Chuyên đề luyện thi thpt quốc gia tích phân đầy đủ chi tiết
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.56 MB, 110 trang )
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯNG CAO
SĐT: 0978421673-01234332133. TP HUẾ
ne
t
CHUN ĐỀ LUYỆN THI
TÍCH PHÂN
w
w
w
.b
ox
ta
ilie
u.
Dùng cho học sinh lớp 12-Ơn thi Đại học và Cao đẳng
Don't try to fix the students, fix ourselves first. The good teacher makes the poor
student good and the good student superior. When our students fail, we, as teachers,
too, have failed.
HUEÁ, 01/2013
www.boxtailieu.net
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
MỤC LỤC
Trang
A. NGUYÊN HÀM..................................................................................................................... 3
B. TÍCH PHÂN .......................................................................................................................... 4
C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: ................................................... 6
VẤN ĐỀ 1: PHÉP THAY BIẾN t
n
f ( x ) ........................................................................... 6
VẤN ĐÊ 2: TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HĨA ....................... 11
DẠNG 1: a 2 x 2 ............................................................................................................. 11
DẠNG 2: x 2 a 2 ............................................................................................................. 14
a x
hoaëc
ax
ax
......................................................................................... 18
a x
u.
DẠNG 4:
ne
t
DẠNG 3: x 2 a2 ............................................................................................................. 14
dx
ilie
VẤN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN LƯỢNG GI ÁC........................................................................... 19
Dạng 1: Biến đổi lượng giác về tích phân cơ bản ............................................................ 19
a sin x b cos x c .................................................................. 23
Dạng 3: Tích phân dạng
a sin
ta
Dạng 2: Tích phân dạng
ox
dx
............................................... 24
x b sin x cos x c cos2 x
.b
2
w
w
Dạng 4: Tích phân dạng I1 f (sin x )cos xdx; I 2 f (cos x )sin xdx ............................ 25
1.Tích phân có dạng sin m x.cosn xdx .......................................................................... 26
w
2.Tích phân dạng I1
Dạng 5: Tích phân chứa
sin m x
dx;
cosn x
I1
cosm x
dx;
sin n x
m, n .................................. 27
tan x;cos x dx; cot x;sin x dx ............................................ 28
Dạng 6: Đổi biến bất kì ..................................................................................................... 29
VẤN ĐỀ 4: TÍCH PHÂN CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI .......................................... 39
VẤN ĐỀ 5: TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ ............................................................................ 42
VẤN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT ....................................................... 50
VẤN ĐỀ 7: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ............................................................................. 58
VẤN ĐỀ 8: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ..................... 69
VẤN ĐỀ 9: TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY .................................................. 77
MỘT SỐ BÀI TẬP CẦN LÀM TRƯỚC KHI THI ................................................................ 83
D. PHỤ LỤC............................................................................................................................. 95
1
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
www.boxtailieu.net
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
w
w
w
.b
ox
ta
ilie
u.
ne
t
PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ KHƠNG LÀM THAY ĐỔI CẬN TÍCH PHÂN .................. 95
SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG TÍNH TÍCH PHÂN ..................................................... 100
ĐỀ THI ĐẠI HỌ C TỪ 2009-2012 ..................................................................................... 107
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................. 109
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
www.boxtailieu.net
2
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
A. NGUYÊN HÀM
1. Khái niệm nguyên hàm
Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:
F '( x ) f ( x ) , x K
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
f ( x )dx F( x ) C , C R.
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
f ( x ) g( x )dx f ( x )dx g( x )dx
kf ( x )dx k f ( x )dx
u.
f '( x )dx f ( x ) C
(k 0)
ta
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
0dx C
ax
C (0 a 1)
ln a
cos xdx sin x C
ox
a x dx
.b
dx x C
x 1
C , ( 1)
x dx
1
1
dx ln x C
x
e x dx e x C
w
w
w
ilie
ne
t
2. Tính chất
1
sin xdx cos x C
1
cos
sin
2
1
2
x
x
dx tan x C
dx cot x C
1 ax b
e
C , (a 0)
a
1
1
dx ln ax b C
1
ax b
a
sin(ax b)dx a cos(ax b) C (a 0)
cos(ax b)dx a sin(ax b) C (a 0)
e
ax b
dx
4. Phương pháp tính ngun hàm
a) Phương pháp đổi biến số
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
www.boxtailieu.net
3
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Nếu
f (u)du F (u) C
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
và u u( x ) có đạo hàm liên tục thì:
f u( x ).u '( x )dx F u( x ) C
b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
udv uv vdu
B. TÍCH PHÂN
1. Khái niệm tích phân
Cho hàm số f liên tục trên K và a, b K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
f ( x )dx .
a
u.
b
t
b
ne
F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là
f ( x )dx F(b) F(a)
ilie
a
b
b
a
a
b
ta
Đối với biến số lấy tích ph ân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
ox
f ( x )dx f (t)dt f (u)du ... F(b) F(a)
a
w
w
.b
Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và khơng âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của
hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đườn g thẳng x = a, x = b là:
b
S f ( x )dx
w
a
2. Tính chất của tích phân
0
f ( x )dx 0
0
b
b
a
a
b
a
a
b
f ( x )dx f ( x )dx
kf ( x )dx k f ( x )dx (k: const)
b
b
b
a
a
a
f ( x ) g( x )dx f ( x )dx g( x )dx
b
c
b
a
a
c
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
www.boxtailieu.net
4
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
b
f ( x )dx 0
Nếu f(x) 0 trên [a; b] thì
a
Nếu f(x) g(x) trên [a; b] thì
b
a
b
f ( x )dx g( x )dx
a
3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
b
u( b )
a
u( a )
f u( x ).u '( x )dx
f (u)du
ne
t
trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên
K, a, b K.
u.
b) Phương pháp tích phân từng phần
b
b
a
vdu
a
ox
a
b
ta
udv uv
ilie
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b K thì:
Chú ý:
w
w
.b
Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho
b
vdu dễ tính hơn
a
b
udv .
a
w
Trong phần sau sẽ trình bày kỉ thuật lựa chọn u và dv .
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
www.boxtailieu.net
5
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂ N:
VẤN ĐỀ 1: PHÉP THAY BIẾN t
n
f (x)
Phương pháp: Khi hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức có dạng
n
f ( x ) . Lúc đó trong
nhiều trường hợp ( chứ khơng phải mọi trường hợp), ta có thể đổi biến bằng cách
-
Bước 1: Đặt t
-
Bước 2: Ghi nhớ “Đổi biến thì phải đổi cân”
n
f ( x ) t n f ( x ) nt n1dt f '( x )dx
BÀI TẬP MẪU: Tính các tích phân sau
1
ne
t
Bài 1: Tính I x 3 1 x 2 dx
0
u.
Giải:
ilie
1 x 2 t2 = 1 – x2 xdx = -tdt
Đặt t =
1
t
1
0
Khi đó: I x
1 x dx =
3
2
1
0
0
1
1
1 t .t.tdt = t
2
w
w
1
ox
0
.b
x
ta
Đổi cận:
0
2
t3 t5 1 2
.
t 4 dt = =
3 5 0 15
0
w
Bài 2: Tính I x 3 3 1 x 4 dx
Giải:
3
Đặt t = 3 1 x 4 t 3 1 x 4 x 3dx t 2 dt
4
Đổi cận:
x
0
1
t
1
0
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
www.boxtailieu.net
6
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
1
Khi đó: I x
33
0
e
Bài 3: Tính I
1
CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN
1
3
3 1 3
1 x dx t 3dt t 4 .
40
16 0 16
4
1 ln x
dx
x
Giải:
Đặt t 1 ln x t 2 1 ln x 2tdt
dx
x
Đổi cận:
1 ln x
dx
x
Khi đó: I
1
2
x
1
2
t.2tdt 2 t dt 2
1
1
2
1 x3
ox
x 1 x3
dx
t3 2 2 2 2 1
.
31
3
x 2 dx
w
w
2
2
dx
Giải:
Ta có:
2
.b
1
t
2
e
Bài 4: Tính I
ne
1
u.
t
e
ilie
1
ta
x
1
x3 1 x3
w
Đặt t 1 x 3 t 2 1 x 3 2tdt 3 x 2 dx x 2 dx
2tdt
3
Đổi cận:
x
t
1
2
2
3
Khi đó:
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
www.boxtailieu.net
7
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
2
2
dx
I
x 1 x3
1
3
3
dt
1 1
1
t 2 1 3 t 1 t 1 dt
2
2
2
1 x3 3
x 2 dx
x3
1
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
3
1 t 1 3
1
1 1
2 1
ln t 1 ln t 1
ln
ln ln
3
2 3 t 1 2 3 2
2 1
1
2 1
1
ln
ln
3 2 2 1 3
4
2 1
2
dx
x
Bài 5: Tính I
1
x2 9
t
7
Đổi cận:
Khi đó:
5
t
4
2
5
u.
.b
4
dt
1 t 3 5 1 7
ln
ln
9 6 t3 4 6 4
w
w
t
ta
4
7
ox
x
dx tdt
tdt
2 2
x
x
t 9
ilie
Đặt t x 2 9 t 2 x 2 9 t 0 tdt xdx;
ne
Giải:
w
BÀI TẬP ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau
7
1)
0
x3
3
1 x2
ln 3
2)
0
3)
ln 5
ln 2
ex
e
x
ÑS :
dx
1
3
10 e
x
ÑS : 1 2
dx
ex
ex 1
141
20
dx
ĐS :
20
3
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
www.boxtailieu.net
8
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
4
7
4)
0
x3
8
5)
3
1
x 1 x
2
1 x 1
1
1
1
ÑS : ln ln
2
3
dx
x
6)
3 3 3
ÑS : ln
8 4 2
dx
1 4 1 x4
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
dx ( A 2004)
ÑS :
11
4 ln 2
3
e
ln x. 3 2 ln 2 x
dx (Khối B 2004).
x
1
7)
ĐS :
3 3
3 3 23 2
8
9)
2 3
5
dx
x x 4
2
e3
10)
1
x 1
2
dx.
.
ln 2 x
x ln x 1
ÑS : e2 e
ne
0
x
u.
.
1 5
ĐS : ln
4 3
(Khối A-2003). Đặt t x 2 4
ilie
x 2 1
ta
8) e
dx.(Dự bị khối D-2005)
Đặt t ln x 1.
ox
3
t
HD : Đặt t 3 2 ln 2 x
e
ln x
11)
ln 2 x dx. HD : I I1 I 2
1 x 1 ln x
12)
1
1
x x 1
dx.
x 10
t x 1.
DS :
76
15
2 2 2
3
3
62
30 ln 2 .
3
w
2
w
w
.b
ÑS : e
ÑS :
1
x
dx
1 x
0
13) x sin x dx
2
3
0
1
1
x
dx
1 x
0
Hướng dẫn : I x 2 sin x 3dx
0
1
Ta tính I1 =
x
2
sin x 3dx đặt t = x3 ta tính được I 1 = -1/3(cos1 - sin1)
0
1
x
dx đặt t =
Ta tính I2 =
1 x
0
1
x ta tính được I 2 = 2 (1
0
1
)dt 2(1 ) 2
2
4
2
1 t
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
www.boxtailieu.net
9
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
ĐS :-1/3(cos1 - 1)+ 2
5
14)
2
ln( x 1 1)
x 1 x 1
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
2
dx
Hướng dẫn :Đặt t x 1 1 . Đáp số: ln 2 3 ln 2 2
6
15)
2
dx
2x 1 4x 1
6
5
5
5
5
t
Hướng dẫn :Đặt t 4 x 1 t 2 4 x 1 2tdt 4dx .
u.
ne
3 1
1
tdt
tdt
dt
dt
ln
I
2
2
2
2 12
t 1 3 t 1
4 x 1 2 3 t 1 1 t 3 t 1
2 2x 1
3
2
dx
w
w
w
.b
ox
ta
ilie
BÀI TẬP BỔ SUNG
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
www.boxtailieu.net
10
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
VẤN ĐÊ 2: TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HĨA
CÁCH ĐẶT
DẤU HIỆU
2
a x
x a sin t với / 2 t / 2
x a cos t với 0 t
2
a
với t ; \ {0}
x
sin t
2 2
x a với t 0; \
2
cos t
ne
t
x 2 a2
DẠNG 1:
a2 x 2
u.
ilie
Đặt x a cos2t
x a b a sin 2 t, t 0;
2
w
w
x a b x
ax
a x
ta
a x
hoaëc
ax
ox
x a
x a tan t với / 2 t / 2
x a cos t với 0< t
2
.b
2
w
BÀI TẬP MẪU: Tính các tích phân sau
a
Bài 1: Tính I x 2 a 2 x 2 dx
0
Giải:
Đặt x = asint, t ; . dx = acostdt
2 2
Đổi cận:
x
0
a
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
www.boxtailieu.net
11
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
t
0
a
2
Khi đó: I x
2
2
2
0
4 2
4 2
a
a
= a sin tcos tdt =
sin 2 2tdt =
4 0
8
0
2
Bài 2: Tính I
1
a4 1
a4
0 1 cos4t dt = 8 t 4 sin 4t 2 = 16
0
1 x2
dx
x2
2
2
t
2
ne
4
a x dx = a 2 sin 2 t a 2 1 sin 2 t .acostdt
2
0
2
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
u.
Giải:
ilie
Đặt x = cost, t ; . dx = - sint dt
2 2
1
.b
0
0
1 x
1 cos t .sint
dx =
dt =
2
x
cos2t
2
w
I
1
4
w
w
t
Khi đó:
2
2
x
ox
ta
Đổi cận:
2
2
2
4
0
sin t .sin t
cos2t
sin 2 t
dt =
dt =
2
0 cos t
4
4
1
0 cos2t 1dt = tan t t 4 = 1 4 . (vì t 0; 4 nên sint 0 sin t sin t )
0
4
1
Bài 3: Tính I x 2 1 x 2 dx
0
Giải:
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
www.boxtailieu.net
12
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Đặt x = sint, t ; . dx = costdt
2 2
Đổi cận:
x
0
t
0
1
2
1
2
Khi đó: I x 2 1 x 2 dx = sin 2 t 1 sin 2 t .costdt =
0
ne
t
0
ilie
3
HD : Đặt x 2sin t
2
2
3)
0
9 x
2
x2
1 x2
3
dx ;
8
4) 16 x 2 dx;
HD : Đặt x 3cos t
.b
3 2
2
dx ;
w
w
1
HD : Đặt x sin t
w
2)
ox
1
ta
Tính các tích phân sau:
1) 4 x 2 dx ;
u.
1 1
12
= 1 cos4t dt = t sin 4t 2 =
8 4
80
0 16
3
2
1
12 2
2
2
=
sin
tcos
tdt
sin 2tdt =
4 0
4 0
2
ÑS :
3
3 3
27
ĐS :
ĐS :
8
1
4
HD : Đặt x 4sin t
0
1
2
5) 1 x 2 dx
HD : Đặt x sin t
0
5
2
6)
1
1
9 x 1
2
dx ;
HD : Đặt x 1 3sin t
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
www.boxtailieu.net
13
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
1
7) x x 2 dx.
ÑS :
1
2
1
HD :
1
2
16
1
2
1
x x dx 1 2 x 1 dx.
21
2
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Đặt : 2 x 1 sin t
2
DẠNG 2:
x 2 a2
Tính các tích phân sau:
6
1
1)
3
dx ;
HD : Ñaët x
3
sin t
ÑS :
dx ;
HD : Ñaët x
1
sin t
ĐS :
dx ;
HD : Đặt x
1
cos t
dx ;
HD : Ñaët x
1
cos t
x x2 9
2
36
3)
x 1
2
0
5
2
4)
1
1
x x 1
2
DẠNG 3:
x 2 a2
BÀI TẬP MẪU:
0
x
1
0
ne
1
dx
2x 4
w
Giải:
2
w
w
Bài 1: Tính I
u.
x2
6
ilie
2
2
ta
x x 1
2
ox
2
1
.b
3
2)
t
2
0
1
1
Ta có: 2
dx
2
1 x 2 x 4
1 x 1
3
2
dx
Đặt x 1 3 tan t với t ; . dx 3 1 tan 2 t dt
2 2
Đổi cận:
x
-1
0
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
www.boxtailieu.net
14
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
t
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
0
6
0
1
36
3
3
Khi đó: I 2
dx
dt
t 6
.
3 0
3
18
1 x 2 x 4
0
1
x3
dx
8
0 1 x
Bài 2: Tính I
Giải:
dx
t
2
ne
1
x3
x3
Ta có:
dx
0
8
0 1 x
1 x4
u.
1
1
Đặt x 4 tan t với t ; . x 3dx 1 tan 2 t dt
4
2 2
ilie
0
1
ox
t
0
4
.b
0
w
w
x
ta
Đổi cận:
3
1
3
w
x
x
Khi đó: I
dx
8
4
0 1 x
0 1 x
1 1 tan t
14
1
dx
dt
dt t 4 .
2
2
4 0 1 tan t
40
4
16
0
2
4
cosx
dx
2
0 1 sin x
2
Bài 3: Tính I
Giải:
Đặt sin x tan t với t ; cosxdx 1 tan 2 t dt
2 2
Đổi cận:
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
www.boxtailieu.net
15
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
x
0
t
0
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
2
4
4
cosx
1 tan t
Khi đó: I
dx
dt dt
2
2
4
0 1 sin x
0 1 tan t
0
2
2
4
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
1
dx ;
2
0 4 x
1)
1
3) x 1 x 2 dx ;
HD : Đặt x tan t
0
1 x
2
3
3
3
dx ;
HD : Đặt x tan t
ta
1
4)
ox
3
3
3
2
1
6)
0
x3
x
2
3
x
7)
1
0
3
9)
1
x
dx ;
1
x2 3
2
1
8)
1
3
1
2
1
2
dx
1 x2
dx.
x2
HD : Đặt 2 x 3tan t
HD : Đặt x tan t
w
5)
w
w
9 2x2
dx ;
x2
dx ;
ĐS :
3 1
2
ĐS :
.b
2
8
ne
HD : Đặt x 3tan t
2
u.
0
1
dx ;
x 9
ĐS :
ilie
3
2)
HD : Đặt x 2 tan t
t
4
3 1
2
hoaëc u x 2 1
HD : Ñaët x 3 tan t
ÑS :
2
8
Ñaët x tan t.
ÑS : ln 2 3
2 1
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
www.boxtailieu.net
3 2 2 3
3
16
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
1
10)
0
x
dx.
x x2 1
ĐS :
4
CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN
3
8
1
w
w
w
.b
ox
ta
ilie
u.
ne
t
1
du
HD :Biến đổi tích phân đã cho về dạng: 2
2 0 u u 1
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
www.boxtailieu.net
17
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
DẠNG 4:
a x
hoaëc
ax
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
ax
a x
Tính tích phân sau:
0
1)
1
1 x
1 x
DẠNG 5:
5
2
2)
HD : x cos2t
0
5 x
5 x
HD : x 5cos2t
x a b x
Tính tích phân sau:
3
2
x 1 2 x .
Đặt x 1 sin 2 t.
ne
t
5
4
1
3
ÑS :
8 12 8
w
w
w
.b
ox
ta
ilie
u.
BÀI TẬP BỔ SUNG
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
www.boxtailieu.net
18
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
VẤN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: Biến đổi lượng giác về tích phân cơ bản
1
dx
4
0 cos x
4
Ví dụ 1: Tính I
Giải:
Đặt t = tanx ; dt
1
dx
cos2 x
0
ne
t
4
u.
0
1
ilie
x
t
Đổi cận:
1
4
t3 1 4
1
1
2
2
Khi đó: I
dx 1 tan x
dx 1 t dt t .
4
30 3
cos2 x
0 cos x
0
0
4
12
0
w
w
12
12
sin 4 x
tan 4 xdx cos4 x dx
0
w
Ta có:
.b
tan 4 xdx
Giải:
ox
Ví dụ 2: Tính I
ta
0
Đặt t = cos4x ; dt 4s in 4 xdx sin 4 xdx
dt
4
Đổi cận:
x
0
t
1
12
1
2
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
www.boxtailieu.net
19
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Khi đó: I
12
12
0
0
tan 4 xdx
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
1
2
1
1
sin 4 x
1 dt 1 dt 1
1
dx ln t 1 ln 2.
cos4 x
41 t 41 t 4
4
2
2
2
Ví dụ 3: Tính I cos5 xdx
0
Giải:
2
2
2
2
Ta có: cos xdx cos xcoxdx 1 sin 2 x coxdx
5
0
0
t
0
4
ne
Đặt t = sinx ; dt cosxdx
t
0
ilie
0
2
1
ta
x
u.
Đổi cận:
2
2
0
0
2
2
.b
ox
Khi đó:
w
w
I cos5 xdx 1 sin 2 x coxdx 1 t 2
4
0
2
2
2t 3 t 5 1 8
dt 1 2t 2 t 4 dt t
.
3
5 0 15
0
w
Ví dụ 4: Tính I tan3 xdx
0
Giải:
Đặt t = tanx ; dt 1 tan 2 x dx 1 t 2 dt dx
dt
t 1
2
Đổi cận:
x
0
t
0
4
1
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
www.boxtailieu.net
20
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Khi đó:
2
1
1
1
1
t3
t
1 2t
t2 1 1 d t 1
I tan xdx 2
dt t 2
dt
dt tdt 2
2 0 t 1
2 0 2 0 t 2 1
t 1
0
0 t 1
0
0
4
1
3
1 1 1
1 1
1
ln t 2 1 ln 2 1 ln 2 .
2 2
2
0 2 2
2
Ví dụ 5: Tính I cos3 xdx
6
2
2
2
2
ne
t
Giải:
6
6
6
2
6
sin x 2
1 1 1
5
sin x
1
3
3 2 24 24
6
sin 4 x
dx
4
0 sin x cos x
w
w
4
.b
4
Ví dụ 7: Tính I
Giải:
ox
ta
3
ilie
2
u.
I cos xdx cos x.cosxdx 1 sin x cosxdx 1 sin 2 x d sin x
3
w
4
4
4
sin 4 x
2sin 2 xcos2 x
2sin 2 xcos2 x
2sin 2 xcos2 x
I 4
dx
dx
dx
dx
4
4
4
2
2
1
sin
x
cos
x
sin
x
cos
x
1
2sin
xcos
x
2
0
0
0
0 1
sin 2 x
2
4
1
1
1
1
d 1 sin 2 2 x ln 1 sin 2 2 x 4 ln ln 2
1 2
2
2
2
0 1
sin 2 x
0
2
4
cos3 x
dx
1 sin x
2
Ví dụ 8: Tính I
4
Giải:
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
www.boxtailieu.net
21
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
3
2
1 sin 2 x
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
2
cos x
cos x
dx
cosxdx
cosxdx 1 sin x cosxdx
1 sin x
1 sin x
1 sin x
2
I
2
4
2
4
4
2
2
4
4
4
cosx cosx sin x dx cosxdx
1
1
32 2
s in2 xdx sin x sin 2 x 2
2
4
4
4
4
2
2
Ví dụ 9: Tính I sin3 xdx
0
2
2
ne
t
Giải:
2
2
ilie
2
u.
cos3 x
1 2
I sin xdx sin x sin xdx 1 cos x d cosx cosx
2 1
3
3 3
0
0
0
0
3
dx
1 cosx
0
2
ta
Ví dụ 10: Tính I
w
w
.b
ox
x
d
2
2
2
2
dx
dx
x
Giải: I
tan 2 1
1 cosx 0
2
2 x
2 x
0
0
2cos
cos
0
2
2
dx
1 sin 2 x
2
w
Ví dụ 11: Tính I
4
Giải:
dx
dx
dx
12
dx
I
2
2
2
1 sin 2 x
sin x cosx
cos2 x
4
4
4 2cos x
4
4
4
2
2
2
1
1
tan x 2
2
4 2
4
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
www.boxtailieu.net
22
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN
2
Ví dụ 12: Tính I
dx
sin x
3
Giải:
Ta có:
dx
sin xdx 2 sin xdx
2
2
sin x
sin x
1 co s x
2
2
3
3
3
t
Đặt t cosx dt sin xdx
3
2
1
2
0
u.
ilie
t
ta
x
ne
Đổi cận:
1
2
0
ox
Khi đó:
1
2
w
w
2
1
2
.b
dt
dt
1 1
1
dt
2
2
2 0 1 t 1 t
1 1 t
0 1 t
I
1
2
w
1
1 dt 1 dt
1
1 1
3
ln t 1 ln t 1 2 ln ln
2 0 t 1 2 0 t 1
2
2 2
2
0
1 1 1
ln ln 3
2 3 2
Dạng 2: Tích phân dạng
dx
a sin x b cos x c
x
Cách giải: Đặt t tan , đưa về tích phân hữu tỉ
2
Ví dụ 1: Tính tích phân
2
dx
2 cos x sin x 2
0
ĐS: ln
3
2
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
www.boxtailieu.net
23
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Ví dụ 2: Tính tích phân
dx
2
3cos x 2sin x 2
ĐS:
1 5
ln
3 2
ĐS:
1 4
ln
2 3
ĐS:
3
18
0
Ví dụ 3: Tính tích phân
4
2 cos
0
2
dx
x 3sin 2 x 2
Ví dụ 4: Tính tích phân
dx
4
sin 2 x 2
0
1 2sin x
2 cos x dx
ĐS:
2
dx
x b sin x cos x c cos2 x
u.
a sin
ne
0
Dạng 3 : Tích phân dạng
2 3
2 ln 2
9
t
Ví dụ 5: Tính tích phân
4
ilie
Cách giải:
ta
Cách 1: Đặt cos2 x ở mẫu làm thừa số chung sau đó đ ặt t tan x
3
dx
sin
x
sin
x
6
6
w
w
.b
Ví dụ 1:Tính I
ox
Cách 2: hạ bậc đưa về dạng 2
Giải:
w
3
dx
dx
2dx
I
2
3
3 sin x sin xcosx
1
sin x sin x 6 sin x
sin x cosx 6
6
6
2
2
3
3
3
6
co s x
2
2dx
3
3 tan 2 x tan x
6
2d tan x
tan x
3
3 tan x 1
2 3
6
d tan x
3 tan x
3 tan x 1
3
1
1
2 3
d tan x
3 tan x 1
3 tan x
6
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
www.boxtailieu.net
24
