Ôn Thi Tốt Nghiệp Môn Toán 2014

Ôn Thi Tốt Nghiệp 2014 GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 1
PHẦN I: KHẢO SÁT HÀM SỐ & BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a) Hàm số bậc ba, hàm số trùng phương:
• Tập xác định
D
=
ℝ

• Tính đạo hàm
'
y

• Giải phương trình
' 0
y
=
để tìm các nghiệm
0
x
(nếu có).
• Tính giới hạn:
lim
x
y
→−∞
và
lim
x
y

→+∞

•
Nêu s
ự

đồ
ng bi
ế
n, ngh
ị
ch bi
ế
n và c
ự
c tr
ị
(n
ế
u có) c
ủ
a hàm s
ố
.
•
V
ẽ
b
ả
ng bi

ế
n thiên c
ủ
a hàm s
ố

•
L
ậ
p b
ả
ng giá tr
ị

•
V
ẽ

đồ
th
ị
hàm s
ố
và nêu nh
ậ
n xét.
L
ư
u ý:
Đố

i v
ớ
i hàm b
ậ
c ba ta có th
ể
tìm thêm
đ
i
ể
m u
ố
n.
 Các dạng đồ thị hàm số:


Hàm số bậc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a
≠
0) ( chỉ nêu 4/6 dạng đồ thị)


Hàm số trùng phương: y = ax
4
+ bx
2
+ c (a

≠
0)

b) Hàm số nhất biến
ax b
y
cx d
+
=
+
với
0, 0
c ad bc
≠ − ≠
:
•

T
ậ
p xác
đị
nh
\
d
D
c
 
= −
 
 

ℝ
•

Tính
2
'
( )
ad bc
y
cx d
−
=
+
và kh
ẳ
ng
đị
nh
'
y
d
ươ
ng ho
ặ
c âm
d
x
c
∀ ≠ −

•

Suy ra hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n ho
ặ
c ngh
ị
ch bi
ế
n trên m
ỗ
i kho
ả
ng xác
đị
nh
;
d
c
 
−∞ −
 
 
, ;
d

c
 
− +∞
 
 
và không có c
ự
c tr
ị
.
•

Tính gi
ớ
i h
ạ
n và ti
ệ
m c
ậ
n:

lim
x
a
y
c
→−∞
=
và

lim
x
a
y
c
→+∞
=
, suy ra
a
y
c
=
là ti
ệ
m c
ậ
n ngang.
x

y

O
x

y

O
a < 0
a > 0
D

ạ
ng 2: hàm s
ố
có 1 c
ự
c tr
ị

⇔
?

x

y

O
x

y

O
a < 0
a > 0
D
ạ
ng 1: hàm s
ố
có 3 c
ự
c tr

ị

⇔
?

x

y

O
•
I

x

y

O
•

I

a < 0
a > 0
D
ạ
ng 2: hàm s
ố
không có c
ự

c tr
ị

⇔

?

x

y

O
•
I

x

y

O
•
I

a < 0
a > 0
D
ạ
ng 1: hàm s
ố
có 2 c

ự
c tr
ị

⇔
?

Ôn Thi Tốt Nghiệp 2014 GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 2

lim
d
x
c
y
+
 
→ −
 
 
và
lim
d
x
c
y
−
 
→ −
 

 
, suy ra
d
x
c
= −
là ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng.
•

V
ẽ
b
ả
ng bi
ế
n thiên c
ủ
a hàm s
ố

•

L
ậ

p b
ả
ng giá tr
ị

•

V
ẽ

đồ
th
ị
hàm s
ố
(có 2 ti
ệ
m c
ậ
n) và nêu nh
ậ
n xét.
 Các dạng đồ thị hàm số:


2. Các vấn đề liên quan đến khảo sát hàm số:
a) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 1 – biết tọa độ tiếp điểm
0
M
)

•

Ch
ỉ
rõ hoành
độ

0
x
và tung
độ

0 0
( )
y f x
=
c
ủ
a
đ
i
ể
m
0
M
.
•

Tính
0

'( )
f x

•

Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n:
0 0 0
'( )( )
y y f x x x
− = −

b) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 2 – biết trước hệ số góc k)
•

L
ậ
p lu
ậ
n
để
có
đượ
c
0

'( ) (*)
f x k
=

•

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình (*)
để
tìm
0
x
, sau
đ
ó tính
0
y

•

Công th
ứ
c:
0 0
( )
y y k x x
− = −

L
ư
u ý:

Ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ớ
i
y ax b
= +
có h
ệ
s
ố
góc
k a
=


Ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i

y ax b
= +
v
ớ
i
0
a
≠
có h
ệ
s
ố
góc
1
k
a
= −
.
c) Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
( ) : ( )
C y f x
=

•
Đư
a ph
ươ
ng trình v
ề
d

ạ
ng:
( ) ( )
f x g m
=
v
ớ
i
( )
g m
là bi
ể
u th
ứ
c theo m.
•

L
ậ
p lu
ậ
n s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình

đ
ã cho b
ằ
ng s
ố
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đồ
th
ị

( ) : ( )
C y f x
=
và
đườ
ng th
ẳ
ng
: ( )
d y g m
=
.
•

D
ự
a vào
đồ
th
ị
l
ậ
p b
ả
ng k
ế
t qu
ả
:
m
( )
g m

S
ố
giao
đ
i
ể
m S
ố
nghi
ệ
m c

ủ
a ph
ươ
ng trình




Lưu ý:
N
ế
u bài toán ch
ỉ
yêu c
ầ
u tìm các giá tr
ị
c
ủ
a m
để
ph
ươ
ng trình có
đ
úng n nghi
ệ
m, ta
không c
ầ

n l
ậ
p b
ả
ng k
ế
t qu
ả
nh
ư
trên mà ch
ỉ
c
ầ
n ch
ỉ
rõ các tr
ườ
ng h
ợ
p th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài
toán.
d) Sự tương giao giữa đồ thị
( ) : ( )
C y f x
=

và đường thẳng
:
d y ax b
= +

•

L
ậ
p ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m:
( ) (*)
f x ax b
= +

•

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình (*).
•

L
ậ
p lu
ậ
n giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) và d b
ằ
ng s
ố
s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a (*)
•

Suy ra s
ố

giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) và d.
3. Một số vấn đề khác liên quan đến hàm số:
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
y f x
=
trên đoạn
[ ; ]
a b
:
B
ướ
c 1: Ki
ể
m tra hàm s
ố

( )
y f x
=

liên t
ụ
c trên
đ
o
ạ
n
[ ; ]
a b
.
y

I
x
y

O

D
ạ
ng 2: hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n

D
ạ

ng 1: hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n
x
O

I
Ôn Thi Tốt Nghiệp 2014 GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 3
B
ướ
c 2: Tính
' '( )
y f x
=

B
ướ
c 3: Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
' 0
y
=

để
tìm các nghi
ệ
m
[ ; ]
i
x a b
∈
(n
ế
u có) và các s
ố

[ ; ]
j
x a b
∈
làm cho
'
y
không xác
đị
nh
(nhớ loại các
[ ; ]
l
x a b
∉
)

B
ướ
c 4: Tính các giá tr
ị

( )
i
f x
,
( )
j
f x
và
( )
f a
,
( )
f b

(không
đượ
c tính
( )
l
f x
)
B
ướ
c 5: Ch

ọ
n giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t và giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t t
ừ
b
ướ
c 4
để
k
ế
t lu
ậ
n v
ề
giá tr
ị
l
ớ
n

nh
ấ
t và giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố

( )
y f x
=
trên
đ
o
ạ
n
[ ; ]
a b
.
Ngoài ra
đố
i v
ớ
i hàm s
ố

( )
y f x
=
không liên t
ụ
c trên
đ
o
ạ
n
[ ; ]
a b
ho
ặ
c tìm GTLN và GTNN
trên kho
ả
ng
( ; )
a b
thì ta c
ũ
ng th
ự
c hi
ệ
n t
ươ
ng t

ự
nh
ư
ng
ở
b
ướ
c 5 ta c
ầ
n l
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên
để
tìm GTLN và GTNN.
b) Điều kiện để hàm số có cực trị:

N
ế
u
0
0
'( ) 0
"( ) 0
f x
f x
=



<

thì hàm s
ố

( )
y f x
=

đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
0
x
.

N
ế
u
0
0
'( ) 0
"( ) 0

f x
f x
=


>

thì hàm s
ố

( )
y f x
=

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
0
x
.

Hàm s
ố

3 2

y ax bx cx d
= + + +
v
ớ
i
0
a
≠
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u
'
0
y
⇔ ∆ >


Hàm s
ố

4 2
y ax bx c
= + +
v

ớ
i
0
a
≠
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u
. 0
a b
⇔ <

c) Điều kiện để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên từng khoảng xác định:

Hàm s
ố

3 2
y ax bx cx d
= + + +
v
ớ
i
0

a
≠

đồ
ng bi
ế
n trên
ℝ

'
0
' 0,
0
y
y x
a
∆ ≤

⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔

>

ℝ


Hàm s
ố

3 2
y ax bx cx d

= + + +
v
ớ
i
0
a
≠
ngh
ị
ch bi
ế
n trên
ℝ

'
0
' 0,
0
y
y x
a
∆ ≤

⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔

<

ℝ

Đố

i v
ớ
i bài toán có ch
ứ
a tham s
ố

ở
h
ệ
s
ố
a ta c
ầ
n xét thêm tr
ườ
ng h
ợ
p
0
a
=
có th
ỏ
a
mãn yêu c
ầ
u bài toán hay không.

Hàm s

ố

ax b
y
cx d
+
=
+
v
ớ
i
0
c
≠

đồ
ng bi
ế
n trên t
ừ
ng kho
ả
ng xác
đị
nh
' 0, 0
y x D ad bc
⇔ > ∀ ∈ ⇔ − >
(không có d
ấ

u “=”)

Hàm s
ố

ax b
y
cx d
+
=
+
v
ớ
i
0
c
≠
ngh
ị
ch bi
ế
n trên t
ừ
ng kho
ả
ng xác
đị
nh
' 0, 0
y x D ad bc

⇔ < ∀ ∈ ⇔ − <
(không có d
ấ
u “=”)
Bài t
ậ
p:
Bài 1:
Cho hàm s
ố

3 2
6 9 1
y x x x
= − + +

a)

Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị

(C) c
ủ
a hàm s
ố
.
b)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (C) v
ớ
i tr
ụ
c tung.

c)

Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
để
ph
ươ
ng trình
3 2
6 9 0
x x x m
− + + =
có 1 nghi
ệ
m.
Bài 2:
Cho hàm s
ố

2 3
3 2
y x x
= −

a)

Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
.
b)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ

a (C) t
ạ
i giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (C) v
ớ
i tr
ụ
c hoành.
c)

Bi
ệ
n lu
ậ
n theo m s
ố
nghi
ệ
m th
ự
c c
ủ
a ph
ươ
ng trình:

3 2
4 6 3 0
x x m
− − =
.
Bài 3:
Cho hàm s
ố

4 2
2 3
y x x
= − −

a)

Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(C) c
ủ

a hàm s
ố
.
Ôn Thi Tốt Nghiệp 2014 GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 4
b)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i
đ
i
ể
m thu
ộ
c (C) có hoành

độ

0
x
bi
ế
t
0
"( ) 20
f x
=
.
c)

Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
để
ph
ươ
ng trình
4 2
2 0
x x m
− + =
có nhi

ề
u h
ơ
n hai
nghi
ệ
m.
Bài 4:
Cho hàm s
ố

4 2
4 3
y x x
= − + −

a)

Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị

(C) c
ủ
a hàm s
ố
.
b)

Bi
ệ
n lu
ậ
n theo m s
ố
nghi
ệ
m th
ự
c c
ủ
a ph
ươ
ng trình:
4 2
4 0
x x m
− + =
.
Bài 5:
Cho hàm s
ố

4 2
2 2
y x x
= + −

a)

Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
.
b)

Vi
ế
t ph

ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i
đ
i
ể
m có tung
độ
b
ằ
ng 1.
Bài 6:
Cho hàm s
ố

4 2
6
y x x
= − − +

a)

Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
.
b)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế

n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C), bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i
đườ
ng
th
ẳ
ng
1
1
6
y x
= −
.
Bài 7:
Cho hàm s
ố

2 1
1
x
y
x
+
=
+

a)

Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
.
b)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i
đ
i
ể
m trên (C) có tung
độ
b
ằ
ng
5
2
.
c)

Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng
đườ
ng th
ẳ
ng
: 2
d y x m
= − +
luôn c
ắ
t
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i 2
đ
i
ể
m phân
bi
ệ
t.
Bài 8:
Cho hàm s
ố

2 1
1

x
y
x
+
=
−

a)

Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
.
b)

Vi
ế

t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n có h
ệ
s
ố
góc b
ằ
ng
3
−

c)

Vi
ế
t ph
ươ

ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i
đ
i
ể
m trên (C) có tung
độ
b
ằ
ng
7
2
.
d)

Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a m
để

: ( 1) 2

d y m x
= + +
c
ắ
t
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i 2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
Bài 9:
Cho hàm s
ố

1
2
x
y
x
− +
=
−

a)

Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị

( )
C
c
ủ
a hàm s
ố
.
b)

Tìm m
để
:
d y x m
= − +
c

ắ
t
đồ
th
ị

( )
C
t
ạ
i 2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B sao cho
4
AB
=
.
Bài 10:
Cho hàm s
ố

2
3
x
y
x

+
=
−

a)

Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
.
b)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti

ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i
đ
i
ể
m trên (C) có hoành
độ
b
ằ
ng 1.
c)

Xác
đị
nh t
ọ
a
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ

a
đồ
th
ị
(C) và
đườ
ng th
ẳ
ng
: 3 2
d y x
= − +
.
Bài 11:
Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t và giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố

:
3 2
) 8 16 9
a y x x x
= − + +
trên
đ
o
ạ
n
[1;3]

2
) 4ln(1 )
b y x x
= − −
trên
đ
o
ạ
n
[ 3;0]
−

3 2
) 2ln 3ln 2
c y x x
= − −
trên
đ

o
ạ
n
2
[1; ]
e

2
) ( 1)
x
d y e x x
= − −
trên
đ
o
ạ
n
[0;2]

2
) 2 5
e y x x
= + −

3
) 3sin 2sin 3
f y x x
= − +
trên
đ

o
ạ
n
[0; ]
π

) cos2 sin 3
g y x x
= − +

) 2sin sin 2
h y x x
= +
trên
đ
o
ạ
n
3
[0; ]
2
π

Ôn Thi Tốt Nghiệp 2014 GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 5
Bài 12:
Tìm
đ
i
ề

u ki
ệ
n c
ủ
a tham s
ố
m
để
hàm s
ố

3 2
4 3
y x mx x
= + + +

a)
Đồ
ng bi
ế
n trên
ℝ
.
b)

Có c
ự
c
đạ
i và c

ự
c ti
ể
u.
Bài 13:
Tìm
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a m
để
hàm s
ố

3 2 2
3 ( 1) 2
y x mx m x
= − + − +

đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ

i
0
2
x
=
.
Bài 14:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u
sin
x
x
y
e
=
thì
" 2 ' 2 0
y y y
+ + =
.
Bài 15:
Tìm các giá tr
ị
c
ủ

a tham s
ố
m
để
hàm s
ố
sau luôn
đồ
ng bi
ế
n trên
ℝ
:
a)

3 2
( 6) 2
y x mx m x
= − + + −

b)

3 2 2
2( 1) (2 2) 3
y x m x m m x m
= − − + − + + −

Bài 16:
Tìm các giá tr
ị

c
ủ
a tham s
ố
m
để
hàm s
ố

2 3 2
1
( 1) ( 1) 3 5
3
y m x m x x
= − + + + +

đồ
ng
bi
ế
n trên
ℝ
.
Bài 17:
Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố

m
để
hàm s
ố

3 2
( 1) (2 1) 3
y x m x m x
= − + + − + −
luôn
ngh
ị
ch bi
ế
n trên
ℝ
.
Bài 18:
Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
để
hàm s
ố
sau có c
ự

c
đạ
i và c
ự
c ti
ể
u:
a)

3 2 2
2( 1) ( 3 2) 2
y x m x m m x
= + − + − + +

b)

4 2
( 1) 2 3
y m x mx
= − − −

Bài 19:
Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
để

hàm s
ố
:
a)

3 2 2
2 ( 1) ( 4) 1
y x m x m x m
= + + + − − +

đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
0
x
=

b)

2 3 2
(2 1) (2 3) 2
y m x mx m x
= − − + + −

đạ

t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
1
x
= −

Bài 20:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a)

N
ế
u
(cos2 sin 2 )
x
y e x x
= +
thì
" 2 ' 5 0
y y y
− + =

b)

N
ế
u
4
2
x x
y e e
−
= +
thì
"' 13 ' 12
y y y
− =

c)

N
ế
u
ln
x
y
x
=
thì
2
3 ' " 0

y xy x y
+ + =

Ôn Thi Tốt Nghiệp 2014 GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 6
PH
Ầ
N II: PH
ƯƠ
NG TRÌNH – B
Ấ
T PH
ƯƠ
NG TRÌNH M
Ũ
& LOGARIT
1. Phương trình mũ (đơn giản)
Các tính ch
ấ
t v
ề
l
ũ
y th
ừ
a c
ầ
n l
ư
u ý: v

ớ
i
0, 0
a b
> >
và
,
m n
∈
ℝ
ta có:
1) .
m n m n
a a a
+
=

2) ( ) .
n n n
ab a b
=

3) ( )
m n mn
a a
=

4)
m
m n

n
a
a
a
−
=
5)
n
n
n
a a
b b
 
=
 
 

6)
m
m
n
n
a a
=

a)
Phương trình mũ cơ bản:
v
ớ
i

0
a
>
và
1
a
≠
ta có:

x
a b
=
vô nghi
ệ
m n
ế
u
0
b
≤


log
x
a
a b x b
= ⇔ =
n
ế
u

0
b
>

b)
Phương pháp đưa về cùng cơ số:
v
ớ
i
0
a
>
và
1
a
≠
ta có:
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
= ⇔ =
c) Phương pháp đặt ẩn số phụ:

Cách gi
ả
i chung:

Bi
ế

n
đổ
i ph
ươ
ng trình theo
( )
f x
a
, ch
ẳ
ng h
ạ
n:


2 ( ) ( )
. . 0
f x f x
m a n a p
+ + =



( )
( )
1
. . 0
f x
f x
m a n p

a
+ + =



Đặ
t
( )
f x
t a
=
(kèm theo
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a t) và thay vào ph
ươ
ng trình.

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình m
ớ
i theo t

để
tìm nghi
ệ
m
0
t
(n
ế
u có)


Đố
i chi
ế
u nghi
ệ
m
0
t
tìm
đượ
c v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n

ở
b
ướ
c

r
ồ
i tìm x.

L
ư
u ý:
N
ế
u g
ặ
p ph
ươ
ng trình có d
ạ
ng
2 ( ) ( ) 2 ( )
. ( . ) . 0
f x f x f x
m a n a b p b
+ + =
, ta chia
hai v
ế
ph

ươ
ng trình cho
2 ( )
f x
b
.
d)
Phương pháp lôgarit hóa:
v
ớ
i
0 1
a
< ≠
và
0 1
b
< ≠
ta có:
( ) ( )
( ) ( ).log
f x g x
a
a b f x g x b
= ⇔ =

2. Phương trình lôgarit (đơn giản):
Cách gi
ả
i chung:

 Đặ
t
đ
i
ề
u ki
ệ
n xác
đị
nh c
ủ
a ph
ươ
ng trình.

Bi
ế
n
đổ
i ph
ươ
ng trình
để
tìm x (n
ế
u có).
 Đố
i chi
ế
u x v

ừ
a tìm
đượ
c v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n
để
k
ế
t lu
ậ
n.
Các công th
ứ
c và quy t
ắ
c tính lôgarít: v
ớ
i
0 1
a
< ≠
và
0, 0, 0

b c
α
> > ≠
:
1) log 1 0
a
=

2) log log
a a
b b
α
= α

1
3) log log
a
a
b b
α
=
α

4) log ( . ) log log
a a a
b c b c
= +

5) log log log
a a a

b
b c
c
= −
log
6)
a
b
a b
=

log
7) log
log
c
a
c
b
c
a
= v
ớ
i
1
c
≠

1
8) log
log

a
b
b
a
= v
ớ
i
1
b
≠

a)
Phương trình logarit cơ bản:
v
ớ
i
0
a
>
và
1
a
≠
ta có:
log
b
a
x b x a
= ⇔ =

b)
Phương pháp đưa về cùng cơ số:
v
ớ
i
0
a
>
và
1
a
≠
ta có:

log ( ) ( )
b
a
f x b f x a
= ⇔ =


( ) ( )
log ( ) log ( )
( ) 0 ( ) 0)
(hoaëc
a a
f x g x
f x g x
f x g x
=


= ⇔

> >


L
ư
u ý:
Ôn Thi Tốt Nghiệp 2014 GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 7

N
ế
u
đ
ã có
( ) 0
f x
>
thì
[
]
2
log ( ) 2 .log ( )
n
a a
f x n f x
=


N
ế
u ch
ỉ
có
( ) 0
f x
≠
thì
[
]
2
log ( ) 2 .log ( )
n
a a
f x n f x
=

Các bi
ế
n
đổ
i sau th
ườ
ng
rất dễ sai
(không nên s
ử
d

ụ
ng)
•
Đư
a
α
ra ngoài:
[
]
log ( )
a
f x
α
thành
.log ( )
a
f x
α

•

Tách
[
]
log ( ). ( )
a
f x g x
thành
log ( ) log ( )
a a

f x g x
+

•

Tách
( )
log
( )
a
f x
g x
thành
log ( ) log ( )
a a
f x g x
−

(ch
ỉ

đượ
c s
ử
d
ụ
ng các phép bi
ế
n
đổ

i trên khi
( ) 0
f x
>
và
( ) 0
g x
>
)
Nên dùng các bi
ế
n
đổ
i sau
đ
ây:
•
Đư
a
α
vào trong:
.log ( )
a
f x
α
thành
[
]
log ( )
a

f x
α

•

Nh
ậ
p
log ( ) log ( )
a a
f x g x
+
thành
[
]
log ( ). ( )
a
f x g x

•

Nh
ậ
p
log ( ) log ( )
a a
f x g x
−
thành
( )

log
( )
a
f x
g x

c) Phương pháp đặt ẩn số phụ:

Bi
ế
n
đổ
i ph
ươ
ng trình theo
log ( )
a
f x
, ch
ẳ
ng h
ạ
n:
2
log ( ) log ( ) 0
a a
m f x n f x p
+ + =

 Đặ

t
log ( )
a
t f x
=
và thay vào ph
ươ
ng trình.

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình m
ớ
i theo t
để
tìm nghi
ệ
m
0
t
(n
ế
u có)

T
ừ

0

t t
=
ta gi
ả
i ph
ươ
ng trình lôgarit c
ơ
b
ả
n tìm x.
d)
Phương pháp mũ hóa:
v
ớ
i
0 1
a
< ≠
và
0 1
b
< ≠
ta có:
log ( )
log ( ) log ( ) ( )
b
g x
a b
f x g x f x a= ⇔ =

3. Bất phương trình mũ – lôgarit (đơn giản):

C
ũ
ng có các cách gi
ả
i t
ươ
ng t
ự
nh
ư
ph
ươ
ng trình m
ũ
và lôgarit.

Tuy nhiên khi gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình m
ũ
và b
ấ
t ph

ươ
ng trình lôgarit c
ầ
n chú ý so sánh
c
ơ
s
ố
a v
ớ
i 1
để
s
ử
d
ụ
ng tính
đồ
ng bi
ế
n và ngh
ị
ch bi
ế
n c
ủ
a hàm s
ố
m
ũ

và hàm s
ố

lôgarit.

Hàm s
ố

x
y a
=

đồ
ng bi
ế
n khi
1
a
>
, ngh
ị
ch bi
ế
n khi
0 1
a
< <
.

Hàm s

ố

log
a
y x
=

đồ
ng bi
ế
n khi
1
a
>
, ngh
ị
ch bi
ế
n khi
0 1
a
< <
.
Bài t
ậ
p:
1.

Gi
ả

i các ph
ươ
ng trình sau:
2
3
) 5 625
x x
a
+
=

1
5 7
2
) (1,5)
3
x
x
b
+
−
 
=
 
 

1
) 2 .5 200
x x
c

+
=

2 5 2 3
) 2 2 20
x x
d
+ +
+ =

4 2 1
) 2 2 5 3.5
x x x x
e
+ + +
+ = +
3 3 1 1
) 2 .3 2 .3 192
x x x x
f
+ −
− =
1 2
) 2 .5 0,2.10
x x x
g
− −
=

2 2

1
) 3 .2 72
x x x x
h
− − +
=

2
5 5 11 1 2 2
) 12 .4 48.3
x x x x
i
+ − −
=

2.

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
) 9 5.3 6 0
x x
a
− + =

1 1
) 4 2 21 0
x x

b
− +
+ − =

2
) 5 2.5 5 0
x x
c
−
− + =

) 6.9 13.6 6.4 0
x x x
d
− + =

2 3
) 8 2 56 0
x x
e
− − =

2 2
2
) 2 2 3
x x x x
f
− + −
− =

1
) 2 .4 64 5 0
x x x
g
−
+ − =

2 3
) 4. 2. 6 0
3 2
x x
h
   
+ − =
   
   

) (2 3) (2 3) 4
x x
i
+ + − =

3.

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
2 2

) log 4 log 1 1
a x x
− + − =

5 25 0,2
) log log log 3
b x x
+ =

Ôn Thi Tốt Nghiệp 2014 GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 8
2
4 8
2
) log 2log log 13
c x x x
+ + =

2
2
3
) log ( 2) log ( 4) 0
d x x
− + − =

2 2
) log ( 1) log (2 11) 1
e x x
− − − =

2 0,5
) log ( 3) log ( 1) 3
f x x
− − + =

2
) log( 6 5) log(1 )
g x x x
− + = −

2
2
) log ( 1) log (7 )
h x x
− = −

4 2
2
) ln .log ( 2 ) 3ln
i x x x x
− =

4 3
) log log(4 ) 2 log
j x x x
+ = +

4.

Gi

ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
2
2 2
) log log 6 0
a x x
− − =

2
2
2
) 4log log 2
b x x
+ =

2
) log (5 2 ) 2
x
c x
− = −

1 2
) 1
5 log 1 log
d
x x
+ =
− +

log 1 log 2 1
)
log 2 log 1 2
x x
e
x x
− −
− =
+ +

82
4 16
log (4 )
log
)
log (2 ) log (2 )
x
x
f
x x
=

3
) log(10 ).log(0,1 ) log 3
g x x x
= −

1
3 3

) log (3 1).log (3 3) 6
x x
h
+
− − =

2
3 3
) log (3 ) log 1 0
i x x
+ − =

5.

Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
2
6 3 7
) 7 49
x x
a
+ −
≤

2

7 2
3 9
)
5 25
x x
b
− + +
 
>
 
 

2
2 3
) (0,5) 2
x x
c
−
≥

) 4 3.2 2 0
x x
d
− + <

2 1
) 3 3 28
x x
e
+ −

+ ≤

4 1 4 2 2
) 2 2 4 15
x x x
f
+ −
− − ≤

2 3 2
) 5 2.5 3
x x
g
− −
− ≤

1
) 4 16 3
x x
h
+
− ≥

) 5.4 2.25 7.10
x x x
i + ≤

6.

Gi

ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
2
0,5
) log ( 5 6) 1
a x x
− + ≤ −

2 2
) ln( 2) ln(2 5 2)
b x x x
+ ≥ − +

2
1 1
3 3
) log (2 4) log ( 6)
c x x x
+ ≤ − −

2 2
) log ( 3) log ( 2) 1
d x x
− + − ≤

1

3
3 1
) log 1
2
x
e
x
−
>
+

1 2
3
1 2
) log log 0
1
x
f
x
+
 
>
 
+
 

7.

Gi
ả

i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
2
2 2
) log log (4 ) 4 0
a x x
+ − >

2
3 3
) log 5log 6 0
b x x
− + ≤

2
4
4
) log log 3 0
c x x
+ − ≤

2 3 2 3
) log log 1 log .log
d x x x x
+ < +

4 16

) 3log 4 2log 4 3log 4 0
x x x
e
+ + ≤

2 2
1 3 3
)
log 1 log 2
f
x x
+ ≥
−

Ôn Thi Tốt Nghiệp 2014 GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 9
PH
Ầ
N III:
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
1. Bảng công thức nguyên hàm và nguyên hàm mở rộng:
Nguyên hàm các hàm s
ơ
c
ấ
p

th
ư
ờ

ng g
ặ
p

Công th
ứ
c m
ở

r
ộ
ng

1) 1
dx dx x C
= = +
∫ ∫

1) .
a dx ax C
= +
∫

1
2) ( 1)
1
x
x dx C
α
α

α
α
+
= + ≠ −
+
∫

1
1 ( )
2) ( ) ( 1)
1
ax b
ax b dx C
a
α
α
α
α
+
+
+ = + ≠ −
+
∫

1
3) ln ( 0)
dx x C x
x
= + ≠
∫

1
3) ln
dx ax b C
ax b
= + +
+
∫

4) sin cos
xdx x C
= − +
∫

1
4) sin( ) cos( )
ax b dx ax b C
a
+ = − + +
∫

5) cos sin
xdx x C
= +
∫

1
5) cos( ) sin( )
ax b dx ax b C
a

+ = + +
∫

6)
x x
e dx e C
= +
∫

1
6)
ax b ax b
e dx e C
a
+ +
= +
∫

7) (0 1)
ln
x
x
a
a dx C a
a
= + < ≠
∫

7) (0 1)
.ln

kx
kx
a
a dx C a
k a
= + < ≠
∫

2
1
8) tan
cos
dx x C
x
= +
∫

2
1 1
8) tan( )
cos ( )
dx ax b C
ax b a
= + +
+
∫

2
1
9) cot

sin
dx x C
x
= − +
∫

2
1 1
9) cot( )
sin ( )
dx ax b C
ax b a
= − + +
+
∫

2. Công thức tích phân:
V
ớ
i
( )
F x
là m
ộ
t nguyên hàm c
ủ
a
( )
f x
trên

đ
o
ạ
n
[ ; ]
a b
thì:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫

3. Phương pháp tính tích phân:
a) Phương pháp đổi biến số:
Gi
ả
s
ử
ta c
ầ
n tính:
( )
b
a
I f x dx
=

∫

N
ế
u
( )
f x
có th
ể
phân tích
đượ
c thành
( ( )). '( )
g t x t x
trong
đ
ó hàm s
ố

( )
g t
l
ấ
y
đượ
c nguyên hàm d
ự
a vào b
ả
ng các nguyên hàm c

ơ
b
ả
n thì ta làm nh
ư
sau:
 Đặ
t
( ) '( )
t t x dt t x dx
=
⇒
=

 Đổ
i c
ậ
n:
( ); ( )
t a t b
α β
= =


Thay vào
( )
I g t dt
β
α
=

∫
và tính tích phân m
ớ
i này theo t.
Vài dạng tích phân đổi biến thường gặp:
Dạng tích phân Thử đặt Đặc điểm nhận dạng
'( )
( )
t x
dx
t x
∫

( )
t t x
=

Ch
ứ
a
ẩ
n
ở
m
ẫ
u
( )
. '( )
t x
e t x dx

∫

( )
t t x
=

Ch
ứ
a
ẩ
n
ở
m
ũ

(
)
( ) . '( )
f t x t x dx
∫

( )
t t x
=

Bi
ể
u th
ứ
c trong ngo

ặ
c
(
)
( ) . '( )
n
f t x t x dx
∫

( )
n
t t x
=

Ch
ứ
a
ẩ
n
ở
c
ă
n
Ôn Thi Tốt Nghiệp 2014 GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 10
( )
1
ln .
f x dx
x

∫

ln
t x
=

Ch
ứ
a
ln
x
và
1
x

(
)
sin .cos
f x xdx
∫

sin
t x
=

cos
xdx

đ
i kèm bi

ể
u th
ứ
c theo
sin
x

(
)
cos .sin
f x xdx
∫

cos
t x
=

sin
xdx

đ
i kèm bi
ể
u th
ứ
c theo
cos
x

( )

2
1
tan .
cos
f x dx
x
∫

tan
t x
=

2
1
cos
dx
x

đ
i kèm bi
ể
u th
ứ
c theo
tan
x

( )
2
1

cot .
sin
f x dx
x
∫

cot
t x
=

2
1
sin
dx
x

đ
i kèm bi
ể
u th
ứ
c theo
cot
x

(
)
.
ax ax
f e e dx

∫

ax
t e
=

ax
e dx

đ
i kèm bi
ể
u th
ứ
c theo
ax
e

L
ư
u ý:
đ
ôi khi ta thay cách
đặ
t
( )
t t x
=
b
ở

i
( )
t mt x n
= +
ta s
ẽ
g
ặ
p thu
ậ
n l
ợ
i h
ơ
n.
b) Phương pháp tích phân từng phần:
( . )
b b
b
a
a a
udv u v vdu
= −
∫ ∫

Vài d
ạ
ng tích phân t
ừ
ng ph

ầ
n th
ườ
ng g
ặ
p:
V
ớ
i
( )
P x
là m
ộ
t
đ
a th
ứ
c, ta c
ầ
n chú ý các d
ạ
ng tích phân sau:

( ).sin .
P x ax dx
∫
ta
đặ
t
( )

sin .
u P x
dv ax dx
=


=



( ).cos .
P x ax dx
∫
ta
đặ
t
( )
cos .
u P x
dv ax dx
=


=



( ). .
ax
P x e dx

∫
ta
đặ
t
( )
.
ax
u P x
dv e dx
=


=



( ).ln .
P x x dx
∫
(
( )
P x
không có ch
ứ
a
1
x
) ta
đặ
t

ln
( ).
u x
dv P x dx
=


=


4. Tính diện tích hình phẳng:
Cho hai hàm s
ố

( )
y f x
=
và
( )
y g x
=

đề
u liên t
ụ
c trên
đ
o
ạ
n

[ ; ]
a b
.
Khi
đ
ó di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
đồ
th
ị
hàm s
ố

1
( ): ( )
C y f x
=
,
2
( ): ( )
C y g x

=
và hai
đườ
ng th
ẳ
ng
,
x a x b
= =
là:
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
= −
∫

L
ư
u ý:
•

N
ế
u
2
( )
C
là tr
ụ

c hoành thì
( ) 0
g x
=
và
( )
b
a
S f x dx
=
∫

•

Khi tính tích phân
( )
b
a
f x dx
∫
ta c
ầ
n l
ư
u ý các
đ
i
ề
u sau:


N
ế
u
( ) 0, [ ; ]
f x x a b
≥ ∀ ∈
thì
( ) ( )
b b
a a
f x dx f x dx
=
∫ ∫


N
ế
u
( ) 0, [ ; ]
f x x a b
≤ ∀ ∈
thì
( ) ( )
b b
a a
f x dx f x dx
= −
∫ ∫



N
ế
u
( ) 0
f x
=
không có nghi
ệ
m trên kho
ả
ng
( ; )
a b
thì
( ) ( )
b b
a a
f x dx f x dx
=
∫ ∫


N
ế
u
( ) 0
f x
=
có nghi
ệ

m
1 2

n
a c c c b
< < < < <
thì:
Ôn Thi Tốt Nghiệp 2014 GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 11
1 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
n
b c c b
a a c c
f x dx f x dx f x dx f x dx
= + + +
∫ ∫ ∫ ∫

c) Tính thể tích vật thể tròn xoay:
Th
ể
tích do hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở

i:
( )
y f x
=
, tr
ụ
c hoành và hai
đườ
ng th
ẳ
ng
x a
=
,
x b
=
quay quanh tr
ụ
c Ox là:
2
[ ( )]
b
a
V f x dx
π
=
∫

Bài t
ậ

p:
1.

Tính các tích phân sau:
2
2
1
) (6 4 1)
a I x x dx
= − +
∫

1
2 2
0
) ( 1)
b I x x dx
= −
∫

1
2 3 4
1
) (1 )
c I x x dx
−
= −
∫

2.

Tính các tích phân sau:
3
2
0
3
)
1
x
a I dx
x
=
+
∫

1
2 2
0
4
)
(2 1)
x
b I dx
x
=
+
∫

2
0

sin
)
1 3cos
x
c I dx
x
π
=
+
∫

2
2
1
1
)
2 3
x
d I dx
x x
−
=
− −
∫

3
1
1
)
4 ln

e
e I dx
x x
=
−
∫

0
2
4
1
)
(1 )
x
f I dx
x
−
=
−
∫

2
0
sin
)
1 8cos
x
g I dx
x
π

=
+
∫

2
2
6
cos
)
(1 sin )
x
h I dx
x
π
π
−
=
+
∫

1
ln
)
(ln 3)
e
e
x
i I dx
x x
=

+
∫

3.

Tính các tích phân sau:
2
2
1
) 3 .
x
a I x e dx
−
=
∫

1
2012
0
) ( 1)
b I x x dx
= −
∫

1
2
0
) 1
c I x x dx
= +

∫

0
sin 2
4
) .cos2
x
d I e xdx
π
−
=
∫

0
3
2
) sin .cos
e I x xdx
π
−
=
∫

7
3
0
) 1
f I x x dx
= +
∫

4.

Tính các tích phân sau:
2
1
) 3 .
x
a I x e dx
−
=
∫

2
2
1
) (3 1)ln
b I x xdx
= −
∫

1
) ln
e
c I xdx
=
∫

2
) 2 .ln( 1)

e
d I x x dx
= −
∫

2
2
1
ln
)
x
e I dx
x
=
∫

4
1
)
x
f I e dx
=
∫

2
0
) 2 .cos
g I x xdx
π
=

∫

4
0
) ( 1)sin 2
h I x xdx
π
= +
∫

1
2 1
0
) .
x
i I x e dx
−
=
∫

5.

Tính các tích phân sau:
2
1
1
)
x
a I x e dx
x

 
= −
 
 
∫

3
2
0
) ( 1)
b I x x xdx
= + +
∫

3
2
1
2 1
)
e
x x
c I dx
x
− +
=
∫

2
0
) (1 2sin )sin

d I x xdx
π
= +
∫

2
1
(1 )
)
x
x
x e x
e I dx
xe
+ −
=
∫

2
1
2
2
)
f I x x dx
x
−
−
 
= +
 

 
∫

ln 2
2 1
0
1
)
x
x
e
g I dx
e
+
+
=
∫

1
0
1
)
1
x
x
xe x
h I dx
e
+ +
=

+
∫

2
1
1
)
( 1)
i I dx
x x
=
+
∫

Ôn Thi Tốt Nghiệp 2014 GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 12
6.

Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i:
a)

3
3 2
y x x
= − +
, tr
ụ
c hoành,
1
x
= −
và
3
x
=

b)

2
4
y x
= − −
và
2 4
2
y x x
= −

c)

3
2
y x x
= −
và ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a nó t
ạ
i
đ
i
ể
m có hoành
độ
b
ằ
ng
1
−
.
d)

3
y x x
= −
và

2
y x x
= −

7.

Tính th
ể
tích v
ậ
t th
ể
tròn xoay gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
sin
y x
=
, tr
ụ
c hoành,
0
x
=
và
3

2
x
π
=
quay quanh tr
ụ
c hoành.
8.

Tính th
ể
tích v
ậ
t th
ể
tròn xoay gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
2
4
y x x
= −
, tr
ụ
c hoành,
0

x
=
và
3
x
=

quay quanh tr
ụ
c hoành.
9.

Tính th
ể
tích v
ậ
t th
ể
tròn xoay gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
.
x
y x e
=
, tr

ụ
c hoành và
1
x
=
quay
quanh tr
ụ
c hoành.
10.

Tính th
ể
tích v
ậ
t th
ể
tròn xoay gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
2
2
y x x
= −
và
y x

=
quay quanh tr
ụ
c
hoành.
11.

Tìm nguyên hàm
( )
F x
c
ủ
a hàm s
ố

( ) cos (2 3tan )
f x x x
= −
bi
ế
t
( ) 1
F
π
=
.
12.

Tìm nguyên hàm
( )

F x
c
ủ
a hàm s
ố

2
1 2
( )
x
f x
x
+
= bi
ế
t
( 1) 3
F
− =
.
13.

Tìm nguyên hàm
( )
F x
c
ủ
a hàm s
ố

2
( ) (2 )
f x x x
= −
bi
ế
t
( 1) 3
F
− =
.
14.

Tìm nguyên hàm
( )
F x
c
ủ
a hàm s
ố

2
1 ln
( )
x
f x
x
+
= bi
ế

t
( ) 0
F e
=
.
Ôn Thi Tốt Nghiệp 2014 GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 13
PH
Ầ
N IV: S
Ố
PH
Ứ
C
1. Các khái niệm và phép toán liên quan đến số phức:
•
Đơ
n v
ị

ả
o i th
ỏ
a
2
1
i
= −

•

S
ố
ph
ứ
c
z a bi
= +
có ph
ầ
n th
ự
c là
a
∈
ℝ
và ph
ầ
n
ả
o
b
∈
ℝ
.
•

Mô
đ
un c

ủ
a s
ố
ph
ứ
c
z a bi
= +
là
2 2
z a b
= +

•

S
ố
ph
ứ
c liên h
ợ
p c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c
z a bi
= +

là
z a bi
= −
.
•

Hai s
ố
ph
ứ
c b
ằ
ng nhau:
a c
a bi c di
b d
=

+ = + ⇔

=


•

Các phép toán c
ộ
ng, tr
ừ
và nhân hai s

ố
ph
ứ
c
đượ
c th
ự
c hi
ệ
n nh
ư
phép toán
c
ộ
ng, tr
ừ
và nhân hai
đ
a th
ứ
c xem i nh
ư
là bi
ế
n và
2
1
i
= −
.

•

Phép chia hai s
ố
ph
ứ
c: ta nhân c
ả
t
ử
và m
ẫ
u cho s
ố
ph
ứ
c liên h
ợ
p c
ủ
a m
ẫ
u
1 1 2
2
2 2
.
.
z z z
z

z z
= .
•

M
ỗ
i s
ố
th
ự
c a âm có hai c
ă
n b
ậ
c hai là:
i a
±

L
ư
u ý:

S
ố
ph
ứ
c ch
ỉ
có ph
ầ

n
ả
o (ph
ầ
n th
ự
c b
ằ
ng 0) g
ọ
i là s
ố
thu
ầ
n
ả
o.

L
ũ
y th
ừ
a c
ủ
a i:
4 4 1 4 2 4 3
1; ; 1;
n n n n
i i i i i i
+ + +

= = = − = −
v
ớ
i
\{0}
n
∈
ℕ
.
2. Giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức:
Cho ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai:
2
0
az bz c
+ + =
v
ớ
i , ,a b c
∈
ℝ
và
0
a
≠



Tính
2
4
b ac
∆ = −


K
ế
t lu
ậ
n nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình.

N
ế
u
0
∆ ≥
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m:
2

b
z
a
− ± ∆
=

N
ế
u
0
∆ <
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m:
2
b i
z
a
− ± ∆
=
L
ư
u ý:

Khi gi
ả
i ph
ươ

ng trình trùng ph
ươ
ng trên t
ậ
p s
ố
ph
ứ
c ta
đặ
t
2
t z
=
không c
ầ
n
đ
i
ề
u ki
ệ
n cho t.

Ta c
ũ
ng có th
ể
gi
ả

i ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai b
ằ
ng cách tính
2
' '
b ac
∆ = −
.
Bài t
ậ
p:
1.

Th
ự
c hi
ệ
n các phép tính:
) (2 4 )(3 5 ) 7(4 3 )
a i i i
+ − + −

2
) (3 4 )
b i
−

2012
) (1 )
c i
+

2
)
3 2
i
d
i
+
+

4 2
)
1
i
e
i
− −
− +

(2 1)
)
1
i i
f
i

−
+

5
1
)
1
i
g
i
+
 
 
−
 

2
2
)
(2 )
h
i
−

2012
) (1 3 )
i i−
2.

Cho

3
1
1 3
2 2
z i
 
= − +
 
 
và
3
2
1 3
2 2
z i
 
= +
 
 
. Tính
1 2
.
z z
.
3.

Tìm mô
đ
un c
ủ

a s
ố
ph
ứ
c sau:
2
) 3 2 (1 )
a z i i
= + + +

2
) (1 2 )
b z i
= +

2
) (1 2 ) (2 3 )(3 2 )
c z i i i
= − − − +

3
)
(1 )(2 )
i
d z
i i
+
=
+ −

2 (1 )(4 3 )
)
3 2
i i i
e z
i
+ + + −
=
+

3
4
(1 )
)
(1 )
i
f z
i
+
=
−

Ôn Thi Tốt Nghiệp 2014 GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 14
4.

Tìm mô
đ
un c
ủ

a s
ố
ph
ứ
c z bi
ế
t:
) 3 (3 )(1 ) 2
a iz i i
+ − + =

) 5 11 7
b iz z i
+ = −

5.

Cho s
ố
ph
ứ
c
2 3
z i
= +
. Tìm ph
ầ
n th
ự
c, ph

ầ
n
ả
o và mô
đ
un c
ủ
a
7
5
z i
iz
+
+
.
6.

Tìm ph
ầ
n th
ự
c và ph
ầ
n
ả
o c
ủ
a s
ố
ph

ứ
c z bi
ế
t:
2 2
) (1 2 ) (1 2 )
a z i i
= + + −

2 2
) (1 3) (1 3)
b z i i= + − −

(3 4 )(1 2 )
) 4 3
1 2
i i
c z i
i
− +
= + −
−

(2 3 )(1 2 )
) (2 4 )
1
i i
d z i
i
+ −

= + −
+

7.

Tìm ph
ầ
n th
ự
c và ph
ầ
n
ả
o c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c z bi
ế
t:
2
) (1 ) (2 ) 8 (1 2 )
a i i z i i z
+ − = + + +

2
) (2 3 ) (4 ) (1 3 )
b i z i z i

− + + = − +

8.

Tìm các s
ố
th
ự
c x, y bi
ế
t:
) 2 1 (1 2 ) 2 (3 2)
a x y i x y i
+ + − = − + −

) 4 3 (3 2) ( 3)
b x y i x i
+ + − = −

) 2 (2 ) 2 ( 2 )
c x y x y i x y x y i
+ + − = + + +

) (1 2 ) (7 24 ) 4 18
d i x i y i
− − − = − +

9.

Tìm s

ố
ph
ứ
c liên h
ợ
p c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c z bi
ế
t:
3
1
) 3
1
i
a z i
i
+
 
= +
 
−
 

) (1 ) 3 1
b i z i z

− + = −

3
(1 3 )
)
1
i
c z
i
−
=
−

10.

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau trên t
ậ
p s
ố
ph
ứ
c:
) 2 3 5 4
a iz z i
+ = +

) 2 1 5 2
b iz z i
− = −

2
) 2 (2 ) 2 3
c iz i i
+ − = +

2 1 3
)
1 2
i i
d z
i i
+ − +
=
− +

2 1 3
)
1 2 2
i i
e z
i i
+ − −
=
+ +

2

) 2 0
f z i
+ =

11.

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau trên t
ậ
p s
ố
ph
ứ
c:
) 2 3 5 4
a iz z i
+ = +

) 3 . 5 3
b z i z i
− = −

) 2 6 2
c z z i
+ = +

) 3 7 5

d iz z i
+ = +

) 3 2 5 2
e z z i
+ = +

) . 2 2 5
f i z z i
+ = −

12.

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau trên t
ậ
p s
ố
ph
ứ
c:
2
) 2 0
a z z
− + − =

2

) 2 0
b z
+ =

2
) 4 8 0
c z z
− + =

2
) 2 2 5 0
d z z
+ + =

2
) 2 17 0
e z z
+ + =

2
) 2 4 9 0
f z z
+ + =

13.

Gi
ả
i các ph
ươ

ng trình sau trên t
ậ
p s
ố
ph
ứ
c:
4
) 9 16 0
a z
− =

4 2
) 2 3 0
b z z
+ − =

4 2
) 2 3 5 0
c z z
+ − =

3
) 1 0
d z
+ =

3 2
) 7 4
e z z z

+ =

2
) 4 11 0
f z z
+ − =

14.

Cho
1 2
,
z z
là hai nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
2
5 2 2 0
z z
− + =
. Tính:
2 2
1 2
z z
+
.

15.

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
) 5( 1)( 1) 2(4 5) 0
a z z z
− + + + =

2
) 2(2 1) (17 6) 0
b z z z
− + + =

16.

Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
Oxy, tìm t
ậ
p h
ợ

p
đ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n các s
ố
ph
ứ
c z th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n
) (3 4 ) 2
a z i
− − =

) (1 )
b z i i z
− = +
) 2 3 2
c z i z z i

− = + −



Ơn Thi Tốt Nghiệp 2014 GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 15
PH
Ầ
N V: TH
Ể
TÍCH KH
Ố
I
Đ
A DI
Ệ
N – KH
Ố
I TRỊN XOAY
TĨM T
Ắ
T CƠNG TH
Ứ
C
1. Hệ thức lượng trong tam giác vng:
Cho tam giác ABC vng t
ạ
i A, AH là
đườ
ng cao, trung

tuy
ế
n AM.
 Đị
nh lý Pitago:
2 2 2
AB AC BC
+ =


2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +

2 2
. ; .
BH BC BA CH CB CA
= =


T
ỉ
s
ố
l
ượ
ng giác: sin ;cos ;tan
AC AB AC
B B B

BC BC AB
= = =

Tính ch
ấ
t trung tuy
ế
n:
BM CM AM
= =


Di
ệ
n tích tam giác ABC:
1 1
. .
2 2
ABC
S AB AC AH BC
= =
2. Hệ thức lượng trong tam giác thường:
Cho tam giác ABC b
ấ
t k
ỳ
.
 Đị
nh lý hàm s
ố

cơsin:
2 2 2
2 . .cos
BC AB AC AB AC A
= + −

 Đị
nh lý hàm s
ố
sin:
2
sin sin sin
BC AC AB
R
A B C
= = = ; trong
đ
ó R là bán kính
đườ
ng
tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác ABC.
3. Các cơng thức tính diện tích:
•

Di
ệ

n tích tam giác:
1 1
. . .sin . ( )( )( )
2 2
a
abc
S a h a b C p r p p a p b p c
R
= = = = = − − −

Đặ
c bi
ệ
t tam giác
đề
u:
3
4
cạnh cạnh
S
× ×
=
•

Di
ệ
n tích hình vng:
cạnh cạnh
S
= ×

•

Di
ệ
n tích hình ch
ữ
nh
ậ
t:
dài rộng
S
= ×

•

Di
ệ
n tích hình thang:
1
2
(đáy lớn + đáy nhỏ) chiều cao
S = ×
•

Di
ệ
n tích hình bình hành:
đáy chiều cao
S

= ×

•

Di
ệ
n tích hình thoi:
1
2
chéo dài chéo ngắn
S = ×
Thể Tích Khối Đa Diện
(Tính thể tích bằng cách sử dụng trực tiếp cơng thức)
Ph
ươ
ng pháp gi
ả
i:
•

Xác
đị
nh chi
ề
u cao c
ủ
a c
ủ
a kh
ố

i
đ
a di
ệ
n c
ầ
n tính th
ể
tích.
Trong nhi
ề
u tr
ườ
ng h
ợ
p chi
ề
u cao này
đượ
c xác
đị
nh ngay t
ừ

đầ
u bài, nh
ư
ng c
ũ
ng có

tr
ườ
ng h
ợ
p vi
ệ
c tính chi
ề
u cao thơng th
ườ
ng nh
ờ
vào vi
ệ
c s
ử
d
ụ
ng
đị
nh lý Pitago,
tam giác
đồ
ng d
ạ
ng ho
ặ
c h
ệ
th

ứ
c l
ượ
ng trong tam giác vng.
•

Tìm di
ệ
n tích
đ
áy b
ằ
ng các cơng th
ứ
c quen bi
ế
t.
Thể Tích Khối Chóp:
-

Th
ể
tích V c
ủ
a kh
ố
i chóp có di
ệ
n tích
đ

áy là B, chi
ề
u cao h:
1
V Bh
3
=

Thể Tích Khối Lăng Trụ
-

Th
ể
tích V c
ủ
a kh
ố
i l
ă
ng tr
ụ
có di
ệ
n tích
đ
áy là B, chi
ề
u cao h:
V Bh
=

Ôn Thi Tốt Nghiệp 2014 GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 16
Nhắc lại:
-
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng
( )
α
:
B
ướ
c 1: Xác
đị
nh
'
d
là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng d lên m
ặ
t ph
ẳ
ng
( )

α
.
B
ướ
c 2: Góc gi
ữ
a
đườ
ng th
ẳ
ng d và
đườ
ng th
ẳ
ng
'
d
chính là góc gi
ữ
a
đườ
ng th
ẳ
ng d
và m
ặ
t ph
ẳ
ng
( )

α
.
•

Gi
ả
s
ử
,
đườ
ng th
ẳ
ng d c
ắ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng
( )
α
t
ạ
i A, trên
đườ
ng th
ẳ
ng d l
ấ
y

đ
i
ể
m M khác
A (thông th
ườ
ng ch
ọ
n M là
đỉ
nh c
ủ
a hình chóp) k
ẻ

( ), ( )
MH H
⊥ α ∈ α
thì

MAH

chính là góc gi
ữ
a
đườ
ng th
ẳ
ng d và m
ặ

t ph
ẳ
ng
( )
α
.
-
Để tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta có thể làm theo cách sau:
•

Tìm giao tuy
ế
n d c
ủ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) và (Q).
•

Ch
ọ
n m
ộ
t
đ
i
ể
m O trên d, t

ừ

đ
ó: Trong (P) k
ẻ

Ox d
⊥
; trong (Q) k
ẻ

Oy d
⊥

•

Tính s
ố

đ
o góc

xOy

•

Khi
đ
ó:


((P),(Q)) xOy
=
, n
ế
u

0
xOy 90
≤
ho
ặ
c

0
((P),(Q)) 180 xOy
= −
, n
ế
u

0
xOy 90
>
.
L
ư
u ý: Thông th
ườ
ng thì m
ộ

t trong hai
đườ
ng th
ẳ
ng Ox ho
ặ
c Oy s
ẽ

đ
i qua
đỉ
nh c
ủ
a
hình chóp (ho
ặ
c hình l
ă
ng tr
ụ
) và
đườ
ng th
ẳ
ng còn l
ạ
i s
ẽ

đ
i qua
đỉ
nh còn l
ạ
i c
ủ
a
chi
ề
u cao c
ủ
a hình chóp (ho
ặ
c hình l
ă
ng tr
ụ
).
Bài t
ậ
p:
1.

Cho hình chóp S.ABC có
đ
áy ABC là tam giác vuông cân t
ạ
i B v
ớ

i
AC a 2
= , bi
ế
t
c
ạ
nh bên SA vuông góc v
ớ
i m
ặ
t
đ
áy (ABC) và góc gi
ũ
a
đườ
ng th
ẳ
ng SB và m
ặ
t
ph
ẳ
ng
đ
áy (ABC) b
ằ
ng
0

60
.
a)

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng các m
ặ
t bên c
ủ
a hình chóp là các tam giác vuông.
b)

Tính th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i chóp S.ABC theo a.
2.

Cho hình chóp S.ABC có
đ
áy ABC là tam giác
đề
u c
ạ

nh a, bi
ế
t c
ạ
nh bên SA vuông
góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
áy (ABC) và (SBC) h
ợ
p v
ớ
i
đ
áy (ABC) m
ộ
t góc
0
60
. Tính th
ể

tích c
ủ
a kh

ố
i chóp S.ABC theo a.
3.

Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy là hình thang vuông t
ạ
i A và D;
2
AB CD a
= =
,
CD a
=
, góc gi
ữ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (SBC) và (ABCD) b
ằ
ng
0
60
. G
ọ
i I là trung
đ

i
ể
m
c
ủ
a c
ạ
nh AD. Bi
ế
t hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
(ABCD). Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABCD theo a.
4.

Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông c

ạ
nh a, m
ặ
t ph
ẳ
ng (SAB)
vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
áy,
SA SB
=
, góc gi
ữ
a
đườ
ng th
ẳ
ng SC và m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
áy

b
ằ
ng
0
45
. Tính theo a th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i chóp S.ABCD.
5.

Cho hình chóp S.ABCD
đ
áy là hình vuông c
ạ
nh a, m
ặ
t bên SAD là tam giác
đề
u và
n
ằ
m trong m
ặ
t ph
ẳ
ng vuông góc v

ớ
i
đ
áy ABCD. G
ọ
i M, N P l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m
c
ủ
a SB, BC, CD. Tính theo a th
ể
tích t
ứ
di
ệ
n CMNP.
6.

Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình ch
ữ
nh

ậ
t v
ớ
i
AB a
=
,
2
AD a
= ,
SA a
=
và c
ạ
nh bên SA vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD). G
ọ
i M và N l
ầ
n l
ượ
t là
trung
đ
i

ể
m c
ủ
a AD và SC, I là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a BM và AC. Tính th
ể
tích kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n
ANIB.
7.

Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh 2a,
SA a
=
,
3

SB a
= và
m
ặ
t ph
ẳ
ng (SAB) vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
áy. G
ọ
i M, N l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
các c
ạ
nh AB, BC. Tính theo a th

ể
tích c
ủ
a kh
ố
i chóp S.BMDN
8.

Cho hình chóp
đề
u S.ABC có c
ạ
nh
đ
áy b
ằ
ng a, c
ạ
nh bên b
ằ
ng 2a. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
đườ
ng cao k
ẻ
t
ừ

S c
ủ
a hình chóp là tâm c
ủ
a tam giác
đề
u ABC. Tính th
ể
tích c
ủ
a
kh
ố
i chóp S.ABC theo a.
Ôn Thi Tốt Nghiệp 2014 GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 17
9.

Cho hình l
ă
ng tr
ụ

đứ
ng
. ' ' '
ABC A B C
có
đ
áy ABC là tam giác vuông t

ạ
i B,
AB a
=
,
' 2 , ' 3
AA a A C a
= =
. G
ọ
i M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng
' '
A C
, I là giao
đ
i
ể
m c

ủ
a
AM và
'
A C
. Tính theo a th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n IABC.
10.

Cho hình l
ă
ng tr
ụ
tam giác
. ' ' '
ABC A B C
có
'
BB a
=
, góc gi

ữ
a
'
BB
và m
ặ
t ph
ẳ
ng
(ABC) b
ằ
ng
0
60
; tam giác ABC vuông t
ạ
i C và

0
60
BAC
= . Hình chi
ế
u vuông góc
c
ủ
a
đ
i
ể

m
'
B
lên m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC) trùng v
ớ
i tr
ọ
ng tâm c
ủ
a tam giác ABC. Tính th
ể

tích c
ủ
a kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n
'
A ABC
theo a.
11.

Cho l
ă
ng tr
ụ

đứ
ng
ABC.A 'B'C'
có
đ
áy ABC là tam giác vuông t
ạ
i A, bi
ế
t
AC a
=
,

0
ACB 60
=
và
B'C
h
ợ
p v
ớ
i
(

)
AA'C'C
m
ộ
t góc
0
30
. Tính
AC'
và th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i
l
ă
ng tr
ụ

ABC.A 'B'C'
theo a.
12.

Cho hình l
ă
ng tr
ụ
tam giác

đề
u
. ' ' '
ABC A B C
có
AB a
=
góc gi
ữ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng
( ' )
A BC
và (ABC) b
ằ
ng
0
60
. Tính th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i l
ă
ng tr

ụ

. ' ' '
ABC A B C
theo a.
Ôn Thi Tốt Nghiệp 2014 GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 18
PH
Ầ
N VI: T
Ọ
A
ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN
TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I.

Tọa độ điểm
:
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz:

1
.
( ; ; )
M M M M M M
M x y z OM x i y j z k
⇔ = + +
   


2
. Cho A(x
A
;y
A
;z
A
) và B(x
B
;y
B
;z
B
)
ta có:
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − − −

;

2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − + − + −


3
. M là trung
đ
i
ể
m AB thì M






+++
2
;
2
;
2
BABABA
zzyyxx

II. Tọa độ của véctơ:
Trong không gian v

ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz .

1.

1 2 3
( ; ; )
a a a a
=

⇔
1 2 3
a a i a j a k
= + +
   


2
. Cho
1 2 3
( ; ; )
a a a a
=


và
1 2 3
( ; ; )
b b b b
=

ta có

1 1 2 2 3 3
( ; ; )
a b a b a b a b
± = ± ± ±
 



1 2 3
. ( ; ; )
k a ka ka ka
=



2 2 2
1 2 3
a a a a
= + +




1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
. . .
s( , )
.
a b a b a b
co a b
a a a b b b
+ +
=
+ + + +
 
(v
ớ
i
0 , 0
a b
≠ ≠
   
)


a

và
b

vuông góc
1 1 2 2 3 3

. . . 0
a b a b a b
⇔ + + =



a

và
b

cùng ph
ươ
ng
1 1
2 2
3 3
:
a kb
k R a kb a kb
a kb
=


⇔ ∃ ∈ = ⇔ =


=

 



1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=


= ⇔ =


=

 

III . Phương trình mặt cầu :

1. M
ặ
t c
ầ
u (S) có tâm I(a;b;c) , bán kính r :
(S): (x – a )
2
+( y – b)
2

+ ( z – c )
2
= r
2

2. M
ặ
t c
ầ
u (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 v
ớ
i
2 2 2
0
A B C D
+ + − >

Có tâm I (-A; -B; - C ) , bán kính r =
2 2 2
A B C D
+ + −

B. BÀI TẬP
Bài 1

: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1)
a)

Tính
, .( 3 )
AB AC O B
F
A C
 
= +
 
   
.
b)

Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng OABC là m
ộ
t hình ch
ữ
nh
ậ
t tính di
ệ
n tích hình ch

ữ
nh
ậ
t
đ
ó.
Bài 2:
Cho hình h
ộ
p ch
ữ
nh
ậ
t ABCD.A’B’C’D’ bi
ế
t A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;3),
C’(1;2;3).
a)

Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh còn l
ạ
i c
ủ
a hình h

ộ
p ch
ữ
nh
ậ
t .
b)

Tính
độ
dài
đườ
ng chéo B’D c
ủ
a hình h
ộ
p ch
ữ
nh
ậ
t .
c)

G
ọ
i G
1
,G
2
l

ầ
n l
ượ
t là tr
ọ
ng tâm c
ủ
a tam giác A’BC’ và tam giác ACD’.Tính
kho
ả
ng cách gi
ữ
a G
1
và G
2
.
Bài 3:
Trong không gian Oxyz , cho A(1; 1; 1), B(–1; 1; 0) , C(3; 1; –1).
a/. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng A,B,C là ba
đỉ
nh c
ủ
a m
ộ
t tam giác .

Ôn Thi Tốt Nghiệp 2014 GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 19
b/. Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m D
để
ABCD là hình bình hành.
c/. Tính góc gi
ữ
a hai c
ạ
nh AB và AC c
ủ
a tam giác ABC.
Bài 4:



a/. Cho ba
đ
i
ể
m A(2 ; 5 ; 3), B(3 ; 7 ; 4),C(x ; y ; 6).Tìm x, y
để

A, B, C th
ẳ
ng hàng.
b/. Tìm trên Oy
đ
i
ể
m M cách
đề
u hai
đ
i
ể
m A(3 ; 1 ; 0) và B(-2 ; 4 ; 1).
c/. Tìm trên mp(Oxz)
đ
i
ể
m N cách
đề
u ba
đ
i
ể
m A(1;1;1), B(-1 ; 1; 0), C(3 ;1 ; -1).
Bài 5
: Vi
ế
t ph
ươ

ng trình m
ặ
t c
ầ
u trong các tr
ườ
ng h
ợ
p sau:
a)

Tâm I(1 ; 0 ; -1),
đườ
ng kính b
ằ
ng 8.
b)
Đườ
ng kính AB v
ớ
i A(-1 ; 2 ; 1), B(0 ; 2 ; 3).
c)

Tâm I(2 ;-1 ; 3) và
đ
i qua A(7 ; 2 ; 1).
d)

Tâm I(-2 ; 1 ; – 3) và ti
ế

p xúc mp(Oxy).
Bài 6
:Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u trong các tr
ườ
ng h
ợ
p sau:
a)
Đ
i qua ba
đ
i
ể
m A(1; 2; -4), B(1; -3 ;1), C(2 ;2 ;3) và có tâm n
ằ
m trên mp(Oxy).
b)
Đ
i qua hai
đ
i
ể

m A(3 ; -1 ; 2), B(1 ; 1 ; -2) và có tâm thu
ộ
c tr
ụ
c Oz.
c)
Đ
i qua b
ố
n
đ
i
ể
m O( 0; 0 ; 0 ) , A(2 ; 2 ; 3), B(1 ; 2 ; – 4), C(1; – 3; – 1 ).
Bài 7:
Trong không gian Oxyz cho 4
đ
i
ể
m A, B, C, D có t
ọ
a
độ
xác
đị
nh b
ở
i:

(2;4; 1), 4 , (2;4;3), 2 2

A OB i j k C OD i j k
= − = + − = = + −
       

a/. Ch
ứ
ng minh AB⊥AC, AC⊥AD, AD⊥AB.
b/. Tính th
ể
tích kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n ABCD.
c/. Tính chi
ề
u cao AH c
ủ
a hình chóp A.BCD.
Bài 8
: Trong không gian Oxyz cho ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u
(S): x

2
+ y
2
+ z
2
– 8x + 2y + 1 = 0 và M ( 2; 2 ; – 1)
a/. Xác
đị
nh tâm và bán kính c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u (S).
b/. Xét v
ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a
đ
i
ể
m M và m
ặ
t c

ầ
u (S).
Bài 9:
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz cho
đ
i
ể
m M(2;3;0) , m
ặ
t ph
ẳ
ng
(P ) :
x y 2z 1 0
+ + + =
và m
ặ
t c
ầ
u (S) : x
2
+ y

2
+ z
2
– 2 x + 4y – 6z + 8 = 0.

a/. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S
1
) có tâm là M và ti
ế
p xúc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P).
b/. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ

t ph
ẳ
ng song song v
ớ
i (P) và ti
ế
p xúc v
ớ
i m
ặ
t c
ầ
u (S).
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Phương trình mặt phẳng
:
 Định nghĩa
:
Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 , trong đó A, B, C không đồng thời
bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.


N
ế
u (
α
) : Ax + By + Cz + D = 0 thì có véct
ơ
pháp tuy

ế
n là
( ; ; )
n A B C
=

.

Ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
)
đ
i qua
đ
i
ể
m M
0
(x
0
;y
0
;z
0

) nh
ậ
n
( ; ; )
n A B C
=

,
(
)
0
n
≠
 
làm
vect
ơ
pháp tuy
ế
n có d
ạ
ng :
A(x-x
0
) + B(y-y
0
) + C(z-z
0
) = 0.


N
ế
u (
α
) có c
ặ
p vect
ơ

1 2 3 1 2 3
( ; ; ), b ( ; ; )
a a a a b b b
= =
 
không cùng ph
ươ
ng và có giá song
song ho
ặ
c n
ằ
m trên (
α
) thì vect
ơ
pháp tuy
ế
n c
ủ

a (
α
)
đượ
c xác
đị
nh
,
n a b
 
=
 
  
.
 Các trường hợp riêng của phương trình mặt phẳng :
Trong không gian Oxyz cho mp(
)
α
: Ax + By + Cz + D = 0. Khi
đ
ó:

D = 0 khi và ch
ỉ
khi (
)
α
đ
i qua g
ố

c t
ọ
a
độ
.

A=0 , B
0
≠
, C
0
≠
, D
0
≠
khi và ch
ỉ
khi
( )
α
song song v
ớ
i tr
ụ
c Ox.

A=0 , B = 0 , C
0
≠
, D

0
≠
khi và ch
ỉ
khi
( )
α
song song mp (Oxy ).

A, B, C, D
0
≠
.
Đặ
t
, ,
D D D
a b c
A B C
= − = − = −
Khi
đ
ó
Ôn Thi Tốt Nghiệp 2014 GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 20

( ) : 1
x y z
a b c
α

+ + =


(
Các tr
ư
ờ
ng h
ợ
p khác nh
ậ
n xét t
ươ
ng t
ự
)

II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho (
1
α
):
1 1 1 1
0
A x B y C z D
+ + + =
và (
2
α
):

2 2 2 2
0
A x B y C z D
+ + + =


(
α
) // (
α
’) ⇔
1 1 1 2 2 2
1 2
( ; ; ) ( ; ; )
A B C k A B C
D kD
=


≠



(
α
)
≡
(
α
’) ⇔

1 1 1 2 2 2
1 2
( ; ; ) ( ; ; )
A B C k A B C
D kD
=


=



(
α
)c
ắ
t (
α
’) ⇔
1 1 1 2 2 2
( ; ; ) ( ; ; )
A B C k A B C
≠

Đặ
c bi
ệ
t :
(
α

)
⊥
(
α
’)
1 2 1 2 1 2 1 2
. 0 . . . 0
n n A A B B C C
⇔ = ⇔ + + =
 

III: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :
Kho
ả
ng cách t
ừ

đ
i
ể
m M
o
(x
o
;y
o
;z
o
)
đế

n m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
) : Ax + By + Cz + D = 0


2 2 2
( ,( ))
o o o
o
Ax By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +

B. BÀI TẬP:

Bài 1:
Trong không gian Oxyz, cho b
ố
n
đ
i
ể

m A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D( -1;1;2).
a)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC).
b)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng trung tr
ự
c c
ủ
a
đ
o
ạ

n AC.
c)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) ch
ứ
a AB và song song v
ớ
i CD.
d)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q) ch
ứ
a CD và vuông góc v
ớ

i mp(ABC).
Bài 2
:
V
iết
ph
ươ
ng
t
r
ì
nh m
ặ
t ph
ẳ
ng trong các tr
ườ
ng h
ợ
p sau :

a) M
ặ
t ph
ẳ
ng (P)
đ
i qua A(1;0;-3) và có vtpt
(1; 3;5)
n

= −

.
b) M
ặ
t ph
ẳ
ng (P)
đ
i qua B(3,-1,4) và song song v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng x-2y+5z-1=0.
c) M
ặ
t ph
ẳ
ng (P)
đ
i qua C(1,-1,0) và song song v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng yOz.
d/. M

ặ
t ph
ẳ
ng (P)
đ
i qua D(5,-1,-3) và vuông góc v
ớ
i
đ
th
ẳ
ng d:
1 3 1
2 1 3
x y z
− + −
= =
−

Bài 3.
V
iết
ph
ươ
ng
t
r
ì
nh m
ặ

t ph
ẳ
ng (P) trong các tr
ườ
ng h
ợ
p sau :

a) (P)
đ
i qua M(2 ;3 ;2) và song song v
ớ
i giá hai véct
ơ

(1;1; 2); ( 3;1;2)
u v
= − = −
 
.
b) (P)
đ
i qua hai
đ
i
ể
m M(1 ;-2 ;1), N(-1 ;1 ;3) và song song v
ớ
i tr
ụ

c Oy.
c) (P)
đ
i qua
đ
i
ể
m M(1 ;-1 ;2) và ch
ứ
a
đườ
ng th
ẳ
ng
2 1 3
( ):
2 1 1
x y z
d
− + −
= =
− −
.
d) (P)
đ
i qua M(2 ;-1 ;1), N(-2 ;3 ;-1) và vuông góc v
ớ
i mp (Q): 4x - y + 2z − 1 = 0
e) (P)
đ

i
qu
a

các

đ
i
ể
m là h
ì
nh
c
h
iế
u vuông góc
c
ủ
a
M(4;-1;2) trên các mp t
ọ
a
độ
.
f) (P)
đ
i qua các
đ
i
ể

m là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a M(4;-1 ;2) trên các tr
ụ
c t
ọ
a
độ
.
Bài 4:
Trong không gian Oxyz cho m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): 2x – y+2z - 4=0 và (Q): x - 2y - 2z + 4 =
0.
a)

Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng hai m
ặ
t ph
ẳ

ng (P) và (Q) vuông góc nhau.
b)

Tìm t
ọ
a
độ
giao
đ
i
ể
m A, B, C c
ủ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) v
ớ
i các tr
ụ
c t
ọ
a
độ
Ox, Oy, Oz.
c)

Tính kho
ả

ng cách t
ừ
g
ố
c t
ọ
a
độ
O
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (P).
d)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) có tâm là g
ố
c t
ọ
a

độ
O và ti
ế
p xúc v
ớ
i mp(Q).
Bài 5
: Trong không gian Oxyz, cho
đ
i
ể
m M(2;1;-1) và m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) : 2x + 2y - z + 2 = 0
a)

Tính
độ
dài
đ
o
ạ
n vuông góc k
ẽ
t
ừ
M
đế

n m
ặ
t ph
ẳ
ng (P).
b)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng (d) qua M vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P).
Bài 6
: Trong không gian Oxyz, cho m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): x + y – z +5 = 0 và (Q): 2x – z = 0.
Ôn Thi Tốt Nghiệp 2014 GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 21

a)

Ch
ứ
ng t
ỏ
hai m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
ó c
ắ
t nhau.
b)

L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
) qua giao tuy
ế
n c

ủ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) và (Q) và
đ
i qua A(-1;2;3).
c)

L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (
γ
)
đ
i qua g
ố
c t
ọ
a
độ
O và vuông góc v
ớ

i hai m
ặ
t
ph
ẳ
ng (P) và (Q).
Bài 7:
Trong không gian Oxyz. Cho m
ặ
t ph
ẳ
ng (P):
3 2 3 7 0
x y z
− − − =
và A(3; -2; -4).

a) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u có tâm A và ti
ế
p xúc v
ớ
i (P).

b) Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m A’
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a A qua m
ặ
t ph
ẳ
ng (P).
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Phương trình đường thẳng
:
Định nghĩa :
Phương trình tham số của đường thẳng
∆
đi qua điểm M
0
(x

0
;y
0
;z
0
) và có vectơ
chỉ phương
1 2 3
( ; ; )
a a a a
=

:

0 1
0 2
0 3
(t )
x x a t
y y a t
z z a t
= +


= + ∈


= +

ℝ

Nếu a
1
, a
2
, a
3
đều khác không .Phương trình đường thẳng
∆
viết dưới dạng
chính tắc như sau:

0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =

II Vị Trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng:
1)Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Trong không gian Oxyz cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng
' '
1
1
' '

2 2
' '
0 3
3
'
: ': '
'
o
o
o o
o
x x a t
x x a t
d y y a t d y y a t
z z a t
z z a t

= +
= +



= + = +
 
 
= +
= +



d có vtcp
u


đ
i qua M
o
; d’có vtcp
'
u

đ
i qua M
o
’

u

,
'
u

cùng phương

d // d’⇔
0
'
'
u ku
M d


=


∉


 


d
≡
d’
⇔
0
'
'
u ku
M d

=


∈


 


u


,
'
u

không cùng phương
' '
1 1
' '
2 2
' '
0 3 3
'
'
'
o o
o o
o
x a t x a t
y a t y a t
z a t z a t

+ = +

+ = +


+ = +

(I)


d c
ắ
t d’ ⇔ H
ệ
ph
ươ
ng trình (I) có m
ộ
t nghi
ệ
m

d chéo d’⇔ H
ệ
ph
ươ
ng trình (I) vô nghi
ệ
m
2)Vị trí tương đốicủa đường thẳng và mặt phẳng
:
Trong không gian Oxyz cho (
α
): Ax+By+Cz+D = 0 và
1
2
0 3
: ,
o

o
x x a t
d y y a t t
z z a t
= +


= + ∈


= +

ℝ

Phương trình : A(x
o
+a
1
t)+B(y
o
+a
2
t)+C(z
0
+a
3
t)+D = 0 (1)
Ôn Thi Tốt Nghiệp 2014 GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 22


Ph
ươ
ng trình (1) vô nghi
ệ
m thì d // (
α
)

Ph
ươ
ng trình (1) có m
ộ
t nghi
ệ
m thì d c
ắ
t (
α
)

Ph
ươ
ng trình (1) có vô s
ố
nghi
ệ
m thì d
⊂
(
α

)

Đặc biệt
: (
d
)
⊥
(
α
)
,
a n
⇔
 
cùng ph
ươ
ng

Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n
đườ
ng th
ẳ
ng d
Ph

ươ
ng pháp :

L
ậ
p ph
ươ
ng trình mp(
α
)
đ
i qua M vàvuông góc v
ớ
i d

Tìm t
ọ
a
độ
giao
đ
i
ể
m H c
ủ
a mp(
α
) và d

d(M, d) =MH


Kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đườ
ng chéo nhau:
d
đ
i qua M(x
0
;y
0
;z
0
); có vtcp
1 2 3
( ; ; )
a a a a
=

; d’ qua M’(x’
0
;y’
0
;z’
0
) ; vtcp
1 2 3

' ( ' ; ' ; ' )
a a a a
=


Ph
ươ
ng pháp :

L
ậ
p ph
ươ
ng trình mp(
α
) ch
ứ
a d và song song v
ớ
i d’

d(d,d’)= d(M’,(
α
))

B.BÀI TẬP:
Baøi 1
:Vi
ế
t ph

ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng trong các tr
ườ
ng h
ợ
p sau :

a/. Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua M(2;0;–3) và nh
ậ
n
(2; 3;5)
a
→
= −
làm vecto ch
ỉ

ph

ươ
ng.
b/. Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua M(–2; 6; –3) và song song v
ớ
i tr
ụ
c Oy.
c/. Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua A(1; 0; –3) và B(3, –1; 0).
d/. Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ

ng d
đ
i qua M(–2; 3;1) và song song v
ớ
i
d :
2 1 2
2 4 3
x y z
− + +
= =

e/
Đ
i qua
đ
i
ể
m M (–2; 1; 0) và vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): x + 2y – 2z = 0.
Bài 2
: Vi
ế
t ph
ươ

ng trình hình chi
ế
u c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng d:
1 2 3
2 3 1
x y z
− + −
= =

a/ Trên mpOxy b/ Trên mpOxz c/ Trên mpOyz
Bài 3:

a)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng (d)
đ

i qua M(2;-1;1) vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) :
2x – z + 1=0 . Tìm t
ọ
a
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (d) và (P).
b)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình tham s
ố
c
ủ
a
đ

u
ờ
ng th
ẳ
ng d là giao tuy
ế
n c
ủ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng
( ) : 2 4 0 , ( ) : 2 2 0
P x y z Q x y z
+ − + = − + + =
.
Bài 4
: Cho hai d
ườ
ng th
ẳ
ng
1
2
:
2 3 4
x y z
+
∆ = =

và
2
1
: 2 ,
1 2
x t
y t t
z t
= +


∆ = + ∈


= +

ℝ

a/. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
1
∆
và
2
∆
chéo nhau .
b/.Vi

ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng
( )
α
ch
ứ
a
1
∆
và song song v
ớ
i
2
∆
.Tính d(
1
∆
,
2
∆
).
Bài 5:
Trong không gian Oxyz cho b
ố

n
đ
i
ể
m A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3).
a)

L
ậ
p ph
ươ
ng trình tham s
ố

đườ
ng th
ẳ
ng AB.
b)

L
ậ
p ph
ươ
ng trình mp (P)
đ
i qua
đ
i
ể

m C và vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng AB.
Bài 6
: Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0) , B(0;-7;3) , C(-2;1;-1) , D(3;2;6).
a)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC).
b)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ

ng (d) qua D vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC).
c)

Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m D’
đố
i x
ứ
ng D qua m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC).
d)

Tìm t
ọ

a
độ

đ
i
ể
m C’
đố
i x
ứ
ng C qua
đườ
ng th
ẳ
ng AB.
Ôn Thi Tốt Nghiệp 2014 GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 23
Bài 7
: Cho
đườ
ng th
ẳ
ng
2
( ) :
4
1 2
x t
y t
z t

= − +


∆
=


= − +

và mp (P) : x + y + z – 7 = 0
a)

Tính góc gi
ữ
a
đườ
ng th
ẳ
ng và m
ặ
t ph
ẳ
ng.
b)

Tìm t
ọ
a
độ
giao

đ
i
ể
m c
ủ
a (∆) và (P).
c)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a (∆) trên mp(P).
Bài 8
: Cho
đườ
ng th
ẳ
ng (d) và m
ặ
t c
ầ
u (S) có ph
ươ
ng trình :
(d) :

3
2 2 ,( )
3
x t
y t t
z t
=


= + ∈


= −

ℝ
, (S) : x
2
+ ( y – 1 )
2
+ (z – 1)
2
= 5.
Ch
ứ
ng t
ỏ

đườ
ng th
ẳ

ng (d) và m
ặ
t c
ầ
u (S) ti
ế
p xúc nhau . Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m ti
ế
p xúc.
BÀI TẬP TỔNG HỢP:

Bài 1
: Trong không gian Oxyz cho
đườ
ng th
ẳ
ng d:






−=
+=
+=
tz
ty
tx
4
2
21
và m
ặ
t ph
ẳ
ng
(P): 2x + 2y + z = 0.
a/ Tìm t
ọ
a
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a d và (P).Tính góc gi
ữ
a d và (P).
b/ Vi
ế

t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q) ch
ứ
a d và vuông góc v
ớ
i (P).
c/ Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a d và
đ
i
ể
m A(-1 ; 0 ; 2).
d/ Tìm
đ
i
ể

m A’
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a A(-1 ; 0 ; 2) qua
đườ
ng th
ẳ
ng d.
Bài 2:
Trong không gian Oxyz, cho m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): 2x + y – z – 6 = 0 và
đ
i
ể
m M(1, -2;3).
a/ Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q)

đ
i qua M và song song v
ớ
i mp(P). Tính kho
ả
ng
cách t
ừ
M
đế
n mp(P).
b/ Tìm t
ọ
a
độ
hình chi
ế
u c
ủ
a
đ
i
ể
m M lên mp(P).
Bài 3:
Trong không gian Oxyz cho m
ặ
t c
ầ
u (S) : x

2
+ y
2
+ z
2
-2x - 4y - 6z = 0 và hai
đ
i
ể
m
M(1;1;1), N(2;-1;5).
a)

Xác
đị
nh t
ọ
a
độ
tâm I và bán kính c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u (S).
b)

Vi
ế

t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng MN.
c)

Tìm k
để
m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): x + y – z + k = 0 ti
ế
p xúc m
ặ
t c
ầ
u (S).
d)

Tìm t
ọ
a
độ
giao
đ

i
ể
m c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u (S) và
đườ
ng th
ẳ
ng MN. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t
ph
ẳ
ng ti
ế
p xúc v
ớ
i m
ặ
t c
ầ
u t

ạ
i các giao
đ
i
ể
m.
Bài 4
: Trong không gian Oxyz, cho m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): 2x + y - 2z - 6 = 0.
a)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình mp (Q)
đ
i qua g
ố
c t
ọ
a
độ
O và song song v
ớ
i mp (P).
b)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình tham s
ố
c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua g
ố
c t
ọ
a
độ
O và vuông góc v
ớ
i
m
ặ
t mp(P).
c)

Tính kho

ả
ng cách t
ừ
g
ố
c t
ọ
a
độ

đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (P).
Bài 5:
Trong không gian Oxyz cho
đ
i
ể
m D(-3;1;2) và m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
α

đ
i qua ba
đ
i
ể
m
A(1;0;11) , B(0;1;10), C(1;1;8).
a/. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng AC .
b/. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát c
ủ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng
(

)
α
.
c/. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) tâm D, bán kính r = 5. Ch
ứ
ng minh m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
α

c
ắ
t m
ặ
t c
ầ
u (S).
Bài 6:

Trong không gian Oxyz cho m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): x + 2y – z + 5 = 0,
đ
i
ể
m I(1;2;-2) và
đườ
ng th
ẳ
ng
1 2
:
4
x t
d y t
z t
= − +


=


= +


Ôn Thi Tốt Nghiệp 2014 GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 24

a)

Tìm giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (d) và (P). Tính góc gi
ữ
a (d) và (P).
b)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) tâm I ti
ế
p xúc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P).

Bài 7:
Trong không gian Oxyz cho 3
đ
i
ể
m A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và
mp(P): x + y + z – 2 = 0.
a) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u
đ
i qua 3
đ
i
ể
m A, B, C và có tâm thu
ộ
c mp (P).
b) Tính
độ
dài
đườ
ng cao k
ẽ

t
ừ
A xu
ố
ng BC.
a)

Cho D(0;3;0).Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng DC song song v
ớ
i mp(P); t
ừ

đ
ó tính kho
ả
ng cách
gi
ữ
a
đườ
ng th
ẳ
ng DC và m
ặ

t ph
ẳ
ng (P).
Bài 8
: Trong không gian Oxyz cho m
ặ
t c
ầ
u (S) và m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) có ph
ươ
ng trình :
(S) : (x – 3)
2
+ (y + 2)
2
+ (z – 1)
2
= 100 , (P) : 2x – 2y – z +9 = 0
a/. Ch
ứ
ng minh : (P) và (S) c
ắ
t nhau.
b/. Xác
đị
nh tâm và bán kính

đườ
ng tròn (C) là giao tuy
ế
n c
ủ
a c
ủ
a (P) và (S).
Bài 9
: Cho
đườ
ng th
ẳ
ng d và m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) có ph
ươ
ng trình :
(d) :
6
1 3 3
x y z
−
= =
−
, (P) : 3x + 2y +z – 12 = 0.
a/. Ch
ứ

ng minh (d)
⊂
(P) .
b/. L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a (d) và vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P).
Bài 10
: Cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng (d
1
) và (d
2
) có ph

ươ
ng trình
(d
1
) :
7 5 9
3 1 4
x y z
+ − −
= =
−
, (d
2
)
4 18
3 1 4
x y z
+ +
= =
−

a/. Ch
ứ
ng t
ỏ
(d
1
) và (d
2
) song song v

ớ
i nhau.
b/. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) ch
ứ
a (d
1
) và (d
2
) .
c/. Tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a (d
1
) và (d
2
) .
Bài 11
: Cho hai
đườ
ng th

ẳ
ng (d
1
) và (d
2
)
(d
1
):
7 3
2 2 ,( )
1 2
x t
y t t
z t
= +


= + ∈


= −

ℝ
, (d
2
) :
1 2 5
2 3 4
x y z

− + −
= =
−

a/. Ch
ứ
ng minh hai
đườ
ng th
ẳ
ng (d
1
) và (d
2
) c
ắ
t nhau.
b/. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) ch
ứ
a (d
1
) và (d

2
).
Bài 12
: Cho
đườ
ng th
ẳ
ng (d) và m
ặ
t c
ầ
u (S) có ph
ươ
ng trình :
(d) :
3
2 2 ,( )
3
x t
y t t
z t
=


= + ∈


= −

ℝ

, (S) : x
2
+ ( y – 1 )
2
+ (z – 1)
2
= 5
Ch
ứ
ng t
ỏ

đườ
ng th
ẳ
ng (d) và m
ặ
t c
ầ
u (S) ti
ế
p xúc nhau . Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m ti

ế
p xúc.