Kinh tế lượng Phát hiện và khắc phục hiện tượng phương sai sai số thay đổi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI
BÀI THẢO LUẬN
Nhóm: 6
Lớp HP: 1358AMAT0411
Giảng viên giảng dạy:
Đề tài : Phát hiện và khắc phục hiện tượng phương sai sai số thay đổi.
Hà Nội - 2013
BẢNG ĐÁNH GIÁ
STT Họ và tên sinh viên
Điểm đánh giá của
các thành viên
Giáo viên kết
luận
Ghi chú
Điểm Ký tên
1
2
3
4
5
6
7
•
Mục Lục
A. Lời mở đầu
B. Nội dung
I/ Lý thuyết
II/ Bài tập
1. Phát hiện hiện tượng phương sai số thay đổi
2. Khắc phục hiện tượng phương sai sai số thay đổi
i

A.LÝ THUYẾT
I.Giới thiệu về phương sai của sai số thay đổi.
1.1. Định nghĩa
Phương sai sai số thay đổi sảy ra khi giả thiết:
Var(Uᵢ ) =
2
(với i ≠ j) bị vi phạm
Khi giả thiết phương sai sai số đồng đều bị vi phạm thì mô hình hồi quy gặp
phải hiện tượng này.
1.2 nguyên nhân
Phương sai của sai số thay đổi có thể do một trong các nguyên nhân sau:
- Do bản chất của mối liên hệ của các đại lượng kinh tế.có nhiều mối quan hệ kinh tế
có chứa hiện tượng này. Chẳng hạn mối liên hệ giữa thu nhập và tiết kiệm, thông
thường thu nhập tăng thì mưc độ biến động của hiện tượng cũng tăng.
- Do kỹ thuật thu nhập và sử lý số liệu được cải tiến dường như giảm. Kỹ thuật thu
thập số liệu càng được cải tiến thì sai lầm phạm phải càng it hơn.
- Do con người học được hành vi trong quá khứ. Ví dụ như lỗi của người đánh máy
càng it thì nếu thời gian thực hiện càng tăng.
- Phương sai của sai số thay đổi cũng cũng xuất hiện khi có các quan sat ngoại lai.
Quan sát ngoại lai là các quan sát khác biệt rất nhiều (quá nhỏ hoặc quá lớn) với
các quan sat khác trong mẫu. Việc đưa vào hay loại bỏ các quan sat này ảnh hưởng rất
lớn đến phân tích hồi quy.
- Nguyên nhân khác đó là mô hình định dạng sai, có thể là do bỏ xót biến thích hợp
hoặc dạng giải tích của hàm là sai
1.3 Hậu quả
Các ước lượng bình phương nhỏ nhất
µ
β
là ước lượng tuyến tính không
chệch nhưng không hiệu quả.

Các ước lượng của các phương sai là các ước lượng chệch => Làm giá trị
của thông kê T& F mất ý nghĩa.
Các bài toán về ước lượng & kiểm định dự báo khi sử dụng thông kê T&F là
không đáng tin cậy.
II.Phát hiện sự tồn tại của hiện tượng phương sai của sai số thay đổi.
2.1 Phương pháp đồ thị
Đồ thị sai số của hồi quy (phần dư) đối với biến độc lập X hoặc giá trị dự đoán
Ŷ
i
sẽ cho ta biết liệu phương sai của sai số có thay đổi không. Phương sai của phần dư
được chỉ ra bằng độ rộng của biểu đồ phân rải của phần dư khi X tăng. Nếu độ rộng
của biểu đồ rải của phần dư tăng hoặc giảm khi X tăng thì giả thiết về phương sai hằng
số có thể không được thỏa mãn.
Ta hồi quy mô hình hồi quy gốc:
Y
i
= β
1

+ β
2
X
2i

+ … +
β
k
X
ki

+ U
i
Phương pháp vẽ đồ thị:
B1.Ta hồi quy mô hình hồi quy gốc :
Yᵢ = β
1
+ β
2
X
2i
+ β
3
X
3i
+….+ β
k
X
ki
+ Uᵢ
Ta thu được phần dư eᵢ .
B2. Sắp xếp các ei theo chiều tăng biến Xji nào đó
B3.Vẽ đồ thị phần dư eᵢ (eᵢ²) đối với Xji theo biến sắp xếp đó.( hoặc với Ŷᵢ
trong trường hợp hồi quy nhiều biến)
e
i
2
X
j
(a)

e
i
2

e
i
2
X
j
e
i
2
(c)
ii
X
j
(d)
e
i
2
X
j
KL:Nếu độ rộng của phần dưu tăng khi X tằng thì kết luận có hiện tượng phương
sai sai số thay đổi.
2.2 Kiểm định Park.
Kiểm định Park cho rằng σ
2
là một hàm số nào đó của biến giải thích X
ji
và đã đưa ra dạng hàm số giữa σ

i
2

và X
ji
như sau:
σ
i
2
= σ
2
X
ji
β2
e
Vi
Lấy ln của 2 vế ta được: lnσ
i
2

= lnσ
2

+ β
2
lnX
ji

+ V
i

Trong đó V
i

là số hạng nhiễu ngẫu nhiên
i
Park đã đề nghị sử dụng e
2
thay cho σ
i
2
và ước lượng hồi quy sau:

Trong đó: β1= lnσ
i
; X
ji
= lnX
ji
; e
i
thu được từ hồi quy gốc
B1. ước lượng MHHQ gốc để thu được phần dư e
i
B2. ước lượng mô hình ở dạng ln của các phần dư e
i
²
Lne
i
2
= β

1

+ β
2

ln X
i

+ V
i
Trường hợp có nhiều biến giải thích thì ước lượng hồi quy này với từng biến
giải thích hoặc với Ŷi
B3.Sử dụng tiêu chuẩn kiểm định T để kiểm định giả thiết:
H
0
: Phương sai sai số đồng đều H
0
: β
2
= 0
H
1:
Phương sai sai số thay đổi H
1
: β
2
≠ 0
Nếu giả thiết Ho bị bác bỏ thì có thể kết luận về sự tồn tại của hiện tượng
phương sai sai số thay đổi
2.3 Kiểm định Glejser

B1.Đầu tiên cũng MHHQ gốc để thu được phần dư e
i
B2. Ta thay thế bằng một trong các mô hình sau đây:

| e
i

| =
| e
i
| =
| e
i
| =
| e
i
| =
| e
i
| =
| e
i
| =
Tương tự như kiểm định Park, sử dụng tiêu chuẩn kiểm định T, ta đi kiểm
định giả thiết:
H
0
: Phương sai sai số thay đổi H
o
: β = 0

H
1
: Phương sai sai số thay đổi H
1
: β ≠ 0
Nếu giả thiết này bị bác bỏ thì có thể kết luận có hiện tượng phương sai sai
số thay đổi
2.4 Kiểm định Goldfeld- Quandt.
- Xét mô hình hồi qui 2 biến sau :
Y
i
=
1
+
2
X
i
+ U
i
Giả sử σ
i2

có quan hệ dương với biến X theo cách sau:
σ
i
2
= σ
2
.X
2

i
- Các bước thực hiện kiểm định Goldfeld - Quandt như sau:
B1.Sắp xếp các quan sát theo thứ tự tăng dần về giá trị của biến Xj nào đó.
B2: Bỏ quan sát c ở giữa theo các cách sau:
n = 30, lấy c=4 hoặc c=6; n = 60, lấy c = 10 và các quan sát còn lại thành 2 nhóm,
trong đó mỗi nhóm có
2
n c−
quan sát.
B3. Chạy mô hình trên 2 nhóm số liệu này => RSS1 và RSS2 với bậc tự do df1
và df2
df1 =
2
n c
k
−
−
; df2 =
2
n c
k
−
−
B4: Kiểm định giả thiết:
H
0
: Phương sai sai số không đổi
H
1:
Phương

sai sai số thay đổi
TCKĐ: F =
2
2
1
1
RSS
df
RSS
df
~ Nếu H
0
đúng F
(df2:df1)
w
α
= f
tn
: f
tn
> f
α
KL: Nếu f
tn
ϵ w
α
thì bác bỏ H
0
chấp nhận H

1
, nên mô hình có hiện tượng phương sai
sai số xảy ra
2.5 Kiểm định White.
Xét mô hình hồi qui sau:
Y
i
=

1
+

2
X
2i
+

3
X
3i
+ u
i
B1: Ước lượng mô hình trên, thu được các phần dư e
i
.
B2:
Ước lượng mô hình sau đây:
e
i
2

= β
1 +
β
2
x
2i
+ β
3
x
3i
+ β
4
x
4i
+ v
i
(1)
(1) có thể có số mũ cao hơn và nhất thiết phải có hệ số chặn bất kể mô hình gốc
có hay không

R
2
R
2
là hệ số xác định bội, thu được từ (1) với mô hình không có số hạng chéo
hay với mô hình có số hạng chéo.
B3: Kiểm định giả thiết
H
0
: phương sai sai số đồng đều

H
1
: phương sai sai số thay đổi
TCKĐ:
χ
2
= n.R
2
~ nếu H
0
đúng
χ
2

(df)
Wα

=
χ
2
tn
:
χ
2
tn
>
χ
α
2(dt)
KL: Nếu

χ
2
tn
€ W
α
đúng thì chấp nhận H
0
bác bỏ H
1
2.6. Kiểm định dựa trên biến phụ thuộc.
Giả thiết: Phương sai sai số ngẫu nhiên U
i
phụ thuộc theo Y
σ
i
2
= α
1
+ α
2
(E(Y
i
))
2
+ V
i
Thay thế : σ
2
i
= e

i
2
; E(Y
i
)
2

=
µ
Y
i
Chạy mô hình: e
i
2
= α
1
+ α
2
(
µ
Y
i
)
2
+ V
i
R
2
a) Kiểm định
χ

2
χ
2
= n.R
2
~
χ
2(1)
W


=
χ
2
tn
:
χ
2
tn
>
χ
α
(1, n-2)
b) Kiểm định F
F =
µ
·
2
)(Se
α

α

2
~ nếu H
0
đúng F
( 1, n – 2)
W
α
= f
tn :
f
tn >
f
α
(1, n -2)
KL: Nếu bác bỏ H
0
thì hiện tượng phương sai sai số xảy ra
III.Biện pháp khắc phục.
3.1 Phương sai đã biết.
Khi σ
i
2
biết, chúng ta có thể dễ dàng khắc phục căn bệnh đó bằng cách sử
dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số.
Xét trường hợp mô hình hồi qui tổng thể 2 biến:
Y
i
= α

1
+ α
2
X
i
+ U
i
Chúng ta giả sử rằng phương sai sai số σ
i
2
đã biết; nghĩa là phương sai sai số
của mỗi quan sát đã biết. Đơn giản, chúng ta chia hai vế của mô hình cho σ
i
đã
biết.

1
1 2
1
Yi Xi Ui
i i i
α α
σ σ σ σ
= + +
Trong thực tế, chúng ta chia mỗi quan sát Yi và Xi cho σ
i
đã biết và chạy hồi
qui OLS cho dữ liệu đã được chuyển đổi này.
Ước lượng OLS của X
1

và X
2
được tính theo cách này được gọi là ước lượng
bình phương bé nhất có trọng số (WLS); mỗi quan sát Y và X đều được chia cho trọng
số (độ lệch chuẩn) của riêng nó, σ
i
.
3.2 Phương sai chưa biết.
Xét mô hình Yi = β1 + β2Xi + β3Zi +Ui (1)
Giả sử mô hình này thoả mãn các giả thiết của mô hình hôi quy tuyến tính cổ
điển trừ giả thiết phương sai của sai số thay đổi. Chúng ta xét một số giả thiết sau về
phương sai của sai số.
Khắc phục theo 4 giả thiết:
3.2.1. giả thiết 1
Phương sai sai số tỉ lệ với bình phương của biến giải thích:
E(U
i
² ) = σ² X
i
²
Bằng phương pháp đồ thị hoặc cách tiếp cận Park hoặc Glejser…chỉ cho chúng
ta rằng có thể phương sai Ui lệ với bình phương của biến giải thích X thì chúng ta có
thể biến đổi mô hình gốc theo cách sau:
Chia hai vế của mô hình hồi quy gốc cho X
i
(X
i
≠0) ta được:
Trong đó: V
i

=
Ui
Xi
là số hạng nhiễu đã được biến đổi. Khi E( v
i
)
2
= σ
2
thì ta
có:
E( v
i

)
2

=
Như vậy tất cả các giả thiết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển được thoả mãn đối
với mô hình trên. Vậy ta có thể áp dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất cho
phương trình đã biến đổi. Hồi quy theo
Yi
Xi
theo
1
Xi
Chú ý rằng trong hồi quy đã được biến đổi thì hạng số chặn β2 là hệ số góc
trong phương trình hồi quy gốc và hệ số góc β1 số hạng chặn trong mô hình hồi
quy gốc.
3.2.2.giả thiết 2

Phương sai của sai số tỉ lệ với biến giải thích X
i
E(U
i
² ) = σ² X
i
Nếu sau khi ước lượng hồi quy bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất thông
thường, chúng ta vẽ đồ thị của phần dư này đối với biến giải thích và quan sát thấy
hiện tượng chỉ ra phương sai của sai số thấy liên hệ tuyến tính với biến giải thích
thì mô hình gốc sẽ được biến đổi như sau:
Chia hai vế của mô hình gốc cho
Xi
(với Xi >0) ta đựơc:
Trong đó: V
i
=
Ui
Xi
là số hạng nhiễu đã được biến đổi.
Tiến hành hồi quy bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất theo mô hình
mới
Chú ý: Mô hình trên là mô hình không có hệ số chặn cho nên ta sử dụng mô
hình hồi quy qua gốc để ước lượng β1 và β2 ,sau khi ước lượng chúng ta sẽ trở lại mô
hình gốc bằng cách nhân cả hai vế mô hình này với hình trên là mô hình không có hệ
số chặn cho nên ta sử dụng mô hình hồi quy qua gốc để ước lượng β1 và β2 ,sau
khi ước lượng chúng ta sẽ trở lại mô hình gốc bằng cách nhân cả hai vế mô hình này
với
3.2.3.giả thiết 3
Phương sai của sai số tỉ lệ với bình phương của giá trị kỳ vọng của Y
i

nghĩa là E(U
i
² ) = σ² (E(Y
i
)² ).
Khi đó thực hiện phép biến đổi biến số như sau:
1 2 1
(Yi) (Yi) E(Yi) ( ) ( ) (Yi)
Yi Ui Ui
Xi Xi Vi
E E E Yi Yi E
β β
β β
= + + = + +
Trong đó:
( )
Ui
Vi
E Yi
=
Với cách khắc phục này ta có thể tiến hành theo 2 bước:
Bước1: Ước lượng hồi quy ban đầu bằng phương pháp bình phương bé nhất
thông thường, thu được Ŷ (Yf). Sau đó dùng Ŷ (Yf) để biến đổi mô hình gốc thành
dạng như sau:
1
1 2 3
Yf Yf Yf Yf
Yi Xi Zi
Vi
β β β

     
= + + =
 ÷  ÷  ÷
     
Bước 2: : Ước lượng hồi quy trên theo biến mới,dù Ŷi không chính xác là
E(Yi), chúng chỉ là ước lượng vững nghĩa là khi cỡ mẫu tăng lên vô hạn thì chúng hội
tụ đến E(Yi).Chú ý phương pháp này có thể sử dụng với bài toán có cỡ mẫu tương đối
lớn.
3.2.4.giả thiết 4
Dạng hàm sai.
Thay cho việc ước lượng hồi quy gốc ta sẽ ước lượng hồi quy:
ln Y
i
= β
1
+ β
2
lnX
i
+ β
3
lnZ
i
+U
i
Ước lượng mô hình theo biến mới. Việc ước lượng hồi quy trên có thể làm
giảm phương sai của sai số thay đổi do tác động của phép biến đổi loga. Một trong
ưu thế của phép biến đổi loga là hệ số góc là hệ số co dãn của Y đối với X.
B. BÀI TẬP THỰC HÀNH TRÊN EVEWS.
Bảng thống kê doanh thu của 50 doanh nghiệp

lớn nhất nước Mĩ năm 2009
(nguồn )
STT Y X Z STT Y X Z
1 2338.21 489.47 20.1 26 7011.38 2635.76 52
2 1052.17 232.61 35.9 27 1911.2 406.1 26.6
3 2145.78 35.65 40.7 28 114552 7660 9.6
4 42905 8235 27.4 29 3318.13 162.16 7.3
5 1305.58 80.72 8.8 30 15040 2749 43.9
6 24748.9 827.6 6.1 31 22744.7 4551 29.8
7 4365.26 427.89 14.1 32 869.77 145.91 26
8 4405.4 361.8 12 33 1177.74 175.69 27.6
9 2346.8 205.1 9.2 34 935.25 266.5 67.6
10 24509 902 4.6 35 1654.41 177 20.6
11 774 34.5 7.1 36 3054.9 31.7 3
12 10800 428 5.3 37 2826.2 228.5 16.5
13 2689.89 776.75 32.9 38 3631.28 1376.22 52.5
14 1461.45 165.61 16.7 39 21565 942 12.4
15 5486.6 921.8 25.9 40 7577.19 360.83 7.7
16 23650.5
6 6520.45 35.1
41
1724.11 246.6 39.9
17 840.41 53.87 12.5 42 11724 2109 30.94
18 7453 470 8.4 43 2820.07 317.83 17.34
19 4726.77 200.37 6.6 44 14143 1898 24
20 5223.25 475.52 15.5 45 2229 131 20.7
21 3864.01 196.3 10.3 46 4978.9 479.5 14.5
22 748.24 87.3 14.6 47 3278.66 534.96 18.9
23 9041 1152 25.3 48 3326.45 67.99 3
24 59804.2 1280.3 3.8 49 6012.4 448.2 14.8

25
15403 2915 31.7
50 71759.9
9 503.4 1.3
Trongđó :
Y
i
: Tổng doanh thu của các doanh nghiệp năm 2009(triệu USD)
X
i
: Tổng thu nhập ròng của các doanh nghiệp năm 2009 (triệu USD)
Z
i
: Lợi nhuận của các doanh nghiệp năm 2009 (triệu USD)
Với mức ý nghĩa α=5% hãy phát hiện hiện tượng phương sai sai số thay đổi và
khắc phục hiện tượng này.
1. Phát hiện
1.
Xét mô hình: y =
1
+ β
2
X +
3
Z + U
i
2.
Hồi quy mô hình
3.
Lệnh: Y C X Z

bảng kết quả hồi quy:
 Để nhận định về phương sai sai số, đánh giá qua đồ thị phần dư :
[Equation] View Actual, Fitted, Residual Residual Graph
Qua đồ thị có thể thấy sự dao động không đều của sai số quanh giá trị trung
bình là 0. Hai đường đứt nét là giá trị (sai số chuẩn của hồi quy).
 kiểm định White
- do eviews thực hiện dựa trên hồi quy bình phương phần dư theo bậc nhất và
bậc hai của các biến độc lập. có hai trương hợp: kiểm định không có tích
chéo giữa các biến độc lập và kiểm định có tích chéo.
kiểm định không có tích chéo
= α
1
+ α
2
X + α
3
X
2
+ α
4
Z + α
5
Z
2
+ V
i
H
0
: mô hình gốc có phương sai sai số không đổi (đồng đều).
H

0
: mô hình gốc có phương sai sai số thay đổi ( không đồng đều)
F = so sánh với F
(k-1, n-k)
X
2
= nR
2
so sánh với X
2 (k-1).
- [Equation] View Residual test White heteroskedasticity (no cross
term)
Ta có P-value = 0.001239 < 0.05 nên bác bỏ H
0
. Vậy mô hình có phương sai
thay đổi.
kiểm định White có tích chéo
- [Equation] View Residual test White heteroskedasticity (cross term)
Tương tự, ta có P- Value = 0.000660 < 0.05 nên bác bỏ H
0
. Vậy mô hình có
phương sai thay đổi.
 Kiểm định goldeld – Quandt
- Ta bỏ c=10 quan sát ở giữa, từ quan sát 21-30
- Có kết quả:
Tính F= = = 6.5625 > F
0,05
(17,17) = 2.28

Vậy có phương sai sai số thay đổi.
Kiểm định Glejser
Ta thực hiện hồi quy
Dependent Variable: ABS(E)
Method: Least Squares
Date: 11/05/13 Time: 16:58
Sample: 1 50
Included observations: 50
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 5577.896 1627.254 3.427796 0.0013
X 2.580773 0.754526 3.420388 0.0013
R-squared 0.195967 Mean dependent var 8472.515
Adjusted R-squared 0.179216 S.D. dependent var 10847.94
S.E. of regression 9827.920 Akaike info criterion 21.26302
Sum squared resid 4.64E+09 Schwarz criterion 21.33950
Log likelihood -529.5755 F-statistic 11.69905
Durbin-Watson stat 1.745994 Prob(F-statistic) 0.001286
Kiểm định giả thuyết
Nếu đúng thì không có phương sai sai số thay đổi.
Ta có P- value= 0.0013< = 0.05, nên bác bỏ
Kết luận: có hiện tượng phương sai sai số thay đổi
Kiểm định dựa trên biến phụ thuộc
Ta thực hiện hồi quy:
Dependent Variable: E^2
Method: Least Squares
Date: 11/05/13 Time: 16:59
Sample: 1 50
Included observations: 50
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 89243167 71555361 1.247191 0.2184

YF^2 0.263611 0.070398 3.744571 0.0005
R-squared 0.226079 Mean dependent var 1.87E+08
Adjusted R-squared 0.209955 S.D. dependent var 5.30E+08
S.E. of regression 4.71E+08 Akaike info criterion 42.81786
Sum squared resid 1.06E+19 Schwarz criterion 42.89434
Log likelihood -1068.447 F-statistic 14.02181
Durbin-Watson stat 1.329059 Prob(F-statistic) 0.000484
Kiểm định giả thuyết
Nếu đúng thì không có phương sai sai số thay đổi.
Ta có:
Bác bỏ , vậy phương sai sai số thay đổi
2.Khắc phục
a, Giả thuyết 1:
Ta thực hiện hồi quy sau:
Dependent Variable: Y/X
Method: Least Squares
Date: 11/05/13 Time: 17:00
Sample: 1 50
Included observations: 50
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
1/X 1669.092 564.9258 2.954534 0.0049
C 11.20595 3.937702 2.845808 0.0065
Z/X -19.42262 24.85314 -0.781496 0.4384
R-squared 0.183161 Mean dependent var 18.13544
Adjusted R-squared 0.148402 S.D. dependent var 24.56594
S.E. of regression 22.66997 Akaike info criterion 9.138084
Sum squared resid 24154.59 Schwarz criterion 9.252805
Log likelihood -225.4521 F-statistic 5.269429
Durbin-Watson stat 1.439737 Prob(F-statistic) 0.008614