Chuyên đề biến đổi đại số ứng dụng

Chun đề 2


BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC NGUYÊN VÀ PHÂN THỨC


I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:
1.Các hằng đẳng thức cơ bản và mở rộng :
1.
22 2
() 2ab a abb+=+ +
2.
22 2
() 2ab a abb−=− +
3.
22
()()ab abab−=+ −
4.
33 2 23 33 3
() 3 3 ()3()+=+ + +→+=+− +ab a ab ab b a b ab abab
5.
33 2 23
() 3 3ab a ab ab b−=− + −
6.
33 2 2
()( )a b aba abb+=+ −+
7.
33 2 2
()( )ab abaabb−=− ++
8)
2222

() 222a b c a b c ab ac bc++ = + + + + +

++ = + + + + + + + + +
+++ + + +
3333 2 2 2 2 2 2
333
9) (a b c) a b c 3a b 3ab 3a c 3ac 3b c 3bc 6abc
= a b c 3(a b)(b c)(c a)


333 222 2 2 2
1
3( )( = ( )10) ()() (
2
)
⎡
⎤
++− =++ ++−−− ++ − +− +−
⎣
⎦
a b c abc a b c a b c ab ac bc a b c a b b c c a

Hệ quả: Nếu abc0++= thì
333
abc3abc++=

11)
12 1
( )( )
nn n n n

ab aba ab b
−− −
−=− + ++

II. BÀI TẬP RÈN LUYỆN:


Bài 1
: Cho
2
x2 2 24x 3xx 1
M3:
3x x1 x1 3x
⎛⎞
+−−+
⎟
⎜
=+− −
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
++

1) Rút gọn M thành một phân thức
2) Với giá trị nào của x thì M0<
3) Tìm
x ∈ ] để
1

M
∈ ]

Bài giải:
1) Điều kiện của biến là:
x0 x0
x10 x 1
24x 0 1
x
2
⎧
⎪
⎪
⎧
⎪
⎪
≠≠
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
+≠ ⇔ ≠−
⎨⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
−≠

⎪⎪
⎪
⎩
≠
⎪
⎪
⎪
⎩

Khi đó:

()() ()
()
()
()()
()
()
2
2
22
2
2
2
x2 2 24x 3xx 1
M3:
3x x1 x1 3x
x 2 x 1 6x 9x x 1 2 4x 3x x 1
:
3xx1 x1 3x
28x 24x 3xx 1

:
3x x 1 x 1 3x
21 2x 1 2x x 1 3x x 1
.
3x x 1 2 1 2x 3x
12x 3xx 1

3x 3x
x1
3
xx

3x
⎛⎞
+−−+
⎟
⎜
=+− −
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
++
+++− − − −+
=−
++
−−−+
=−
++

+− + −+
=−
+−
+−+
=−
−
=
−
=

2) Ta có:
M0 x10 x1<⇔−<⇔<
Kết hợp với điều kiện của biến ta có kết quả:
x1
x0
x1
1
x
2
⎧
<
⎪
⎪
⎪
⎪
≠
⎪
⎪
⎪
⎨

≠−
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
≠
⎪
⎪
⎩

3) Ta có:
13
Mx1
=
−

Để
1
M
∈
] khi x ∈ ] thì ta phải có:
x1− là ước của 3
x11
x2
x0
x1 1
x4
x1 3
x2

x1 3
⎡
−=
⎡
=
⎢
⎢
⎢
⎢
=
−=−
⎢
⎢
⇔⇔
⎢
⎢
=
−=
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
=−
−=−
⎣
⎣

Đối chiếu với điều kiện của x ta có đáp số là:

x2;x2;x4=− = =


Bài 3: Cho biểu thức
3x 9x 3 1 1 1
P2:
xx2 x1x2 x1
⎛⎞
+−
⎟
⎜
⎟
=++−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
+− − + −
⎝⎠



Bài giải:
Điều kiện của biến là :
x0
x1
≥
⎧
⎪

⎪
⎨
≠
⎪
⎪
⎩

Đặt: xa= với
a0
a1
≥
⎧
⎪
⎪
⎨
≠
⎪
⎪
⎩
. Khi đó:

()
()( )
()( )
()
()( )
()
()
2
22

22
2
2
2
2
2
3a 3a 3 1 1 1
P2:
aa2 a1a2 a1
3a 3a 3 a 2 a 1 2 a a 2
1
:
a1a2 a 1
a3a2 1
:
a1a2a 1
a2(a1)
.a 1 a 1
a1a2

+


=++




+ +

++++ +
=
+
++
=
+
++
==+
+

Vy:
()
2
Px1=+
BI TP T GII:
Bi 1: Cho biu thc:
xx 1 x 1 x
M:x
x1 x1 x1

+


= +

Tỡm cỏc giỏ tr ca x M cú ngha, khi ú hóy rỳt gn M.
ỏp s:
x0
2x
;M
x1
x
>




=







Bi 2: Cho biu thc:
x2 x3 x2 x
M:2
x5x62 x x3 x1

+++


=

+ +

Tỡm cỏc giỏ tr ca x M cú ngha, khi ú hóy rỳt gn M.
ỏp s:
x0
x1
x4;M
x4
x9





+


=

Bi 3: Cho biu thc:
()()
xx1x
2x 1 x 2x x x x
M1 .
1x 1xx 2x1




+ +


= +




+




Tỡm cỏc giỏ tr ca x M cú ngha, khi ú hóy rỳt gn M.
ỏp s:
x0

1
x1;M
xx1
1
x
4









=


+









Bi 4: Cho biu thc:
2x 9 2x 1 x 3

M
x5x 6 x3 2 x
++
=++
+

Tỡm cỏc giỏ tr ca x M cú ngha, khi ú hóy rỳt gn M.
ỏp s:
x0
x1
x4;M
x3
x9





+


=

Bi 2: Cho
111
0
abc
++=. Tớnh giaự trũ cuỷa bieồu thửực :
222
ab bc ca
S
cab
=++




Bi gii:
S dng kt qu: Neỏu
abc0++=
thỡ
333
abc3abc++=
Từ giả thiết
111
0
abc
++= ta suy ra
được

333
111 111 3
3. . .
abc abcabc
++= =

Khi đó:

222 3 3 3 333
111 3
.3
⎛⎞
=++= + + = ++ = =
⎜⎟
⎝⎠
ab bc ca abc abc abc
S abc abc
abc
cab c a b abc




Bài 3: Cho
333
3a b c abc++= . Tính giá trò của biểu thức : 111
abc
S
bca
⎛⎞⎛⎞⎛⎞

=+++
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠



Bài giải:
Sử dụng kết quả


333 222 2 2 2
1
3( )( ) = ( )()()()
2
⎡⎤
++− =++ ++−−− ++ − +− +−
⎣⎦
a b c abc a b c a b c ab ac bc a b c a b b c c a
Do
333
3a b c abc++= ta suy ra được
222
0
( )()()()0
++=
⎡
⎡⎤
++ − + − + − =⇒
⎢
⎣⎦

==
⎣
abc
abc ab bc ca
abc

Nếu
abbcca cba
abc0 P . . . . 1
cab cba
+++−−−
++=⇒ = = =−

Nếu a b c P (1 1)(1 1)(1 1) 8==⇒=+++=

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho 0
x
≠ và
1
x
a
x
+=
là một hằng số . Tính theo a các biểu thức :

3
3
1

Ax
x
=+
;
6
6
1
Bx
x
=+
;
7
7
1
Cx
x
=+


Bài giả
i:
Ta ln có hệ thức:
n1 n n1
n1 n n1
111 1
xxxx
xxxx
+−
+−
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞

⎟⎟ ⎟
⎜⎜⎜
+=+ +−+
⎟⎟ ⎟
⎜⎜⎜
⎟⎟ ⎟
⎜⎜⎜
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
với n1>
Cho
n2= ta sẽ có:
32
32
1111
xxxx
xxxx
⎛ ⎞⎛⎞⎛⎞
⎟⎟ ⎟
⎜⎜ ⎜
+= + +−+
⎟⎟ ⎟
⎜⎜ ⎜
⎟⎟ ⎟
⎜⎜ ⎜
⎝ ⎠⎝⎠⎝⎠

Với
2
22
2

11
xx2a2
xx
⎛⎞
⎟
⎜
+=+ −=−
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠

Ta tính được:

3
Aa 3a=−
()
2
2
33642
3
43 753
43
1
B x 2 a 3a 2 a 6a 9a 2
x
11 1
C x x x a 7a 14a 7a
xx x

⎛⎞
⎟
⎜
=+ −=− −=−+−
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎟⎟ ⎟
⎜⎜ ⎜
=+ +−+=−+ −
⎟⎟ ⎟
⎜⎜ ⎜
⎟⎟ ⎟
⎜⎜ ⎜
⎝⎠⎝⎠⎝⎠


Bài 2
: Cho 0
x
> thỏa mãn
2
2
1
7x
x
+= . Chứng minh rằng

5
5
1
x
x
+
là một số ngun. Tìm số ngun đó



Bài giả
i:
Ta có:
54 3
54 3
1111
xxxx
xxxx
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎟⎟ ⎟
⎜⎜ ⎜
+= + +−+
⎟⎟ ⎟
⎜⎜ ⎜
⎟⎟ ⎟
⎜⎜ ⎜
⎝⎠⎝⎠⎝⎠

Do:
2

2
2
11 1
xx2729x3
xx x
⎛⎞
⎟
⎜
+=++=+=⇒+=
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
(do x > 0)
Mặt khác:

32
32
1111
x x x x 7.3 3 18
xxxx
⎛ ⎞⎛⎞⎛⎞
⎟⎟ ⎟
⎜⎜ ⎜
+= + +−+=−=
⎟⎟ ⎟
⎜⎜ ⎜
⎟⎟ ⎟
⎜⎜ ⎜

⎝ ⎠⎝⎠⎝⎠

Và
2
42
42
11
xx249247
xx
⎛⎞
⎟
⎜
+= + −=−=
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠

Nên
54 3
54 3
1111
x x x x 47.3 18 123
xxxx
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎟⎟ ⎟
⎜⎜ ⎜
+= + +−+ = −=
⎟⎟ ⎟

⎜⎜ ⎜
⎟⎟ ⎟
⎜⎜ ⎜
⎝⎠⎝⎠⎝⎠


Bài 2: Cho ba số x,y,z thỏa mãn đồng thời :

2
2
2
210
210
210
xy
yz
zx
⎧
++=
⎪
⎪
++=
⎨
⎪
++=
⎪
⎩

Tính giá trò của biểu thức :
2009 2009 2009

Ax y z=++

Bài giải:
Cộng từng vế các đẳng thức đã cho và biến đổi ta được;

()
()
()
2
22
x10
x1 y1 z1 0 y10 x y x 1
z10
⎧
⎪
+=
⎪
⎪
⎪
⎪
+++++=⇒+=⇒===−
⎨
⎪
⎪
⎪
+=
⎪
⎪
⎩

Vậy
() () ()
2009 2009 2009
A1 1 1 3=− +− +− =−


Bài 3: Chứng minh rằng nếu a+b+c = 0 thì :
222 222 222
111
0
bca cab abc
+
+=
+− +− +−



Bài giải:
Từ giả thiết:

()
2
22 22
222
abc0 ab c ab c a 2abb c
abc 2ab
++=⇒+=−⇒ + = ⇒ + + =
⇒+−=−

Tương tự:

222
222
bca 2bc
cab 2ca
+− =−
+−=−

Do đó:
111abc
Q0
2ab 2bc 2ca 2abc
++
=++= =
−−− −




Bài 4: Cho
4
432
16
4 8 16 16
a
M
aaa a
−
=
−+−+

. Tìm các giá trò nguyên của a để M có giá trò nguyên



Bi gii:
Rỳt gn biu thc M

()
()
()
()()
()()
()
4
432
4
32
2
2
16
4 8 16 16
16

2248
422

22 4
a
M
aaa a

a
aaaa
aaa
aaa

=
++

=
+
++
=
+

V
i a2 thỡ
a2
A
a2
+
=


Tỡm a ] A ]
Tip tc bin i A thnh
a2 4
A1
a2 a2
+
==+

A ] khi a ] thỡ ta phi cú:
a2 l c ca 4
a21
a3
a2 1
a1
a2 2
a4
a22
a2
a2 4
a6
a2 4

=


=


=


=


=

=


=


=


=



=


=



i chiu vi iu kin ca a ta cú ỏp s l: a 1;a 3;a 4;a 6====



Baứi 5: Chửựng minh raống neỏu a,b,c khaực nhau thỡ :

222

()()()()()()
bc ca ab
abac bcba cacb ab bc ca

++=++



Bi gii:
Bin i v trỏi:


(
)
(
)
(
)( ) ()
(
)
()()()()()()()() ()() ()()
111111


ac ab ba bc cb ca
bc ca ab
abac bcba cacb abac bcba cacb
ab ac bc ba ca cb

++= + +

=++

222

ab bc ca
=++




Bi 6: Chng minh rng:
1)
111
x(x1) x x1
=
++

2)
()()
1111
3x 1 3x 2 3 3x 1 3x 2



=

+ +

3)
()() ()
1111
x1xx1 2x1x x(x1)


=

+ +






Áp dụng: Tính các tổng sau:
1)
()
111 1

1.2 2.3 3.4 . 1
n
S
nn
=++++

+

2)
()()
n
11 1
S
2.5 5.8 3n 1 3n 2
=+++
−+

3)
111 1

1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2)
n
S
nn n
=++++
+
+


III. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ ỨNG DỤNG BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ TRONG GIẢI TOÁN:

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
A2x 6x1=−+

Bài giải:
Biến đổi biểu thức A

()
2
2
2
A2x 3x 1
99
2x 3x 1
42
37 7
2x
22 2
=−+
⎛⎞
⎟
⎜
=−++−
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
⎛⎞
⎟
⎜
=−−≥−
⎟
⎜

⎟
⎜
⎝⎠

Dấu đẳng thức xảy ra khi
3
x
2
=
. Vậy
7
min A
2
=−


Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
()( )( )( )
A x 1x 2x 3x 6=− + + +


Bài giải:
Biến đổi biểu thức A

()( )( )( )
()()
()
22
2
2

Ax1x6x2x3
x5x6x5x6
x5x 36 36
=− + + +
=+− ++
=+ −≥−

Dấu đẳng thức xảy ra khi
x0= hoặc x5=− . Vậy
min A 36=−


Bài 3
: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
A x xy y 3x 3y 2012=++−−+


Bài giải:
Biến đổi biểu thức 4A

()
()( )
22
2222
2
4A 4x 4xy 4y 12x 12y 4.2012
x 2xy y 3 x y 4 2xy 4x 4y 4.2012 12
x y 3 x y 2 4.2009
A 2009

=++−−+
=+ ++ +++ −− + −
=− + +−+
⇒≥

Dấu đẳng thức xảy ra khi
xy 0
x1
xy20
y1
−=
⎧
=⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
⎨⎨
+−=
⎪⎪=
⎪⎪
⎩
⎩
. Vậy min A 2009=

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n

n2 2n1
11 12
++
+ chia hết cho 133


Bài giải:
()
n
n2 2 n n
A 11 .11 12 .12 121.11 12.144=+ = +
Nhận xét rằng: 144 11 133−= nên ta thêm và bớt
n
12.11 vào biểu thức A ta được:

()
nnn
nnn
A 133.11 12.144 12.11
133.11 12 144 11
=+−
=+−

Do
()
nn
144 11 (144 11) 133−−=# nên ta suy ra A 133# (đpcm)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm

4
xx20++=
Bài 2: Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức
1)
22
Ax 2
y
2x
y
2x 10
y
=+ − +−
2)
22
B(x1) (x3)=+ +−
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z ta luôn có

222
x
y
zx
yy
zxz0++−−−≥
Bài 4: Phân tích biểu thức sau thành nhân tử

333

(a b) (b c) (c a)−+−+−
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n

3
n11n + chia hết cho 6






Hết















Chuyên đề 3:

BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC

I. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CĂN THỨC CƠ BẢN:
1. Biến đổi căn thức bậc lẻ:
•

21
21
k
k
A
A
+
+
=

•

21 21
21

kk
k
A
BAB
++
+
=
•

21
21
21
(B 0)
k
k
k
AA
B
B
+
+
+
=≠
•

21
21
21

k
k
k
A
BA B
+
+
+
=
2. Biến đổi căn thức bậc chẵn:

•
2
2
k
k
A
A=
•

2
22
. . (A.B 0)
k
kk
AB A B=≥
•

2
2
2
(A.B 0 , B 0)
k
k
k
A
A
B
B
=≥≠

•

2
2
2
. . (B 0)
k
k
k
AB A B=≥
•
(A 0)
m
nmn
AA=≥
Trong đó : k, m, n là những số nguyên dương

Chú ý:
2k
A
có nghóa khi 0
A
≥



Biến đổi căn thức bậc hai:
•
2
A

A=
•

. . (A.B 0)AB A B=≥

•

(A.B 0 , B 0)
A
A
B
B
=≥≠

•

2
. . (B 0)AB A B=≥

Chú ý:
A
có nghóa khi 0
A
≥



Biến đổi căn thức bậc ba:
•

3
3
A
A=
•

33
3

A
BAB=
•

3
3
3
(B 0)
AA
B
B
=≠
•

3
3
3

A
BAB=
•

II. BÀI TẬP RÈN LUYỆN:


Bài 1: Chứng minh đẳng thức :
23 5 13 48
1
62
+− +
=
+
(1)

Bài giải:
()
()
2
23 5
23 5 13 48
(1)
62 62
23 5 23 1

62
23 4 23

62

23 1

VT
+−
+− +
==
++
+− +
=
+
+−
=
+
+
()
()
2
2
23

62
23 31 22 3 8 43 6 2
1
62 62 62 62 6
3
62
2
1+
=
+
+− + + +
−

+
==== ==
+++ ++


Bài 2: Chứng minh đẳng thức :
2
3
1
1
3
2
1
33
11 11
22
+
−
+
=
++ −−
(1)

Bài giải:
() ()
22
33 3 3
11 1 1
22 2 2
(1)

33423423
11 11 1 1
224 4
33
11
22

13 31
11
44
33
11
22

13
11
2
VT
+− + −
=+= +
+−
++ −− + −
+−
=+
+−
+−
+−
=+
+
+

2323
22
31 3 3 3 3
222
2 3 2 3 (2 3)(3 3) (2 3)(3 3) 3 3 3 3
1
66
3333
+−
=+
−+ −
−
+− +−+−+ ++−
=+= = =
+−



Bài 3: Chứng minh đẳng thức :
44
49 20 6 49 20 6
3
2
++−
= (1)


Bài giải:

()()

()()
()()
22
44
44
22
44
44
44
526 5206
49 20 6 49 20 6
VT(1)
22
526 5206

2
32 32

2
3232
2 3
2
++−
++−
==
++−
=
++−
=
++−

==

Bài 4: Cho a 0≥ . Chứng minh rằng :
22
2
22
1( 1)
11
aa aa
aa
aa aa
−+
−
++= −
++ −+

Hướng dẫn:
Đặt ẩn phụ:
ax=


Bài 5: Xét biểu thức
393 21
1
212
aa a
P
aa a a
+− −
=−+−

+− − +
. Tìm a để
1P
=

Hướng dẫn:
Đặt ẩn phụ: ax=

Bài 6: Rút gọn biểu thức : 5 3 29 12 5A =−−−
Đáp số: A1=

Bài 7
: Thu gọn biểu thức :
23684
234
P
++++
=
++

Đáp số:
P1 2=+

Bài 8:
Cho
22
1
11
xxxx
M

x
xx xx
−+
=−++
++ −+

Rút gọn M với
01
x
≤≤

Hướng dẫn:
+ Đặt xa=
+ Kết quả: M1 x=−

Bài 9:
Tính giá trò của biểu thức :
3 2 2009
A (3x 8x 2)=++ với
3
( 5 2) 17 5 38
x
51465
+−
=
+−

Hướng dẫn:
+ Rút gọn x sẽ được
1

x
3
=

+ Thay x vào A sẽ được
2009
A3=

Bài 10: Cho
2
11
21 21
x =
−
−+
. Tính giá trò của biểu thức :
4 3 2 2007
(21)=−−+−Axxx x
Hướng dẫn:
+ Rút gọn x
+ Thay x vào A

Bài 11: Tính giá trò của biểu thức :
4 2 2007
P(x 4x 3)=−+
với giá trò
310 9
x(103)
619610
−

=+
+−

Hướng dẫn:
+ Rút gọn x
+ Thay x vào A


Bài 12: Cho số
33
x945945=+ +−
1) Chứng tỏ x là nghiệm của phương trình
3
x3x180
−
−=.
2) Tính x.
Hướng dẫn:
1) Ta có:

(
)
33
3
33
3
3
x 9 4 5 9 4 5
x183.x.945945
x183x

x3x180
=+ +−
⇔=+ + −
⇔=+
⇔−−=

Suy ra x là nghiệm của phương trình
3
x3x180−−=
2) Giải phương trình (1) được x3=
Bài 13:
Chứng minh rằng
33
125 125
x39 39
27 27
=++ −−++ là một số nguyên.
Hướng dẫn:
Giải tương tự bài 12

Bài 14: Chứng minh rằng số :
0
223 6323x =++ −− +
là một nghiệm của phương trình :
42
16 32 0xx
−
+=.
Bài giải:
Biến đổi phương trình:

(
)
2
42 2
16 32 0 8 32xx x−+=⇔−= (1)
Ta s
ẽ chứng minh:
()
2
2
0
x8 32−=

Thật vậy:

()
()
()
()
()
2
00
2
0
2
2
0
223 6323 82232323
8 2 2 3 2 3 2 3

8423633334332
xx
x
x
=++−− + ⇒=− +− −
⇒−=− + − −
⇒−=++− − −=

Vậy
0
x là nghiệm của phương trình
42
16 32 0xx−+=

Bài 18:
1) Chứng minh rằng :
()
111
n1nnn1 n n1
=−
+++ +

2) Tính tổng:

11 1 1
S
2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100
=+ + ++
++ + +

Hết