng trên máy tính.
Chơng trình đợc viết bằng ngôn ngữ MATLAB và mang tên CTN1.

13
Sử dụng chơng trình đã lập, đã tiến hành các tính toán bằng số để

khẳng định độ tin cậy của chơng trình và tính toán trạng thái nội
lực- chuyển vị của công trình ngầm theo quan điểm liên kết một
chiều, đồng thời phân tích ảnh hởng của các liên kết này đến trạng
thái chịu lực của hệ.
Bài toán 3.1
Mục đích của bài toán này là kiểm tra độ tin cậy của chơng trình
CTN1 khi biết trớc hệ làm việc và hệ này không thay đổi trong quá
trình chịu tải. Kết cấu công trình ngầm có dạng hình tròn (hình 3.2a),
bán kính R=2m, J=0.00225 m
4
, F=0.3 m
2
, E=2.4ì10
6
T/m
2
. Liên kết
giữa kết cấu và môi trờng là liên kết hai chiều có độ cứng 10442 T/m.
Tải trọng gồm áp lực đất đá q
đ
=3.2T/m, e
1
=0.8 T/m, e
2
=2.6T/m và tải
trọng do nổ quy tĩnh q
n
có giá trị nh trên hình vẽ.
14
13

12
e2=2.6 T/m
a)
3
.
8
8
q
2
.
1
J
16
15
17
10
11
1.43
18
19
e1=0.8 T/m
22
1.43
3
3
.
8
8
20
4.68

21
2
.
1
4
23
2
1
24
qd=3.2 T/m
b)
6
9
8
7
5
n
J
q
3
.
8
8
n
4.68
3
.
8
8
2

.
1
1.43
2
.
1
1.43
X
i
qd=3.2 T/m
e1=0.8 T/m
e2=2.6 T/m
e1=0.8 T/me1=0.8 T/m
e2=2.6 T/m e2=2.6 T/m

Hình 3.2 Sơ đồ kết cấu và tải trọng: a) hệ siêu tĩnh xuất phát, b) hệ cơ bản
Kết quả tính toán mô men uốn trong kết cấu theo chơng trình
CTN1 đợc dẫn ra dới dạng bảng và biểu đồ (hình 3.3). Để so sánh
đã tính hệ trên bằng SAP2000.
0
.
1
1
5
7
0
.
1
7
2

1
0
.
0
9
7
6
0
.
0
7
5
2
0.1913
0.0801
0
.
0
7
4
0
0.4300
0
.
3
5
5
5
0
.

1
7
3
5
0
.
2
2
0
2
0
.
0
5
0
2
0.
2619
0
.
1
5
3
8
0.0967
0
.
0
6
3

2
0
.
1
1
8
3
0
.
1
0
8
4
0.3462
0
.
2
1
3
5
0.3961
0
.
3
1
2
3
0.1768
0
.

4
4
6
7

Hình 3.3 Biểu đồ mô men uốn
trong hệ siêu tĩnh (Tm)
Từ kết quả tính toán ta thấy
nội lực của hệ tính theo hai
chơng trình hầu nh trùng nhau.
Điều này khẳng định độ tin cậy
của chơng trình trong việc xác
định các giá trị chuyển vị đơn vị,
chuyển vị tải của hệ, các công
thức tính ma trận và các thuật
toán giải hệ phơng trình đại số
tuyến tính.


14
Bài toán 3.2
Bài toán này cũng có mục đích kiểm tra độ tin cậy của chơng
trình tính CTN1 bằng cách so sánh hệ làm việc nhận đợc do tính
toán và hệ làm việc đợc khuyến nghị trong thiết kế.
Công trình ngầm dạng vòm tờng thẳng có các liên kết một chiều
biến dạng đàn hồi tuyến tính cho trên hình vẽ 3.4a.
Các số liệu xuất phát:
- Kết cấu : b = 5 m, h = 2 m, f = 1.035 m, J
1
=0.00225 m

4
, J
2
=0.00759
m
4
, J
3
=0.00225 m
4
, F
1
=0.3 m
2
, F
2
=0.45 m
2
, F
3
=0.3 m
2
, E= 2.4ì10
6
T/m
2
.
- Liên kết một chiều biến dạng đàn hồi tuyến tính có độ cứng của
liên kết xác định theo biểu thức (2.1) với hệ số nền C = 20000 T/m
3

.
- Tải trọng: q
v
= 3.6 T/m, q
đ
= 1 T/m, e
1
= 0.9 T/m, e
2
= 2.4 T/m.
h f
e1=0.9 T/m
e
2=2.4 T/m
e
1=0.9 T/m
e
2=2.4 T/m
q
d=1.0 T/m
e
2=2.4 T/m
e
1=0.9 T/m
q
v=3.6 T/m
J1
9
8
10

11
12
13
14
15
16
17
18
19
28
1
2
23
26 25 2427
J3
202122
J2
4
3
5
6
7
b)
12
8
J1
qd=1.0 T/m
e2=2.4 T/m
1
28

27
4
3
2
J2
5
6
7
J3
24
b
2526 23 22 21 20
19
16
17
18
13
15
14
h
f
b
90
a)
e1=0.9 T/m
10
9
11
qv=3.6 T/m

Hình 3.4 Sơ đồ tính của hệ: a) hệ xuất phát, b) hệ làm việc
Đã tính toán hệ trên theo chơng trình CTN1. Các kết quả tính
toán đợc dẫn ra dới dạng bảng và biểu đồ.
Trên hình vẽ 3.4b là sơ đồ làm việc thực của hệ. Hình vẽ 3.5a thể
hiện sơ đồ biến dạng của kết cấu. Hình vẽ 3.5b thể hiện biểu đồ mô
men uốn của kết cấu công trình ngầm.
2
.
0
2
2
8
23
11
128
2
3
4
27
26 2425
a)
5
6
8
7
9
10
22 21
18
1920

17
16
0.4106
5.5564
3.2914
2.4541
2.1179
2.1658
2.1658
2.0720
2.1970
1.6202
13
12
14
15
0
.
3
2
8
0
b)
4.5587
2
.
2
7
4
9

1
.
1
3
5
3
2
.
02
28
2
.
3
1
0
1
2.1179
2.4541
5.5564
0.4106
1.6202
2.0720
3.2914
4.5587
0
.
3
2
8
0

1
.
1
3
5
3
2
.
2
7
4
9

Hình 3.5 Kết quả tính: a) sơ đồ biến dạng của hệ, b) biểu đồ
mô men uốn trong kết cấu công trình ngầm (Tm)
Từ các kết quả tính toán ta thấy hệ làm việc nhận đợc có vùng
thoát ly tại đỉnh vòm tơng ứng với góc =90
0
(hình3.4b). Kết quả
này trùng với khuyến nghị khi thiết kế công trình ngầm. Tuy nhiên,
qua nhiều thử nghiệm số đối với các kết cấu có độ cứng khác nhau

15
tác giả phát hiện ra rằng kết quả trên chỉ đúng trong một số trờng
hợp cụ thể, còn nói chung, vùng thoát ly tại đỉnh vòm có 90
0
phụ
thuộc vào hình dạng, độ cứng của kết cấu và tải trọng tác dụng lên
kết cấu cũng nh tính chất của môi trờng.
Bài toán 3.3

Trong bài toán này tiến hành tính toán bằng số trạng thái chuyển vị -
nội lực của hệ kết cấu công trình ngầm - môi trờng đất đá có các liên
kết một chiều theo chơng trình CTN1, đồng thời so sánh kết quả tính
toán theo mô hình này với mô hình liên kết hai chiều truyền thống.
23
22
2
a)
b)
1
.
5
5
3
1
0.6140
0
.
1
5
3
8
0
.
4
5
6
8
0
.

6
5
9
7
0.7508
1.
55
8
2
0
.
1
1
8
3
0
.
2
9
2
1
0
.
0
6
3
2
0
.
2

2
0
2
0
.
6
3
7
6
0.2
6
1
9
0.0967
0.2513
0
.
17
6
8
0
.
1
1
5
7
0
.
8
4

4
1
0
.
3
1
2
3
1
.
4
1
6
2
0
.
3
8
6
1
1
.
1
6
7
7
0
.
4
4

6
7
0
.
0
5
0
2
0.0
8
0
1
0
.
0
7
5
2
0
.
0
7
4
0
0
.
6
7
4
4

0
.
3
9
8
0
0.3185
0
.
3
9
7
3
0.0
6
9
6
0.1913
1
.
9
5
6
9
0
.
1
7
3
5

1
2
1
.
6
3
3
0
2.1457
0
.
3
5
5
5
0
.
0
9
7
6
0.4300
1
.
2
8
2
3
0
.

1
0
8
4
0
.
2
2
5
8
0
.
1
7
2
1
0
.
2
1
3
5
0
.
34
6
2
1.499
3
0.3961

e2=2.6 T/m
e1=0.8 T/m
qd=3.2 T/m
e2=2.6 T/m
n
19
2
.
1
q
18
9
17
15
13
14
16
J
11
12
10
1.43
8
7
21
20
e1=0.8 T/m
2
.
1

3
1.43
4.6
8
3
.
8
8
3
.
8
8
5
6
4
24
1

Hình 3.6 Kết quả tính toán: a) hệ làm việc, b) biểu đồ mô men uốn
tại các nút của kết cấu (Tm): 1- theo mô hình liên kết một chiều, 2- theo
mô hình liên kết hai chiều
Sơ đồ kết cấu và các số liệu xuất phát đợc lấy nh trong bài toán
3.1 (chỉ khác là các liên kết đàn hồi một chiều trong bài toán này
thay cho liên kết hai chiều trong bài toán 3.1). Hệ thay thế siêu tĩnh
có dạng nh trên hình 3.2a. Hệ cơ bản đợc chọn nh 3.2b. Kết quả
tính toán đợc cho dới dạng bảng và biểu đồ. Hệ làm việc cho trên
hình 3.6a, biểu đồ mô men uốn tại các nút theo cả hai mô hình liên
kết một chiều và liên kết hai chiều cho trên hình 3.6b.
Từ kết quả tính toán có thể nhận xét: Mô men uốn của hệ khi tính
toán theo quan điểm liên kết một chiều lớn hơn khi tính toán theo

quan điểm liên kết hai chiều. Điều này phù hợp với quy luật cơ học.
Từ nhận xét trên dẫn tới khuyến nghị: Khi tính toán công trình
ngầm liên kết giữa kết cấu và môi trờng đất đá cần đợc coi là các
liên kết một chiều để nâng cao độ chính xác và nâng cao độ an toàn
về chịu lực của kết cấu.

16
chơng iV
tính công trình ngầm
theo quan điểm liên kết một chiều
giữa kết cấu v môi trờng biến dạng phi tuyến
Trong chơng này, phát triển phơng pháp nghiên cứu ở trong
chơng II và III, thiết lập các phơng trình, thuật toán và chơng
trình để tính công trình ngầm theo quan điểm liên kết một chiều giữa
kết cấu biến dạng tuyến tính và môi trờng biến dạng phi tuyến. ở
đây các mô hình phi tuyến của môi trờng đợc sử dụng là đàn hồi phi
tuyến và đàn dẻo lý tởng.
Khảo sát công trình ngầm dới dạng khung kín có các liên kết
một chiều biến dạng phi tuyến chịu tải trọng tĩnh bất kỳ (tơng tự
hình 2.2a). Hệ xuất phát này trong trờng hợp tổng quát là hệ thanh
siêu tĩnh. Để tính hệ xuất phát, ta sử dụng hệ thay thế (tơng tự hình
2.2b) và hệ cơ bản (tơng tự hình 2.2c), các hệ này đợc hình thành
từ hệ xuất phát siêu tĩnh theo quy tắc tơng tự nh đã trình bày trong
chơng II.
Để xây dựng điều kiện cân bằng của hệ dới tác dụng của các lực
ta cũng sử dụng nguyên lý biến phân Castigliano.
Các biểu thức nội lực trong hệ thay thế siêu tĩnh đợc xác định
theo các nội lực và các ẩn số cơ bản trong hệ cơ bản tĩnh định có
dạng nh trong chơng II và III.
Ký hiệu

*
V - là thế năng biến dạng bù trong toàn hệ,
*
kc
V - là thế
năng biến dạng bù trong kết cấu công trình ngầm,
*
lk
V - là thế năng
biến dạng bù trong các liên kết phi tuyến, ta có:

***
kc lk
VVV
=
+ . (4.1)
Do vật liệu của phần kết cấu công trình ngầm là đàn hồi tuyến
tính nên biểu thức thế năng biến dạng bù tích luỹ trong kết cấu công
trình ngầm có dạng:

== =
=++

*0
11 1
1
2
nn n
kc kc
kc i ij j ip i kc

ij i
VXXXV
, (4.2)
trong đó:
02 02 02
111
() () ()
;
22 2
ppp
mp mp mp
o
kc
mmm
mm m
MN Q
Vdsdsds
EJ EF GF

===


=++





(4.3)
00 0

111
;
ppp
mi mi
mi
mp mp mp
kc
ip
mmm
mm m
MM NN QQ
ds ds ds
EJ EF GF

===


= + +





(4.4)
111
ppp
mi mj mi mj
mi mj
kc
ij

mmm
mm m
QQ
MM NN
ds ds ds
EJ EF GF

===




=++







; (4.5)

17
Thế năng biến dạng bù của các liên kết biến dạng phi tuyến đợc
xác định theo công thức sau:
[] [] []
*
00
1111
0

() () () () ,
k
k
k
R
ssss
R
lk k k k k
R
kkkk
V RdR FR FR FR
====
= = =


(4.6)
trong đó:
()
k
R
là chuyển vị dọc trục của liên kết và phụ thuộc phi
tuyến vào phản lực trong liên kết thứ
(1,2, ,)kk s= , ()
k
F
R là tích phân
của
()
k
R

đối với liên kết thứ k.
Thay (4.6) và (4.2) vào (4.1) ta có:
[] []

=
+
== = = =
=+++


0
1
*0
0
11 1 1 1
1
() ()
2
n
ki
kp i
i
nn n s s
kc kc
iij j ip i kc k k
RRX
ij i k k
VXXXVFR FR
. (4.7)
Nguyên lý biến phân Castigliano dới dạng toán học:

*
min.V (4.8)
Điều kiện ràng buộc về lực trong các liên kết một chiều :

0
k
R . (4.9)
Nguyên lý Castigliano (4.8) với điều kiện ràng buộc về lực trong
các liên kết một chiều (4.9), tính đến (4.7) và (2.3d), đồng thời chú ý
[]
0
0
1
;()
s
kc k
k
V F R const
=
=

không phụ thuộc các ẩn số
i
X
, bài toán công trình
ngầm có các liên kết một chiều biến dạng phi tuyến dẫn tới bài toán
quy hoạch toán học phi tuyến dạng tổng quát sau đây:
Tìm các lực
(

)
1,2, ,
i
X
in= sao cho:

[]
0
1
*
11 1 1
1
() min
2
n
ki
kp i
i
nn n s
kc kc
iij j ip i k
RRX
ij i k
VXXXFR

=
+
== = =
=++

, (4.10)
với các ràng buộc:
0
1
0, ( 1,2, , )
n
ki
kkp i
i
R
RRX k s
=
=+ =

. (4.11)
(
()
**0
0
1
s
kc k
k
VVV FR
=
=+

: thế năng bù rút gọn).
Việc tìm nghiệm của các phơng trình đối với bài toán công trình

ngầm có các liên kết một chiều biến dạng phi tuyến tổng quát (4.10)-
(4.11) rất phức tạp. Dới đây trình bày phơng pháp giải bài toán trên
trong trờng hợp cụ thể khi liên kết một chiều biến dạng đàn hồi phi
tuyến và đàn dẻo lý tởng.
Trờng hợp liên kết một chiều biến dạng đàn hồi phi tuyến
Khảo sát trờng hợp chuyển vị - phản lực trong các liên kết một
chiều biến dạng đàn hồi phi tuyến theo quy luật bậc 3:

18

()
()
ct
R
R
K
R
= =
, (4.12)
với
() ()
2
(1 )
ct
K
KR tgR
aR

==
+

, (4.13)
trong đó:
R
là phản lực trong liên kết một chiều,
K
là độ cứng của
liên kết tơng ứng với biến dạng tuyến tính,
a là hệ số đặc trng cho
tính phi tuyến của liên kết,
0a ( nếu 0a = ta có liên kết biến dạng
tuyến tính),
(
)
ct
K
R
- độ cứng cát tuyến của gối tơng ứng với giá trị
R
,
(
)
R

- góc nghiêng của cát tuyến tơng ứng với giá trị
R
. Dới
dạng đồ thị quan hệ (4.12) đợc thể hiện trên hình 4.1, theo đó
ct
K
tg

= .
K
R(1 + aR )
R



R
K
K
1
1
=
ct
2

Hình 4.1 Mô hình đàn hồi phi tuyến
của các liên kết một chiều
k
R
k

(1) (2) (n)
kkk

pt(1)
R
k
(n)

k

1
1
K
R
(1)
k
k
pt(2)
R
(2)
k
R
ct(1)
1
1
K
k
K
=(R)
k
kk
R
(n)
= R
pt(n)
K
ct(2)
k

k
ct(n)
ct(3)

Hình 4.2 Quá trình tính lặp
với độ cứng cát tuyến
Với mô hình đàn hồi phi tuyến đã đợc thừa nhận ở trên bài toán
công trình ngầm có các liên kết một chiều biến dạng phi tuyến
(4.10)-(4.11) chuyển tới dạng:
Tìm các lực
(
)
1,2, ,
i
X
in= sao cho:

24
*
11 1 1
11
min
224
nn n s
kc kc
kk
iij j ip i
ij i k
k
RR

VXXX a
K

== = =

=+++



, (4.14)
với các ràng buộc:
0
1
0, ( 1,2, )
n
ki
kkp i
i
R
RRX k s
=
=+ =

, (4.15)
trong đó:
k
K
- độ cứng của liên kết thứ k tơng ứng với biến dạng tuyến tính.
Bài toán (4.14)-(4.15) có thể viết lại dới dạng:

()()
{
}
min 0F XfX , (4.16)
trong đó:
(
)
*
()
TT
kc kc
FV L== + +XXCXPXX, (4.17)

()
(
)
(
)
24
1
1
24
s
kk
k
k
RR
La
K
=

=+




XX
X
, (4.18)

19

1
( , 1,2, , )
2
kc
kc ij
ij n


==

C
, (4.19)

{
}
12
, , ,
T

kc kc kc
kc p p np
= P , (4.20)
() ()
k
RfX,X, X- theo (2.13b), (2.13c), (2.13g).
Do các ràng buộc
0X

không tồn tại nên các điều kiện Kuhn-
Tucker của bài toán trên sau khi biến đổi có dạng:

()
{
}
**
min ,
),)2 0,
)0;0, ) 0,
TT
kc kc
T
T
L
ab
cd

++

+= + + =


=


XC X PX X AX B
AX Y B C X A U P
YU YU
, (4.21)
trong đó:
(
)
*
CX
- ma trận nn
ì
với các hệ số:

()
()
()
*
1
1
, , 1,2, ,
2
s
ki kj
kc

ij ij
ct
k
k
RR
Cijn
K

=

=+ =




X
X
; (4.22)
(
)
*
PX- véctơ n chiều với các hệ số:

()
()
()
0
*
1
,1,2, ,

s
ki kp
kc
iip
ct
k
k
RR
P
in
K
=
= + =

X
X
, (4.23)
với:
()
()
2
,( 1,2, , )
1
ct
k
k
k
K
K
ks

aR
==

+

X
X
- (4.24)
- là độ cứng cát tuyến của liên kết phi tuyến thứ k.
Các phơng trình của bài toán quy hoạch phi tuyến (4.21) trùng
với phơng trình của bài toán quy hoạch toàn phơng (2.14) về dạng,
chỉ khác ở chỗ, các thành phần của
C và P trong (2.14) là các thành
phần hằng, còn các thành phần
**
,CP trong (4.21) phụ thuộc vào ẩn
số
X . Nếu đặt 0a
=
(hệ số đặc trng cho tính phi tuyến của liên kết)
vào (4.22) và (4.23) ta có:
*
ij ij
CC
,
*
ii
P
P
nghĩa là bài toán quy

hoạch phi tuyến trở về dạng quy hoạch toàn phơng đã nghiên cứu
trong chơng II và III. Xuất phát từ nhận xét trên tác giả đề xuất
phơng pháp giải các phơng trình cơ bản (4.21) bằng phơng pháp
lặp với mỗi bớc lặp dựa trên lời giải của bài toán quy hoạch toàn
phơng (xem hình vẽ 4.2).
Vòng lặp thứ nhất,
1r
=

- Gán:
(1)
, ( 1,2, , )
ct
kk
K
Kk s==
- Tính
*(1)
ij
C và
*(1)
,(, 1,2, , )
i
P
ij n= theo (4.22) và (4.23) với
(1)ct ct
kk
KK= .

20

- Giải bài toán (4.21) với các giá trị
*(1) *(1)
,CP vừa tính đợc theo
thuật toán của bài toán quy hoạch toàn phơng đã trình bày trong
chơng II ta nhận đợc nghiệm
(1)
X .
Vòng lặp thứ
r ( 2,3,4, , , rn
=
)
- Tính
(1)
(1,2, ,)
r
k
R
ks

= theo (2.3d) với
(1)r

=XX .
- Tính
(1)pt r
k
R

từ phơng trình:

()
(1) (1)
2
(1)
(1)
1,(1,2, ,)
pt r r
pt r
kk
k
ct r
kk
RR
aR k s
KK




+==


. (4.25)
- Tính độ cứng cát tuyến theo công thức:

()
()
2
(1)
, ( 1,2, , )

1
ct r
k
k
pt r
k
K
K
ks
aR

==
+
. (4.26)
- Tính
*( )r
ij
C và
*( )
,(, 1,2, , )
r
i
P
ij n= theo (4.22) và (4.23) với
()ct ct r
kk
KK= .
Lập ma trận
*( )r
C

và véc tơ
*( )r
P
.
- Giải bài toán (4.21) với
*( ) *( )
,
rr
==CC PP theo thuật toán của bài
toán quy hoạch toàn phơng (2.14) và tính đợc
()r
X .
- Kiểm tra điều kiện hội tụ của nghiệm:

(
)
1
2
() ( 1) () ( 1)
T
nn nn




<

XX XX
, (4.27)
với

- một vô cùng bé đợc chọn trớc (thờng chọn
6
10


= ).
Trờng hợp liên kết một chiều biến dạng đàn dẻo lý tởng
Thừa nhận liên kết một chiều làm việc theo mô hình đàn dẻo lý
tởng (hình 4.3), quan hệ giữa phản lực - chuyển vị trong nó có dạng:

()
()
ct
R
R
K
R
= =
, (4.28)
với
(
)
ct
K
R - độ cứng cát tuyến phụ thuộc
R
và đợc xác định theo
biểu thức:
()

()

=




=>



gh
ct
gh gh
ct
R
KR Kkhi
K
RR
KR khi
K
. (4.29)
trong đó:
K
- độ cứng đàn hồi tuyến tính của liên kết,
gh
R
- giới hạn
chảy của phản lực trong gối.
Đối với môi trờng đất đá

gh
R
có thể tính theo công thức sau đây:

gh gh
R
F

=
, (4.30)
trong đó:
F
- diện tích của cột đất,
gh

- giới hạn độ bền của đất.

21

R
gh
R


gh
1
ct
K =
1
K

R
gh


Hình 4.3 Quan hệ giữa chuyển vị - phản lực
theo mô hình đàn dẻo lý tởng

k
R
gh
1
R
k

k
R
(1)
(2)
R


R =
(n)
gh
k
kk
k
k
k
k

(1) (2) (n)
ct(1)
K
kk
K
ct(2)
1
1
ct(3)
K
k
k
K
ct(n)
1

Hình 4.4 Quá trình tính lặp
Do bài toán đặt ra là bài toán tĩnh nên quá trình chịu lực của hệ có
thể chỉ khảo sát theo quá trình chất tải. Trong trờng hợp này sự làm
việc của các liên kết một chiều biến dạng đàn dẻo có thể coi là trờng
hợp riêng của liên kết một chiều đàn hồi phi tuyến đợc đặc trng
bằng độ cứng cát tuyến theo biểu thức (4.29). Vì vậy phơng pháp và
thuật toán giải bài toán công trình ngầm có liên kết một chiều biến
dạng đàn hồi phi tuyến đã nghiên cứu hoàn toàn có thể ứng dụng để
giải bài toán công trình ngầm liên kết một chiều biến dạng đàn dẻo,
theo đó các độ cứng cát tuyến trong các vòng lặp sẽ đợc kiểm tra và
tính theo công thức (4.29).
Trên cơ sở các phơng trình thuật toán nhận đợc trong chơng IV
đã tiến hành lập trình tính toán công trình ngầm theo quan điểm liên
kết một chiều biến dạng phi tuyến. Với liên kết đàn hồi phi tuyến

mang tên CTN2, còn biến dạng đàn- dẻo- mang tên CTN3.
Bài toán 4.1
Tính kết cấu công trình ngầm có các liên kết một chiều đàn hồi
phi tuyến cho trên hình vẽ 4.5a.
Các số liệu xuất phát:
- Kết cấu : b = 4 m, h = 2 m, f = 1 m, J
1
=0.00225 m
4
, J
2
=0.00225 m
4
,
J
3
=0.001302 m
4
, F
1
=0.3 m
2
, F
2
=0.3 m
2
, F
3
=0.25 m
2

, E=2.4ì10
6
T/m
2
,
G=0, =0.
- Liên kết đàn hồi phi tuyến có quan hệ giữa phản lực và chuyển
vị xác định theo đa thức bậc 3 với độ cứng tiếp tuyến K
k
= 3000 T/m
(k=1,2, ,24),
- Tải trọng: q
v
= 3.7 T/m, q
đ
= 1 T/m, e
1
= 1.1 T/m, e
2
= 4.1 T/m.
Đã tính toán hệ trên theo chơng trình CTN2. Dới đây là các kết
quả tính toán.

22
a)
b)
J2
J1
J3
J1

J2
124
2
23
5
3
4
6
7
b
22 21
J3
20 19
8
9
10
11
e1=1.1 T/m
e2=4.1 T/m
q
d=1T/m
e2=4.1 T/m
17
16
13
15
14
h f
Rk =0 (k=5 ữ13)
b

e1=1.1 T/me1=1.1 T/m
q
v=3.7 T/m
e2=4.1 T/m
hf
e1=1.1 T/m
q
v=3.7 T/m
Rk > 0 (k=1 ữ4; 14ữ24)
12
18
e2=4.1 T/m
q
d=1T/m

Hình 4.5 Sơ đồ tính và sơ đồ làm việc thực của hệ
3.1970
2.2594
5.9887
2.2594
3.1970
2.0264
3.3729
2.0264
5.9887
2.3822
4.8366
1.4704
5.0949
1

.
3
7
4
9
2.9670
1
.
1
1
6
6
2.3467 1.9256
1.4704
4.8366
2.3822
2
3
2.9670
1
.
3
7
4
9
1
.
1
1
6

6
1

Hình 4.6 Biểu đồ mô men uốn
của công trình ngầm có các liên
kết một chiều đàn hồi phi tuyến
4,7000
4,9000
5,1000
5,3000
5,5000
5,7000
5,9000
6,1000
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Hình 4.7 Quan hệ giữa mô men
uốn tại nút 1 và hệ số phi tuyến a
Trên hình vẽ 4.5b là sơ đồ làm việc thực của hệ (tại các vị trí liên kết
một chiều có R
k
= 0 kết cấu tách khỏi môi trờng). Hình vẽ 4.6 thể hiện
biểu đồ mô men uốn của kết cấu công trình ngầm trong đó các đờng (1),
(2), (3) tơng ứng với các hệ số a=0, a=0.05 và a=0.8. Hình vẽ 4.7 biểu
diễn mối quan hệ giữa mô men uốn tại nút 1 và hệ số phi tuyến a.
Nhận xét: Với quan hệ
R

phi tuyến bậc 3 đã thừa nhận, mô men
uốn trong kết cấu công trình ngầm tăng theo hệ số phi tuyến a, trong đó

mô men tại các nút thuộc thanh đáy tăng mạnh hơn mô men tại các nút
thuộc phần vòm. Nếu lấy giá trị mô men khi a=0 (tơng ứng với liên kết
đàn hồi tuyến tính) làm chuẩn thì khi a=0.8 mô men tại giữa bản đáy
tăng 51% trong khi mô men tại giữa vòm chỉ tăng 23.8%.
Bài toán 4.2
Tính kết cấu công trình ngầm có các liên kết một chiều biến dạng
đàn dẻo lý tởng. Sơ đồ kết cấu và tải trọng nh hình 3.2, chỉ khác ở
đây liên kết kết cấu- môi trờng là liên kết một chiều biến dạng đàn
dẻo lý tởng có K
k
=10442 T/m (k=1,2, ,24) và
gh
R
=5 T.
Các số liệu xuất phát nh trong bài toán 3.1.
Đã sử dụng chơng trình CTN3 để tính toán hệ trên, một số trong
các kết quả nhận đợc sẽ dẫn ra dới đây.
a
M(Tm)

23
Sơ đồ làm việc thực của hệ nhận đợc trùng với sơ đồ cho trên hình
3.6a. Hình vẽ 4.8 thể hiện biểu đồ mô men uốn của kết cấu công trình
ngầm, trong đó đờng (1) tơng ứng với liên kết đàn hồi tuyến tính;
đờng (2) tơng ứng với liên kết đàn dẻo.
0
.
4
9
8

0
1
.
3
5
2
2
1.
4993
0.6195
1
.
4
1
6
2
0
.
6
0
2
6
1.
6109
0.
1968
0
.
6
7

4
4
2
0
.
3
9
7
3
0.
0696
2.3447
2.1457
1
.
6
3
3
0
0
.
7
6
2
0
1
.
8
2
6

9
0
.
2
7
4
8
1
.
2
8
2
3
1
1
.
4
2
0
8
0
.
2
2
5
8
1
.
0
9

1
0
0
.
6
4
8
7
0
.
5
3
7
8
0
.
6
3
7
6
0
.
6
5
9
7
0
.
4
5

6
8
0
.
3
9
8
0
0.3185
0.4325
0.
7508
0.25130.2186
0
.
2
9
2
1
1
.
1
7
0
9
1.
33
8
2
0

.
5
5
1
3
1
.
7
3
2
3
1
.
5
7
5
0
2
.
0
3
1
0
0
.
9
9
5
7
1.

8423
0
.
8
4
4
1
1
.
9
5
6
9
1.5582
1
.
5
5
3
1
0.6140
0
.
3
8
6
1
1
.
1

6
7
7

Hình 4.8 Biểu đồ mô men uốn của kết cấu công trình ngầm
có các liên kết một chiều đàn dẻo lý tởng
Dựa trên các kết quả tính toán đợc ta có nhận xét sau:
Mô men uốn trong kết cấu đợc tính theo mô hình liên kết đàn
dẻo, nói chung lớn hơn mô men tính theo mô hình liên kết đàn hồi
tuyến tính. Đặc biệt tại nút 10 sự thay đổi đó đạt đến 76%.


Kết luận
Luận án đã đạt đợc các kết quả chính và mới sau đây:
1/ Đã đặt các bài toán tính công trình ngầm theo quan điểm liên
kết một chiều giữa kết cấu và các môi trờng đất đá.
2/ Trên cơ sở nguyên lý thế năng biến dạng bù và các điều kiện
ràng buộc về lực đối với các liên kết một chiều đã xây dựng đợc các
phơng trình cơ bản của bài toán công trình ngầm theo quan điểm
liên kết một chiều giữa kết cấu và các môi trờng biến dạng khác
nhau (đàn hồi tuyến tính, đàn hồi phi tuyến, đàn dẻo) dới dạng các
phơng trình của bài toán quy hoạch toán học. Trong trờng hợp môi
trờng đàn hồi tuyến tính bài toán đặt ra dẫn tới bài toán quy hoạch
toàn phơng, còn trong trờng hợp môi trờng biến dạng đàn hồi phi
tuyến và đàn dẻo - dẫn tới bài toán quy hoạch phi tuyến.
3/ Sử dụng điều kiện Kuhn - Tucker và phơng pháp Hildreth -
D'esopo đã thiết lập đợc các thuật toán để giải bài toán quy hoạch
toàn phơng; sử dụng phơng pháp lặp và lời giải của bài toán quy
hoạch toàn phơng đã nhận đợc các thuật toán để giải bài toán quy
hoạch phi tuyến.