skkn lớp bài toán tìm toạ độ điểm trong không gian thoả mãn một số điều kiện cho trước

Sáng kiến kinh nghiệm
Hớng dẫn học sinh
Hình thành phơng phápvà rèn luyện kỹ năng
giải bài toán tìm toạ độ điểm trong không
gian.

Phần I: Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Nhìn chung phần lớn học sinh đều ngại học hình, đặc biệt là những
học sinh trung bình, yếu. ở mỗi khối, môn hình học lại có những đặc thù
riêng. ở khối 10 học sinh đợc làm quen với hình học véctơ và phơng pháp
toạ độ trong mặt phẳng, các em cảm thấy rất bỡ ngỡ. Đến lớp 11 thì học
về các phép biến hình trong mặt phẳng và bắt đầu làm quen với hình học
không gian các em lại thấy khó và quá trìu tợng. Đến lớp 12 học sinh vẫn
tiếp tục học hình học không gian và đến kì II thì học sang phơng pháp toạ
độ trong không gian. Đến phần này, các em lại gặp trở ngại là cần liên
hệ với các kiến thức hình học không gian đã học ở lớp 11 và đòi hỏi phải
có tính cần cù, cẩn thận, kĩ năng tính toán chính xác. Chính vì những lí
do đó ít nhiều tạo tâm lí không tốt cho học sinh, gây ra sự nặng nề trong
mỗi tiết học.

"Bài toán tìm toạ độ điểm trong không gian thoả mãn một
số điều kiện cho tr ớc"
có một u điểm là có thể xây dựng phơng pháp
giải rõ ràng, dễ vận dụng nhng đòi hỏi học sinh phải biết phân tích cách
dữ kiện, vận dụng kiến thức một cách tổng hợp: kiến thức về hình học
phẳng, hình học véctơ và hình học toạ độ; biết chuyển đổi các khái niệm từ
ngôn ngữ hình học thông thờng sang ngôn ngữ vectơ và ngôn ngữ toạ độ
khi cần thiết. Đồng thời học sinh phải biết vận dụng đại số vào hình học,
biết qui lạ về quen. Đặc biệt lớp bài toán này yêu cầu học sinh phải cần
cù, cẩn thận, và có kĩ năng tính toán chính xác.

Hơn nữa các bài toán này cũng là một trong những bài toán thờng có
trong các đề thi đại học và quan trọng là qua lớp bài toán này phần nào
sẽ rèn luyện cho các em khả năng t duy linh hoạt, tính cần cù và kĩ năng
tính toán chính xác. Để giúp các em tiếp cận đợc với các đề thi đại học và


Bùi Thị Lợi 1 Trờng THPT Yên
Khánh A
Sáng kiến kinh nghiệm
tạo tâm lí nhẹ nhàng khi học và tự tin khi thi, tôi xin trình bày một số
kinh nghiệm về đề tài: "
Hớng dẫn học sinh hình thành phơng
pháp và rèn kỹ năng giải các bài toán tìm toạ độ điểm trong
không gian "
mà tôi đã tích luỹ và rút ra đợc trong quá trình dạy học.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận và đề xuất phơng pháp dạy học góp phần nâng cao hiệu
quả dạy học lớp bài toán:"Tìm toạ độ điểm trong không gian thoả mãn một
số điều kiện cho trớc".
3. Phơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu bằng lí luận: Nghiên cứu các giáo trình về phơng pháp dạy học
Toán ở trờng phổ thông, tài liệu hớng dẫn đổi mới phơng pháp dạy học, các sách
giáo khoa, sách tham khảo, báo Toán học và tuổi trẻ.
Nghiên cứu bằng thực nghiệm: Thông qua việc dạy và học phần phơng
pháp toạ độ trong không gian ở các năm của bản thân và tổng kết các kinh
nghiệm giảng dạy của các bạn đồng nghiệp trong tổ nhóm.
4. Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm
Phần I: Mở đầu.
Phần II: Nội dung
A. Thực trạng của việc dạy và học "lớp bài toán tìm toạ độ điểm trong không

gian thoả mãn một số điều kiện cho trớc" ở Trờng THPT Yên Khánh A.
B. Đề xuất phơng pháp.
C. Kết quả đạt đợc.
Phần III: Kết luận.


Bùi Thị Lợi 2 Trờng THPT Yên
Khánh A
Sáng kiến kinh nghiệm
Phần II: Nội dung
A. Thực trạng của việc dạy và học "lớp bài toán tìm toạ độ điểm trong
không gian thoả mãn một số điều kiện cho trớc" ở Trờng THPT Yên
Khánh A.
1. Thực trạng
- Qua nghiên cứu, tìm hiểu tôi phát hiện đợc phần lớn học sinh trờng tôi đều
cho rằng :"bài toán tìm toạ độ điểm trong không gian thoả mãn một số điều
kiện cho trớc" là không quan trọng và không khó nên có phần xem nhẹ, hơn nữa
để giải các bài toán này thì cần phải viết nhiều và tính toán nhiều nên nhiều học
sinh ngại học, ngại làm, có nhiều học sinh cho rằng học phần này nhàm chán
quá, những học khá giỏi thì chủ quan chỉ cần biết phơng pháp nên rất lời tính
toán, rèn luyện kỹ năng nên rất dễ bị tính toán sai dẫn đến kết quả học tập không
cao, bởi đối với lớp bài tập này đòi hỏi phải có tính cần cù, chịu khó và phải tính
toán chính xác, còn nếu phơng pháp đúng mà tính toán sai thì cũng không thu đ-
ợc kết quả gì.
- Xuất phát từ thực trạng đó, ở trờng tôi, giáo viên đã nêu lên tầm quan trọng
của bài, gợi động cơ học tập đồng thời tích cực trao đổi, tìm tòi phơng pháp, khơi
dậy hứng thú, niềm đam mê học tập của học sinh giúp các em không còn cảm
thấy nhàm chán khi học lớp bài toán này, góp phần nâng cao chất lợng dạy và
học.
- Đối với bản thân tôi, trớc đây các bài toán tìm điểm này tôi chỉ đa lồng vào các

bài toán lập phơng trình đờng thẳng và phơng trình mặt phẳng và cũng không
chú ý rèn kỹ năng tính toán cho học sinh mà nghĩ rằng chỉ cần hớng dẫn học


Bùi Thị Lợi 3 Trờng THPT Yên
Khánh A
Sáng kiến kinh nghiệm
sinh xây dựng đợc phơng pháp, có phơng pháp rồi chắc chắn các em sẽ làm đợc
và tôi cũng chỉ hớng dẫn cho học sinh xây dựng phơng pháp giải các bài toán cơ
bản: "Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P), tìm toạ độ
điểm M' đối xứng với M qua (P), tìm toạ độ điểm K là hình chiếu của M trên
đờng thẳng d, tìm toạ độ điểm M
1
đối xứng với M qua đờng thẳng d" bởi tôi
cho rằng nếu nắm đợc các bài toán cơ bản đó thì khi gặp các bài toán tìm điểm
khác có liên quan đến các bài toán đó thì học sinh có thể tự chuyển về bài toán
quen thuộc. Nhng trên thực tế, tôi thấy rằng phần lớn học sinh không biết qui lạ
về quen, không có hứng thú học phần này, không chịu rèn luyện kỹ năng tính
toán. Chính vì vậy tôi đã nghiên cứu, tìm tòi, đổi mới phơng pháp nhằm cuốn hút
các em vào mỗi bài học. ở đó các em nhận thức đợc vai trò trung tâm của mình,
các em lĩnh hội tri thức thông qua tự giải quyết vấn đề, tự hớng dẫn tìm tòi và
cộng tác với bạn bè.
2. Yêu cầu của bài học:
2.1. Kiến thức
2.1.1. Toạ độ của véctơ và của điểm
a) Định nghĩa toạ độ của véctơ :
kzjyixu)z;y;x(u


++==

b) Véctơ bằng nhau, toạ độ của véctơ tổng, véctơ hiệu
Cho
)'z;'y;'x(v);z;y;x(u ==

. Khi đó
*





=
=
=
=
'zz
'yy
'xx
vu

*
)'zz;'yy;'xx(vu =

*
Rk),kz;ky;kx(uk =

*
)Rn,m()'nzmz;'nymy;'nxmx(vnum +++=+

c) Hai vectơ cùng phơng

*
)'z;'y;'x(v);z;y;x(u ==

(với
0u



) cùng phơng với nhau

z
'z
y
'y
x
'x
hay
kz'z
ky'y
kx'x
ukv ==





=
=
=
=

d) Tích vô hớng của hai vec tơ
Cho
)'z;'y;'x(v);z;y;x(u ==

. Khi đó:


Bùi Thị Lợi 4 Trờng THPT Yên
Khánh A
Sáng kiến kinh nghiệm
*
'zz'yy'xx)v,ucos(v.uv.u ++==

*
2222
zyxuu ++==

*
0v ;0u
'z'y'x.zyx
'zz'yy'xx
)v,ucos(
222222





++++

++
= với
*
0'zz'yy'xx0v.uvu =++=

e) Toạ độ của điểm
*
kzjyixOM)z;y;x(M

++==

* Cho A = (x; y; z) , B = (x'; y'; z')
*
)z'z;y'y;x'x(AB =
*
222
)z'z()y'y()x'x(AB ++=
*











=

=


=




==
k1
'kzz
z
k1
'kyy
y
k1
'kxx
x
OB
k1
k
OA
k1
1
OM)1k(MBkMA
M
M
M

* k = -1, M là trung điểm của AB









+
=
+
=
+
=

2
'zz
z
2
'yy
y
2
'xx
x
M
M
M
* G là trọng tâm tam giác ABC

++
=
++
=
++
=

3
zzz
z
3
yyy
y
3
xxx
x
CBA
G
CBA
G
CBA

G


Bùi Thị Lợi 5 Trờng THPT Yên
Khánh A
Sáng kiến kinh nghiệm
* G là trọng tâm tứ diện ABCD









+++
=
+++
=
+++
=

4
zzzz
z
4
yyyy
y
4

xxxx
x
DCBA
G
DCBA
G
DCBA
G
2.1.2. Tích có hớng của hai vectơ
Cho
)'z;'y;'x(v);z;y;x(u ==

a) Định nghĩa:
[ ]








==
'y'x
yx
;
'x'z
xz
;
'z'y

zy
wv,u

b) Tính chất:

*
[ ] [ ]
vv,u;uv,u


*
[ ]
)v,usin(.v.uv,u

=
*
v,u

cùng phơng


[ ]
0v,u


=
*
w,v,u

đồng phẳng

[ ]
0w.v,u =

c) ứng dụng:
* Diện tích tam giác:
[ ]
AC,AB
2
1
S
ABC
=
* Thể tích khối hộp:
[ ]
'AA.AD,ABV
'D'C'B'A.ABCD
=
* Thể tích tứ diện:
[ ]
AD.AC,AB
6
1
V
ABCD
=
2.1.3. Khoảng cách từ một điểm đến một điểm đến một mặt phẳng
M(x
0

; y
0
; z
0
), (P): Ax + By + Cz + D = 0 (A
2
+ B
2
+ C
2
0)
d (M; (P)) =
222
000
CBA
DCzByAx
++
+++
2.1.4. Khoảng cách từ một điểm đến một đờng thẳng
Đờng thẳng d đi qua M và có vectơ chỉ phơng
u

d(A;d) =
[ ]
u
AM,u


2.1.5. Khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau
Đờng thẳng d

1
đi qua A và có vectơ chỉ phơng
1
u
Đờng thẳng d
2
đi qua B và có vectơ chỉ phơng
2
u


Bùi Thị Lợi 6 Trờng THPT Yên
Khánh A
Sáng kiến kinh nghiệm
d(d
1
;d
2
)=
[ ]
[ ]
21
21
u,u
ABu,u

2.1.6. Các bài toán lập phơng trình mặt phẳng và phơng trình đờng thẳng cơ
bản (phần lớn các bài toán lập phơng trình đờng thẳng thờng qui về bài toán
này).
a)

=

)C;B;A(n
)P()z;y;x(M
P
000
thì phơng trình (P) có dạng: A(x - x
0
) + B(y - y
0
) + C(z - z
0
) = 0
b)



=

)c;b;a(u
d)z;y;x(M
d
000

thì phơng trình tham số của đờng thẳng d là:

+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
0
0
0
phơng trình chính tắc của đờng thẳng d là:

)0abc(
c
zz
b
yy
a
xx
000


=

=

2.1.7. Một số phép toán véctơ
a) Phép cộng véctơ:

Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C bất kì, ta có:
ACBCAB =+
b) Phép trừ véctơ:
Quy tắc hiệu hai véctơ có chung điểm đầu: Với ba điểm A, B, C bất kì, ta có:

CBACAB =
c) Phép nhân véctơ với một số
k
ba


=
xác định bởi:

b

cùng hớng
a

nếu k
0
, ngợc hớng với
a

nếu k < 0

akb


=

2.2. Kĩ năng
2.2.1. Biết lập phơng trình mặt phẳng, phơng trình đờng thẳng trong không
gian.
2.2.2. Biết tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng và mặt phẳng, tọa độ giao
điểm của hai đờng thẳng.
2.2.3. Biết xét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng, vị trí tơng đối của mặt cầu
và mặt phẳng, xét xem hai điểm cùng phía hay khác phía đối với một mặt


Bùi Thị Lợi 7 Trờng THPT Yên
Khánh A
Sáng kiến kinh nghiệm
phẳng, hai điểm cùng phía hay khác phía đối với một đờng thẳng trong tr-
ờng hợp chúng đồng phẳng.
2.2.4. Biết xác định tâm và bán kính mặt cầu khi biết phơng trình của mặt
cầu.
2.2.5. Biết khai thác dữ kiện điểm thuộc đờng thẳng, điểm thuộc mặt phẳng.
2.3. T duy
Biết quy nạp và khái quát hoá.
Biết vận dụng linh hoạt các công thức, biết qui lạ về quen.
2.4. Thái độ
Cẩn thận chính xác.
B. Đề xuất phơng pháp
* Giải pháp cũ thờng làm:
Các bài toán này tôi không dạy thành một chuyên để mà chỉ lồng vào các bài
tập lập phơng trình đờng thẳng, phơng trình mặt phẳng, không chia theo dạng
nên học sinh không biết cách khai thác, qui lạ vê quen.
* Giải pháp cải tiến

1. Cung cấp một số đẳng thức vectơ, đẳng thức độ dài và một số kĩ năng cần
thiết
1.1 Một số đẳng thức vectơ
a) Cho hai điểm A, B và hai số thực a, b thoả mãn: a + b 0
* Tồn tại duy nhất điểm I xác định bởi :
0IBbIAa

=+
* Với điểm I xác định nh trên và một điểm O bất kì, ta có:

OB
ba
b
OA
ba
a
OIOI)ba(OBbOAa
+
+
+
=+=+
b) Cho ba điểm A, B, C và ba số thực a, b, c thoả mãn: a + b + c 0
* Tồn tại duy nhất điểm I xác định bởi :
0ICcIBbIAa

=++
* Với điểm I xác định nh trên và một điểm O bất kì, ta có:
OI)cba(OCcOBbOAa ++=++
OC
cba

c
OB
cba
b
OA
cba
a
OI
++
+
++
+
++
=
c) Cho bốn điểm A, B, C và bốn số thực a, b, c, d thoả mãn:


Bùi Thị Lợi 8 Trờng THPT Yên
Khánh A
Sáng kiến kinh nghiệm
a + b + c +d 0
* Tồn tại duy nhất điểm I xác định bởi :
0IDdICcIBbIAa

=+++
* Với điểm I xác định nh trên và một điểm O bất kì, ta có:

OI)dcba(OCdOCcOBbOAa +++=+++

OD

dcba
d
OC
dcba
c
OB
dcba
b
OA
dcba
a
OI
+++
+
+++
+
+++
+
+++
=
Bằng cách suy luận tơng tự ta có thể xây dựng các đẳng thức vectơ cho hệ gồm n
điểm.
1.2. Đẳng thức độ dài
a) Công thức độ dài đờng trung tuyến:
* Trong tam giác ABC, M là trung điểm của BC thì:

2
BC
AM2ACAB
4

BC
2
ACAB
AM
2
222
222
2
+=+
+
=
(Công thức vẫn đúng nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng).
* Công thức độ dài đờng trung tuyến là trờng hợp đặc biệt của bài toán sau:
Với hai điểm A, B và điểm I xác đinh bởi:
)0ba(0IBbIAa +=+

, M là một
điểm tuỳ ý, ta có: aMA
2
+ bMB
2
= (a+b)MI
2
+ aIA
2
+ bIB
2

b) Trong tam giác ABC với trọng tâm G, M là một điểm tuỳ ý trong không gian
ta luôn có: MA

2
+ MB
2
+ MC
2
= 3MG
2
+ GA
2
+ GB
2
+ GC
2
*Với ba điểm A, B, C và điểm I xác định bởi:
)0cba(0ICcIBbIAa ++=++

M là một điểm tuỳ ý, ta có:
aMA
2
+ bMB
2
+ cMC
2
= (a + b + c)MI
2
+ aIA
2
+ bIB
2
+ cIC

2
c) Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G, M là một điểm tuỳ ý, ta có:
MA
2
+ MB
2
+ MC
2
+ MD
2
= 4MG
2
+ GA
2
+ GB
2
+ GC
2
+ GD
2
Với bốn điểm A, B, C, D và điểm I xác định bởi:

)0dcba(0IDdICcIBbIAa +++=+++

, M là một điểm tuỳ ý, ta có :
aMA
2
+ bMB
2
+ cMC

2
+ dMD
2
= (a + b + c + d)MI
2
+ aIA
2
+ bIB
2
+ cIC
2
+ dID
2
Bằng suy luận tơng tự, ta có thể xây dựng các đẳng thức tơng tự cho hệ n điểm.
1.3. Kĩ năng khai thác dữ kiện điểm thuộc mặt phẳng hoặc thuộc đ ờng thẳng

Tôi lu ý cho học sinh: tìm tọa độ của một điểm trong không gian là phải tìm:
hoành độ, tung độ, cao độ của điểm đó và coi nh ba ẩn. Vì vậy muốn tìm toạ độ
của một điểm trong không gian thông thờng ta phải dựa vào dữ kiện bài toán để
lập đợc số phơng trình bằng với số ẩn cần tìm. Và nếu nh bài toán cho dữ kiện
điểm thuộc mặt phẳng thì toạ độ của nó phụ thuộc vào hai ẩn, muốn tìm đợc toạ


Bùi Thị Lợi 9 Trờng THPT Yên
Khánh A
Sáng kiến kinh nghiệm
độ điểm đó ta phải lập đợc hai phơng trình nữa, còn nếu bài toán cho dữ kiện
điểm thuộc đờng thẳng thì toạ độ của nó chỉ phụ thuộc vào một ẩn vì vậy muốn
tìm toạ độ của điểm đó ta chỉ cần lập thêm một phơng trình.
Cụ thể:

a)
0DCzByAx0DCzByAx:)P()z;y;x(M
000000
=+++=+++
b)
)ctz;bty;atx(M
ctzz
btyy
atxx
:dM
000
0
0
0
+++





+=
+=
+=

2. Hệ thống bài tập theo dạng
2.1. Các bài toán qui về bài toán tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên
một mặt phẳng.
1) Bài toán 1(bài toán cơ bản)
Cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M(x
0

; y
0
; z
0
).
a) Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của M trên (P).
b) Tìm toạ độ điểm M' đối xứng với M qua (P).
Hớng dẫn học sinh hình thành phơng pháp giải bài toán
Tôi yêu cầu học sinh vẽ hình minh hoạ và trả lời các câu hỏi sau:
Nêu cách xác định điểm H là hình chiếu của M trên (P)?






)P(MH
)P(H
*
P
nMH và
(là vectơ pháp tuyến của (P)) có quan hệ nh thế nào?

(P)
nvà MH
cùng phơng
P
nk = MH
Nếu gọi H (x; y; z) thì x; y; z phải thoả mãn những phơng trình nào?

=
=
=
=+++
kCzz
kByy
kAxx
0DCzByAx
0
0
0
Từ đó tôi yêu cầu học sinh nêu các bớc giải bài toán tìm toạ độ điểm H là hình
chiếu của M trên mặt phẳng (P).
Bớc 1: Gọi H(x; y; z) là hình chiếu của điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) trên mặt phẳng
(P): Ax + By + Cz + D = 0
Bớc 2: Tìm

)C;B;A(n
P
=
là vectơ pháp tuyến của (P).


Bùi Thị Lợi 10 Trờng THPT Yên
Khánh A
?
?
?
H
d
P
n
Sáng kiến kinh nghiệm
Tính
)zz;yy;xx(MH
000
=
Bớc 3: (Lập hệ phơng trình)
Ta có :



=

P
nkMH
)P(H

=
=
=
=+++

kCzz
kByy
kAxx
0DCzByAx
0
0
0
Bớc 4: Giải hệ tìm đợc toạ độ điểm M và kết luận.
Từ cách giải trên, tôi lu ý cho học sinh để ý đến đẳng thức
P
nk =MH
, cho
ta biết điểm H thuộc tập hợp điểm nào?
H thuộc đờng thẳng d là đờng thẳng đi qua M và vuông góc với (P).
Mặt khác, H lại phải thuộc (P), vậy H xác định nh thế nào?
H là giao điểm của đờng thẳng d và mặt phẳng (P).
Vậy ta có thể trình bày lời giải bài toán trên theo cách khác nh thế nào?
Bớc 1: Lập phơng trình đờng thẳng d đi qua M và vuông góc với (P).

Bớc 2: H là hình chiếu vuông góc của M trên (P) thì H là giao điểm của d và
(P) => Toạ độ H là nghiệm của hệ gồm phơng trình đờng thẳng d và phơng trình
mặt phẳng (P).
Bớc 3: Giải hệ suy ra toạ độ điểm H và kết luận.
M' là điểm đối xứng của M qua (P) thì M' xác định nh thế nào?
Cách 1:
( )
( )





PH
PM'M
(H là trung điểm của MM')

Cách 2: Tìm toạ độ H là hình chiếu của M trên (P)
M' đối xứng với M qua (P)

H là trung điểm của M'M
Suy ra toạ độ của M':





=
=
=

MH'M
MH'M
MH'M
zz2z
yy2y
xx2x
Cho điểm M và mặt phẳng (P), I là điểm bất kì trên (P). Gọi H là hình chiếu
của M trên (P), hãy so sánh MH và MI.
MI MH.
Dấu bằng xảy ra khi nào?
Khi I trùng với H
Nh vậy bài toán 1a) có thể cho bằng cách khác nh thế nào?
Cho điểm M và mặt phẳng (P). Tìm điểm H trên mặt phẳng (P) sao cho
MH ngắn nhất.
(P) là mặt phẳng trung trực của MM' khi (P) thoả mãn những điều kiện nào?


Bùi Thị Lợi 11 Trờng THPT Yên
Khánh A
?
?
?
?
?
?
?
?
Sáng kiến kinh nghiệm

của MM' diểm trunglà H),P(H
'MM)P(
Khi đó điểm M' là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (P).
Nh vậy bài toán một (b) có thể hỏi dới cách khác là: cho mặt phẳng (P) và điểm
M, tìm điểm M' sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MM'.

Để học sinh có kỹ năng giải bài toán này thành thạo. Tôi cho bài tập vận
dụng và chú ý rèn luyện cho các em kỹ năng trình bày và cách tính để thu đợc
kết quả một cách nhanh nhất.
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; 1; 0) và mặt phẳng (P) có
phơng trình: x - 2y + z - 5 = 0. Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của M trên (P).
Lời giải:
Cách 1:
(P) có vectơ pháp tuyến là:
)1;2;1(n

Điểm H(x; y; z) là hình chiếu của M trên (P)




=

nkMH
)P(H







=
=
+=
=+








=
=
=
=+

kz
k21y
k1x
05zy2x

kz
k21y
k1x
05zy2x

)1;1;2(H
1z
1y
2x
1k
kz
k21y
k1x
06k6








=
=
=
=

=
=
+=
=

Vậy H(2; -1; 1) là hình chiếu của M trên (P).
Cách 2: (P) có vectơ pháp tuyến là:
)1;2;1(n

Gọi d là đờng thẳng đi qua M và vuông góc với (P)




==

)1;2;1(nu
dM
d


phơng trình của d có dạng:

=
=
+=
tz
t21y
t1x
H là hình chiếu vuông góc của M trên d nên H là giao điểm của d và (P)
H
d

)t;t21;t1(H +
H
1t6t605t)t21(2t1)P( ===++
)1;1;2(H



Bùi Thị Lợi 12 Trờng THPT Yên
Khánh A
Sáng kiến kinh nghiệm
Vậy H(2; -1; 1) là hình chiếu của M trên (P).
Bài tập 2:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(-2; - 4; 2) và mặt phẳng (P):
3x + y + 2z + 20 = 0. Tìm toạ độ điểm M' đối xứng với M qua (P).
Lời giải:
Cách 1:
(P) có vectơ pháp tuyến là:
)2;1;3(n

Gọi M (x; y; z), H là trung điểm của MM'







+

2
2z
;
2
4y
;
2
2x
H
M' là điểm đối xứng của M qua (P)

( )
( )
( )

=+
+
+

+

=
=+
=+





=







020
2
2z
2
2

4y
2
2x
3
k22z
k4y
k32x
PH
nk'MM
PH
PM'M









=
=
=
=

=+
+=
+=
+=








=+++
=
=+
=+

2k
2z
6y
8x
028k14
k22z
k4y
k32x
034z2yx3
k22z
k4y

k32x
)2;6;8('M
Vậy M' (-8; -6; -2) là điểm đối xứng của M qua (P).
Cách 2:
(P) có vectơ pháp tuyến là:
)2;1;3(n

Gọi d là đờng thẳng đi qua M và vuông góc với (P), d có véctơ chỉ phơng
d
u
Ta có:



==

)2;1;3(nu
dM
d



phơng trình của d có dạng:





+=
+=

+=
t22z
t4y
t32x
H là hình chiếu vuông góc của M trên d nên H là giao điểm của d và (P)
H
d

)t22;t4;t32(H +++
H
1t014t14020)t22(2)t4()t32(3)P( ==+=++++++
)0;5;5(H
M' là điểm đối xứng của M qua (P) khi H là trung điểm của MM'


Toạ độ của M':
)2;6;8('M
220zz2z
6410yy2y
8210xx2x
MH'M
MH'M
MH'M






===

=+==
=+==


Bùi Thị Lợi 13 Trờng THPT Yên
Khánh A
Sáng kiến kinh nghiệm
Hai bài tập trên tôi chữa tỉ mỉ cho các em cả về cách trình bày và cách tính
toán để các em nắm đợc cách trình bày bài giải.
Để các em có kĩ năng giải bài toán này nhanh và chính xác, tôi cho bài tập t-
ơng tự để các em làm ở nhà, ở một số bài tôi đều cho trớc kết quả để các em có
thể so sánh xem mình làm có đúng không và đặc biệt tôi cũng hớng dẫn các em
biết cách thử lại để tự kiểm tra khi không có kết quả trớc.
Cách suy luận để giải bài toán này là một cơ sở để tìm lời giải của các bài toán
tìm toạ độ điểm trong không gian không gian. Đặc biệt có nhiều bài toán tìm
điểm đều qui về bài toán này. Để các em nhận thức đợc điều đó, tôi đa ra một số
bài toán sau và hớng dẫn để các em tự tìm ra phơng pháp giải, qui lạ về quen.
Bài toán 2: Cho hai điểm A, B và mặt phẳng (P).
a) Tìm điểm M trên (P) sao cho ( MA
2
+MB
2
) nhỏ nhất.
b) Tìm điểm N trên mặt phẳng (P) sao cho (aNA
2
+ bNB
2
) ( với a + b > 0) đạt giá
trị nhỏ nhất.
c) Tìm điểm K trên mặt phẳng (P) sao cho (cKA

2
+ dKB
2
) (với c + d < 0) đạt giá
trị lớn nhất.
Hớng dẫn học sinh hình thành phơng pháp
Bài toán 2a)
Khi M di động trên (P) thì MA, MB đều có độ dài thay đổi. Vì vậy muốn tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức (MA
2
+ MB
2
) ta có thể biến đổi nó chỉ theo một
đại lợng thay đổi.
Vậy với tam giác MAB thì biểu thức MA
2
+ MB
2
gợi cho em nghĩ đến công
thức nào?
Công thức độ dài đờng trung tuyến:
Trong tam giác MAB, I là trung điểm của AB thì:

2
AB
MI2MBMA
4
AB
2
MBMA

MI
2
222
222
2
+=+
+
=
Tôi lu ý cho học sinh là đẳng thức đó vẫn đúng khi ba điểm M, A, B thẳng hàng.
Vậy (MA
2
+ MB
2
) đạt giá trị nhỏ nhất khi nào?
Vì AB có độ dài không đổi nên (MA
2
+ MB
2
) đạt giá trị nhỏ nhất khi MI
2
ngắn nhất, mà M lại di động trên (P), I cố định nên MI
2
ngắn nhất khi M là hình
chiếu của I trên (P).
Hãy nêu phơng pháp giải bài toán 2a):
Bớc 1: Tìm toạ độ điểm I là trung điểm của AB.
Bớc 2: Với ba điểm M, A, B ta luôn có:

2
AB

MI2MBMA
2
222
+=+
Bớc 3: (bớc chuyển bài toán)
AB có độ dài không đổi nên (MA
2
+ MB
2
) đạt giá trị nhỏ nhất khi MI
ngắn nhất.


Bùi Thị Lợi 14 Trờng THPT Yên
Khánh A
?
?
?
Sáng kiến kinh nghiệm
M di động trên (P), I cố định nên MI ngắn nhất khi M là hình chiếu của
I trên (P).
Bớc 4: Tìm toạ độ điểm M là hình chiếu của I trên (P). (Bài toán 1a)
Bớc 5: Kết luận.
Bài toán 2b)
Ta đã biết với hai điểm A, B và hai số thực a, b sao cho a + b

0, tồn tại duy
nhất điểm I xác định bởi:
0IBbIAa

=+
;
2
2
uu

=
.
Hãy phân tích (aNA
2
+ bNB
2
) để làm xuất hiện
IBbIAa +
(aNA
2
+ bNB
2
) =
22
22
)INIB(b)INIA(aNBbNAa +=+
=
)IBbIAa(IN2IBbIAaIN)ba(
222
++++
=
222
bIBaIAIN)ba( +++
Với điều kiện a + b > 0 thì (aNA

2
+ bNB
2
) đạt giá trị nhỏ nhất khi nào.
Do
22
bIBaIA +
có giá trị không đổi, a + b > 0 nên (aNA
2
+ bNB
2
) đạt giá
trị nhỏ nhất khi IN ngắn nhất.
Mà I cố định, N di động trên (P) nên NI ngắn nhất khi N là hình chiếu của I
trên (P).
Hãy nêu các bớc giải bài toán 2b).
Bớc 1: Tìm toạ độ điểm I thoả mãn:
0IBbIAa

=+
.
Bớc 2: Chứng minh: (aNA
2
+ bNB
2
) =
222
bIBaIAIN)ba( +++
Bớc 3: (bớc chuyển bài toán)
Do

22
bIBaIA +
có giá trị không đổi, a + b > 0 nên (aNA
2
+ bNB
2
) đạt giá
trị nhỏ nhất khi IN ngắn nhất.
Mà I cố định, N di động trên (P) nên NI ngắn nhất khi N là hình chiếu của I
trên (P).
Bớc 4: Tìm toạ độ điểm N là hình chiếu của I trên (P). (Bài toán 1a)
Bớc 5: Kết luận.
Bằng suy luận tơng tự học sinh dễ dàng suy ra phơng pháp giải bài toán 2c):
Bớc 1: Tìm toạ độ điểm I
1
thoả mãn:
0BIdAIc
11

=+
.
Bớc 2: Chứng minh: (cKA
2
+ dKB
2
) =
2
1
2
1

2
1
BdIAcIKI)dc( +++
Bớc 3: (bớc chuyển bài toán)
Do
2
1
2
1
BdIAcI +
có giá trị không đổi, c + d < 0 nên (cKA
2
+ dKB
2
) đạt giá
trị lớn nhất khi I
1
K ngắn nhất.
Mà I
1
cố định, K di động trên (P) nên I
1
K ngắn nhất khi K là hình chiếu của
I
1
trên (P).
Bớc 4: Tìm toạ độ điểm K là hình chiếu của I
1
trên (P). (Bài toán 1a)
Bớc 5: Kết luận.

Bài tập vận dụng:


Bùi Thị Lợi 15 Trờng THPT Yên
Khánh A
?
?
?
Sáng kiến kinh nghiệm
Bài tập 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(-3; 2; 1) và
B(5; 0; 5) và mặt phẳng (P): x + y - z - 2 = 0
1) Tìm toạ độ điểm M trên (P) sao cho (MA
2
+ MB
2
) có giá trị nhỏ nhất. Tính giá
trị nhỏ nhất đó.
2) Tìm toạ độ điểm N trên (P) sao cho (- NA
2
+ 3NB
2
) đạt giá trị nhỏ nhất.
3) Tìm toạ độ điểm K trên (P) sao cho (KA
2
- 2KB
2
) đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải:
1) Gọi I là trung điểm của AB
)3;1;1(I

Với ba điểm M, A, B, ta có:
2
AB
MI2MBMA
2
222
+=+
Do AB không đổi nên MA
2
+ MB
2
có giá trị nhỏ nhất khi MI
2
nhỏ nhất.
Mà M thuộc (P), I cố định nên M là hình chiếu của I trên (P).
(P) có vectơ pháp tuyến là
)1;1;1(n =

. Gọi d là đờng thẳng đi qua I và vuông
góc với (P)

d có vectơ chỉ phơng
=u

)1;1;1(n =

và đi qua I(1; 1; 3) nên có phơng trình:

=
+=
+=
t3z
t1y
t1x
M là hình chiếu của I trên (P) nên M là giao điểm của d và (P)
M

d
)t3;t1;t1(M ++
M

(P)
)2;2;2(M1t3t302)t3()t1()t1( ===+++
Khi đó:
MA
2
+ MB
2
= (2 + 3)
2
+(2 - 2)
2
+ (2 - 1)
2
+(2 - 5)
2

+(2 - 0)
2
+ (2 - 0)
2
= 43

Vậy với M(2; 2; 2) thuộc mặt phẳng (P) thì MA
2
+ MB
2
có giá trị nhỏ nhất
bằng 43.
2) Gọi điểm E là điểm thoả mãn:
0EB3EA

=+
)7;1;9(EOB
2
3
OA
2
1
OE +=
Ta có: - NA
2
+ 3NB
2
=
22
22

)ENEB(3)ENEA(NB3NA
+=+
=
)EB3EA(EN2EB3EAEN2
222
++
=
222
EB3EAEN2 +
Do
22
EB3EA +
có giá trị không đổi, nên (- NA
2
+ 3NB
2
) đạt giá trị nhỏ
nhất khi EN ngắn nhất.
Mà E cố định, N di động trên (P) nên NE ngắn nhất khi N là hình chiếu của
E trên (P).


Bùi Thị Lợi 16 Trờng THPT Yên
Khánh A
Sáng kiến kinh nghiệm
Gọi d
1
là đờng thẳng đi qua E và vuông góc với (P)

d

1
có vectơ chỉ phơng
=u

)1;1;1(n =

và đi qua E(9; -1; 7) nên có phơng
trình:





=
+=
+=
t7z
t1y
t9x
N là hình chiếu của I trên (P) nên M là giao điểm của d và (P)
1
N d

N(9 + t; -1 + t; 7 - t);
02)t7()t1()t9(N =+++ (P)

3
1
t1t3 ==

3
20
;
3
2
;
3
28
N
3) Gọi điểm F là điểm thoả mãn:
0FB2FA

=

)9;2;13(FOB2OAOF =
Ta có: KA
2
- 2KB
2
=
22
22
)FNFB(2)FKFA(KB2KA

=
=
)FB2FA(FK2FB2FAFK
222
+
=
222
FB2FAFK +
Do
22
FB2FA
có giá trị không đổi, nên (KA
2
- 2KB
2
) đạt giá trị lớn nhất
khi (- FK
2
) lớn nhất

FK ngắn nhất.
Mà F cố định, K di động trên (P) nên FK ngắn nhất khi K là hình chiếu của
F trên (P).
Gọi d
2
là đờng thẳng đi qua F và vuông góc với (P)

d
2
có vectơ chỉ phơng

=
2
u
)1;1;1(n =

và đi qua F(-13;2;-9) nên có phơng
trình:





=
+=
+=
t9z
t2y
t13x
K là hình chiếu của F trên (P) nên K là giao điểm của d
2
và (P)
2
K d

K(-13 + t; 2 + t; -9 - t);
02)t9()t2()t13(N =+++ (P)

3
4
t4t3 ==

3
31
;
3
4
;
3
35
K
Bài tập 2:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; -2) và B(1; 3; 0) và
mặt phẳng (P): 2x + 3y - z - 18 = 0.


Bùi Thị Lợi 17 Trờng THPT Yên
Khánh A
Sáng kiến kinh nghiệm
Tìm toạ độ điểm M trên (P) sao cho MA
2
+ MB
2
có giá trị nhỏ nhất.
Đáp số : M

2
3
;
2
7
3;
Để rèn luyện đợc kỹ năng cho học sinh và để học sinh có khả năng tự nhận
xét, đánh giá bài làm của mình cũng nh bài làm của bạn và học hỏi đợc những u
điểm của nhau và tránh dợc những sai lầm thờng mắc phải, tôi gọi một học sinh
lên bảng làm bài tập 1, còn lại tất cả các học sinh còn lại đều phải làm vào giấy
nháp, rồi thu lại cho học sinh đánh giá chéo bài của nhau dới sự hớng dẫn của
giáo viên qua việc chữa bài của học sinh lên bảng. Việc làm đó giúp các em tự
rút ra đợc những sai lầm, nhợc điểm thờng mắc phải để tránh, rút ra đợc những u
điểm của bạn cũng nh của bản thân để học hỏi và phát huy.
Sau bài toán 2, để học sinh hiểu rõ cơ sở của phơng pháp giải đó và cách suy
luận tơng tự, tôi cho bài toán mở rộng sau và chia nhóm để học sinh trao đổi và
tìm ra phơng pháp giải.
Bài toán 3:
Bài 3.1. (Nhóm 1): Cho ba điểm A, B, C và mặt phẳng (P).
a) Với điểm I thoả mãn:
0ICcIBbIAa

=++

(ba số thực a, b, c thoả mãn: a + b
+ c
0
) thì ta luôn có:
aMA
2
+ bMB
2
+ cMC
2
= (a + b + c)MI
2
+ aIA
2
+ bIB
2
+ cIC
2
(*)
b) Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho aMA
2
+ bMB
2
+ cMC
2
đạt giá trị nhỏ
nhất( nếu a + b + c > 0) (hoặc đạt giá trị lớn nhất nếu a + b + c < 0).
Bài 3.2.(Nhóm 2): Cho bốn điểm A, B, C, D và mặt phẳng (P).
a) Với điểm I thoả mãn:
0IDdICcIBbIAa

=+++
(bốn số thực a, b, c,d thoả
mãn: a + b + c + d
0
) thì ta luôn có: aMA
2
+ bMB
2
+ cMC
2
+ dMD
2
=
= (a + b + c + d)MG
2
+ aGA
2
+ bGB
2
+ cGC
2
+ dMD
2
(**)
b) Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho aMA
2
+ bMB
2
+ cMC

2
+ dMD
2
đạt
giá trị nhỏ nhất nếu a + b + c + d > 0.
( hoặc aMA
2
+ bMB
2
+ cMC
2
+ dMD
2
đạt giá trị lớn nhất nếu a + b + c + d < 0).
Qua theo dõi và kiểm tra, tôi thấy rằng, học sinh hởng ứng nhiệt tình và phân
tích tìm ra phơng pháp:
Ta có: MA
2
=
2
MA
, MB
2
=
2
MB
, MC
2
=
2

MC

VT(*) = aMA
2
+ bMB
2
+ cMC
2
=
222
MCcMBbMAa ++
=
( ) ( ) ( )
222
IMICIMIBIMIAa ++
=
)ICcIBbIAa(IM2IM)cba(ICcIBbIAa
2222
+++++++
= (a+b+c)MI
2
+ aIA
2
+ bIB
2
+ cIC
2
= VP(*)

đpcm.

Nhờ đẳng thức (*), ta thấy aIA
2
+ bIB
2
+ cIC
2
có giá trị không đổi nên:


Bùi Thị Lợi 18 Trờng THPT Yên
Khánh A
Sáng kiến kinh nghiệm
* Nếu a + b + c > 0 thì aMA
2
+ bMB
2
+ cMC
2
đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ
nhất. Mà M thuộc (P) và I không đổi nên MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I
trên mặt phẳng (P).
* Nếu a + b + c < 0 thì aMA
2
+ bMB
2
+ cMC
2
đạt giá trị lớn nhất khi MI nhỏ
nhất. Mà M thuộc (P) và I không đổi nên MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I
trên mặt phẳng (P).

Bài toán của nhóm 2 đợc phân tích tơng tự, học sinh rút ra đợc phơng pháp giải
bài toán 3:
Phơng pháp giải bài toán của nhóm 1:
Bớc 1: Tìm toạ độ điểm I xác định bởi:
0ICcIBbIAa

=++

Bớc 2: Chứng minh đẳng thức
aMA
2
+ bMB
2
+ cMC
2
= (a + b + c)MI
2
+ aIA
2
+ bIB
2
+ cIC
2
(*).
Bớc 3: (Bớc chuyển bài toán)
Do aIA
2
+ bIB
2
+ cIC

2
có giá trị không đổi nên aMA
2
+ bMB
2
+ cMC
2
đạt
giá trị nhỏ nhất (nếu a + b + c > 0)
(hoặc đạt giá trị lớn nhất (nếu a + b + c < 0)) khi MI nhỏ nhất. Mà M
thuộc (P) và I không đổi nên MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên
mặt phẳng (P).
Bớc 4: Tìm toạ độ điểm M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).
(Bài toán 1a)
Bớc 5: Kết luận.
Phơng pháp giải bài toán của nhóm 2:
Bớc 1: Tìm toạ độ điểm I xác định bởi:
0IDdICcIBbIAa

=+++

Bớc 2: Chứng minh đẳng thức:
aMA
2
+ bMB
2
+ cMC
2
+ dMD
2

=

= (a + b + c + d)MG
2
+ aGA
2
+ bGB
2
+ cGC
2
+ dMD
2
(**)
Bớc 3: (Bớc chuyển bài toán)
Do aIA
2
+ bIB
2
+ cIC
2
+dID
2
có giá trị không đổi nên aMA
2
+ bMB
2
+
cMC
2
+ dMD

2
đạt giá trị nhỏ nhất (nếu a + b + c + d> 0) (hoặc đạt giá trị
lớn nhất(nếu a + b + c + d < 0) khi MI nhỏ nhất. Mà M thuộc (P) và I
không đổi nên MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).
Bớc 4: Tìm toạ độ điểm M là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P).
(Bài toán 1a)
Bớc 5: Kết luận.
Bài tập vận dụng
Bài tập 1:
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; 5), B(0; 3; 1), C(2; -1; 0)
và mặt phẳng (P): 3x - 3y - 2z -15 = 0.


Bùi Thị Lợi 19 Trờng THPT Yên
Khánh A
Sáng kiến kinh nghiệm
1) Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA
2
+ MB
2
+ MC
2
đạt giá trị
nhỏ nhất.
2) Tìm toạ độ điểm N trên mặt phẳng (P) sao cho NA
2
- 2NB
2
- NC
2

đạt giá trị
lớn nhất.
Đáp số: 1) M(4; -1; 0) 2) N







22
57
;
22
25
;
22
58
Bài tập 2:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(0;- 4;1),
B(3;2;2), C(2; 1; 4); D(-1; -3; 1) và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z + 12 = 0.
Tìm toạ độ điểm M trên (P) sao cho MA
2
+ MB
2
+ MC
2
+ MD
2
đạt giá trị nhỏ

nhất.
Đáp số: M







9
7
;
9
10
;
9
29
Bài tập 3:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(3; 4; 0), B(1;-3;-2),
C(1; 1; 1), D( 2; 2; 2) và mặt phẳng (P): 2x + y + 2z - 6 = 0,
mặt phẳng (Q): x - y - z + 7 = 0.
1) Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA
2
- 2MB
2
+ 3MC
2
+ MD
2
đạt giá trị nhỏ nhất.

2) Tìm toạ độ điểm N trên mặt phẳng (P) sao cho NA
2
- 2NB
2
+ NC
2
- ND
2
đạt
giá trị lớn nhất.
Đáp số: 1) M(0; 4; 1) 2) N(4; 11; 5)
Bài toán 4: Cho bốn điểm A, B, C, D và mặt phẳng (P)
a)Tìm điểm M trên (P) sao cho
)0ba;Rb;Ra(MBbMAau ++=

có độ
dài ngắn nhất.
b)Tìm điểm N trên (P) sao cho
)0cba;Rc;Rb;Ra(NCcNBbNAav ++++=

có độ dài ngắn nhất.
c) Tìm điểm K trên (P) sao cho
)0dcba;Rd;Rc;Rb;Ra(KDdKCcKBbKAaw ++++++=

có độ dài ngắn nhất.
Tôi h ớng dẫn học sinh tự tìm ra ph ơng pháp :
Bài toán 4a)
Ta đã biết với hai điểm A, B và hai số thực a, b thoả mãn: a + b 0
tồn tại duy nhất điểm I xác định bởi :
0IBbIAa

=+
Hãy phân tích
u

để làm xuất hiện
IBbIAa +
.

( ) ( )
MI)ba(IBbIAaMI)ba(IBMIbIAMIau +=+++=+++=


u

ngắn nhất khi nào?


Bùi Thị Lợi 20 Trờng THPT Yên
Khánh A
?
?
Sáng kiến kinh nghiệm
Khi MI ngắn nhất.
Điểm M xác định nh thế nào.
Vì M di động trên (P), điểm I ccố định nên MI ngắn nhất khi M là hình
chiếu vuông góc của I trên (P).
Hãy nêu các bớc giải bài toán 4a).
Bớc 1: Tìm toạ độ điểm I thoả mãn
0IBbAIa

=+
Bớc 2: Phân tích

( ) ( )
MI)ba(IBbIAaMI)ba(IBMIbIAMIau +=+++=+++=

Bớc 3: (Bớc chuyển bài toán)

u

ngắn nhất khi MI ngắn nhất


M là hình chiếu của I trên (P).
M di động trên (P), I cố định
Bớc 4: Tìm tọa độ điểm M là hình chiếu của I trên (P). (Bài toán 1a)
Bớc 5: Kết luận.
Bằng suy luận tơng tự, tôi yêu cầu học sinh nêu các bớc giải bài toán 4b), 4c).
bằng cách ghi ra giấy và kiểm tra thì nhìn chung học sinh đều nêu đúng:
Bài toán 4b):
Bớc 1: Tìm toạ độ điểm I
1
thoả mãn
0CIcBIbAIa
111

=++

OC
cba
c
OB
cba
b
OA
cba
a
OI
1
++
+
++
+
++
=
Bớc 2: Phân tích

( ) ( ) ( )
11111
111111
NI)cba(CIcBIbAIaNI)cba(
CINIcBINIbAINIav
++=+++++=
+++++=

Bớc 3: (Bớc chuyển bài toán)

v

ngắn nhất khi NI
1
ngắn nhất


N là hình chiếu của I
1
trên (P).
N di động trên (P), I
1
cố định
Bớc 4: Tìm tọa độ điểm N là hình chiếu của I
1
trên (P). (Bài toán 1a)
Bớc 5: Kết luận.
Bài toán 4c)
Bớc 1: Tìm toạ độ điểm I
2
thoả mãn
0DIdCIcBIbAIa
2222

=+++

OD
dcba
d
OC
dcba

c
OB
dcba
b
OA
dcba
a
OI
2
+++
+
+++
+
+++
+
+++
=
Bớc 2: Phân tích

( ) ( ) ( ) ( )
222222
22222222
KI)dcba(DIdCIcBIbAIaKI)cba(
DIKIdCIKIcBIKIbAIKIaw
+++=++++++=
+++++++=



Bùi Thị Lợi 21 Trờng THPT Yên

Khánh A
?
?
Sáng kiến kinh nghiệm
Bớc 3: (Bớc chuyển bài toán)

w

ngắn nhất khi KI
2
ngắn nhất


K là hình chiếu của I
2
trên (P).
K di động trên (P), I
2
cố định
Bớc 4: Tìm tọa độ điểm K là hình chiếu của I
2
trên (P). (Bài toán 1a)
Bớc 5: Kết luận.
Bài tập vận dụng
Bài tập 1:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A (1; -3; -2), B(3; 1; 2) và mặt
phẳng (P): x + y + z - 4 = 0.
1) Tìm toạ độ điểm M trên (P) sao cho
MBMAu +=

có độ dài ngắn nhất.
2) Tìm toạ độ điểm N trên (P) sao cho
NBNA3v =

có độ dài ngắn nhất.
Lời giải:
1) Gọi I là điểm xác định bởi:
0IBIA

=+
hay I là trung điểm của AB

I(2;-1; 0)
Khi đó:
MI2MBMAu =+=

. Vậy
u

ngắn nhất khi MI ngắn nhất
Mà M thuộc (P), I cố định nên MI ngắn nhất khi M là hình chiếu của I trên (P).
Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến
)1;1;1(n

.
Đờng thẳng d đi qua I, d vuông góc với (P)

d nhận
)1;1;1(n

làm véctơ chỉ ph-
ơng

phơng trình đờng thẳng d:





=
+=
+=
tz
t1y
t2x
M là hình chiếu của I trên (P)
)P(dM =
)t;t1;t2(MdM ++
M
)P(
)1;0;3(M1t3t304t)t1()t2( ===++++
Vậy M(3; 0; 1) trên (P) thì
MBMAu +=

có độ dài ngắn nhất.
2) Gọi K là điểm xác định bởi:

)4;5;0(KOB
2
1

OA
2
3
OK0KBKA3 ==

Khi đó:
NBNA3v =

. Vậy
v

ngắn nhất khi NK ngắn nhất
Mà N thuộc (P), K cố định nên NK ngắn nhất khi N là hình chiếu của K trên (P).
Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến
)1;1;1(n

.


Bùi Thị Lợi 22 Trờng THPT Yên
Khánh A
Sáng kiến kinh nghiệm
Đờng thẳng d
1
đi qua K, d
1
vuông góc với (P)

d
1

nhận
)1;1;1(n

làm véctơ chỉ
phơng

phơng trình đờng thẳng d
1
:





+=
+=
=
t4z
t5y
tx
N là hình chiếu của K trên (P)
)P(dN
1
=
)t4;t5;t(MdN
1
++
N
)P(

===++++
3
1
;
3
2
;
3
13
N
3
13
t13t304)t4()t5(t
Vậy N







3
1
;
3

2
;
3
13
trên (P) thì
NBNAv +=

có độ dài ngắn nhất.
Bài tập 2:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1;-3;-2), B(1;3;5),
C(5;-1;2) và mặt phẳng (P): x - y - 2z + 1 = 0.
1) Tìm toạ độ điểm M trên (P) sao cho
MC3MB2MAu ++=

có độ dài ngắn
nhất.
2) Tìm toạ độ điểm N trên (P) sao cho
NC2NBNA2v +=

có độ dài ngắn
nhất.
Bài tập 3:
Cho bốn điểm A(2; -1; 1), B(-2; 1; 2); C(1; 2; -1), D(3; 2; -2) và mặt phẳng (P):
x + y - z + 2 = 0
1) Tìm toạ độ điểm M trên (P) sao cho
MDMCMBMAu +++=

có độ dài
ngắn nhất.
2) Tìm toạ độ điểm N trên (P) sao cho

NDNC3NB2NA3v +=

có độ dài
ngắn nhất.
Bài toán 5:
Cho hai điểm A, B và mặt phẳng (P).
a) Tìm toạ độ điểm M trên (P) sao cho (MA + MB) nhỏ nhất.
b) Tìm toạ độ điểm N trên (P) sao cho
NBNA
lớn nhất.
Hớng dẫn học sinh tìm phơng pháp giải bài toán 5:
Bài toán 5a):
Với điểm M trên (P), hãy so sánh MA + MB với AB,
MA + MB AB
Dấu bằng xảy ra khi nào?


Bùi Thị Lợi 23 Trờng THPT Yên
Khánh A
?
?
Sáng kiến kinh nghiệm
M, A, B thẳng hàng và M nằm giữa A và B, suy ra A, B nằm về hai phía
của(P).
Trong trờng hợp, dấu bằng không xảy ra (tức là A, B nằm về cùng một phía
của (P)), để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (MA + MB) ta phải thay thế
MA(hoặc MB ) bởi MC sao cho: MA + MB = MB + MC (hoặc bằng MA + MC)
và hai điểm B, C (hoặc A, C ) phải nằm về hai phía của (P). Vậy điểm C xác định
nh thế nào?
C là điểm đối xứng của A (hoặc B) qua (P).

Hãy nêu phơng pháp giải bài toán 5a)?
Bớc 1: Xét vị trí tơng đối của A, B đối với (P)
* Nếu A, B nằm về hai phía của (P) :
Bớc 2: M

(P): MA + MB AB. Dấu bằng xảy ra khi M

AB


M là giao điểm của AB với mặt phẳng (P).
Bớc 3: Lập phơng trình đờng thẳng AB. Tìm toạ độ điểm M và kết luận.
* Nếu A, B cùng phía với (P)
Bớc 2: Tìm toạ dộ điểm C đối xứng với A qua (P).(Bài toán 1b)
Bớc 3: M

(P): MA + MB = MB + MC BC. Dấu bằng xảy ra khi M

BC


M là giao điểm của BC với mặt phẳng (P).
Bớc 4 : Lập phơng trình đờng thẳng BC. Tìm toạ độ điểm M và kết luận.
(Chú ý: Ta có thể thay việc tìm điểm đối xứng của A qua (P) thành tìm điểm đối
xứng của B qua (P)).
Bài toán 5b)
Bằng suy luận tơng tự, với lu ý:
NBNA
AB. Dấu bằng xảy ra khi N thuộc
AB và N nằm ngoài đoạn AB. Học sinh có thể tìm ra phơng pháp giải bài toán:

Bớc 1: Xét vị trí tơng đối của A, B đối với (P)
* Nếu A, B nằm cùng phía của (P) :
Bớc 2: N

(P):
NBNA
AB. Dấu bằng xảy ra khi N

AB


N là giao điểm của AB với mặt phẳng (P).
Bớc 3: Lập phơng trình đờng thẳng AB. Tìm toạ độ điểm N và kết luận.
* Nếu A, B nằm về hai phía đối với (P)
Bớc 2: Tìm toạ độ điểm C đối xứng với A qua (P). (Bài toán 1b)
Bớc 3: M

(P):
NBNA
=
NCNB
BC. Dấu bằng xảy ra khi N

BC

N là giao điểm của BC với mặt phẳng (P).
Bớc 4 : Lập phơng trình đờng thẳng BC. Tìm toạ độ điểm N và kết luận.
(Chú ý: Ta có thể thay việc tìm điểm đối xứng của A qua (P) thành tìm điểm đối
xứng của B qua (P)).
Bài tập vận dụng:

Bài tập 1:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(-1; -3; -2), B(-5; 7; 12) và mặt
phẳng (P): x - y + z + 3 = 0.


Bùi Thị Lợi 24 Trờng THPT Yên
Khánh A
?
?
Sáng kiến kinh nghiệm
Tìm toạ độ điểm M trên (P) sao cho (MA + MB) nhỏ nhất.
Bài tập 2:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(3; 1; 0), B(-9; 4; 9), mặt phẳng (P):
2x - y + z + 1 = 0
1) Tìm toạ độ điểm A' đối xứng với A qua (P).
2) Tìm toạ độ điểm N trên (P) sao cho
NBNA
lớn nhất.
3) Tìm toạ độ điểm M trên (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Bài tập 3:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1; 1; 2), B(2; 1; 3), mặt phẳng (P):
2x + y - 3z - 5 = 0.
Tìm toạ độ điểm N trên (P) sao cho
NBNA
lớn nhất.
Bài toán 6:
a) Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) tiếp xúc với nhau tại M. Tìm toạ độ M.
b) Cho mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đờng tròn. Tìm toạ độ tâm và tính
bán kính đờng tròn giao tuyến.
c) Xác đinh tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi biết toạ độ ba đỉnh.

Hớng dẫn tìm phơng pháp giải
Bài toán 6a):
Nêu điều kiện để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) (tâm I bán kính R)
tại M.
(P) đi qua M và (P) vuông góc với IM hay d(I; (P)) = R.
Vậy điểm M xác định nh thế nào.
M là hình chiếu của I trên (P).
Bài toán 6b):
Nêu điều kiện để mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đờng tròn. Cách xác định
tâm và bán kính của đờng tròn giao tuyến đó.
d(I; (P)) R
Tâm H của đờng tròn là hình chiếu của I trên (P). Bán kính đờng tròn là
))P(;I(dRr
22
=
.
Bài toán 6c)
Nêu cách xác định toạ độ tâm I của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi
biết toạ độ ba đỉnh.
I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC



==


ICIBIA
)ABC(I
Từ đó lập đợc hệ ba phơng trình với ba ẩn là hoành độ, tung độ, cao độ của điểm
I, suy ra toạ độ điểm I.

Bùi Thị Lợi 25 Trờng THPT Yên
Khánh A
?
?
?
?