Tài liệu môn nguyên lý thống kê kinh tế - Hàm Xu Hướng

PHÂN TÍCH XU HƯỚNG BIẾN ĐỘNG CỦA DÃY SỐ THỜI GIAN
1. Hàm xu hướng dạng đa thức (bậc
n 4≤
)
Giả sử đường dữ liệu được biểu diễn dưới dạng:
2 3 4
i 0 1 i 2 i 3 i 4 i i
y t t t t
α α α α α ε
= + + + + +

Mô hình hàm xu hướng:
2 3 4
t 0 1 2 3 4
y b b t b t b t b t= + + + +
Tính tổng bình phương các sai số:
( )
( )
i
n n
2
2
i i t
i 1 i 1
n
2
2 3 4
i 0 1 i 2 i 3 i 4 i
i 1
SS e y y
y b b t b t b t b t

= =
=
= = −
 
= − + + + +
 
∑ ∑
∑
Xác định các biến
k
b
với
( )
k 0,1,2,3,4=
sao cho hàm SS đạt cực tiểu:
Lấy đạo hàm của hàm SS theo các biến
k
b
với
( )
k 0,1,2,3,4=
, ta được
( )
( )
i
n
2 3 4 k
i 0 1 i 2 i 3 i 4 i
i 1
k

SS
2 y b b t b t b t b t t ; k 0,1,2,3,4
b
=
∂
= − − − − − − =
∂
∑
Giải hệ phương trình đạo hàm riêng:
( )
k
SS
0; k 0,1,2,3,4
b
∂
= =
∂
(1.1)
Ta phân chia các móc thời gian
i
t
sao cho
n
i
i 1
t 0
=
=
∑
, khi đó ma trận bổ sung của hệ (1.1)

có dạng:
1
0
2
1 2 1
1 2
2
3
2 3
3
2 3 4
4
n 0 c 0
a
c
0 c 0 c
a
0
c 0 c 0 a
cC A
0 c 0 c
a
0
c 0 c 0 c a
 
 
 
 
= 
 

 
 
 
 
với
( )
n
2k
k i
i 1
n
k
k i i
i 1
c t ;
k 0,1,2,3,4
a y t
=
=

=


=


=


∑

∑
Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận, biến đối ma trận
C A 
 
về dạng ma trận
bậc thang.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 1 1
1 4 2 2
5 2 1
2
1
2
0
1 2
1
2
nd c d
2 1
3 1 2
2 0 1
c d c d
2

nd c d
1 3 2
3 1 1 2
2
4 0 2
3 1 2 4
n 0 c 0
c
a
0 c 0 c
0
a
0 0 nc c 0
nc c c
na a c
C A
0 0 0 c c c 0
a c a c
na a c
0 0 nc c c 0 nc c
−
−
−
 
 
 
 
−
−
−

→ 
 
 
−
 
−
 
−
− −
 
 
1
( )
( )
2
2 1 5 3 1 2 1
nc c d nc c c d− − −
→
( )
( )
( )
( )
( )
1
0
2
1 2
1
2
2 1

2 0 1
3 1 2
2
3 1 1 2
1 3 2
2
1
n 0 c 0
a
c
0 c 0 c
a
0
0 0 nc c 0
na a c
nc c c
a c a c
0 0 0 c c c 0
d
0 0 0 0 d
 
 
 
 
−
−
−
 
−
−

 
 
 
với
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2
1 4 2 1 3 1 2
2
2 4 0 2 2 1 3 1 2 2 0 1
d nc c nc c nc c c
d na a c nc c nc c c na a c
= − − − −
= − − − − −
Từ ma trận trên ta suy ra:
Hàm xu hướng dạng bậc 4:
2 3 4
t 0 1 2 3 4
y b b t b t b t b t= + + + +
Trong đó:
0 1 2 2 4
0
a c b c b
b

n
− −
=
;
1 2 3
1
1
a c b
b
c
−
=
;
( ) ( )
2 0 1 3 1 2 4
2
2
2 1
na a c nc c c b
b
nc c
− − −
=
−
;
3 1 1 2
3
2
1 3 2
a c a c

b
c c c
−
=
−
;
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
4 0 2 2 1 3 1 2 2 0 1
4
2
2 2
4 2 1 3 1 2
na a c nc c nc c c na a c
b
nc c nc c nc c c
− − − − −
=
− − − −
với
( )
n
2k
k i

i 1
n
k
k i i
i 1
c t ;
k 0,1,2,3,4
a y t
=
=

=


=


=


∑
∑
Dạng đồ thị hàm bậc 4:
2
Hàm xu hướng dạng bậc 3:
2 3
t 0 1 2 3
y b b t b t b t= + + +
Trong đó:
0 1 2

0
a c b
b
n
−
=
;
1 2 3
1
1
a c b
b
c
−
=
;
2 0 1
2
2
2 1
na a c
b
nc c
−
=
−
;
3 1 1 2
3
2

1 3 2
a c a c
b
c c c
−
=
−
Dạng đồ thị hàm bậc 3:
Hàm xu hướng dạng bậc 2:
2
t 0 1 2
y b b t b t= + +
Trong đó:
0 1 2
0
a c b
b
n
−
=
;
1
1
1
a
b
c
=
;
2 0 1

2
2
2 1
na a c
b
nc c
−
=
−
Dạng đồ thị hàm Parabol:
3
Hàm xu hướng dạng bậc 1 :
t 0 1
y b b t= +
Trong đó:
n
i
0
i 1
0
y
a
b
n n
=
= =
∑
;
n
i i

1
i 1
1
n
2
1
i
i 1
y t
a
b
c
t
=
=
= =
∑
∑
Dạng đồ thị hàm đường thẳng:
2. Hàm xu hướng dạng hàm mũ
Giả sử đường dữ liệu được biểu diễn dưới dạng:
1 i
t
i 0 i
y e
α
α ε
= +
Mô hình hàm xu hướng:
1

b t
t 0
y b e=
Lấy log hai vế hàm mũ ta được:
t 0 1
ln y ln b b t= +
Áp dụng hàm xu hướng dạng đường thẳng ta được:
1
b t
t 0
y b e=

Trong đó:
n
i
i 1
0
ln y
ln b
n
=
=
∑
hay
n
i
i 1
ln y
n
0

b e
=
∑
=
n
i i
i 1
1
n
2
i
i 1
t ln y
b
t
=
=
=
∑
∑
Dạng đồ thị hàm mũ:
4
3. Hàm xu hướng dạng hàm Logarithmic
Giả sử đường dữ liệu được biểu diễn dưới dạng:
i 0 1 i i
y ln t
α α ε
= + +
Mô hình hàm xu hướng:
t 0 1

y b b ln t= +
Áp dụng hàm xu hướng dạng đường thẳng ta được:
t 0 1
y b b ln t= +

Trong đó:
n
i
i 1
0 1
ln t
b y b
n
=
= −
∑

( )
n n n
i i i i
i 1 i 1 i 1
1
2
n n
2
i i
i 1 i 1
n y ln t y ln t
b
n ln t ln t

= = =
= =
−
=
 
−
 ÷
 
∑ ∑ ∑
∑ ∑
Dạng đồ thị hàm logarithmic:
4. Hàm xu hướng dạng hàm luỹ thừa
Giả sử đường dữ liệu được biểu diễn dưới dạng:
1
i 0 i i
y t
α
α ε
= +
Mô hình hàm xu hướng:
1
b
t 0
y b t=
Áp dụng hàm xu hướng dạng đường thẳng ta được:
1
b
t 0
y b t=

Trong đó:
n n
i i
i 1 i 1
1
ln y ln t
n n
b
n n
i i
i 1 i 1
0 1 0
ln y ln t
ln b b hay b e
n n
= =
 
 ÷
 ÷
−
 ÷
 ÷
 ÷
= =
 
∑ ∑
= − =
∑ ∑

( )

n n n
i i i i
i 1 i 1 i 1
1
2
n n
2
i i
i 1 i 1
n ln y ln t ln y ln t
b
n ln t ln t
= = =
= =
−
=
 
−
 ÷
 
∑ ∑ ∑
∑ ∑
5
Dạng đồ thị hàm luỹ thừa:
6