Một số phương pháp song song dạng runge - kutta -nystrom giải bài toán không cương

đại học quốc gia hà nội
trờng đại học khoa học tự nhiên
Nguyễn Văn Minh
một số phơng pháp song song
dạng Runge-Kutta-Nystro

m
giải bài toán không cơng
Chuyên ngành: toán học tính toán
Mãsố:62463001
tóm tắt luận án tiến sĩ toán học
Hà Nội-2007
1
Mở đầu
Máy tính có tốc độ cao với nhiều bộ xử lí đồng thời làm việc đợc
gọi là máy tính song song (còn gọi là máy tính véc tơ, siêu máy tính).
Sựrađờicủasiêumáytínhđãmởramộthớng phát triển mới của
giải tích số nói chung và giải số hệ phơng trình vi phân nói riêng, đó
là tìm các thuật toán song song nhằm khai thác có hiệu quả các siêu
máy tính. Luận án của chúng tôi cũng không ngoài mục tiêu chung
này, đó là nghiên cứu và phát triển một số phơng pháp song song để
giải trực tiếp bài toán Cauchy của một lớp hệ phơng trình vi phân
cấp 2 có dạng:
y

(t)= f(t,y(t)),y(t
0
)= y
0
,y

(t
0
)= y

0
,
t
0
tT,yR
N
,f(t,y) R
N
.
(1)
Hàm f(t, y) là hàm liên tục theo biến t và Lipschitz theo biến y.
Nghiệm duy nhất của bài toán đợc giả thiết là đủ trơn.
Có hai hớng chính giải số bài toán (1), đó là cách giải gián tiếp và
cách giải trực tiếp:
i) Cách giải gián tiếp là chuyển bài toán (1) về hệ cấp một với số
chiều gấp đôi rồi áp dụng phơng pháp Runge-Kutta (RK):
U
n
=u
n
e+h(AI
N
)F (t
n
e+ hc,U
n

),
u
n+ 1
=u
n
+h(b
T
I
N
)F (t
n
e+ hc,U
n
).
(2)
ii) Cách giải trực tiếp là không đa bài toán (1) về hệ cấp một, đó là
phơng pháp Runge-Kutta-Nystro

m(RKN),sẽđợc nói tới ở chơng 1.
Cho đến nay khi nghiên cứu các thuật toán song song để giải bài
toán (1) có ba cách tiếp cận khác nhau, đó là:
i) Song song hóa trên từng bài toán.
ii) Song song hóa trên các bớc lấy tích phân.
iii) Song song hóa thuật toán.
Trong ba cách trên, cách tiếp cận iii) đợc quan tâm nhất, vì thuật
toán độc lập với bài toán.
Luận án có tên là Một số phơng pháp song song dạng Runge-
Kutta-Nystrom giải bài toán không cơng. Gồm phần mở đầu và 4
chơng với nội dung:
Chơng 1 trìnhbàymộtsốnétcơbảnvềcácphơng pháp RKN

và trình bày một số lớp phơng pháp song song dạng RKN điển hình
đã đợc xây dựng.
Chơng 2 đề xuất một lớp phơngphápsongsongdạngRunge-
Kutta-Nystro

m mới bằng cách thay công thức dự báo hai bớc kiểu
2
Lagrange bởi công thức dự báo hai bớc kiểu Adams.
Chơng 3 xây dựng và nghiên cứu một lớp phơng pháp lặp song
song giả RKN hai bớc (IPIPTRKN) có các đặc trng tốt về tính ổn
định và tốc độ hội tụ nhngcóthểsửdụngítbộxửlí.
Chơng 4 nghiên cứu một lớp phơng pháp song song với công
thức đầu ra liên tục (CIPIRKN). Phơng pháp áp dụng tốt trong trờng
hợp cần nhận đợc giá trị của nghiệm tại nhiều điểm khác nhau.
các bài toán thử
Bài toán không dừng tuyến tính
d
2
y(t)
dt
2
=

2(t)+ 1 (t)+ 1
2( (t) 1) (t) 2

y(t),
(t) = m ax{2cos
2
(t),sin

2
(t)}, 0t20,
y(0) = (0,0)
T
,y

(0) = ( 1,2)
T
,
(testprob1)
Nghiệm đúng của bài toán (y
1
(t),y
2
(t))
T
=(sint,2sint)
T
Bài toán Fehlberg phi tuyến
d
2
y(t)
dt
2
=


4t
2

2

y
2
1
(t)+ y
2
2
(t)
2

y
2
1
(t)+ y
2
2
(t)
4t
2


y(t),
y(

/2) = (0,1)
T
,y

(

/2)= ( 2

/2,0)
T
,

/2 t 10.
(testprob2)
Nghiệm đúng của bài toán (y
1
(t),y
2
(t))
T
=(cos(t
2
),sin(t
2
))
T
Phơng trình chuyển động Newton
d
2
y
1
(t)
dt
2
=

y
1
(t)


y
2
1
(t) + y
2
2
(t)

3
,
d
2
y
2
(t)
d
2
t
=
y
2
(t)


y

2
1
(t) + y
2
2
(t)

3
,
0 t 20,y
1
(0) = 1 , y
2
(0) = 0, y

1
(0) = 0 ,y

2
(0) =

1+
1
.
(testprob3)
Nghiệm của bài toán này cho dới dạng
y
1
(t) = cos u (t) , y
2

(t) =

(1 + )(1 ) sinu(t),ởđâyu(t)là
nghiệm của phơng trình Kepler t= u(t) sinu(t),còn là tâm
sai của quĩ đạo. Trong luận án này chúng tôi chọn = 0.3.
Các từ viết tắt
3
CPIRKN Continuous parallel-iterated RKN
LÆp song song liªn tôc Runge-Kutta-Nystro

m
PIRKN Parallel Iterated Runge-Kutta-Nystro

m
LÆp song song Runge-Kutta-Nystro

m
IPIRKN Improved Parallel Iterated Runge-Kutta-Nystro

m
LÆp song song c¶i tiÕn Runge-Kutta-Nystro

m
IPIPTRKN Improved Parallel-Iterated Pseudo Two-step
LÆp song song c¶i tiÕn gi¶ Runge-Kutta-Nystro

mhaib−íc
PIPTRKN Parallel-Iterated Pseudo Two-step Runge-Kutta-Nystro

m

LÆp song song gi¶ Runge-Kutta-Nystro

mhaib−íc
PIRKNA Parallel Iterated Runge-Kutta-Nystro

m with Adams-type predictors
LÆp song song Runge-Kutta-Nystro

m víi dù b¸o kiÓu Adams
PITRKN Parallel Iterated Two step Runge-Kutta-Nystro

m
LÆp song song hai b−íc Runge-Kutta-Nystro

m
PTRKN Pseudo Two-step Runge-Kutta-Nystro

m
Gi¶ Runge-Kutta-Nystro

mhaib−íc
RKN Runge-Kutta-Nystro

m
Runge-Kutta-Nystro

m
TRKN Two Step
Runge-Kutta-Nystro

m
Runge-Kutta-Nystro

mhaib−íc
4
Chơng 1
tổng quan về các phơng pháp song song
Trong chơng này trớc hết chúng tôi trình bày phơng pháp
Runge-Kutta-Nystro

m (RKN) giải trực tiếp bài toán (1) và sau đó
chọn lọc một số phơng pháp song song dạng RKN điển hình đã đợc
xây dựng. Chúng tôi utiênchoviệctrìnhbàycácphơng pháp song
song mà luận án có liên quan.
1.1 Các phơng pháp RKN
Để đơn giản cho trình bày, ta xét hệ trờng hợp hệ (1) chỉ có một
phơng trình, khi đó phơng pháp RKN có dạng:
U
n
=u
n
e+ hu

n
c+ h
2
Af(t
n
e+ hc,U
n

), (1.1a)
u
n+ 1
=u
n
+hu

n
+h
2
b
T
f(t
n
e+ hc,U
n
), (1.1b)
u

n+ 1
=u

n
+hd
T
f(t
n
e+ hc,U
n
), (1.1c)

Định nghĩa 1.1.1 Nếu y(t)là nghiệm chính xác địa phơng của (1),
thoả mãn điều kiện y(t
n
)= u
n
, y

(t
n
)= u

n
và
||y(t
n+ 1
) u
n+ 1
||= O (h
p
1
+1
),
||y

(t
n+ 1
) u

n+ 1
||= O (h

p
2
+1
),
thì phơng pháp RKN (1.1) đợc gọi là phơng pháp có cấp chính xác
(order) p với p= min(p
1
,p
2
).
Định nghĩa 1.1.2 Với giả thiết nh trên, nếu
||U
n
(t
n+ 1
) u
n
e hu

n
c h
2
Af(t
n
e+ hc,U
n
(t
n+ 1
))||= O (h
p

3
+1
),
ở đây U
n
(t
n+ 1
)= [y(t
n
+c
1
h ), ,y (t
n
+c
s
h)]
T
,thì phơng pháp
RKN (1.1) đợc gọi là có cấp chính xác nấc (stage order) bằng r với
r= m in(p,p
3
).
1.2 Các phơng pháp PIRKN
Điểm bắt đầu là phơng pháp RKN ẩn (1.1), giải các quan hệ ẩn
(1.1a) bằng phơngphápdựbáo-hiệuchỉnhvớiphơng pháp dự b áo
5
một bớc theo lợc đồ sau:
Y
(0)
n

=ey
n
+hcy

n
(1.2a)
Y
(j)
n
=ey
n
+hcy

n
+h
2
Af(t
n
e+ hc,Y
(j 1)
n
), (1.2b)
j = 1, ,m ,
y
n+ 1
=y
n
+hy

n

+h
2
b
T
f(t
n
e+ hc,Y
(m )
n
), (1.2c)
y

n+ 1
=y

n
+hd
T
f(t
n
e+ hc,Y
(m )
n
). (1.2d)
1.3 Các phơng pháp IPIRKN
Tính hiệu quả của phơng pháp dự báo-hiệu chỉnh phụ thuộc khá nhiều
vào độ chính xác của công thức dự báo, vì nếu độ chính xác của công
thức dự báo càng cao thì số lần hiệu chỉnh càng ít đi. Bằng cách thay
thế phơng pháp dự báo một bớc (1.1a) trong phơng pháp PIRKN
bởi phơng pháp dự báo hai bớc:

Y
(0)
n
=wy
n
+VY
(m )
n 1
(1.3)
Ta có p h ơng pháp IPIRKN với lợc đồ {(1.3), (1.2b), (1.2c), (1.2d)}
1.4 Kết luận
Trên đây chúng tôi đã điểm lại một số phơng pháp song song: PIRKN,
IPIRKN để giải bài toán không cơng dạng (1). Mỗi phơng pháp kể
trên có những mặt mạnh, mặt yếu riêng nh về cấp chính xác hoặc về
sự hội tụ hoặc về tính chất ổn định hoặc về số quá trình cần sử dụng.
Nhng nhìn chung các phơng pháp đó đều c ó thể đợc áp dụng tốt
cho từng bài toán tuỳ thuộc vào mối quan tâm của ngời sử dụng: quan
tâm tới cấp chính xác, tốc độ hội tụ, miền ổn định hay số quá trình.
Một điều quan trọng hơn cả là những ý tởng xây dựng và nghiên cứu
các phơng pháp đó đã mở ra nhiều hớng nghiên cứu các thuật toán
song song mới.
6
Chơng 2
Phơng pháp dự báo hiệu chỉnh dạng PIRKN
với công thức dự báo kiểu adams (PIRKNA)
Từ phơng pháp PIRKN, chúng tôi thay công thức dự báo hai bớc
kiểu Lagrange (1.2a), bởi công thức dự báo hai bớc kiểu Adams (2.1a)
và nhận đợc PIRKNA.
2.1 Giới thiệu
Lợc đồ phơng pháp PIRKNA

Y
(0)
n
=y
n
e+ hy

n
c+ h
2
Bf(t
n
e+ hc,Y
(m )
n 1
), (2.1a)
Y
(j)
n
=y
n
e+ hy

n
c+ h
2
Af(t
n
e+ hc,Y
(j 1)

n
), j = 1, m,(2.1b)
y
n+ 1
=y
n
+hy

n
+h
2
b
T
f(t
n
e+ hc,Y
(m )
n
), (2.1c)
y

n+ 1
=y

n
+hd
T
f(t
n
e+ hc,Y

(m )
n
). (2.1d)
Ma trận B sẽ đợcxácđịnhtrongmục2.2nhờđiềukiệncấpchính
xác. Tại m ỗi bớc chỉ cần m+1lần tính hàm vế phải. Việc tính toán
s thành phần của véc tơ f(t
n
e+ hc,Y
(j)
n
)có thể thực hiện đồng thời
trên s bộ xử lí.
2.2 Điều kiện cấp chính xác của phơng pháp dự báo
áp dụng điều kiện cấp chính xác, ta thu đợc định lí
Định lí 2.2.1 Giảsửphơng pháp hiệu chỉnh (2.1b) có cấp chính xác
p,phơng pháp dự báo (2.1a) có cấp chính xác q. Khi đó, phơng pháp
PIRKNA là một phơng pháp hiển có cấp chính xác p

=min(p,2m +
q+ 1)với m+1lần tính toán hàm vế phải ở mỗi bớc.
Sốlầntínhtoánhàmvếphảitốiuởmỗibớc là m+1=[
p q+ 1
2
].
2.3 Hệ số của phơng pháp PIRKNA
Ma trận B là của phơng pháp PIRKNA đợc xác định nh sau:
ta kí hiệu các ma trận:
P:=

c

2
2
,
c
3
3
,
c
4
4
,
c
5
5
, ,
c
s+ 1
s+ 1

,
Q:=

e,2(c e),3(c e)
2
,4(c e)
3
, ,s(c e)
s 1

.

7
Khi đó
B=PQ
1
. (2.2)
Từ Định lí (2.2.1) và biểu thức (2.2), chúng ta có Định lí sau:
Định lí 2.3.1 NếumatrậndựbáoB thoả mãn quan hệ (2.2),thì
phơng pháp PIRKNA (2.1) có c ấp chính xác p

=min{p,2m+s+2}
với (m + 1) lần tính toán hàm vế phải f ởmỗibớc, trong đó p là
cấp chính xác của phơng pháp hiệu chỉnh.
2.4 Thử nghiệm tính toán
Điều kiện dừng trong phép lặp theo m đợc xác định bởi:
Y
(m )
n
Y
(m 1)
n


TOL=Ch
p
, (2.3)
trong đó C là một tham số phụ thuộc vào b ài toán và phơng pháp, p
là cấp chính xác của phơng pháp hiệu chỉnh. Chúng tôi ch ạy với 2
bài toán thử, và so sánh phơng pháp PIRKNA với các phơng pháp
song song PIRKN và I PIRKN. Trong thực hành tính toán chúng tôi
thấy rằng phơng pháp PIRKNA chỉ cần một lần lặp ở mỗi bớc. Kết

quả tính toán đợc trình bày trong Bảng 2.2 và Bảng 2.3. Các kết quả
cho thấy phơng pháp PIRKNA tiết kiệm khoảng 1/3 so vớ i phơng
pháp PIRKN trực tiếp cùng cấp chính xác. Các phơng pháp PIRKNA
cũng chỉ cần một lần lặp ở mỗi bớc.
Bảng2.1Biênổnđịnh(m )của phơngphápPIRKNA
Phơng pháp p m=0 m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 m=6 m=
PIRKNA 4 1.45 0.01 0.07 7.44 0.27 1.50 8.84 9.0
PIRKNA 6 0.00 1.52 0.08 2.23 0.46 2.00 1.34 9.77
PIRKNA 8 0.01 3.17 0.17 5.70 9.86 1.25 7.16 9.96
PIRKNA 10 0.71 0.07 1.57 0.63 1.62 15.05 2.856 36.35
8
B¶ng 2.2 Gi¸ trÞ NCD/N
seq
cña bµi to¸n (testprob1) tÝnh b»ng ph−¬ng
ph¸p PIRKN trùc tiÕp, IPIRKN vµ PIRKNA
Ph−¬ng ph¸p pN
stp
N
stp
N
stp
N
stp
N
stp
C
80 160 320 640 1280
PIRKN trùc tiÕp 4 5.1/237 6.4/437 7.6/958 8.8/1918 10.0/3835 10
−1
IPIRKN trùc tiÕp 4 5.2/238 6.4/456 7.6/913 8.8/1827 10.0/3654 10

−1
PIRKNA 4 5.5/161 6.4/327 7.6/641 8.8/1221 10.0/2561 10
−1
PIRKN trùc tiÕp 6 8.0/320 9.9/640 11.7/1280 13.5/2559 10
−3
IPIRKN trùc tiÕp 6 8.1/292 9.8/481 11.7//961 13.5/1921 10
−3
PIRKNA 6 8.1/241 9.9/471 11.7/959 13.5/1915 10
−3
PIRKN trùc tiÕp 8 13.0/399 10
−4
IPIRKN trùc tiÕp 8 12.5/320 10
−4
PIRKNA 8 13.3/275 10
−4
PIRKN trùc tiÕp 10 13.3/436 10
−4
IPIRKN trùc tiÕp 10 13.3/436 10
−4
PIRKNA 10 13.3/242 10
−4
B¶ng 2.3 Gi¸ trÞ NCD/N
seq
cña bµi to¸n (testprob2) tÝnh b»ng c¸c
ph−¬ngph¸pPIRKN,IPIRKNvµPIRKNA
Ph−¬ng ph¸p pN
stp
N
stp
N

stp
N
stp
N
stp
C
200 400 800 1600 3200
PIRKN trùc tiÕp 4 2.4/581 3.6/1197 4.8/2400 6.0/4800 7.2/9600 10
2
IPIRKN trùc tiÕp 4 2.4/535 3.6/1070 4.8/2144 6.0/4298 7.2/8577 10
2
PIRKNA 4 2.4/476 3.6/897 4.8/1653 6.0/3201 7.2/6401 10
2
PIRKN trùc tiÕp 6 4.9/773 6.7/1531 8.6/3095 10.4/6256 12.2/12647
IPIRKN trùc tiÕp 6 5.0/773 6.7/1278 8.5/2504 10.4/4860 12.2/9600 10
3
PIRKNA 6 4.9/564 6.7/1074 8.6/2149 10.4/4297 12.2/8594 10
3
PIRKN trùc tiÕp 8 7.6/1022 10.0/2029 12.4/4022 10
3
IPIRKN trùc tiÕp 8 7.6/808 10.0/1561 12.4/2996 10
3
PIRKNA 8 7.6/729 10.0/1391 12.4/2771 10
3
PIRKN trùc tiÕp 10 10.5/1234 13.6/2457 10
3
IPIRKN trùc tiÕp 10 10.6/939 13.6/1801 10
3
PIRKNA 10 10.5/857 13.6/1655 10
3

9
2.5 Kết luận
Trong chơng này c húng tôi đã xây dựng một lớp phơng pháp lặp
song song dự báo-hiệu chỉnh dạng RKN với công thức dự báo hai
bớc kiểu Adams (PIRKNA). Bằng các thử nghiệm tính toán chúng
ta thấy rằng: với cùng một cấp chính xác p cho trớc, phơng pháp
PIRKNA có số lần tính toán hàm vế phải chỉ bằng khoảng 2/3 so với
các phơng pháp PIRKN trực tiếp. Nếu s o sánh PIRKNA với IPIRKN
(IPIRKN cũng có dự b áo hai bớc), ta thấy phơng pháp PIRKNA
cũng có số lần tính toán h àm vế phải ít hơn. Điều này thể hiện ở
những dòng cuối các bảng 2.2 và 2.3.
10
Chơng 3
phơng pháp lặp song giả RKN hai bớc
Trong chơng này chúng tôi đề xuất thuật toán s ử dụng ít bộ xử lí
nhng vẫn bảo đảm đợc các tính chất khác. Bắt đầu từ phơng pháp
lặp song song giả RKN s nấc (PIPTRKN method) có cấp chính xác p

với w nấc ẩn kiểu P(CE)
m
E . Bằngcáchthayphơng pháp dự báo
trong phơng pháp PIPTRKN bởi phơng pháp dự báo mới chúng tôi
nhận đợc phơng pháp dự báo hiệu chỉnh kiểu PE(CE)
m
E và gọi là
phơng pháp PIPTRKN cải tiến (IPIPTRKN). Phơng pháp IPIPTRKN
sử dụng số tối ubộxửlíbằngwp

/2.Với thử nghiệm số, tính u
việt của phơng pháp IPIPTRKN so với các phơng pháp song song

và tuần tự đợc thể hiện.
3.1 Phơng pháp IPIPTRKN
V
n
=y
n
e
v
+hy

n
c
v
+h
2
A
vv
f(V
n 1
)+ h
2
A
vw
f(W
(m )
n 1
).
(3.1a)
W
(0)

n
=y
n
e
w
+hy

n
c
w
+h
2
B
wv
f(V
n
)+ h
2
B
ww
f(W
(m )
n 1
), (3.1b)
W
(j)
n
=y
n
e

w
+hy

n
c
w
+h
2
A
wv
f(V
n
)+ h
2
A
ww
f(W
(j 1 )
n
),
j = 1, ,m ,
(3.1c)
y
n+ 1
=y
n
+hy

n
+h

2
b
T
v
f(V
n
)+ h
2
b
T
w
f(W
(m )
n
), (3.1d)
y

n+ 1
=y

n
+hd
T
v
f(V
n
)+ hd
T
w
f(W

(m )
n
). (3.1e)
Nh ta đã biết, giá tính toán của một phơng pháp hiển tập trung chính
ở số lần tính toán hàm vế phải f ởmỗibớc. Chú ý rằng v thành phần
của f(V
n
)và w thành phần của f(W
(j 1)
n
),j = 1, ,m + 1,cóthể
đợc tính song song trên pr = m ax(v,w ) bộ xử lí. Nh vậysốlần
tính tóan hàm vế phải ở mỗi bớc là (m+2) trên mỗi bộ xử lí.
3.1.1 Điều kiện cấp chính xác của công thức dự báo
Điều kiện cấp chính xác cấp (s + 1) của công thức dự báo (3.1b) có
thể nhận đợc bằng cách thay thế V
n
,y
n
,W
n 1
và W
(0)
n
bởi giá trị
11
nghiệm chính xác tơng ứng y(t
n
e
v

+hc
v
),y (t
n
),y(t
n 1
e
w
+hc
w
)=
y(t
n
e
w
+h(c
w
e
w
)) vào (3.1b). Chúng ta có:
||y(t
n
e
w
+hc
w
) y(t
n
)e
w

hy

(t
n
)c
w
h
2
B
wv
y

(t
n
e
v
+hc
v
)
h
2
B
ww
y

(t
n
e
w
+h(c

w
h(c
w
e
w
))||= O (h
s+ 2
)
(3.2)
Ma trận (B
wv
,B
ww
)đợcxácđịnhtừcôngthức:
(B
wv
,B
ww
)(c e)
j 1
=
1
j(j + 1)
c
j+ 1
w
, j = 1, ,s. (3.3)
Đặt
Q
1

=









12c
1
3c
2
1
sc
s 1
1
12c
2
3c
2
2
sc
s 1
2

12c
v
3c

2
v
sc
s 1
v
12(c
v+ 1
1) 3(c
v+ 1
1)
2
s(c
v+ 1
1)
s 1
12(c
v+ 2
1) 3(c
v+ 2
1)
2
s(c
v+ 2
1)
s 1

12(c
s
1) 3(c
s

1)
2
s(c
s
1)
s 1









.
Công thức (3.3) trở thành
(B
wv
,B
ww
)= P
w
Q
1
1
, (3.4)
trong đó P
w
=

c
2
w
2
,
c
3
w
3
,
c
4
w
4
, ,
c
s+ 1
w
s+ 1

.
Định lí 3.1.1 Nếu phơng pháp PTRKN có cấp chính xác tại điểm lới
là p

, và nếu điều kiện (3.4) thoả mãn, thì phơng pháp IPIPTRKN có
cấp chính xác tại điểm lới p

=min(p

,2m + s + 2), với mọi vectơ
trùng khớp c có các toạ độ phân biệt và mọi cặp số nguyên dơng
v,w thoả điều kiện v+ w = s.
3.1.2 Tốcđộhộitụcủaphơng pháp IPIPTRKN
Tốc độ hội tụ của phơng pháp đợc xác định bởi bán kính phổ
(zA
ww
) củamatrậnsaisốlặpzA
ww
.Đểphơng pháp hội tụ thì
(zA
ww
)< 1,nh vậy
|z|<
1
(A
ww
)
hay h
2
<
1
(f/y)(A
ww
)
. (3.5)
Miền hội tụ S
con v
đợc xác định bởi:
S

con v
:=

z:|z|< 1/(A
ww
)

, ởđâyz:=h
2
(3.6)
12
3.1.3 Miền ổn định
Tính chất ổn định của IPIPTRKN, ta cũng có hệ thức truy hồi:


V
n
W
(m )
n
y
n+ 1
hy

n+ 1


=M
m
(z)

V
n 1
W
(m )
n 1
y
n
hy

n


, (3.7a)
trong đó M
m
(z) là ma trận cấp (s + 2) ì (s + 2) đợc xác định bởi
M
m
(z) =




zA
vv
zA
vw
e

v
c
v
M
(m )
21
(z) M
(m )
22
(z) M
(m )
23
(z) M
(m )
24
(z)
M
(m )
31
(z) M
(m )
32
(z) M
(m )
33
(z) M
(m )
34
(z)
M

(m )
41
(z) M
(m )
42
(z) M
(m )
43
(z) M
(m )
44
(z)




. (3.7b)
Miền ổn định của phơng pháp IPIPTRKN đợc xác định bởi:

(m),0

:=

z:

M
m
(z)

<1,z0

,
trong đó (m )đợc gọi là biên ổn định (stability boundary)
3.2 Thử nghiệm tính toán
Thử nghiệm tính toán b ằng phơng pháp IPIPTRKN với w=v=
[(s + 1)/2], s= 3,4và vectơ trùng khớp là
c=

3

3
6
,
3+

3
6
,
3
2

T
(3.8a)
c=

4

6
10
,

4+

6
10
,1

T
(3.8b)
c=

5

5
10
,
1
2
,
5+

5
10
,
29
20

T
(3.8c)
Kết quả tính toán trong Bảng 3.1 cho thấy với cùng một cấp chính
xác p, nhân tử hội tụ của phơng pháp IPIPTRKN nhỏ hơn so với các

phơng pháp DirPIRKN (PIRKN trực tiếp) và IndirPIRKN (PIRKN
gián tiếp). Biên ổn định của phơng pháp IPIPTRKN cũng lớn hơn
so với các phơng pháp PIRKN (Bảng 3.2). Ta thấy phơng pháp
IPIPTRKN có những đặc trng tốt hơn các phơng pháp PIRKN về
tốc độ hội tụ và tính ổn định.
13
3.2.1 So sánh với các phơng pháp song song
Tơng tự nh phơng pháp PIRKNA trong m ục 2.5, ta cũng có điều
kiện dừng đối với phép lặp theo m
W
(m )
n
W
(m 1)
n


TOL=Ch
p

, (3.9)
trong đó C là tham số phụ thuộc bài toán và phụ thuộc phơng pháp,
p

là bậc của phơ ng pháp hiệu chỉnh. Bảng 3.3 chứng tỏ phơng pháp
IPIPTRKN hiệu quả hơn so với các phơng pháp PIRKN trực tiếp và
gián tiếp có cùng cấp chính xác. Hơn nữa đối với bài toán tuyến tính
này thì các phơngphápIPIPTRKNchỉcầnmộtlầnlặpởmỗibớc.
3.2.2 So sánh với các phơngpháptuầntự
Chúng tôi chọn các kết quả tốt nhất đã đợc công bố trong các tạp

chí khoa học của các phơng pháp tuần tự. Các kết quả đợc trình
bày trong Bảng 3.6. Từ các kết quả nêu ở trên, ta có thể thấy rằng
mặc dầu các phơng pháp tuần tự đã đợc trang bị các chiến lợc lới
biến bớc còn phơng pháp IPIPTRKN6 mới chỉ dùng bớc lới cố
định nhng phơng pháp IPIPTRKN6 vẫn tỏ ra tốt hơn hẳn các phơng
pháp tuần tự.
3.3 Kết luận
Chơng này đã xây dựng một lớp phơngphápsongsongmớiđợc gọi
là phơng pháp lặ p song song giả RKN hai bớc (IPIPTRKN methods)
dựa trên ph ơng pháp PIPTRKN với công thức dự báo mới. Các công
thức tính hệ số đã đợc thiết lập, tính ổn định và t ốc độ hội tụ đã đ ợc
khảo sát. Qua phần phân tích lợc đồ (3.15) ta thấy phơng pháp đợc
xây dựng có u điểm là tiết kiệm bộ xử lý. Các thử nghiệm tính toán
chỉ ra rằng phơng pháp IPIPTRKN có biên ổn định lớn hơn biên ổn
định của PIRKN trực tiếp và PIRKN gián tiếp. Số lần tính toán h àm
vế phải có chỗ chỉ bằng một nửa so với các phơng pháp P IRKN (x em
các bảng 3.4, 3.5). Nh vậy phơng pháp mới hiệu quả hơn so với các
phơng pháp song song và không song song đã có, hơn nữa nó đợc
áp dụng tốt trong điều kiện siêu máy tính có ít bộ xử lí.
14
Bảng 3.1 Nhân tử hội tụ của một số phơng pháp song song dự báo-
hiệu chỉnh cấp p
Phơng pháp song song cấp p p= 4 p= 5 p= 6
IndirPIRKN 0.083 0.076 0.046
DirPIRKN 0.048 0.049 0.029
IPIPTRKN(trong chơng này) 0.073 0.076 0.029
Bảng3.2Biênổnđịnh(m )của c ác phơng pháp song song dự báo-
hiệu chỉnh cấp p
(m )của các phơngphápsongsongdựbáo-hiệuchỉnhp-order p= 4 p= 5 p= 6
PIRKN gián tiếp

(1) 12.00 7.06 7.06
(2) 12.00 2.19 0.00
(3) 0.00 10.46 9.81
(4) 12.00 4.76 0.00
(5) 12.00 11.7 9.75
(6) 0.00 7.81 0.00
PIRKN trực tiếp
(1) 6.83 7.06 7.06
(2) 0.00 0.49 0.00
(3) 0.00 14.33 18.77
(4) 8.57 5.33 0.00
(5) 0.00 9.51 9.85
(6) 0.00 9.55 0.00
IPIPTRKN (chơng này)
(1) 2.66 4.64 2.46
(2) 4.55 9.51 5.50
(3) 5.97 9.48 8.63
(4) 7.07 9.47 9.78
(5) 7.86 9.47 9.78
(6) 8.21 9.47 9.78
15
B¶ng 3.3 NCD/N
seq
cña bµi to¸n (testprob1) tÝnh b»ng ph−¬ng ph¸p
IPIPTRKN vµ c¸c ph−¬ng ph¸p PIRKN
Ph−¬ng ph¸p p pr N
stp
N
stp
N

stp
N
stp
N
stp
pr 80 160 320 640 1280
IndirPIRKN 4 2 4.0/239 5.3/480 6.5/960 7.7/1920 8.9/3840
DirPIRKN 4 2 5.2/239 6.4/479 7.6/960 8.8/1920 10.0/3840
IPIPTRKN 4 2 4.7/161 5.8/321 7.0/640 8.2/1281 9.4/2561
IndirPIRKN 5 3 5.3/238 6.8/480 8.3/1179 9.8/2511 11.3/2598
DirPIRKN 5 3 5.8/238 7.5/480 8.9/1179 10.4/2511 11.9/5098
IPIPTRKN 5 2 6.7/161 8.3/321 9.8/541 11.3/1281 12.8/2561
IndirPIRKN 6 3 7.4/360 9.2/721 11.0/1441 12.8/2881 14.6/5769
DirPIRKN 6 3 8.0/354 9.9/710 11.7/1420 13.5/2839 15.3/5678
IPIPTRKN 6 3 8.4/232 10.3/440 12.1/775 14.2/1282
B¶ng 3.4 NCD/N
seq
cña bµi to¸n (testprob2) tÝnh b»ng ph−¬ng ph¸p
IPIPTRKN vµ c¸c ph−¬ng ph¸p PIRKN
Ph−¬ng ph¸p ppr N
stp
N
stp
N
stp
N
stp
N
stp
200 400 800 1600 3200

IndirPIRKN 4 2 1.7/728 2.8/1457 4.0/2915 5.2/5829 6.5/11658
DirPIRKN 4 2 2.4/722 3.6/1445 4.8/2889 6.0/5778 7.2/11555
IPIPTRKN 4 2 2.2/429 3.4/801 4.6/1601 5.9/3201 7.1/6401
IndirPIRKN 5 3 3.2/652 4.7/1411 6.2/2967 7.7/6147 9.2/12594
DirPIRKN 5 3 3.8/652 503/1411 6.8/2967 8.3/6147 9.8/12594
IPIPTRKN 5 2 4.2/491 5.7/938 7.2/1780 8.7/3344 10.2/6401
IndirPIRKN 6 3 4.0/900 5.8/1812 7.6/3625 9.4/7247 11.2/14496
DirPIRKN 6 3 5.0/896 6.8/1807 8.6/3615 10.4/7230 12.2/14458
IPIPTRKN 6 3 5.2/497 7.1/959 8.9/1848 10.8/3526 12.6/6679
16
B¶ng 3.5 NCD/N
seq
cña bµi to¸n (testprob3) tÝnh b»ng ph−¬ng ph¸p
IPIPTRKN vµ c¸c ph−¬ng ph¸p PIRKN
Ph−¬ng ph¸p ppr N
stp
N
stp
N
stp
N
stp
N
stp
200 400 800 1600 3200
IndirPIRKN 4 2 2.9/229 3.7/600 4.9/1200 6.1/2400 7.3/4800
DirPIRKN 4 2 2.8/229 4.9/600 6.2/ 1200 7.4/2400 8.6/4800
IPIPTRKN 4 2 2.8/201 4.2/401 5.6/801 6.9/1601 8.2/3201
IndirPIRKN 5 3 3.1/300 4.6/600 6.1/1200 7.5/2527 9.0/5369
DirPIRKN 5 3 3.8/300 5.2/600 6.7/1200 8.2/2527 9.7/5369

IPIPTRKN 5 2 4.3/201 5.9/401 7.5/801 9.0/1601 10.6/3201
IndirPIRKN 6 3 5.0/400 6.8/800 8.6/1600 10.4/3200 12.2/6400
DirPIRKN 6 3 5.8/400 7.5/800 9 .3/1600 11.1/3200 12.9/6400
IPIPTRKN 6 3 6.1/228 8.0/959 9.6/809 11.3/1600 13.0/3202
B¶ng 3.6 So s¸nh ph−¬ng ph¸p IPIPTRKN6 víi code DOPRIN gi¶i bµi
to¸n
(testprob2)
Ph−¬ng ph¸p N
stp
NCD N
seq
DOPRIN (Hairer93) 79 3.8 633
353 8.3 2825
1208 12.3 9665
4466 16.3 35729
IPIPTRKN6 (trong ch−¬ng nµy) 200 5.2 497
400 7.1 959
800 8.9 1848
1600 10.8 3526
3600 12.6 6679
17
Chơng 4
Phơng pháp dự báo hiệu chỉnh dạng RKN
lặpsongsongliêntục
4.1 Giới thiệu
Trong chơng này, chúng tôi đề xuất lợc đồ lặp song song, dự báo
hiệu chỉnh dựa trên phơng pháp hiệu chỉnh dạng RKN trùng khớp
trực tiếp (RKN corrector methods) với công thức đầu ra liên tục để
giải bài toán (1). Chúng tôi thu đợc phơng pháp PC song song với
công thức đầu ra liên tục và dự báo cấp chính xác cao. Việc áp dụng

phơng pháp này vào vài bài toán thử đã cho thấy phơng pháp mới
tỏ ra hiệu quả hơn so với các phơng pháp hiển song song và tuần tự
đã có.
4.2 Phơng pháp RKN liên tục (CRKN)
Y
n,i
=u
n
+hc
i
u

n
+h
2
s

j= 1
a
ij
f(t
n
+c
j
h,Y
n,j
), i = 1, ,s,
(4.1a)
u
n+ 1

=u
n
+hu

n
+h
2
s

j= 1
b
j
f(t
n
+c
j
h,Y
n,j
), (4.1b)
u

n+ 1
=u

n
+h
s

j= 1
d

j
f(t
n
+c
j
h,Y
n,j
). (4.1c)
Công thức đầu ra liên tục
u
n+
=u
n
+hu

n
+h
2
s

j= 1
b
j
()f(t
n
+c
j
h,Y
n,j
), với 0 2.

(4.1d)
Xác định ma trận và véc tơ hệ số của phơng pháp CRKN:
Ma trận A,cácvéctơb,d,đợcxácđịnhhoàntoànnh trong phơng
18
pháp RKN. Véc tơ b() là hàm liên tục của thoảmãnđiềukiện
b(0)= 0 và b(1)= b.
b
T
() = g
T
diag{
2
,
3
, ,
s+ 1
}R
1
. (4.6c)
Định lí 4.2.1 Nếu hàm f là liên tục Lipschitz và nếu phơng pháp
(4.1) có cấp chính xác tại điểm lới bậc p, khi đó công thức đầu ra
liên tục (4.1d) cho ta xấp xỉ liên tục với cấp chính xác (continuous
order) p

=min{p,s + 2}.
Bảng 4.1:
Giá trị NCD
p
|NCD
p

cho bài toán (testprob2) với các
phơng pháp RKN liên tục khác nhau
Phơng pháp pp

N
stp
N
stp
N
stp
N
stp
N
stp
200 400 800 1600 3200
Cont.Radau 3 3 1.5|1.42.4|2.33.3|3.24.2|4.25.1|5.1
Cont.Gauss 4 4 2.9|2.44.1|3.65.3|4.76.5|5.97.7|7.1
Cont.Radau 5 5 4.0|3.45.5|4.97.0|6.48.5|7.910.0|9.5
Cont.Gauss 6 5 5.7|3.27.5|4.79.3|6.311.0|7.812.8|9.3
4.3 Phơng pháp CPIRKN
Tron g mục này, chúng ta xét lợc đồ lặp dự báo-hiệu chỉnh song song
dựa trên phơng pháp hiệu chỉnh RKN liên tục. Lợc đồ lặp cho bởi
Y
(0)
n,i
=y
n 1
+h(1+c
i

)y

n 1
+
h
2
s

j= 1
b
j
(1 + c
i
)f(t
n 1
+c
j
h,Y
(m )
n 1,j
), i = 1, ,s, (4.2a)
Y
(k )
n,i
=y
n
+hc
i
y

n
+
h
2
s

j= 1
a
ij
f(t
n
+c
j
h,Y
(k 1)
n,j
), i = 1, ,s, k = 1, ,m ,
(4.2b)
y
n+ 1
=y
n
+hy

n
+h
2
s

j= 1

b
j
f(t
n
+c
j
h,Y
(m )
n,j
), (4.2c)
y

n+ 1
=y

n
+h
s

j= 1
d
j
f(t
n
+c
j
h,Y
(m )
n,j
), (4.2d)

19
y
n+
=y
n
+hy

n
+h
s

j= 1
b
j
()f(t
n
+c
j
h,Y
(m )
n,j
). (4.2e)
Khối lợng tính toán chính vẫn là véc tơ hàm về phải. s thành
phần của véc tơ f(t
n
+c
j
h,Y
(k 1 )
n,j

),j = 1, ,s có thể tính đồng
thời trên s bộxửlý,dovậymàsốlầntínhtoánhàmvếphảitrongmỗi
bộ xử lí bằng s

=m+1.
Định lí 4.3.1 Nếu hàm f là liên tục Lipschitz và nếu phơng pháp
hiệu chỉnh (4.1) cấp chính xác nấc p, khi đó phơng pháp CPIRKN
(4.2) có cấp chính xác nấc q= min{p,2m + s+ 2} và xấp xỉ liên tục
sẽ có cấp (cấp liên tục) q

=min{p,s + 2}.
Chú ý. Từ định lí trên, nếu ta đặt m=

(ps1)/2

([ã]là ký hiệu
phần nguyên của số thực) ta có phơng pháp CPIRKN với cấp chính
xác cực đại p= q(cấp của phơng pháp hiệu chỉnh) với số lần đánh
giá hàm vế phải cực tiểu s

=

(ps+1)/2

4.3.1 Tốc độ hội tụ
Xét tơng tự nh các phơng pháp song song khác.
4.3.2 Miền ổn định
Miền ổn định của CPIRKN cũng có quan hệ đệ qui

Y
(m )
n
y
n+ 1
hy

n+ 1
y
n
hy

n




=M
m
(z)




Y
(m )
n 1
y

n
hy

n
y
n 1
hy

n 1




, (4.3a)
ởđâyM
m
(z) có số chiều là (s+4)ì(s+4)đợc xác định bởi
M
m
(z) =






z
m+1
A
m

BP
m1
(z )e P
m1
(z )c z
m
A
m
ez
m
A
m
(e + c )
z
m+2
b
T
A
m
B1+zb
T
P
m1
(z )e 1 + z b
T
P
m1
(z )c z
m+1
b

T
A
m
ez
m+1
b
T
A
m
(e + c)
z
m+2
d
T
A
m
Bzd
T
P
m1
(z )e 1 + z d
T
P
m1
(z )c z
m+1
d
T
A
m

ez
m+1
d
T
A
m
(e + c)
0
T
1000
0
T
0100






.
trong đó P
m1
(z) = I + zA + ããã+ (zA )
m1
. Bán kính phổ của ma
trận M
m
(z) xác định tính ổn định của phơng pháp CPIRKN.
4.4 Thử nghiệm số
Véc tơ c ởđâyđợc chọn đối xứng theo nghĩa c

j
=c
s j
.Bảng4.2
chothấybiênổnđịnhcủacácphơng pháp này đủ lớn để giải những
bài toán không cơng có dạng (1). Sau đây ta so sánh phơng pháp
20
CPIRKN với các phơng pháp song song hiển và với các phơng pháp
tuần tự đã có trong các tài liệu. Bớc đầu tiên ta luôn sử dụng công
thức dự báo cho bởi
Y
(0)
0,i
=y
0
+hc
i
y

0
, i = 1, ,s.
Thử nghiệm số với bài toán nhỏ đã cho thấy u thế tiềm tàng của
phơng pháp CPIRKN mới này so với các phơng pháp hiện có. Tính
u việt này càng có ý nghĩa khi giải các bài toán đủ lớn hoặc các
phơng pháp có đánh giá hàm vế phải khá đắt.
Tơng tự nh các phơng pháp đã xét, điều kiện dừng ở đây là:
Y
(m )
n
Y

(m 1)
n


TOL=Ch
p
, (4.4)
trong đó C là tham số phụ thuộc bài toán và phơng pháp. Những tính
toán đợc thực hiện trên máy tính có độ chính xác 15 chữ số.
Bảng 4.2:
Biên ổn định
stab
(m ) cho phơngphápCPIRKNkhác
nhau
Phơng pháp CPIRKN34 CPIRKN44 CPIRKN56 CPIRKN66

stab
(1) 1.472 3.114 0.075 0.155

stab
(2) 0.087 0.184 1.579 5.996

stab
(3) 2.367 0.424 0.617 0.790

stab
(4) 0.535 6.701 1.582 5.926

stab
(5) 2.039 1.236 9.869 2.309

stab
(6) 9.765 2.051 3.417 6.031
4.4.1 So sánh với phơng pháp song song
Sau đây chúng tôi so sánh phơng pháp CPIRKN với các phơng
pháp PIRKN.
4.4.2 Bài toán không dừng tuyến tính
Kếtquảsốtrongbảng4.3chothấyphơng pháp C PIRKN hiệu quả hơn
so với phơng pháp PIRKN trực tiếp và gián tiếp cùng cấp. Phơng
pháp CPIRKN chỉ cần một lần lặp trên mỗi bớc. Luýrằngdosai
số làm tròn ta không hi vọng 15 chữ số đều chính xác
4.4.3 Bài toán Fehlberg phi tuyến
Ta sử dụng các phơng pháp dự báo-hiệu chỉnh cấp p khác nhau đã
đợc nói tới ở trên, kết quả số thể hiện trong bảng Kết quả này đã chỉ
ra rằng phơng pháp CPIRKN vợt xa so với các phơng pháp PIRKN
trực tiếp và gián tiếp cùng cấp. Với bài toán này số lần lặp m cần có
trên mỗi bớc của mọi phơng pháp dự báo-hiệu chỉnh là 1 hoặc 2.
21
Bảng 4.3: Giá trị NCD/N
seq
cho bài toán (testprob1) với p khác nhau
Phơng pháp PC pN
stp
N
stp
N
stp
N
stp
N

stp
C
80 160 320 640 1280
Ind.PIRKN 4 4.0/239 5 .3/480 6.5/960 7.7/1920 8.9/3840 10
1
Dir.PIRKN 4 5.2/239 6.4/479 7.6/960 8.8/1920 10.0/3840 10
1
CPIRKN34 4 5.6/161 6.9/321 8.1/641 9.3/1281 10.5/2561 10
1
CPIRKN44 4 5.8/161 7.0/321 8.2/641 9.4/1281 10.6/2561 10
1
Ind.PIRKN 6 7.4/360 9.2/721 11.0/1441 12.8/2881 14.6/5769 10
3
Dir.PIRKN 6 8.0/354 9.9/710 11.7/1420 13.5/2839 15.3/5678 10
3
CPIRKN56 6 9.8/173 11.7/322 13.8/642 10
3
CPIRKN66 6 10.2/162 11.9/322 13.9/642 10
3
Bảng 4.4: Giá trị NCD/N
seq
cho bài toán (testprob2) nhận đợc với
p khác nhau
Phơng pháp PC pN
stp
N
stp
N
stp
N

stp
N
stp
C
200 400 800 1600 3200
Ind.PIRKN 4 1.7/728 2.8/1457 4.0/2915 5.2/5829 6.5/11658 10
2
Dir.PIRKN 4 2.4/722 3.6/1445 4.8/2889 6.0/5778 7.2/11555 10
2
CPIRKN34 4 3.3/523 4.6/1007 5.8/1942 7 .0/3713 8.2/7033 10
2
CPIRKN44 4 3.3/473 4.5/866 5.7/1601 6.9/3201 8.1/6401 10
2
Ind.PIRKN 6 4.0/900 5.8/1812 7.6/3625 9.4/7247 11.2/14496 10
3
Dir.PIRKN 6 5.0/896 6.8/1807 8.6/3615 10.4/7230 12.2/14458 10
3
CPIRKN56 6 6.5/526 8.3/999 10.1/1941 11.9/3763 13.7/7254 10
3
CPIRKN66 6 6.7/468 8.5/878 10.3/1611 12.1/3202 13.9/6402 10
3
22
4.4.4 Phơng trình chuyển động Newton
Với = 0.3 kết quả số của bài toán đợc chỉ trong bảng 4.5
Bảng 4.5:
Giá trị NCD/N
seq
cho bài toán (testprob3) với p khác nhau
Phơng pháp PC pN
stp

N
stp
N
stp
N
stp
N
stp
C
100 200 400 800 1600
Ind.PIRKN 4 2.9/229 3.7/600 4.9/1200 6.1/2400 7.3/4800 10
1
Dir.PIRKN 4 2.8/229 4.9/600 6.2/1200 7.4/2400 8.6/4800 10
1
CPIRKN34 4 4.6/201 5.8/401 6.9/801 8.1/1601 9.3/3201 10
1
CPIRKN44 4 3.3/201 4.5/401 5.7/801 6.9/1601 8.1/3201 10
1
Ind.PIRKN 6 5.0/400 6.8/400 8.6/1600 10.4/3200 12.2/6400 10
1
Dir.PIRKN 6 5.8/400 7.5/800 9.3/1600 11.1/3200 12.9/6400 10
1
CPIRKN56 6 7.8/227 9.2/440 10.8/831 12.7/1602 14.5/3202 10
1
CPIRKN66 6 6.4/210 8.2/402 10.0/802 11.7/1602 13.6/3202 10
1
4.5 Kết luận
Trong chơng này, chúng tôi xây dựng một lớp phơng pháp song song
dự báo-hiệu chỉnh mới, gọi là ph ơng pháp dự báo-hiệu chỉnh lặp song
song liên tục dạng Runge-Kutta-Nystro

m (phơng pháp CPIRKN ) dựa
trên phơng pháp hiệu chỉnh RKN với công thức đầu ra liên tục. Kết
quả của việc chạy ba bài toán thử đã chỉ ra rằng phơng pháp CPIRKN
có số lần tính hàm vế phải tiết kiệm hơn 5 lần so với các phơng pháp
tuần tự truyền thống nh ODEX2, DOPRIN và tiết kiệm 2 lần so với
các phơng pháp song song từng đợc công bố trong các tài liệu.
23
Kết luận
1) Luận án đã đề xuất, xây dựng và nghiên cứu 3 thuật toán lặp song
song dạng Runge-Kutta-Nystro

m mới, giải trực tiếp hệ phơng trình vi
phân cấp hai trên máy tính song song. Cả ba phơng pháp đều mang
bản chất dự báo-hiệu chỉnh. Cách tiếp cận chung là: phát biểu phơng
pháp, tính toán các ma trận và véc tơ hệ số, nghiên cứu tính hội tụ, tính
ổn định, tính toán thử nghiệm. Các phơng pháp có u điểm chung là
tiết kiệm số lần tính hàm vế phải, ngoài ra, mỗi phơng pháp có u
điểm riêng, đó là:
a) Phơng pháp PIRKNA, đợc xây dựng trên cơ sở thay thế công
thức dự báo hai bớc kiểu Lagrange bằng công thức dự báo hai bớc
kiểu Adams, nên đạt đợc siêu hội tụ (p= 2s).
b) Phơng pháp lặp song song d ự báo-hiệu chỉnh giả Runge-Kutta-
Nystro

mhaibớc (IPIPTRKN) có đặc tính ổn định tốt và không cần
nhiều bộ xử lí song song. Chúng đợc áp dụng tốt trong trờng hợp
máy tính có ít bộ xử lí làm việc đồng thời.
c) Phơng pháp l ặp song song dự báo-hiệu chỉnh dạng RKN với
công thức đầu ra liên tục (phơng pháp CPIRKN) cho phép tính toán

giá trị nghiệm tại điểm bất kì trong mỗi bớc mà không cần chia lại
lới và không cần tính toán lại hàm về phải. Những thí dụ giải số đã
thể hiện tính hiệu quả của phơng pháp CPIRKN.
2. Đề tài đã mở ra một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu:
a) Trong thời gian thực hiện luận án này, máy tính song song ở
nớc ta cha nhiều, do đó việc chạy các bài toán thử trên máy tính
song song còn gặp nhiều khó khăn, do đó việc triển k hai chạy trên
máy tính song sẽ là công việc tiếp theo của chúng tôi .
b) ý tởng và kĩ thuật nghiên cứu g iải bài toán (1) hoàn toàn có
thể áp dụng vào việc nghiên cứu giải hệ phơng trình vi phân cấp cao
(y
(n )
(t) = f (t,y(t)), n > 2). Phơng trình vi phân cấp cao xuất hiện
trong một số bài toán cơ học. Chúng tôi đã bắt đầu triển khai ý tởng
nàyvàđãthuđợc một số kết quả ban đầu.
c) Trong luận án này chúng tôi chỉ xét bài toán có dạng
y

(t)= f(t,y(t)), y(t
0
)= y
0
,y

(t
0
)= y

0
.

24
Việc giải bài toán tổng quát hơn
y

(t) = f(t,y (t),y

(t)), y (t
0
)= y
0
,y

(t
0
)= y

0
sẽ đợc chúng tôi nghiên cứu trong thời gian tới.
25