SKKN Sử dụng phương pháp toạ độ trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến tiếp tuyến chung của hai đường tròn

A- PHẦN CHUNG CỦA ĐỀ TÀI
I- Tên đề tài:
Sử dụng phương pháp toạ độ trong việc giải quyết các bài toán liên quan
đến tiếp tuyến chung của hai đường tròn
II- Tên tác giả: Hoàng Thuý Lan
Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Huệ, TP Yên Bái.
III- Lý do chọn đề tài:
Trong chương trình toán phổ thông( lớp 10) các bài tập về tiếp tuyến của đường tròn
là một vấn đề tương đối khó đối với học sinh, đặc biệt là các bài toán về tiếp tuyến
chung của hai đường tròn. Do đó, đề tài này nhằm giúp học sinh thuận tiện và không
thấy khó khăn trong việc giải quyết các bài toán về tiếp tuyến của đường tròn bằng
phương pháp toạ độ.
IV- Nhiệm vụ và yêu cầu của đề tài:
1. Nhiệm vụ:
Đưa ra được cho học sinh phương pháp tối ưu trong việc giải quyết các bài toán về
tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
2. Yêu cầu:
Học sinh biết cách giải quyết các bài toán về tiếp tuyến của đường tròn.
V- Giới hạn của đề tài:
Trong việc giảng dạy toán hình lớp 10
VI- Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu các sách nâng cao và sách phân ban.Bằng kinh nghiệm rút ra trong
việc giảng dạy.
B- PHẦN NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐỀ TÀI
I- Nội dung đề tài:
1. Phương pháp chung:
Đối với tât cả các bài toán về tiếp tuyến của đường tròn có thể giải quyết dựa trên
tính chất của tiếp tuyến với đường tròn là: “ Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến
tiếp tuyến bằng bán kính của đường tròn đó ”. Và được phân làm các bước như sau:
Bước 1: Tìm tâm và bán kính của hai đường tròn.
Do ta phải sử dụng đến tâm và bán kính của đường tròn trong việc giải quyết

bài toán nên việc đầu tiên học sinh thể làm là đi tìm tâm và bán kính của hai đường
tròn.
Bước 2: Xác định điều kiện của bài toán.
Dựa vào tính chất nêu ở trên của tiếp tuyến của đường tròn học sinh có thể xác
định được điều kiện của bài toán.
Bước 3: Thiết lập các mối quan hệ.
Đây là một bước quan trọng, chủ yếu dựa vào kĩ năng tính toán của học sinh.
Do đó, đòi hỏi học sinh phải rèn luyện nhiều về kĩ năng.
Bước 4: Kết luận.
2. Nội dung:
CHƯƠNG I
MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN VÀ ĐƯỜNG TRÒN
1.Đường tròn:
+) Phương trình chính tắc của đường tròn tâm I(a;b) và bán kính R có dạng
(C): (x – a)
2
+ (y – b)
2
= R
2
+) Phương trình x
2
+ y
2
+ 2ax + 2y + c = 0 là phương trình của một đường tròn
khi và chỉ khi a
2
+ b
2
– c > 0.Khi đó đường tròn có tâm I(-a;-b) và bán kính R =

cba −+
22
.
2.Tiếp tuyến của đường tròn:
Đường thẳng
∆
: Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của đường tròn (C)

RId =∆⇔ );(
CHƯƠNG II
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ
Trong đề tài này ta quan tâm đến các bài toán về tiếp tuyến chung của hai
đường tròn. Với dạng toán này được chia làm bốn trường hợp:
TH 1: Hai đường tròn có một tiếp tuyến chung.
TH 2: Hai đường tròn có hai tiếp tuyến chung.
TH 3: Hai đường tròn có ba tiếp tuyến chung.
TH 4: Hai đường tròn có bốn tiếp tuyến chung.
Và để kiểm tra xem hai đường tròn có bao nhiêu tiếp tuyến chung học sinh có
thể đi so sánh khoảng cách giữa hai tâm với tổng độ dài hai bán kính.
DẠNG 1: HAI ĐƯỜNG TRÒN CÓ MỘT TIẾP TUYẾN CHUNG.
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(C) x
2
+ y
2
– 8x – 4y – 29 = 0 và (C’): x
2
+ y
2
– 2x – 12y + 33 = 0.

Giải
Bước 1:
(C) có tâm I(4;2) và R = 7
(C’) có tâm I’(1;6) và R’ = 2
Bước 2:
Gọi phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’) là
∆
: ax + by + c = 0
(a
2
+ b
2

≠
0)
Suy ra



=∆
=∆
');'(
);(
RId
RId
Bước 3:
Có
7
|24|
);(

22
=
+
++
=∆
ba
cba
Id
(1) ,
22
|6|
);'(
ba
cba
Id
+
++
=∆
= 2 (2)
(1)
Từ (1) và (2) suy ra 7|a + 6b + c| = 2|4a + 2b + c|



=++
=−−
⇔
094615
0538
cba

cba
Với a – 38b – 5c = 0
⇔
c =
5
38ba −
thay vào (2) được
| a + 6b +
5
38ba −
| = 2
22
ba +

22
5|43| baba +=−⇔

0430)43(092416
222
=+⇔=+⇔=++⇔ babababa
Chú ý: Khi rút ra được biểu thức giữa a và b ta co thể chọn cặp số a và b thoả mãn
biểu thức. Cặp số đó là toạ độ vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến.
Chọn a = 4, b = - 3 suy ra c =
5
118
. Được phương trình: 4x – 3y +
5
118
= 0
Với 15a + 46b + 9c = 0

9
4615 ba
c
−−
=⇔
thay vào (2) được
| a + 6b +
9
4615 ba −−
| = 2
22
ba +

22
9|43| baba +=+⇔

0652472
22
=+−⇔ baba
( vô nghiệm)
Bước 4: Vậy hai đường tròn có một tiếp tuyến chung 4x – 3y +
5
118
= 0.
DẠNG 2: HAI ĐƯỜNG TRÒN CÓ HAI TIẾP TUYẾN CHUNG
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(C): x
2
+ y
2

– 4x – 8y + 11 = 0 và (C’): x
2
+ y
2
– 2x – 2y - 2 = 0
Giải
Bước 1:
(C) có tâm I(2;4) và R = 3
(C’) có tâm I’(1;1) và R’ = 2
Bước 2:
Gọi phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’) là
∆
: ax + by + c = 0
(a
2
+ b
2

≠
0)
Suy ra



=∆
=∆
');'(
);(
RId
RId

Bước 3:
Có
3
|42|
);(
22
=
+
++
=∆
ba
cba
Id
(1) ,
22
||
);'(
ba
cba
Id
+
++
=∆
= 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2|2a + 4b + c| = 3|a + b + c|



=++
=−+

⇔
05117
03
cba
cba
Với a + 3b – c = 0
⇔
c = a + 3b thay vào (2) được
| a + b + a + 3b| = 2
22
ba +

22
|2| baba +=+⇔




=+
=
⇔=+⇔=+⇔
034
0
0)34(034
2
ba
b
babbab
(2)
+) Nếu b = 0 chọn a = 1 suy ra c = 1. Được phương trình: x + 1 = 0

+) Nếu 4a + 3b = 0 chọn a = 3, b = - 4 suy ra c = - 9.
Được phương trình: 3x – 4y – 9 = 0
Với 7a + 11b + 5c = 0
5
117 ba
c
−−
=⇔
thay vào (2) được
| a + b +
5
117 ba −−
| = 2
22
ba +

22
5|3| baba +=+⇔

016624
22
=+−⇔ baba
( vô nghiệm)
Bước 4: Vậy hai đường tròn có hai tiếp tuyến chung x + 1 = 0 và 3x – 4y – 9 = 0.
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(C): (x – 5)
2
+ (y + 12)
2
= 225 và (C’): (x – 1)

2
+ (y – 2)
2
= 25
Giải
Bước 1:
(C) có tâm I(5;-12) và R = 15
(C’) có tâm I’(1;2) và R’ = 5
Bước 2:
Gọi phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’) là
∆
: ax + by + c = 0
(a
2
+ b
2

≠
0)
Suy ra



=∆
=∆
');'(
);(
RId
RId
Bước 3:

Có
15
|125|
);(
22
=
+
+−
=∆
ba
cba
Id
(1) ,
5
|2|
);'(
22
=
+
++
=∆
ba
cba
Id
(2)
Từ (1) và (2) suy ra |5a – 12b + c| = 3|a + 2b + c|



=+−

=−−
⇔
0468
02182
cba
cba
Với 2a – 18b – 2c = 0
⇔
c = a – 9b thay vào (2) được
| a + 2b + a – 9c| = 5
22
ba +

22
5|72| baba +=−⇔

0242821
22
=−+⇔ baba
(3)
Chú ý: Khi gặp một biểu thức giữa a và b mà ta không thể phân tích ra được ta có thể
sử dụng cách giải phương trình bậc hai để phân tích.
Có
222
70024.21)14(' bbb =+=∆
Suy ra (3) có hai nghiệm
21
71014 bb
a
±−

=
+) Nếu
21
71014 bb
a
+−
=
chọn
71014,21 +−== ab
suy ra
710203 +−=c
Được phương trình:
071020321)71014( =+−++− yx
+) Nếu
21
71014 bb
a
−−
=
chọn
71014,21 −−== ab
suy ra
710203 −−=c
(4)
Được phương trình:
071020321)71014( =−−+−− yx
Với 8a – 6b + 4c = 0
2
34 ba
c

+−
=⇔
thay vào (2) được
| a + 2b +
2
34 ba +−
| = 5
22
ba +

22
10|72| baba +=+−⇔

0512896
22
=++⇔ baba
( vô nghiệm)
Bước 4 : Vậy hai đường tròn có hai tiếp tuyến chung
071020321)71014( =±−+±− yx
DẠNG 3: HAI ĐƯỜNG TRÒN CÓ BA TIẾP TUYẾN CHUNG
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(C): (x – 2)
2
+ (y – 1)
2
= 1 và (C’): (x – 5)
2
+ (y – 5)
2
= 16

Giải
Bước 1:
(C) có tâm I(2;1) và R = 1
(C’) có tâm I’(5;5) và R’ = 4
Bước 2:
Gọi phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’) là
∆
: ax + by + c = 0
(a
2
+ b
2

≠
0)
Suy ra



=∆
=∆
');'(
);(
RId
RId
Bước 3:
Có
1
|2|
);(

22
=
+
++
=∆
ba
cba
Id
(1) ,
4
|55|
);'(
22
=
+
++
=∆
ba
cba
Id
(2)
Từ (1) và (2) suy ra |5a + 5b + c| = 4|2a + b + c|



=++
=+−
⇔
05913
033

cba
cba
Với 3a – b + 3c = 0
⇔
a
b
c −=
3
thay vào (1) được
22
|
3
2| baa
b
ba +=−++
22
3|43| baba +=+⇔




=+
=
⇔=+⇔=+⇔
0724
0
0)724(0724
2
ba
b

babbab
+) Nếu b = 0 chọn a = 1 suy ra c = -1. Được phương trình: x - 1 = 0
+) Nếu 24a + 7b = 0 chọn a = 7, b = - 24 suy ra c = - 15.
Được phương trình: 7x – 24y – 15 = 0
Với 13a + 9b + 5c = 0
5
913 ba
c
−−
=⇔
thay vào (1) được
22
|
5
913
2| ba
ba
ba +=
−−
++

22
5|43| baba +=+⇔

092416
22
=+−⇔ baba

0340)34(
2

=−⇔=−⇔ baba
(5)
Chọn a = 3, b = 4 suy ra c = 15. Được phương trình: 3x + 4y + 15 = 0
Bước 4: Vậy hai đường tròn có ba tiếp tuyến chung x - 1 = 0
7x – 24y – 15 = 0
3x + 4y + 15 = 0
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau
(C
1
) : x
2
+ y
2
- 4x + 2y – 4 = 0 và (C
2
): x
2
+ y
2
– 10x – 6y + 30 = 0
Giải
Bước 1:
(C) có tâm I(2;-1) và R = 3
(C’) có tâm I’(5;3) và R’ = 2
Bước 2:
Gọi phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’) là
∆
: ax + by + c = 0
(a
2

+ b
2

≠
0)
Suy ra



=∆
=∆
');'(
);(
RId
RId
Bước 3:
Có
3
|2|
);(
22
=
+
+−
=∆
ba
cba
Id
(1) ,
2

|35|
);'(
22
=
+
++
=∆
ba
cba
Id
(2)
Từ (1) và (2) suy ra 2|2a - b + c| = 3|5a + 3b + c|



=++
=++
⇔
05719
01111
cba
cba
Với 11a + 11b + c = 0
⇔
bac 1111
−−=
thay vào (1) được
22
3|11112| bababa +=−−−
22

|43| baba +=+⇔

015248
22
=++⇔ baba
(3)
Có
222
2415.8)12(' bbb =−=∆
Suy ra (3) có hai nghiệm
8
6212 bb
a
±−
=
+) Nếu
8
6212 bb
a
+−
=
chọn
6212,8 +−== ab
suy ra
62244 −=c
Được phương trình:
0622448)6212( =−+++− yx
+) Nếu
8
6212 bb

a
−−
=
chọn
6212,8 −−== ab
suy ra
62244 +=c
Được phương trình:
0622448)6212( =+++−− yx
Với 19a + 7b + 5c = 0
5
719 ba
c
−−
=⇔
thay vào (1) được
22
3|
5
719
2| ba
ba
ba +=
−−
+−

22
5|43| baba +=+⇔

092416

22
=+−⇔ baba

0340)34(
2
=−⇔=−⇔ baba
Chọn a = 3, b = 4 suy ra c = - 17. Được phương trình: 3x + 4y - 17 = 0
Bước 4: Vậy hai đường tròn có ba tiếp tuyến chung
0622448)6212( =±++±− yx
3x + 4y - 17 = 0
(6)
DẠNG 4: HAI ĐƯỜNG TRÒN CÓ BỐN TIẾP TUYẾN CHUNG
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(C): (x – 2)
2
+ (y – 1)
2
= 1 và (C’): (x + 2)
2
+ (y + 1)
2
= 9
Giải
Bước 1:
(C) có tâm I(2;1) và R = 1
(C’) có tâm I’(-2;-1) và R’ = 3
Bước 2:
Gọi phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’) là
∆
: ax + by + c = 0

(a
2
+ b
2

≠
0)
Suy ra



=∆
=∆
');'(
);(
RId
RId
Bước 3:
Có
1
|2|
);(
22
=
+
++
=∆
ba
cba
Id

(1) ,
3
|2|
);'(
22
=
+
+−−
=∆
ba
cba
Id
(2)
Từ (1) và (2) suy ra |-2a - b + c| = 3|2a + b + c|



=++
=++
⇔
0424
0248
cba
cba
Với 8a + 4b + 2c = 0
⇔
bac 24
−−=
thay vào (1) được
22

|242| bababa +=−−+
22
|2| baba +=+⇔




=+
=
⇔=+⇔=+⇔
043
0
0)43(034
2
ba
a
baaaab
+) Nếu a = 0 chọn b = 1 suy ra c = -2. Được phương trình: y - 2 = 0
+) Nếu 3a + 4b = 0 chọn a = 4, b = - 3 suy ra c = - 10.
Được phương trình: 4x – 3y – 10 = 0
Với 4a + 2b + 4c = 0
2
b
ac −−=⇔
thay vào (2) được
22
|
2
2| ba
b

aba +=−−+

22
2|2| baba +=+⇔

034
2
=−⇔ bab




=−
=
⇔=−⇔
034
0
0)34(
ba
b
bab
+) Nếu b = 0 chọn a = 1 suy ra c = -1. Được phương trình: x - 1 = 0
+) Nếu 4a - 3b = 0 chọn a = 3, b = 4 suy ra c = - 5.
Được phương trình: 3x + 4y – 5 = 0
Bước 4: Vậy hai đường tròn có bốn tiếp tuyến chung y - 2 = 0
4x – 3y – 10 = 0
x - 1 = 0
3x + 4y – 5 = 0
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau
(C): x

2
+ y
2
– 6x + 6y + 17 = 0 và (C’): x
2
+ y
2
=1
Giải
(7)
Bước 1:
(C) có tâm I(3;-3) và R = 1
(C’) có tâm I’(0;0) và R’ = 1
Bước 2:
Gọi phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’) là
∆
: ax + by + c = 0
(a
2
+ b
2

≠
0)
Suy ra



=∆
=∆

');'(
);(
RId
RId
Bước 3:
Có
1
|33|
);(
22
=
+
+−
=∆
ba
cba
Id
(1) ,
1
||
);'(
22
=
+
+
=∆
ba
c
Id
(2)

Từ (1) và (2) suy ra |3a - 3b + c| = | c |



=+−
=−
⇔
0233
043
cba
ba
Với 3a - 4b = 0. Chọn a = 4, b = 3 thay vào (2) suy ra c =
2±
Được phương trình: 4x + 3y
2±
= 0
Với 3a - 3b + 2c = 0
2
33 ab
c
−
=⇔
thay vào (2) được
22
2|33| baab +=−

05185
22
=+−⇔ baba
(3)

Có
222
565.5)9(' bbb =−=∆
Suy ra (3) có hai nghiệm
5
1429 bb
a
±
=
+) Nếu
5
1429 bb
a
+
=
chọn
1429,5 +== ab
suy ra
14212 −−=c
Được phương trình:
0142125)1429(
=−−++
yx
+) Nếu
5
1429 bb
a
−
=
chọn

1429,5 −== ab
suy ra
14212 +−=c
Được phương trình:
0142125)1429( =+−+− yx
Bước 4: Vậy hai đường tròn có bốn tiếp tuyến chung 4x + 3y
2±
= 0

0142125)1429( =±−+± yx
(8)
C- TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Toán nâng cao hình học THPH 10.
Tác giả: Nguyễn Vĩnh Cận
NXB: Nhà xuất bản đại học sư phạm.
2. Toán nâng cao tự luận và trắc nghiệm hình học.
Tác giả: TS Nguyễn Văn Lộc
NXB: Nhà xuất bản đại học sư phạm.
3. Tuyển chọn 400 bài toán hình học(ban KHTN) 10.
Tác giả: Hà Văn Chương
NXB: Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội.
4.Câu hỏi và bài tập trắc nghiệm toán THPT 10.
Tác giả: Nguyễn Văn Nho – Nguyễn Sinh Nguyên.
NXB: Nhà xuất bản đại học sư phạm
5. Bài tập trắc nghiệm và các chuyên đề toán THPT 10.
Tác giả: TS Nguyễn Văn Lộc
NXB: Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội.
6. Để học tốt toán THPT 10.
Tác giả: Nguyễn Quang Hanh – Thái Bình – Lê Thống Nhất.
NXB: Nhà xuất bản Hải Phòng.

7. Để học tốt toán THPT 12.
Tác giả: Nguyễn Quang Hanh – Thái Bình – Lê Thống Nhất.
NXB: Nhà xuất bản Hải Phòng.
8. Toán nâng cao hình học 12.
Tác giả: Văn Như Cương.
NXB: Nhà xuất bản giáo dục.