Báo cáo " ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN XÁC ĐỊNH SỰ PHÂN BỐ NHIỆT ĐỘ TRÊN TIẾT DIỆN THÉP " potx

KếT QUả NGHIÊN CứU Và ứNG DụNG

Số 12/5-2012
Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng
54

NG DNG PHNG PHP PHN T HU HN
XC NH S PHN B NHIT TRấN TIT DIN THẫP

Phm Th Ngc Thu
1


Túm tt: Vit Nam, quy trỡnh thit k chng chỏy cho cụng trỡnh xõy dng bng
thộp ang c quan tõm mnh m. Trong bi bỏo ny, tỏc gi gii thiu bi toỏn
xỏc nh s phõn b nhit trờn tit din cu kin thộp chu lc trong khụng gian
chỏy ỏp dng phng phỏp phn t hu hn, õy l mt trong nhng bi toỏn ch
o ca quy trỡnh thit k k trờn. T kt qu thu c c
a bi toỏn, ta cú th kim
soỏt tc lan truyn nhit, tớnh toỏn kh nng chu lc cũn li ca cu kin ti
mt thi im nht nh trong quỏ trỡnh chỏy, cú ý ngha rt ln n hiu qu ca
cỏc cụng tỏc phũng chỏy cha chỏy.
T khúa: kt cu thộp, phn t hu hn, nhit
Summary: In Vietnam, the procedure for fire - resistant steel structural design is
strongly interested. In this paper, the author introduces the problem to determine
the temperature distribution on the steel cross-section in fire applying the finite
element method which is one of the main problems of the procedure described
above. From the results of the problem, we can control the speed of spread heat,
calculate bearing capacity of structures remaining at a given time during burning,
which is of great significance to the efficiency of the fire.
Keywords: steel structural, finite element method, temperature

Nhn bi ngy 15/12/2011, chnh sa ngy 20/3/2012, chp nhn ng ngy 30/5/2012

1. t vn
Hin nay Vit Nam, quy trỡnh thit k chng chỏy cho cỏc cụng trỡnh xõy dng, c bit
l cỏc cụng trỡnh thộp ang dn hon thin, t thit k gii phỏp kin trỳc, gii phỏp k thut
phũng chỏy cha chỏy cho n thit k h kt cu nhm mc ớch duy trỡ trng thỏi chu lc
trong thi gian chỏy. t c mc ớch ny, cn thit phi thc hin mụ ph
ng ỏm chỏy,
xỏc nh nhit trờn b mt cu kin, tỡm quy lut lan truyn nhit bờn trong v tớnh toỏn kh
nng chu lc ca kt cu ti thi im nht nh trong ỏm chỏy.
Trờn th gii ó cú nhiu mụ hỡnh chỏy c s dng t hiu qu cao nh TASEF
(Thy in), CFAST, ANSYS (M) [4],[5], Kt qu ca cỏc mụ hỡnh ny s tr thnh iu kin
u vo lý tng cho bi toỏn xỏc nh quy lut lan truyn nhit bờn trong kt cu khi ỏp dng
phng phỏp phn t hu hn - l phng phỏp ph bin khi tớnh toỏn kt cu. iu kin ny
cú th di dng nhit thc t, mt nhit hay quy lut trao i nhit gia cu kin ang
xột vi mụi trng [2]. chớnh xỏc ca bi toỏn ph thuc vo mn ca li chia v gi

thit v quy lut lan truyn l tuyn tớnh hay khụng tuyn tớnh trong khụng gian.
Bi bỏo thc hin tớnh toỏn s phõn b nhit khi gi thuyt quy lut lan truyn l tuyn
tớnh. Vi s liu u vo l nhit trờn b mt cu kin v h s truyn nhit ca vt liu, ta
cú th xỏc nh c nhit ti mt im bt k bờn trong kt cu.

1
ThS, Khoa Xõy dng Dõn dng v Cụng nghip, Trng i hc Xõy dng.
E-mail:
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG

T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
Sè 12/5-2012

55
2. Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn vào bài toán xác định phân bố nhiệt lượng
trên tiết diện thép
2.1 Phương trình vi phân dẫn nhiệt hai chiều [2]
Khảo sát một phân tố chịu nhiệt độ T có hệ số dẫn nhiệt k như hình 1, có độ dày t theo
phương z là hằng số, lượng nhiệt phát sinh trong phân tố là Q(W/m
3
).
Vì lượng nhiệt truyền vào vi phân thể tích cộng với lượng nhiệt phát sinh phải bằng
lượng nhiệt truyền ra, nên ta có:

Q
q
y

dx
q
q
x
x
x
∂
∂
+
dy
q
q
y
y

y
∂
∂
+
q
x

d
x
d
y

Hình 1. Mô hình phân tố khảo sát
dxtdy
y
q
qdytdx
x
q
qQdxdytdxtqdytq
y
y
x
xyx
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

⎝
⎛
∂
∂
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+=++
(1)
0Q
y
q
x
q
y
x
=−
∂
∂
+
∂
∂

→
trong đó:
x
T
kq
x
∂
∂
−=
;
y
T
kq
y
∂
∂
−=
(2)
là nhiệt lượng truyền vào phân tố theo hai phương x, y
0Q
y
T
k
yx
T
k
x
=+
⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
→
(3)
Đây là phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả quá trình dẫn nhiệt 2 chiều. Trong
trường hợp này, phương trình được giải quyết với điều kiện đầu vào là nhiệt độ T = T
o
trên biên
xác định.
2.2 Giải bài toán sử dụng phần tử tứ giác
Khảo sát một phần tử tứ giác tổng quát như hình 2. Phần tử có 4 nút (1,2,3,4) lần lượt

được đánh số ngược chiều kim đồng hồ.

Hình 2. Mô hình phần tử tứ giác
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG

Sè 12/5-2012
T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
56
Véctơ nhiệt độ tại nút của phần tử ký hiệu là T
e
= [T
1
T
2
T
3
T
4
]’ (4)
Thực hiện phép qui chiếu phần tử tứ giác về dạng hình vuông xác định trong hệ tọa độ
địa phương (
ξ
,
η
).
2.2.1. Xây dựng hàm dạng
Xây dựng hàm dạng Lagrange N
i
có quy tắc: N
i

bằng đơn vị tại nút i và bằng 0 tại các nút
còn lại [1]. Cụ thể N
1
= 1 tại nút 1; N
1
= 0 tại các nút 2, 3, 4
→ N
1
= (1-
ξ
)(1-
η
)/4 (5a)
Tương tự ta có:
N
2
= (1+
ξ
)(1-
η
)/4 (5b)
N
3
= (1+
ξ
)(1+
η
)/4 (5c)
N
4

= (1-
ξ
)(1+
η
)/4 (5d)
Khi đó, thông qua hàm dạng ta có thể biểu thị nhiệt độ T tại một điểm bất kỳ (
ξ
,
η
) của
phần tử hữu hạn theo nhiệt độ tại các nút:
T = N
1
T
1
+ N
2
T
2
+ N
3
T
3
+ N
4
T
4
(6)
Nhờ cách mô tả đẳng tham số, ta cũng có thể biểu thị tọa độ của một điểm bất kỳ M(x,y)
trong phần tử theo tọa độ các nút:

x = N
1
x
1
+ N
2
x
2
+ N
3
x
3
+ N
4
x
4
(7a)
y = N
1
y
1
+ N
2
y
2
+ N
3
y
3
+ N

4
y
4
(7b)
Xét hàm nhiệt độ T(x, y) = T[x(
ξ
,
η
), y (
ξ
,
η
)]. Thực hiện lấy đạo hàm toàn phần hàm T,
viết dưới dạng ma trận:

⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
=
⎥
⎥
⎥
⎥

⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
η
ξ
η
ξ
x
x
T
T

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢

⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
∂
∂
∂
∂
y
T
x
T
y
y
η
ξ
(8)
Đặt J =
⎢
⎢
⎢

⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
η
ξ
x
x

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
∂
∂
∂
∂
η
ξ
y
y
là ma trận Jacôbi, kết hợp các phương trình (5) và (7) ta có :
→
⎢
⎣

⎡
−++−−
−++−−
=
)xx)(1()xx)(1(
)xx)(1()xx)(1(
4
1
J
2314
4312
ξξ
ηη
=
⎥
⎦
⎤
−++−−
−++−−
)yy)(1()yy)(1(
)yy)(1()yy)(1(
2314
4312
ξξ
ηη


⎢
⎣
⎡

=
21
11
J
J

⎥
⎦
⎤
22
12
J
J
(9)
Từ (8) và (9) →
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂

∂
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
y
T
x
T
J
T
T
η
ξ
→
⎢
⎣

⎡
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢

⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
−
21
22
1
J
J
Jdet
1
T
T
J
y
T
x
T
η
ξ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
⎥
⎦
⎤
−
η
ξ
T
T
J
J
11
12
(10)
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG

T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
Sè 12/5-2012

57
Từ các phương trình (5) và (6), ta viết lại phương trình (10) dưới dạng:

⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
21
22
J
J
Jdet
1
y
T
x

T

⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
⎥
⎦
⎤
−
4
1
4
1
J
J
11
12
ξ
η

4
1
4

1
ξ
η
+
−
−

4
1
4
1
ξ
η
+
+

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
−
+
−
4
3
2
1
T
T
T
T
4
1
4
1
ξ
η
(11)
Đặt B =
⎢
⎣
⎡
−
21

22
J
J
Jdet
1

⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
⎥
⎦
⎤
−
4
1
4
1
J
J
11
12
ξ
η

4
1
4
1
ξ
η
+
−
−

4
1
4
1
ξ
η
+
+

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
−
+
−
4

1
4
1
ξ
η
→
e
T.B
y
T
x
T
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
(12)

Ta sẽ sử dụng các biểu thức trên để xây dựng ma trận dẫn nhiệt của phần tử.
2.2.2 Xây dựng ma trận truyền nhiệt của phần tử
Quay lại phương trình (3), thực chất của việc giải phương trình này kết hợp với các điều
kiện đầu vào tương ứng dựa trên nguyên lý cực tiểu thế năng là cực tiểu hàm :

∫∫
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜

⎝
⎛
∂
∂
=
VV
2
2
QTdVdV
y
T
k
x
T
k
2
1
Π
(13)
Vì dV = tdA với t là độ dày phần tử, t = const

2
1
AA
2
2
QTtdAtdA
y
T
k

x
T
k
2
1
ΠΠΠ
+=−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜

⎝
⎛
∂
∂
=→
∫∫
(14)
Xét
tdA
y
T
k
x
T
k
2
1
A
2
2
1
∫
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
Π
(15)
Từ (12) →
⎢
⎣
⎡
∂
∂
=
⎟

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
x
T
y
T
x
T
2
2

ee
BT'B'T
y

T
x
T
y
T
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
⎥
⎦
⎤
∂
∂
(16)
Thay vào (15)
∫∫∫

==→
x
ee
y
ee
A
1
tdxdyBT'B'Tk
2
1
tdABT'B'Tk
2
1
Π
(17)
Dựa vào phép qui chiếu phần tử tứ giác, ta có : dxdy = detJd
ξ
d
η
(18)

eeee
1
1
1
1
e
1
1
1

1
ee1
Tk'T
2
1
TdJddetBt'kB'T
2
1
dJddettBT'B'kT
2
1
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==→
∫∫∫∫
−−−−
ηξηξΠ
(19)
trong đó
ηξ
dJddetB'Bktk
1
1

1
1
e
∫∫
−−
= là ma trận dẫn nhiệt của phần tử. Ta nhận thấy B’, B, detJ
đều là các hàm số của
ξ
và
η
nên cần phải tính k
e
bằng tích phân số.
Áp dụng bài toán số hóa tích phân 2 biến số theo phép cấu phương Gauss 2 điểm:
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG

Sè 12/5-2012
T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
58
===
∑∑
∫
∑
∫∫
−−−
),(wwd),(wdd),(
ji
2
1
j

2
1
ii
1
1
2
1
i
1
1
1
1
ηξφηηξφηξηξφ


),(ww),(ww),(ww),(ww
2222121221211111
η
ξ
φ
η
ξ
φ
η
ξ
φ
η
ξ
φ
+

+
+= (20)
Cho sai số
Δ
= 0 với độ chính xác của đa thức bậc 3 →
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==
−==
==
3/1
3/1
1ww
22
11
21
ηξ
ηξ
(21)
Quay trở lại công thức tính
k
e
, khi xem
φ
(
ξ
,

η
) = B’BdetJ, ta có thể viết:

+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=
3
1
,

3
1
JdetB'B
3
1
,
3
1
JdetB'Bktk
e


⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
−+
3
1
,
3
1
JdetB'B
3
1
,
3
1
JdetB'B
(22)
Ma trận dẫn nhiệt của cả hệ
∑
=
e
e
kK (23)
Xét
∫
−=−=
A
2
RTQTtdA

Π
, thực chất là véctơ nhiệt lượng thu được trong quá trình dẫn
nhiệt, véctơ này có thể đã biết (dưới dạng nhiệt lượng tập trung, nhiệt lượng phân bố), có thể là
ẩn số phụ thuộc vào điều kiện đầu vào, ta sẽ xét đến
Π
2
trong từng bài toán cụ thể.
Cuối cùng, ta viết lại phương trình (14) dưới dạng:
eee
RTKT'T
2
1
−=
Π
(24)
Như vậy, ta có thể xây dựng trình tự bài toán áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để
xác định phân bố nhiệt độ trên tiết diện thép theo các bước sau:
- Bước 1: Thực hiện chia lưới phần tử, đánh số thứ tự nút trên từng phần tử
- Bước 2: Lập hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các nút trong từng phần tử
- Bước 3: Tính ma trận dẫn nhiệ
t của từng phần tử k
e
:
+ Tính ma trận Jacôbi của phần tử theo công thức (11)
+ Tính các ma trận
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎜
⎝
⎛
3
1
,
3
1
B
;
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
3
1
,
3
1
B
;
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
−
3
1
,
3
1
B
;
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
3
1
,
3
1
B
của phần
tử.
+ Tính ma trận dẫn nhiệt

k
e

- Bước 4: Tính ma trận dẫn nhiệt của cả hệ
K
- Bước 5: Giải phương trình
KT
e
= R, từ đó xác định véctơ nhiệt độ tại nút T
e
trong cả hệ.
3. Ví dụ tính toán
Cho tiết diện chữ
I có kích thước và chịu tác động nhiệt độ như hình 3. Mặt trên có nhiệt
độ 20
o
C, mặt dưới có nhiệt độ 180
o
C, hai mặt trái và phải được giữ cách nhiệt. Xác định sự
phân bố nhiệt độ trên tiết diện biết hệ số dẫn nhiệt của thép k = 45 W/m
o
C.
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG

T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
Sè 12/5-2012

59

Hình 3.
Tiết diện chữ I dẫn nhiệt Hình 4. Cách chia lưới phần tử trên tiết diện chữ I
- Thực hiện chia lưới phần tử, đánh số thứ tự nút như hình 4.
Mỗi phần tử sẽ gồm 4 nút được đánh số theo bảng dưới đây:
Phần tử Thứ tự nút (theo ngược chiều kim đồng hồ)
1 1 2 3 4
2 2 5 6 3
3 5 7 8 6
4 11 9 13 12
5 9 10 14 13
6 10 16 15 14
7 3 6 17 18
8 17 18 20 19
9 19 20 10 9
Nhận xét: Các phần tử (1, 3, 4, 6) có tính chất hình học giống nhau nên sẽ có ma trận
dẫn nhiệt giống nhau, vì vậy ta chỉ cần tiến hành tính ma trận dẫn nhiệt cho một phân tử rồi áp
dụng kết quả cho các phần tử còn lại. Thực hiện tương tự với các bộ phần tử giống nhau (2, 5);
(7,8,9).
- Tính ma trận dẫn nhiệt
k của phần tử i = 1 - 9 xem độ dày t = 1:

⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−

====
89,181
87,91
02,90
74,183
kkkk
6431
87,91
89,181
74,183
02,90
−
−

02,90
74,183
89,181
87,91
−
−

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
−
−
74,183

02,90
87,91
89,181

KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG

Sè 12/5-2012
T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
60

⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
==
25.1
25,16
50,17
50,32
kk
52

25,16
25,1
50,32
50,17

−
−

50,17
50,32
25,1
25,16
−
−

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
−
−
50,32
50,17
25,16
25,1


⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

−
−
===
37,179
31,180
69,359
63,360
kkk
987

31,180
37,179
63,360
69,359
−
−

69,359
63,360
37,179
31,180
−
−

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤

−
−
63,360
69,359
31,180
37,179

- Tính ma trận dẫn nhiệt của cả hệ
K
Hệ có 20 nút nên ma trận dẫn nhiệt của cả hệ
K có dạng K[20x20] là kết quả của bài toán
ghép nối các ma trận dẫn nhiệt phần tử k
i
:
∑
=
i
i
kK theo quy tắc thông thường của phương
pháp phần tử hữu hạn
- Giải phương trình
KT
e
= R
Ma trận
T
e
và R có dạng:
T
e

= [T
1
T
2
T
3
T
4
T
5
T
6
T
7
T
8
T
9
T
10
T
11
T
12
T
13
T
14
T
15

T
16
T
17
T
18
T
19
T
20
]’
R = [R
1
R
2
R
3
R
4
R
5
R
6
R
7
R
8
R
9
R

10
R
11
R
12
R
13
R
14
R
15
R
16
R
17
R
18
R
19
R
20
]’
Các điều kiện biên tương ứng:
+ T
1
= T
2
= T
5
= T

7
= 180
o
C
+ T
12
= T
13
= T
14
= T
15
= 20
o
C
+ R
3
= R
4
= R
6
= R
8
= R
9
= R
10
= R
11
= R

16
= R
17
= R
18
= R
19
= R
20
= 0
Giải phương trình KT
e
= R ta thu được kết quả như sau:

T
3
= T
6
= 179,68
o
C; T
4
= T
8
= 179,92
o
C; T
9
= T
10

= 20,32
o
C
T
11
= T
16
= 20,08
o
C; T
17
= T
18
= 126,56
o
C; T
19
= T
20
= 73,44
o
C

Hình 5. Sự phân bố nhiệt độ tại các nút trên mặt cắt A-A
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG

T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
Sè 12/5-2012

61

4. Kết luận
Kết quả ví dụ cho thấy sự phân bố nhiệt độ tuyến tính trong hệ trục Decac theo đúng giả
thuyết ban đầu. Nếu thực hiện phân tích cho hệ kết cấu có số lượng phần tử lớn, cần thiết sử
dụng các chương trình phần mềm tính toán như ANSYS, MATHLAB [2], AQUABUS,
Dựa trên quy luật phân bố nhiệt độ thu được, có thể xác định sự biến thiên các đặc trưng
cơ học của vật liệu thép như mô đun đàn hồi, giới hạn chảy, giới hạn bền,…trên tiết diện và
theo chiều dài cấu kiện, từ đó tính toán mức độ duy trì khả năng chịu lực của hệ kết cấu tại một
thời điểm trong quá trình cháy. Đây là bài toán trung gian để chuyển đổi ảnh hưởng của một mô
hình đám cháy thành các tác động tác dụng lên kế
t cấu chịu lực, nó có ý nghĩa rất lớn nếu
được ứng dụng để liên kết giữa giải pháp kỹ thuật phòng cháy chữa cháy và giải pháp kết cấu.

Tài liệu tham khảo
1. Võ Như Cầu (2005),
Tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất bản Xây
dựng.
2. Trần Ích Thịnh, Ngô Như Khoa (2007),
Phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất bản Khoa
học và Kỹ thuật.
3. Phạm Thị Ngọc Thu (2006),
Nghiên cứu trạng thái làm việc của cấu kiện thép liên hợp thép -
bê tông trong điều kiện chịu nhiệt độ cao
, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật, trường Đại học Xây dựng.
4. Dat Duthinh, Kevin McGrattan, Abed Khaskia, (2008),
Recent advances in fire-structure
analysis
, Fire safety journal 43, 161-167.
5. Joakim Sandstrom (2008),
Temperature calculations in fire exposed structures with the use
of adiabatic surface temperatures

, Lulea tekniska universitet.
6. Richard D.Peacock, Walter W.Jones, Paul A.Reneke, Glenn P.Forney (2005),
CFAST-
Consolidated model of fire growth and smoke transport (Version 6)
, NIST special publication
1041.