Tìm momen quán tính và tọa độ khối tâm

BÀI TẬP XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ KHỐI TÂM VÀ MOMEN QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN
Câu 1. Xác định tọa độ khối tâm của một cung trịn đồng chất, bán kính R, mật độ khối lượng ρ
góc mở 2α0.
Khối lượng cung trịn:
Do tính đối xứng, ta thấy ngay G nằm trên đường thẳng đứng Oy (xem
hình vẽ) nên chỉ cần tính tọa độ yG = OG của vật.
Xét phần tử dài d , có khối lượng

có tọa độ

Theo cơng thức tính tọa độ khối tâm :

.

Vậy
Câu 2. Áp dụng để tìm tọa độ khối tâm của
a) cung ¼ đường trịn
b) một nửa đường trịn.
HD:
a) Thay

;

b) Thay

;

Câu 3. Tìm vị trí khối tâm của một vật đồng chất, mật độ khối lượng
ρ, có dạng là một bản mỏng phẳng ABCD (hình vẽ) với BC và AD là
hai cung tròn đồng tâm bán kính R1 và R2, OBA và OCD là hai bán
kính, góc mở 2α0.

Vị trí khối tâm: Do tính đối xứng, ta thấy ngay G nằm trên đường
thẳng đứng đi qua O
Xét một phần tử diện tích
khối lượng

và tọa độ


Theo cơng thức tính tọa độ khối tâm :

.
Câu 4. Áp dụng tìm vị trí khối tâm của
a) Một hình quạt đồng chất, khối lượng m, góc mở 2α0.
b) Nửa đĩa trịn đồng chất, khối lượng m, bán kính R.
HD
a) Thay

;

b) Thay

;

Câu 5. Xác định vị trí khối tâm của bán cầu rỗng.
Khối tâm G của vỏ bán cầu: Do tính đối xứng nên G nằm trên trục Oy
Xét đới cầu thứ i có bán kính r =R sin ϕ
Diện tích của đới cầu:
2
dS=2 π rdh=2 πR sin ϕ Rd ϕ=2 πR sin ϕdϕ
dS có tọa độ y=R cos ϕ

dm=

M
dS
2 πR 2

khối lượng
do đó
π /2
1
1
R
2
y G= ∫ ydm=
2 πR ∫ sin ϕdϕ . R cos ϕ =
2
M
2
2 πR
0
Câu 6. Tìm vị trí khối tâm của một chỏm cầu đặc đồng chất, mật độ khối lượng ρ, bán kính R,
tâm O, góc mở 2α0 (hình vẽ)
HD
Do đối xứng, G nằm trên trục đối xứng Ox. Chia bán cầu thành nhiều
lớp mỏng dày dx nhỏ( hình vẽ).
Một lớp ở điểm có toạ độ x= R cos , dày -dx= Rsin.d (lấy dấu trừ
trục của x và  ngược nhau, ta có thể bỏ dấu trừ nếu chọn  là góc
hợp bởi bán kính và trục nằm ngang)
có khối lượng dm = (Rsin)2 (-dx) nên:

x
.
x
OO



dx

vì


Câu 7. Áp dụng tìm vị trí khối tâm của một bán cầu đặc đồng chất, khối lượng m, bán kính R.
Thay
và
ta có:
Câu 8. Xác định momen qn tính quả một thanh dài dồng chất khối lượng m, chiều dài l đối với
một trục đi qua trung điểm và hợp với thanh một góc α

Áp dụng:
Trường hợp trục đi qua trung điểm và vng góc với thanh, thay

ta lại có

Câu 9. Xác định mơmen qn tính của:
a) Một vành trịn (hình trụ rỗng) đồng chất khối lượng m, bán kính R đối với trục đi qua tâm và
nằm trong với mặt phẳng của vành.
b) Một đĩa trịn (hình trụ đặc) đồng chất khối lượng m, bán kính R đối với trục đi qua tâm và nằm
trong mặt phẳng của đĩa.
HD a

Câu 10.
Tìm mơmen qn tính của bản mỏng đồng chất hình chữ nhật khối lượng m, các
cạnh là a và b đối với trục vng góc với mặt bản và đi qua một đỉnh của bản

Mơ men qn tính của bản đối với trục qua khối tâm O và vuông góc với mặt phẳng bản:

Áp dụng định lý trục song song, momen quán tính của bản đối với một trục qua đỉnh của bản là:


Câu 11.
Xác định mơ men qn tính I đối với trục quay qua O và
vng góc với một vật phẳng đồng chất, mật độ khối lượng ρ, có dạng
là một bản mỏng phẳng ABCD (hình vẽ) với BC và AD là hai cung
trịn đồng tâm bán kính R1 và R2, OBA và OCD là hai bán kính, góc
mở 2α0.
Gọi khối lượng trên một đơn vị diện tích của vật là ρ. Xét một cung
mỏng dr bán kính r, khối lượng của nó là
dm = ρ2α0rdr
Mơ men qn tính của yếu tố dm đối với trục quay đi qua O là
dI = r2dm = 2ρα0r3dr.
Mơ men qn tính của cả vật đối với trục quay đi qua O và vng góc với mặt phẳng vật là

Nếu cho khối lượng của vật là m thì
Khi đó:
Câu 12.
Áp dụng tìm momen qn tính đối với trục quay qua tâm và vng góc với mặt
phẳng vật của:
a) Một hình quạt đồng chất, khối lượng m, góc mở 2α0.

b) Nửa đĩa trịn đồng chất, khối lượng m, bán kính R.
HD:
a) Thay
b) Thay

;
;

Nhận xét: với mọi hình quạt có khối lượng m, bán kính R thì
Câu 13.
Xác định momen quán tính của một chỏm cầu đặc đồng chất, mật độ khối lượng ρ,
bán kính R, tâm O, góc mở 2α 0 (hình vẽ) đối với trục quay qua tâm và vng góc với thiết diện
chỏm cầu


HD
x

Chia bán cầu thành nhiều lớp mỏng dày dx nhỏ( hình vẽ).
Một lớp ở điểm có toạ độ x = R cos , dày -dx= Rsin.d, bán kính

.

r = Rsin , có khối lượng dm = -(Rsin)2dx, momen qn tính:

x



dx

OO

Cách 2. Ngồi ra, ta có thể lấy dm = σdV, với σ là khối lượng trên một đơn vị thể tích, dV là vi
phân thể tích trong hệ tọa độ cầu.

và


Áp dụng:

, (lưu ý biến

chỉ chạy từ 0 đến

vì ta chỉ lấy nửa hình cầu)

Câu 14.
Áp dụng tính momen qn tính của:
a) Một bán cầu đặc đồng chất, khối lượng m, bán kính R đối với trục quay qua tâm và vng góc
với thiết diện
b) Một quả cầu đặc đồng chất, bán kính R đối với một trục quay qua tâm
HD:
a) Thay

;

ta được

b) Thay

;
ta được
Câu 15.
Một thanh cứng không đồng chất chiều dài L, khối lượng M. Mật độ khối lượng
theo chiều dài bằng kx, với: k là hằng số; x là khoảng cách tới đầu O của thanh
1.Xác định giá trị của k và vị trí khối tâm C của thanh theo M và L.
2.Tính mơmen qn tính của thanh đối với trục đi qua đầu O và vuông góc với thanh.
1) Xác định k và khối tâm C
Xét một phần tử nhỏ dx cách đầu ở toạ độ x có khối lượng dm = kx.dx
Xác định k:

* 0
=>

Xác định khối tâm C

*
=>

, thay k =>

C
B

2) Xác định mômen quán tính I0.

. Thay k =>
Câu 16.
Xác định momen quán tính của một cung trịn và của một quạt trịn với trục quay đi
qua khối tâm và vng góc với mặt phẳng chứa vật.

HD Áp dụng định lý trục song song:

Làm lại các bước tìm vị trí khối tâm và momen quán tính đối với trục đi qua tâm.