Tải bản đầy đủ (.doc) (9 trang)

Công thức xác xuất thống kê

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (187.83 KB, 9 trang )

PHẦN I: XÁC SUẤT
1. Biến cố ngẫu nhiên & xác suất của biến cố:
1.1. Công thức cộng xác suất:
1.1.1. p(A+B)=p(A)+p(B) (2 biến cố xung khắc)
1.1.2. p(A+B)=p(A)+p(B)-p(A.B)  p(A+B+C)=p(A)+p(B)+p(C)-[p(AB)+p(AC)+p(BC)]
+p(ABC)
1.2. Công thức nhân xác suất:
1.2.1. p(A.B)=p(A).p(B) (2 biến cố độc lập)
1.2.2. p(A.B)=p(A).p(B/A) 
1 2 1 2 1 1 2 1
( ) ( ). ( / ) ( / )
n n n
p A A A p A p A A p A A A A

=
1.3. Công thức Bernoulli: cho 2 biến cố A và
A
1.3.1.
( )
x x n x
n n
p x C p q

=
, p=p(A), q=1-p
1.4. Công thức xác suất đầy đủ:
1 1 2 2
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / )
n n
p F p A p F A p A p F A p A p F A= + + +
1.5. Công thức Bayes:


( . ) ( ). ( / )
( / )
( ) ( )
i i i
i
p A F p A p F A
p A F
p F p F
= =
2. Biến ngẫu nhiên:
2.1. Bảng phân phối xác suất (biến ngẫu nhiên rời rạc)
2.2. Hàm mật độ xác suất (
( )f x
) (biễn ngẫu nhiên liên tục)
2.2.1.
( )f x

0
2.2.2.
( ) 1f x dx
+∞
−∞
=

2.2.3.
( ) ( )
b
a
p a x b f x dx≤ ≤ =


2.3. Hàm phân phối xác suất (
( )F x
) (dùng cho cả 2 loại biến-thường là biến ngẫu nhiên liên tục)
2.3.1.
( )F x
=p(
F
<x)
2.3.2.
'( ) ( )F x f x=
2.3.3.
( ) ( )
x
F x f t dt
−∞
=

2.4. Kỳ vọng
2.4.1.
1 1 2 2
( )
n n
E x x p x p x p= + + +
(từ bảng phân phối xác suất)
2.4.2.
( ) ( )E x xf x dx
+∞
−∞
=


2.5. Phương sai:
2.5.1.
2 2
( ) ( ) [ ( )]V x E x E x= −
2.5.2.
2 2
( ) ( ) [ ( ) ]V x x f x dx xf x dx
+∞ +∞
−∞ −∞
= −
∫ ∫
2.5.3.
3. Một số phân phối xác suất thông dụng:
3.1. Phân phối chuẩn tổng quát:
2
~ ( ; )X N
µ σ
3.1.1.
2
2
( )
2
1
( )
2
x
f x e
µ
σ
σ π



=
3.1.2.
( ) 1f x dx
+∞
−∞
=

3.1.3.
ModX MedX
µ
= =
;
2
( ) , ( )E x V x
µ σ
= =
3.1.4.
( ) ( ) ( )
b a
p a x b
µ ϕ
ϕ ϕ
σ σ
− −
≤ ≤ = −
3.1.5. Phân phối chuẩn tắc
2
0, 1

µ σ
= =
3.1.5.1.
~ (0,1)T N
3.1.5.2.
2
2
1
( )
2
t
f t e
π

=
3.1.5.3. Đổi biến
X
T
µ
σ

=
3.1.5.4.
( ) ( ) ( )p a x b b a
ϕ ϕ
≤ ≤ = −
3.2. Phân phối Poisson:
~ ( )X P
λ
,

λ
>0
3.2.1.
( )
!
k
p k e
k
λ
λ
λ

= =
3.2.2.
( ) ( )E x V x
λ
= =
3.3. Phân phối nhị thức:
~ ( , )X B n p
3.3.1.
( ) ( ) , 1
k k n k
n n
p X k p k C p q p q

= = = + =
3.3.2.
0
( ) 1
n

k
p X k
=
= =

3.3.3.
( )E x np=
,
0 0
,ModX x np q x np q= − ≤ ≤ +
3.3.4. Khi n=1:
~ (1, )X B p
:phân phối không-một
3.3.4.1.
2
( ) , ( ) , ( )E x p E x p V x pq= = =
3.3.5. Xấp xỉ phân phối nhị thức:
3.3.5.1. Bằng phân phối Poisson:
n
>50,
p
<0.1;
~ ( , ) ~ ( )X B n p X P
λ

,
np
λ
=
.

( )
!
k
k k n k
n
p x k C p q e
k
λ
λ
− −
= = =
3.3.5.2. Bằng phân phối chuẩn:
0.5, 0.5, ,np nq np npq
µ σ
≥ ≥ = =
.
~ ( , ) ~ ( , )X B n p X N np npq≈
1
( ) ( )
k
p x k f
µ
σ σ

= =
; p(
1
k
<X<
2 1

2
) ( ) ( )
k k
k
µ µ
ϕ ϕ
σ σ
− −
= −
3.4. Phân phối siêu bội:
~ ( , , )
A
X H N N n
[N:tổng số phần tử,
A
N
:Số phần tử có tính chất A
trong N, n: số phần tử lấy ngẫu nhiên].Gọi X là số phần tử có tính chất A trong n.
.
( )
A A
k n k
N N N
n
N
C C
p X k
C



= =
3.4.1.
( ) ,
A
N
E X np p
N
= =
;
( ) . , 1
1
N n
V X npq q p
N

= = −

3.4.2. Xấp xỉ phân phối siêu bội bằng phân phối nhị thức:
0.05 ~ ( , )n N X B n p≤ ⇒
;
( ) ,
k k n k
A
n
N
p X k C p q p
N

= = =
3.5. Biến ngẫu nhiên 2 chiều: X và Y độc lập

( ). ( )
ij i j
P p x q y⇔ =
với mọi i,j
3.6.Hiệp phương sai và hệ số tương quan:
3.6.1. Hiệp phương sai(cov):
cov( , ) ( ) ( ) ( )X Y E XY E X E Y= −
3.6.2. Hệ số tương quan
,X Y
ρ
:
,
cov( , )
( ) ( )
X Y
X Y
X Y
ρ
σ σ
=
PHẦN 2: THỐNG KÊ
1. Tổng thể và mẫu
1.1. Thực hành tính toán trên mẫu:
1.1.1. Tính trung bình (
n
X
):
1
1
n

n i
i
X x
n
=
=

1.1.2. Tính tỷ lệ mẫu: (
n
f
);
A
n
m
f
n
=
(
A
m
:số phần tử mang tính chất A; n: kích thước mẫu)
1.1.3. Tính phương sai mẫu:
2 2 2
1
1
[ ( ) ]
1
k
i i
S n x n X

n
= −


1.2. Ước lượng tham số của tổng thể:
1.2.1. Ước lượng điểm:
2 2
( ) , ( ) , ( )
n n
E X E f p E S
µ σ
= = =
1.2.2. Ước lượng khoảng:
1.2.2.1. Ước lượng khoảng cho trung bình: Với độ tin cậy 1-
α
cho trước, 1 mẫu kích
thước n.
30n ≥
,
2
σ
biết
30n ≥
,
2
σ
chưa biết
X
,
σ

X
,s
1 2
,X X
µ ε µ ε
= − = +
2
.u
n
α
σ
ε
=
(
1
α

0.5-
2
α

2
u
α
)
1 2
,X X
µ ε µ ε
= − = +
2

.
s
u
n
α
ε
=
(
1
α

0.5-
2
α

2
u
α
)
n
<30,
2
σ
biết
n
<30,
2
σ
chưa biết
Như TH1

X
,s
1 2
,X X
µ ε µ ε
= − = +
( 1, )
2
.
n
s
t
n
α
ε

=
1.2.2.2. Ước lượng khoảng cho tỷ lệ: tổng thể có tỷ lệ p chưa biết, với độ tin cậy
1
α

cho trước, với 1 mẫu kích thước n, tỷ lệ mẫu
n
f
. Tìm 2 số
1 2
,p p
thoả:
1 2
( ) 1p p p p

α
≤ ≤ = −
,
1,2 n
p f
ε
= m
Công thức:
2
(1 )f f
u
n
α
ε

=
1.2.2.3. Ước lượng khoảng cho phương sai:Giả sử tổng thể có
2
σ
chưa biết. Dựa vào 1
mẫu kích thước n, với độ tin cậy 1-
α
cho trước.
TH1:
µ
chưa biết, biết
2
S
. Khi đó ta có
2 2

2
2 2
1 2
( 1) ( 1)
[ , ]
n S n S
σ
χ χ
− −

trong đó
2 2
1
( 1, )
2
n
α
χ χ
= −
,
2 2
2
( 1,1 )
2
n
α
χ χ
= − −
TH2:
µ

biết. Khi đó
2
2 2
1 2
( ) ( )
[ , ]
i i i i
n x n x
µ µ
σ
χ χ
− −

∑ ∑
, trong đó
2 2
1
( , )
2
n
α
χ χ
=
,
2 2
2
( ,1 )
2
n
α

χ χ
= −
1.2.3. Kiểm định giả thuyết thống kê:
1.2.3.1. Kiểm định giả thuyết thống kê cho
µ
1.2.3.1.1. TH1:
2
σ
biết
Giả thuyết thống kê
W
α
:
2
σ
biết (miền bác bỏ
0
H
)
0 0
:H
µ µ
=
1
:H
µ

0
µ
0

{ ,
X
W u n u
α
µ
σ

= =
>
2
u
α
}
0 0
:H
µ µ
=
1
:H
µ
<
0
µ
0
{
X
W u n
α
µ
σ


= =
,u<-
u
α
}
0 0
:H
µ µ
=
1
:H
µ
>
0
µ
0
{
X
W u n
α
µ
σ

= =
,u>
u
α
}
1.2.3.1.2. TH2:

30n ≥
,
2
σ
không biết
Giả thuyết thống kê
W
α
(miền bác bỏ
0
H
)
0 0
:H
µ µ
=
1
:H
µ

0
µ
0
{ ,
X
W u n u
s
α
µ


= =
>
2
u
α
}
0 0
:H
µ µ
=
1
:H
µ
<
0
µ
0
{
X
W u n
s
α
µ

= =
,u<-
u
α
}
0 0

:H
µ µ
=
1
:H
µ
>
0
µ
0
{
X
W u n
s
α
µ

= =
,u>
u
α
}
1.2.3.1.3. TH3:
n
<30,
2
σ
không biết
Giả thuyết thống kê
W

α
(miền bác bỏ
0
H
)
0 0
:H
µ µ
=
1
:H
µ

0
µ
0
{ ,
X
W t n t
s
α
µ

= =
>
( 1, )
2
n
t
α


}
0 0
:H
µ µ
=
1
:H
µ
<
0
µ
0
{
X
W t n
s
α
µ

= =
,
t
<-
( 1, )
2
n
t
α


}
0 0
:H
µ µ
=
1
:H
µ
>
0
µ
0
{ ,
X
W t n
s
α
µ

= =
t
>
( 1, )
2
n
t
α

}
1.2.3.2. Kiểm định giả thuyết thống kê cho tỷ lệ:

Giả thuyết thống kê
W
α
(miền bác bỏ
0
H
)
0: 0
H p p=
1:
H p

0
p
0
0 0
{ ,
(1 )
f p
W u u
p p
n
α

= =

>
2
u
α

}
0: 0
H p p=
1:
H p
<
0
p
0
0 0
{
(1 )
f p
W u
p p
n
α

= =

,
u
<-
u
α
}
0: 0
H p p=
1:
H p

>
0
p
0
0 0
{
(1 )
f p
W u
p p
n
α

= =

,
u
>
u
α
}
1.2.3.3. Kiểm định giả thuyết thống kê cho phương sai:
1.2.3.3.1. TH1:
µ
chưa biết
Giả thuyết thống kê
W
α
(miền bác bỏ
0

H
)
2 2
0 0
:H
σ σ
=
2
1
:H
σ

2
0
σ
2
2
2
0
( 1)
{
n s
W
α
χ
σ

= =
,
2

χ
<
2
1
χ
hoặc
2
χ
>
2
2
χ
2 2 2 2
1 2
( 1,1 ) ( 1, )
2 2
,
n n
α α
χ χ χ χ
− − −
= =
2 2
0 0
:H
σ σ
=
2
1
:H

σ
<
2
0
σ
2
2
2
0
( 1)
{
n s
W
α
χ
σ

= =
,
2
χ
<
2
( 1,1 )n
α
χ
− −
2 2
0 0
:H

σ σ
=
2
1
:H
σ
>
2
0
σ
2
2
2
0
( 1)
{
n s
W
α
χ
σ

= =
,
2
χ
>
2
( 1, )n
α

χ

1.2.3.3.2. TH2:
µ
biết.
Giả thuyết thống kê
W
α
(miền bác bỏ
0
H
)
2 2
0 0
:H
σ σ
=
2
1
:H
σ

2
0
σ
2
2
2
0
( )

{
i i
n x
W
α
µ
χ
σ

= =

,
2
χ
<
2
1
χ
hoặc
2
χ
>
2
2
χ
2 2 2 2
1 2
( ,1 ) ( , )
2 2
,

n n
α α
χ χ χ χ

= =
2 2
0 0
:H
σ σ
=
2
1
:H
σ
<
2
0
σ
2
2
2
0
( )
{
i i
n x
W
α
µ
χ

σ

= =

,
2
χ
<
2
( ,1 )n
α
χ

2 2
0 0
:H
σ σ
=
2
1
:H
σ
>
2
0
σ
2
2
2
0

( )
{
i i
n x
W
α
µ
χ
σ

= =

,
2
χ
>
2
( , )n
α
χ
1.2.4. So sánh 2 tham số của tổng thể:
1.2.4.1. So snh 2 số trung bình:
1.2.4.1.1. TH1:
2 2
1 2
30, 30, ,m n
σ σ
≥ ≥
biết
GTTK

W
α
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1 2
:H
µ µ

2 2
2
1 2
;
X Y
W u u u
m n
α α
σ σ
 
 

 
= = >
 
 
+
 
 
0 1 2

:H
µ µ
=
1 1
:H
µ
<
2
µ
2 2
1 2
;
X Y
W u u u
m n
α α
σ σ
 
 

 
= = < −
 
 
+
 
 
0 1 2
:H
µ µ

=
1 1
:H
µ
>
2
µ
2 2
1 2
;
X Y
W u u u
m n
α α
σ σ
 
 

 
= = >
 
 
+
 
 
1.2.4.1.2. TH2:
m
<30,
n
<30,

2 2
1 2
,
σ σ
biết, X,Y có phân phối chuẩn
GTTK
W
α
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1 2
:H
µ µ

2 2
2
1 2
;
X Y
W u u u
m n
α α
σ σ
 
 

 
= = >

 
 
+
 
 
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1
:H
µ
<
2
µ
2 2
1 2
;
X Y
W u u u
m n
α α
σ σ
 
 

 
= = < −
 
 

+
 
 
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1
:H
µ
>
2
µ
2 2
1 2
;
X Y
W u u u
m n
α α
σ σ
 
 

 
= = >
 
 
+
 

 
1.2.4.1.3. TH3:
2 2
1 2
30, 30, ,m n
σ σ
≥ ≥
không biết
GTTK
W
α
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1 2
:H
µ µ

2 2
2
1 2
;
X Y
W u u u
s s
m n
α α
 
 


 
= = >
 
 
+
 
 
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1
:H
µ
<
2
µ
2 2
1 2
;
X Y
W u u u
s s
m n
α α
 
 

 

= = < −
 
 
+
 
 
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1
:H
µ
>
2
µ
2 2
1 2
;
X Y
W u u u
s s
m n
α α
 
 

 
= = >
 

 
+
 
 
1.2.4.1.4. TH4:
m
<30,
n
<30, X,Y có phân phối chuẩn,
2 2
1 2
σ σ
=
không biết
GTTK
W
α
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1 2
:H
µ µ

2,
2
2
;
1 1

m n
X Y
W t t t
s
m n
α
α
 
+ −
 ÷
 
 
 

 
= = >
 
 
 
+
 ÷
 
 
 
( ) ( )
2 2
1 2
2
1 1
2

m s n s
s
m n
− + −
=
+ −
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1
:H
µ
<
2
µ
( )
2,
2
;
1 1
m n
X Y
W t t t
s
m n
α
α
+ −
 

 

 
= = < −
 
 
 
+
 ÷
 
 
 
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1
:H
µ
>
2
µ
( )
2,
2
;
1 1
m n
X Y
W t t t

s
m n
α
α
+ −
 
 

 
= = >
 
 
 
+
 ÷
 
 
 
1.2.4.1.5. TH5:
m
<30,
n
<30, X,Y có phân phối chuẩn,
2 2
1 2
σ σ

chưa biết
GTTK
W

α
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1 2
:H
µ µ

2 2
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
2 2
1, 1,
1 2
2 2
1 2
; ; , ; , ;
m n
s s t v t vX Y
W g g t t t t t v v t
m n v v
s s
m n
α
α α
   
− −
 ÷  ÷
   

 
 
+−
 
= = > = = = = =
 
+
 
+
 
 
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1
:H
µ
<
2
µ
( )
1 2 ( 1, )
1,
2 2
1 2
; ; ,
n
m
X Y

W g g t t t t t
s s
m n
α α
α


 
 

 
= = < − = =
 
 
+
 
 
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1
:H
µ
>
2
µ
2 2
1 2
;

X Y
W g g t
s s
m n
α
 
 

 
= = >
 
 
+
 
 
1.2.4.2. So sánh 2 tỷ lệ:
GTTK
W
α
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1 2
:H
µ µ

( )
1 2 1 2
1 2

2
; ; ,
1 1
1
f f k k
W u u u f f
m n
f f
m n
α α
 
 

 
= = > = =
 
 
 
− +
 ÷
 
 
 
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1
:H
µ

<
2
µ
( )
1 2
;
1 1
1
f f
W u u u
f f
m n
α α
 
 

 
= = < −
 
 
 
− +
 ÷
 
 
 
0 1 2
:H
µ µ
=

1 1
:H
µ
>
2
µ
( )
1 2
;
1 1
1
f f
W u u u
f f
m n
α α
 
 

 
= = >
 
 
 
− +
 ÷
 
 
 
1.2.4.3. So sánh 2 phương sai:

GTTK
W
α
2 2
0 1 2
:H
σ σ
=
2 2
1 1 2
:H
σ σ

( )
( )
2
1
2
2
2
2
1
, ; 1, 1 ,
1, 1
s
W g g f hayg f f f m n f
s f n m
α α
α
 

 
= = < > = − − =
 
− −
 
 
2 2
0 1 2
:H
σ σ
=
2 2
1 1 2
:H
σ σ
>
2
1
2
2
, ( 1, 1)
s
W g g f m n
s
α α
 
= = > − −
 
 

×