Ung dung pp toa do vao giai toan so cap potx

Mở đầu
I.Lý do chọn đề tài
Bằng thực tiễn toán học, lý luận đã khẳng định kiến thức vectơ, toạ độ là cần
thiết và không thể thiếu đợc trong chơng trình toán THPT.
Phơng pháp toạ độ là phơng pháp toán cơ bản ở lớp 10, xong việc ứng dụng của
nó thì học sinh cha nhận thấy hết đợc. Đến lớp 12 thì phơng pháp toạ độ là một
công cụ khá hữu hiệu để giải các bài toán hình học. Để giúp các em thấy đợc tầm
quan trọng của phơng pháp toạ độ (PPTĐ) phơng pháp chuyển từ việc nghiên
cứu hình học Ơclit bằng phơng pháp sơ cấp (phơng pháp tổng hợp) sang việc
nghiên cứu nó bằng công cụ mới đại số và giải tích, tôi chọn đề tài này nhằm h-
ớng dẫn học sinh lớp 10 giải các bài toán hình học phẳng bằng PPTĐ để các em
không bị bỡ ngỡ khi giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp này
trong chơng trình lớp 12.
Trong thực tế, một số bài toán hình học phẳng ở lớp 10 sẽ đợc giải quyết nhanh
gọn, dễ hiểu hơn nếu ta sử dụng PPTĐ để giải so với các phơng pháp sơ cấp khác.
II.Mục đích nghiên cứu
Với những lý do nh ở trên tôi đã chọn dề tài này nhằm mục đích sau:
- Làm sáng tỏ cơ sở khoa học của PPTĐ.
- Đề xuất phơng án xây dựng quy trình giải bài toán hình học phẳng bằng
PPTĐ.
III.Đối tợng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tợng : Hớng dẫn học sinh lớp 10 giải toán hình học phẳng bằng PPTĐ.
- Phạm vi : Hình học lớp 10.
IV.Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nhắc lại các kết quả về PPTĐ.
- Xây dựng quy trình giải toán hình học phẳng bằng PPTĐ.
- Thực hành.
V.Phơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận.
- Tổng kết kinh nghiệm.
- Thực nghiệm.

2
Nội dung
Chơng 1 : Kiến thức toạ độ
1.Toạ độ của vectơ và của diểm trên trục
- Cho
u
nằm trên trục (O,
i
) a R sao cho:
ia. u =
. Số a nh thế đợc gọi là
toạ độ của vectơ
u
đối với trục (O,
i
).
O I
x
i
x
- Cho điểm M trên trục (O,
i
)
im. OM =
số m nh thế đợc gọi là toạ độ của
điểm M trên trục (O,
i
).
M
u

x O x
2.Hệ trục toạ độ y
- Trong mặt phẳng gồm 2 trục ox và oy
vuông góc với nhau.
i
r
Vectơ đơn vị trên trục ox, oy lần lợt là O
j
x
i
r
,
j
.
Điểm O gọi là gốc trục toạ độ; ox, oy lần
lợt là trục hoành, trục tung
Hệ trục toạ độ vuông góc nh trên còn đợc gọi là hệ trục toạ độ kí hiệu là Oxy
hay (O;
i
,
j
).
3.Toạ độ của vectơ, của một điểm đối với hệ trục toạ độ
- Đối với hệ trục toạ độ (O;
i
,
j
) nếu
jy. i x. a +=
thì cặp số (x ;y) đợc gọi là toạ

độ của vectơ
a
, ký hiệu là
y) (x, a =
hay
y) (x, a
; x là hoành độ, y là tung độ của
vectơ
a
.
- Trong mặt phẳng toạ độ Oxy toạ độ của vectơ
OM
uuuur
đợc gọi là toạ độ của điểm
M.
3
4.Các phép toán
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 2 vectơ :
, ,
( ; ) , ( ; );u x y v x y
r r

, ,
, ,
( ; );
( ; );
( ; );
u v x x y y
u v x x y y
ku kx ky k R

+ = + +
=
=
ur r
ur r
ur
5.Phơng trình của đờng thẳng
- Mọi đờng thẳng trong mặt phẳng toạ độ đều có dạng ax + by = 0 ,
2 2
a b o+
.
- Đờng thẳng d đi qua 2 điểm A( x
1

;y
1
) và B ( x
2
; y
2
) thì phơng trình của đờng
thẳng d là : - ( y
2
y
1
) ( x x
1
) + ( x
2
x

1
) ( y y
1
) = 0.
- Cho đờng thẳng d cắt ox tại điểm A( a ; 0 ) và cắt oy tại điểm B ( 0 ; b) thì ph-
ơng trình theo đoạn chắn là :
1
x y
a b
+ =
,
.a b o
.
6.Các bài toán cơ bản
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 2 vectơ :
, ,
( ; ) , ( ; );u x y v x y
r r
và 2 đờng thẳng
d
và
,
d
lần lợt có phơng trình tổng quát sau :
, , , ,
: 0
: 0
d ax by c
d a x b y c
+ + =

+ + =
a) Bài toán vuông góc

, ,
. 0 . . 0.u v u v x x y y = + =
r r r r
b) Bài toán cùng phơng
Vectơ
u
r
và
v
r
vectơ cùng phơng
, ,
. . 0.x y x y =
Chứng minh :
Vectơ
u
r
và
v
r
vectơ cùng phơng
, ,
,
,
: . ( ; ) ( ; )
(1)
k R u k v x y k x y

x kx
y ky
= =

=



=


r r
4
Nếu k = 0 từ (1)
0
0
x
y
=



=

do đó (1)
, ,
0.xy x y =
Nếu:
, , , ,
, ,

0 (1)
0.
k kxy x ky xy x y
xy x y
= =
=
c) Toạ độ giao điểm của 2 đờng thẳng
Toạ độ giao điểm của
d
và
,
d
là nghiệm của hệ phơng trình :

, , ,
0
0
ax by c
a x b y c
+ + =


+ + =

e) Góc giữa
d
và
,
d
đợc tính bằng công thức sau :

, ,
,
2 2 ,2 ,2
. .
( , )
.
a a b b
cos d d
a b a b

+
=
+ +
f) Khoảng cách từ điểm M
0
( x
0
; y
0
) đến đờng thẳng d
d ( M
0
, d ) =
0 0
2 2
ax by c
a b
+ +
+

7.Phơng trình đờng tròn
Đờng tròn tâm I ( a ;b ) bán kính R có phơng trình là :
( x-a )
2
+ ( y- b )
2
= R
2
Đặc biệt tâm I là gốc toạ độ và bán kính R thì phơng trình là
x
2
+ y
2
= R
2
5
Chơng 2 : Xây dựng quy trình giải bài toán hình học bằng phơng
pháp toạ độ
1.Diễn đạt sự kiện hình học bằng ngôn ngữ vectơ
a) Điểm M trùng với điểm N
OM ON =
uuuur uuur
( với O là điểm bất kỳ ).
b) I là trung điểm của đoạn thẳng AB
IA IB 0 + =
uur uur r
hay I là trung điểm của đoạn thẳng AB
1
( )
2

OI OA OB = +
uur uuur uuur
( với O là điểm bất kỳ ).
c) G là trọng tâm
0ABC GA GB GC + + =
uuur uuur uuur r
V
hay G là trọng tâm
1
( )
3
ABC OG OA OB OC = + +
uuur uuur uuur uuur
V
( với O là điểm bất kỳ ).
d) Đờng thẳng a song song với đờng thẳng b
( )AB kC D k R =
uuur uuur
( với vectơ
AB
uuur
có giá là a,
CD
uuur
vectơ có giá là b )
e) Ba điểm A, B, C thẳng hàng
( )AB k BC k R =
uuur uuur
f) Đờng thẳng a vuông góc với đờng thẳng b
. 0AB CD =

uuur uuur
( với vectơ
AB
uuur
có giá là a,
CD
uuur
vectơ có giá là b )
g) Tính độ dài đoạn thẳng AB
Sử dụng công thức
2
AB AB AB= =
uuur uuur
2.Diễn đạt ngôn ngữ vectơ bằng ngôn ngữ toạ độ
Trong hệ trục toạ độ Oxy
a)
1 2
1 2
x x
OM ON
y y
=

=

=

uuuur uuur
với M ( x
1

; y
1
) và N ( x
2
; y
2
)
b)
1 2 1 2
IA IB 0 ( ; )
2 2
x x y y
I
+ +
+ =
uur uur r
với A ( x
1
; y
1
) và B ( x
2
; y
2
)
c)
1 2 3 1 2 3
0 ( ; )
3 3
x x x y y y

GA GB GC G
+ + + +
+ + =
uuur uuur uuur r

với A ( x
1
; y
1
) , B ( x
2
; y
2
) và C ( x
3
; y
3
).
d) Vectơ
a
r
và vectơ
b
r
cùng phơng
1 2 2 1
0x y x y =

với
1 1 2 2

( ; ), ( ; ).a x y b x y
r r
6
e)
1 1 2 2
0a b x y x y + =
r r
g)
2
2 2
2 1 2 1
( ) ( )AB AB AB x x y y= = = +
uuur uuur


Chơng 3 : Thực hành phơng pháp hớng dẫn học sinh lớp 10 giải
toán
hình học bằng phơng pháp toạ độ
I. Một số chú ý trong giảng dạy vấn đề PPTĐ
1. Cần hớng dẫn học sinh ôn tập làm cho học sinh nắm vững kiến thức vectơ
đặc biệt là các kiến thức về toạ độ của các phép toán trên các vectơ để làm
cơ sở cho việc nghiên cứu toạ độ .
2. Cần cho học sinh thấy rõ sự tơng ứng 1 1 giữa các tập hợp điểm và tập
hợp số.
-Trên đờng thẳng : mỗi điểm ứng với một số thực xác định.
-Trên mặt phẳng : mỗi điểm ứng với một cặp số thực sắp thứ tự.
Từ đây dần dần làm nổi bật cho học sinh thấy đợc rằng mỗi hình trong mặt
phẳng là một tập hợp điểm sắp thứ tự theo một quy tắc nào đó, do vậy mỗi
hình đó đợc xác định bởi một hệ rằng buộc nhất định tơng ứng nào đó về mối
liên hệ giữa các toạ độ của các điểm trên hình đó, thể hiện học sinh phải có

các kỹ năng cơ bản sau :
+ Khi lấy M thuộc hình H thì các toạ độ của M phải thoả mãn hệ rằng buộc
về các toạ độ điểm của hình H.
+ Ngợc lại nếu có điểm M có toạ độ thoả mãn hệ rằng buộc về các toạ độ
điểm của hình H thì M thuộc hinh H.
II. Hớng dẫn học sinh giải toán bằng PPTĐ
Với những bài toán hình học phẳng có chứa các quan hệ hình học : thẳng
hàng, song song, vuông góc hay có chứa các yếu tố khoảng cách, tính góc,
nếu ta chọn hệ toạ độ thích hợp thì ta có thể chuyển về bài toán đại số với
quan hệ giữa các số và giữa các vectơ, giữa các phép toán. Các bài toán này
rất có khả năng tìm ra đợc lời giải, thậm chí còn rất ngắn gọn.
Việc giải bài tập bằng PPTĐ đòi hỏi học sinh phải đợc luyện tập vận dụng
tổng hợp các kiến thức liên quan.
Học sinh cần nắm đợc quy trình :
- Chọn hệ trục toạ độ thích hợp ( đây là vấn đề mấu chốt của bài toán, nếu
chọn thích hợp thì bài toan sẽ đợc giải quyết nhanh gọn ).
7
- Phiên dịch bài toán đã cho sang ngôn ngữ vectơ
- Chuyển bài toán từ ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ toạ độ.
- Dùng các kiến thức toạ độ để giải toán.
- Phiên dịch kết quả từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học.
III. Một số dạng toán cơ bản
Dạng 1 : Bài toán chứng minh 2 đoạn thẳng vuông góc
Bài 1 : Cho
ABCV
cân tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, G là trọng tâm
ACMV
. Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp
ABCV
. Chứng minh rằng

GI CM
.
Giải :
Hớng dẫn : Do
ABCV
cân tại A nên ta chọn hệ toạ độ có trục oy qua A và
vuông góc BC, ox qua BC.
Từ gt ta đi tìm toạ độ của các điểm I, G, M theo toạ độ của 3 điểm A, B, C
Tính toạ độ của vectơ
,GI CM
uur uuuur
.
Sau đó xét
.GI CM
uur uuuur
.
Lời giải :
- Gọi O là trung điểm cạnh đáy BC
- Dng hệ toạ độ Oxy ( nh hình vẽ
)

- Các điểm A, B, C có toạ độ
A( 0 ;h ) , B ( - a ; 0 ), C ( a ; 0 ).
( ở đây giả sử BC = 2a, Oa = h ).
Do M là trung điểm của AB nên M
( ; )
2 2
a h

M là trọng tâm

AMCV
1 1
( ) (0 )
3 3 2 6
1 1
( ) ( 0 )
3 3 2 2
G A C M
G A C M
a a
x x x x a
h h
y y y y h

= + + = + =





= + + = + + =


Vậy toạ độ của điểm G là G
( ; ).
6 2
a h

8
Gọi I ( 0 ; y

0
)
0
( ; ).
2 2
a h
IM y


uuur
mà
AB
uuur
( 0 ; - h )
Theo giả thiết
. 0IM AB IM AB =
uuur uuur uuur uuur
Hay
0
( ).( ) ( ).( ) 0
2 2
a h
a y h

+ =


2 2
0
2 2

0
0
2 2
2
a h
y h
h a
y
h
+ =

=

Vậy điểm I có toạ độ là I
2 2
(0; )
2
h a
h

2 2
( ; ).
6 2 2
a h h a
IG
h

=
uur
Ta có

3
( ; ) ( ; ).
2 2 2 2
a h a h
CM a

= =
uuuur

2 2 2 2
0.
4 4 4 4
a h h a
IGCM

= + + =
uuruuuur
Vậy
IG CM
uur uuuur
( đpcm ).
Chú ý : Cách giải trên không phụ thuộc vào góc A là nhọn, vuông hay tù. Nếu
giải bằng phơng pháp toán học thuần tuý, thì khi vẽ hình thì phải xét 3 trờng hợp
trên. Đó cũng chính là lợi thế của PPTĐ.
Bài 2 : Cho hình vuông ABCD cạnh a, M, N lần lợt là trung điểm của DC và CB.
Chứng minh rằng
AM DN
.
Giải :
Hớng dẫn :

- Để cho bài toán đợc đơn giản nhất ta chọn hệ trục toạ độ sao cho D trùng với
O, 2 cạnh AD, DC nằm trên 2 truc ox và oy.
- Tìm toạ độ của M, N
- Xét
.AM DN
uuuur uuur
Lời giải :
- Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( nh hình vẽ ).
- Trong hệ toạ độ nay D( 0 ; 0), A( 0 ; a), C ( a ; 0) và B ( a ; a).
Khi đó M
( ;0),
2
a
N (
( ; )
2
a
a
9
( ; ); ( ; ).
2 2
a a
AM a DN a = =
uuuur uuur
Do đó
. ( ) . 0
2 2
a a
AM DN a a= + =
uuuuruuur

hay
AM DN
( đpcm ).
Bài 3 : Trên cung AB của đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD ta lấy điểm
M khác A và B. Gọi P, Q, R, S là hình chiếu của M trên các đoạn thẳng AD, AB,
BC, CD. Chứng minh rằng
PQ RS
và giao điểm của chúng nằm trên 1 trong 2
đờng chéo của hình chữ nhật ABCD .
Giải :
Hớng dẫn :
- Nếu gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD thì O cũng là tâm đờng tròn ngoại tiếp
hình chữ nhật đó.
- Do đó ta chọn gốc trục toạ độ là O, các trục thì song song với các cạnh của
hình chữ nhật.
- Tìm toạ độ của P, Q, R, S theo toạ độ của A, B, C, D.
- Viết phơng trình của PQ, RS , AC, BD.
Lời giải :
- Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD
( tức cũng là tâm của đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ).
- Dựng hệ toạ độ Oxy( nh hình vẽ ),( trục ox, oy lần lợt song song với AD,
AB ).
- Giả sử bán kính đờng tròn là R. Phơng trình đờng tròn : x
2
+ y
2
= R
2

- Trong hệ trục toạ độ này giả sử toạ độ các đỉnh ABCD của hình chữ nhật

là : A (-a;-b), B (-a;b), C (a;b), D (a;-b)
AC
2
= 4R
2
= 4a
2
+ 4b
2
Suy ra a
2
+ b
2
= R
2
.
Giả sử M (x
0
; y
0
) bất kỳ thuộc cung AB nên x
0
2
+ y
0
2
= R
2
10
Ta có toạ độ hình chiếu P, Q, R, S

là:
P (x
0
;-b), Q (-a;y
0
), R (x
0
;b), S (a;y
0
).
Suy ra
0 0 0 0
( ; ), ( ; ).PQ a x y b RS a x y b= + =
uuur uuur
Nên
2 2 2 2
0 0
0PQRS a x y b= + + =
uuuruuur
Vậy
PQ RS
.

Đờng thẳng PQ đi qua P (x
0
;-b) và có vectơ pháp tuyến
0 0
( ; )n y b a x= + +
r
Nên có phơng trình PQ là :

0 0 0
( )( ) ( )( ) 0b y x x a x y b+ + + + =

0 0 0 0
( ) ( ) 0b y x a x y x y ab + + + + =
Tơng tự phơng trình RS là :
0 0 0
( )( ) ( )( ) 0b y x a x a y y =

0 0 0 0
( ) ( ) 0b y x a x y x y ab + + =
Gọi I ( x
I
; y
I
) là giao điểm của PQ và RS thì ta có ( x
I
; y
I
) là nghiệm của hệ
sau :
0 0 0 0
0 0 0 0
( ) ( ) 0 (1)
( ) ( ) 0 (2)
b y x a x y x y ab
b y x a x y x y ab
+ + + + =

+ + =

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta đợc bx + ay = 0
Suy ra bx
I
+ ay
I
= 0 (3)
Do điểm B (-a;b), D (a;-b) nên phơng trình đơng chéo BD có dạng :
( b + b )( x + a ) - ( a + a ) ( y + b ) = 0
Hay ay + bx = 0. Từ đẳng thức (3) chứng tỏ I ( x
I
; y
I
)

BD (đpcm ).
Dạng 2 : Bài toán quỹ tích
Bài 4 : Cho
ABCV
, M là điểm di động trên cạnh BC. Hạ MN, PQ tơng ứng
vuông góc và song song với AB ( N

AB, Q

BC ). Gọi P là hình chiếu của Q
trên AB, I là tâm của hình chữ nhật MNPQ.
Tìm quỹ tích tâm I khi M chạy trên cạnh AB.
Giải :
Hớng dẫn :

- Gọi O là chân đờng cao hạ từ C xuống AB.
- Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho A

ox, oy qua BC
- Tìm toạ độ của N, Q, I theo toạ độ của điểm A, B, C, M
- Tìm mối liên hệ tung độ và hoành độ của điểm I chú y điều kiện của điểm M
Lời giải :
11
- Gọi O là chân đờng cao hạ từ C
xuống AB
- Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( nh hình
vẽ ).
Giả sử toạ độ các đỉnh A, B, C là :
A ( a;0 ), B ( b;0 ), C ( 0; h ) , h > 0
Phơng trình đờng thẳng AB theo
đoạn chắn :

1
x y
a h
+ =

Phơng trình đờng thẳng BC theo đoạn chắn :

1
x y
b h
+ =
. Giả sử MQ có phơng trình y = m
(0 )m h

Toạ độ của điểm Q là nghiệm của hệ phơng trình
( ( ); )
1 ( )
y m y m
a
Q h m m
x y a
h
x h m
a h h
= =




+ = =


Tơng tự ta có :
( ( ); )
b
M h m m
h

. Toạ độ của điểm P là
( ( );0)
a
P h m
h

Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD. Suy ra I là trung diẻm của MP
Khi đó
1 ( )( )
( ) (1)
2 2
1
1
( ) (2)
2 2
2 2
I M P
I I
I M p
a b h m
x x x
x Y
h
a b h
m
y y y
+

= + =


+ =

+

= + =


(*)
Từ (1) suy ra
2
(1 )
I
x
m h
a b
=
+
(2) suy ra m = 2y
I
. Vì
0 m h
nên

2
0
0 (1 )
2
0
0 2
2
I
I
I
I

a b
x
x
h h
a b
c
y
y h







+








(**)
12
Từ (*) và (**) suy ra quỹ tích tâm I của hình chữ nhật MNPQ là đoạn KH, ở đây
K, H lần lợt là trung điểm của OC và AB. (pcm)
Chú ý : Mọi lập luận ở đây không phụ thuộc vào hình dáng của
ABCV

Bài 5 : Cho đờng tròn ( C ) có đờng kính AB không đổi, một điểm M di động
trên ( C ). Gọi H là hình chiếu của M trên AB. Tìm quỹ tích trung điểm I của
MH.
Giải :
Hớng dẫn :
- Để phơng trình của đờng tròn đơn giản ta chọn hệ trục toạ độ có gốc O trùng
với tâm O của đờng tròn
- Trục Ox đi qua AB
- Tìm toạ độ trung điểm I của MH theo toạ độ điểm M
- Tìn mối liên hệ giữa tung độ và hoành độ của điểm I
Lời giải :
- Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( nh hình
vẽ )
- Đặt R =
2
AB
, R là không đổi .
Đờng tròn ( C ) có phơng trình :

2 2 2
x y R+ =
.
Xét điểm M ( x
0
; y
0
)

( C )
2 2 2

0 0
x y R + =
(1)
H là hình chiếu của M trên AB

H
( x
0
; 0 )
I là trung điểm của MH
0
0
0
0
0
0
( ; ).
2
2
2
I
I
I
I
x x
x x
y
I x
y
y y

y
=

=




=
=



Thay vào (1)
2 2 2
4
I I
x y R + =
hay
2 2
2 2
1
(2 )
I I
x y
R R
+ =
Chứng tỏ quỹ tích I là elip (E) :
2 2
2 2

1
(2 )
I I
x y
R R
+ =
độ dài trục lớn là 2R, trục bé
là R.
Dạng 3 : Bài toán đi qua một điểm cố định
Điểm M ( x
0
; y
0
) đợc gọi là điểm cố định của họ đồ thị đã cho nếu mọi đồ
thị của họ đó ứng với mọi giá trị m

A đều đi qua M
13
Trong đó giả sử y = f ( m, x ) , m

A là tham số
Bài 7 : Cho góc vuông Oxy, ABCD là hình chữ nhật có chu vi không đổi, A, C là
2 điểm thay đổi thuộc Ox, Oy. Chứng minh rằng đờng d vuông góc kẻ từ B
vuông góc với đờng chéo AC luôn đi qua 1 điểm cố định.
Giải
Hớng dẫn :
- Bài toán này có dáng dấp của 1 bài toán đại số tìm điểm cố định, vì thế rất
thuận tiện khi ta đại số hoá bằng PPTĐ.
- Để đơn giản ta chọn ngay hệ trục toạ độ là Oxy trùng với góc Oxy.
Lời giải :

- Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( nh hình
vẽ )
- Trong hệ trục toạ độ này giả sử
A (a; 0), B (a; c), C ( 0; c)
Đặt a + c = b = const
( vì chu vi OABC không đổi ).
Phơng trình đờng thẳng AB theo
đoạn
chắn là :
1
x y
a c
+ =

c
y x c
a

= +
Phơng trình đờng thẳng d qua B (a; c) và
vuông góc với AC có dạng :

2
( )
a a a
y c x a y x c
c c c
= = +
(1 )
a a

y x b
c c
= +
do a + c = b
Giả sử d đi qua điểm cố định M ( x
0
; y
0
). Khi đó
0 0
(1 )
a a a
y x b
c c c
= +
0 0
( ) ( ) 0
a a
x b y b
c c
=
0 0
0 0
0
0
x b x b
y b y b
= =

= =

Do b không đổi chứng tỏ d luôn đi qua diểm cố định M ( b; b ). (đpcm )
Dạng 4 : Một số bài toán áp dụng khác
14
Bài 8: Cho
ABCV
vuông tại A, AB = c, AC= b. M nằm trên cạnh BC sao cho
góc BAM bằng

. Chứng minh rằng
cos sin
bc
AM
c b

=
+
.
Giải :
Hớng dẫn :
- Để thuận tiện ta chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho 2 cạnh góc vuông của nằm
trên 2 trục toạ độ
- Giả sử M (x; y)
- Dựa vào điều kiện vectơ
CM
uuuur
và
CB

uuur
vectơ cùng phơng để chứng minh.
Lời giải :
- Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( nh
hình vẽ )
- Trong hệ toạ độ này A (0; 0), B
(b; 0), C (0; c)
Giả sử M (x; y)
cos
sin
x AM
y AM


=



=

Do đó M (
cosAM

;
sinAM

).
Vì M

BC nên vectơ

CM
uuuur
và
CB
uuur

vectơ cùng
phơng mà
CM
uuuur
(
cosAM

sinAM

- c )
và
CB
uuur
( b; - c ) nên
cosAM

.(- c) - (
sinAM

- c). b = 0

c
cosAM

+ b
sinAM

- bc = 0
Hay
cos sin
bc
AM
c b

=
+
(đpcm).
Bài 9 : Cho
ABCV
có trực tâm H. Trên đoạn HB, HC lấy điểm B
1
, C
1
sao cho
góc AB
1
C và góc AC
1
B bằng 1 vuông. Chứng minh rằng AB
1
= AC
1
.
Giải :

Hớng dẫn :
- Do bài toán cho trực tâm H nên ta chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho H nằm
trên Oy, BC nằm trên Ox.
- Giả sử B
1
( x
1
; y
1
)
- Dựa vào điều kiện vuông góc tính AB
1
theo toạ độ điểm A, B, C và B
1
- Tơng tự tính AC
1
Lời giải :
- Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( nh hình
vẽ )
- Trong hệ toạ độ này A (0; h), B (b;
0),
15
C (c; 0) , ( ở đây h, c > 0, b < 0 )
Ta có
AC
uuur
= (c; - h). Theo gt
BH AC
Đờng cao BH qua B (b; 0) và có
vectơ

pháp tuyến
AC
uuur
= (c; - h) nên có phơng trình :
c ( x- b) - h( y 0 ) = 0

cx hy bc = 0 . Gọi B
1
( x
1
; y
1
) do B
1


BH

cx
1
hy
1
bc = 0

cx
1
hy
1
= bc (1)
Ta có

1
AB
uuur
= ( x
1
; y
1
h ),
1
CB
uuur
= ( x
1
c; y
1
)
Vì
1 1 1 1
0AB CB AB CB =
uuur uuur uuuruuur
hay x
1
( x
1
c ) + y
1
( y
1
h ) = 0
2 2

1 1 1 1
0x y cx hy + =
(2)
Mặt khác : AB
1
2
= x
1
2
+ ( y
1
h )
2
= x
1
2
+ y
1
2
- 2hy
1
+ h
2
= ( x
1
2
+ y
1
2
- hy

1
- cx
1
) + ( cx
1
hy
1
) + h
2
(3)
Thay (1),(2) vào (3) ta đợc AB
1
= bc + h
2
Tơng tự ta có : AC
1
= bc + h
2
Từ đó suy ra AB
1
= AC
1
(đpcm).
Kết luận
Trong chơng trình toán PTTH hiện nay, PPTĐ đợc xem là phơng pháp toán
học cơ bản và cân thiết, kết hợp với phơng pháp tổng hợp ta giải quyết đợc các
16
đối tợng trên mặt phẳng và không gian. PPTĐ là công cụ chủ yếu ở chơng trình
hình học lớp 10 và lớp 12 cho nên việc hớng dẫn học sinh lơp 10 giải bài toán
hình học phẳng bằng này là cần thiết. Ngoài việc giúp các em củng cố kiến thức

về toạ độ còn giúp các em thấy rõ đợc ứng dụng to lớn của phơng pháp này trong
bài toán hình học phẳng và là tiền đề để các em học tốt hơn trong chơng trình
hình học lớp 12. Thực tế cho thấy nhiều bài toán hình học phẳng giải bằng PPTĐ
cho lời giải ngắn gọn, dễ hiểu hơn so với các phơng pháp khác.
Vậy khi giải bằng PPTĐ học sinh cần biết cách phiên dịch yêu cầu và đề bài
của bài toán sang ngôn ngữ toạ độ, sau đó dùng kiến thức toạ độ để giải toán,
cuối cùng là chuyển kết quả từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học. Cần h-
ớng dẫn cho học sinh chọn trục toạ độ Đecac thích hợp.
Do trình độ còn hạn chế và thời gian làm bài viết này còn ít nên bài viết này
không tránh khỏi sự sơ xuất mong các thầy cô và các bạn thông cảm.
Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn thầy Bùi Đức Thọ và các thầy cô trong
tổ Toán trờng THPT Dơng Xá đã tận tình hớng dẫn em để hoàn thành bài viết
này và dạy dỗ em trong suốt thời gian thực tập .
17