Nguyên hàm và tích phân ôn thi đại học

TRẦN SĨ TÙNG
›š & ›š






BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12


TẬP 3

















ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC

Năm 2009

Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng
Trang 78





1. Khái niệm nguyên hàm
· Cho hàm số f xác đònh trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:

'()()
Fxfx
=
, "x Ỵ K
· Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
()()
fxdxFxC
=+

ò
, C Ỵ R.
· Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
· '()()
fxdxfxC
=+
ò
·
[
]
()()()()
fxgxdxfxdxgxdx
±=±
òòò

·
()()(0)
kfxdxkfxdxk
=¹
òò

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

4. Phương pháp tính nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số
Nếu ()()
fuduFuC
=+
ò

và
()
uux
=
có đạo hàm liên tục thì:

[
]
[
]
().'()()
fuxuxdxFuxC
=+
ò

b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

udvuvvdu
=-
òò



CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I. NGUYÊN HÀM
· 0
dxC
=

ò

·
dxxC
=+
ò

·
1
,(1)
1
x
xdxC
+
=+¹-
+
ò
a
a
a
a

·
1
ln
dxxC
x
=+
ò

·
xx
edxeC
=+
ò

·
(01)
ln
x
x
a
adxCa
a
=+<¹
ò

· cossin
xdxxC
=+
ò

· sincos
xdxxC
=-+
ò

·
2
1

tan
cos
dxxC
x
=+
ò

·
2
1
cot
sin
dxxC
x
=-+
ò

·
1
cos()sin()(0)
axbdxaxbCa
a
+=++¹
ò

·
1
sin()cos()(0)
axbdxaxbCa
a

+=-++¹
ò

·
1
,(0)
axbaxb
edxeCa
a
++
=+¹
ò

·
11
ln
dxaxbC
axba
=++
+
ò


Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 79
VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.

Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
2
1
()–3fxxx
x
=+
b)
4
2
23
()
x
fx
x
+
= c)
2
1
()
x
fx
x
-
=
d)
22
2
(1)

()
x
fx
x
-
= e)
34
()
fxxxx
=++ f)
3
12
()fx
xx
=-
g)
2
()2sin
2
x
fx= h)
2
()tan
fxx
= i)
2
()cos
fxx
=
k)

22
1
()
sin.cos
fx
xx
= l)
22
cos2
()
sin.cos
x
fx
xx
= m)
()2sin3cos2
fxxx
=

n)
(
)
()– 1
xx
fxee= o)
2
()2
cos
x
x

e
fxe
x
-
ỉư
=+
ç÷
ç÷
èø
p)
31
()
x
fxe
+
=
Bài 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
a)
3
()45;(1)3
fxxxF
=-+=
b)
()35cos;()2
fxxF
=-=
p

c)
2

35
();()1
x
fxFe
x
-
==
d)
2
13
();(1)
2
x
fxF
x
+
==

e)
3
2
1
()=;(2)0
x
fxF
x
-
-=
f)
1

();(1)2
fxxxF
x
=+=-

g)
()sin2.cos;'0
3
fxxxF
ỉư
==
ç÷
èø
p
h)
43
2
325
();(1)2
xx
fxF
x
-+
==

i)
33
2
337
();(0)8

(1)
xxx
fxF
x
++-
==
+
k)
2
()sin;
224
x
fxF
ỉư
===
ç÷
èø
pp

Bài 3. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
a)
2
()cos;()sin;3
2
gxxxxfxxxF
ỉư
=+==
ç÷
èø
p

b)
2
()sin;()cos;()0
gxxxxfxxxF
=+==
p

c)
2
()ln;()ln;(2)2
gxxxxfxxF
=+==-

Bài 4. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
a)
()(45)
()(41)
x
x
Fxxe
fxxe
ì
ï
=-
í
=-
ï
ỵ
b)

4
53
()tan35
()4tan4tan3
Fxxx
fxxx
ì
ï
=+-
í
=++
ï
ỵ

c)
2
2
22
4
()ln
3
2
()
(4)(3)
x
Fx
x
x
fx
xx

ì
ỉư
+
ï
=
ç÷
ç÷
ï
+
èø
í
-
ï
=
ï
++
ỵ
d)
2
2
2
4
21
()ln
21
22(1)
()
1
xx
Fx

xx
x
fx
x
ì
-+
=
ï
ï
++
í
-
ï
=
ï
+
ỵ


Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng
Trang 80
Bài 5. Tìm điều kiện để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
a)
32
2
()(32)43

()3104
Fxmxmxx
Tìmm

fxxx
ì
ï
=++-+
í
=+-
ï
ỵ
b)
2
2
()ln5

23
()
35
Fxxmx
Tìmm
x
fx
xx
ì
=-+
ï
+
í
=
ï
++
ỵ

c)
22
2
()()4
.,,.
()(2)4
Fxaxbxcxx
Tìmabc
fxxxx
ì
ï
=++-
í
= ï
ỵ
d)
2
()()
.,,.
()(3)
x
x
Fxaxbxce
Tìmabc
fxxe
ì
ï
=++
í

=-
ï
ỵ

e)
22
22
()()
.,,.
()(287)
x
x
Fxaxbxce
Tìmabc
fxxxe
-
-
ì
ï
=++
í
= +
ï
ỵ
f)
2
2
()()
.,,.
()(32)

x
x
Fxaxbxce
Tìmabc
fxxxe
-
-
ì
ï
=++
í
=-+
ï
ỵ

g)
()(1)sinsin2sin3
.,,.
23
()cos
bc
Fxaxxx
Tìmabc
fxx
ì
ï
=+++
í
ï
=

ỵ

h)
2
2
()()23
.,,.
20307
()
23
Fxaxbxcx
Tìmabc
xx
fx
x
ì
=++-
ï
-+
í
=
ï
-
ỵ


VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm
()
fxdx
ò

bằng phương pháp đổi biến số
·
Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) =
[
]
().'()
guxux
thì ta đặt
()'()
tuxdtuxdx
=Þ=
.
Khi đó:
()
fxdx
ò
=
()
gtdt
ò
, trong đó
()
gtdt
ò
dễ dàng tìm được.
Chú ý: Sau khi tính
()
gtdt
ò
theo t, ta phải thay lại t = u(x).

·
Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:


Bài 1. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):
a)
(51)
xdx
-
ò
b)
5
(32)
dx
x
-
ò
c) 52
xdx
-
ò

d)
27
(21)
xxdx
+
ò
e)
342

(5)
xxdx
+
ò
f)
2
5
x
dx
x
+
ò

g)
2
1.
xxdx
+
ò
h)
2
3
3
52
x
dx
x+
ò
i)
2

(1)
dx
xx
+
ò

k)
4
sincos
xxdx
ò
l)
5
sin
cos
x
dx
x
ò
m)
2
tan
cos
xdx
x
ò

f(x) có chứa Cách đổi biến
22
ax

-
sin,
22
xatt
=-££
pp

hoặc cos,0xatt
=££
p

22
ax
+
tan,
22
xatt
=-<<
pp

hoặc cot,0xatt
=<<
p


Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 81
n)
3
x

x
edx
e
-
ò
o)
2
1
.
x
xedx
+
ò
p)
x
e
dx
x
ò

q)
3
ln
x
dx
x
ò
r)
1
x

dx
e
+
ò
s)
tan
2
cos
x
e
dx
x
ò

Bài 2. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2):
a)
23
(1)
dx
x-
ò
b)
23
(1)
dx
x+
ò
c)
2
1.

xdx
-
ò

d)
2
4
dx
x
-
ò
e)
22
1.
xxdx
-
ò
f)
2
1
dx
x
+
ò

g)
2
2
1
xdx

x
-
ò
h)
2
1
dx
xx
++
ò
i)
32
1.
xxdx
+
ò


VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:


Bài 1. Tính các nguyên hàm sau:
a) .sin
xxdx
ò
b) cos
xxdx
ò
c)

2
(5)sin
xxdx
+
ò

d)
2
(23)cos
xxxdx
++
ò
e) sin2
xxdx
ò
f) cos2
xxdx
ò

g) .
x
xedx
ò
h)
2
3 x
xedx
ò
i) ln
xdx

ò

k) ln
xxdx
ò
l)
2
ln
xdx
ò
m)
2
ln(1)
xdx
+
ò

n)
2
tan
xxdx
ò
o)
22
cos
xxdx
ò
p)
2
cos2

xxdx
ò

q)
2
ln(1)
xxdx
+
ò
r) .2
x
xdx
ò
s) lg
xxdx
ò

Bài 2. Tính các nguyên hàm sau:
a)
x
edx
ò
b)
ln
xdx
x
ò
c) sin
xdx
ò

d) cos
xdx
ò
e) .sin
xxdx
ò
f)
3
sin
xdx
ò

g)
ln(ln)
x
dx
x
ò
h)
sin(ln)
xdx
ò
i)
cos(ln)
xdx
ò

Bài 3. Tính các nguyên hàm sau:
a) .cos

x
exdx
ò
b)
2
(1tantan)
x
exxdx
++
ò
c) .sin2
x
exdx
ò

d)
2
ln(cos)
cos
x
dx
x
ò
e)
2
ln(1)
x
dx
x
+

ò
f)
2
cos
x
dx
x
ò


().
x
Pxedx
ò

().cos
Pxxdx
ò
().sin
Pxxdx
ò

().ln
Pxxdx
ò

u P(x) P(x) P(x) lnx
dv
x
edx

cos
xdx

sin
xdx

P(x)

Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng
Trang 82
g)
(
)
2
2
ln1
1
xxx
dx
x
++
+
ò
h)
3
2
1
x
dx

x+
ò
i)
2
ln x
dx
x
ỉư
ç÷
èø
ò


VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ
Để xác đònh nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của
các hàm số f(x)
±
g(x) dễ xác đònh hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x).
Bước 1: Tìm hàm g(x).
Bước 2: Xác đònh nguyên hàm của các hàm số f(x)
±
g(x), tức là:

1
2
()()()
(*)
()()()
FxGxAxC
FxGxBxC

ì
+=+
í
-=+
ỵ

Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra
[ ]
1
()()()
2
FxAxBxC
=++
là nguyên hàm của f(x).

Bài 1. Tính các nguyên hàm sau:
a)
sin
sincos
x
dx
xx
-
ò
b)
cos
sincos
x
dx
xx

-
ò
c)
sin
sincos
x
dx
xx
+
ò

d)
cos
sincos
x
dx
xx
+
ò
e)
4
44
sin
sincos
x
dx
xx
+
ò
f)

4
44
cos
sincos
x
dx
xx
+
ò

g)
2
2sin.sin2
xxdx
ò
h)
2
2cos.sin2
xxdx
ò
i)
x
xx
e
dx
ee
-
-
ò

k)
x
xx
e
dx
ee
-
-
-
ò
l)
x
xx
e
dx
ee
-
+
ò
m)
x
xx
e
dx
ee
-
-
+
ò

VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1. f(x) là hàm hữu tỉ:
()
()
()
Px
fx
Qx
=
– Nếu bậc của P(x)
³
bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.
– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân
tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất đònh).
Chẳng hạn:
1
()()
AB
xaxbxaxb
=+



2
22
1
,40
()()
ABxC

vớibac
xm
xmaxbxcaxbxc
+
=+=-<
-
-++++
D


2222
1
()()()()
ABCD
xaxb
xaxbxaxb
=+++



2. f(x) là hàm vô tỉ
+ f(x) = ,
m
axb
Rx
cxd
ỉư
+
ç÷
+

èø

®
đặt
m
axb
t
cxd
+
=
+

+ f(x) =
1
()()
R
xaxb
ỉư
ç÷
ç÷
++
èø

®
đặt
txaxb
=+++

Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 83

·
f(x) là hàm lượng giác
Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ
bản. Chẳng hạn:
+
[
]
sin()()
11
.
sin().sin()sin()sin().sin()
xaxb
xaxbabxaxb
+-+
=
++-++
,
sin()
1
sin()
ab
sửdụng
ab
ỉư
-
=
ç÷
-
èø

+
[
]
sin()()
11
.
cos().cos()sin()cos().cos()
xaxb
xaxbabxaxb
+-+
=
++-++
,
sin()
1
sin()
ab
sửdụng
ab
ỉư
-
=
ç÷
-
èø

+
[
]

cos()()
11
.
sin().cos()cos()sin().cos()
xaxb
xaxbabxaxb
+-+
=
++-++
,
cos()
1
cos()
ab
sửdụng
ab
ỉư
-
=
ç÷
-
èø

+ Nếu
(sin,cos)(sin,cos)
RxxRxx
-=-
thì đặt t = cosx
+ Nếu
(sin,cos)(sin,cos)

RxxRxx
-=-
thì đặt t = sinx
+ Nếu
(sin,cos)(sin,cos)
RxxRxx
=-
thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)

Bài 1. Tính các nguyên hàm sau:
a)
(1)
dx
xx
+
ò
b)
(1)(23)
dx
xx
+-
ò
c)
2
2
1
1
x
dx
x

+
-
ò

d)
2
710
dx
xx
-+
ò
e)
2
69
dx
xx
-+
ò
f)
2
4
dx
x
-
ò

g)
(1)(21)
x
dx

xx++
ò
h)
2
232
x
dx
xx

ò
i)
3
2
32
x
dx
xx
-+
ò

k)
2
(1)
dx
xx
+
ò
l)
3
1

dx
x
+
ò
m)
3
1
x
dx
x
-
ò

Bài 2. Tính các nguyên hàm sau:
a)
1
11
dx
x++
ò
b)
1
2
x
dx
xx
+
-
ò
c)

3
1
11
dx
x++
ò

d)
4
1
dx
xx
+
ò
e)
3
x
dx
xx
-
ò
f)
(1)
x
dx
xx+
ò

g)
34

2
dx
xxx
++
ò
h)
1
1
xdx
xx
-
+
ò
i)
3
1
1
xdx
xx
-
+
ò

k)
2
3
(21)21
dx
xx
+-+

ò
l)
2
56
dx
xx
-+
ò
m)
2
68
dx
xx
++
ò

Bài 3. Tính các nguyên hàm sau:
a) sin2sin5
xxdx
ò
b) cossin3
xxdx
ò
c)
24
(tantan)
xxdx
+
ò

d)
cos2
1sincos
x
dx
xx
+
ò
e)
2sin1
dx
x
+
ò
f)
cos
dx
x
ò

g)
1sin
cos
x
dx
x
-
ò
h)
3

sin
cos
x
dx
x
ò
i)
coscos
4
dx
xx
ỉư
+
ç÷
èø
ò
p

k) coscos2cos3
xxxdx
ò
l)
3
cos
xdx
ò
m)
4
sin
xdx

ò

Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng
Trang 84




1. Khái niệm tích phân
· Cho hàm số f liên tục trên K và a, b Ỵ K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là
()
b
a
fxdx
ò
.

()()()
b
a
fxdxFbFa
=-
ò

· Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:

()()() ()()
bbb
aaa

fxdxftdtfuduFbFa
====-
òòò

· Ý nghóa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì
diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thò của y = f(x), trục Ox và hai đường
thẳng x = a, x = b là:
()
b
a
Sfxdx
=
ò

2. Tính chất của tích phân
·
0
0
()0
fxdx
=
ò
·
()()
ba
ab
fxdxfxdx
=-
òò
·

()()
bb
aa
kfxdxkfxdx
=
òò
(k: const)
·
[ ]
()()()()
bbb
aaa
fxgxdxfxdxgxdx
±=±
òòò
·
()()()
bcb
aac
fxdxfxdxfxdx
=+
òòò

· Nếu f(x)
³
0 trên [a; b] thì
()0
b
a
fxdx

³
ò

· Nếu f(x)
³
g(x) trên [a; b] thì
()()
bb
aa
fxdxgxdx
³
òò

3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
[ ]
()
()
().'()()
ub
b
aua
fuxuxdxfudu
=
òò

trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)]
xác đònh trên K, a, b Ỵ K.
b) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b

Ỵ
K thì:

bb
b
a
aa
udvuvvdu
=-
òò

CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
II. TÍCH PHÂN
Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 85
Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho
b
a
vdu
ò
dễ tính
hơn
b
a
udv
ò
.

VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên
hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp đònh nghóa tích phân:

()()()
b
a
fxdxFbFa
=-
ò

Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.

Bài 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
++
2
1
3
)12( dxxx b)
ò
+
++
2
1
132

)
3
( dxe
x
x
x
c)
ò
-
2
1
2
1
dx
x
x

d)
2
2
1
2
x
dx
x
-
+
ò
e)
(

)
ò
-
-
+
1
2
2
2
4
4
dx
x
x
f)
2
2
1
11
()
e
xxdx
x
x
+++
ò

g)
2
1

(1)(1)
xxxdx
+-+
ò
h)
2
2
3
1
()
xxxxdx
++
ò
i)
( )
ò
-+
4
1
4
3
42 dxxxx
k)
2
2
3
1
2
xx
dx

x
-
ò
l)
2
1
257
e
xx
dx
x
+-
ò
m)
8
3
2
1
1
4
3
xdx
x
ỉư
ç÷
-
ç÷
èø
ò

Bài 2. Tính các tích phân sau:
a)
2
1
1
xdx
+
ò
b)
5
2
dx
x22
x
++-
ò
c)
2
2
3
1
()
xxxxdx
++
ò

d)
2
0
2

1
xdx
dx
x-
ò
e)
2
2
0
3
3
3
1
x
dx
x+
ò
f)
4
2
0
9
xxdx
+
ò

Bài 3. Tính các tích phân sau:
a)
ò
+

p
p
0
)
6
2sin( dxx b)
2
3
(2sin3)
xcosxxdx
++
ò
p
p
c)
( )
6
0
sin3cos2
xxdx
p
+
ò

d)
4
2
0
tan.
cos

xdx
x
ò
p
e)
3
2
4
3tan
xdx
ò
p
p
f)
4
2
6
(2cot5)
xdx
+
ò
p
p

Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng
Trang 86
g)
2
0
1sin

dx
x
+
ò
p
h)
2
0
1cos
1cos
x
dx
x
-
+
ò
p
i)
2
22
0
sin.cos
xxdx
ò
p

k)
3
2
6

(tancot)
xxdx
-
-
ò
p
p
l)
2
2
sin()
4
sin()
4
x
dx
x
-
-
+
ò
p
p
p
p
m)
4
4
0
cos

xdx
ò
p

Bài 4. Tính các tích phân sau:
a)
1
0
dx
xx
xx
ee
ee
-
-
-
+
ò
b)
2
2
1
(1).
ln
xdx
xxx
+
+
ò
c)

2
1
0
4
2
x
x
e
dx
e
-
+
ò

d)
ln2
0
1
x
x
e
dx
e
+
ò
e)
2
1
(1)
x

x
e
edx
x
-
-
ò
f)
1
0
2
x
x
e
dx
ò

g)
cos
2
0
sin
x
exdx
ò
p
h)
4
1
x

e
dx
x
ò
i)
1
1ln
e
x
dx
x
+
ò

k)
1
ln
e
x
dx
x
ò
l)
2
1
0
x
xedx
ò
m)

1
0
1
1
x
dx
e+
ò


VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Dạng 1: Giả sử ta cần tính
()
b
a
gxdx
ò
.
Nếu viết được g(x) dưới dạng:
[
]
()().'()
gxfuxux
= thì
()
()
()()
ub
b
aua

gxdxfudu
=
òò

Dạng 2: Giả sử ta cần tính
()
fxdx
ò
b
a
.
Đặt x = x(t) (t
Ỵ
K) và a, b
Ỵ
K thoả mãn
a
= x(a),
b
= x(b)
thì
[ ]
()()'()()
bb
aa
fxdxfxtxtdtgtdt
==
òòò
b
a

[
]
(
)
()().'()
gtfxtxt
=
Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:

f(x) có chứa Cách đổi biến
22
ax
-
sin,
22
xatt
=-££
pp

hoặc cos,0xatt
=££
p

22
ax
+
tan,
22
xatt

=-<<
pp

hoặc cot,0xatt
=<<
p

22
xa
-


{}
,;\0
sin22
a
xt
t
éù
=Ỵ-
êú
ëû
pp

hoặc
[ ]
,0;\
cos2
a
xt

t
ìü
=Ỵ
íý
ỵþ
p
p


Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 87
Bài 1. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):
a)
ò
-
1
0
19
)1( dxxx b)
ò
+
1
0
32
3
)1( x
x
c)
ò
+

1
0
2
5
1
dx
x
x

d)
ò
+
1
0
12x
xdx
e)
1
2
0
1
xxdx
-
ò
f)
1
32
0
1
xxdx

-
ò

g)
ò
+
32
5
2
4xx
dx
h)
ò
+
+
3
0
2
35
1
2
dx
x
xx
i)
ln2
0
1
x
x

e
dx
e+
ò

k)
( )
ln3
3
0
1
x
x
edx
e +
ò
l)
ò
+
e
x
dxx
1
2
ln2
m)
ò
+
e
dx

x
xx
1
lnln31

n)
ò
+
2
0
22
sin4cos
2sin
p
dx
xx
x
o)
ò
+
2
0
2
3
sin1
sin.cos
p
dx
x
xx

p)
ò
+
6
0
22
cossin2
2sin
p
dx
xx
x

Bài 2. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2):
a)
ò
-
2
1
0
2
1 x
dx
b)
ò
-
1
0
2
2

4 x
dxx
c)
ò
-
2
1
22
4 dxxx
d)
ò
+
3
0
2
3x
dx
e)
ò
++
1
0
22
)2)(1( xx
dx
f)
ò
++
1
0

24
1xx
xdx

g)
0
2
1
22
dx
xx
-
++
ò
h)
ò
-
2
1
3
2
1
dx
x
x
i)
( )
ò
+
1

0
5
2
1 x
dx

k)
2
3
2
2
1
dx
xx
-
ò
l)
2
2
2
2
0
1
x
dx
x-
ò
m)
2
2

0
2
xxxdx
-
ò



VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:


Bài 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
4
0
2sin
p
xdxx b)
ò
+
2
0
2
cos)sin(
p
xdxxx c)
ò
p

2
0
2
cos xdxx
d)
2
4
0
cos
xxdx
p
ò
e)
3
2
4
tan
xxdx
ò
p
p
f)
ò
-
1
0
2
)2( dxex
x

().
b
x
a
Pxedx
ò
().cos
b
a
Pxxdx
ò
().sin
b
a
Pxxdx
ò

().n
b
a
Pxlxdx
ò

u P(x) P(x) P(x) lnx
dv
x
edx

cos

xdx

sin
xdx

P(x)
Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng
Trang 88
g) dxxe
x
ò
2ln
0
h) dxxx
e
ò
1
ln i)
ò
-
3
2
2
)ln( dxxx
k)
ò
2
0
3
5sin

p
xdxe
x
l)
ò
2
0
cos
2sin
p
xdxe
x
m)
ò
e
xdx
1
3
ln
o) dxxx
e
ò
1
23
ln p)
ò
e
e
dx
x

x
1
2
ln
q) dxxex
x
)1(
0
1
3
2
ò
-
++

VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trò tuyệt đối
Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công
thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ.

Bài 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
-
2
0
2 dxx b)
ò
-
2
0

2
dxxx c) dxxx
ò
-+
2
0
2
32
d)
3
2
3
1
xdx
-
-
ò
e)
5
2
(22)
xxdx
-
+
ò
f)
3
0
24
x

dx
-
ò

g)
4
2
1
69
xxdx
-+
ò
h)
ò
+-
3
0
23
44 dxxxx i)
1
1
4
xdx
-
-
ò

Bài 2. Tính các tích phân sau:
a)
ò

-
p
2
0
2cos1 dxx b)
0
1sin2.
xdx
p
-
ò
c)
2
2
sin
xdx
-
ò
p
p

d) 1sin
xdx
-
-
ò
p
p
e)
2

0
1cos
xdx
+
ò
p
f)
0
1cos2
xdx
+
ò
p

g)
3
22
6
tancot2
xxdx
+-
ò
p
p
h)
3
3
2
coscoscos
xxxdx

-
-
ò
p
p
i)
2
0
1sin
xdx
+
ò
p


VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ.

Bài 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
+
3
1
3
xx
dx
b)
ò
+-

1
0
2
65xx
dx
c)
ò
++
3
0
2
3
12xx
dxx

d)
( )
ò
+
1
0
3
21
dx
x
x
e)
( )
ò
-

3
2
9
2
1 x
dxx
f)
ò
+
4
1
2
)1( xx
dx

g)
ò
-
4
2
)1(xx
dx
h)
(
)
ò
++
+
1
0

2
65
114
xx
dxx
i)
1
3
0
1
1
xx
dx
x
++
+
ò

Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 89
k)
0
32
2
1
2699
32
xxx
dx
xx

-
-++
-+
ò
l)
3
2
3
2
333
32
xx
dx
xx
++
-+
ò
m)
1
2
3
0
(31)
x
dx
x+
ò

Bài 2. Tính các tích phân sau:
a)

ò
+-
2
0
2
22xx
dx
b)
(
)
ò
+
+
3
0
2
2
1
23
dx
x
x
c)
ò
+
+++
2
0
2
23

4
942
dx
x
xxx

d)
1
22
0
1
(2)(3)
dx
xx++
ò
e)
1
3
2
0
1
1
xx
dx
x
++
+
ò
f)
1

4
0
1
x
dx
x+
ò

g)
2
4
1
1
(1)
dx
xx+
ò
h)
2
2008
2008
1
1
(1)
x
dx
xx
-
+
ò

i)
3
4
22
2
(1)
x
dx
x-
ò

k)
2
2
0
1
4
dx
x+
ò
l)
2
2
4
1
1
1
x
dx
x

-
+
ò
m)
1
4
2
0
2
1
x
dx
x
-
+
ò


VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ.

Bài 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
+
22
0
2
1dxxx b)
ò

++
1
0
2
3
1
dx
xx
x
c)
ò
++
1
0
1 xx
dx

d)
ò
-+
2
1
11
dx
x
x
e)
6
2
2141

dx
xx
+++
ò
f)
ò
+
2
0
5
4
1
dx
x
x

g)
10
5
21
dx
xx

ò
h)
ò
+
1
0
23

1dxxx i)
ò
++
-
1
0
132
34
dx
x
x

k)
ò
+
+
3
7
0
3
13
1
dx
x
x
l)
23
2
5
4

dx
xx
+
ò
m)
3
53
2
0
1
xx
dx
x
+
+
ò

n)
2
2
0
1
1
x
dx
x
+
-
ò
o)

2
3
2
2
1
dx
xx
-
ò
p)
2
3
1
1
dx
xx
+
ò

Bài 2. Tính các tích phân sau:
a)
1
22
0
1
xxdx
+
ò
b)
3

2
22
1
1
1
x
dx
xx
+
+
ò
c)
1
23
0
(1)
dx
x+
ò

d)
2
2
1
2008
xdx
+
ò
e)
3

32
0
10
xxdx
-
ò
f)
1
2
0
1
xdx
+
ò

g)
1
2
1
11
dx
xx
-
+++
ò
h)
2
2
1
2008

dx
x +
ò
i)
1
3
2
0
1
xdx
xx
++
ò

k)
2
2
23
0
(1)
dx
x-
ò
l)
2
2
2
2
0
1

xdx
x
-
ò
m)
5
4
2
1
1248
xxdx

ò

Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng
Trang 90
Bài 3. Tính các tích phân sau:
a)
2
0
cos
7cos2
xdx
x
+
ò
p
b)
2
2

0
sincoscos
xxxdx
-
ò
p
c)
2
2
0
cos
2cos
xdx
x
+
ò
p

d)
2
6
35
0
1cossincos
xxxdx
-
ò
p
e)
2

0
sin2sin
13cos
xx
dx
x
+
+
ò
p
f)
3
0
cos
2cos2
xdx
x
+
ò
p

g)
2
2
0
cos
1cos
xdx
x
+

ò
p
h)
3
2
4
cos1cos
tgx
dx
xx
p
p
+
ò
i)
2
0
sin2sin
13cos
xx
dx
x
p
+
+
ò

Bài 4. Tính các tích phân sau:
a)
ln3

0
1
x
dx
e
+
ò
b)
ln2
2
0
1
x
x
edx
e
+
ò
c)
1
13lnln
e
xx
dx
x
+
ò

d)
ln3

2
ln2
ln
ln1
x
dx
xx+
ò
e)
0
2
3
1
(1)
x
xexdx
-
++
ò
f)
ln2
3
0
(1)
x
x
edx
e +
ò

g)
ln3
0
(1)1
x
xx
e
dx
ee+-
ò
h)
1
0
x
xx
e
dx
ee
-
+
ò
i)
ln2
0
1
x
edx
-
ò

VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác.

Bài 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
4
0
cos.2sin
p
xdxx b)
ò
4
0
tan
p
xdx c)
ò
+
2
0
cos31
sin
p
dx
x
x

d)

ò
2
0
3
sin
p
xdx e) dxx
ò
p
0
2
sin f)
ò
p
0
2
3cos x
g)
2
24
0
sincos
xxdx
ò
p
h)
ò
2
0
32

cossin
p
xdxx i)
2
45
0
sincos
xxdx
ò
p

k)
2
33
0
(sincos)
xxdx
+
ò
p
l)
3
2
0
cos
cos1
x
dx
x
p

+
ò
m)
ò
+
2
0
cos1
cos2sin
p
dx
x
xx

n)
4
3
0
tan
xdx
ò
p
o)
3
4
4
tan
xdx
ò
p

p
p)
3
3
4
sin.cos
dx
xx
p
p
ò

q)
3
2
2
0
sin
1cos
x
dx
x
+
ò
p
r)
3
2
0
cos

1cos
x
dx
x
+
ò
p
s)
/3
4
/6
sin.cos
dx
xx
ò
p
p

Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 91
Bài 2. Tính các tích phân sau:
a)
ò
-
2
0
53
cossincos1
p
xdxxx b)

ò
+
++
2
6
cossin
2cos2sin1
p
p
dx
xx
xx
c) dx
xx
x
ò
+
3
4
2
cos1cos
tan
p
p

d)
2
44
0
cos2(sincos)

xxxdx
+
ò
p
e)
ò
+
4
0
sin
)cos(tan
p
dxxex
x
f)
( )
dxxx
ò
+
2
0
3
2
2sinsin1
p

g)
3
0
sin.ln(cos)

xxdx
p
ò
h)
3
4
225
0
sin
(tan1).cos
x
dx
xx
p
+
ò
i)
3
22
3
1
sin9cos
dx
xx
p
p
-
+
ò

Bài 3. Tính các tích phân sau:
a)
2
3
1
sin
dx
x
ò
p
p
b)
2
0
2cos
dx
x
-
ò
p
c)
2
0
1
2sin
dx
x
+
ò
p

d)
2
0
cos
1cos
x
dx
x
+
ò
p
e)
2
0
cos
2cos
x
dx
x
-
ò
p
f)
2
0
sin
2sin
x
dx

x
+
ò
p

g)
2
0
1
sincos1
dx
xx++
ò
p
h)
2
2
sincos1
sin2cos3
xx
dx
xx
-
-+
++
ò
p
p
i)
4

0
coscos()
4
dx
xx+
ò
p
p

k)
2
2
0
(1sin)cos
(1sin)(2cos)
xx
dx
xx
-
+-
ò
p
l)
3
4
sincos()
4
dx
xx+
ò

p
p
p
m)
3
6
sinsin()
6
dx
xx+
ò
p
p
p

Bài 4. Tính các tích phân sau:
a)
ò
-
2
0
cos)12(
p
xdxx b)
ò
+
4
0
2cos1
p

x
xdx
c)
ò
3
0
2
cos
p
dx
x
x

d)
2
3
0
sin
xdx
ò
p
e)
2
2
0
cos
xxdx
ò
p
f)

2
21
0
sin2.
x
xedx
+
ò
p

g)
2
1
cos(ln)
xdx
ò
h)
3
2
6
ln(sin)
cos
x
dx
x
ò
p
p
i)
2

2
0
(21)cos
xxdx
-
ò
p

k)
22
0
sin
x
exdx
ò
p
l)
4
2
0
tan
xxdx
ò
p
m)
2
0
sincos
xxxdx
ò

p

n)
2
2
sin3
0
sincos
x
exxdx
ò
p
o)
4
0
ln(1tan)
xdx
+
ò
p
p)
ò
4
0
4
cos
p
x
dx

Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng
Trang 92
VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit
Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit. Xem lại các phương pháp tìm nguyên
hàm.

Bài 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
+
1
0
1
x
x
e
dxe
b)
ò
+
2ln
0
5
x
e
dx
c)
1
0

1
4
x
dx
e +
ò

d)
ò
+
8ln
3ln
1
dx
e
e
x
x
e)
ò
+
8ln
3ln
2
.1 dxee
xx
f)
ò
+
-

2ln
0
1
1
dx
e
e
x
x

g)
2
1
1
1
x
dx
e
-
-
ò
h)
2
2
0
1
x
x
e
dx

e +
ò
i)
1
0
1
x
x
e
dx
e
-
-
+
ò

k)
2
1
ln
(ln1)
e
x
dx
xx+
ò
l)
1
2
0

1
x
x
e
dx
e
-
-
+
ò
m)
ln3
0
1
1
x
dx
e +
ò

Bài 2. Tính các tích phân sau:
a)
ò
2
0
sin
p
xdxe
x
b)

ò
2
0
2
dxxe
x
c)
ò
-
1
0
dxxe
x

d)
ò
+
2
0
cos)cos(
p
xdxxe
x
e)
( )
ò
+
1
0
1ln dxxx f)

2
1
1ln
e
x
dx
x
+
ò

g)
2
lnln(ln)
e
e
xx
dx
x
+
ò
h)
ò
÷
÷
ø
ư
ç
ç
è
ỉ

+
+
e
dxx
xx
x
1
2
ln
1ln
ln
i)
3
2
ln(ln)
e
e
x
dx
x
ò

k)
2
2
1
ln
x
dx
x

ò
l)
3
2
6
ln(sin)
cos
x
dx
x
ò
p
p
m)
1
0
ln(1)
1
x
dx
x
+
+
ò


VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt
Dạng 1. Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ

·

Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì
()0
a
a
fxdx
-
=
ò


·
Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [-a; a] thì
0
()2()
aa
a
fxdxfxdx
-
=
òò

Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân
có dạng này ta có thể chứng minh như sau:
Bước 1: Phân tích
0
0
()()()
aa
aa
Ifxdxfxdxfxdx

==+
òòò

0
0
();()
a
a
JfxdxKfxdx
-
ỉư
ç÷
==
ç÷
èø
òò

Bước 2: Tính tích phân
0
()
a
Jfxdx
-
=
ò
bằng phương pháp đổi biến. Đặt t = – x.
– Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K
Þ
I = J + K = 0

Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 93
– Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K
Þ
I = J + K = 2K
Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì:

0
()
()
1
x
fx
dxfxdx
a
-
=
+
òò
aa
a
(với
a

Ỵ
R
+
và a > 0)
Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên.

0
0
()()()
111
xxx
fxfxfx
Idxdxdx
aaa

==+
+++
òòò
aa
aa

0
0
()()
;
11
xx
fxfx
JdxKdx
aa
-
ỉư
ç÷
==
ç÷
++

èø
òò
a
a

Để tính J ta cũng đặt: t = –x.
Dạng 3. Nếu f(x) liên tục trên
0;
2
éù
êú
ëû
p
thì
22
00
(sin)(cos)
fxdxfxdx
=
òò
pp

Để chứng minh tính chất này ta đặt:
2
tx
=-
p

Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và
()()

fabxfx
+-=
hoặc
()()
fabxfx
+-=-

thì đặt: t = a + b – x
Đặc biệt, nếu a + b =
p
thì đặt t =
p
– x
nếu a + b = 2
p
thì đặt t = 2
p
– x
Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ
Để xác đònh nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm
của các hàm số f(x)
±
g(x) dễ xác đònh hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của
f(x). Ta thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Tìm hàm g(x).
Bước 2: Xác đònh nguyên hàm của các hàm số f(x)
±
g(x), tức là:

1

2
()()()
(*)
()()()
FxGxAxC
FxGxBxC
ì
+=+
í
-=+
ỵ

Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra
[ ]
1
()()()
2
FxAxBxC
=++
là nguyên hàm của f(x).

Bài 1. Tính các tích phân sau (dạng 1):
a)
753
4
4
4
1
cos
xxxx

dx
x
-
-+-+
ò
p
p
b)
2
2
2
cosln(1)
xxxdx
-
++
ò
p
p
c)
1
2
1
2
1
cos.ln
1
x
xdx
x
-

ỉư
-
ç÷
+
èø
ò

d)
( )
1
2
1
ln1
xxdx
-
++
ò
e)
1
42
1
1
xdx
xx
-
-+
ò
f)
1
4

2
1
sin
1
xx
dx
x
-
+
+
ò

g)
5
2
2
sin
1cos
x
dx
x
-
+
ò
p
p
h)
2
2
2

4sin
xdx
x
p
p
-
-
ò
i)
2
2
2
cos
4sin
xx
dx
x
p
p
-
+
-
ò

Bài 2. Tính các tích phân sau (dạng 2):
a)
1
4
1
21

x
x
dx
-
+
ò
b)
1
2
1
1
12
x
x
dx
-
-
+
ò
c)
1
2
1
(1)(1)
x
dx
ex
-
++
ò

Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng
Trang 94
d)
2
sin
31
x
x
dx
-
+
ò
p
p
e)
ò
-
+
+
3
3
2
21
1
dx
x
x
f)
1

2
1
(41)(1)
x
dx
x
-
++
ò

g)
2
2
sinsin3cos5
1
x
xxx
dx
e
-
+
ò
p
p
h)
66
4
4
sincos
61

x
xx
dx
-
+
+
ò
p
p
i)
22
2
2
sin
12
x
xx
dx
-
+
ò
p
p

Bài 3. Tính các tích phân sau (dạng 3):
a)
2
0
cos
cossin

n
nn
x
dx
xx
+
ò
p
(n
Ỵ
N
*
) b)
7
2
77
0
sin
sincos
x
dx
xx
+
ò
p
c)
2
0
sin
sincos

x
dx
xx
+
ò
p

d)
2009
2
20092009
0
sin
sincos
x
dx
xx
+
ò
p
e)
4
2
44
0
cos
cossin
x
dx
xx

p
+
ò
f)
4
2
44
0
sin
cossin
x
dx
xx
p
+
ò

Bài 4. Tính các tích phân sau (dạng 4):
a)
2
0
.sin
4cos
xx
dx
x
-
ò
p
b)

2
0
cos
4sin
xx
dx
x
+
-
ò
p
c)
2
0
1sin
ln
1cos
x
dx
x
ỉư
+
ç÷
+
èø
ò
p

d)
4

0
ln(1tan)
xdx
+
ò
p
e)
2
3
0
.cos
xxdx
ò
p
f)
3
0
.sin
xxdx
ò
p

g)
0
1sin
x
dx
x
+
ò

p
h)
0
sin
2cos
xx
dx
x
+
ò
p
i)
2
0
sin
1cos
xx
dx
x
+
ò
p

k)
4
0
sin4ln(1tan)
xxdx
+
ò

p
l)
2
0
sin
94cos
xx
dx
x
+
ò
p
m)
4
0
sincos
xxxdx
ò
p

Bài 5. Tính các tích phân sau (dạng 5):
a)
2
0
sin
sincos
x
dx
xx
-

ò
p
b)
2
0
cos
sincos
x
dx
xx
-
ò
p
c)
2
0
sin
sincos
x
dx
xx
+
ò
p

d)
2
0
cos
sincos

x
dx
xx
+
ò
p
e)
4
2
44
0
sin
sincos
x
dx
xx
+
ò
p
f)
4
2
44
0
cos
sincos
x
dx
xx
+

ò
p

g)
6
2
66
0
sin
sincos
x
dx
xx
+
ò
p
h)
6
2
66
0
cos
sincos
x
dx
xx
+
ò
p
i)

2
2
0
2sin.sin2
xxdx
ò
p

k)
2
2
0
2cos.sin2
xxdx
ò
p
l)
1
1
x
xx
e
dx
ee
-
-
-
ò
m)
1

1
x
xx
e
dx
ee
-
-
-
-
ò

n)
1
1
x
xx
e
dx
ee
-
-
+
ò
o)
1
1
x
xx
e

dx
ee
-
-
-
+
ò



Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 95
VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi
Giả sử cần tính tích phân
(,)
b
n
a
Ifxndx
=
ò
(n
Ỵ
N) phụ thuộc vào số nguyên dương n. Ta
thường gặp một số yêu cầu sau:

·
Thiết lập một công thức truy hồi, tức là biểu diễn I
n
theo các I

n-k
(1
£
k
£
n).

·
Chứng minh một công thức truy hồi cho trước.

·
Tính một giá trò
0
n
I
cụ thể nào đó.

Bài 1. Lập công thức truy hồi cho các tích phân sau:
a)
2
0
sin
n
n
Ixdx
=
ò
p
· Đặt
1

sin
sin.
n
ux
dvxdx
-
ì
=
í
=
ỵ

b)
2
0
cos
n
n
Ixdx
=
ò
p
· Đặt
1
cos
cos.
n
ux
dvxdx
-

ì
=
í
=
ỵ

c)
4
0
tan
n
n
Ixdx
=
ò
p

·
Phân tích:
(
)
222
tantantan1tan
nnn
xxxx

=+-
d)
2
0

cos.
n
n
Ixxdx
=
ò
p

·
Đặt
cos.
n
ux
dvxdx
ì
=
í
=
ỵ


2
0
sin.
n
n
Jxxdx
=
ò
p

·
Đặt
sin.
n
ux
dvxdx
ì
=
í
=
ỵ

e)
1
0
nx
n
Ixedx
ò

·
Đặt
.
n
x
ux
dvedx
ì
ï

=
í
=
ï
ỵ

f)
1
ln.
e
n
n
Ixdx
=
ò

·
Đặt
ln
n
ux
dvdx
ì
=
í
=
ỵ

g)
1

2
0
(1)
n
n
Ixdx
=-
ò

·
Đặt
cos
xt
=

®
Đặt
2
sin
sin.
n
ut
dvtdt
ì
=
í
=
ỵ

h)

1
2
0
(1)
n
n
dx
I
x
=
+
ò

·
Phân tích
22
222
11
(1)(1)(1)
nnn
xx
xxx
+
=-
+++

Tính
1
2
2

0
(1)
n
n
x
Jdx
x
=
+
ò
. Đặt
2
(1)
n
ux
x
dvdx
x
ì
=
ï
í
=
ï
+
ỵ

i)
1
0

1.
n
n
Ixxdx
=-
ò

·
Đặt
1.
n
ux
dvxdx
ì
ï
=
í
=-
ï
ỵ

k)
4
0
cos
n
n
dx
Idx
x

=
ò
p

·
Phân tích
1
1cos
coscos
nn
x
xx
+
=
®
Đặt
1
1
cos
n
t
x
+
=
Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng
Trang 96


1. Diện tích hình phẳng
· Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thò (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Trục hoành.
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
là:
()
b
a
Sfxdx
=
ò
(1)
· Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thò của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
là:
()()
b
a
Sfxgxdx
=-
ò
(2)
Chú ý:

·
Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:
()()
bb
aa
fxdxfxdx

=
òò


·
Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trò tuyệt đối của hàm số
dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm
được 2 nghiệm c, d (c < d).
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:

()()()()
bcdb
aacd
fxdxfxdxfxdxfxdx
=++
òòòò

=
()()()
cdb
acd
fxdxfxdxfxdx
++
òòò

(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)

·
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thò của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])
– Hai đường thẳng x = c, x = d.

()()
d
c
Sgyhydy
=-
ò

2. Thể tích vật thể
· Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm
các điểm a và b.
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bò cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại
điểm có hoành độ x (a
£
x
£
b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
Thể tích của B là:
()
b
a
VSxdx
=
ò

· Thể tích của khối tròn xoay:
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 97
(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)
sinh ra khi quay quanh trục Ox:

2
()
b
a
Vfxdx
=
ò
p

Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
quay xung quanh trục Oy:
(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d
là:
2
()
d
c
Vgydy
=
ò
p


VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng

Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
2
46,0,2,4
yxxyxx
= ==-=
b)
ln1
,0,,
x
yyxxe
xe
====

c)
1ln
,0,1,
x
yyxxe
x
+
====
d)
ln
,0,,1
2
x
yyxex
x
====

e)
1
ln,0,,
yxyxxe
e
====
f)
3
,0,2,1
yxyxx
===-=

g)
4
1
,0,0,
2
1
x
yyxx
x
====
-
h)
1
lg,0,,10
10
yxyxx
====

Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
31
,0,0
1
x
yyx
x

===
-
b)
,2,0
yxyxy
==-=

c)
,2,1
x
yeyx
===
d)
,20,0
yxxyy
=+-==

e)
22
2,21,2

yxyxxy
== =
f)
2
45,24,411
yxxyxyx
=-+=-+=-

g)
2
2
27
,,
27
x
yxyy
x
=== h)
22
2,44,8
yxyxxy
== =

i)
2
2,2210,0
yxxyy
=++==
k)
22

65,43,315
yxxyxxyx
=-+-=-+-=-

Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
1
,,0,
yxyyxe
x
====
b)
sin2cos,3,0,
yxxyxx
=-===p

c)
2
5,0,3,0
x
yyyxx
-
===-=
d)
22
22,36,0,4
yxxyxxxx
=-=+-==

e)

,0,4
yxyyx
===-
f)
22
22,45,1
yxxyxxy
=-+=++=

g)
,2,0
yxyxy
==-=
h)
2
1
,,1
x
x
yyex
e
-
-
===

Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
22
4,2
yxyxx

=-=-
b)
2
43,3
yxxyx
=-+=+

c)
22
11
,3
42
yxyx
==-+
d)
2
2
1
,
2
1
x
yy
x
==
+

Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng
Trang 98
e)

2
,2
yxyx
==-
f)
22
2,4
yxxyxx
=-=-+

g)
2
2
1
,
2
1
x
yy
x
==
+
h)
2
3,0
yxy
x
=++=

i)

2
2,2
yxxyx
=+=+
k)
2
2,4
yxyx
=+=-

Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
22
,
yxxy
==-
b)
2
50,30
yxxy
+-=+-=

c)
2
20,0
yyxxy
-+=+=
d)
2
21,1

yxyx
=+=-

e)
2
2,,0,3
yxyxyy
====
f)
2
(1),sin
yxxy
=+=p

g)
222
6,16
yxxy
=+=
h)
232
(4),4
yxyx
=-=
i)
3
10,10
xyxy
-+=+-=
k)

222
8,2
xyyx
+==
Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
.;0;1;2.
x
yxeyxx
===-=
b)
2
.ln;0;1;.
yxxyxxe
====

c)
;;1.
xx
yeyex
-
===
d)
2
5;0;0;3.
x
yyxyx
-
====-

e)
5
(1);;1.
x
yxyex
=+==
f)
1
ln,0,,
yxyxxe
e
====

g)
2
sincos,0,0,yxxyxx
=+===p
h)
sin;;0;2.
yxxyxxx
=+===p

i)
2
sin;;0;.
yxxyxx
=+=p==p
k)
2
sinsin1,0,0,

2
yxxyxx
p
=++===

Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
2
1
():
2
Cyx
x
=+ , tiệm cận xiên của (C), x = 1 và x = 3.
b)
2
21
():,0
2
xx
Cyy
x
++
==
+
, tiệm cận xiên của (C), x = –1 và x = 2
c)
32
():243,0
Cyxxxy

=-+-=
và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2.
d)
3
():32,1
Cyxxx
=-+=-
và tiếp tuyến cới (C) tại điểm có hoành độ x = –2.
e)
2
():2
Cyxx
=-
và các tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3; 3) trên (C).

VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể
Bài 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh trục Ox:
a) sin,0,0,
4
yxyxx
p
====
b)
32
1
,0,0,3
3
yxxyxx
=-===

c)
66
sincos,0,0,
2
yxxyxx
p
=+===
d)
,4
yxx
==

e)
3
1,0,1,1
yxyxx
=-==-=
f)
2
,
yxyx
==
g)
23
,
48
xx
yy== h)
2

4,2
yxxyx
=-+=+

i) sin,cos,,
42
yxyxxx
====
pp
k)
22
(2)9,0
xyy
-+==

l)
22
46,26
yxxyxx
=-+= +
m)
ln,0,2
yxyx
===

Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 99
Bài 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh trục Oy:
a)

2
,1,4
xyy
y
===
b)
2
,4
yxy
==

c) ,0,
x
yexye
===
d)
2
,1,2
yxyy
===

Bài 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh: i) trục Ox ii) trục Oy
a)
2
(2),4
yxy
=-=
b)
22

,4,4
yxyxy
===

c)
2
1
,0,0,1
1
yyxx
x
====
+
d)
2
2,0
yxxy
=-=

e)
.ln,0,1,
yxxyxxe
====
f)
2
(0),310,1
yxxyxy
=>=-+=

g)

2
,
yxyx
== h)
( )
2
2
– 4 1
xy
+=

i) 1
4
9
22
=+
yx
k)
1,2,0,0
yxyyx
=-===

l)
2
0,2,0
xyyx
-===
m)
23
,0,1

yxyx
===

Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng
Trang 100


Bài 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
-
2
0
2
dxxx b)
3
7
84
2
12
x
dx
xx+-
ò
c)
3
2
1
21
xxdx

-+
ò

d)
2
2
1
1
2
x
dx
x
-
ỉư
-
ç÷
+
èø
ò
e)
5
3
(22)
xxdx
-
+
ò
f)
1
2

0
252
dx
xx
++
ò

g)
1
2
0
(1)
xdx
x+
ò
h)
0
2
1
24
dx
xx
-
++
ò
i)
2
32
2
0

249
4
xxx
dx
x
+++
+
ò

k)
1
3
2
0
1
x
dx
x+
ò
l)
1
2
0
1
xdx
x
+
ò
m)
1

3
0
(1)
xdx
x+
ò

Bài 2. Tính các tích phân sau:
a)
ò
-+
2
1
11
dx
x
x
b)
3
32
0
1
xxdx
+
ò
c)
9
3
1
1

xxdx
-
ò

d)
3
53
2
0
2
1
xx
dx
x
+
+
ò
e)
4
1
2
54
dx
x
-
++
ò
f)
2
4

5
0
1
x
dx
x+
ò

g)
2
22
0
4
xxdx
-
ò
h)
2
1
22
xdx
xx
++-
ò
i)
0
1
1
xxdx
-

+
ò

k)
3
23
0
1.
xxdx
+
ò
l)
1
32
0
3
xxdx
+
ò
m)
3
1
3
313
x
dx
xx
-
-
+++

ò

o)
1
52
0
1
xxdx
-
ò
p)
3
33
0
1.
xxdx
+
ò
q)
7/3
3
0
1
31
x
dx
x
+
+
ò

r)
1
2
2
3
0
(1)
xx
dx
x
+
+
ò
s)
10
5
21
dx
xx

ò
t)
1
32
0
1
xxdx
-
ò

Bài 3. Tính các tích phân sau:
a)
/4
2
0
12sin
1sin2
x
dx
x
p
-
+
ò
b)
/2
0
sin2sin
13cos
xx
dx
x
p
+
+
ò
c)
/2
0

sin2cos
1cos
xx
dx
x
p
+
ò

d)
/2
22
0
sin2
cos4sin
x
dx
xx
p
+
ò
e)
/2
0
sinsin2sin3
xxxdx
p
ò
f)
/2

5
0
cos
xdx
p
ò

g)
/2
44
0
cos2(sincos)
xxxdx
p
+
ò
h)
/3
2
/4
tan
cos1cos
x
dx
xx
p
p
+
ò
i)

2
0
sin
1cos
xx
dx
x
p
+
ò

k)
/4
2
0
tan
xxdx
p
ò
l)
/2
0
sin2
cos1
x
dx
x
p
+
ò

m)
/2
0
sin
13cos
x
dx
x
p
+
ò

o)
/2
2004
20042004
0
sin
sincos
x
dx
xx
p
+
ò
p)
/2
3
0
4sin

1cos
x
dx
x
p
+
ò
q)
/4
2
0
12sin
1sin2
x
dx
x
p
-
+
ò

IV. ÔN TẬP TÍCH PHÂN
Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 101
r)
/2
0
cos3
sin1
x

dx
x
p
+
ò
s)
/2
22
0
sin
sin2coscos
2
xdx
x
xx
p
+
ò
t)
/3
2
2
0
sin
sin2cos
xxdx
xx
p
ò

Bài 4. Tính các tích phân sau:
a)
3
2
0
ln(5)
xxdx
+
ò
b)
ò
-
3
2
2
)ln( dxxx c)
1
2
0
(2)
x
xedx
-
ò

d)
/2
sin
0
(cos)cos

x
exxdx
p
+
ò
e)
ln5
ln3
23
xx
dx
ee
-
+-
ò
f)
22
1
ln
e
xxdx
ò

g)
3
1
1
ln
e
x

xdx
x
+
ò
h)
1
2
0
(1)
x
xedx
+
ò
i)
1
0
1
x
dx
e
+
ò

k)
2
2
2
0
(2)
x

xe
dx
x+
ò
l)
1
22
0
(421)
x
xxedx

ò
m)
2
2
1
ln(1)
x
dx
x
+
ò

o)
/2
3
0
sin5
x

exdx
p
ò
p)
2
1
ln
e
x
dx
x
ò
q)
1
2
0
ln(1)
xxdx
+
ò

r)
1
32ln
12ln
e
x
dx
xx
-

+
ò
s)
ò
+
e
dx
x
xx
1
ln.ln31
t)
3
2
1
ln
ln1
e
x
dx
xx+
ò

Bài 5. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
3
31,0,0,1
yxxyxx
=-+===-
b)

4
,0,2,1
2
yyxx
x
===-=
-

c)
42
19
2,0
44
yxxy
=-++=
d)
,2,1
x
yeyx
===

e)
11
1,0,2,4
21
yxyxx
x
=-+===
-
f)

22
2,4
yxxyxx
=-=-+

g)
21
,0,0
1
x
yyx
x
+
===
+
h)
2
,0
1
xx
yy
x
-+
==
+

m)
2
32
,,0,1

1
xx
ytiệmcậnxiênxx
x
+-
===
+

n)
2
2
,0,
1
xx
yytiếptuyếnvẽtừgốctoạđộ
x
+-
==
+

o)
32
331
yxxx
=+++
, tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với trục tung.
p)
3
1
3

4
yxx
=-
, tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thò có hoành độ x =
23
.
Bài 6. Tính thể tích các vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau quanh trục:
a)
,0,3;
yxyxOx
=== b)
ln,0,1,;
yxxyxxeOx
====
c)
,0,1;
x
yxeyxOx
=== d)
22
4,2;
yxyxOx
=-=+
e)
2
4,0;
yxxOy
=-= f)
,0,1;

y
xyexyOy
===

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.