Lý thuyết và đề thi môn đại số tuyến tính
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (346.95 KB, 44 trang )
TTLT ĐH Vónh Viễn thân tặng Trang 1
Phần 1 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
CHƯƠNG I. KHÔNG GIAN VECTƠ
I. Phép toán 2 ngôi :
1. Đònh nghóa : Ánh xạ f : A x A → A được gọi là một phép toán 2
ngôi trên A. (a, b) → c = f(a, b)
Ví dụ : 2 phép cộng, nhân thông thường là một phép toán 2 ngôi
trên
.
Ví dụ : (♣ ) :
2
→
được đònh nghóa a♣ b = a
2
−
b
2
+ 5ab là 1
phép toán 2 ngôi. Với phép toán (♣ ) như trên ta có
3 ♣ (
−
6) = 3
2
−
(
−
6)
2
+ 5(3)(
−
6) =
−
117.
2. Các tính chất :
i) Phép toán 2 ngôi T trên A được gọi là có tính giao hoán nếu
a T b = bTa,∀a, b∈A.
ii) Phép toán 2 ngôi trên A gọi là có tính kết hợp nếu
(aTb)Tc = a T(bTc), ∀a,b∈A.
iii) Cho
*
và T là 2 phép tính 2 ngôi trên A Phép
*
gọi là có tính chất
phân bố đối với phép T nếu :
∗ = ∗
∗ = ∗ ∗ ∀ ∈
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ), , ,
a bTc a b T aTc
bTc a b a T c a a b c A
3. Các phần tử đặc biệt : Cho phép tính 2 ngôi
*
trên A. Ta có
i) e gọi là phần tử trung hòa của phép toán
*
trên A nếu
e
*
a = a
*
e, ∀a ∈ A.
ii) Cho a ∈ A, a
−
1
gọi là phần tử đáo của a nếu
a
*
a
−
1
= a
−
1
*
a = e
Ví dụ : Trên
phép nhân phân bố đối với phép + :
a.(b+c) = ab + a.c
+ Phân tử trung hòa của phép + là 0 và của phép × là 1.
+ Đối với phép + thì ∀a ∈
ta có phần tử đảo (đối) là
−
a.
+ Đối với phép × thì ∀a ∈
, a ≠ 0 ta có phần tử đảo (đối)
là a
−
1
=
1
a
.
II. Cấu trúc trường : Cho tập K với 2 phép toán 2 ngôi + và ., ta có
Cấu trúc đại số (K, +, . ) được gọi là 1 trường nếu :
1) (a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c ∈ K.
2) ∃ 0 ∈ K : 0 + a = a + 0 = a, ∀ a ∈ K.
3) ∀ a ∈ K, ∃
−
a ∈ K : a + (
−
a) =
−
a + a = 0.
4) ∀ a, b ∈ K : a + b = b + a
5) ∀ a, b, c ∈ K : (a.b).c = a.(b.c)
6) ∃ 1 ∈ K : 1.a = a.1 = a, ∀ a ∈ K
Đại Số Tuyến Tính & Giải Tích Trang 2
7) ∀ a ∈
K
∗
,
∃
a
−
1
: a.a
−
1
= a
−
1
.a = 1
8)
∀
a, b
∈
K : a.b = b.a
9)
∀
a, b, c
∈
K ta có : a. (b + c) = a.b + a.c
Ví dụ :(
, +, .) không là trường vì
∃
3
∈
Z không có phần tử đảo
∉
1
3
;
(
, +, .) ; (
, +, .) là 1 trường.
III. Đònh nghóa không gian vectơ : (không gian tuyến tính)
Cho trường K và tập V
≠∅
, phép + là phép toán 2 ngôi trên V
phép. là 1 ánh xạ từ KxV
→
V,
∀
k
∈
K,
∀
x
∈
V ⇒ k.x
∈
V. V được gọi là 1
không gian vectơ trên trường K nếu có tính chất sau thỏa
i) x + y = y + x,
∀
x, y
∈
V
ii) (x + y) + z = x + (y + z),
∀
x, y, z
∈
V
iii)
∃
θ
∈
V : x +
θ
= x,
∀
x
∈
V
iv)
∀
x
∈
V,
∃
−
x : x + (
−
x) =
θ
v)
∃
1
∈
K : 1.x = x,
∀
x
∈
V
vi)
α
(
β
x) = (
αβ
).x,
∀
α
,
β
∈
K,
∀
x
∈
V
vii) (
α
+
β
)x =
α
x +
β
x,
∀
α
,
β
∈
K,
∀
x
∈
V.
viii)
α
(x + y) =
α
x +
α
y,
∀α
∈
K,
∀
x, y
∈
V
mỗi phần tử của không gian vectơ V được gọi là 1 vectơ.
Ví dụ : i)Tập tất cả vectơ trong
3
là 1 không gian vectơ trên trường R.
ii) Cho
n
=
{
(x
1
, x
2
, , x
n
) / x
i
∈
}
là 1 không gian vectơ trên
trường
với 2 phép tính
(x
1
, x
2
, , x
n
) + (y
1
, y
2
, , y
n
) = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, , x
n
+ y
n
)
∀α∈
R,
∀
x = (x
1
, x
2
, , x
n
)
∈
R
n
α
.x = (
α
x
1
,
α
x
2
, ,
α
x
n
).
IV. Tính chất : Cho không gian vectơ V trên trường K ta có :
1) Vectơ
θ
là duy nhất
2)
∀
x
∈
V,
∃
! (
−
x)
∈
V thỏa x + (
−
x) =
θ
3) 0
∈
K, 0. x =
θ
,
∀
x
∈
V
4)
α
.
θ
=
θ
,
∀α
∈
K.
5)
−
x = (
−
1).x ,
∀
x
∈
V.
V. Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính :
1. Đònh nghóa : Cho V là không gian vectơ trên trường K và
x
1
, x
2
, , x
m
∈
V.
i) y =
α
1
x
1
+
α
2
x
2
+ +
α
m
x
m
=
α
=
∑
1
m
i i
i
x
,
α
i
∈
K, được gọi là tổ hợp
tuyến tính của x
1
, x
2
, , x
m
.
ii) x
1
, x
2
, , x
m
gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu
∃
(
α
1
,
α
2
, ,
α
m
)
≠
(0, 0, , 0) (
α
i
∈
K) sao cho
α
1
x
1
+
α
2
x
2
+ +
α
m
x
m
=
θ
(
α
=
∑
1
m
i i
i
x
=
θ
).
TTLT ĐH Vónh Viễn thân tặng Trang 3
Tập M =
{
x
1
, x
2
, , x
m
}
gồm các vectơ phụ thuộc tuyến
tính gọi là tập phụ thuộc tuyến tính.
iii) x
1
, x
2
, , x
m
gọi là độc lập tuyến tính nếu chúng không
phụ thuộc tuyến tính. Nói cách khác x
1
, x
2
, , x
m
là độc lập tuyến tính
nếu
α
1
x
1
+
α
2
x
2
+ +
α
m
x
m
=
θ
⇒
α
i
= 0,
∀
i =
1,m
.
* Nếu x
1
, x
2
, , x
m
độc lập tuyến tính thì T =
{
x
1
, x
2
, , x
m
}
gọi
là tập độc lập tuyến tính.
Ví dụTrong
3
cho u = (
−
3, 0, 1), v = (0,
−
1, 1), z = (1, 1, 0), y = (
−
2, 1, 1).
Ta có :
a) z = 3u
−
y + v = 3 (
−
3, 0, 1)
−
(
−
2, 1, 1) + (0,
−
1, 1) = (
−
7,
−
2, 3) là 1 tổ
hợp tuyến tính của u, y, v.
b)
{
u, v, z
}
là độc lập tuyến tính vì giả sử
α
u +
β
v +
γ
z =
θ
⇒ (
−
3
α
, 0,
α
) + (0,
−
β
,
β
) + (
γ
,
γ
, 0) = (0, 0, 0) ⇒
α γ
β γ
α β
-3 + =0
- + =0
+ =0
⇒
α
=
β
=
γ
= 0
c) Ta có : u + z
−
y =
θ
⇒ u, z, y là phụ thuộc tuyến tính.
Nhận xét : Tập M gồm 1 vectơ M
{
x
}
là phụ thuộc tuyến
tính
⇔
x =
θ
(và độc lập tuyến tính
⇔
x
≠
θ
)
2. Đònh lý : Cho không gian V trên trường K
i) Tập con của 1 tập độc lập tuyến tính là độc lập tuyến tính nói
cách khác : D
⊂
A
⊂
V và A độc lập tuyến tính.
⇒ D độc lập tuyến tính cách nói khác : D
⊂
A
⊂
V và D
phụ thuộc tuyến tính ⇒ A phụ thuộc tuyến tính.
ii) với m>1, ta có
+ x
1
, x
2
, , x
m
phụ thuộc tuyến tính
⇔
∃
x
j
: x
j
=
α
=
≠
∑
1
m
i i
i
i j
x
+ x
1
, x
2
, , x
m
phụ thuộc tuyến tính
⇔
có 1 vectơ là tổ hợp tuyến tính của những vectơ còn lại.
3. Hệ quả : mọi tập chứa vectơ
θ
đều phụ thuộc tuyến tính :
0.x
1
+0.x
2
+ +0.x
m
+1.
θ
=
θ
VI. Cơ sở, số chiều :
1. Đònh nghóa :
i) Cho không gian V trên trường K, M
⊂
V. Ta nói M là tập sinh của V
nếu mọi vectơ trong V đều là tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong M.
(
∀
x
∈
V ⇒ x =
α
=
∑
1
n
i i
i
v
,
α
i
∈
K, v
i
∈
M). Lúc đó ta nói V sinh bởi M.
ii) Không gian V được gọi là hữu hạn chiều nếu V có 1 tập sinh hữu
hạn. (Ở đây, ta chỉ khảo sát không gian hữu hạn chiều).
Đại Số Tuyến Tính & Giải Tích Trang 4
iii) V
⊃
B =
{
u
1
, u
2
, u
3
, , u
n
}
được gọi là 1 cơ sở của V nếu B độc lập
tuyến tính và B sinh ra V.
Ví dụ: B =
{
e
1
= (1, 0, 0), e
2
= (0, 1, 0) , e
3
= (0, 0, 1)
}
là cơ sở của R
3
vì B
độc lập tuyến tính và
∀
x = (x
1
, x
2
, x
3
)
∈
R
3
⇒ x = x
1
e
1
+ x
2
e
2
+ x
3
e
3
.
H =
{
u
1
= (1, 3, 0) , u
2
= (0,
−
1, 9) , u
3
= (1, 2, 9)
}
không là cơ sở của
R
3
vì H phụ thuộc tuyến tính (do u
3
= u
1
+ u
2
).
B =
{
e
1
, e
2
, e
3
, , e
n
}
với e
1
=(1, 0, 0, , 0), e
2
=(0, 1, 0, , 0), ,
e
n
=(0, 0, , 0, 1) là cơ sở của
n
vì B độc lập tuyến tính và mọi
x = (x
1
, x
2
, , x
n
)
∈
n
⇒ x = x
1
.e
1
+ x
2
.e
2
+ + x
n
.e
n
(cơ sở này gọi là cơ sở
chính tắc của R
n
).
2. Mệnh đề : u
1
, u
2
, , u
m
là tổ hợp tuyến tính của v
1
, v
2
, , v
n
và m > n ⇒ u
1
, u
2
, , u
m
phụ thuộc tuyến tính. Nói cách khác : không có
quá n vectơ độc lập tuyến tính là tổ hợp tuyến tính của n vectơ cho
trước, cách nói khác : u
1
, u
2
, , u
m
là tổ hợp tuyến tính của v
1
, v
2
, , v
n
và
u
1
, u
2
, , u
m
độc lập tuyến tính ⇒ m
≤
n
3. Đònh lý : Mọi cơ sở của cùng 1 không gian vectơ có số phần tử
bằng nhau. (B
1
, B
2
là cơ sở của V ⇒
|
B
1
|
=
|
B
2
|
).
4. Đònh nghóa:Số vectơ trong 1 cơ sở của không gian V gọi là số
chiều của V ký dim V.
Ví dụ: dim
n
= n.
5. Đònh lý : Cho không gian V với dim V = n. Ta có :
i) Mọi tập gồm n vectơ độc lập tuyến tính của V đều là cơ
sở của V.
ii) Có thể bổ sung thêm n
−
k vectơ vào tập gồm k (k < n)
vectơ độc lập tuyến tính để tạo nên 1 cơ sở của V.
VII. Tọa độ của 1 vectơ :
1. Đònh nghóa: Cho B =
{
e
1
, e
2
, , e
n
}
là 1 cơ sở của không gian V,
x
∈
V, nếu x=
=
∑
1
n
i i
i
x e
= x
1
e
1
+ x
2
e
2
+ + x
n
e
n
thì x = (x
1
, x
2
, x
3
, , x
n
)
được gọi là tọa độ của x trong cơ sở B (đối với cơ sở B)
Ký x = (x
1
, x
2
, x
3
, , x
n
) / B
hoặc x =
1
2
n
B
x
x
x
2. Tính chất : x = (x
1
, x
2
, , x
n
), y = (y
1
, y
2
, , y
n
)
x + y = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, , x
n
+ y
n
),
α
x = (
α
x
1
,
α
x
2
, ,
α
x
n
)
* Khi cho tọa độ của 1 vectơ mà không nói thêm gì là cho
tọa độ trong cơ sở chính tắc.
Ví dụ : Cho
{
u
1
= (1, 0, 3), u
2
= (0, 1,
−
1), u
3
= (1, 1, 0)
}
= T
TTLT ĐH Vónh Viễn thân tặng Trang 5
i) CM T là 1 cơ sở của
3
.
Tập T gồm 3 vectơ trong không gian 3 chiều. Do đó để
CM T là cơ sở của R
3
ta chỉ cần CM T độc lập tuyến tính.
Giả sử
α
1
u
1
+
α
2
u
2
+
α
3
u
3
=
θ
⇒
α α
α α
α α
+ =
+ =
− =
1 3
2 3
1 2
0
0
3 0
⇒
α
1
=
α
2
=
α
3
⇒ T độc lập tuyến tính.
ii) Tìm tọa độ của v = (1,
−
2, 5) trong cơ sở được sắp T.
Gọi (
β
1
,
β
2
,
β
3
) là tọa độ của v trong cơ sở được sắp T.
⇒ v =
β
1
u
1
+
β
2
u
2
+
β
3
u
3
= (1,
−
2, 5).
⇔
β β
β β
β β
+ =
+ = −
− =
1 3
2 3
1 2
1
2
3 5
⇔
β β
β β
β β
+ =
+ =
− =
1 3
1 3
1 2
1
3 3
3 5
⇔
β
β
β
=
= −
=
1
2
3
1
2
0
⇒ v = (1,
−
2, 0) / T
Ví dụ :Cho F =
{
f
1
, f
2
, , f
n
}
⊂
R
n
với f
1
= (1, 0, 0, , 0), f
2
= (1, 1, 0, , 0),
f
3
= (1, 1, 1, 0, , 0), , f
n
= (1, 1, 1, , 1). Tìm tọa độ của
x = (x
1
, x
2
, , x
n
) trong cơ sở F ?
VIII. Không gian con - Hạng của hệ vectơ :
Cho V là không gian trên trường K.
1. Đònh nghóa : Cho không gian vectơ V trên trường K. W
⊂
V, W
≠
∅
.
W được gọi là không gian con của V nếu đối với 2 phép + và . đã đònh
nghóa trên V thì W cũng là 1 không gian vectơ.
2. Đònh lý : W
⊂
V, W
≠
∅
. W là không gian con nếu :
i)
∀
x, y
∈
W ⇒ x + y
∈
W
ii)
∀
α
∈
K,
∀
x
∈
W ⇒
α
.x
∈
W.
Hệ quả : i) và ii)
⇔
“
∀α
∈
K,
∀
x, y
∈
W ⇒
α
x + y
∈
W“.
Ví dụ :V là 1 không gian con của V,
{θ}
là 1 không gian con của V.
Cho W =
{
(x
−
y, x + y, 3x) / x, y
∈
R
}
chứng minh W là 1 không gian
con của
3
. Tìm dim W.
i)
∀
u = (x
−
y, x + y, 3x), v = (x’
−
y’, x’ + y’, 3x’)
∈
W
⇒ u + v = (x + x’
−
y
−
y’, x “ x’ + y “ y’, 3(x “ x’))
= (x”
−
y”, x” + y”, 3x”) với x” = x + x’, y” = y+ y’ ⇒ u + v
∈
W
ii)
∀α
∈
R,
∀
u = (x
−
y, x + y, 3x)
∈
W ⇒
α
u = (
α
x
−
α
y,
α
x + 2y, 3
α
x)
∈
W
(hiển nhiên W
≠
∅
) i) và ii) ⇒ W là không gian con.
Cho x = 1, y = 0 ⇒ u
1
= (1, 1, 3), cho x = 0, y = 1 ⇒ u
2
= (
−
1, 1, 0)
hiển nhiên u
1
, u
2
∈
W và u
1
, u
2
độc lập và
∀
u = (x
−
y, x + y, 3x)
∈
W.
Ta có : u = x.u
1
+ y.u
2
⇒
{
u
1
, u
2
}
là 1 cơ sở của W ⇒ dim W = 2
Đại Số Tuyến Tính & Giải Tích Trang 6
Ví dụ : Cho S =
{
u
1
, u
2
, , u
m
}
⊂
V và T =
{
1
m
i i
i
u
α
=
∑
/
α
i
∈
K, u
i
∈
S
}
dễ dàng
chứng minh được T là không gian con của V. T gọi là không gian con sinh
bởi S ký T = < S >.
3. Đònh nghóa : Cho M =
{
u
1
, u
2
, , u
k
}
⊂
V và D =
{
v
1
, v
2
, , v
h
}⊂
M. D
được gọi là tập độc lập tuyến tính tối đại của M nếu mọi phần tử (hay
vectơ) trong M đều là tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong D và D độc
lập tuyến tính.
Nhận xét :
i)D
1
và D
2
là 2 tập độc lập tuyến tính tốc đại của M ⇒
|
D
1
|
=
|
D
2
|
ii) 1 cơ sở của không gian V là 1 tập độc lập tuyến tính tối đại của
không gian đó.
iii) D là tập độc lập tuyến tính tối đại của M và D có h phần tử ⇒
mọi tập con của M có nhiều hơn h phần tử đều phụ thuộc tuyến tính.
4. Đònh nghóa : Số phần tử của 1 tập độc lập tuyến tính tối đại của
M được gọi là hạng của M.
5. Đònh lý : Giả sử M
⊂
V, M có hạng là r ⇒ không gian con sinh bởi M
có số chiều là r. (
|
M
|
= r ⇒ dim < M > = r ).
CM :Giả sử D là tập con đ lập tuyến tính tối đại của M và
|
D
|
= r ⇒ D sinh
ra M mà M sinh ra < M > ⇒ D sinh ra < M > ⇒ dim < M > = r.
CHƯƠNG II. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
I. Vài khái niệm :
1. Ma trận cỡ m x n trên trường K (
≡
R) là một bảng hình chữ nhật
gồm m dòng và n cột các số trên trường K :
A = (a
ij
)
m x n
=
11 12 13 1n
21 22 23 2n
1 m2 m3 mn
a a a
a a a
a a a
m
a
a
a
Ký A
m x n
hay A = (a
ij
)
m x n
a
ij
là phần tử nằm trên dòng i và cột j. i là chỉ số dòng, j là chỉ số cột.
2. Nếu m = n thì ma trận A
n x n
được gọi là ma trận vuông cấp n.
3. Ma trận đơn vò cấp n là ma trận vuông cấp n thỏa :
a
ii
= 1,
∀
i =
1,n
a
ij
= 0,
∀
i
≠
j ( i =
1,n
, j =
1,n
)
Ký :
I = I
n
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
4. Ma trận chéo là ma trận vuông có a
ij
= 0,
∀
i
≠
j.
TTLT ĐH Vónh Viễn thân tặng Trang 7
A =
α
α
α
α
1
2
3
n
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
5.i)Ma trận tam giác trên là ma trận vuông cấp n có a
ij
= 0,
∀
i > j.
A =
11 12 13 1n
22 23 2n
33 3n
nn
a a a
0 a a a
0 0 a a
0 0 0 a
a
ii)Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông cấp n có a
ij
= 0,
∀
i < j.
A =
11
21 22
1 n2 n3 n n
0 0 0
a a 0 0
a a a
n
a
a
6. Ma trận
đối xứng
là ma trận vuông cấp n có a
ij
= a
ji
∀
i , j =
1,n
II. Các phép toán trên ma trận :
1.Ma trận chuyển vò của A là A
T
=
11 21 n1
12 22 n2
1 2n nn
a a
a a
a a
n
a
a
a
2.Ma trận bằng nhau:2 ma trận cùng cỡ gọi là bằng nhau nếu a
ij
=b
ij
∀
i, j.
3.Cho A = (a
ij
)
m x n
và B = (b
ij
)
m x n
, C = (c
ij
)
m x n
= A + B nếu
c
ij
= a
ij
+ b
ij
∀
i=
1,m
,
∀
j =
1,n
.
Ví dụ: A =
0 1 3
5 6 9
, B =
-2 8 1
3 2 0
⇒ A + B =
-2 9 4
8 8 9
4. A = (a
ij
)
m x n
⇒
α
.A = (
α
.a
ij
)
m x n
.
Ví dụ: A =
1 8 2
0 -3 7
⇒
−
5A =
-5 -40 -10
0 15 -35
5. Cho A
m x n
và B
n x p
ma trận A.B là :
C = A.B = (c
ij
)
m x n
với c
ij
=
∑
n
k=1
a
ik
.b
kj
= a
i1
b
1j
+ a
i2
b
2j
+
Đại Số Tuyến Tính & Giải Tích Trang 8
c
ij
= (a
i1
a
i2
a
i3
a
in
)
1
2
j
j
nj
b
b
b
= dòng i của A x cột j của B.
Ví dụ: A =
3 2 1
-5 0 4
, B =
1 2
3 -1
5 8
⇒ A.B =
14 12
15 22
Ghi chú: i) A.B chỉ tồn tại khi số dòng của A = số cột của B. Có khi A.B
tồn tại nhưng B.A không tồn tại
ii) A.B có số dòng = số dòng của A và số cột = số cột của B.
Nhận xét :Tập tất cả ma trận cỡ m x n trên
ký MT
m x n
(
) là 1 không
gian vectơ trên R có dimMT
m x n
(
) = m x n.
B =
{
E
11
, E
12
, , E
mn
}
là 1 cơ sở của U
m x n
(
)
với E
ij
=
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
→
dòng i
cột j
E
ij
có e
ij
= 1 và tất cả các phần tử khác đều bằng 0.
Ta có 1 số tính chất sau :
i) A + B = B + A, A, B là 2 ma trận cùng cỡ
ii) (A + B) + C = A + (B + C) , A, B, C là 3 ma trận cùng cỡ
,O +A = A +O = A ,-A+A = O
iii)
α
(A + B) =
α
A +
α
B , (
α
+
β
)A =
α
A +
β
A
iv) (A.B)C = A(B.C), giả sử (A.B)C tồn tại
v) A. (B + C) = A.B + A.C
vi) (A.B)
T
= B
T
.A
T
, giả sử A.B tồn tại
vii) A.I = I.A = A, A, I là 2 ma trận vuông cùng cấp, I là matrận
đơn vò
viii) Thông thường A.B
≠
B.A
III. Đònh nghóa đònh thức :
Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta đònh nghóa đònh thức cấp n của
ma trận A. Ký
A
hay detA
−
bằng qui nạp như sau :
1. n = 1 ⇒ A = (a
11
) ⇒ det A = a
11
2. n = 2 ⇒
A
= det A =
11 12
21 22
a
a
a
a
= a
11
a
22
−
a
12
a
21
TTLT ĐH Vónh Viễn thân tặng Trang 9
3. n = 3 ⇒ det A =
= − +
11 12 13
22 23 21 23 21 22
21 22 23 11 12 13
31 3232 33 31 33
31 32 33
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
aa a
dấu của phần tử a
ij
theo qui luật :
- +
( 1) - + -
+ - +
i j+
+
− →
4. Đònh thức con bù của a
ij
là đònh thức của ma trận có từ A bằng
cách bỏ đi dòng i và cột j (bỏ đi dòng và cột chứa a
ij
)
Ký : M
ij
=
11 12 1j 1n
i1 i2 ij in
n1 n2 nj nn
a a a a
a a a a
a a a a
dòng i
cột j
Ví dụ : A = (a
ij
)
3 x 3
⇒ a
12
=
21 23
31 33
a
a
a
a
phần bù đại số của a
ij
ký A
ij
= (
−
1)
i + j
M
ij
.
5. Đònh thức cấp n của ma trận vuông cấp n được đònh nghóa :
det A =
+
= =
− =
∑ ∑
1 1
( 1)
n n
i j
ij ij ij ij
j j
a M a A
= a
i1
A
i1
+ a
i2
A
i2
+ a
i3
A
i3
+ + a
in
A
in
= (
−
1)
i + 1
a
i1
M
i1
+ (
−
1)
i + 2
a
i2
M
i2
+ + (
−
1)
i + n
a
in
M
in
Công thức trên được gọi là công thức khai triển theo dòng i.
6. Đònh thức cấp n của ma trận vuông cấp n còn được đònh nghóa :
det A =
+
= =
− =
∑ ∑
1 1
( 1)
n n
i j
ij ij ij ij
i i
a M a A
= + + +
1 1 2 2
j j j j nj nj
a A a A a A
=
1+j 2+j n+j
1j 1j 2j 2j nj nj
( -1) a M + ( -1) a M + + ( -1) a M
Công thức trên được gọi là công thức khai triển theo cột j.
Ghi chú :Đònh thức cấp 3 có thể tính theo qui tắc Sarrus như sau :
|
A
|
=
11 12 13
11 12
21 22 23 21 22
31 32
31 32 33
a a
a
a a a
a a a
a
a
a a
aa
Đại Số Tuyến Tính & Giải Tích Trang 10
|
A
|
= a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
−
a
13
a
22
a
31
−
a
11
a
23
a
32
−
a
12
a
21
a
33
|
A
|
= tổng các tích trên đường chéo chính
−
tổng các tích trên đường
chéo phụ. (Qui tắc Sarrus không còn đúng với đònh thức cấp n
≥
4).
IV. Tính chất của đònh thức : Cho A là ma trận vuông cấp n.
1. Nếu A có 1 dòng (hoặc cột) = 0 thì det A = 0.
2. det A
T
=
det A .
Ví dụ :
1 3 0
5 -1 2
0 9 6
=
1 5 0
3 -1 9
0 2 6
3. Đổi chỗ 2 dòng (hoặc cột) thì đònh thức đổi dấu.
Ví dụ:
a x m
b y n
c z k
=
−
x a m
y b n
z c k
=
−
= −
b y n z k
a x m b y n
c z k a x m
c
Hệ quả:Đònhthức có 2 dòng (hoặc cột) bằng nhau thì bằng 0.
4. Thừa số chung của 1 dòng (hoặc cột) có thể đưa ra ngoài dấu
đònh thức.
Ví dụ :
5a a' a"
5b b' b"
3c c' c"
= 5
a a' a"
b b' b"
3
c' c"
5
c
A là ma trận vuông cấ n ta có det (k A) = k
n
det A
ka kb kc
x y z
u v s
= k.
a b c
x y z
u v s
Hệ quả : Đònh thức có 2 dòng (hoặc cột) tỉ lệ thì bằng 0.
Ví dụ :
6 12 -18
1 2 -3
4 5 -12
= 0 Ví dụ :
3a 3b 3c
a b c
x y z
= 0
5. Nếu dòng (hoặc cột) A
i
của A là A
i
=
α
B
i
+
β
C
i
thì
det A = D (A
1
, A
2
, ,
α
B
i
+
β
C
i
, , A
n
)
=
α
D (A
1
, A
2
, , B
i
, , A
n
) +
β
D (A
1
, A
2
, , C
i
, , A
n
)
Ví dụ :
+
1 x m a x m 1 x m
a'-5 y u = a' y u + -5 y u
a" z v a" z v 0 z v
a
+
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
y+y z+z x y z
x y z
b c = a b c +
b c
a b c a b c a b c
x x
a a
TTLT ĐH Vónh Viễn thân tặng Trang 11
6. Đònh thức không đổi nếu ta thay 1 dòng (hoặc cột) bằng dòng
đó (hoặc cột đó) cộng với tổ hợp tuyến tính của những dòng (hoặc cột)
khác.
Ví dụ :
= =
a b c b c b-a c
1 2 3 1 2 3 1 1
3
5 6 7 a+6 b+8 c+10 5 1 7
a a
7.Hệ quả :i) det A = 0
⇔
hệ các vectơ dòng (hoặc cột) phụ thuộc
tuyến tính.
ii)det A
≠
0
⇔
hệ các vectơ dòng (hoặc cột) độc lập tuyến
tính.
V. Ma trận nghòch đảo : Cho A là ma trận vuông cấp n :
1. Đònh lý : Cho A, B là 2 ma trận vuông cấp n ta có :
i) det (A. B) = det A. det B
ii) det (A
m
) = (det A)
m
, m
∈
∗
.
2. Đònh nghóa : Cho A
n x n
, nếu tồn tại ma trận B sao cho A. B = B.A = I
thì ta nói B là ma trận nghòch đảo của A và ký hiệu A
−
1
= B.
+Nếu A có ma trận nghòch đảo ta nói A khả nghòch (hay khả đảo).
+Nếu A
−
1
= B thì B
−
1
= A.
3. A
ij
là phần bù đại số của a
ij
. Ma trận phó (ma trận phụ hợp) của
A ký hiệu à hay P
A
được đònh nghóa : Ã = ma trận chuyển vò của (A
ij
)
n x n
4. Đònh lý :
A. Ã = Ã . A =
|
A
|
. I =
A 0 0 0
0 A 0 0
0 0 0 A
5. Hệ quả nếu
|
A
|
≠
0 ta có A
−
1
=
1
A
.Ã.
Ghi chú : + det A
≠
0 ta nói A không suy biến.
+A không suy biến
⇔
A khả nghòch.
6. Giả sử A, B khả nghòch ta có :
i) (A
−
1
)
−
1
= A
ii) (A.B)
−
1
= B
−
1
. A
−
1
iii) (A
T
)
−
1
= (A
−
1
)
T
iv) Phương trình A.X = C có duy nhất nghiệm X = A
−
1
C
v) Phương trình Y.A = C có duy nhất nghiệm Y = C.A
−
1
VI. Hạng của ma trận :
1. Đònh nghóa :
Đại Số Tuyến Tính & Giải Tích Trang 12
i) Ma trận có từ A bằng cách xóa đi một số dòng và một số
cột được gọi là ma trận con của A.
ii) Đònh thức của ma trận con cấp k được gọi là đònh thức
con cấp k.
iii) Ta nói ma trận A có hạng là r nếu A có tồn tại một đònh
thức con cấp r khác 0 và mọi đònh thức con cấp r + 1 đều bằng 0. (nói
cách khác, r là cấp cao nhất của những đònh thức con khác 0), hạng
của ma trận A ký hiệu là r(A).
2. Hệ quả :
i) r (A
m x n
)
≤
min
{
m, n
}
ii) r (A
T
) = r (A)
iii) r (A
n x n
) = n
⇔
det (A
n x n
)
≠
0
3. Đònh lý : Hạng của ma trận A = hạng của hệ vectơ dòng = hạng
của hệ vectơ cột.
4. Đònh nghóa : Các phép biến đổi sau được gọi là phép biến đổi sơ
cấp trên dòng của một ma trận :
i) Đổi chỗ 2 dòng
ii) Nhân 1 dòng với số k
≠
0
iii) Thay 1 dòng bằng dòng đó cộng với tổ hợp tuyến tính
của những dòng khác.
5. Đònh lý :
i)Phép biến đổi sơ cấp trên dòng không làm đổi hạng của ma trận.
ii)Nếu B có từ A bằng các ph biến đổi sơ cấp trên dòng thì A cũng có từ
B bằng các ph biến đổi sơ cấp trên dòng ngược lại và theo thứ tự ngược
lại.
iii)Nếu bằng các ph biến đổi sơ cấp trên dòng
ϕ
1
,
ϕ
2
, ,
ϕ
n
ta đưa A về I
thì cũng bằng các ph b đổi sơ cấp trên dòng ở trên và theo cùng thứ tự
đó ta đưa I về A
−
1
.
(A
|
I)
ϕ ϕ
1
, ,
2
→
(I
|
A
−
1
)
Chương 3 : HỆ PT TUYẾN TÍNH
I. VÀI KHÁI NIỆM :
1.Hệ pt tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn có dạng: (aij
∈
R, bi
∈
R)
(1)
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
2. A =
11 12 1
1 2
n
m m mn
a a a
a a a
được gọi là ma trận hệ số của hệ (1).
TTLT ĐH Vónh Viễn thân tặng Trang 13
A
B
=
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
a a a b
gọi là ma trận mở rộng (hoặc bổ
sung) của hệ (1)
Nếu đặt X =
1
2
m
x
x
x
,B =
1
2
m
b
b
b
thì (1) được viết A.X = B (2)
3. Nếu B =
0
0
0
thì hệ (1) gọi là hệ thuần nhất (hay đẳng cấp)
nếu B
≠
0 thì hệ không thuần nhất.
Hệ AX = 0 gọi là hệ thuần nhất kết hợp với AX = B.
4. Nếu thay x
1
=
α
1
, x
2
=
α
2
, , x
n
=
α
n
vào (1) ta có m đẳng thức đúng
thì
α
1
,
α
2
, ,
α
n
gọi là nghiệm của (1).
Nếu AX
0
= B ( với X
0
=
0
1
0
2
0
n
x
x
x
)
là đẳng thức đúng thì X
0
là nghiệm của (2).
5. Nếu hệ (1) có nghiệm ta nói hệ (1) tương thích, ngược lại ta nói
hệ (1) không tương thích :
- hệ (1) có duy nhất nghiệm, ta nói hệ (1) xác đònh.
- hệ (1) có vô số nghiệm, ta nói hệ (1) vô đònh.
Ví dụ :
x
y
z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
y z
− + =
+ − =
+ + =
⇔
− + =
+ − =
⇔
− + =
− = −
3
5
2 5 2
3 4 2 7
3 5
2 5 2
3 5
7 7 8
⇔
− + =
− = −
⇔
+ =
− = −
x y z
y z
x z
y z
3 5
8
7
2
27
7
8
7
Đại Số Tuyến Tính & Giải Tích Trang 14
Hệ này có vô số nghiệm
=
= −
= − ∀ ∈
8
7
27
2
7
z t
y t
z t t R
II. HỆ CRAMER :
Hệ n phương trình, n ẩn với det A
≠
0 được gọi là hệ Cramer.
Đònh lý : Hệ Cramer có duy nhất nghiệm là X = A
-1
B
=
(1)
(2)
( )
1
n
A
A
A
A
với A
( i )
là ma trận có từ A bằng cách thay cột i
thành cột B.
A
(1)
=
1 12 1
2 22 2
2
n
n
n n nn
b a a
b a a
b a a
, , A
( i )
=
11 1 1
21 2 2
1
n
n
n n nn
a b a
a b a
a b a
Ví dụ :
Giải hệ phương trình :
− + = −
+ − =
+ − =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 10
3 2 4
2 7
x x x
x x x
x x x
Ta có :
A =
−
−
−
1 3 1
3 1 2
2 1 1
,
− −
−
= − = − − − = − =
− −
− −
1 3 1 3 2 1
3 2
3 1 2 1 1 2 5
1 1
2 1 1 0 0 1
A
A
( )1
10
3
1
4 1 2
7 1 1
3
2
0
10 1 0
7 1 1
17
=
− −
−
−
=
− −
− −
−
= −
−
= − =
−
(2)
1 10 1
3 4 2 ??
2 7 1
A
(3)
1 3 10
3 1 4
2 1 7
A
− −
=
= ?
TTLT ĐH Vónh Viễn thân tặng Trang 15
⇒
= =
= =
= =
x
A
A
x
A
A
x
A
A
1
1
2
2
3
3
( )
( )
( )
?
?
?
III. ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM :
1. Đònh lý Kronecker - Capelli :
Cho hệ m phương trình, n ẩn : AX = B (2)
Hệ (2) có nghiệm
⇔
R(A) = R(A
B
)
Ví dụ :
− + =
+ − =
+ − =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 5 3 2
6 4 5
x x x
x x x
x x x
vô nghiệm vì R(A) = 2 < R(A
B
) = 3
− + =
+ − =
+ − =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 5 3 2
6 4 1
x x x
x x x
x x x
có nghiệm vì R(A) = R(A
B
) = 2
2. Đònh nghóa : Cho hệ phương trình AX = B với R(A) = r
≥
1 và C là
ma trận con cấp r của A với
|
C
|
≠
0. Ta nói :
i) r phương trình có hệ số là các phần tử của C gọi là r phương trình
chính.
ii) r ẩn mà hệ số là các phần tử của C gọi là r ẩn chính.
3. Đònh lý :
Giả sử hệ m phương trình, n ẩn AX = B (* ) có R(A) = R(A
B
) = r
≥
1.
Ta có :
i) r phương trình chính của (* ) tạo nên một hệ tương đương với (* ).
ii) Nếu cho (n - r) ẩn không chính (ẩn tự do) những giá trò tùy ý. Khi đó r
ẩn chính được xác đònh duy nhất (theo các giá trò đã cho của ẩn tự do)
iii) Bằng cách cho các ẩn tự do mọi giá trò có thể có, và trong mỗi
trường hợp xác đònh giá trò các ẩn chính, ta có mọi nghiệm của (* ).
4. Hệ quả :
Cho hệ m phương trình, n ẩn AX = B (* )
i) (* ) có duy nhất nghiệm
⇔
R(A) = R(A
B
) = n
ii) (* ) vô nghiệm
⇔
R(A) < R(A
B
)
iii) (* ) có vô số nghiệm
⇔
R(A) = R(A
B
) < n
Đại Số Tuyến Tính & Giải Tích Trang 16
Ví dụ :Giải và biện luận hệ phương trình :
+ + =
+ + =
+ + =
2
1
mx y z
x my z m
x y mz m
Tính
|
A
|
,
|
A
(1)
|
,
|
A
(2)
|
,
|
A
(3)
|
. Biện luận các trường hợp sau :
i)
|
A
|
≠
0
ii)
|
A
|
= 0 và
∃|
A
( i )
|
≠
0
iii)
|
A
|
=
|
A
( i )
|
= 0
∀
i =
13,
IV. PHƯƠNG PHÁP GAUSS :
- Các phép bđsc trên dòng cho 1 hệ tương đương
- Thay vì biến đổi trên một hệ phương trình ta biến đổi trên ma
trận mở rộng.
Giả sử sau một số phép bđsc trên dòng ta đưa A
B
về dạng (rút
gọn theo dòng từng bậc) : giả sử
α
11
,
α
22
,
α
rr
≠
0
'
11 12 13 1 1 1
'
22 23 2 2 2
'
33 3 3 3
'
'
1
0
0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
r n
r n
r n
rr rn r
r
b
b
b
b
b
α α α α α
α α α α
α α α
α α
+
Ta có :
i) Nếu
/
r 1
b 0
+
≠
⇒
hệ vô nghiệm
ii) Nếu
/
r 1
b
+
= 0 và r = n thì hệ có duy nhất nghiệm.
iii) Nếu
/
r 1
b
+
= 0 và r < n
⇒
hệ có vô số nghiệm (có n - r ẩn tự do)
Ví dụ : Giải hệ :
− + − =
+ − + = −
− + + + = −
+ + − =
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 13
2 5 6
3 2 3 12
3 2 2 10
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
1 2 1 1 13
2 1 5 1 6
1 3 2 3 12
3 2 1 2 10
− −
− −
− −
−
→
− −
− −
− −
1 2 1 1 13
0 5 7 3 32
0 1 3 2 1
0 8 2 1 29
TTLT ĐH Vónh Viễn thân tặng Trang 17
→
− −
− −
− −
↔d d
2 3
1 2 1 1 13
0 1 3 2 1
0 5 7 3 32
0 8 2 1 29
→
− − −
− − −
1 0 7 3 15
0 1 3 2 1
0 0 22 7 37
0 0 26 15 37
→
− − −
−d d
3 4
1 0 7 3 15
0 1 3 2 1
0 0 4 8 0
0 0 26 15 37
→
− − −
1 0 7 3 15
0 1 3 2 1
0 0 1 2 0
0 0 26 15 37
→
−
−
−
1 0 0 11 15
0 1 0 4 1
0 0 1 2 0
0 0 0 37 37
→
−
−
−
1 0 0 11 15
0 1 0 4 1
0 0 1 2 0
0 0 0 1 1
→
+
−
−
−
⇒
=
= −
=
= −
+
d d
d d
x
x
x
x
d d
2 4
3 4
11
1
2
3
4
4
2
1 0 0 0 4
0 1 0 0 3
0 0 1 0 2
0 0 0 1 1
4
3
2
1
1 4
Ví dụ :
i)
− + =
+ + =
+ + = −
1 2 3
1 2 3
1 2 3
5
3 2 5 1
2 3 4 4
x x x
x x x
x x x
1
1
1
5
3 2 5 1
2 3 4 4
1
1
1
5
0 5 2 14
0 5 2 14
−
−
→
−
−
−
→
−
−
⇒
1
1
1
5
0 5 2 14
0 0 0 0
hệ có vô số nghiệm
ii)
− + =
+ + =
+ + =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
5
3 2 5 1
2 3 4
x x x
x x x
x x x a
Đại Số Tuyến Tính & Giải Tích Trang 18
1
1
1
5
3 2 5 1
2 3 4
1
1
1
5
0 5 2 14
0 5 2 10
−
→
−
−
−
a a
→
−
−
+
1
1
1
5
0 5 2 14
0 0 0 4a
- Nếu a = -4
⇒
hệ có vô số nghiệm
- Nếu a
≠
-4
⇒
hệ vô nghiệm.
V. HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT (Đẳng cấp) :
1. Đònh nghóa : Hệ thuần nhất có dạng AX =
θ
(B =
θ
)
Nhận xét :
- R(A) = R(A
B
)
- Hệ thuần nhất luôn có nghiệm X =
θ
( X =
θ
là nghiệm tầm
thường)
2. Đònh lý : Hệ thuần nhất AX =
θ
gồm m phương trình, n ẩn có
nghiệm
≠
θ
⇔
R(A) < n
3. Hệ quả :
i) Cho A
n x n
⇒
AX =
θ
có nghiệm
≠
θ
⇔
det A = 0
ii) Cho A
m x n
với m < n
⇒
AX =
θ
có nghiệm
≠θ
(m < n
⇒
số phương
trình < ẩn số)
4. Tập hợp tất cả các nghiệm của AX =
θ
là 1 không gian con của
n
và có số chiều là n - R(A) (Giả sử A là ma trận các số
∈
)
5. Đònh nghóa :
Các nghiệm X
1
, X
2
, , X
k
của hệ AX =
θ
được gọi là một hệ
nghiệm cơ bản nếu X
1
, X
2
, , X
k
độc lập tuyến tính và mọi nghiệm của
AX =
θ
đều là tổ hợp tuyến tính của X
1
, X
2
, , X
k
.
Nói cách khác :
Một hệ nghiệm cơ bản của AX =
θ
là một cơ sở của không gian
nghiệm (của AX =
θ
). Giả sử k = n - r = n - R(A) và giả sử R(A) = r. Ta có :
X
1
= (
α
11
,
α
12
, ,
α
1r
, 1, 0, 0, , 0), X
2
= (
α
21
, ,
α
2r
, 0, 1, , 0), , x
k
= x
n - r
=
(
α
k1
,
α
k2
, ,
α
kr
, 0, 0, 0, , 1) là một hệ nghiệm cơ bản của AX =
θ
.
Nhận xét :
i)Nếu R(A) = n = số ẩn số
⇒
không có hệ nghiệm cơ bản.
ii)Nếu AX =
θ
có một hệ nghiệm cơ bản
⇒
nó có vô số hệ nghiệm cơ
bản.
iii)Giả sử A
1
, A
2
, , A
m
là các dòng của A. Ta có số chiều của không gian
sinh bởi A
1
, A
2
, , A
m
là R(A)
≠
số chiều của không gian nghiệm là n - R(A).
Ví dụ : Tìm hệ nghiệm cơ bản của :
x
x
x
x
x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
0
2 5 3 0
2 2 0
4 3 0
− + − + =
+ − + − =
− + + + + =
− − + + =
TTLT ĐH Vónh Viễn thân tặng Trang 19
1 1 1 1 1
2 1 5 3 1
1 1 2 1 2
4 1 3 1 1
1 1 1 1 1
0 3 7 5 3
0 0 3 0 3
0 3 7 5 3
− −
− −
−
− −
→
− −
− −
− −
→
− −
− −
→
− −
1 1 0 1 0
0 3 7 5 3
0 0 1 0 1
0 0 0 0 0
1 1 0 1 0
0 3 0 5 4
0 0 1 0 1
→
− −
→
1 1 0 1 0
0 1 0
5
3
4
3
0 0 1 0 1
1 0 0
2
3
4
3
0 1 0
5
3
4
3
0 0 1 0 1
⇒
nghiệm tổng quát là X =
− − − − −
2 4 5 4
, , , ,
3 3 3 3
a b a b b a b
⇒
1 hệ nghiệm cơ bản là
1
2
2 5
, , 0,1, 0
3 3
4 4
, , 1,0,1
3 3
X
X
= − −
= − − −
6. Đònh nghóa :
Cho hệ AX = B (1) và hệ thuần nhất kết hợp với (1) là AX =
θ
(2).
Giả sử X
0
là nghiệm của (1). Ta có :
i) Mọi X
1
là nghiệm của (1)
⇒
∃
Y là nghiệm của AX =
θ
sao choX
1
= X
0
+ Y
ii)
∀
y là nghiệm của AX =
θ
⇒
M = X
0
+ Y là nghiệm của (1)
Chương 4
VÀI ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
I. MÔ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƯỜNG :
Ghi chú : Supply : cung .demand : cầu
q
si
: hàm cung mặt hàng thứ i
q
di
: hàm cầu mặt hàng thứ i, i =
1,n
p
i
: là giá của mặt hàng thứ i
Giả sử hàm cầu q
di
=
1
n
ij j i
j
u p m
=
+
∑
với u
ij
≥
0,
∀
i
≠
j, u
ii
< 0, m
i
> 0
(u
ii
< 0 vì hàm cầu của mặt hàng i sẽ giảm khi giá P
i
tăng)
Và hàm cung q
si
=
1
n
ij j i
j
v p n
=
+
∑
với v
ij
≤
0,
∀
i
≠
j, n
i
< 0, v
ii
> 0.
(v
ii
> 0 vì hàm cung của mặt hàng i sẽ tăng khi giá P
i
tăng)
Đại Số Tuyến Tính & Giải Tích Trang 20
Đối với hàm 1
biến P ta có đồ thò :
M(P
0
, Q
0
) là điểm cân bằng thò trường (đối với hàm 1 biến P)
Điểm cân bằng thò trường là nghiệm của hệ phương trình :
q
di
= q
si
, i =
1,n
hay q
di
−
q
si
= 0
⇔
=
∑
1
n
j
(u
ij
−
v
ij
)p
j
+ m
i
−
n
i
= 0 (* )
Đặt :
= −
= −
ij ij ij
i i i
a u v
b m n
Ta có :
0, , 0, 1,
0, 1,
ij ii
i
a j i a i n
b i n
≥ ∀ ≠ < ∀ =
> ∀ =
⇒
(* ) thành a
i1
p
1
+a
i2
p
2
+ a
i3
p
3
+ +a
in
p
n
+b
i
=0, i =
1,n
(* * )
Đặt A =
11 12 1n
1 n2 nn
a a
a a
n
a
a
, P =
1
n
p
p
, B =
1
n
b
b
hệ (* * ) thành
−
A.P = B. Nếu A không suy biến ta có: giá tại điểm
cân bằng thò trường là P = (
−
A)
−
1
.B.
Ví dụ : Xét thò trường có 3 mặt hàng. Hàm cung và hàm cầu phụ
thuộc giá của chúng là:
1
d 1 2 3
q = -3p + p + p + 40;
2
d 1 2 3
q = p - p + p + 10;
3
d 1 2 3
q = 2p + p -2 p + 80
,
1
1 2 3
q = 3p - p - p - 20
s
;
2
1 2 3
q = -p +3 p -2 p - 30
s
;
1
1 2 3
q = -p - p +4 p - 40
s
1) Tìm điểm cân bằng thò trường?
2) Nếu cứ 1 đơn vò thời gian người ta xuất đi 20 đơn vò hàng thứ I, 50
đơn vò hàng thứ III và nhập về 30 đơn vò hàng thứ II. Tìm điểm cân bằng
mới.
1) Điểm cân bằng thò trường là nghiệm của hệ:
1 1
2 2
3 3
d s
d s
d s
q q
q q
q q
=
=
=
Q
Q
0
P
0
P
Q
D
Q
S
TTLT ĐH Vónh Viễn thân tặng Trang 21
⇔
− + + + = − − −
− + + = − + − −
+ − + = − − + −
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
3 40 3 20
10 3 2 30
2 2 80 4 40
p p p p p p
p p p p p p
p p p p p p
⇔
− − =
− + − =
− − + =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
6 2 2 60
2 4 3 40
3 2 6 120
p p p
p p p
p p p
⇔
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 30
2 4 3 40
3 2 6 120
p p p
p p p
p p p
− − =
− + − =
− − + =
⇔
=
=
=
1
2
3
100
150
120
p
p
p
2)
= −
= +
= −
1 1
2 2
3 3
/
/
/
20
30
50
s s
s s
s s
q q
q q
q q
II. MÔ HÌNH INPUT - OUTPUT :
Mục đích : Xác đònh đầu ra của mỗi ngành trong n ngành kinh tế
sao cho vừa đủ để thỏa mãn toàn bộ nhu cầu về loại sản phẩm đó.
1) Cấu trúc : Để đơn giản, ta giả sử :
i) Mỗi ngành chỉ sản xuất 1 mặt hàng thuần nhất.
ii) Mỗi ngành sử dụng một tỉ lệ cố đònh các đầu vào cho sản xuất đầu
ra.
iii) Mọi đầu vào thay đổi k lần thì đầu ra thay đổi k lần.
Giả sử để sản xuất 1 đơn vò hàng hóa thứ j ta phải sử dụng một khối
lượng hàng hóa thứ i là a
ij
(i : vào; j : ra) (a
ij
coi như hệ số của đầu vào).
Đối với nền kinh tế n ngành, các hsố đầu vào được viết thànhA = (a
ij
)
n x n
.
Đầu vào Đầu ra
1 2 n
1
2
n
a
11
a
12
a
1n
a
21
a
22
a
2n
a
n1
a
n2
a
nn
Giả sử a
ij
là số đơn vò tiền cần cho loại hàng thứ i để sản xuất 1
đơn vò tiền cho loại hàng thứ j.
Ví dụ : a
5 8
= 0,23 (ngàn đồng) nghóa là cần 1 lượng hàng thứ 5 trò giá 0,23
(ngàn đồng) để sản xuất 1 lượng hàng hóa thứ 8 trò giá 1 (ngàn đồng).
Mô hình mở : Nếu như bên cạnh n ngành kinh tế, mô hình còn có 1
ngành (gọi là ngành kinh tế mở hay kinh tế ngoài) (Ví dụ như lao động,
thuế, dòch vụ); nền kinh tế này xác đònh độc lập những nhu cầu của n
ngành kinh tế. Những đầu vào đặc biệt do ngành kinh tế mở cung cấp
không được sản xuất bởi bất kỳ ngành nào trong số n ngành kể trên. Mô
hình như vậy là mô hình Input – Output mở.
Khi đó ta có
=
∑
1
n
ij
i
a
< 1,
∀
j =
1,n
Đại Số Tuyến Tính & Giải Tích Trang 22
⇒
giá trò của đầu vào mở đặc biệt để sản xuất 1 lượng hàng thứ j trò giá
1 đơn vò tiền là a
0j
= 1
−
=
∑
1
n
ij
i
a
. Giả sử giá trò đầu ra của n ngành kinh tế
là x
1
, x
2
, , x
n
và các yêu cầu của ngành kinh tế mở đối n loại hàng hóa
là d
1
, d
2
, , d
n
. Giả sử ngành thứ i sản xuất đầu ra vừa đủ ta có
x
i
= a
i1
x
1
+ a
i2
x
2
+ a
i3
x
3
+ + a
in
x
n
+ d
i
⇔
−
a
i1
x
1
−
a
i2
x
2
−
+ (1
−
a
ii
) x
i
−
−
a
in
x
n
= d
i
Ta có :
− − − −
− − − −
=
− − − −
11 12 13 1
1 1
21 11 23 2 2 2
1 3 2
(1 )
(1 )
1
n
n
n nn n n nn
a a a a
x d
a a a a x d
x da a a a
hay (I
−
A)X = D
nếu
|
I
−
A
|
≠
0 ta có X = (I
−
A)
−
1
.D
Ví dụ : Có 3 ngành kinh tế và ma trận hệ số đầu vào là
A =
0,1 0,3 0,2
0,4 0,2 0,1
0,1 0,2 0,3
⇒
Hệ Input - Output đang xét có dạng :
1 1
2 2
3 3
0,9 0,3 0,2
0,4 0,8 0,1
0,1 0, 2 0,7
x d
x d
x d
− −
− − =
− −
.
Nếu yêu cầu của nghành
mở là D =
9
12
7
thì
1
2
3
x
x
x
= (I
−
A)
−
1
.D = (I
−
A)
−
1
9
12
7
BÀI TẬP
I. L =
{
x = (3t, s,
−
2t) / s, t
∈
R
}
. CM L là không gian con của
R
3
. Tìm cơ
sở và số chiều của L.
II. A
1
=(
−
1, 1, 2, 3) A
2
= (2, 1,
−
3,
−
2) , A
3
= (1, 2,
−
1, 1), A
4
= (3, 3,
−
4, m).
i) Với giá trò nào của m thì A
4
là tổ hợp tuyến tính của A
1
, A
2
, A
3
.
2) Tìm hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại của A
1
, A
2
, A
3
, A
4
ứng
với m của câu 1.
III.1) Cho A =
−
9 6
3 4
, B =
4 1
3 2
, C =
7 1
2 5
. Tìm X sao cho A x B = C
2) Tìm X sao cho
−
−
−
1 1 1
1 1 1
1 1 1
=
−
−
1 2 1
2 1 1
1 1 2
TTLT ĐH Vónh Viễn thân tặng Trang 23
IV. Cho V là tập những vectơ A = (a
1
, a
2
, a
3
, a
4
) sao cho không gian
nghiệm của hệ phương trình sau có số chiều lớn nhất.
− + + =
− − + =
− − + =
+ + + =
2
0
3 2 3 0
3 2 0
0
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4
1 1 2 2 3 3 4 4
x
x
x
x x x x
x x x x
a x a x a x a x
1) CM V là không gian con của
R
4
. Tìm 1 cơ sở của V.
2) Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình trên khi A
∈
V.
V. Giải và biện luận hệ :
+ + − = +
− + =
+ − + = +
(2 ) 1
2 0
2 (1 ) 3 1
x y m z m
mx y z
x m y z m
VI. Cho hệ phương trình :
+ − =
− + + =
− + + =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 1
2 0
2 2
mx x mx
x mx x
mx x mx
1) Tìm m để hệ có duy nhất nghiệm.
2) Tìm m để hệ có vô số nghiệm và tìm nghiệm tổng quát trong
trường hợp này.
VII. 1) Tìm nghiệm tổng quát và 1 hệ nghiệm cơ bản của :
(I)
+ − + =
− + − =
− + − =
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 0
2 0
2 2 3 0
x x x x
x x x x
x x x x
2) Tìm m để (I) và (II) có nghiệm chung :
(II)
− + − =
+ − + =
− + − + =
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 1
3 2
2 2 3 1
x x x x
x x x mx
x x x x
VIII. Cho A =
a b
c d
1) CMR : A
2
−
(a + d)A
−
(ad
−
bc)I = 0
2) Giả sử
∃
A
n
= 0 với n > 2. CM : A
2
= 0
IX. Cho A =
1 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
;
B =
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
.
Tìm A
−
1
, B
−
1
X. Cho ma trận đầu vào của 3 ngành kinh tế là:
Đại Số Tuyến Tính & Giải Tích Trang 24
A =
0,2 0,4 0,1
0,3 0,1 0,2
0,1 0,3 0,3
và mục tiêu cuối cùng là B =
12
7
8
(tỷ). Tìm
lượng đầu ra thích hợp ?
Câu I : Cho các vectơ A
1
= (2, 2, m
−
1); A
2
= (
−
2, m
−
2, m); A
3
= (m , 2, 1)
trong
R
3
.
1) Với giá trò nào của m thì ba vectơ trên tạo thành cơ sở của
R
3
?
2) Với giá trò nào của m thì không gian con sinh bởi ba vectơ trên có
số chiều bằng 2 ?
Câu II : Cho ma trận vuông A :
A =
− − −
− − −
1 0 1 m
0 1 m 1
1 0 m 1 1
0 1 1 m 1
m
m
1) Biện luận theo m hạng của ma trận A.
2) Khi m = 2, hãy tìm A
−
1
.
Câu III : Cho hai hệ phương trình :
(I)
− + + =
+ + + =
+ + + =
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
4 3 2 0
3 2 2 3 0
2 7 3 4 0
x x x x
x x x x
x x x x
(II)
− + + = −
− + + =
1 2 3 4
1 2 3 4
3 4 2 2
9 6 4 7
x x x x
x x x x m
1) Tìm một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình (I).
2) Với giá trò nào của m thì 2hệ phươngtrình trên có nghiệm chung ?
Câu IV : Trong hệ thống input output mở có ba ngành kinh tế. Biết ma
trận hệ số đầu vào :
A =
0,1 0,4 0,3
0,4 0,2 0,3
0,3 0,2 0,1
và yêu cầu của ngành kinh tế mở đối với ba
ngành kinh tế trên là 49; 3; 55.
1) Tính sản lượng ba ngành kinh tế trên.
2)
Nếu như nhờ áp dụng kỹ thuật mới, ngành kinh tế thứ hai tiết
kiệm được 50% nguyên vật liệu cho sản xuất, còn chi phí cho sản xuất
một sản phẩm của hai ngành còn lại và yêu cầu của ngành kinh tế mở
không thay đổi thì sản lượng của ba ngành kinh tế trên sẽ là bao nhiêu ?
TTLT ĐH Vónh Viễn thân tặng Trang 25
CHƯƠNG V. DẠNG TOÀN PHƯƠNG
I. Ma trận đổi cơ sở:
1. Đònh nghóa :
cho U =
{
u
1
, u
2
, , u
n
}
v =
{
v
1
, v
2
, v
n
}
là 2 cơ sở của
R
n
.
Nếu u
j
=
=
∑
1
n
kj k
k
t v
, j =
1,n
Thì T
V
→
U
=
11 12 1n
21 22 2n
1 n2 nn
t t
t t
t t
n
t
t
t
được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ V sang U.
2. Công thức đổi tọa độ :
Từ đây ta ký hiệu X
V
, X
U
, X
E
, là tọa độ
của X theo cơ sở V, U, E, Giả sử X
U
= (
α
1
,
α
2
, ,
α
n
)
T
, X
V
= (
β
1
,
β
2
, ,
β
n
)
T
lần lượt là tọa độ của X theo U, V.
Ta có : X =
α
1
u
1
+
α
2
u
2
+ +
α
n
u
n
=
α α
= = =
=
∑ ∑ ∑
1
1 1 1
( )
n n n
j j kj k
j j k
u t v
=
α
= =
∑ ∑
1 1
( )
n n
kj j k
k j
t v
⇒
β
k
=
α
=
∑
1
n
kj j
j
t
⇒
X
V
= T
V
→
U
. X
U
(1). Tương tự X
U
= T
U
→
V
X
V
(2)
(1) và (2)
⇒
X
V
= T
V
→
U
.T
U
→
V
X
V
⇒
T
V
→
U
.T
U
→
V
= I
Nhận xét : Ma trận đổi cơ sở là ma trận vuông không suy biến.
Gọi E là cơ sở chính tắc của R
n
.
va U
j
= (u
1j
, u
2j
, , u
nj
)
T
là tọa độ theo cơ sở E.
⇒
T
E
→
U
=
11 12 1n
21 22 2n
1 2 nn
u
u
u
n n
u u
u u
u u
X
V
=
T
V
→
U
X
U
= T
U
→
V
.
1
E U
T
−
→
X
E
⇒
T
V
→
U
.
T
E U→
−
1
= T
V
→
E
⇒
T
V
→
U
= T
V
→
E
. T
E
→
U
=
T
E V→
−
1
T
E
→
U
Ví dụ : U =
{
u
1
= (1, 0, 1) u
2
= (1, 3,
−
1) u
3
= (0, 1, 2)
}
V =
{
v
1
= (1, 2, 0) v
2
= (0, 1,
−
1) v
3
= (
−
1, 0, 1)
}
1)
Chứng minh U, V là 2 cơ sở của R
3
.
2)
Tìm ma trận đổi cơ sở V sang U :T
V
→
U
.
3) Cho X
U
= (2,
−
1, 5). Tìm X
V
.
2)
→
= =
1 1 0
0 3 1
1 -1 2
E U
T M
,
→
= =
1 0 -1
2 1 0
0 -1 1
E V
T N
T
V
→
U
= T
V
→
E
. T
E
→
U
=
T
E V→
−
1
. T
E
→
U
= N
−
1
. M
