Phân rã một số bài toán biên của phương trình song điều hòa về dãy các bài toán cấp hai nhờ toán tử đối xứng, xác định dương, compact trên không gian sobolev
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.26 MB, 52 trang )
hướng dẫn đọc toàn văn báo cáo KQNC
!
!
Bạn muốn đọc nhanh
những thông tin cần thiết ?
Hy đọc qua Mục lục bên tay trái bạn trước khi
đọc báo cáo ( với Acrobat 4.0 trở lên, cho trỏ chuột vào
mỗi đề mục để đọc toàn bộ dòng bị che khuất )
! Chọn đề mục muốn đọc và nháy chuột vào đó
!
!
Bạn muốn phóng to hay thu nhỏ
trang báo cáo trên màn hình ?
Chọn, nháy chuột vào 1 trong 3 kích th
thưước
có sẵn trên thanh Menu
, hoặc
! Mở View trên thanh Menu, Chọn Zoom to
! Chän tû lƯ cã s½n trong hép kÝch th
thưước
muốn,, Nhấn OK
hoặc tự điền tỷ lệ theo ý muốn
Chúc bạn hài lòng
với những thông tin đđưược cung cấp
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
VŨ QUỐC HUY
PHÂN RÃ MỘT SỐ BÀI TỐN BIÊN CỦA PHƢƠNG TRÌNH
SONG ĐIỀU HỊA VỀ DÃY CÁC BÀI TỐN CẤP HAI
NHỜ TỐN TỬ ĐỐI XỨNG, XÁC ĐỊNH DƢƠNG, COMPACT
TRÊN KHÔNG GIAN SOBOLEV
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
THÁI NGUN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
VŨ QUỐC HUY
PHÂN RÃ MỘT SỐ BÀI TỐN BIÊN CỦA PHƢƠNG TRÌNH
SONG ĐIỀU HỊA VỀ DÃY CÁC BÀI TỐN CẤP HAI
NHỜ TỐN TỬ ĐỐI XỨNG, XÁC ĐỊNH DƢƠNG, COMPACT
TRÊN KHÔNG GIAN SOBOLEV
Chuyên ngành: Tốn giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. LÊ TÙNG SƠN
THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi.
Các số liệu, kết quả trình bày trong luận văn là trung thực và chưa từng
được cơng bố trong bất cứ cơng trình nào. Tài liệu tham khảo và nội dung
trích dẫn đảm bảo sự trung thực và chính xác, tuân thủ các quy định về
quyền sở hữu trí tuệ.
Tác giả
Vũ Quốc Huy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
ii
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm - Đại
học Thái Nguyên dưới sự đề xuất hướng nghiên cứu, động viên thường xuyên
và tận tâm chỉ bảo nghiêm túc về chuyên môn của TS. Lê Tùng Sơn. Tơi xin bày
tỏ lịng biết ơn thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong
suốt q trình học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, các
thầy cơ giáo trong tổ Giải tích, các thầy cơ giáo trong trường Đại học sư phạm
- Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy và tạo điều kiện
thuận lợi cho tơi trong q trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên,
Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hịa Bình, trường THPT Lạc Sơn – Hịa Bình đã
tạo điều kiện giúp đỡ tơi về mọi mặt trong suốt q trình học tập và hồn thành
bản luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn bè, đồng nghiệp, gia đình và người
thân đã động viên khuyến khích và giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập,
nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Học viên
Vũ Quốc Huy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
iii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... ii
MỤC LỤC............................................................................................................iii
BẢNG KÍ HIỆU ................................................................................................... iv
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................................... 5
1.1. Không gian Sobolev ..................................................................................... 5
1.2. Tổng quan ngắn về bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng
tuyến tính cấp hai và cấp bốn .................................................................... 11
Chƣơng 2: SỰ PHÂN RÃ MỘT SỐ BÀI TỐN BIÊN ĐỐI VỚI PHƢƠNG
TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA VỀ DÃY CÁC BÀI TOÁN CẤP HAI NHỜ
TOÁN TỬ .......................................................................................................... 21
2.1. Lược đồ chung ............................................................................................ 21
2.2. Sự phân rã của bài toán biên thứ nhất đối với phương trình song điều
hịa về dãy các bài toán các bài toán cấp hai ............................................. 22
2.3. Sự phân rã của bài toán biên thứ hai đối với phương trình song điều
hịa về dãy các bài toán các bài toán cấp hai ............................................. 34
KẾT LUẬN CHUNG ......................................................................................... 43
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................ 44
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
iv
BẢNG KÍ HIỆU
Rn
- Khơng gian Euclide n chiều.
Ω
- Miền giới nội trong không gian R n .
- Biên trơn Lipschitz.
Ck ( )
- Khơng gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục.
C0 ( )
- Không gian các hàm khả vi vơ hạn lần có giá compact.
L2 ( )
- Khơng gian các hàm đo được bình phương khả tích.
H s( )
- Không gian Sobolev với chỉ số s.
1
2
H (
)
- Không gian Sobolev với chỉ số
1
- Không gian đối ngẫu với H0 ( ) .
H 1( )
1
2
H (
H01( )
V
.,.
V
1
.
2
)
1
2
0
- Không gian đối ngẫu với H (
).
- Khơng gian các hàm có vết bằng không trên
.
- Chuẩn xác định trên không gian V.
- Tích vơ hướng xác định trên khơng gian V.
C( )
- Hằng số vết.
C( )
- Hằng số Poincare.
E
- Ma trận đơn vị.
I
- Toán tử đơn vị.
P1
- Toán tử chiếu lên thành phần thứ nhất.
P2
- Toán tử chiếu lên thành phần thứ hai.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
1
MỞ ĐẦU
Phương trình đạo hàm riêng cấp cao mà tiêu biểu là phương trình song
điều hịa và phương trình kiểu song điều hịa là các lớp phương trình mơ tả
nhiều bài toán trong cơ học, vật lý, kỹ thuật,…
Nhiều bài toán cơ học, chẳng hạn như bài toán về độ võng của bản mỏng
dưới tác động của tỉ trọng (xem [ 24], [25]), các bài toán về lý thuyết đàn hồi
phẳng (xem [11]), các bài tốn về dịng chảy (xem [15], [21])… dẫn đến việc
giải phương trình song điều hịa
∆2u = f ,
(1)
trong đó ∆ là tốn tử Laplace trên một miền nào đó với các điều kiện biên.
Các bài tốn dẫn đến phương trình (1) đã và đang thu hút sự quan tâm của
nhiều nhà nghiên cứu. Đã có nhiều hướng tiếp cận khác nhau tới việc giải các bài
tốn biên cho các phương trình trên. Năm 2003, một bài tổng quan lớn của
Meleshko (xem [20]) đã được đăng tải trên “ Applied Mechanics Review” của
Hội kỹ sư cơ học Mỹ, trong đó tác giả đã hệ thống, tổng kết khá nhiều phương
pháp mà các nhà nghiên cứu cơ học đã sử dụng để giải bài toán song điều hòa
hai chiều như phương pháp hàm Green, phương pháp hàm phức và một số
phương pháp gần đúng giải tích như phương pháp chuỗi Fourier, phương pháp
Ritz, phương pháp Bubnov – Galerkin với các hàm cơ sở được chọn là các hàm
trơn đối với một số miền đặc biệt như hình chữ nhật, hình ellip,…
Trong khoảng thời gian gần ba chục năm trở lại đây, nhiều phương pháp
mới hữu hiệu hơn cho việc giải phương trình (1) đã được nghiên cứu và phát
triển trong các cơng trình của nhiều nhà tốn học như phương pháp phần tử hữu
hạn (xem [5]), phương pháp sai phân (xem [13], [14], [18], [25]).
Các phương trình kiểu song điều hòa
∆2u + bu = f , (b>0),
∆2u -a∆u + bu = f , (a>0, b>0),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
(2)
(3)
/>
2
mô tả sự uốn của bản trên nền đàn hồi cũng đã được Benzine (1988) (xem [3]),
Katsikadelis và Kallivokas (1988) giải bằng phương pháp tích phân biên (xem
[17]), Bjorstad và Bjorn (1997) trong [4] sau khi rời rạc hóa (3) với điều kiện
u
= 0 bằng phương pháp phổ Galerkin dựa trên đa thức được sự phát
n
biên u =
triển từ Shen, đã xây dựng được thuật toán O(N3).
Ý tưởng đưa việc giải bài tốn Dirichlet cho phương trình song điều hịa
về dãy các bài tốn đối với phương trình Poisson được thực hiện đầu tiên bởi
Palsev (1966), Meller (1968) và Dorodnitsyn (1971) (xem [21], [22], [23]).
Trong [16], Glowinski (1979) khi nghiên cứu việc giải lặp bài toán biên
Dirichlet đối với phương trình song điều hịa
∆2ψ= f, (x,y)
g1 ,
n
Ω
g2 ,
trên miền giới nội Ω R 2 với biên
mô tả sự uốn của bản đàn hồi,
=
đã đưa bài toán trên về dãy các bài toán cấp hai. Năm 1994, trong [8], Đặng
Quang Á khi nghiên cứu bài toán biên Dirichlet đối với phương trình kiểu song
điều hịa
2
Lu
u
g1,
u a u bu
u
n
f ,x
,
(4)
g 2,
trong đó Ω là miền giới nội trong n với biên
0, a
0, b
0, a 2
4b
0
=
đủ trơn,
đã đưa được bài toán trên về dãy các bài tốn cấp hai
đối với phương trình elliptic
L2 v
v
v b
,
v, x
,
v0,
L1u
u
f ,x
u u
u0 ,
1
a
a 2 4b ,
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
trong đó
/>
3
Năm 1999, trong [11], Đặng Quang Á cũng đã có được những kết quả
tương tự khi nghiên cứu các bài tốn biên của phương trình song điều hịa với
điều kiện biên hỗn hợp
2
u
u
f ,x
0,
,
u
n
trong đó Ω là miền giới nội trong ¡
1
m
0, u
2
0,
với biên đủ trơn, Γ1 và Γ2 là hai phần
biên không giao nhau của Γ , Γ = Γ1 U Γ2 .
Gần đây hơn là các kết quả nghiên cứu của Đặng Quang Á, Lê Tùng Sơn
năm 2006 đối với bài tốn biên của phương trình kiểu song điều hịa với điều
kiện biên khơng hỗn hợp
2
u a u bu f , x
u
u
g0 ,
g1 ,
n
,
năm 2007 [12] đối với bài tốn biên của phương trình kiểu song điều hịa với
điều kiện biên hỗn hợp
2
u
u bu
f ,x
,
u
g0 ,
g1 , u
n 1
2
g2 ,
vv,…
Theo hướng nghiên cứu các bài tốn trên tơi chọn đề tài ‘‘Phân rã một
số bài toán biên của phƣơng trình song điều hịa về dãy các bài tốn cấp
hai nhờ toán tử đối xứng, xác định dƣơng, compact trên không gian
Sobolev”.
Nội dung luận văn gồm 2 chương:
Chương 1 trình bày hệ thống các kiến thức chuẩn bị, các kết quả bổ trợ
bao gồm một số kiến thức cơ bản về khơng gian Sobolev, định tính của bài tốn
biên đối với phương trình elliptic cấp hai, định tính của bài tốn biên đối với
phương trình kiểu song điều hịa. Khối kiến thức cơ bản và các kết quả trong
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
4
chương 1 được sử dụng và làm cơ sở cho các kết quả nghiên cứu trình bày
trong chương 2.
Chương 2 đưa ra các kết quả nghiên cứu về việc phân rã hai bài toán cụ
thể về dãy các bài toán cấp hai mà quan hệ nghiệm của bài toán gốc và nghiệm
của bài tốn phân rã được thơng qua phương trình tốn tử.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
5
Chƣơng 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Các kiến thức trình bày trong chương này để sử dụng trong các chương
sau được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [6].
1.1. Không gian Sobolev
1.1.1. Không gian W1, p ([6])
Định nghĩa 1.1.1.1. Cho Ω là một miền giới nội trong R n , p
R,1
p
,
ta
định nghĩa
Lp (Ω ) =
{f : Ω ®
R f đo được và
ị
p
f (x) dx < + ¥ }
Ω
L¥ (Ω)= {f : Ω ® ¡ f đo được và tồn tại C Ỵ ¡
*
+
Sao cho f (x) < C với hầu ht x ẻ }.
p
Lloc
()=
{f : đ Ă
f ẻ Lp (U ) với bất kỳ tập mở U mà U Ì Ω}.
Định lý 1.1.1.2. Cho p Ỵ ¡ ,1 £ p £ + ¥ , LP (Ω ) là một khụng gian Banach
vi chun
1
ớù
p
ùù
ổ
ử
ỗỗ f x p dx ữ
ùù
ữ
, p<+Ơ
(
)
ữ
ỗỗũ
ữ
f LP () = ỡ
,
ữ
ố
ứ
ùù
ùù
ùùợ inf {C, f (x ) Ê C,x ẻ }, p=+Ơ
vi p = 2, L2() l một khơng gian Hilbert với tích vơ hướng
( f ,g )=
ị f (x)g (x)dx.
Ω
Định lý 1.1.1.3. Khơng gian L2(Ω) là tách được với 1 £ p < + ¥ ,lồi đều với
1
p, nghĩa là
1
1
= 1p¢
p
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
nếu 1 < p < + ¥ ,
/>
6
p Â= 1 nu p = + Ơ ,
nu p = 1.
pÂ= + Ơ
Khi ú
ũ
f (x)g (x) dx Ê f
Lp ()
.g
Â
Lp ( )
, " f ẻ Lp (),g ẻ LpÂ( ).
Ω
Với p = 2 ta có bất đẳng thức Cauchy – Schwartz.
Hệ quả 1.1.1.5. Với 1 £ p £ q £ + ¥
thì Lq (Ω )Ì Lp (Ω ) và
f
Lp (Ω )
£ C f
Lq (Ω )
,
trong đó hằng số C phụ thuộc vào p, q.
*,
Định lý 1.1.1.6. Cho 1 £ p Ê + Ơ , v p  l s liên hợp với p, f Ỵ éëêLp (Ω )ùúû khi ú
tn ti duy nht g ẻ LpÂ() sao cho
( f ,φ)éêL (Ω)ùú ,L (Ω) =
ë
hơn nữa g
¢
Lp (Ω )
= f
p
*
p
û
ị g (x)φ(x)dx , " φ Ỵ
Lp (Ω ),
Ω
[Lp (Ω )]*
1.1.2. Đạo hàm suy rộng và không gian Wm,p(Ω) ([2],[19])
Cho Ω là một miền giới nội trong ¡ n , (n=1,2,…), kí hiệu
Dα =
là đa chỉ số với các thành phần
¶ α1 + α2 + ...+ αn
, α = (α1 ,α2 ,...,αn )
¶ x1α1 x2α2 ...xnαn
αi
là các số ngun khơng âm,
α = α1 + α2 + ... + αn , p ³ 1, f Ỵ Lp (U ) với mọi tập con mở U Ì Ω, U Ì Ω và C0¥ (Ω )
là tập các hàm f khả vi vô hạn lần trên Ω sao cho supp f Ì Ω trong đó suppf là
giá của hàm f.
Cho u,ω Ỵ L1loc (Ω ) thì ω được gọi là đạo hàm suy rộng của u bậc α nếu
α
ò uD φdx = (- 1) ũ dx, vi ẻ
C Ơ ( ) .
Kớ hiu ω = Dαu .
Định nghĩa 1.1.2.1. Không gian Sobolev W m,p (Ω ), trong đó m là một số
nguyên dương, được xác định bởi
W m,p (Ω)= u u Ỵ Lp (Ω),Dαu Ỵ Lp (Ω ), " α, α £ m ,
{
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
}
/>
7
với m = 0, đặt W 0,p (Ω ) = Lp (Ω ), với p=2, kí hiệu W m,2 (Ω ) = H m (Ω ).
Định lý 1.1.2.2. Không gianW m,p (Ω ) là không gian Banach tương ứng với chun
ổ
f W m ,p () = ỗỗỗồ D f
ỗố Ê m
1
p
ử
p
ữ
ữ
,1 Ê p < + Ơ .
ữ
Lp ( ) ÷
÷
ø
Không gian H m (Ω) là không gian Hilbert với tích vơ hướng
( f ,g )H
m
(Ω)
=
å (D
α
f ,Dα g ) 2
L (Ω)
α£ m
, " f ,g Ỵ H m ( Ω ).
Định lý 1.1.2.3. (The Sobolev imbedding Theorem) Cho Ω là một miền giới
nội trong ¡ n có biên khả vi lớp C1. Khi đó
é 2n ù
ú,
êë n - 2 ú
û
a)Nếu n ³ 3 thì H 1 (Ω )Ì Lq (Ω), q Ỵ ê1,
b)Nếu n = 2 thì H 1 (Ω )Ì Lq (Ω ), q ³ 1,
c) H (Ω )Ì C
m
é n ù
êm- - ε ú
êë 2 úû
(Ω ), ε > 0,
trong đó các tốn tử nhúng trong a), b), c) là compact.
Hệ quả 1.1.2.4. Với m1 > m > 0, ta có
H m1 (Ω )Ì H m (Ω )Ì L2 (Ω ) = H 0 (Ω ).
Định lý 1.1.2.5. (Về tính trù mật) Cho 1 £ p < + ¥ , D (¡
compact trong ¡
n
khi đó D (¡
n
n
) là tập các hàm có giá
)trù mật trong W 1,p (¡ n ),hơn nữa nếu
¶ Ω là
liên
tục Lipschitz thì D (Ω) trù mật trong W 1,p (Ω ) .
Định lý 1.1.2.6. (Định lý về sự thác triển) Giả sử ¶ Ω là liên tục Lipschitz, khi
đó tồn tại một tốn tử thác triển tuyến tính liên tục P từ H 1 (Ω ) vào H 1 (¡
thỏa mãn
i)
Pu = u trên Ω
ii)
Pu L2 (¡ n ) £ C u
iii)
Pu
( n)
H1 ¡
£C u
L2 (Ω )
,
H 1(Ω)
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
n
)
8
1.1.3. Khơng gian H s (Ω ), s Ỵ ¡ .
Trong mục này, ta đưa ra định nghĩa các không gian H s (Ω ) với s không
nguyên. Xét không gian
S (Ă
n
)= {u ẻ
C Ơ (Ă
n
}
x D u £ Cα ,β ,
) " α, β, $Cα ,β > 0,
trong đó x = (x1 ,x2 ,...,xn )Ỵ ¡ n , x α = x1α x2α ...xnα . Trong S (¡
2
u S (¡ n ) =
1
2
ò (1 +
ξ
¡
$u
n
2 s
) $u (ξ )
2
dξ ,
n
) xét chuẩn sau
(*)
n
là biến đổi Fourier của u tại điểm ξ ,
n
$u (ξ ) = (2π )- 2 e- i(x,ξ )u (x)dx.
ị
¡
n
Định nghĩa 1.1.3.1. Khơng gian Sobolev H s (¡
H s (¡
n
n
) với
s Ỵ ¡ được xác định bởi
)= S (¡ n ),
trong đó bao đóng được lấy theo chuẩn (*).
Định nghĩa 1.1.3.2. Không gian Sobolev H 0s (Ω ), trong đó Ω là một miền giới
nội nào đó trong ¡
n
được xác định bởi
H 0s (Ω )= C0¥ (Ω ),
trong đó C0¥ (Ω ) là tập các hàm khả vi vơ hạn lần có giá compact trên Ω và bao
đóng được lấy theo chuẩn (*).
Định nghĩa 1.1.3.3. Khơng gian Sobolev H s (Ω ) với s Ỵ ¡ được xác định bởi
{
H s (Ω ) = u $u%Ỵ H s (¡
trong đó
u
H s (Ω )
n
= °inf u%
u
Ω=
u
% ) = (u,), " ẻ
),u% = u,(u,
}
C0Ơ ( )
( n)
Hs ¡
1.1.4. Vết của hàm trên biên ([6])
Định lý 1.1.4.1. (Định lý Vết) Giả sử Ω là một miền mở trong ¡
n
có biên ¶ Ω
là liên tục Lipschitz, khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liờn tc
: H 1 ( ) đ L2 (ả Ω )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
9
sao cho vi bt k u ẻ H 1 ()ầ C 0 (Ω) ta có γ (u ) = u
¶Ω
.
Hàm γ (u ) được gọi là Vết của u trên ¶ Ω .
Định lý 1.1.4.2. Giả sử ¶ Ω là liên tục Lipschitz, khi đó
1
i) H 2 (¶ Ω ) là một khơng gian Banach với chuẩn
u
2
2
=
1
H 2 (¶ Ω )
ò u (x) ds + ò ò
u (x)- u ( y )
x
¶Ω
¶Ω ¶Ω
2
x- y
ds x ds y .
ii) Tồn tại một hằng số Cγ (Ω ) sao cho
γ (u ) H 12
(¶ Ω )
£ cγ (Ω ) u
H 1(Ω )
, " u Ỵ H 1 (Ω ) .
Cγ (Ω ) được gọi là hằng số Vết.
1
iii) Nhúng H 2 (¶ )è L2 (ả ) l compact.
iv) Tp {u
1
Ơ
ả ,u ẻ C (Ă
n
)}
trự mt trong H 2 (ả Ω )
v)Tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục
1
g Ỵ H 2 (ả ) đ u g ẻ H 1 (Ω ),
với γ (ug ) = g và tồn tại một hằng số C1 (Ω ) chỉ phụ thuộc và miền Ω sao cho
1
ug
£ C1 (Ω ) g
H 1(Ω )
1
H2
, " g ẻ H 2 (ả ) .
(ả Ω )
Định lý 1.1.4.3. (Cơng thức Green) Giả sử ¶ Ω liên tục Lipschitz, cho
u,v Ỵ H 1 (Ω ) ,
khi đó
¶v
¶u
i
i
ị u ¶ x dx = - ị v ¶ x
Ω
Ω
dx +
ò γ (u )γ (v)n ds,
i
¶Ω
với 1 £ i £ N , trong đó n = (n1 ,n2 ,...,nN ) là vectơ pháp tuyến ngoài của Ω.
Định lý 1.1.4.4. (Bất đẳng thức Poincare) Tồn tại một hằng số
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
CΩ
sao cho
/>
10
u
L2 (Ω )
£ CΩ Ñ u
L2 (Ω )
, " u ẻ H 01 ( )
ổả u ả u
ử
ảu ữ
ữ
,
,...,
,C l hng s ph thuc vo ng kớnh ca ,
ữ
ả xn ữ
ốỗả x1 ả x2
ứ
trong ú ẹ u = ỗỗỗ
c gi là hằng số Poincare và
{
}
H 01 (Ω)= u u Ỵ H 1 (Ω ),γ (u )= 0 .
Bất đẳng thức Poincare có ý nghĩa: u = Đ u
L2 (Ω )
là một chuẩn trên
H 01 (Ω ) tương đương với chuẩn của H 1 (Ω ) đã được xác định.
1
-
1.1.5. Không gian H - 1 (Ω ) và H 2 (¶ Ω )([6]).
Định nghĩa 1.1.5.1. Ta kí hiệu H - 1 (Ω ) là một không gian Banach được xác
định bởi H - 1 (Ω ) = (H 01 (Ω ))¢ với chuẩn
u
L2 (Ω )
£ CΩ Ñ u
L2 (Ω )
Định lý 1.1.5.2. Cho F Ỵ H - 1 (Ω ) thì tồn tại (n+1) hàm
n
sao cho
F = f0 +
å
i= 1
trong L2 (Ω )
f 0 , f1 ,..., f n
¶ fi
¶ xi
theo nghĩa phân bố và đồng thời
F
n
2
H
- 1
= inf
(Ω )
å
fi
2
L2 (Ω )
,
i= 0
n+ 1.
trong đó infimum lấy trên tất cả các vectơ ( f0 , f1 ,..., f n ) Ỵ éêëL2 (Ω )ùúû .
-
1
Định nghĩa 1.1.5.3. Giả sử ¶ Ω liên tục Lipschitz, ta ký hiệu H 2 (¶ Ω )là một
khơng gian Banach được xác định bởi
H
-
1
2
(¶ Ω ) =
ổ 1
ửÂ
ỗỗH 2 (ả )ữ
ữ
ữ
ỗỗố
ữ
ứ
vi chun tng ng
S húa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
11
F ,u
F
1
H 2
(¶ Ω )
=
sup
1
H2
\ 0}
(¶ Ω ){
H
u
-
1
2
1
(Ω),H 2 (Ω)
1
H2
.
(Ω)
1.2. Tổng quan ngắn về bài toán biên đối với phƣơng trình đạo hàm riêng
tuyến tính cấp hai và cấp bốn
Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2m của ẩn hàm
u (x),x = (x1 ,x2 ,...,xn )Ỵ Ω Ì ¡ n , trong đó Ω là miền giới nội với biên Γ = ¶ Ω
Au =
å
aα (x)D α u = f (x ),
(1.1)
α £ 2m
trong đó α = (α1 ,...,n ), j ẻ Ơ , = 1 + ... + αn , j = 1, 2,...,n.
Dα =
¶
α
¶ αx11 ¶ αx 22 ...¶ αxnn
,
aα (x), f (x ) là các hàm cho trước, A là một toán tử vi phân tuyến tính. Với
m = 1 , (1.1) là phương trình đạo hàm riêng cấp 2, với m = 2 , (1.1) là phương
trình đạo hàm riêng cấp 4.
Giả thiết nghiệm của (1.1) được xét trong Ω Ì ¡ n . Bài tốn tìm nghiệm
của (1.1) sao cho trên biên Γ = ¶ Ω của Ω, nghiệm u(x) thỏa mãn một số điều
kiện biên sau đây
B j (u ) Γ = g j , j = 0,1,...,m - 1,
(1.2)
được gọi là bài toán biên (1.1), (1.2).
Định lý 1.2.1. (Định lý Lax – Milgram) ([6]). Giả sử V là không gian Hilbert,
dạng song tuyến tính a(.,.): V ´ V ® ¡
liên tục và V - elliptic theo nghĩa
2
$ α > 0, " v Ỵ V ,a (v,v)³ α v , và f :V a ¡ là dạng tuyến tính liên tục. Khi đó bài
tốn biến phân trừu tượng: tìm u Ỵ V sao cho
a (u,v) = f (v), " v Ỵ V
có nghiệm duy nhất.
1.2.2. Bài tốn biên đối với phƣơng trình elliptic cấp hai ([6])
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
12
Bài toán 1.2.2.1. (Bài toán Dirichlet) Giả sử A(x) = (aij (x ))n´ n , f Ỵ H 1 (Ω ) xét bài
toán sau, gọi là bài toán Dirichlet thuần nhất
íï - div (A(x )Đ u (x)) = f (x ),x ẻ
ù
ỡ
ùù
u (x) = 0,x ẻ ả
ùợ
(1.3)
Dng bin phân của bài tốn trên là tìm u Ỵ H 01 (Ω ) thỏa mãn
a (u,v ) = f ,v
H 1 (Ω ),H 01
, " v Ỵ H 01 (Ω ),
(1.4)
trong đó
n
a (u,v) =
¶u ¶v
dx =
i ¶ xj
å ị a (x)¶ x
ij
i , j= 1 Ω
ị vdx , " u,v Ỵ
H 1 (Ω).
Ω
n´ n
Bổ đề 1.2.2.2. Giả sử ¶ Ω khả vi lớp C1. Cho A Ỵ (C1 (Ω )) , f Ỵ C 0 (Ω ) và
u Î C 2 (Ω). Khi đó u là nghiệm của bài tốn (1.3) nếu u là nghiệm của (1.4).
n´ n
Kí hiệu M (α, β,Ω ) là tập hợp các ma trn (aij (x))n n ẻ (LƠ ()) vi
, ẻ ¡ ,0 < α < β
thỏa mãn
íï (A(x) λ,λ)³ α λ 2 ,
ï
ì
ïï A(x) λ £ β λ ,
ïỵ
trong đó λ Ỵ ¡ .
Định lý 1.2.2.3. (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet thuần nhất)
Giả sử ma trận A Ỵ M (α, β,Ω ) thì với bất kỳ f Ỵ H - 1 (Ω), tồn tại duy nhất
nghiệm u Ỵ H 01 (Ω ) của bài tốn (1.4). Hơn nữa
u
H 01 (Ω)
£
1
f
α
H - 1(Ω)
,
trong đó
u
H 01 (Ω )
= Đu
L2 (Ω )
,
nếu f Ỵ L2 (Ω ) thì nghiệm này thỏa mãn ước lượng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
13
u
H 01 (Ω)
£
CΩ
f
α
L2 (Ω)
,
trong đó CΩ hằng số Poincare.
1
Cho f Î H - 1 (Ω ),g Î H 2 (¶ Ω ). Xét bài toán sau, gọi là bài toán Dirichlet
khơng thuần nhất
íï - div (A(x)Đ (x)) = f (x ),x ẻ
ù
ỡ
ùù
u (x) = g (x),x ẻ ả .
ùợ
(1.5)
nh lý 1.2.2.4. (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet khơng thuần
nhất) Giả sử ¶ Ω liên tục Lipschitz và ma trận A Ỵ M (α, β,Ω ). Cho
1
f Î H - 1 (Ω ),g Î H 2 (¶ Ω )
thì bài tốn (1.5) tồn tại duy nhất nghiệm u Ỵ H 1 (Ω ).
Hơn nữa
u
H 1 (Ω )
£ C1 f
H - 1(Ω )
+ C2 g
,
1
H 2 (¶ Ω )
trong đó
C1 =
2(1+ CΩ )
1+ CΩ
,C2 =
βC1 (Ω)
α
α
là hai hằng số dương phụ thuộc vào α, β,Ω .
Bài toán 1.2.2.5. (Bi toỏn Neumann) Cho f ẻ (H 1 ( ))Â, xét bài tốn sau, gọi là
bài tốn Neumann thuần nhất
íï - div (A(x)Ñ (x))+ u (x) = f (x ), x ẻ
ùù
ùỡ
ả u (x)
ùù
= 0, x ẻ ả .
ùù
ả
v
A
ợ
ả
=
trong đó
¶ vA
n
å
i , j= 1
a ij (x)ni
(1.6)
¶
,n = (n1 ,...,nn ) là vectơ pháp tuyến ngồi tới biên
¶ xi
¶Ω .
Dạng biến phân của bài tốn trên là tìm u Ỵ H 1 (Ω ) thỏa mãn
a (u,v)= f ,v (H 1())Â,H 1() , " v ẻ H 1 (),
S húa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
(1.7)
/>
14
trong đó
a (u,v)=
ị vdx + ị uvdx , " u,v Ỵ
Ω
H 1 (Ω).
Ω
Định lý 1.2.2.6. (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Neumann thuần nhất)
Giả sử ma trận A Ỵ M (α, β,Ω )thì với bất kì f ẻ (H - 1 ( ))Â, tn ti duy nhất
nghiệm u Ỵ H 1 (Ω ) của bài tốn (1.7). Hơn nữa
u
£
H 1(Ω )
1
f (H 1(Ω))¢ ,
α0
trong đó α0 = min {1,α}. Nếu f Ỵ L2 (Ω ) thì nghiệm này thỏa mãn ước lượng
u
H 1(Ω )
£
1
f
α0
L2 (Ω )
.
1
-
Giả s ả liờn tc Lipschitz, cho f ẻ L2 ( ),g ẻ H 2 (ả ). Xột bi tốn
sau, gọi là bài tốn Neumann khơng thuần nhất
íï - div (A(x)ẹ (x))+ u (x) = f (x),x ẻ
ùù
ùỡ
ả u (x)
ùù
= g (x),x ẻ ả .
ùù
ả
v
A
ợ
(1.8)
Dng bin phõn ca bài tốn trên là tìm u Ỵ H 1 (Ω ) thỏa mãn
a (u,v)=
ị fvdx +
g,v
H
-
1
2
1
(¶ Ω),H 2 (¶ Ω)
, " v Ỵ H 1 (Ω) .
(1.9)
Ω
Định lý 1.2.2.7. (Về sự duy nhất nghiệm của bài tốn Neumann khơng thuần nhất)
Giả sử ¶ Ω liên tục Lipschitz và ma trận A Ỵ M (α, β,Ω )thì với bất kì
f Ỵ L ( ),g ẻ H
2
-
1
2
1
(ả ), bi toỏn (1.9) tồn tại duy nhất nghiệm u Ỵ H (Ω ). Hơn nữa
u
£
H (Ω )
1
1
α0
(f
L2 (Ω )
+ Cγ (Ω ) g
H
-
1
2
(¶ Ω )
),
trong đó α0 = min {1,α}và Cγ (Ω ) là hằng số vết.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
15
Giả sử ¶ Ω liên tục Lipschitz,
Bài tốn 1.2.2.8. (Bài tốn Robin)
-
1
cho f Ỵ L1 (Ω ),g Ỵ H 2 (¶ Ω ) . Xét bài tốn sau, gọi là bài tốn Robin khơng
thuần nhất
íï - div (A(x)Đ (x))+ u (x)= f (x),x ẻ
ùù
ùỡ
ả u (x)
ùù
+ du (x) = g (x),x ẻ ả .
ùù
ả vA
ợ
(1.10)
trong ú d ẻ Ă , d ³ 0 . Dạng biến phân của bài tốn trên là tìm u Ỵ H 1 (Ω )
thỏa mãn
a (u,v)=
ị fvdx +
g,v
H
-
1
2
1
(¶ Ω),H 2 (¶ Ω)
, " v Ỵ H 1 (Ω)
(1.11)
Ω
trong đó
a (u,v)=
ị vdx + ũ uvdx +ũ uvds, " u,v ẻ
H 1 ().
ả
nh lý 1.2.2.9. (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Robin khơng thuần nhất)
Giả sử ¶ Ω liên tục Lipschitz và ma trận A Ỵ M (α, β,Ω )thì với bất kỡ
f ẻ L2 ( ),g ẻ H
-
1
2
1
(ả ), bi tốn (1.10) tồn tại duy nhất nghiệm u Ỵ H (Ω ).
Hơn nữa
u
H 1(Ω )
£
1
α0
(f
L2 (Ω )
+ Cγ (Ω ) g
H
-
1
2
(¶ Ω )
),
trong đó α0 = min {1,α}và Cγ (Ω ) là hằng số vết.
Cho Ω là liên thông, giả sử ¶ Ω là liên tục Lipschitz, sao cho
trong đó
Γ1
và
Γ2
là hai biên rời nhau của
Ω , Γ1
¶ Ω = Γ1 È Γ2
có độ đo dương. Xét bài tốn sau
gọi là bài tốn Robin-Dirichlet hỗn hợp
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
16
íï
ïï
ïï - div (A(x)Đ (x)) = f (x ), x Ỵ Ω
ïï
u (x) = 0, x Ỵ Γ1
ì
ïï
ïï ¶ u (x)
+ du (x) = 0, x ẻ 2 .
ùù
ả vA
ùợ
(1.12)
trong đó d ³ 0 . Xét khơng gian
V = {u Î H 1 (Ω) γ (u )= 0,x Î Γ1 }.
Khơng gian này được trang bị chuẩn
u
V
= Đu
L2 (Ω )
Cho f Ỵ L2 (Ω ) , khi đó dạng biến phân của bài tốn trên là tìm u Ỵ V
thỏa mãn
a (u,v)=
ị fvdx , " v Ỵ V ,
(1.13)
Ω
trong đó
a (u,v)=
ị vdx + d ị uvds, " u,v Î V .
Ω
¶Ω
Định lý 1.2.2.10. (Sự duy nhất nghiệm của bài tốn Robin-Dirichlet hỗn hợp)
Cho Ω là liên thơng, giả sử ¶ Ω là liên tục Lipschitz, sao cho
trong đó
Γ1
và
Γ2
là hai biên rời nhau của
Ω , Γ1
¶ Ω = Γ1 È Γ2
có độ đo dương. Cho ma trận
A Ỵ M (α, β,Ω ), khi đó bài tốn (1.13)tồn tại duy nhất nghiệm u Ỵ V . Hơn nữa
uV£
trong đó
CΩ
CΩ
f
α
L2 (Ω)
,
là hằng số Poincare.
(Các chứng minh của các Bổ đề, Định lý trong mục 1.2.2 [6])
1.2.3. Bài toán biên đối với phƣơng trình kiểu song điều hịa ([1])
Cho V là một không gian Hilbert, ký hiệu không gian đối ngẫu của nó là
V ¢ và đặt
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
17
( f ,v)= ( f ,v)V = f (v); f Î V ¢,v Î V ,
là giá trị của hàm tuyến tính liên tục f tại v . Dạng song tuyến tính ( f,v ) được
gọi là cặp đối ngẫu trên V ¢´ V . Nếu u là chuẩn trên V thỡ chun V Â s l
f
= Sup
*
( f ,v)
vẻ V
v
; ( f ,v ) £ f
*
v .
Theo định lý Riesz, tồn tại một đẳng cấu J :V ® V ¢. Ký hiệu ((u,v)) là
tích vơ hướng trên V , đẳng cấu J được xác định bởi
((u,v))= (Ju;v), " u,v Ỵ V
và V ¢là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng
((u,v))= (Ju;v), " u,v Ỵ V .
Khi đó V là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng
(( f ,g ))* = (J - 1 f ; J - 1g ) = ( f ; J - 1g ), f ,g Ỵ V ¢.
Nếu J = I là tốn tử đơn vị hoặc đồng nhất ((u,v)) với các cặp đối ngẫu
( f ,v)= (( f ,v)) trên V ´ V thì V đồng nhất với
V ¢.
Trong trường hợp này ta nói
V là một không gian lõi.
Nếu H là một không gian lõi, T là một khơng gian Hilbert, γ Ỵ L (V ,T )
thỏa mãn
(i) Ánh xạ γ :V ® T là toàn ánh.
(ii) V là một tập con của T với một tôpô mạnh.
(iii)Nhân V0 của γ trù mật trong H ,
thì ta có các bao hàm thức sau
(a)
(b)
V Ì H = H ¢Ì V ¢,
V0 Ì H = H ¢Ì V0¢,
trong đó các tốn tử nhúng là liên tục và trù mật.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
18
Xét toán tử D 2 + λ với dạng song tuyến tính tương ứng là
a (u,v ) =
ị
Ω
D uD vdx + λ ị uvdx .
Ω
Phải chọn một khơng gian Hilbert V sao cho
(1) a (u,v) là liên tục và V -elliptic.
(2) Tồn tại các không gian H và T và γ Ỵ L (V ,T ) sao cho các điều kiện
trong (i),(ii),(iii) nói trên được thỏa mãn.
Khi đó, ta có:
+ (Bài toán Neumann) Nếu chọn
V = H (Ω,D )= {u Î L2 (Ω ) D u Î L2 (Ω )}
thì a (u,v) là V -elliptic với λ > 0 .
+ Dạng a (u,v) liên tục trên H 2 (Ω ) nhưng a (u,v) không H 2 (Ω )- elliptic.
Ký hiệu
{
}
H (Ω,D ,D 2 ) = u Ỵ L2 (Ω ) D u,D 2u Ỵ L2 (Ω ) ,
ta có định lý
Định lý 1.2.3.1. Giả sử Ω là miền trơn và λ > 0 hoặc là λ £ 0 mà không là giá
trị riêng. Cho f Ỵ L2 (Ω ),t0 Ỵ H 3 2 (Γ ),t1 Ỵ H 1 2 (Γ ). Khi đó, tồn tại duy nhất nghiệm
của một trong hai bài toán dưới đây:
1. Bài toán Neumann đối với tốn tử D 2 + λ
Tìm u Ỵ H (Ω,D ,D 2 ) thỏa mãn
D 2u + λu = f ,
γ0D u = t0 ,
γ1D u = t1 .
2. Bài toán Neumann biến phân đối với toán tử D 2 + λ
Tìm u Ỵ H (Ω,D ) thỏa mãn
a (u,v) = ( f ,v)+ < t1 ,γ0v > - < t0 ,γ1v > , " v Ỵ H (Ω,D ) .
Xét không gian H 2 (Ω,D 2 ) được xã định bởi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>
