Chuyên đề giải toán đại số trong giải tích

Chuyên Đề :
G
G
G
I
I
I
Ả
Ả
Ả
I
I
I
T
T
T
O
O
O
Á
Á
Á
N
N
N
Đ
Đ
Đ
Ạ
Ạ
Ạ

I
I
I
S
S
S
Ố
Ố
Ố
t
t
t
r
r
r
o
o
o
n
n
n
g
g
g
G
G
G
I
I
I

Ả
Ả
Ả
I
I
I
T
T
T
Í
Í
Í
C
C
C
H
H
H
T
T
T
h
h
h
ầ
ầ
ầ
y
y
y

:
:
:
T
T
T
r
r
r
ầ
ầ
ầ
n
n
n
P
P
P
h
h
h
ư
ư
ư
ơ
ơ
ơ
n
n
n

g
g
g
A O T R A N G T B
Download tài li󰗈u h󰗎c t󰖮p t󰖢i :
BÀI1 . P H Ư Ơ N G PHÁP HÀM SỐ
I.TÍNHĐƠNĐIỆU,CỰCTRỊHÀMSỐ,GIÁTRỊLỚNNHẤT&NHỎNHẤTCỦAHÀMSỐ
1. y =f (x) đồng biến / (a,b) Û
( )
1 2
,x x a b " < Î ta có
( ) ( )
1 2
f x f x <
2. y =f (x) nghịch biến / (a,b) Û
( )
1 2
,x x a b " < Î ta có
( ) ( )
1 2
f x f x >
3. y =f (x) đồng biến / (a,b) Û ¦¢(x) ³0 "xÎ (a,b) đồng thời ¦¢(x) = 0 tại m ộ t số hữu hạn điểm
Î (a,b).
4. y =f (x) nghịch biến / (a,b) Û ¦¢(x) £ 0 "xÎ (a,b) đồng thời ¦¢(x) = 0 tại m ộ t số hữu hạn
điểm Î (a,b).
5. Cực trị hàm số: Hàm số đạt cực trị tại điểm
( )
k
x x f x
¢

= Û đổi dấu tại điểm
k
x
6. Giá trị l ớ n nhất v à nhỏ nhất của hàm số
· Giả sử y = ¦(x) liên tục trên [a,b] đồng thời đạt cực trị tại
( )
1
, ,,
n
x x a bÎ .
Khi đó:
[ ]
( )
( )
( )
( ) ( )
{ }
1
,
Max Max , ,, , ;
n
x a b
f x f x f x f a f b
Î
=
[ ]
( )
( )
( )
( ) ( )

{ }
1
,
M in M in , ,, ,
n
x a b
f x f x f x f a f b
Î
=
· Nếu y = f (x) đồng biến / [a, b] thì
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
,
,
Min ; Max
x a b
x a b
f x f a f x f b
Î
Î
= =
· Nếu y = f (x) nghịch biến / [a, b] thì
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
,
,

Min ; Max
x a b
x a b
f x f b f x f a
Î
Î
= =
· Hàm bậc nhất
( )
f x x = a + b trên đoạn
[ ]
;a b đạt g i á trị lớn nhất, g i á trị nhỏ nhất tại các đầu m ú t
a; b
x x x
- e + e
b
x x x
- e + e
j j j
x x x - e + e
i i i
x x x - e + ea
x
Download tài li󰗈u h󰗎c t󰖮p t󰖢i :
II.PHƯƠNGPHÁPHÀMSỐBIỆNLUẬNPHƯƠNGTRÌNH,BẤTPHƯƠNGTRÌNH
1.Nghiệmcủaphươngtrìnhu(x) =v(x)làhoànhđộgiaođiểmcủađồthị
( )
y u x = vớiđồthị
( )
y v x = .

2.Nghiệmcủabấtphươngtrìnhu(x) ³v(x)là
phầnhoànhđộtương ứngvớiphần
đồthị
( )
y u x = nằmởphíatrên
sovớiphầnđồthị
( )
y v x = .
3.Nghiệmcủabấtphươngtrìnhu(x) £v(x)là
phầnhoànhđộtương ứngvớiphầnđồthị
( )
y u x = nằmởphíadướisovớiphầnđồthị
( )
y v x = .
4.Nghiệmcủaphươngtrìnhu(x) =mlàhoànhđộ
giaođiểmcủađườngthẳng y =mvớiđồthị
( )
y u x = .
5.BPT u(x) ³m đúng "xÎI Û
( )
I
Min
x
u x m
Î
³
6.BPT u(x) £m đúng "xÎI Û
( )
I
Max

x
u x m
Î
£
7.BPTu(x) ³mcónghiệm xÎI Û
( )
I
Max
x
u x m
Î
³
8.BPT u(x) £m cónghiệm xÎI Û
( )
I
Min
x
u x m
Î
£
III.Cácbàitoán minhhọaphươngpháphàmsố
Bài1.Chohàm số
( )
2
2 3f x mx mx = + -
a.Tìm mđểphươngtrình ¦(x) =0cónghiệm xÎ[1;2]
b.Tìm mđểbấtphươngtrình ¦(x) £0nghiệmđúng "xÎ[1;4]
c.Tìm mđểbấtphươngtrình ¦(x) ³0 cónghiệm xÎ
[ ]
1;3 -

Giải:a.Biếnđổiphươngtrình ¦(x) = 0tacó:
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
3 3
2 3 0 2 3
2
1 1
f x mx mx m x x g x m
x x
x
= + - = Û + = Û = = =
+
+ -
.
Để ¦(x) =0cónghiệm xÎ[1;2]thì
[ ]
( )
[ ]
( )
1;2
1;2
Min Max
x
x
g x m g x
Î

Î
£ £
3
1
8
m Û £ £
b.Tacó "xÎ[1;4]thì
( )
2
2 3 0f x mx mx = + - £ Û
( )
2
2 3m x x + £ Û
( )
[ ]
2
3
, 1;4
2
g x m x
x x
= ³ " Î
+
[ ]
( )
1;4
M in
x
g x m
Î

Û ³ .
Do
( )
( )
2
3
1 1
g x
x
=
+ -
giảmtrên[1;4]nênycbt Û
[ ]
( )
( )
1;4
1
Min 4
8
x
g x g m
Î
= = ³
c.Tacó vớixÎ
[ ]
1;3 - thì
( )
2
2 3 0f x mx mx = + - ³ Û
( )

2
2 3m x x + ³ .
Đặt
( )
[ ]
2
3
, 1;3
2
g x x
x x
= Î -
+
.Xétcáckhảnăngsauđây:
+Nếu
0x =
thìbấtphươngtrìnhtrởthành
.0 0 3m = ³
nênvônghiệm.
+Nếu
(
]
0;3xÎ thìBPT Û
( )
g x m £ cónghiệm
(
]
0;3xÎ
(
]

( )
0;3x
Min g x m
Î
Û £ .
Do
( )
( )
2
3
1 1
g x
x
=
+ -
giảm/
(
]
0;3 nênycbt
(
]
( ) ( )
0;3
1
3
5
x
Min g x g m
Î
Û = = £

+Nếu
[
)
1;0x Î - thì
2
2 0x x + < nênBPT
( )
g x m Û ³ cónghiệm
[
)
1;0x Î -
[
)
( )
1;0
Max g x m
-
Û ³ .Tacó
( )
( )
( )
[ ]
2
2
3 2 2
0, 1;0
2
x
g x x
x x

- +
¢
= £ " Î -
+
.
Dođó
( )
g x nghịchbiếnnêntacó
[
)
( )
( )
1;0
1 3Max g x g m
-
= - = - ³
a
b
b
x
a
v(x)
u(x)
a
b
x
y=m
Ktlun: Ư(x) 0 cúnghim xẻ
[ ]
13 -

(
]
)
1
3
5
m
ộ
ẻ -Ơ - +Ơ
ờ
ở
U
Bi2.Tỡm mbtphngtrỡnh:
3
3
1
3 2x mx
x
-
- + - < nghimỳng "x 1
Gii: BPT
( )
3 2
3 4
1 1 2
3 2, 1 3 , 1mx x x m x f x x
x
x x
< - + " < - + = " .
Tacú

( )
5 2 5 2 2
4 2 2
4 2 4 2
2 2 2 0f x x x
x x x x x
-
ổ ử
Â
= + - - = >
ỗ ữ
ố ứ
suyra
( )
f x tng.
YCBT
( ) ( )
( )
1
2
3 , 1 min 1 2 3
3
x
f x m x f x f m m

> " = = > >
Bi3.Tỡm mbtphngtrỡnh
( )
2
.4 1 .2 1 0

x x
m m m
+
+ - + - > ỳng
x " ẻ Ă
Gii:t 2 0
x
t = > thỡ
( )
2
.4 1 .2 1 0
x x
m m m
+
+ - + - > ỳng
x " ẻ Ă
( ) ( )
( )
2 2
. 4 1 . 1 0, 0 4 1 4 1, 0m t m t m t m t t t t + - + - > " > + + > + " >
( )
2
4 1
, 0
4 1
t
g t m t
t t
+
= < " >

+ +
.Tacú
( )
( )
2
2
2
4 2
0
4 1
t t
g t
t t
- -
Â
= <
+ +
nờn
( )
g t nghchbintrờn
[
)
0 +Ơ suy
raycbt
( ) ( )
0
0 1
t
Max g t g m

= = Ê
Bi4.Tỡm mphngtrỡnh:
( )
12 5 4x x x m x x + + = - + - cúnghim.
Gii:iukin
0 4x Ê Ê
.BiniPT
( )
12
5 4
x x x
f x m
x x
+ +
= =
- + -
.
Chỳý:Nutớnh
( )
f x
Â
rixộtduthỡthaotỏcrtphctp,dnhmln.
Ththut:t
( ) ( )
3 1
12 0 0
2
2 12
g x x x x g x x
x

Â
= + + > ị = + >
+
( ) ( )
1 1
5 4 0 0
2 5 2 4
h x x x h x
x x
-
Â
= - + - > ị = - <
- -
Suyra:
( )
0g x > vtng
( )
h x >0vgimhay
( )
1
0
h x
> vtng
ị
( )
( )
( )
g x
f x
h x

= tng.Suyra
( )
f x m = cúnghim
[ ]
( )
[ ]
( ) ( )
( )
[ ]
( )
04
04
min max 0 4 2 15 12 12m f x f x f f
ộ ự
ộ ự ẻ = = -
ở ỷ
ở ỷ
Bi5.Tỡm mbtphngtrỡnh:
( )
3
3 2
3 1 1x x m x x + - Ê - - cúnghim.
Gii:iukin
1x
.NhõnchaivBPTvi
( )
3
1 0x x + - > tanhnc
btphngtrỡnh
( )

( )
( )
3
3 2
3 1 1f x x x x x m = + - + - Ê .
t
( ) ( )
( )
3
3 2
3 1 1g x x x h x x x = + - = + -
Tacú
( ) ( )
( )
2
2
1 1
3 6 0, 1 3 1 0
2 2 1
g x x x x h x x x
x x
ổ ử
 Â
= + > " = + - + >
ỗ ữ
-
ố ứ
.
Do
( )

0g x > vtng
1x "

( )
0h x > vtngnờn
( ) ( ) ( )
.f x g x h x = tng
1x "
Khiúbtphngtrỡnh
( )
f x m Ê cúnghim
( )
( )
1
min 1 3
x
f x f m

= = Ê
Bi6.Tỡm m
( )( )
2
4 6 2x x x x m + - Ê - + nghimỳng
[ ]
4, 6x " ẻ -
Cỏch1.BPT
( ) ( )( )
2
2 4 6f x x x x x m = - + + + - Ê ỳng
[ ]

4, 6x " ẻ -
( )
( )( )
( )
( )( )
2 2 1
2 2 1 2 0 1
2 4 6 4 6
x
f x x x x
x x x x
- +
ổ ử
Â
= - + + = - + = =
ỗ ữ
+ - + -
ố ứ
LpbngbinthiờnsuyraMax
[ ]
( )
( )
4,6
1 6Max f x f m
-
= = Ê
Cỏch2.t
( )( )
( ) ( )
4 6

4 6 5
2
x x
t x x
+ + -
= + - Ê = .
Tacú
2 2
2 24t x x = - + + .Khiúbtphngtrỡnhtrthnh
[ ]
( )
[ ]
2 2
24, 05 24 05t t m t f t t t m t Ê - + + " ẻ = + - Ê " ẻ .Tacú:
( )
2 1 0f t t
Â
= + > ị
( )
f t tngnờn
( )
[ ]
05f t m t Ê " ẻ
[ ]
( ) ( )
05
max 5 6f t f m = = Ê
Bi7.Tỡm m
2 2
3 6 18 3 1x x x x m m + + - - + - Ê - +

ỳng
[ ]
3,6x " ẻ -
Gii:
t 3 6 0t x x = + + - > ị
( )
( )( )
2
2
3 6 9 2 3 6t x x x x = + + - = + + -
ị
( )( ) ( ) ( )
2
9 9 2 3 6 9 3 6 18t x x x x Ê = + + - Ê + + + - =
( )( )
( )
2 2
1
18 3 3 6 9 33 2
2
x x x x t t
ộ ự
ị + - = + - = - ẻ
ở ỷ
Xột
( ) ( ) ( ) ( )
2
33 2
9
1

1 0 33 2 max 3 3
2 2
f t t t f t t t f t f
ộ ự
ở ỷ
ộ ự
Â
= - + + = - < " ẻ ị = =
ở ỷ
ycbt
( )
2 2
33 2
max 3 1 2 0 1Vm 2f t m m m m m
ộ ự
ở ỷ
= Ê - + - - Ê -
Bi8.(TSHkhiA,2007)
Tỡm mphngtrỡnh
4
2
3 1 1 2 1x m x x - + + = - cúnghimthc.
Gii:K:
1x
,biniphngtrỡnh
4
1 1
3 2
1 1
x x

m
x x
- -
- + =
+ +
.
t
[
)
4 4
1
2
1 0,1
1 1
x
u
x x
-
= = - ẻ
+ +
.
Khiú
( )
2
3 2g t t t m = - + =
Tacú
( )
1
6 2 0
3

g t t t
Â
= - + = = .Doúyờucu
1
1
3
m - < Ê
Bi9.(TSHkhiB,2007):Chngminhrng:Vimi
0m >
,phngtrỡnh
( )
2
2 8 2x x m x + - = - luụncúỳnghainghimphõnbit.
Gii:iukin:
2x
.
Biniphngtrỡnhtacú:
( )( ) ( )
2 6 2x x m x - + = -
( ) ( ) ( )
2 2
2 6 2x x m x - + = -
( )
( )
( )
3 2 3 2
2 6 32 0 2Vg x 6 32x x x m x x x m - + - - = = = + - = .
ycbt
( )
g x m = cúỳngmtnghimthuckhong

( )
2+Ơ .Thtvytacú:
( ) ( )
3 4 0, 2g x x x x
Â
= + > " > .Doú
( )
g x ngbinm
( )
g x liờntcv
( )
( )
2 0 lim
x
g g x
đ+Ơ
= = +Ơ nờn
( )
g x m = cúỳngmtnghim ẻ
( )
2+Ơ .
Vy
0m " >
,phngtrỡnh
( )
2
2 8 2x x m x + - = - cúhainghimphõnbit.
Bi10.
(TSHkhiA,2008)
Tỡm

m
phngtrỡnhsaucúỳnghainghimthcphõnbit:
4 4
2 2 2 6 2 6x x x x m + + - + - =
Gii:
t
( )
[ ]
4 4
2 2 2 6 2 6 06f x x x x x x = + + - + - ẻ
Tacú:
( )
( ) ( )
( )
3 3
4 4
1 1 1 1 1
, 06
2
2 6
2 6
f x x
x x
x x
ổ ử ổ ử
Â
= - + - ẻ
ỗ ữ
ỗ ữ
-

ố ứ
-
ố ứ
t 0
1 3
1
( )
g t
Â
+ 0
( )
g t
0
1 3
1
x 2
+Ơ
( )
g x
Â
+
( )
g x
0
+Ơ
t
( )
( ) ( )
( )
( )

3 3
4 4
1 1 1 1
0, 6
2 6
2 6
, xu x v x
x x
x x
= - = - ẻ
-
-
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
, 0, 0, 2
2 2 0
, 0, 2,6
u x v x x
u v
u x v x x
ỡ > " ẻ
ù
ị = =
ớ
ù
< " ẻ
ợ

( )
( )
( ) 0, 0, 2
( ) 0, 2, 6
(2) 0
f x x
f x x
f
Â
ỡ > " ẻ
ù
Â
ị < " ẻ
ớ
ù
Â
=
ợ
NhỡnBBTtacúPTcú2nghimphõnbit
4
2 6 2 6 3 2 6m + Ê < +
Bi11.(TSHkhiD,2007):
Tỡm mhphngtrỡnhcúnghim
3 3
3 3
1 1
5
1 1
15 10
x y

x y
x y m
x y
ỡ
+ + + =
ù
ù
ớ
+ + + = -
ù
ù
ợ
Gii:t
1 1
u x v y
x y
= + = + tacú
(
)
(
)
3
3
3
1 1 1 1
3 3x x x x u u
x x x
x
+ = + - ì + = -
v

1 1 1 1 1
2 . 2 2 . 2u x x x v y y
x x x y y
= + = + = = + =
Khiúhtrthnh
( )
3 3
5
5
8
3 15 10
u v
u v
uv m
u v u v m
+ =
ỡ + =
ỡ
ù

ớ ớ
= -
+ - + = -
ù
ợ
ợ
,u v lnghim caphngtrỡnhbchai
( )
2
5 8f t t t m = - + =

Hcúnghim
( )
f t m = cú2nghim
1 2
,t t thamón
1 2
2 2t t .
LpBngbinthiờncahms
( )
f t vi 2t
t
-Ơ
2 2 5/2 +Ơ
( )
f t
Â

0
+
( )
f t
+ Ơ
22
2 7/4
+ Ơ
Nhỡnbngbinthiờntacúhcúnghim
7
2 m 22
4
m Ê Ê

Bi12.(1I.2BTSH 19872001):
Tỡm xbtphngtrỡnh
( )
2
2 sin cos 1 0x x y y + + + ỳngvi y " ẻ Ă .
Gii:t sin cos 2, 2u y y
ộ ự
= + ẻ -
ở ỷ
,
BPT
( ) ( )
( )
( )
2
2, 2
2 1 0, 2, 2 Min 0
u
g u x u x u g u
ộ ự
ẻ -
ở ỷ
ộ ự
= + + " ẻ -
ở ỷ
Doth
( )
y g u = lmtonthngvi 2, 2u
ộ ự
ẻ -

ở ỷ
nờn
x 0 2 6
( )
f x
Â
+ 0
f(x)
3 2 6 +
4
12 2 3 +
4
2 6 2 6 +
( )
2, 2
Min 0
u
g u
é ù
Î -
ë û
³
( )
( )
2
2
2 0 2 2 1 0 2 1
2 2 1 0 2 1
2 0
g x x x

x x x
g
ì
ì é
- ³ - + ³ ³ +
ï ï
Û Û Û
ê
í í
+ + ³ £ -
ê
³ ï
ï
î ë
î
Bài13.Cho
, , 0
3
a b c
a b c
³
ì
í
+ + =
î
Chứngminhrằng:
2 2 2
4a b c abc + + + ³
Giải: BĐT
( ) ( ) ( )

2 2
2 2
2 4 3 2 4a b c bc abc a a a bc Û + + - + ³ Û + - + - ³
( ) ( )
2
2 2 6 5 0f u a u a a Û = - + - + ³ trongđó
( )
( )
2
2
1
0 3
2 4
b c
u bc a
+
£ = £ = - .
Nhưthếđồthị
( )
y f u = làmộtđoạnthẳngvới
( )
2
1
0; 3
4
u a
é ù
Î -
ê ú
ë û

.Tacó
( )
( )
( )
(
)
( ) ( )
2
2 2
2 3
1 1 1
0 2 6 5 2 0; 3 1 2 0
2 2 4 4
f a a a f a a a = - + = - + ³ - = - + ³
nênsuyra
( )
0;f u ³
( )
2
1
0; 3
4
u a
é ù
" Î -
ê ú
ë û
.
Vậy
2 2 2

4a b c abc + + + ³ .Đẳngthứcxảyra
1a b c Û = = =
.
Bài14. (IMO25–TiệpKhắc1984):
Cho
, , 0
1
a b c
a b c
³
ì
í
+ + =
î
.Chứngminhrằng:
7
2
27
ab bc ca abc + + - £ .
Giải:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2 1 1 2a b c a bc a a a bc a a a u f u + + - = - + - = - + - =
Đồthị
( ) ( ) ( )
1 2 1y f u a u a a = = - + - với
( )
( )
2
2
1

0
2 4
a
b c
u bc
-
+
£ = £ = làmộtđoạnthẳngvới2giá
trịđầumút
( ) ( )
( )
2
1
7
1
0 1
2 4 27
a a
f a a
é ù + -
= - £ = <
ê ú
ë û
và
( )
(
)
( )
(
)

(
)
2
2
3 2 7 7
1 1 1 1 1
1 2 1 2
4 4 27 4 3 3 27
f a a a a a - = - + + = - + - £
Dođồthị
( )
y f u = làmộtđoạnthẳngvới
( )
2
1
0; 1
4
u a
é ù
Î -
ê ú
ë û
và
( )
7
0
27
f < ;
( )
(

)
2
7
1
1
4 27
f a - £ nên
( )
7
27
f u £ . Đẳngthứcxảyra
1
3
a b c Û = = =
Bài15.Chứngminhrằng:
( ) ( )
2 4,a b c ab bc ca + + - + + £ "
[ ]
, , 0, 2a b c Î .
Giải:Biếnđổibấtđẳngthứcvềhàmbậcnhấtbiếnsốa,thamsốb,ctacó
( ) ( ) ( )
[ ]
2 2 4, , , 0,2f a b c a b c bc a b c = - - + + - £ " Î
Đồthị
( )
y f a = làmộtđoạnthẳngvới
[ ]
0, 2aÎ nên
( ) ( )
( )

{ }
Max 0 ; 2f a f f £
Tacó
( ) ( )( )
( )
( )
[ ]
0 4 2 2 4; 2 4 4 4, , , 0, 2f b c f bc f a a b c = - - - £ = - £ Þ £ " Î
Bài16.CMR:
( )( )( )( )
[ ]
1 1 1 1 1, , , , 0,1a b c d a b c d a b c d - - - - + + + + ³ " Î
Giải:Biểudiễnbấtđẳngthứcvềhàmbậcnhấtbiếnsốa,thamsốb,c,d,tacó:
( ) ( )( )( )
[ ]
( )( )( )
[ ]
1 1 1 1 1 1 1 1, , , , 0,1f a b c d a b c d b c d a b c d = - - - - + - - - + + + ³ " Î
Đồthị
( )
[ ]
, 0,1y f a a = " Î làmộtđoạnthẳngnên
[ ]
( ) ( )
( )
{ }
0,1
Min Min 0 , 1
a
f a f f

Î
=
Tacó
( )
[ ]
1 1 1, , , 0,1f b c d b c d = + + + ³ " Î
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
[ ]
( )( )
0 1 1 1 1 1 1 1 1f b c d b c d g b c d b c d c d = - - - + + + Û = - - - + - - + +
Đồthị
( )
[ ]
, 0,1y g b b = " Î làmộtđoạnthẳngnên
[ ]
( ) ( )
( )
{ }
0,1
Min 0 , 1
b
g b Min g g
Î
=
Tacó
( )
( ) ( )( )
1 1 1; 0 1 1 1 1g c d g c d c d cd = + + ³ = - - + + = + ³
Þ
( ) ( )

[ ]
0 1, 0,1f g b b = ³ " Î .Vậy
( )
1f a ³ haytacó(đpcm)
BI2.TNHNIUCAHMS
A.TểMTTLíTHUYT.
1.y =f(x)ngbin/(a,b) ƯÂ(x) 0 "xẻ(a,b)ngthi ƯÂ(x) = 0timtshuhnim
ẻ(a,b).
2.y =f(x) nghchbin/(a,b) ƯÂ(x) Ê0 "xẻ(a,b)ngthi ƯÂ(x) =0timtshuhn
im ẻ(a,b).
Chỳý:Trongchngtrỡnhphthụng,khisdng 1.,2.chocỏchmsmtquytccúthb
iukin ƯÂ(x) =0timtshuhnim ẻ(a,b).
CCBITPMUMINHHA
Bi1.
Tỡm m
( ) ( )
2
6 5 2 1 3
1
mx m x m
y
x
+ + - -
=
+
nghchbintrờn[1, +Ơ)
Gii:Hmsnghchbintrờn[1, +Ơ)
( )
2
2

2 7
0 1
1
mx mx
y x
x
+ +
Â
= Ê "
+

( )
2 2
2 7 0 2 7 1mx mx m x x x + + Ê + Ê - "

( )
2
7
1
2
u x m x
x x
-
= "
+
( )
1
Min
x
u x m

.Tacú:
( )
( )
2 2
7 2 2
0 1
( 2 )
x
u x x
x x
+
Â
= > "
+
ịu(x)ngbintrờn[1, +Ơ) ị
( )
( )
1
7
Min 1
3
x
m u x u

-
Ê = =
Bi2.
Tỡm m
( ) ( )

3 2
1
1 3 4
3
y x m x m x
-
= + - + + - ngbintrờn(0,3)
Gii.Hmstng trờn(0,3)
( ) ( )
( )
2
2 1 3 0 0,3y x m x m x
Â
=- + - + + " ẻ (1)
Do
( )
y x
Â
liờntcti x = 0vx = 3nờn(1) y 0 "xẻ[0,3]

( )
[ ]
2
2 1 2 3 0,3m x x x x + + - " ẻ
( )
[ ]
2
2 3
0,3
2 1

x x
g x m x
x
+ -
= Ê " ẻ
+
[ ]
( )
0,3
Max
x
g x m
ẻ
Ê .Tacú:
( )
( )
[ ]
2
2
2 2 8
0 0,3
2 1
x x
g x x
x
+ +
Â
= > " ẻ
+
ịg(x)ngbintrờn[0,3] ị

[ ]
( ) ( )
0,3
12
Max 3
7
x
m g x g
ẻ
= =
Bi3.
Tỡmm
( ) ( )
3 2
1
1 3 2
3 3
m
y x m x m x = - - + - + ngbintrờn
[
)
2, +Ơ
Gii:Hmstng /
[
)
2, +Ơ
( ) ( )
2
2 1 3 2 0 2y mx m x m x
Â

= - - + - " (1)

( )
2
1 2 2 6 2m x x x
ộ ự
- + - + "
ở ỷ

( )
( )
2
2 6
2
1 2
x
g x m x
x
- +
= Ê "
- +
Tacú:
( )
( )
2
2 2
2 6 3
0
( 2 3)
x x

g x
x x
- +
Â
= =
- +
1
2
3 6
3 6
x x
x x
ộ
= = -

ờ
= = +
ờ
ở

( )
lim 0
x
g x
đƠ
=
TBBT ị
( )
( )
2

2
Max 2
3
x
g x g m

= = Ê .
x
2
3 6 + +Ơ
( )
g x
Â
_
0
+
( )
g x
2 3
CT
0
Bi4.
( )
( )( )
3 2 2
2 7 7 2 1 2 3y x mx m m x m m = - - - + + - - ngbin/
[
)
2, +Ơ
Gii:Hmstngtrờn

[
)
2, +Ơ
( )
2 2
3 2 2 7 7 0, 2y x mx m m x
Â
= - - - + "
Tacú
( )
2
7 3 3m m
Â
= - + V
( )
2
3 3
7 0
2 4
m
ộ ự
= - + >
ờ ỳ
ở ỷ
nờn 0y
Â
= cú2nghim
1 2
x x <
BPTg(x) 0cúsminnghimGl:

Tacú
( )
0y x
Â
ỳng
2x "

[
)
2, G +Ơ è
( )
( )
2
1 2
0
5
1
5
2
2 3 2 3 2 3 5 0 1
2
6
2
2 3
m
x x y m m m
S m
m
Â
D >

ỡ
ỡ
- Ê Ê
ù
ù
Â
< Ê = - + + - Ê Ê
ớ
ớ
ù
ù
<
= <
ợ
ợ
Bi5.Tỡm m
( )
2
2 1 1x m x m
y
x m
+ - + +
=
-
ngbintrờn
( )
1, +Ơ
Gii:Hmsngbintrờn
( )
1, +Ơ

( )
2 2
2
2 4 2 1
0 1
x mx m m
y x
x m
- + - -
Â
= " >
-

( )
( )
2 2
0 1
2 4 2 1 0 1
1
0
g x x
g x x mx m m x
m
x m
ỡ
ỡ
" >
= - + - - " >
ù ù

ớ ớ
Ê
- ạ ù ù
ợ
ợ
Cỏch1:Phngphỏptamthcbc2
Tacú:
( )
2
2 1 0m
Â
D = + suyrag(x) = 0cú2nghim
1 2
x x Ê .
BPTg(x) 0cúsminnghimGl:
Tacúg(x) 0ỳng "xẻ(1, +Ơ)
( )
1, G +Ơ è
( )
( )
2
1 2
1
1, 0
1 2 1 2 6 1 0 3 2 2
3 2 2
3 2 2
2 1
2
m

m
x x g m m m
m
S
m
Â
Ê
Ê D
ỡ
ỡ
ù
ù
ộ
Ê Ê = - + Ê -
Ê -
ớ
ớ
ờ
ù
ù
+
= - Ê
ở
ợ
ợ
Cỏch2:Phngphỏphms
Tacú:gÂ(x) =4(x -m) 4(x -1)>0 "x>1 ịg(x)ngbintrờn [1, +Ơ)
Doú
( )
( )

( )
2
1
1 6 1 0
3 2 2
Min 0
1 3 2 2
3 2 2
1
1
1
x
g m m
m
g x
m
m
m
m
m

ỡ
ộ
ỡ
= - +
Ê -
ỡ

ù ù ù
ờ

Ê -

ớ ớ ớ
+
ở
Ê
ù
ù ù
ợ
Ê
Ê
ợ
ợ
Bi6. Tỡm m
( ) ( )
2
4 5 cos 2 3 3 1y m x m x m m = - + - + - + gim
x " ẻ Ă
Gii:Yờucubitoỏn
( )
5 4 sin 2 3 0,y m x m x
Â
= - + - Ê " ẻ Ă
( ) ( )
[ ]
5 4 2 3 0, 11g u m u m u = - + - Ê " ẻ - .Doth
( )
[ ]
, 11y g u u = ẻ - lmtonthngnờnycbt
( )

( )
1 6 8 0
4
1
3
1 2 2 0
g m
m
g m
ỡ - = - Ê
ù
Ê Ê
ớ
= - + Ê
ù
ợ
Bi7.Tỡm mhms
1 1
sin sin 2 sin 3
4 9
y mx x x x = + + + tngvimi
xẻĂ
Gii:Yờucubitoỏn
1 1
cos cos 2 cos 3 0,
2 3
y m x x x x
Â
= + + + " ẻĂ

( ) ( )
2 3
1 1
cos 2cos 1 4 cos 3cos 0,
2 3
m x x x x x + + - + - " ẻĂ
( )
[ ]
3 2
4 1
, 1,1
3 2
m u u g u u - - + = " ẻ - ,vi
[ ]
cos 1,1u x = ẻ -
Tacú
( ) ( )
2
1
4 2 2 2 1 0 0
2
g u u u u u u u
Â
= - - = - + = = - =
LpBBTsuyrayờucubitoỏn
[ ]
( )
( )
1,1
5

Max 1
6
x
g u g m
ẻ -
= - = Ê .
Bi8.Chohms
( ) ( ) ( )
3 2
1
1 2 1 3 2
3
y m x m x m x m = + + - - + + .
1
x
2
x
1
x
2
x
Tỡm mkhongnghchbincahmscúdibng4
Gii.Xột
( ) ( ) ( )
2
1 2 2 1 3 2 0y m x m x m
Â
= + + - - + = .Do
2
7 3 0m m

Â
D = + + > nờn 0y
Â
= cú2nghim
1 2
x x < .Khongnghchbincahmscúdibng4
[ ]
1 2 2 1
0 4y x x x x x
Â
Ê " ẻ - =
1 0m + >
v
2 1
4x x - = .Tacú
2 1
4x x - =
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 2
2 1 2 1 2 1
2
4 2 1 4 3 2
16 4
1
1
m m

x x x x x x
m
m
- +
= - = + - = +
+
+
( ) ( ) ( )( )
2 2
4 1 2 1 3 2 1m m m m + = - + + +
2
7 61
3 7 1 0
6
m m m

- - = = kthpvi
1 0m + >
suyra
7 61
6
m
+
=
B. NGDNGTNHNIUCAHMS
I. DNG1:NGDNGTRONG PT, BPT,HPT,HBPT
Bi1.
Giiphngtrỡnh:
5 3
1 3 4 0x x x + - - + = .

Gii.iukin:
1
3
x Ê .t
( )
5 3
1 3 4 0f x x x x = + - - + = .
Tacú:
( )
4 2
3
5 3 0
2 1 3
f x x x
x
Â
= + + >
-
ịf(x)ngbintrờn
(
1
,
3
ự
-Ơ
ỳ
ỷ
.
Mtkhỏcf(-1) =0nờnphngtrỡnhf(x) = 0cúnghimduynhtx = -1.
Bi2.

Giiphngtrỡnh:
2 2
15 3 2 8x x x + = - + +
Gii.Btphngtrỡnh
( )
2 2
3 2 8 15f x x x x = - + + - + =0(1).
+Nu
2
3
x Ê thỡf(x)<0 ị(1)vụnghim.
+Nu
2
3
x > thỡ
( )
2 2
1 1 2
3 0
3
8 15
f x x x
x x
ổ ử
Â
= + - > " >
ỗ ữ
+ +
ố ứ
ịf(x)ngbintrờn

(
)
2
,
3
+Ơ mf(1) = 0nờn(1)cúỳng1nghim x =1
Bi3.
Giibtphngtrỡnh:
3 54
1 5 7 7 5 13 7 8x x x x + + - + - + - < (*)
Gii.iukin
5
7
x .t
( )
3 54
1 5 7 7 5 13 7f x x x x x = + + - + - + -
Tacú:
( )
( ) ( )
2 3 4
5
3 4
5 7 13
1
0
2 1
5 (13 7)
3 5 7 4 7 5
f x

x
x
x x
Â
= + + + >
+
ì -
ì - ì -
ịf(x)ngbintrờn
)
5
,
7
ộ
+Ơ
ờ
ở
.M f(3) = 8nờn(*) f(x)<f(3) x <3.
Vynghimcabtphngtrỡnhóchol
5
3
7
x Ê <
Bi4.
GiiPT:
3 2
1 1 1
5 4 3 2 2 5 7 17
2 3 6
x x x x

x x x
x x x + + + = + + - + - + (*)
Gii.(*)
( )
(
)
( ) ( )
( )
3 21 1 1
5 4 3 2 2 5 7 17
2 3 6
x
x x
x x x x
f x x x x g x = + + + - - - = - + - + =
Tacúf(x)ngbinvgÂ(x) = -6x
2
+10x -7<0 "x ịg(x)nghchbin.
Nghimcaf(x) =g(x)lhonhgiaoimca
( ) ( )
vy f x y g x = = .
Dof(x)tngg(x)gim v
( ) ( )
1 1 13f g = = nờn(*)cúnghimduynhtx = 1.
Bi5.
TỡmsmMax
( )
sin cos 1 sin 2 sin cos 2m x x x x x x + + Ê + + + " (*)
Gii.t
( )

2
2
sin cos 0 sin cos 1 sin 2t x x t x x x = + ị = + = + ị
2
1 2t Ê Ê ị1 2t Ê Ê ,khiú(*)

( )
2
1 1 1, 2m t t t t
ộ ự
+ Ê + + " ẻ
ở ỷ

( )
2
1
1, 2
1
t t
f t m t
t
+ +
ộ ự
= " ẻ
ở ỷ
+

( )
1, 2
Min

t
f t m
ộ ự
ẻ
ở ỷ
.Do
( )
( )
2
2
2
0
1
t t
f t
t
+
Â
= >
+
nờn f(t)ngbin/ 1, 2
ộ ự
ở ỷ
ị
( )
( )
1, 2
3
Min 1
2

t
f t f
ộ ự
ẻ
ở ỷ
= =
ị
3
2
m Ê ị
3
Max
2
m =
Bi6.
Giiphngtrỡnh
2 2
sin cos
2008 2008 cos 2
x x
x - =
2 2 2 2
sin cos 2 2 sin 2 cos 2
2008 2008 cos sin 2008 sin 2008 cos
x x x x
x x x x - = - + = +
(*)
Xột
( )
2008

u
f u u = + .Tacú
( )
2008 .ln 1 0
u
f u u
Â
= + > .Suyra
( )
f u ngbin.(*)
( ) ( )
2 2 2 2
sin cos sin cos cos 2 0f x f x x x x = = = ,
4 2
k
x k
p p
= + ẻÂ
Bi7.Tỡm
( )
, 0,x y ẻ p thamónh
cotg cotg
3 5 2
x y x y
x y
- = -
ỡ
ớ
+ = p
ợ

Gii. cotg cotg cotg cotgx y x y x x y y - = - - = - .
Xộthmsctrng
( )
( )
cotg , 0,f u u u u = - ẻ p .Tacú
( )
2
1
1 0
sin
f u
u
Â
= + > .
Suyra
( )
f u ngbintrờn
( )
0, p .Khiú
( )
( )
4
3 5 2
f x f y
x y
x y
ỡ =
p
= =
ớ

+ = p
ợ
Bi8.Giih phngtrỡnh
3 2
3 2
3 2
2 1
2 1
2 1
x y y y
y z z z
z x x x
ỡ
+ = + +
ù
+ = + +
ớ
ù
+ = + +
ợ
(*).
Gii.Xột
( )
3 2
f t t t t = + + vi
t ẻĂ
ị
( ) ( )
2
2

2 1 0f t t t
Â
= + + > ịf(t)tng.
Khụngmttớnhtngquỏtgisx Êy Ê z
ị
( )
( )
( )
f x f y f z Ê Ê ị 2 1 2 1 2 1z x y z x y + Ê + Ê + Ê Ê ịx =y =z = 1
Bi9.Giihbtphngtrỡnh
2
3
3 2 1 0
3 1 0
x x
x x
ỡ
+ - <
ù
ớ
- + >
ù
ợ
Gii.
2
1
3 2 1 0 1
3
x x x + - < - < < .t
( )

3
3 1f x x x = - + .Tacú:
( ) ( )( )
3 1 1 0f x x x
Â
= - + < ị
( )
f x gimv
( )
(
)
(
)
1 1 1
0, 1,
3 27 3
f x f x > = > " ẻ -
II. DNG2:NGDNGTRONGCHNGMINHBTNGTHC
Bi1.Chngminhrng:
3 3 5
sin
3! 3! 5!
x x x
x x x - < < - + "x>0
Gii
3
sin
3!
x
x x - < "x>0

( )
3
sin 0
3!
x
f x x x = - + > "x>0
Tacú
( )
2
1 cos
2!
x
f x x
Â
= - + ị
( )
sinf x x x
ÂÂ
= - ị
( )
1 cos 0f x x
ÂÂÂ
= - "x>0
ị
( )
f x
ÂÂ
ngbin[0,+Ơ) ị
( ) ( )
0 0f x f

ÂÂ ÂÂ
> = "x>0
ị
( )
f x
Â
ngbin[0,+Ơ) ị
( ) ( )
0f x f
 Â
> =0 "x>0
ị
( )
f x ngbin[0,+Ơ) ịf(x)>f(0)=0 "x >0 ị(pcm)

3 5
sin
3! 5!
x x
x x < - + "x>0 g(x)=
5 3
sin 0
5! 3!
x x
x x - + - > "x>0
TacúgÂ(x)=
4 2
1 cos
4! 2!
x x

x - + - ịgÂÂ(x)=
3
sin
3!
x
x x - + =f(x)>0 "x>0
ịgÂ(x)ngbin[0,+Ơ) ịgÂ(x)>gÂ(0)=0 "x>0
ịg(x)ngbin [0,+Ơ) ị g(x)>g(0)=0 "x>0 ị(pcm)
Bi2.Chngminhrng:
2
sin 0,
2
x
x x
p
ổ ử
> " ẻ
ỗ ữ
p
ố ứ
Gii.
2 sin 2
sin ( )
x x
x f x
x
> = >
p p
"xẻ 0,
2

p
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
.Xộtbiuthcohm
2 2
( )
cos sin
( )
g x
x x x
f x
x x
-
Â
= = ,õykớhiug(x)=xcosx -sinx
TacúgÂ(x)=cosx -xsinx -cosx = - xsinx<0 "xẻ 0,
2
p
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
ịg(x)gimtrờn 0,
2
p
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
ịg(x)<g(0)=0
ị

( )
2
( )
0
g x
f x
x
Â
= < "xẻ 0,
2
p
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
ịf(x)gimtrờn 0,
2
p
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
ị
( )
(
)
2
2
f x f
p
> =
p

2
sin , 0,
2
x
x x
p
ổ ử
> " ẻ
ỗ ữ
p
ố ứ
Bi3.Chngminhrng:
2 ln ln
x y x y
x y
+ -
>
-
"x >y>0
Gii.Do x >y>0,lnx >lny lnx - lny>0, nờnbinibtngthc

1
ln ln 2 ln 2
1
x
x y yx
x y
x
x y y

y
-
-
- > ì > ì
+
+

1
ln 2
1
t
t
t
-
> ì
+
vi
x
t
y
= >1

1
( ) ln 2 0
1
t
f t t
t
-
= - ì >

+
"t>1. Tacú
( )
( )
( )
( )
2
2 2
1 4 1
0
1 1
t
f t
t
t t t
-
Â
= - = >
+ +
"t>1
ịf(t)ngbin[1,+Ơ) ịf(t)>f(1)=0 "t >1 ị(pcm)
Bi4.Chngminhrng:
1
ln ln 4
1 1
y x
y x y x
ổ ử
- >
ỗ ữ

- - -
ố ứ
( )
, 0,1x y
x y
ỡ
" ẻ
ù
ớ
ạ
ù
ợ
(1)
Gii.Xộthaikhnngsauõy:
+Nuy>xthỡ (1)
( )
ln ln 4
1 1
y
x
y x
y x
- > -
- -
ln 4 ln 4
1 1
y x
y x
y x
- > -

- -
+Nuy<xthỡ (1)
( )
ln ln 4
1 1
y
x
y x
y x
- < -
- -
ln 4 ln 4
1 1
y x
y x
y x
- < -
- -
Xộthmctrng f(t)= ln 4
1
t
t
t
-
-
vitẻ(0,1).
Tacú
( )
( )
2

1 2 1
4 0
(1 ) (1 )
t
f t
t t t t
-
Â
= - = >
- -
"tẻ(0,1) ịf(t)ngbin(0,1)
ịf(y)>f(x)nu y >xvf(y)<f(x)nu y<x ị(pcm)
Bi5.Chngminhrng:
b a
a b < "a>b e
Gii. a
b
<b
a
lna
b
<lnb
a
blna<alnb
ln lna b
a b
< .
Xộthmctrng f(x)=
ln x
x

"x e.
Tacú
2 2
1 ln 1 ln
( ) 0
x e
f x
x x
- -
Â
= Ê = ị f(x)nghchbin[e,+Ơ)
ị f(a)<f(b)
ln lna b
a b
< a
b
<b
a
Bi6.(TSHkhiD,2007)
Chngminhrng
( ) ( )
1 1
2 2 , 0
2 2
b a
a b
a b
a b + Ê + " >
Gii.Binibtngthc
( ) ( )

1 1 1 4 1 4
2 2
2 2 2 2
b a
b a
a b
a b
a b a b
ổ ử ổ ử
+ +
+ Ê + Ê
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
ln 1 4 ln 1 4
1 4 1 4 ln 1 4 ln 1 4
a b
b a b a
a b a b
a b
+ +
+ Ê + + Ê + Ê .
Xộthmsctrngchohaiv
( )
( )
ln 1 4
x
f x
x

+
= vi
0x >
.Tacú
( )
( ) ( )
( )
2
4 ln 4 1 4 ln 1 4
0
1 4
x x x x
x
f x
x
- + +
Â
= <
+
( )
f x ị gimtrờn
( )
( ) ( )
0, f a f b +Ơ ị Ê
Bi7.(BtngthcNesbitt)
Chngminhrng:
3
2
a b c
b c c a a b

+ +
+ + +
"a, b,c>0(1)
Gii.Khụngmttớnhtngquỏt,gisa b c.t x=a ịx b c>0.
Tacú(1) f (x)=
x b c
b c c x x b
+ +
+ + +
vix b c>0
ị
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1
( ) 0
b c b c
f x
b c b c
x c x b b c b c
Â
= - - > - - =
+ +
+ + + +
ịf(x)ngbin[b,+Ơ) ị
2
( ) ( )
b c
f x f b
b c
+

=
+
(2)
t x=b ịx c>0,xộthmsg(x)=
2x c
x c
+
+
vix c>0
ị
( )
2
( ) 0
c
g x
x c
Â
= >
+
"c>0 ịg(x)ngbin[c,+Ơ) ị
3
( ) ( )
2
g x g c = (3)
T(2),(3)suyra
3
2
a b c
b c c a a b
+ +

+ + +
"a,b,c>0
Bỡnhlun:BtngthcNesbittrainm 1905vlmtbtng thcrtnitingtrong
sutthk20.Trờnõylmtcỏchchngminhbtngthcnytrong 45cỏchchngminh.
Bnccúthxemthamkhoycỏccỏchchngminhtrongcunsỏch:Nhngviờnkim
cngtrongbtngthcToỏnhccatỏcgidoNXBTrithcphỏthnhthỏng 3/2009
BI3.GITRLNNHT,NHNHTCAHMS
A.GI TRLNNHT,NHNHTCAHMS
I.TểMTTLíTHUYT
1.Bitoỏnchung:Tỡmgiỏtrnhnhthoclnnhtcahms
( )
f x
Bc1:Doỏnvchngminh
( ) ( )
f x c f x c Ê
Bc2:Chra1iukin
( )
f x c =
2.Cỏcphngphỏpthngsdng
Phngphỏp1:Binithnhtngcỏcbỡnhphng
Phngphỏp2:Tamthcbchai.
Phngphỏp3:Sdngbtngthccin:CụsiBunhiacụpski
Phngphỏp4:Sdngohm.
Phngphỏp5:Sdngibinlnggiỏc.
Phngphỏp6:Sdngphngphỏpvộctvhta
Phngphỏp7:Sdngphngphỏphỡnhhcvhta.
II.CCBITPMUMINHHA:
Bi1.
TỡmgiỏtrnhnhtcaP(x,y)=x
2

+11y
2
-6xy +8x - 28y +21
G ii.
Binibiuthcdidng
P(x,y)=(x -3y+4)
2
+2(y -1)
2
+3 3
TúsuyraMinP(x,y)=3
1 0 1
3 4 0 1
y y
x y x
- = =
ỡ ỡ

ớ ớ
- + = = -
ợ ợ
Bi2.
Cho x,y>0.Tỡmgiỏtrnhnhtca: S =
4 2
4 2
4 4 2 2
y y yx x x
y x
y x y x
+ - - + +

G ii.
2
2
2 2
2 2
2 2 2 2
1 1 2
y y y
x
x x
S
y x
y x y x
ổ ử
ổ ử
= - + - - + + + +
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
ố ứ
S
2
2
2
2
2
2 2
1 1 2 2
y y y
x x

x
y x y x
y x
ổ ử
ổ ử ổ ử
ổ ử
= - + - + - + + - +
ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
ố ứ ố ứ
ố ứ
S
2
2
2
2 2
2
2 2
( )
1 1 2 2
y y x y
x
x
y x xy
y x
ổ ử
-
ổ ử

ổ ử
= - + - + - + +
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
ố ứ
ố ứ
.
Vi x=y>0 thỡ MinS=2
Bi3.
Tỡmgiỏtrlnnhtcahms
2 2 2
sin sin sin ( )S x y x y = + + +
G ii.
2 2 2
sin sin sin ( )S x y x y = + + + =
2
1 cos 21 cos 2
1 cos ( )
2 2
yx
x y
- -
+ + - +
S
2 2
9 1
2 cos( )cos( ) cos ( ) cos( )cos( ) cos ( )
4 4

x y x y x y x y x y x y
ộ ự
= - + - - + = - + + - + +
ờ ỳ
ở ỷ
S
2
29 9
1 1
cos( ) cos( ) sin ( )
4 2 4 4
x y x y x y
ộ ự
= - - + + - - Ê
ờ ỳ
ở ỷ
.
Vi
3
x y k
p
= = + p, (kẻZ)thỡ
9
Max
4
S =
Bi4. Tỡmgiỏtrnhnhtcabiuthc
2 2 2 2
1 2 3 8 1 2 2 3 6 7 7 8 8
( )S x x x x x x x x x x x x x = + + + + - + + + + +

G ii.
2 2 2 2
1 2 2 3 3 4 4 5
1 3 2 4 3 5 4
2 4 3 6 4 8 5
S x x x x x x x x
ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
= - + - + - + - +
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
2 2 2 2
5 6 6 7 7 8 8
6 5 7 6 8 7 9 8 4 4
10 6 12 7 14 8 16 9 9 9
x x x x x x x
ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
+ - + - + - + - - -
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
Với
1 2 2 3 6 7 7 8 8
1 2 6 7 8
; ; ; ; ;
2 3 7 8 9
x x x x x x x x x = = = = = ,thì
4
Min
9
S = -
Bài5. Cho , ,x y z Ρ .Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức:

S=19x
2
+54y
2
+16z
2
-16xz -24y+36xy
Giải.BiếnđổiS Ûf(x)=19x
2
-2(8z -18y)x +54y
2
+16z
2
-24y
Tacó D¢
x
= g(y)=(8z -18y)
2
- (54y
2
+16z
2
- 24y)= -702y
2
+168zy - 240z
2
Þ D¢
y
=(84z)
2

-702.240z
2
= -161424z
2
£0 "zÎR Þg(y) £0 "y, zÎR
Suyra D¢
x
£ 0 "y, zÎR Þ f(x) ³ 0.Với 0x y z = = = thì
0MinS =
Bài6.Chox
2
+xy+y
2
=3. Tìmgiátrịlớnnhấtvànhỏnhấtcủabiểuthức:
S= x
2
- xy+y
2
Giải Xét y =0 Þx
2
=3 ÞS=3là1giátrịcủahàmsố.
Xéty ¹0,khiđóbiếnđổibiểuthứcdướidạngsauđây
( )
2
2 2 2
2 2 2 2
/ ( / ) 1
1
3
( / ) ( / ) 1 1

x y x y
x xy y
S t t
u u
x xy y x y x y t t
- +
- +
- +
= = = = =
+ + + + + +
với
x
t
y
=
Û u(t
2
+t+1)=t
2
-t+1 Û(u - 1)t
2
+(u +1)t+(u -1)=0(*)
+Nếuu=1,thì t=0 Þx=0, y= 3 ± Þu=1là1giátrịcủahàmsố
+Nếuu ¹1,thì uthuộctậpgiátrịhàmsố Û phươngtrình(*)cónghiệm t
Û D=(3u -1)(3 -u) ³0 Û
1
1 3
3
u £ ¹ £ .
Vậytậpgiátrịcủa ulà

1
, 3
3
é ù
ê ú
ë û
Þ
1
Min
3
u = ;Maxu=3
MinS=1 Û
1
Min
3
u = Ût=1 Þ
2 2
1
3
x y
x y
x xy y
=
ì
ï
Û = = ±
í
+ + = ï
î
MaxS=9 ÛMaxu=3 Ût= -1 Þ

2 2
3, 3
3
3, 3
x y
x y
x xy y
x y
é
= -
ì
= = -
ï
ê
Û
í
ê
+ + =
ï
= - =
î
ë
Bài7.Chox,yÎRthỏamãnđiềukiện
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
1 4  0x y x y x y - + + - + =
Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủabiểuthứcS=
2 2
x y +

Giải. Biếnđổi
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 4 0x y x y x y x y - + - + + - + =
Û
( ) ( )
2
2 2 2 2 2
3 1 4 0x y x y x + - + + + = Û
( ) ( )
2
2 2 2 2 2
3 1 4x y x y x + - + + =-
Do -4x
2
£ 0nên
( ) ( )
2
2 2 2 2
3 1 0x y x y + - + + £ Û
2 2
3 5 3 5
2 2
x y
- +
£ + £
Vớix=0, y=
3 5
2

-
± ,thì
2 2
3 5
Min( )
2
x y
-
+ = .
Vớix=0, y=
3 5
2
+
± ,thì
2 2
3 5
Max( )
2
x y
+
+ =
Bài8
.
Tìmgiátrịnhỏnhấtcủahàmsố
( )
2
4 2 1f x x x x = + + +
G iải.
Gọiy
0

là1giátrịcủahàm f(x)
Þtồntạix
0
saocho y
0
=
2
0 0 0
4 2 1x x x + + +

2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 2 1 2 4 2 1y x x x y y x x x x - = + + ị - + = + +
g(x
0
)=
2 2
0 0 0 0
3 2(1 ) 1 0x y x y + + + - = .Tacú g(x)=0cúnghim x
0
DÂ=
2 2 2
0 0 0 0
(1 ) 3(1 ) 2(2 1)y y y y + - - = + - =
0 0
2( 1)(2 1) 0y y + -
Do y
0
=
2 2 2

0 0 0 0 0 0 0
3 ( 1) 3 3 0x x x x x x x + + + + = + nờn
DÂ 0 2y
0
- 1 0
0
1
2
y .Vi x=
1
2
- thỡ Minf(x)=
1
2
Bi9.Cho
( )
2
5 4 .y f x x x mx = = - + +
TỡmcỏcgiỏtrcamsaochoMin 1y >
Gii.Tacú
( )
( )
( )
( )
( )
2
1
2
2
5 4 x 1 4 :

5 4 1 4 :
x m x x P
f x
x m x x P
ỡ
+ - + Ê
ù
=
ớ
- + + - Ê Ê
ù
ợ
Gi(P)lthca y =f(x) ị(P)=(P
1
) ẩ (P
2
) khiú(P)cú1trongcỏchỡnhdngthsau
õy
Honhcacỏcimcbittrongth(P):
Honhgiaoim (P
1
),(P
2
) x
A
=1x
B
=4Honhnh(P
1
):

5
2
C
m
x
-
= .
Nhỡnvothtaxộtcỏckhnngsau:
Nu x
C
ẻ[x
A
,x
B
] mẻ[ -3,3] thỡ Minf(x)=Min{f(1),f(4)}.
Khiú Minf(x)>1
3 3
(1) 1
(4) 4 1
m
f m
f m
- Ê Ê
ỡ
ù
ù
= >
ớ
ù
= >

ù
ợ
1<m Ê 3(1)
Nu x
C
ẽ[x
A
, x
B
] mẽ[ -3,3]thỡ Minf(x)=
( )
1 1
5
2
C
m
f x f
-
ổ ử
=
ỗ ữ
ố ứ
=
2
10 9
4
m m - + -
Khiú Minf(x)>1
2
[ 3,3]

3 5 2 3
10 13 0
m
m
m m
ẽ -
ỡ
ù
< < +
ớ
- + < ù
ợ
(2)
Ktlun
:
T(1)v(2)suyra Minf(x)>1
3 2 5 m 1 + < <
Bi10. (thiTSH2005khiA)
Cho , , 0x y z >
1 1 1
4
x y z
+ + = .TỡmMincaS
1 1 1
2 2 2x y z x y z x y z
= + +
+ + + + + +
Gii:SdngbtngthcCụsichocỏcsa,b,c,d>0tacú:
( )
(

)
4
4
16
1 1 1 1 1 1 1 1 1
4. .4. 16a b c d abcd
a b c d abcd a b c d a b c d
+ + + + + + = ị + + +
+ + +
A
B
C
P
2
P
1
A
B
C
P
2
P
1
A
B
C
P
1
P
2

16 16
1 1 1 1
2
16 16
1 1 1 1
2
16 16
1 1 1 1
2
1 1 1 1 1 1
16 4 16 Min 1
2 2 2
x x y z x x y z x y z
x y y z x y y z x y z
x y z z x y z z x y z
S
x y z x y z x y z x y z
ì
+ + + ³ =
ï
+ + + + +
ï
ï
+ + + + ³ =
í
+ + + + +
ï
ï
+ + + ³ =
ï

+ + + + +
î
æ ö æ ö
= + + ³ + + Þ =
ç ÷ ç ÷
+ + + + + +
è ø è ø
Bài11. (ĐềthiTSĐH2007khốiB)
Cho , , 0x y z > .TìmMincủaS
1 1 1
2 2 2
y
x
z
x y z
yz zx xy
æ ö
æ ö æ ö
= + + + + +
ç ÷
ç ÷ ç ÷
è ø
è ø è ø
Giải: SửdụngbấtđẳngthứcCôsicho9sốtacó
S
4 4 4
2 2 2
9
4 4 4
9 9 91

. Min
2 2 2 2
y y x y z
x x z z
x y z S
yz yz zx zx xy xy
x y z
æ ö
= + + + + + + + + ³ = Þ =
ç ÷
è ø
Bài12.
Cho
, 0
1
x y
x y
>
ì
ï
í
+ =
ï
î
TìmgiátrịnhỏnhấtcủaS=
1 1
yx
x y
+
- -

Giải:
( ) ( ) ( )
2
yx
S y x x y x y x y x y
y x
æ ö æ ö
= + + + - + ³ + - + = +
ç ÷
ç ÷
è ø
è ø
Mặtkhác, S=
1 1
yx
x y
+
- -
=
1 1y x
y x
- -
+ =
( )
1 1
x y
x y
æ ö
+ - +
ç ÷

ç ÷
è ø
Suyra2S ³
1 1
x y
+ ³
4
2 2
2 2
2
xy x y
³ =
+
Þ 2S ³ ÞMinS= 2.
Bài13.
Chox,y,z>0.TìmMaxcủa:S=
( )
( )
2 2 2
2 2 2
( )
xyz x y z x y z
x y z xy yz zx
+ + + + +
+ + + +
Giải:SửdụngbấtđẳngthứcCôsivàBunhiaCôpskitacó3đánhgiásau:
2 2 2 2 2 2
3
3x y z x y z + + ³ ×
;

2 2 2
3
3
3. . . 3.xy yz zx xy yz zx x y z + + ³ =
( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 3.x y z x y z x y z + + £ + + + + = + + .Từđósuyra
( )
( )
2 2 2
3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 3
3
1 3
1 3 1 3 3 3
3 3 9
3.
3.
xyz x y z xyz xyz
S
xyz
x y z x y z x y z
+ + +
+ + +
£ = × £ × =
+ + + +
Bài14.(ĐềthiTSĐH2003khốiB)
Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủahàmsố
2

4y x x = + -
.
Cỏch1:Tpxỏcnh
[ ]
22D = -
2
2
1 0 4
4
x
y y x x
x
 Â
= - = = -
-
2 2
0
2
4
x
x
x x

ỡ
ù
=
ớ
= -
ù
ợ

ị
max 2 2
min 2
y
y
ỡ
=
ù
ớ
= -
ù
ợ
Cỏch2:t 2sin ,
2 2
x u u
p p
ộ ự
= ẻ -
ờ ỳ
ở ỷ
ị
( )
( )
2 sin cos 2 2 sin 22 2
4
y u u u
p
ộ ự
= + = + ẻ -
ở ỷ

max 2 2 min 2y y = = -
Bi15.(dbTSH2003khiB)
Tỡmgiỏtrlnnht,nhnhtca
( )
3
6 2
4 1y x x = + - trờnon
[ ]
11 -
Cỏch1.t
[ ]
2
01u x = ẻ .Tacú
( )
3
3 3 2
4 1 3 12 12 4y u u u u u = + - = - + - +
[ ]
2
1 2
2
9 24 12 0 01 2 1
3
y u u u u
Â
= - + - = = ẻ = >
Nhỡnbngbinthiờntacú
4
max 4min
9

y y = =
Cỏch2.t
6 6
sin sin 4cosx u y u u = ị = + .
( ) ( )
6 6 6 2 2
sin cos 3 cos sin cos 3 4u u u u u = + + Ê + + =
Vi
0x =
thỡ max 4y = .SdngbtngthcCụsitacú:
6 6 2
3
6 6 2
3
8 8 8 8
4
sin 3 sin sin
27 27 27 27 3
4 4 4 4 4
4cos 3 4cos cos
27 27 27 27 3
u u u
u u u
ỡ
+ + ì ì ì =
ù
ù
ớ
ù
+ + ì ì ì =

ù
ợ
( )
6 6 2 2
8 4 4 4
sin 4cos sin cos
9 3 3 9
y u u u u y = + + + = ị .Vi
2 4
min
3 9
x y = ị =
Bi16.a)Lpbngbinthiờnvtỡmgiỏtrlnnhtcahms
2
3
1
x
y
x
+
=
+
b)Cho
1a b c + + =
.Chngminhrng:
2 2 2
1 1 1 10a b c + + + + +
Gii.a)TX: D = Ă
( )
( )

2 2
1 3 1 1
0 10
3 3
1 1
x
y x y
x x
-
Â
= = = ị =
+ +
( ) ( )
2
2
2
3 / 3 /
lim lim lim lim
1
1
1
x x x x
x x x x
x
y
x
x
x
x
đƠ đƠ đƠ đƠ

+ +
= = =
+
+
.
Suyra lim 1 lim 1
x x
y y
đ+Ơ đ-Ơ
= = - .NhỡnBBT
tacú
2
3
10 max 10
1
x
y y
x
+
= Ê ị =
+
b)Theophna)thỡ 10 ,y x Ê "
2
3 10. 1 ,x x x + Ê + " .
cbithúabtngthcnyticỏcgiỏtr , ,x a x b x c = = = tacú:
2
2
2
: 3 10. 1
: 3 10. 1

: 3 10. 1
x a a a
x b b b
x c c c
ỡ
= + Ê +
ù
ù
ớ
= + Ê +
ù
ù
= + Ê +
ợ
( )
2 2 2
9 10. 1 1 1a b c a b c + + + Ê + + + + +
2 2 2
10 1 1 1a b c Ê + + + + +
x
-Ơ
1/3
+Ơ
y
Â
+ 0
-
0
y
-1

10
1
x
0
2
3
1
y
Â
0
-
0
+
0
y
4
4
1
x
-
2
2
2
y
Â
+ 0
-
0
y
-2

2 2
2
Cách2.TrênmặtphẳngtọađộOxyđặt
( ) ( ) ( )
;1 ; ;1 ; ;1OA a AB b BC c = = =
uur uuur uuur
.
Khiđó
( )
; 3OC OA AB BC a b c = + + = + +
uuur uur uuur uuur
.
Do OA AB BC OA AB BC OC + + ³ + + =
uur uuur uuur uur uuur uuur uuur
Từđósuyra
2 2 2
1 1 1 10a b c + + + + + ³
Bài17.(Đề33III.2,BộđềthiTSĐH1987–1995)
Cho
2 2
1x y + = .TìmMax,MincủaA = 1 1x y y x + + + .
Giải. 1. Tìm MaxA:SửdụngbấtđẳngthứcBunhiaCôpskitacó
A £
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
1 1 2 2 2 2 2x y y x x y x y
é ù

+ + + + = + + £ + + = +
ë û
.
Với
1
2
x y = = thìMaxA = 2 2 +
2. Tìm MinA:Xét2trườnghợpsauđây
• Trườnghợp1:Nếu 0xy ³ ,xét2khảnăngsau:
+)Nếu 0, 0x y ³ ³ thìA>0 Þ
Min 0A >
+)Nếux £0,y £0thì
|A| £
[ ]
2 2
( ) (1 ) (1 ) 2x y x y x y + + + + = + + =
( )
2 2
2 2 1x y x y - - £ - + =
Từ2khảnăngđãxétsuyravới 0xy ³ thìMinA = -1
• Trườnghợp2: Xét 0xy < :Đặt x y t + = Þ
2
1
0
2
t
xy
-
= < Þ
( )

1,1t Î -
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
1 2 1 1 1 1 2 1A x y xy x y y x xy x y xy x y xy = + + + + + + = + + + + + +
=
2 2 2
1 1 1
1 2 1
2 2 2
t t t
t t
- - -
+ × + × + +
( )
2
1
1 2 2 1
2
t
t
-
é ù
= + + +
ë û
Û
( )

( ) ( )
2 3 2
1
1 2 2 1 2 2 2
2
A f t t t t
é ù
= = + + - + + -
ë û
Tacó:
( )
( )
2
1 2
3 1 2
1 2 1 2
2 0 ; 2 1
2 2 3
f t t t t t t t
+
+ +
¢
= + - = Û = = - = = -
Thế
1 2
,t t vàophầndưcủa
( )
f t chiacho
( )
f t

¢
Þ
( )
( )
( )
1 2
2 19 3 2
; 0
27
f t f t
-
= =
.
Nhìnbảngbiếnthiênsuyra:
( ) ( )
2
1 1
A f t A f t £ Þ ³ - suyra
( )
( )
1
2 19 3 2
Min 1
27
A f t
-
= - = - < -
xảyra Û
1
x y t + = ;

2
1
1
2
t
xy
-
=
Þx,ylànghiệmcủa
2
1 2 2 3
0
3 9
u u
+ -
+ + = Þ
( )
1 2 15 2 2
,
6
x y
- + ± -
=
Kếtluận:MaxA = 2 2 + ;
( )
2 19 3 2
Min
27
A
-

= -
Bài18.Cho
[ ]
, , 0,1x y z Î thoảmãnđiềukiện:
3
2
x y z + + = .
TìmMax,Mincủabiểuthức:
( )
2 2 2
cosS x y z = + +
t
-1
t
1
t
2
1
¦¢ +
0
-
0
+
¦
1
( )
1
f t
( )
2

f t
1
a
a+
b
a+b+c
C
A
B
1
2
3
O
x
1
y
Giải.Do
[ ]
, , 0,1x y z Î nên
2 2 2
3
0
2 2
x y z x y z
p
< + + < + + = < .
Vìhàmsố cosy = a nghịchbiếntrên
( )
0,
2

p
nênbàitoántrởthành.
1. Tìm MaxShaytìm Min
( )
2 2 2
x y z + +
( )
( )
( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
31
1 1 1
3 4
x y z x y z x y z + + = + + + + ³ + + = .
Với
1
2
x y z = = = thìMaxS=
3
cos
4
2.Tìm MinShaytìm Max
( )
2 2 2
x y z + +
Cách1:Phươngpháptamthứcbậchai:
Khôngmấttínhtổngquátgiảsử
{ }
1

, , ;1
2
z Max x y z z
é ù
= Þ Î
ê ú
ë û
.Biếnđổivàđánhgiáđưavềtam
thứcbậchaibiếnz
( )
( )
( )
2
2
2 2 2 2 2 23 9
2 2 3
2 4
x y z z x y xy z z z z f z + + = + + - ³ + - = - + =
Dođồthịhàmy=f(z)làmộtparabolquaybềlõmlêntrênnêntacó:
( )
(
)
( )
{ }
(
)
( )
5
1 1
Max Max ; 1 1

2 2 4
f z f f f f = = = = .
Với
1
1; ; 0
2
z x y = = = thìMinS=
5
cos
4
Cách2:Phươngpháphìnhhọc
XéthệtọaĐềcácvuônggócOxyz.Tậphợpcácđiểm
( )
, ,M x y z thoảmãnđiềukiện
[ ]
, , 0,1x y z Î nằmtronghìnhlậpphươngABCDA¢B¢C¢Ocạnh1vớiA(0,1,1);B(1,1,1);C(1,0,
1);D(0,0,1);A¢(0,1,0);B¢(1,1,0);C¢(1,0,0).
Mặtkhácdo
3
2
x y z + + = nên
( )
, ,M x y z nằmtrênmặtphẳng(P):
3
2
x y z + + =
Vậytậphợpcácđiểm
( )
, ,M x y z thoảmãnđiềukiệngiảthiếtnằmtrênthiếtdiệnEIJKLNvới
cácđiểmE,I,J,K,L,Nlàtrungđiểmcáccạnhhìnhlậpphương.GọiO¢làhìnhchiếucủaOlên

EIJKLNthìO¢làtâmcủahìnhlậpphươngvàcũnglàtâmcủalụcgiácđềuEIJKLN.TacóO¢M
làhìnhchiếucủaOMlên EIJKLN.DoOM
2
=
2 2 2
x y z + + nênOMlớnnhất ÛO¢Mlớnnhất
ÛMtrùngvới1trong6đỉnhE,I,J,K,L,N.
Từđósuyra:
(
)
2 2 2 2
5
1
1
4 4
x y z OK + + £ = + =
( )
( )
2 2 2
5
cos cos
4
x y z Þ + + ³
Với
1
1; ; 0
2
z x y = = = thìMinS=
5
cos

4
Bài19.Choa,b,c 0 > thỏamãnđiềukiện
3
a b c
2
+ + £
Tìmgiátrịnhỏnhấtcủa
2 2 2
2 2 2
1 1 1
S a b c
b c a
= + + + + +
Giải.Sailầmthườnggặp:
y
3/2
O
E
1
1
K
3/2
J
M
z
x
I
L
N
3/2

1
O¢
2 2 2 2 2 2
3
6
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
3. 3.S a b c a b c
b c a b c a
ổ ửổ ửổ ử
+ ì + ì + = + + +
ỗ ữỗ ữỗ ữ
ố ứố ứố ứ
6
2 2 2
6
2 2 2
1 1 1
3. 2 2 2 3. 8 3 2 Min 3 2a b c S
b c a
ổ ửổ ửổ ử
ì ì ì ì ì ì = = ị =
ỗ ữỗ ữỗ ữ
ỗ ữỗ ữỗ ữ
ố ứố ứố ứ
ã Nguyờnnhõn:
1 1 1 3
Min 3 2 1 3
2
S a b c a b c

a b c
= = = = = = = ị + + = > mõuthunvigithit
ã Phõntớchvtỡmtũiligii:
DoSlmtbiuthcixngvi a,b,c nờndoỏnMinStti
1
2
a b c = = =

Simri:
1
2
a b c = = =
ị
2 2 2
2 2 2
1
4
1 1 1 4
a b c
a b c
ỡ
= = =
ù
ù
ớ
ù
= = =
ù
a
a a a

ợ
ị
1 4
4
=
a
ị
16 a =
Cỏch1: BinivsdngbtngthcCụsitacú
2 2 2
2 2 2 2 2 2
16 16 16
1 1 1 1 1 1

16 16 16 16 16 16
S a b c
b b c c a a
= + + + + + + + + + + +
1442443 1442443 144424443
2 2 2
17 17 17
17 17 17
16 32 16 32 16 32 8 16 8 16 8 16
17 17 17 17
16 16 16 16 16 16
a b c a b c
b c a b c a
ộ ự
ì + ì + ì = + +
ờ ỳ

ở ỷ
3
17 17 17 17
8 16 8 16 8 16 8 5 5 5
1
17 3 3 17
16 16 16 16
a b c
b c a a b c
ộ ự
ờ ỳ
ì ì ì =
ờ ỳ
ở ỷ
( )
17
5 15
17
3 17 3 17 3 17
2
2 (2 2 2 )
2 2 2
2
3
a b c
a b c
=
ì
+ +
ì

.Vi
1
2
a b c = = = thỡ
3 17
Min
2
S =
Cỏch2: BinivsdngbtngthcBunhiaCụpskitacú
( )
( )
( )
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 4
1 4
17 17
1 1 1 1 4
1 4
17 17
1 1 1 1 4
1 4
17 17
a a a
b
b b

b b b
c
c c
c c c
a
a a
ỡ
ổ ử ổ ử
+ = ì + + ì +
ù
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
ù
ù
ù
ổ ử ổ ử
+ + = ì + + ì +
ớ
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
ù
ù
ổ ử ổ ử ù
+ = ì + + ì +
ỗ ữ ỗ ữ
ù
ố ứ ố ứ
ợ
ị
1 4 4 4

17
S a b c
a b c
ổ ử
ì + + + + +
ỗ ữ
ố ứ
1 1 1 1 15 1 1 1
4 4 4 4
17
a b c
a b c a b c
ộ ự
ổ ử
= ì + + + + + + + +
ỗ ữ ờ ỳ
ố ứ
ở ỷ
6 3
3
1 1 1 1 15 1 1 1 1 45 1
6 3 3
4 4 4 4 4
17 17
abc
a b c a b c
abc
ộ ự
ổ ử
ổ ử

ì ì ì ì + ì ì ì = + ì
ờ ỳ
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
ở ỷ
ố ứ
1 45 1 1 45 3 17
3 3 2
4 4 2
17 17
3
a b c
ổ ử ổ ử
+ ì + ì =
ỗ ữ
ỗ ữ
+ +
ố ứ
ỗ ữ
ố ứ
.Vi
1
2
a b c = = = thỡ
3 17
Min
2
S =
Cỏch3: t

(
)
(
)
(
)
1 1 1
, , ,u a v b w c
b c a
= = =
uur uur uuur
Do u v w u v w + + + +
uur uur uuur uur uur uuur
nờnsuyra:
( )
2
2
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
S a b c a b c
a b c
b c a
ổ ử
= + + + + + + + + + +
ỗ ữ
ố ứ
=
( )
2 2

2
1 1 1 1 15 1 1 1
16 16
a b c
a b c a b c
ổ ử ổ ử
+ + + + + + + +
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ

( )
( )
2
3
15
1 1 1 1 1 1 1
2 3
4
16
a b c
a b c a b c
ổ ử
+ + ì ì + + + ì ì ì
ỗ ữ
ố ứ

( )
3
3
2

3
1 135 1
1 1 1
3 3
2 16
abc
a b c
abc
ì ì ì ì ì ì + ì
( )
2
9 135
1
2 16
3
a b c
+ ì
+ +

9 135 18 135 153 3 17
4
2 16 4 4 4 2
+ ì = + = = .Vi
1
2
a b c = = = thỡ
3 17
Min
2
S =

B.CCNGDNGGTLN,GTNNCAHMS
I.NGDNGTRONGPHNGTRèNH,BTPHNGTRèNH
Bi1.
Giiphngtrỡnh:
4 4
2 4 2x x - + - =
Gii.t
( )
4 4
2 4f x x x = - + - vi
2 4x Ê Ê
( )
( ) ( )
3 3
4 4
1 1 1
0 3
4
2 4
f x x
x x
ộ ự
Â
= - = =
ờ ỳ
- -
ở ỷ
NhỡnBBTsuyra:
( ) ( )
[ ]

3 2 2, 4f x f x = " ẻ
ịPhngtrỡnh
( )
4 4
2 4 2f x x x = - + - = cúnghimduynhtx =3
Bi2.
Giiphngtrỡnh: 3 5 6 2
x x
x + = +
Gii.PT
( )
3 5 6 2 0
x x
f x x = + - - = .Tacú:
( )
3 ln 3 5 ln 5 6
x x
f x
Â
= + -
ị
( ) ( ) ( )
2 2
3 ln 3 5 ln 5 0
x x
f x
ÂÂ
= + >
x " ẻ Ă
ị ƯÂ(x)ngbin

Mtkhỏc ƯÂ(x)liờntcv
( )
0 ln3 ln5 6 0f
Â
= + - < ,
( )
1 3ln 3 5ln5 6 0f
Â
= + - >
ịPhngtrỡnh ƯÂ(x) =0cúỳng1nghim x
0
Nhỡnbngbinthiờnsuyra:
Phngtrỡnh
( )
3 5 6 2 0
x x
f x x = + - - = cúkhụngquỏ2nghim.
M
( )
( )
0 1 0f f = = nờnphngtrỡnh(1)cúỳng2nghim
0x =
v
1x =
Bi3.
Tỡm mBPT:
2
2 9m x x m + < + cúnghimỳng
x " ẻ Ă
Gii.

2
2 9m x x m + < +
( )
2
2 9 1m x x + - <
( )
2
2 9 1
x
m f x
x
< =
+ -
x
-Ơ
0
x
0
1
+Ơ
f
Â
-
0
+
f
Ư(x
0
)
x

2 3 4
ƯÂ -
0
+
Ư
2
Tacú:
( )
( )
2
2
2 2
9 2 9
2 9 2 9 1
x
f x
x x
- +
Â
=
+ + -
=0
2
2 9 9 6x x + = =
( )
2
1 1
lim lim
9 2
1

2
x x
f x
x
x
đ+Ơ đ+Ơ
= =
+ -

( )
2
1 1
lim lim
9 2
1
2
x x
f x
x
x
đ-Ơ đ-Ơ
- -
= =
+ +
NhỡnBBTtacú
( )
f x m > ,
x " ẻĂ

( ) ( )

3 3
Min 6
4 4
x
f x f m m
ẻ
-
= - = - > <
Ă
Bi4.
Tỡm mPT:
( )
2
2 2sin 2 1 cosx m x + = + (1)cúnghim ,
2 2
x
p p
ộ ự
ẻ -
ờ ỳ
ở ỷ
Gii.Do ,
2 2
x
p p
ộ ự
ẻ -
ờ ỳ
ở ỷ
ị ,

2 4 4
x -p p
ộ ự
ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
nờnt
[ ]
tg 1,1
2
x
t = ẻ -
ị
2
2
1
cos
1
t
x
t
-
=
+

2
2
sin
1
t

x
t
=
+
.Khiú(1)
( ) ( )
2 2
2 sin cos 1 cosx x m x + = +

( )
( )
2 2
2 2
2
2
2 2
2 1 1
2 1 2 1 2
1 1
t t t
m f t t t m
t t
ổ ử ổ ử
+ - -
= + = + - =
ỗ ữ ỗ ữ
+ +
ố ứ ố ứ
(2)
Tacú:

( )
( )
( )
2
2 2 1 2 2 0 1 1 2f t t t t t t
Â
= + - - = = = - ịBngbinthiờn
Nhỡnbngbinthiờnsuyra:
(2)cúnghim
[ ]
1,1t ẻ -
thỡ
[ ]
( )
[ ]
( )
1,1
1,1
Min 2 Max
t
t
f t m f t
ẻ -
ẻ -
Ê Ê

0 2 4 0 2m m Ê Ê Ê Ê
.Vy(1)cúnghim ,
2 2
x

p p
ộ ự
ẻ -
ờ ỳ
ở ỷ
thỡ
[ ]
0 2mẻ .
Bi5.
Tỡm mhBPT:
2
3 2
3 0
2 2 4 0
x x
x x x m m
ỡ
- Ê
ù
ớ
ù
- - - +
ợ
(1)cúnghim.
Gii.(1)
( )
3 2
0 3
2 2 4
x

f x x x x m m
Ê Ê
ỡ
ù
ớ
= - - - ù
ợ
(2).
Tacú:
( )
[
)
(
]
2
2
3 4 4 02
3 4 4 23
x x x
f x
x x x
ỡ
+ - " ẻ
ù
Â
=
ớ
ù
- + " ẻ
ợ

ƯÂ(x) =0
2
3
x = .Nhỡn BBTsuyra:
[ ]
( ) ( )
03
Max 3 21
x
f x f
ẻ
= =
(2)cúnghimthỡ
[ ]
( )
2
03
Max 4
x
f x m m
ẻ
-
2
4 21m m - Ê -3 Ê m Ê 7
x 0
2
3
2 3
f Â

-
0
+ +
f
0
CT
8
21
x
-
Ơ
-6
6
+Ơ
f Â
-
0 + 0
-
Ư
1
2
-
3
4
-
3
4
1
2
t

-
1
1 2 -
1
ƯÂ
(
t
)
-
0
+
Ư(t)
4
0
4
Bài6.Tìm m ³0đểhệ:
3 2
2
35
sin cos 6
4
33
cos sin 6
4
x y m m m
x y m m
ì
= - - +
ï
ï

í
ï
= - +
ï
î
(1)cónghiệm.
Giải
(1) Û
3
3 2
sin cos cos sin 12 17
1
sin cos cos sin 2
2
x y x y m m
x y x y m m
ì
+ = - +
ï
í
- = - +
ï
î
Û
( )
( )
3
3 2
sin 12 17
1

sin 2
2
x y m m
x y m m
ì
+ = - +
ï
í
ï - = - +
î
(2)
Xét
( )
3
12 17f m m m = - + .Tacó:
( )
2
3 12 0 2 0f m m m
¢
= - = Û = >
NhìnBBTsuyra: ¦(m) ³ ¦(2) = 1,"m ³ 0
kếthợpvới
( )
sin 1x y + £ suyrađểhệ(2)
cónghiệmthìm =2,khiđóhệ(2)trởthành:
( )
( )
sin 1
1
sin

2
x y
x y
ì
+ =
ï
í
- =
ï
î
cónghiệm ;
3 6
x y
p p
= = .Vậy(1)cónghiệm Û m =2.
II. ỨNGDỤNGGTLN,GTNNCHỨNGMINHBẤTĐẲNGTHỨC
Bài1.
Chứngminhrằng:
( )
2 2
1 ln 1 1x x x x + + + ³ + ,
x " Î ¡
BĐT Û
( )
( )
2 2
1 ln 1 1 0f x x x x x = + + + - + ³
x " Î ¡
Tacó:
( )

( )
2
ln 1 0 0f x x x x
¢
= + + = Û =
ÞBảngbiếnthiên.
Nhìnbảngbiếnthiênsuyra:
( ) ( )
0 0f x f ³ = Þ(đpcm)
Bài2.
Cho
2 2 2
, , 0
1
a b c
a b c
>
ì
ï
í
+ + =
ï
î
CMR:T =
2 2 2 2 2 2
3 3
2
a b c
b c c a a b
+ + ³

+ + +
Tacó:T =
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1
1 1 1
a b c a b c
a b c
a a b b c c
+ + = + +
- - -
- - -
.
Xét hàmsố
( )
( )
2
1f x x x = - vớix>0
Tacó
( )
2
1
1 3 0 0
3
f x x x
¢
= - = Û = > .
Nhìnbảngbiếnthiên Þ

( )
2
0
3 3
f x x £ " > .
Khiđó:
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2
3 3 3 3
2 2
b
a b c
T a b c
f a f f c
= + + ³ + + =
Đẳngthứcxảyra
1
3
a b c Û = = = .
x
-¥
0
+¥
f
¢
-
0
+

f
0
x
-¥
1
3
+¥
f
¢
+
0
-
f
2
3 3
m
0 2
+¥
¦¢ -
0
+
¦
17
1
+¥
Bi3.
Cho3 Ên l.Chngminhrng: "x ạ0tacú:
( )( )
2 2 3
1 1 1

2! ! 2! 3! !
n n
x x x x x
x x
n n
+ + + + - + - + - <
t
( ) ( )
2 2 3
1 1
2! ! 2! 3! !
n n
x x x x x
u x x v x x
n n
= + + + + = - + - + - .
Tacnchngminh
( ) ( ) ( )
.f x u x v x = <1
Tacú:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 1
2 1
1
2! !

1 !
1
2! !
1 !
n n
n n
x x x
u x x u x
n
n
x x x
v x x v x
n
n
-
-
ỡ
Â
= + + + + = -
ù
-
ù
ớ
ù
Â
= - + - + - = - -
ù
-
ợ
ị

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
. .
! !
n n
x x
f x u x v x u x v x u x v x u x v x
n n
ộ ự ộ ự
  Â
= + = - - +
ờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷ
ị
( ) ( ) ( )
[ ]
!
n
x
f x u x v x
n
-
Â
= +
( )
2 4 1
2
1
! 2! 4!
1 !
n n

x x x x
n
n
-
ộ ự -
= + + + +
ờ ỳ
-
ở ỷ
Do3 Ên lnờn ƯÂ(x)cựngduvi(-2x)
Nhỡnbngbinthiờnsuyra:
( ) ( )
0 1 0f x f x < = " ạ ị(pcm)
Bi4.Chngminhrng:
3 3 4 4
3
4
2 2
a b a b + +
Ê "a,b >0.
(
)
( )
4
4
4 44 4 4
4 4
3 3
3 3
3 3 3 3

3
1
2 1 2
2 2
1
1
a
a b t
b
a b t
a
b
+
+ +
=
+ +
+
Xột f(t)=
( )
( )
1
4 4 4
4
1
3
3
3
3
1 1
1

1
t t
t
t
+ +
=
+
+
vi 0
a
t
b
= >
fÂ(t)=
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
3 1 2
4 3 3 4 2 3
4 4 3
3
2
3
3
1 1 1 1
1
t t t t t t
t
- -
+ + - + +

+
( )
( )
( )
( )
2
3
2
3
2 4
4
3
2
3
3
1 1 1
1
t t t t
t
-
-
+ + -
=
+
fÂ(t)=0 t=1 ịBngbinthiờnca f(t)
TBBT ị
4
3
2
2

Êf(t)<1 "t>0 ị
4 4 4
4
3
3
3 3
2
2
a b
a b
+
Ê
+
ị
3 3 4 4
3
4
2 2
a b a b + +
Ê .
Dubngxyra a=b>0.
x
-Ơ
0
+Ơ
f
Â
+
0
-

f
1
t 0 1
+Ơ
f
Â

-
0 +
f
1
4
3
2
2
1