MỘT SỐ KHÓ KHĂN VÀ SAI SÓT CỦA HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG

SKKN – Nguyễn Nghi (2008 – 2009) - 1 -
A. ĐẶT VẤN ĐỀ .
I) LỜI MỞ ĐẦU.
Mỗi vấn đề của toán học bao giờ cũng có phần cơ bản và phần mở rộng. Trong phần cơ bản cũng có
những chổ dễ bị nhầm lẫn dẫn đến sai sót đáng tiếc. Trong phần mở rộng đòi hỏi người giải phải biết
vận dụng các kiến thức đã biết để đặt vấn đề và giải quyết vấn đề đó một cách rạch ròi, chính xác.
Trong quá trình giải quyết vấn đề đôi khi còn đòi hỏi thủ thuật tính toán cho nhanh, gọn.
Nhiệm vụ của người Thầy cần chỉ cho các em những chổ các em dễ bị thiếu
sót, dễ bị nhầm lẩn, cần đặt vấn đề liên quan rộng hơn để các em tập giải quyết vấn đề, cần chỉ ra đôi
chổ cần có thủ thuật tính toán để các em làm quen
Với lý do đó tôi chọn đề tài:
“MỘT SỐ KHÓ KHĂN VÀ SAI SÓT CỦA HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG”
II/ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU.
1)Thực trạng:
+ Trong chương trình giải tích 11, kiến thức về tiếp tuyến với đường cong các em đã học dưới
dạng áp dụng ý nghĩa hình học của đạo hàm cấp 1: Phương trình tiếp tuyến với đường cong y = f(x) tại
điểm M(x
0
; y
0
) là :
y = f’(x
0
)(x – x
0
) + y
0
Dạng toán vận dụng công thức này thì đơn giản hơn, ít có dạng đòi hỏi tư duy cao hơn
+ Trong chương trình giải tích 12, kiến thức về tiếp tuyến với đường cong các em gặp lại nhưng
dưới dạng định nghĩa tổng quát hơn: Đường thẳng y = kx + b là tiếp tuyến của đường cong y = f(x) khi

và chỉ khi hệ phương trình
( ) (1)
'( ) (2)
f x kx b
f x k
 




(*)
có nghiệm x = x
0
(x
0
là hoành độ tiếp điểm của tiếp tiếp tuyến có hệ số góc k)
Vì khái niệm tiếp tuyến bắt nguồn từ định nghĩa này, cho nên quan niệm “Phương trình (1) có
nghiệm kép suy ra đường thẳng y = kx + b là tiếp tuyến của đường cong y = f(x)” cũng đồng nghĩa với
quan niệm “ Phương trình (1) có nghiệm kép suy ra hệ phương trình (*) có nghiệm”- Điều này có lẻ
chưa chứng minh được, do đó quan niệm thứ nhất không được dùng nữa!
Dạng toán vận dụng công thức này thì phong phú hơn, nhiều dạng đòi hỏi tư duy
cao hơn
Như vậy vấn đề tiếp tuyến các em gặp lại hai lần trong hai năm học, nhưng thực tế các em vẫn
còn một số khó khăn và một số sai sót khi giải bài toán liên quan đến tiếp tuyến
+ Dạng toán liên quan đến tiếp tuyến thường gặp trong các kỳ thi TNTHPT và tuyển sinh ĐH -
CĐ
2/ Cách tiến hành:
Từ thực trạng trên, để công việc giảng dạy được tốt hơn, tôi đã đầu tư sưu tầm
và sáng tạo ra một số dạng toán liên quan đến tiếp tuyến để các em làm quen, tìm tòi những chổ các em
dễ thiếu sót để cảnh báo, những thủ thuật tính toán cần thiết nhằm giúp các em vững tin hơn khi gặp

các bài toán về tiếp tuyến
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
I/ MỘT SỐ SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG MẮC PHẢI
1) Học sinh thường nghỉ sai lầm là: Ứng với hai tiếp điểm khác nhau thì hai tiếp tuyến khác
nhau
SKKN – Nguyễn Nghi (2008 – 2009) - 2 -
Ta biết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x)
Tại điểm M(x
0
; y
0
) là d
1
: y = f’(x
0
)(x – x
0
) + y
0
Tại điểm N(x
1
; y
1
) là d
2
: y = f’(x
1
)(x – x
1
) + y

1
Vậy nếu x
0
≠ x
1
mà f’(x
0
) = f’(x
1
) và – x
0
.f’(x
0
) + y
0
= – x
1
.f’(x
1
) + y
1
thì d
1
trùng d
2
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) = x
4
– 2x
2
+ 3 (C). Tìm trên đồ thị (C) những điểm mà tiếp tuyến với (C)

tại điểm đó song song tiếp tuyến với (C) tại điểm A(1; 2)
Học sinh giải: Gọi B(x
0
; y
0
) thuộc (C) là điểm cần tìm và B không trùng A nên điều kiện x
0
≠ 1
Tiếp tuyến tại B song song tiếp tuyến tại A nên ta có
f’(x
0
) = f’(1)  4x
0
3
– 4x
0
= 0  4x
0
(x
0
2
– 1) = 0  x
0
= 0, x
0
= -1, x
0
= 1 (loại)
Vậy B là điểm B
1

(0; 3) hoặc B
2
(-1, 2)
Thực chất tiếp tuyến tại B
1
(0; 3) có phương trình là: y = 3, tiếp tuyến tại B
2
(-1; 2) có phương trình
là: y = 2, tiếp tuyến tại A(1;2) có phương trình là: y = 2. Do đó chọn B(0;3)
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) = x
4
– 2x
2
+ 3 (*). Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà qua đó ta
kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) của hàm số (*).
Học sinh giải: Gọi M(a; 2) là điểm thuộc đường thẳng y = 2. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm
M có hệ số góc k là y = k(x – a) + 2. Ta có d là tiếp tuyến của (C)  hệ phương trình sau có nghiệm
4 2
3
2 3 ( ) 2 (1)
4 4 (2)
x x k x a
x x k

    


 



Thế (2) vào (1) ta được phương trình:
4 3 2
3 4 2 4 1 0
x ax x ax
    
2 2
( 1)(3 4 1) 0
x x ax
    
(3)
2
2
1 0
( ) 3 4 1 0
x
g x x ax

 


   

Qua M(a; 2) kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với (C)  phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt 
phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt đều khác -1 và khác 1

' 0
(1) 0
( 1) 0
g
g

g
 





 

2
4 3 0
4 4 0
4 4 0
a
a
a

 

  


 

3 3
2 2
1
1
a a
a

a

   



 


 



 
3 3
; ; \ 1;1
2 2
a D
   
      
   
   
   

Vậy qua điểm M(a; 2) thuộc đường thẳng y = 2 với a

D ta kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị
(C) của hàm số (*)
Kết luận này sai vì x
2

– 1 = 0

x = 1; x = -1 thế vào (2) ta được hai giá trị k bằng nhau, thế vào
hàm số được 2 tung độ tiếp điểm bằng nhau nên 2 tiếp tuyến ứng với hai hoành độ tiếp điểm này
trùng nhau. Do đó không tồn tại điểm M trên đường thẳng y = 2 để qua đó kẻ được 4 tiếp tuyến
phân biệt với (C)
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 3 (*). Tìm trên đường thẳng y = - 1 những điểm mà qua đó kẻ được
3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) của hàm số (*)
Học sinh giải:
Gọi M(a; -1) là điểm thuộc đường thẳng y = -1. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M có hệ số
góc k là y = k(x – a) – 1. Ta có d là tiếp tuyến của (C)  hệ phương trình sau có nghiệm
SKKN – Nguyễn Nghi (2008 – 2009) - 3 -
3 2
2
3 3 ( ) 1 (1)
3 6 (2)
x x k x a
x x k

    


 


Thế (2) vào (1) ta được phương trình:

3 2
2 (3 3) 6 4 0
x a x ax
    
2
( 2) 2 (1 3 ) 2 0
x x a x
 
     
 
(3)
2
2
( ) 2 (1 3 ) 2 0
x
g x x a x




    

Qua M(a; 2) kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với (C)  phương trình (3) có 3 nghiệm phân biệt 
phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
đều khác 2 
' 0
(2) 0

g
g
 




1
5
2
3
a
a
 




 

Thực ra cách lý luận này chưa hoàn chỉnh, biết đâu xảy ra k(x
1
) = k(x
2
) hoặc k(x
1
) = k(2) hoặc k(2)
= k(x
2
) thì sao!

Ta phải lý luận như sau: Qua M(a; 2) kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với (C)  phương trình (3) có 3
nghiệm phân biệt và thề vào (2) được 3 giá trị k khác nhau  phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm phân
biệt x
1
, x
2
đều khác 2 và k(x
1
) ≠ k(x
2
) và k(x
1
) ≠ k(2) và k(2) ≠ k(x
2
)

  
1 2
1 2
' 0
(2) 0
( ) ( ) 0
( ) (2) ( ) (2) 0
g
g
k x k x
k x k k x k
 






 


  

2
1 2 1 2
1 2 1 2
(1 3 ) 16 0
6 12 0
3( )( 2) 0
3 ( 2)( 2) 0
a
a
x x x x
x x x x

  

  



   


  


2
1 2
1 2
(1 3 ) 16 0
6 12 0
2 0
3 0
a
a
x x
x x

  

  



  




1
5
2
3
a
a

 




 

Ví dụ 4: Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 3 (C). Tìm trên đồ thị (C) những điểm mà qua đó kẻ đúng một tiếp
tuyến với đồ thị (C)
Học sinh giải:
Gọi M(x
0
; y
0
) thuộc (C)  y
0
= x
0
3
– 3x
0
2
+ 3
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d đi qua điểm M(x
0
; y

0
). Ta có phương trình đường thẳng d: y =
k(x – x
0
) + x
0
3
– 3x
0
2
+ 3
Ta có d là tiếp tuyến của (C)  hệ phương trình sau có nghiệm
3 2 3 2
0 0 0
2
3 3 ( ) 3 3 (1)
3 6 (2)
x x k x x x x
x x k

      


 


Thế (2) vào (1) ta được phương trình:
(x – x
0
)

2
(2x + x
0
– 3) = 0  x = x
0
;
0
3
2
x
x


Qua điểm M(x
0
; y
0
) kẻ đúng một tiếp tuyến với (C)  x
0
=
0
3
2
x

 x
0
= 1
Vậy qua điểm M(1; 1) thuộc (C) ta kẻ đúng một tiếp tuyến với (C)
Thực ra cách lý luận này chưa hoàn chỉnh, ta cần kiểm tra xem:

Nếu k(x
0
) = k(
0
3
2
x

) thì có xảy ra 2 tiếp tuyến trùng nhau không?
Ta có k(x
0
) = k(
0
3
2
x

)

x
0
2
– 2x
0
+ 1 = 0

x
0
= 1 (trùng trường hợp trên)
SKKN – Nguyễn Nghi (2008 – 2009) - 4 -

2) Khi viết phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng cho trước học sinh
hay quên kiểm tra tung độ gốc có khác nhau hay không
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) = x
3
– 3x
2
+ 2 biết tiếp tuyến song
song với đường thẳng d: y = 9x + 7
Học sinh giải: Ta có y’ = f’(x) = 3x
2
– 6x
Tiếp tuyến tại điểm M(x
0
; y
0
) song song d nên ta có: f’(x
0
) = 9  x
0
2
– 2x
0
– 3 = 0
 x
0
= -1, x
0
= 3
+ x
0

= -1

y
0
= -2

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(-1; -2) là: y = 9x + 7
+ x
0
= 3

y
0
= 2

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(3; 2) là: y = 9x – 25
Vậy có 2 tiếp song song với d là: y = 9x + 7, y = 9x – 25
Thực ra chỉ có một tiếp tuyến song song với d là y = 9x – 25
Ví dụ 2: Cho (C
m
): y =
2
( 1) 6
( )
m
m x m
f x
x m
  



Định m để tiếp tuyến với (C
m
) tại điểm trên (C
m
) có hoành độ bằng 2 song song với đường thẳng d: y =
- x + 3
Học sinh giải:
Ta có
2
2
2 6
' ( )
( )
m
m m
f x
x m
  


Tiếp tuyến với (C
m
) tại điểm trên (C
m
) có hoành độ bằng 2 song song với đường thẳng d: y = - x + 3
nên ta có
2
2
2 6

' (2) 1 1
(2 )
m
m m
f
m
  
    

2
3 2 0 1, 2
m m m m
        
Vậy m = -1, m = -2 là các giá trị cần tìm
Thực ra: với m = -1 thì y =
2 7 1
(2)
1 3
x
y
x
 
 


Pttt:
10
3
y x
  

m = -2 thì y =
3 10
2
x
x
 

(2)
y
 
1

Pttt:
3
y x
  
( trùng d)
Do đó chỉ chọn m = -1
Ví dụ 3: Cho hàm số
2
(3 1)
m x m m
y
x m
  


có đồ thị là (Cm)
Định m để tại giao điểm của đồ thị (Cm) với trục Ox, tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d: y = x
+ 1

Học sinh giải:
Ta có
2
2
4
'
( )
m
y
x m


(Cm) cắt Ox tại điểm A
2
;0
3 1
m m
m
 

 

 
Tiếp tuyến với (Cm) tại A song song đường thẳng y = x – 10
2
' 1
3 1
m m
y
m

 

 
 

 
2
3 1 1
1 1,
2 5
m
m m
m

 
      
 
 
Vậy m = -1, m = -1/5 là các giá trị cần tìm
Thực ra : + m = -1 ta được tiếp tuyến tại A là y = x + 1 (trùng đường thẳng d)
SKKN – Nguyễn Nghi (2008 – 2009) - 5 -
+ m = -1/5 ta được tiếp tuyến tại A là
3
5
y x
 
Vậy m =
1
5


là giá trị cần tìm
II/ MỘT SỐ KHÓ KHĂN TRONG TÍNH TOÁN
Trước đây ta dùng điều kiện có nghiệm kép của phương trình hoành độ giao điểm để xác
định tiếp tuyến. Hiện tại ta không dùng điều kiện này để xác định tiếp tuyến nữa, từ đó dẫn đến
một số khó khăn khi giải một số bài toán liên quan đến tiếp tuyến.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) = x
3
– 3x
2
+ 2 có đồ thị là (C) . Tìm trên đường thẳng y = 2 những
điểm mà qua đó kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) vuông góc nhau.
Giải: Gọi M(a; 2) thuộc đường thẳng y = 2.
Đường thẳng d qua điểm M có hệ số góc k là: y = k(x – a) + 2
Ta có d là tiếp tuyến của (C)  Hệ phương trình
3 2
2
3 2 ( ) 2(1)
3 6 (2)
x x k x a
x x k

    


 


có nghiệm
Thế (2) vào (1) ta được phương trình : 2x
2

– (3a + 3)x + 6a = 0 (3) hoặc x = 0
+ Với x = 0 suy ra k = 0. Ta đươc tiếp tuyến y = 2, không có tiếp tuyến nào vuông góc tiếp tuyến này
+ Do đó có 2 tiếp tuyến qua M vuông góc nhau Phương trình (3) có 2 nghiệm x
1
, x
2
sao cho
k(x
1
).k(x
2
) = -1
1 1 2 2
0
3 ( 2)3 ( 2) 1
x x x x
 



   

2
3 10 3 0
1
9
9 1
a a
a
a


  
   

 

Vậy qua điểm
1
;2
9
M
 

 
 
ta kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) vuông góc nhau.
Ví dụ 2: Cho hàm số
2
2 3
1
x x
y
x
 


có đồ thị là (C) . Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà qua
đó kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) vuông góc nhau.
Giải:
Gọi M(a; 2) thuộc đường thẳng y = 2.

Đường thẳng d qua điểm M có hệ số góc k là: y = k(x – a) + 2
Ta có d là tiếp tuyến của (C)  Hệ phương trình
2
2
2
2 3
( ) 2(1)
1
2 1
(2)
( 1)
x x
k x a
x
x x
k
x

 
  




 






có nghiệm
Nhận xét: Nếu giải bài này tương tự như cách giải của ví dụ 1 thì thật khó, thật phức tạp!
Tôi đề nghị cách biến đổi như sau: Ta có
2
2 3
1
x x
y
x
 


=
2
1
1
x
x
 

, khi đó hệ phương trình trên
viết lại là
2
2
1 ( ) 2(1)
1
2
1 (2)
( 1)
x k x a

x
k
x

    





 



2
1 ( ) 2 (1)
1
2
1 (3)
1
x k x a
x
x kx k
x

    







   



Từ (1) và (3) ta được
4
2
1
ak k
x
   

(4)
SKKN – Nguyễn Nghi (2008 – 2009) - 6 -
Ta có
4
0
1
x


nên từ (4) suy ra
2
2 0
1
ak k k
a
     


Thế (4) vào (2) ta được:
2 2
( 2 1) (12 4 ) 4 0
a a k a k
     
(5)
Qua điểm M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc  phương trình (5) có 2 nghiệm k
1
, k
2
đều khác
2
1
a

và
k
1
.k
2
= -1
2
4
1, 3
1
1
2 1
3
12 4 0

a a
a
a a
a
a


  
 


    
 
 



 

Vậy qua điểm M(-1; 2) thuộc đường thẳng y = 2 ta kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc nhau.
Ví dụ 3: Cho hàm số
2
2 3
1
x x
y
x
 



có đồ thị là (C) . Tìm tập hợp những điểm M trong mặt phẳng tọa
độ Oxy mà qua M kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) vuông góc nhau.
Giải: Ta có
2
2 3
1
x x
y
x
 


=
2
1
1
x
x
 

Gọi M(a; b)
Đường thẳng d qua điểm M có hệ số góc k là: y = k(x – a) + b
Ta có d là tiếp tuyến của (C)  Hệ phương trình sau có nghiệm
2
2
1 ( ) (1)
1
2
1 (2)
( 1)

x k x a b
x
k
x

    





 



2
1 ( ) (1)
1
2
1 (3)
1
x k x a b
x
x kx k
x

    







   



Từ (1) và (3) ta được
4
1
ak k b
x
   

(4)
Ta có
4
0
1
x


nên từ (4) suy ra
1
0
1
0 1
b
k khia
ak k b

a
b khia

 

    


 

Thế (4) vào (2) ta được:
2 2 2
( 2 1) (2 2 8) 8 0
a a k b ab k b
       
(5)
Qua điểm M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc  phương trình (5) có 2 nghiệm k
1
, k
2
đều khác
1
b
a

và
k
1
.k
2

= -1
2 2
2
2
( 1) 8
8
1
1
( 1)
1
1
a b
b
a
a
b a
b a

  


 


  

 
 
 
 



Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn có phương trình (C): (x – 1)
2
+ y
2
= 8 với x ≠ 1 và y ≠ x
– 1. Hay tập hợp các điểm M là đường tròn (C): (x – 1)
2
+ y
2
= 8 bỏ đi 4 giao điểm của (C) với đường
thẳng x = 1 (tiệm cận đứng của (C)) và với đường thẳng y = x – 1 (tiệm cận xiên của (C))
Ví dụ 4: Cho hàm số
1
( ) 1
1
m
y f x x
x

   

có đồ thị là (Cm)
Tìm điều kiện cần và đủ của m để trên mặt phẳng tọa độ tồn tại ít nhất một điểm sao cho từ đó kẻ được
2 tiếp tuyến với (Cm) và 2 tiếp tuyến này vuông góc nhau.
SKKN – Nguyễn Nghi (2008 – 2009) - 7 -
Giải:
Ta có f’(x) = 1 –
2

1
( 1)
m
x


Giả sử (Cm) có một cặp tiếp tuyến vuông góc
1 2 1 2
; : '( ). '( ) 1
x x f x f x
   
1 1
2 2
: '( )
:
1
: '( )
x f x k
k
x f x
k
 


  

  




'( )
:
1
'( )
Pt f x k có nghiem
k
Pt f x có nghiem
k



  

 



(*)
+ Nếu m = 1 thì f’(x) = 1 : Không thõa điều kiện (*)
+ Nếu m ≠ 1 thì f’(x) ≠ 1
* f’(x) = k 1 –
2
1
( 1)
m
x


= k (m≠1 nên k≠1)
2

1
( 1)
1
m
x
k

 

(1)
Ta có (1) có nghiệm 
1
0
1
m
k



(3)
* f’(x) =
1
k

 1 –
2
1
( 1)
m
x



=
1
k

(m≠1 nên k≠-1)
2
( 1)
( 1)
1
k m
x
k

 

(2)
Ta có (2) có nghiệm 
( 1)
0
1
k m
k



(4)
Vậy hệ (*) có nghiệm  (3) và (4) đều thõa 
1 0

1
( 1) 0
1 0
1
( 1) 0
k
khi m
k k
k
khi m
k k
  




 



 




 



 k < -1 hoặc 0 < k < 1 Khi m > 1

Vậy với m > 1 thì trên mặt phẳng tọa độ tồn tại ít nhất một điểm (giao của 2 tiếp tuyến có hệ số
góc k và -1/k) sao cho từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến với (Cm) và 2 tiếp tuyến này vuông góc nhau.
III/ MỘT SÔ LÚNG TÚNG MÀ HỌC SINH GẶP PHẢI KHI LÀM TOÁN VỀ
TIẾP TUYẾN:
Ví dụ 1: Cho hàm số
3 2
1
( ) 2 5 1
3
y f x x x x
     
(C)
Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = 3x + 1 một góc 45
0
.
Giải:
Ta có f’(x
0
) =
2
0 0
4 5
x x
  
Phương trình tiếp tuyến (d) với (C) tại điểm M(x
0
; y
0
) là:
y = f’(x

0
)(x – x
0
) + y
0
 x.f’(x
0
) – y + y
0
– x
0
.f’(x
0
)
Ta có (d) hợp với đường thẳng 3x – y + 1 = 0 góc 45
0
khi và chỉ khi
0
2 2
0 0 0 0
2
0
3 '( ) 1
2
3 '( ) 1 5 '( ) 1 2 '( ) 3 '( ) 2 0
2
10. '( ) 1
f x
f x f x f x f x
f x


        


f’(x
0
) = -2, f’(x
0
) =
1
2
+ Với f’(x
0
) =
1
2

2
0 0
4 5
x x
  
=
1
2
(VN)
SKKN – Nguyễn Nghi (2008 – 2009) - 8 -
+ Với f’(x
0
) = -2 

2
0 0
4 5
x x
  
= -2  x
0
= 1, x
0
= 3. Ta được 2 tiếp điểm là (1;
7
3

) và (3; -
5).Tiếp tục viết được phương trình 2 tiếp tuyến
Nhận xét: Vì ở lớp 10 học sinh không học công thức tính góc hợp bởi hai đường thẳng theo hệ số
góc

1 2
1 2
1 2
tan( , )
1
k k
d d
k k
 


 

 

 
nên ta không được dùng công thức này, mặc dù dùng công thức này tính
nhanh hơn. Mà nói đến tiếp tuyến thì thường nghỉ đến hệ số góc , cho nên khi gặp bài này học sinh
lúng túng không biết đặt vấn đề để giải.
Ví dụ 2: Cho hàm số
2
1
x
y
x



(C)
Tìm những điểm trên trục Oy sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C)
và 2 tiếp điểm của 2 tiếp tuyến đó nằm về 2 phía của trục Ox.
Giải:
Ta có
2 2
1 1
x y
y x
x y
 
  
 
Gọi A(0; b) là điểm thuộc trục Oy và M(
0

0
2
1
y
y


; y
0
) là tiếp điểm của (C) với tiếp tuyến của (C) đi qua
điểm A(0; b).
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:
y =
2
0
3
( 1)
x


(x – x
0
) + y
0
2
0 0
0
0
( 1) 2
( )

3 1
y y
y x y
y
  
   

Vì tiếp tuyến qua A nên ta có:
2
0 0
0 0 0 0
0
( 1) 2
(0 ) ( 1)( 2)
3 1
y y
b y b y y y
y
  
       

2
0 0 0
2 2 0( 1)
y y b y
     
(*)
Ta tìm b sao cho phương trình (*) có 2 nghiệm trái dấu đều khác 1
2 1
b

   
Nhận xét: Nếu 2 tiếp điểm nằm về 2 phía của trục Oy thì học sinh dễ làm, vì học sinh thường giải
theo hoành độ tiếp điểm, cho nên liên quan đến tung độ học sinh sẽ lúng túng khi đặt vấn đề để giải.
Ví dụ 3: Cho hàm số
3 2
1
( ) 2 3 1
3
y f x x x x
    
(C)
Xác định k để trên đố thị (C) có ít nhất 1 điểm mà tiếp tuyến tại điểm đó vuông góc với đường thẳng y
= kx.
Giải:
Ta có f’(x) = x
2
– 4x + 3
Trên đồ thị (C) tồn tại ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại điểm đó vuông góc với đường thẳng y = kx 
phương trình k.f’(x
0
) = -1 có ít nhất một nghiệm x
0
Ta có k.f’(x
0
) = -1 
0
2
0 0 0
1 1
( )

'( ) 4 3
k k g x
f x x x
 
   
 
(*)
Phương trình (*) có ít nhất một nghiệm x
0
 k thuộc tập giá trị của hàm số g(x
0
)
Ta có
0
0
2 2
0 0
2 4
'( )
( 4 3)
x
g x
x x


 
,
g’(x
0
) = 0  x

0
= 2
BBT
SKKN – Nguyễn Nghi (2008 – 2009) - 9 -
x
0
-∞ 1 2 3 +∞
g’(x
0
) – – 0 + +
g(x
0
) 0 +∞ +∞ 0
-∞ 1 -∞
Từ bảng biến thiên ta có tập giá trị của hàm số g(x
0
) là T = (-∞; 0)U [1; +∞ )
Vậy với k <0 hoặc k ≥ 1 thì trên đố thị (C) có ít nhất 1 điểm mà tiếp tuyến tại điểm đó vuông
góc với đường thẳng y = kx.
Nhận xét: Học sinh sẽ gặp khó khăn khi tìm k để phương trình (*) có ít nhất một nghiệm x
0
Ví dụ 4: Cho hàm số y = f(x) = x
5
+ 5x
4
– 2 (C)
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng tiếp tuyến đó có hệ số góc nhỏ nhất trong các tiếp tuyến
của (C).
Giải:
Tiếp tuyến với (C) tại điểm M(x

0
, f(x
0
)) có hệ số góc là: f’(x
0
) = 5x
0
4
+ 20x
0
3
Ta có: f’’(x
0
) = 20x
0
3
+ 60x
0
2
.
f’’(x
0
) = 0  x
0
= 0, x
0
= -3
BBT
x -∞ -3 0 +∞
f”(x

0
) - 0 + 0 +
f’(x
0
) +∞ +∞
-135
Vậy tiếp tuyến với (C) tại điểm M(-3; 160) có hệ số góc nhỏ nhất bằng -135. Suy ra phương trình tiếp
tuyến cần tìm là: y = -135(x + 3) + 160  y = -135x – 245
Nhận xét: Học sinh lúng túng không biết bắt đầu giải quyết từ đâu!
III.C¸c biÖn ph¸p ®Ó tæ chøc thùc hiÖn
1. Hình thức luyện tập trên lớp có sự hướng dẫn của Thầy giáo.
Thực hiện trong phạm vi một số buổi chữa bài tập của các buổi học chính khoá và tự chọn.
Thầy giáo đưa ra các các trường hợp trên để học sinh nêu các lời giải có thể có được của bài toán. Sau
đó cho học sinh tìm tòi, phát hiện một số vấn đề thiếu sót và xung quanh bài toán.
2. Hình thức tự nghiên cứu các bài toán có sự hướng dẫn của thầy giáo.
Cho một số bài tập dạng học sinh thường hay lúng túng để học sinh về nhà tự nghiên cứu cách giải
và trao đổi riêng với GV, làm cho khả năng tư duy, sáng tạo của học sinh ngày càng được tăng lên.
C. KÕt LUËN
1/ Kết quả nghiên cứu.
Sau khi tôi thực hiện dạy như trên tôi thấy kiến thức về “tiếp tuyến của học sinh”
vững vàng hơn, ít bị sai sót và bớt lúng túng khi đặt vấn đề để giải toán.
2/ Bài học kinh nghiệm:
Muốn học sinh nắm chăc kiến thức và biết cách vận dụng kiến thức đó, thì trước hết người thầy
đó phải :
+ Suy nghĩ tìm những thiếu sót mà học sinh hay vấp phải để học sinh biết
SKKN – Nguyễn Nghi (2008 – 2009) - 10 -
+ Đặt kiến thức đó vào nhiều tình huống khác nhau để học sinh rèn kỉ năng giải quyết
một vấn đề của toán học