bài giảng tóm tắt giải tích

TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Chương 1 : Giới hạn
1. Nội dung cần nhớ :
a) Các giới hạn cơ bản quan trọng :
i) Dạng
0
0
:
x
x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
sinx ln(1+ x) tgx arcsinx arctgx e 1
lim lim lim lim lim lim 1
x x x x x x
→ → → → → →
−
= = = = = =
.
Ví dụ :
+
2 2
2
2 2
x 0 x 0 x 0
x x
2sin 2sin
1 cosx 1
2 2
lim lim lim
x x 2
x
4

2
→ → →
   
 ÷  ÷
−
   
= = =
 
 ÷
 
.
+
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 cos(x 1) 1 cos(x 1)
2 2 2 2
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1
2sin
e 1 e 1 1 cos(x 1) 1 cos(x 1)
2
lim lim . lim lim
1 cos(x 1)
x 1 x 1 x 1 x 1
− − − −
→ → → →
−
 
 ÷
 

− − − − − −
 
 ÷
= = = =
 ÷
− −
− − − −
 

2
2
x 1
x 1
2sin
1
2
lim
2
x 1
4
2
→
−
 
 ÷
 
= =
−
 
 ÷

 
.
+
2 2
2 2
2 2 2 2
3x x
3x x
3x x 3x x
2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
x 0 x 0 x 0 x 0
2 2 2
3(e 1) e 1
e 1 (e 1)
e e e 1 (e 1) 3 1 1
3x x
x
lim lim lim lim
sin 3x sin x 9sin 3x sin x
sin 3x sin x sin 3x sin x 9 1 4
x 9x x
→ → → →
− −
− − −
−
− − − − −
= = = = =

−
− − −
−
.
ii) Dạng
1
∞
:
( )
x
1
x
x 0 x
1
lim 1 x lim 1 e
x
→ →∞
 
+ = + =
 ÷
 
.
Ví dụ :
+
( ) ( )
2
x
2 2
2 2
2 x

e
1 1
2 x 2 x
x
x e
x 0 x 0
lim 1 x e lim 1 x e e
→ →
 
+ = + =
 
 
 
.
+
2
2
1
1
x 1
x + 1
2
x
x
2 2
x 0 x 0
x x + 1 x
lim lim 1 e
x + 1 x + 1
+

→ →
 
 
+
 
 
= + =
 ÷
 ÷
 
 
 
 
 
.
1
iii)
x x + x 1 x 1
π π π π
lim arctgx = ; lim arctgx = ; lim arcsinx = ; limarcsinx =
2 2 2 2
→−∞ → ∞ →− →
− −
.
b) Vô cùng bé (VCB) :
i) Định nghĩa : khi
x α→
mà
f(x) 0→
thì f(x) được gọi là VCB.

Ví dụ : khi
x 0
→
thì các hàm
x
sinx, tgx, ln(1 + x), e 1, 1 cosx, arcsinx, arctgx, − −

được gọi là các VCB.
ii) So sánh :
+ Cho f(x) và g(x) là 2 VCB. Khi đó : Nếu
x α
f(x)
lim 1
g(x)
→
=
thì ta nói
f(x) và g(x) là hai VCB tương đương. Ký hiệu :
f(x) g(x):
.
+ Khi f(x) và g(x) là tổng của các VCB thì khi so sánh ta lấy bậc
thấp nhất của tử số (f(x)) so sánh với bậc thấp nhất của mẫu số
(g(x)) so sánh với nhau.
iii) Các VCB tương đương :
* Khi
x 0
→
thì các hàm sau đây là các VCB tương đương :
2
x

n
x x
sinx, tgx, arcsinx, arctgx x; ln(1+ x) x; (e 1) x; (1 cosx) ; ( 1 + x 1)
2 n
− − −: : : : :
.
* Ví dụ : Tính các giới hạn sau :
+
2 2 2
VCB VCB
2 2 2
x 0 x 0 x 0
ln(1 + sin x) sin x x
lim lim lim 1
x x x
→ → →
= = =
. +
2
1 cosx
VCB VCB
2 2 2
x 0 x 0 x 0
x
e 1 1 cosx 1
2
lim lim lim
x x x 2
−
→ → →

− −
= = =
.
+
2
VCB
x 1 x 1 x 1
(x 1)
1 cos(x 1)
2
lim lim lim(x 1) 0
x 1 x 1
→ → →
−
− −
= = − =
− −
. +
x
0
x lnx x
VCB
0
x
x 1 x 1 x 1
x 1 e 1 lnx
lim lim lim 1
x.lnx x.lnx lnx
→ → →
− −

= = =
.
+
2
0
VCB VCB
0
2 2 2 2 2
x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
x
ln(cosx) ln(1 + (cosx 1)) cosx 1 (1 cosx) 1
2
lim lim lim lim lim
x x x x x 2
+ + + + +
→ → → → →
−
− − − −
= = = = = −
.
+
( ) ( )
2
2 2
2 2
1
1 1
2
1 VCB
x

x x 2
ln(1 + x ) ln(1 + x )
x 0 x 0 x 0
x
lim 1 + e cosx lim 1 + (e 1) + (1 cosx) lim 1 + x +
2
∞
→ → →
 
− = − − = =
 ÷
 

2
3
2
2
3
1
3x
2
2
x 0
3
lim 1 + x e
2
∞
→
 
 

 
= =
 ÷
 
 
 
.
+
2 2
2 2
0
VCB VCB
0
2 2 2
2 2 x 2 2 x
x 0 x 0 x 0
x (2x)
+
1 + x.sinx cos2x ( 1 + x.sinx 1) (1 cos2x)
2 2
lim lim lim
x sin (x )
x sin (e 1) x sin (e 1)
→ → →
− − + −
= = =
+
+ − + −
2

2 2
VCB VCB
2 2 2 2
x 0 x 0
5x 5x
5
2 2
lim lim
x (x ) x 2
→ →
= = =
+
.
+
( ) ( )
2
2 2
2 2
x x
1
1 1
2
1 VCB VCB
arcsin(x )
x x 2
arcsin(e 1) arcsin(e 1)
x 0 x 0 x 0
(2x)
lim 2e cos2x lim 1 2(e 1) (1 cos2x) lim 1 2x
2

∞
− −
→ → →
 
− = + − + − = + + =
 ÷
 

( ) ( )
2 2
4
1 1
VCB 1 1
2 2 4
x 4x
x 0 x 0
lim 1 4x lim 1 4x e
∞ ∞
→ →
 
= + = + =
 
 
.
Chú ý : không phải lúc nào ta cũng áp dụng vô cùng bé được.
Trong trường hợp ta gặp bài toán mà giới hạn ở dạng hiệu của hai
hàm vô cùng bé tương đương “gần” nhau thì không áp dụng vô
cùng bé được vì nó sẽ bị triệt tiêu, ta phải sử dụng phương pháp
khác (phương pháp qui tắc L’Hospital sẽ được đề cập đến ở
chương 2).

Ví dụ :
+
2
x 2
2
x 0
e 1 x
lim
x.sin 2x
→
− −
. +
4x
2
x 0
e cosx 4x
lim
x
→
− −
. +
2
x 0
x arctgx
lim
x
→
−
. +
2 2

x 0
x sin x
lim
x.tgx
→
−
.
c) Định lý (kẹp) : Giả sử
x α x α
lim f(x) = lim h(x) = L
→ →
∃
và
f(x) g(x) h(x)≤ ≤
. Khi
đó
x α
lim g(x) = L
→
.
Ví dụ : Tính
2
x 1
1
lim (x + 1) sin
x + 1
→ −
 
 
 ÷

 
 
 
Vì
1
1 sin 1
x + 1
− ≤ ≤
nên
2 2 2
1
( 1).(x 1) (x 1) . sin 1.(x 1)
x + 1
− + ≤ + ≤ +
.
Mà
2 2
x 1 x 1
lim (x + 1) lim (x + 1) = 0
→ − → −
 
− =
 
.
Do đó theo định lý kẹp, ta có
2
x 1
1
lim (x + 1) sin 0
x + 1

→ −
 
 
=
 ÷
 
 
 
.
d) Sự liên tục của hàm số :
i) Định nghĩa :
+ Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại x = a nếu
x a x a
lim f(x) = lim f(x) f(a)
− +
→ →
=
.
+ Hàm số f(x) được gọi là liên tục bên trái của a nếu
x a
lim f(x) f(a)
−
→
=
.
+ Hàm số f(x) được gọi là liên tục bên phải của a nếu
x a
lim f(x) f(a)
+
→

=
.
3
+ Hàm sơ cấp là những hàm xây dựng từ những hàm cơ bản
(hàm đa thức, mũ, loga, lũy thừa, …) bởi các phép toán +,
−
, *, :,
o
. Đối với hàm sơ cấp thì liên tục trên miền xác định của nó.
ii) Ví dụ :
* Xét sự liên tục của các hàm số sau :
+
2
sin (2x)
, khi x 0
f(x) =
x
a , khi x = 0

≠




.
- Với
x 0
≠
thì hàm số là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền
xác định của nó.

- Xét tại x = 0.
Ta có :
2 2
VCB
x 0 x 0 x 0
sin (2x) (2x)
lim lim lim (4x) = 0
x x
→ → →
= =
.
f(0) = a
- Vậy : Nếu a = 0 thì hàm số f(x) liên tục tại x = 0, suy ra hàm
số f(x) liên tục trên R.
Nếu
a 0
≠
thì hàm không liên tục tại x = 0.
+
2
1 x
e 1
, khi x > 1
f(x) =
x 1
a + sin(x 1), khi x 1
−

−



−

− ≤

.
- Với x > 1, x < 1 thì hàm số là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên
miền xác định của nó.
- Xét tại x = 1.
Ta có :
x 1
lim (a + sin(x 1)) = a = f(1)
−
→
−
.

2
1 x 2
VCB
x 1 x 1 x 1 x 1
e 1 1 x (1 x)(x + 1)
lim lim lim lim ( (x 1)) 2
x 1 x 1 x 1
+ + + +
−
→ → → →
− − −
= = = − + = −
− − −

.
- Nếu
a = 2
−
thì hàm số liên tục tại x = 1, suy ra hàm số liên tục
trên R.
- Nếu
a 2
≠ −
thì hàm số không liên tục tại x = 1.
4
+
2
2
x
2
ln(cosx)
, khi x 0
x
cos2x e
, khi x < 0
f(x) =
x + 5x.tgx
a , khi x = 0

>


−







.
- Với x > 0, x < 0 thì hàm số là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên
miền xác định của nó.
- Xét tại x = 0.
Ta có :
2 2 2
2
2
x x x
VCB
2 2 2 2 2
x 0 x 0 x 0 x 0
(2x)
x
cos2x e cos2x 1 e 1 (1 cos2x) (e 1)
2
lim lim lim lim
x + 5x.tgx x + 5x.tgx x + 5x.tgx x + 5x
− − − −
→ → → →
− −
− − − + − − − −
= = = =

2

2
x 0
3x 1
lim
6x 2
−
→
−
= = −
.

2
VCB VCB
2 2 2 2
x 0 x 0 x 0 x 0
x
ln(cosx) ln(1 + cosx 1) cosx 1 1
2
lim lim lim lim
x x x x 2
+ + + +
→ → → →
−
− −
= = = = −
.
f(0) = a.
- Nếu
1
a =

2
−
thì hàm số liên tục tại x = 0, suy ra hàm số liên tục
trên R.
- Nếu
1
a
2
≠ −
thì hàm số không liên tục tại x = 0.
* Xác định a để hàm số sau liên tục trên R.
+
( )
2
2
1
x 2
ln(1 + x )
2 x , khi x 0
f(x) =
a , khi x = 0


+ ≠



.
- Với
x 0

≠
thì hàm số là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền
xác định của nó. Do đó, để hàm số liên tục trên R thì chỉ cần hàm
số liên tục tại x = 0 (
x 0
lim f(x) = f(0)
→
).
Ta có :
( ) ( )
( )
2
2
2 2 x
2 2
1
1 1
1 VCB
ln(1 + x )
x 2 x 2 ln(2 ) 2
ln(1 + x ) ln(1 + x )
x 0 x 0 x 0
lim 2 + x lim 1 + 2 1 + x lim 1 + e 1 + x
∞
→ → →
= − = − =

( ) ( ) ( )
2 2 2
(ln2 + 1)

1 1 1
VCB
2 2 2 2 ln2 + 1
x x x (ln 2 1)
x 0 x 0 x 0
lim 1 + x .ln2 + x lim 1 + x (ln2 +1) lim 1 + x (ln2 +1) e 2e
+
→ → →
 
= = = = =
 
 
.
5
- Vậy với a = 2e thì hàm số liên tục trên R.
+
2
x
2
e cosx
, khi x 0
f(x) =
x
a , khi x = 0

−

≠




.
- Với
x 0
≠
thì hàm số là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền
xác định của nó. Do đó, để hàm số liên tục trên R thì chỉ cần hàm
số liên tục tại x = 0 (
x 0
lim f(x) = f(0)
→
).
Ta có :
2 2
2 2
2
x x
VCB
2 2 2 2
x 0 x 0 x 0 x 0
x 3x
x
e cosx e 1 1 cosx 3
2 2
lim lim lim lim
x x x x 2
→ → → →
+
− − + −
= = = =

.
- Vậy với
3
a =
2
thì hàm số liên tục trên R.
2. Bài tập áp dụng :
a) Tính các giới hạn sau :
i)
2
2
x 1
ln(2 x )
lim
x 1
→
−
−
. ii)
2
1 x
x 1
e cos(x 1)
lim
x 1
−
→
− −
−
. iii)

2
x
2
x 0
ln(2e cosx)
lim
x x.arcsinx
→
−
+
.
iv)
( )
2
2
1
x 2
ln(1 + x )
x 0
lim e sin x
→
+
. v)
( )
2 x
1
sin (e 1)
x 0
lim 3 2cosx
−

→
−
. vi)
( )
x 2
1
lim x 2 sin
x 2
→
 
 
−
 ÷
 
−
 
 
.
Đáp Số : i)
1−
; ii)
2−
; iii)
5
4
; iv)
2
e
; v)
e

;
vi) 0;
b) Xét sự liên tục của các hàm số sau :
i)
2
x
2
e cos(ax)
, khi x 0
f(x) =
x
2 , khi x = 0

−

≠



. ii)
2
sin (x + 1)
, khi x 1
f(x) =
x + 1
a , khi x = 1

≠ −




−

.
iii)
( )
1
x
x
e x , khi x 0
f(x) =
a , khi x = 0


+ ≠



. iv)
( )
2
x + 3 , khi x 2
1 cos[a(x + 2)]
f(x) =
, khi x > 2
x + 2
≤ −


−


−


.
v)
2
x 1
e 1
, khi x 1
f(x) =
x + 1
a , khi x = 1
−

−

≠ −


−

. vi)
2
x 2
2
ln(e sin x)
, khi x 0
f(x) =
x + x.tgx

a , khi x = 0

+
≠




.
6
vii)
( )
2
2
sin [3(x 1)]
, khi x 1
f(x) =
x 1
a , khi x = 1

−
≠

−



. viii)
2
x 5x + 6

, khi x 3
f(x) =
x 3
a , khi x = 3

−
≠

−



.
ĐS : i)
a = 2±
; ii)
a = 0
; iii)
2
a = e
; iv)
a = 2±
; v)
a = 2
−
; vi)
a = 1
; vii)
a = 9
;

viii)
a = 1
;
c) Xác định a để các hàm số sau liên tục trên R.
i)
2
2
sin (3x)
, khi x 0
f(x) =
x
a + 2 , khi x = 0

≠




. ii)
( )
1
x
x
2 + x , khi x 0
f(x) =
a , khi x = 0


≠




.
iii)
2 x 1
sin (e 1)
, khi x > 1
f(x) =
lnx
a + x 2 , khi x 1
−

−



− ≤

. iv)
( )
2
(x 1)
2
ln 2e cos(x 1)
, khi x 1
f(x) =
x 1
a , khi x = 1
−


 
− −
 

≠


−



.
v)
1
x
x + 2
, khi x 0
f(x) =
3x + 2
a , khi x 0

 

≠
 ÷

 

=


. vi)
( )
2
x 1
2
(e 1).ln x
, khi x > 1
f(x) =
x 1
a + 3x 2 , khi x 1
−

−

−


− ≤

.
vii)
2 2
1
2
x ln(1 x )
2
x + 1
, khi x 0
f(x) =
3x + 1

a , khi x 0
+ +

 


≠
 ÷

 

=


. viii)
2
x 2
4 2 2
(e 1).ln(1 x )
, khi x 0
f(x) =
x + arcsin (x )
a , khi x 0

− +
≠



=


.
ix)
2
1
x sin , khi x 0
f(x) =
x
a , khi x 0

≠



=

. x)
2
x 2
4
sin(e 1).ln(cos x)
, khi x 0
f(x) =
x
a , khi x 0

−

≠



=

.
xi)
2
x 2
2
2e cosx cos x
, khi x 0
f(x) =
x
a , khi x 0

− −

≠


=

. xii)
2
1 x.sinx cos 2x
, khi x 0
f(x) =
x
a , khi x 0

+ −

≠



=

.
xiii)
2
2
sin [a(x + 1)]
, khi x 1
f(x) =
(x + 1)
1 , khi x 1

≠ −



= −

. xiv)
2
1 cos[2a(x 3)]
, khi x 3
(x 3)
f(x) =
x + 5 , khi x < 3
− −


≥

−



.
xv)
2
x + 2x 8
, khi x 4
f(x) =
x 4
ax + 6 , khi x 4

−
>

+


≤

. xvi)
2
sin [2(x 3)]
, khi x 3
3 x 3
f(x) =

a , khi x = 3

−
≠

−



.
7
xvii)
2
2 x
sin(x e e)
, x 1
f(x) =
x 1
a , x = 1

−

≠

−


. xviii)
2
2 x

2
1 cos(e x e )
, x 1
f(x) =
(x + 1)
a , x = 1

− −
≠ −



−

.
ĐS : i)
a = 7
; ii)
a = 2e
; iii)
a = 1
; iv)
5
a =
2
;v)
1
a =
e
; vi)

a = 1
; vii)
1
a =
e
;
viii)
a = 1
; ix)
a = 0
; x)
a = 1
−
; xi)
9
a =
4
;xii)
5
a =
2
;xiii)
a = 1
±
;
xiv)
a = 2
±
;
xv)

a = 1
−
; xvi)
a = 0
; xvii)
a = 4e
; xviii)
2
a = 16e
;
Chương 2 : Phép tính vi phân hàm một biến
1. Nội dung cần nhớ :
a) Đạo hàm cấp 1:
i) Định nghĩa : Nếu các giới sau tồn tại thì ta có định nghĩa đạo
hàm.
+
x a
f(x) f(a)
f '(a) lim
x a
→
−
=
−
; +
x a
f(x) f(a)
f '(a ) lim
x a
−

−
→
−
=
−
; +
x a
f(x) f(a)
f '(a ) lim
x a
+
+
→
−
=
−
;
8
- Nếu
f'(a ) f'(a )
− +
=
thì hàm số có (tồn tại) đạo hàm tại x = a.
- Nếu
f'(a ) f'(a )
− +
≠
thì hàm số không có (tồn tại) đạo hàm tại x = a.
Ví dụ :
+ Cho hàm số

1 cos2x 2
e cos x
, khi x 0
f(x) =
x
a , khi x 0
−

−
≠



=

.
*) Xác định a để hàm số f(x) liên tục trên R.
- Với
x 0
≠
thì hàm số là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền
xác định của nó. Do đó để hàm số liên tục trên R thì chỉ cần hàm
số liên tục tại x = 0 (
x 0
lim f(x) = f(0)
→
).
- Xét tại x = 0
Ta có :
( )

( )
2
2
2x
2
1 cos2x 2 1 cos2x 2 2
2
VCB VCB
x 0 x 0 x 0 x 0
2x
x
e cos x (e 1) (1 cos x) (e 1) x
2
lim lim lim lim
x x x x
− −
→ → → →
+
− − + − − +
= = = =
x 0
lim(3x) = 0
→
=
.
Vậy với
a = 0
thì hàm số liên tục trên R.
**) Với giá trị a vừa tìm được ở trên, hàm số có đạo hàm tại x =
0 hay không?

Xét :
x 0
f(x) f(0)
lim
x 0
→
−
−
.
Ta có :
( )
( )
2
2
2x
2
1 cos2x 2 1 cos2x 2 2
2
VCB VCB
2 2 2 2
x 0 x 0 x 0 x 0
2x
x
(e cos x) 0 (e 1) (1 cos x) (e 1) x
2
lim lim lim lim 3
x x x x
− −
→ → → →
+

− − − + − − +
= = = =
.
Vậy hàm số có đạo hàm tại x = 0.
+ Hàm số
( )
2
x 1
2
2
e cos (x 1)
, khi x < 1
x 1
f(x) =
ln x
, khi x 1
x 1
−

− −


−


≥

+
có đạo hàm tại x = 1 hay
không?.

Ta có :
9
-
( )
( )
( )
2
2
x 1
2
x 1
2 2
VCB
2
2
x 1 x 1 x 1 x 1
e cos (x 1)
0
f(x) f(1) e 1 1 cos (x 1) 2(x 1)
x 1
f '(1 ) lim lim lim lim 2
x 1 x 1 (x 1)
x 1
− − − −
−
−
−
→ → → →
− −
−

− − + − − −
−
= = = = =
− − −
−
.
-
( )
2
2 2
VCB
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
ln x
0
f(x) f(1) ln (1 + x 1) (x 1) x 1
x 1
f '(1 ) = lim lim lim lim lim 0
x 1 x 1 (x 1)(x + 1) x 1 (x + 1) x + 1
+ + + + +
+
→ → → → →
−
− − − −
+
= = = = =
− − − −
.
Vì
f '(1 ) f '(1 )
− +

≠
nên hàm số không có đạo hàm tại x = 1.
+ Cho hàm số
2
x 2
3 2 x
(e cos x).ln(1 + x )
, khi x 0
f(x) =
x + x.sin (e 1)
a , khi x 0

−
≠

−


=

.
*) Xác định a để hàm số f(x) liên tục trên R.
- Với
x 0
≠
thì hàm số là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền
xác định của nó. Do đó để hàm số liên tục trên R thì chỉ cần hàm
số liên tục tại x = 0 (
x 0
lim f(x) = f(0)

→
).
- Xét tại x = 0
Ta có :
2 2
2
2 2
x 2 x 2 4
VCB
3 2 x 3 2 x 3 3 3
x 0 x 0 x 0 x 0
x
(x ).x
(e cosx).ln(1 + x ) (e 1 1 cosx).ln(1 x ) 3x
2
lim lim lim lim
x x.sin (e 1) x + x.sin (e 1) x + x 4x
→ → → →
+
− − + − +
= = = =
+ − −
x 0
3
lim( x) = 0
4
→
=
.
Vậy , với

a = 0
thì hàm số liên tục trên R.
**) Với giá trị a vừa tìm được ở trên, hàm số có đạo hàm tại x =
0 hay không?
Xét :
x 0
f(x) f(0)
lim
x 0
→
−
−
.
Ta có :
2 2
2
2 2
x 2 x 2 4
VCB
3 2 x 4 2 2 x 4 4 4
x 0 x 0 x 0 x 0
x
(x ).x
(e cosx).ln(1 + x ) (e 1 1 cosx).ln(1 x ) 3x 3
2
lim lim lim lim
x(x x.sin (e 1)) x + x .sin (e 1) x + x 4x 4
→ → → →
+
− − + − +

= = = =
+ − −
.
Vậy, hàm số có đạo hàm tại x = 0.
ii) Bảng các đạo hàm cơ bản :
10
α α 1
(x )'α.x
−
=
( )
'
1
x
2 x
=
'
2
1 1
x x
 
= −
 ÷
 
x x
(e )' e=
x x
(a ) ' a .ln a=
1
(ln x )'=

x
(sinx)' = cosx
(cosx)' = sinx−
α α 1
(u )'α.u'.u
−
=
( )
'
u '
u
2 u
=
'
2
1 u'
u u
 
= −
 ÷
 
u u
(e )' u'.e=
u u
(a )' u'.a .ln a=
u'
(ln u )'=
u
(sinu)' = u'.cosu
(cosu)' = u'.sinu−

2
1
(tgx)' =
cos x
2
1
(cotgx)' =
sin x
−
2
1
(arcsinx)' =
1 x−
2
1
(arctgx)' =
1 + x
'
2 2
x a 2a
ln =
x + a x a
 
−
 ÷
−
 
(
)
'

2
2
1
ln(x + x b) =
x b
±
±
2
u'
(tgu)' =
cos u
2
u'
(cotgu)' =
sin u
−
2
u'
(arcsinu)' =
1 u−
2
u'
(arctgu)' =
1 + u
2 2
x 1
(arcsin )' =
a
a x−
2 2

x a
(arctg )' =
a a x+
iii) Các qui tắc đạo hàm :
+
( )
u.v ' u'v + v'u=
; +
( )
u v ' u' v'± = ±
; +
'
2
u u'v v'u
v v
−
 
=
 ÷
 
;
Ví dụ : Tính y’, với :
-
2 3x 2 ' 3x 2 3x ' 3x 2 3x
y = x e ; y' = (x ) e x (e ) 2xe 3x e+ = +
;
-
2 ' 2 '
4
2x

y = x.sinx + arctg(x ); y' = (x.sinx) (arctg(x )) sinx x.cosx +
1 + x
+ = +
;
-
' '
x 1
lnx
ln x x.(lnx) lnx.( x) 2 + lnx
x
2 x
y = ; y' =
x x
x 2x x
+
+
= =
;
iv) Đạo hàm hàm hợp : giả sử
f '(x), g'(y)∃
với
y = f(x)
. Khi đó
( )
'
g f (x) g'(f(x)) g'(y).f'(x)= =o
.
Ví dụ : Tính y’, với
2
y = x f( x)

.
( )
'
2 2 2 2
1
y' = (x )'.f( x) x f '( x) = 2x.f( x) + x . x .f '( x) 2x.f( x) + x . .f '( x)
2 x
+ = =

x
= 2x.f( x) + .f'( x)
2
.
b) Vi phân cấp 1:
i) Định nghĩa :
dy = f '(x)dx
;
Ví dụ : Tính dy, với y = f(x) :
+
2
2
x
y = f(x) = , x 1
(x + 1)
−
≠ −
.
11
Ta có :
'

2 2 ' 2 2 2 ' 2 2
2 4 4 4
x ( x ) (x + 1) ( x )[(x + 1) ] 2x(x + 1) ( x )[2(x + 1)] 2x(x + 1)
f'(x) =
(x + 1) (x + 1) (x + 1) (x + 1)
 
− − − − − − − −
= = =
 ÷
 
.
Vậy :
3
2x
dy = dx
(x + 1)
−
.
+
2
y = ln(x + x + 1)
.
Ta có :
2 ' 2 '
'
2
2
2 2 2 2
2x
1 +

(x + x + 1) x' + ( x + 1) 1
2 x + 1
f'(x) = ln(x + x + 1)
x + x + 1 x + x + 1 x + x + 1 x + 1
 
= = = =
 
.
Vậy :
2
1
dy = dx
x + 1
.
ii) Công thức tính gần đúng :
f(x) = f(a + x) f(a) + f'(a). x∆ ≈ ∆
.
Ví dụ : Dùng vi phân cấp 1 tính gần đúng biểu thức sau :
+
(
)
3 2
3
A = ln 2 + (0,98) + (0,98)
.
Xét
(
)
3
3 2

f(x) = ln 2 + x x+
;
Ta có :
a = 1, x = 0,98 1 = 0,02∆ − −
;
3
3 2
f(1) = ln(2 + 1 1 ) = 2.ln2 1,386+ ≈
;
(
)
'
3
3 2
3 3
3 2 3 2
3 2 1
x
2 + x x
13
2 3
x
f '(x) = f'(1) =
24
2 + x x 2 + x x
+
+
= ⇒
+ +
.

Vậy :
(
)
3 2
3
13
A = ln 2 + (0,98) + (0,98) 1,386 .( 0,02) 1,376
24
≈ + − =
.
+ Biết f(u) khả vi liên tục ở lân cận điểm 1, f(1) = 2,
f '(1) = 1
.
Dùng vi phân cấp 1 tính gần đúng biểu thức
(
)
3
A = 1,9998.f (1,9998)
.
Xét hàm số
3
y = x.f( x )
;
a = 2, x = 1,9998 2 0,0002∆ − = −
;
3
y(1) = 1.f( 1 ) f(1) = 2=
;
3 3 3 3
3 3 3 7

y' = f( x ) x. x.f '( x ) y'(1) = f( 1 ) 1. 1.f '( 1 ) 2
2 2 2 2
+ ⇒ + = + =
;
Vậy :
(
)
3
7
A = 1,9998.f (1,9998) 2 + .( 0,0002) 1,9993
2
≈ − =
.
c) Đạo hàm cấp cao :
i) Định nghĩa :
+ Nếu đạo hàm
x a
f(x) f(a)
f '(a) lim
x a
→
−
=
−
có tồn tại đạo hàm thì ta có đạo
hàm cấp 2 như sau :
x a
f '(x) f '(a)
f ''(a) lim
x a

→
−
=
−
.
12
Tương tự :
(n 1) (n 1)
(n)
x a
f (x) f (a)
f (a) lim
x a
− −
→
−
=
−
.
Ví dụ : Cho hàm số
3
sin x
, khi x 0
2. x
f(x) =
a , khi x = 0

≠





.
- Xác định a để hàm số liên tục trên R.
- Với giá trị a vừa tìm được ở trên, hàm số có tồn tại
f ''(0)
không?
Giải :
- Vì với
x 0
≠
thì hàm số là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền
xác định của nó. Do đó để hàm số liên tục trên R thì
x 0 x 0
lim f(x) = lim f(x) = f(0)
− +
→ →
.
Ta có : *
f(0) = a
.
*
3 3 3 2
VCB
x 0 x 0 x 0 x 0
sin x sin x x x
lim lim = lim lim 0
2. x 2.x 2x 2
− − − −
→ → → →

= = =
− − −
.
*
3 3 3 2
VCB
x 0 x 0 x 0 x 0
sin x sin x x x
lim lim = lim lim 0
2. x 2.x 2x 2
+ + + +
→ → → →
= = =
.
Vậy với
a = 0
thì hàm số liên tục trên R.
- Ta có : *
'
3 2 3
2
sin x 3cosx.sin x.( 2x) ( 2).sin x
f '(x) = , khi x < 0
2x 4x
 
− − −
=
 ÷
−
 

.
*
'
3 2 3
2
sin x 3cosx.sin x.(2x) 2.sin x
f '(x) = , khi x > 0
2x 4x
 
−
=
 ÷
 
.
*
3
3 3
VCB
2 2
x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
sin x
0
f(x) f(0) sin x x x
2x
f '(0 ) = lim lim lim = lim lim 0
x 0 x 2x 2x 2
− − − − −
−
→ → → → →
−

−
−
= = = =
− − − −
.
*
3
3 3
VCB
2 2
x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
sin x
0
f(x) f(0) sin x x x
2x
f '(0 ) = lim lim lim = lim lim 0
x 0 x 2x 2x 2
+ + + + +
+
→ → → → →
−
−
= = = =
−
.
Vì
f '(0 ) = f '(0 )
− +
nên tồn tại
f '(0)

, suy ra
f '(0) = 0
.
*
2 3
2
x 0 x 0
6x.sin x.cosx 2sin x
0
f '(x) f '(0)
4x
f ''(0 ) = lim lim
x 0 x
− −
−
→ →
− +
−
−
= =
−

2 3 3 3
VCB
3 3
x 0 x 0 x 0
6x.sin x.cosx 2sin x 6x .cosx 2x 3cosx + 1
lim = lim lim 1
4x 4x 2
− − −

→ → →
− + − + −
= = = −
.
13
*
2 3
2
x 0 x 0
6x.sin x.cosx 2sin x
0
f '(x) f '(0)
4x
f ''(0 ) = lim lim
x 0 x
+ +
+
→ →
−
−
−
= =
−

2 3 3 3
VCB
3 3
x 0 x 0 x 0
6x.sin x.cosx 2sin x 6x .cosx 2x 3cosx 1
lim = lim lim 1

4x 4x 2
+ + −
→ → →
− − −
= = =
.
Vì
f ''(0 ) f ''(0 )
− +
≠
nên không tồn tại
f ''(0)
.
+ Hay :
(n) (n 1) (n 1) (n)
y = f(x); y' = f '(x); y'' = (y')' = (f '(x))' = f ''(x); ; y = (y )' = (f (x))' = f (x)
− −
;
+
(n) (n) (n)
(f g) (x) = f (x) g (x);± ±
+
n
(n) 0 (n) 1 (1) (n 1) k (k) (n k) k (k) (n k)
n n n n
k = 0
(f . g) (x) = C f(x).g (x) + C f (x).g (x) + +C f (x).g (x) = C f (x).g (x)
− − −
∑
L

,
với
k
n
n!
C =
k!(n k)!−
ii) Ví dụ : Tính
(n)
y
+
y = sin2x
.
'
2 2
π π π 2π
y' = 2cos2x = 2sin(2x + ); y'' = 2sin(2x + ) 2 cos(2x + ) 2 sin (2x + )
2 2 2 2
 
= =
 ÷
 
;
…;
(n) n
nπ
y = 2 sin (2x + )
2
.
+

x
y = (x + 2)e
.
x x x x x x (n) x
y' = e + (x + 2)e (x + 3)e ; y'' = e + (x +3)e (x + 4)e ; ; y (x + n + 2)e= = =
.
+
1
1
y = = (2x + 3)
2x + 3
−
.
2 3 (n) n n (n + 1)
y' = 2(2x + 3) ; y'' = ( 2)2( 2)(2x + 3) ; ; y = ( 1) .n!.2 (2x + 3)
− − −
− − − −
.
+
2 3x
y = x e
.
Đặt
2 2x
f(x) = x ;g(x) = e
.
Ta có :
2 (3) (n)
f(x) = x ; f'(x) = 2x; f''(x) = 2; f (x) = = f (x) = 0L
.

2x 2x 2 2x (n) n 2x
g(x) = e ; g'(x) = 2e ; g''(x) = 2 e ; = = g (x) = 2 eL
.
Vậy :
( )
(n)
(n) 2 3x 0 2 n 3x 1 n 1 3x 2 n 2 3x n 2 3x 2
n n n
y = x e C x .3 .e + C 2x.3 .e + C 2.3 .e 3 .e (9x + 6.n.x + n(n 1))
− − −
= = −
.
d) Vi phân cấp cao :
i) Định nghĩa :
2 2 n (n) n
dy = f '(x)dx; d y = f ''(x)dx ; ; d y = f (x)dxL
.
ii) Ví dụ : Tính
n
d y
:
+
n n
nπ
y = sin2x; d y = sin(2x + )dx
2
.
+
x n x n

y = (x + 2)e ; d y = (x + 2 + n)e dx
.
14
e) Ứng dụng :
i) Công thức Taylor :
(n) (n)
2 n n + 1
f '(a) f ''(a) f (a) f (c)
f(x) = f(a) + (x a) + (x a) + + (x a) + (x a) , c (a, x)
1! 2! n! (n + 1)!
− − − − ∈L
.
ii) Công thức Maclaurin : Khi a = 0 thì công Taylor được gọi là
công thức Maclaurin.
(n) (n)
2 n n + 1
f '(0) f ''(0) f (0) f (c)
f(x) = f(0) + x + x + + x + x , c (0, x)
1! 2! n! (n + 1)!
∈L
iii) Công thức Maclaurin của một số hàm cơ bản :
+
2 3 n c c
n
x n +1 k n +1
k = 0
x x x x e 1 e
y = e = 1 + + + x = x + x , c (0, x)
1! 2! 3! n! (n + 1)! k! (n + 1)!
+ + + ∈

∑
L
.
Ví dụ : Viết công thức Maclaurin của hàm số
3c
n
3x k n + 1
k = 0
1 e
y = e = (3x) + (3x) ,c (0,x)
k! (n + 1)!
∈
∑
.
+
3 5 7 2m + 1
m m + 1 2m + 2
x x x x x sin(c + (m +1 ).π)
y = sinx = + + ( 1) ( 1) x , c (0,x)
1! 3! 5! 7! (2m + 1)! (2m + 2)!
− − + − + − ∈L
.
Ví dụ : Viết công thức Maclaurin của hàm số :
3 2m + 1
m m + 1 2m + 2
2x (2x) (2x) sin(2c + (m +1 ).π)
y = sin2x = + + ( 1) ( 1) (2x) , c (0,x)
1! 3! (2m + 1)! (2m + 2)!
− − + − ∈L
.

+
2 2m
m m + 1 2m + 1
π
cos(c + (2m +1 ). )
x x
2
y = cosx = 1 + ( 1) ( 1) x , c (0, x)
2! (2m)! (2m + 1)!
− + − + − ∈L
.
Ví dụ : Viết công thức Maclaurin của hàm số :
2 2m
m m + 1 2m + 1
π
cos(2c + (2m +1 ). )
(2x) (2x)
2
y = cos2x = 1 + ( 1) ( 1) (2x) , c (0,x)
2! (2m)! (2m + 1)!
− + − + − ∈L
.
+
( )
α n 1
n
α
k n +1
k = 1
α(α 1)(α 2) (α k + 1) α(α 1)(α 2) (α n)(1 c)

y = 1 + x 1 x + x ,c (0,x)
k! (n + 1)!
− −
− − − − − − +
= + ∈
∑
.
Ví dụ : Viết công thức Maclaurin của hàm số :
1 1
1 2
2
1 1 1 1
y = (x 3) (x 2) f (x) f (x)
x 5x + 6 (x 2)(x 3) x 3 x 2
− −
= = − = − − − = −
− − − − −
.
(n) (n) (n) n (n + 1) n (n + 1) n
1 2
n + 1 n + 1
1 1
y f (x) f (x) = ( 1) n!(x 3) ( 1) n!(x 2) ( 1) n!
(x 3) (x 2)
− −
 
= − − − − − − = − −
 ÷
− −
 

.
Vậy :
15
( ) ( ) ( ) ( )
n
k k n + 1 n + 1
k + 1 k + 1 n + 2 n + 2
2
k = 0
1 1 1 1 1
y = ( 1) x ( 1) x
x 5x + 6
3 2 c 3 c 2
   
= − − + − −
   
−
− − − −
   
   
∑
,
c (0,x)∈
.
iv) Quy tắc L’Hospital :
+ Quy tắc L’Hospital 1
0
0
 
 ÷

 
:
Nếu
x α→
mà
f(x) 0, g(x) 0→ →
và
x α
f'(x)
lim = β
g'(x)
→
∃
thì
x α
f(x)
lim = β
g(x)
→
.
Ví dụ : Tính các giới hạn sau :
-
( )
( )
2
2 2 2
'
0
2 x
2 x x 3 x

0
'
x 1 L' x 1 x 1
x e e
x e e 2xe + 2x e
lim lim lim 4e
x 1 1
x 1
→ → →
−
−
= = =
−
−
.
-
0
2
0
2
x 0 L' x 0
2
2x
1 +
x + ln(1 + x ) 1
1 + x
lim lim .
1
x + arctgx 2
1 +

1 + x
→ →
= =

Hay
2 2
VCB
x 0 x 0 x 0 x 0
x + ln(1 + x ) x + x x(1 + x) 1 + x 1
lim lim lim lim .
x + arctgx x + x 2x 2 2
→ → → →
= = = =
-
0
x x
x
2
0
x 0 L' x 0
1
e .sinx + e .cosx +
e .sinx + tgx
cos x
lim lim 1
x + sinx 1 + cosx
→ →
= =
.
Hay

x x x x
VCB
x 0 x 0 x 0 x 0
e .sinx + tgx e .x + x x(e + 1) e + 1
lim lim lim lim 1
x + sinx x + x 2x 2
→ → → →
= = = =
.
-
2 2 2 2 2
0
x 2 x 2 x x x
VBC
0
4 4 4 3 4 3 4 2
x 0 x 0 L' x 0 x 0 x 0
e 1 x e 1 x 2xe 2x 2x(e 1) e 1 1
lim lim lim lim lim
sin 3x (3x) 3 4x 3 4x 3 2x 162
→ → → → →
− − − − − − −
= = = = =
.
+ Quy tắc L’Hospital 2
∞
 
 ÷
∞
 

:
Nếu
x α→
mà
f(x) , g(x) → ∞ → ∞
và
x α
f'(x)
lim = β
g'(x)
→
∃
thì
x α
f(x)
lim = β
g(x)
→
.
Ví dụ : Tính các giới hạn sau :
-
x + L' x + x + x +
1
lnx 2 x 2
x
lim lim lim lim 0
1
x
x x
2 x

∞
∞
→ ∞ → ∞ → ∞ → ∞
= = = =
.
-
x x
x
x
x
x + L' x + x +
x
x + 2 1 + 2 .ln2
lim lim lim (x + 2 )
1 + 2 .ln2
ln(x + 2 )
x + 2
∞
∞
→ ∞ → ∞ → ∞
= = = +∞
.
-
x x x x
x L' x x L' x
e e e e
lim lim 0; lim lim
x 1 x 1
∞ ∞
∞ ∞

→ −∞ → −∞ → +∞ → +∞
= = = = +∞
.
16
Chú ý : Khi gặp các dạng
0 0
; 0. ; 0 ; ∞ − ∞ ∞ ∞
, ta đưa về dạng
0
0
hoặc
∞
∞
.
- Dạng
( )∞ − ∞
:
0 0
0 0
x 0 x 0 L' x 0 L' x 0
1 1 sinx x cosx 1 sinx 0
lim lim lim lim 0
x sinx x.sinx sinx + x.cosx cosx + cosx x.sinx 2 0.0
∞−∞
→ → → →
− − − −
   
− = = = = =
 ÷  ÷
− −

   
.
- Dạng
(0. )∞
:
2
0.
2 2 2
x 0 x 0 x 0 L' x 0 x 0
2 3
1
ln x 2
x
x
lim (x .ln x 2x ) lim x (ln x 2) lim lim lim 0
1 2
2
x x
∞
∞
∞
→ → → → →
+
 
+ = + = = = =
 
−
−
.
- Dạng

0
(0 )
:
sinx
x 0
lim x
+
→
.
Đặt
sinx
x 0 x 0 x 0 x 0
y = x lny = sinx.lnx lim (lny) = lim (sinx.lnx) ln( lim y) = lim (sinx.lnx)
+ + + +
→ → → →
⇒ ⇒ ⇒
sinx
L'
x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
2
1
lnx sinx sinx
x
ln( lim y) = lim lim lim . 0 lim x 1
1 cosx
x cosx
sinx sin x
+ + + + +
∞
∞

→ → → → →
 
−
 
⇒ = = = ⇒ =
 ÷
 
−
 
 
.
- Dạng
0
( )∞
:
( )
1
x
x
x +
lim x + 3
→ ∞
.
Đặt
( )
1
x x x
x
x
x + x + x + x +

ln(x + 3 ) ln(x + 3 ) ln(x + 3 )
y = x + 3 lny = lim (lny) = lim ln( lim y) = lim
x x x
→ ∞ → ∞ → ∞ → ∞
⇒ ⇒ ⇒
x
x x x 2 x 3
x
x x x 2
x + x + L' x + x + L' x + L' x +
1 + 3 ln3
ln(x + 3 ) 1 + 3 ln3 3 ln 3 3 ln 3
x + 3
ln( lim y) = lim lim lim lim lim ln3
x 1 x + 3 1 + 3 ln3 3 ln 3
∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞
→ ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞
⇒ = = = = =
Vậy :
( )
1
x
x
x +
lim x + 3 3
→ ∞
=
.
v) Khảo sát hàm số :

y = f(x)
.
i) Tập xác định :
0
D = R\{x }
, x
0
là điểm mà làm cho hàm số không
xác định.
Ví dụ :
- Hàm số
2
1
y =
1 + x
có miền xác định là
D = R
.
- Hàm số
2
1
y =
1 x−
có miền xác định là
D = R\{ 1,1}−
.
- Hàm số
lnx
y =
x

có miền xác định là
D = (0, + )∞
.
- Hàm số
x
e
y =
x
có miền xác định là
D = R\{0}
.
ii) Tính y’ để tìm điểm cực trị.
17
- Nếu
y' = 0
có nghiệm trong miền xác định của nó và đổi dấu qua
nghiệm ấy thì hàm số có cực trị.
+ Nếu
y' = 0
có một nghiệm đơn là
1
x
thì
TH 1
a > 0
x
1
x
TH 2
a < 0

x
1
x

y'

−
0 +
y'

+ 0
−
y y
+ Nếu
y' = 0
có hai nghiệm đơn là
1 2
x , x
thì
TH 1
a > 0
x
1
x

2
x
TH 2
a < 0
x

1
x

2
x

y'
+ 0
−
0 +
y'

−
0 + 0
−
y y
+ Nếu
y' = 0
có ba nghiệm
1 2 3
x , x , x
(nghiệm đơn là
1 3
x , x
và nghiệm
kép là
2
x
) thì
TH 1

a > 0
x
1
x

2
x

3
x
TH 2
a < 0
x
1
x

2
x

3
x

y'
+ 0
−
0
−
0 +
y'

−

0 + 0 + 0
−
y y
- Nếu
y' > 0
thì hàm số luôn tăng (đồng biến) trên miền xác định
của nó.
x

y'
+
y

18
- Nếu
y' < 0
thì hàm số luôn giảm (nghịch biến) trên miền xác
định của nó.
x

y'

−
y
Ví dụ :
-
2 2 2
1 2x

y = ; y' = 0 x = 0
1 + x (1 + x )
− = ⇒
.
-
2
3 3 2
1 3x
y = ; y' = 0, x D\{ 1}
1 + x (1 + x )
− < ∀ ∈ −
.
-
2 2
2
x + x 1 x + 2x + 2
y = ; y' = 0, x D\{ 1}
x + 1 (x + 1)
−
> ∀ ∈ −
.
iii) Tính y’’ để tìm điểm uốn (
y'' = 0
có nghiệm), lồi (
y'' < 0
), lõm (
y'' > 0
).
iv) Tiệm cận :
- Tiệm cận đứng : Nếu

0
x x
lim f(x) =
→
∞
thì
0
x = x
là tiệm cận đứng, x
0
là
điểm mà làm cho hàm số không xác định (
0
D = R\{x }
).
- Tiệm cận ngang : Nếu
x
lim f(x) = b
→ ∞
thì
y = b
là tiệm cận ngang (Hàm
số có tiệm cận ngang khi bậc tử nhỏ hơn hoặc bằng bậc của mẫu,
đó là đối với hàm hữu tỷ, còn với hàm bất kỳ thì tùy vào hàm số
cụ thể mà có kết luận. Ví dụ : hàm số
2
x
y =
x 1−
có hai tiệm cận

ngang
y = 1±
(bên trái, bên phải), hàm số
lnx
y =
x
có tiệm cận ngang
bên phải
y = 0
, hàm số
x
e
y =
x
có tiệm cận ngang bên trái
y = 0
.).
- Tiệm cận xiên : Nếu
x
f(x)
lim = a
x
→ ∞
và
x
lim [f(x) ax] = b
→ ∞
−
thì
y = ax + b

là tiệm
cận xiên (Hàm số có tiệm cận xiên khi bậc tử lớn hơn bậc của
mẫu (một đơn vị), đó là đối với hàm hữu tỷ, còn với hàm bất kỳ
thì tùy vào hàm số cụ thể mà có kết luận.).
v) Bảng biến thiên :
x x
0
19
y’
y’’
y
vi) Vẽ đồ thị:
Ví dụ : Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau :
-
2
2
x
y =
(x + 1)
−
.
+ Tập xác định :
D = R \ { 1}−
.
+ Tính y’ :
2 2 2
4 4 4
2x(x + 1) 2(x + 1)( x ) 2x(x + 1) 2x 2x
y' = 0 x = 0, (x = 1)
(x + 1) (x + 1) (x + 1)

− − − − − −
= = = ⇒ −
.
+ Tính y’’ :
4 3 2 4
8 8
( 4x 2)(x + 1) 4(x + 1) ( 2x 2x) 2(x + 1) (2x 1) 1
y'' = 0 x = , (x = 1)
(x + 1) (x + 1) 2
− − − − − −
= = ⇒ −
.
+ Tiệm cận :
* Tiệm cận đứng : Vì
2
2
x 1 x 1
x
lim y = lim
(x + 1)
→− →−
−
= ∞
nên suy ra
x = 1−
là tiệm
cận đứng.
* Tiệm cận ngang : Vì
2
2

x x
x
lim y = lim 1
(x + 1)
→∞ →∞
−
= −
nên suy ra
y = 1−
là tiệm
cận ngang.
+ Bảng biến thiên :
x
−∞

1−
0 ½
+∞
y’
−
+ 0
−

−
y’’
−

−

−

0 +

1−
0
y
−
1/9

−∞

−∞

1−
+ Đồ thị :
y
20


1−
0


1−
-
2
1
y =
x + 1
.
+ Tập xác định :

D = R
.
+ Tính y’ :
2 2
2x
y' = 0 x = 0
(x + 1)
−
= ⇒
.
+ Tính y’’ :
2 2
2 4
2(x + 1)(1 3x ) 1
y'' = 0 x =
(x + 1)
3
− −
= ⇒ ±
.
+ Tiệm cận :
Tiệm cận ngang : Vì
2
x x
1
lim y = lim 0
x + 1
→∞ →∞
=
nên suy ra

y = 0
là tiệm cận
ngang.
+ Bảng biến thiên :
x
−∞

1/ 3−
0
1/ 3

+∞
y’ + + 0
−

−
y’’ + 0
−

−
0 +
1
y 3/4 3/4

0
0
+ Đồ thị :
y
1
21

x
0

-
2
2
2x 6
y =
(x + 1)
− +
.
+ Tập xác định :
D = R \ { 1}−
.
+ Tính y’ :

2 2 2
4 4 4
4x(x + 1) 2(x + 1)( 2x + 6) 4(x + 1)(x + 3) 4x 16x 12
y' = 0 x = 3, (x = 1)
(x + 1) (x + 1) (x + 1)
− − − − − − −
= = = ⇒ − −
.
+ Tính y’’ :
4 3 2 4
8 8
( 8x 16)(x + 1) 4(x + 1) ( 4x 16x 12) 8(x + 1) (x 4)

y'' = 0 x = 4, (x = 1)
(x + 1) (x + 1)
− − − − − − +
= = ⇒ − −
.
+ Tiệm cận :
* Tiệm cận đứng : Vì
2
2
x 1 x 1
2x 6
lim y = lim
(x + 1)
→− →−
− +
= ∞
nên suy ra
x = 1−
là tiệm
cận đứng.
* Tiệm cận ngang : Vì
2
2
x x
2x 6
lim y = lim 2
(x + 1)
→∞ →∞
− +
= −

nên suy ra
y = 2−
là tiệm
cận ngang.
+ Bảng biến thiên :
x
−∞

4−

3
−

1−

+∞
y’
−

−
0 +
−
y’’
−
0 + + +

2−

+∞

+∞

y
26 / 9
−


3
−

2−
22
+ Đồ thị :
y


x

3
−

1−
0

1−

2−

3
−

2. Bài tập áp dụng :
a) Các hàm số sau có tồn tại đạo hàm cấp 1 (tại giá trị x tương
ứng) hay không?
i)
( )
( )
2
1 x 2
2
e 1 .ln(1 + sin (x 1))
, khi x 1
f(x) =
x 1
0 , khi x = 1
−

− −

≠


−



. ii)
2
sin (x 2)
, khi x 2
3 x 2

f(x) =
0 , khi x = 2

−
≠

−



.
iii)
( )
( )
2
1 x 2
2
e 1 .ln(1 + sin (x 1))
, khi x 1
f(x) =
x 1
0 , khi x = 1
−

− −

≠


−




. iv)
[ ]
1 cos 2(x 1)
, khi x 1
f(x) =
2 x 1
0 , khi x = 1

− +
≠ −

+


−

.
b) Cho hàm số
2
3(ax)
2
3
e cos(2ax)
, x 0
f(x) =
x
a + 7a 3 , x = 0


−
≠



−

.
i) Xác định a để hàm số liên tục trên R.
23
ii) Với các giá trị của a vừa tìm được ở i), hàm số có tồn tại
f '(0)
hay không?
c) Hàm số
2 x 1
2 x + 1
ln (2 e )
, x < 1
x + 1
sin (e 1)
f(x) = , x > 1
x + 1
3 cos(x + 1)
, x = 1
1 x
+

−
−



−

−


−

−

−

có tồn tại
f '( 1)−
hay không?
d) Hàm số
3
sin (x 1)
, khi x 1
2 x 1
f(x) =
0 , khi x = 1

+
≠ −

+



−

có tồn tại
f ''( 1)−
hay không?
e) Hàm số
3
f(x) = x 1−
có tồn tại
(3)
f (1)
hay không?
f) Tính
(n)
f (x)
, suy ra công thức Maclaurin của hàm
f(x)
tương ứng.
i)
1
f(x) =
2x 3+
; ii)
2
1
f(x) =
x 6x + 8−
; iii)
2x
f(x) = xe

; iv)
f(x) = cos2x
;
g) Viết công thức Maclaurin của các hàm số sau :
i)
2
1
f(x) =
x 5x + 6−
; ii)
2
1
f(x) =
x 3x + 2+
; iii)
2
f(x) = cos x
; iv)
x
f(x) =
x + 2
; v)
2
f(x) = sin x
;
vi)
2
x
f(x) =
(x 1)−

;vii)
2
1
f(x) =
x 3x + 2−
; viii)
2x
f(x) = (x + 2)e
; xi)
x
f(x) = (x + 1)e
; x)
x
f(x) = xe
;
h) Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau :
i)
3
2
2x 8
f(x) =
x
+
;ii)
2
3x
f(x) =
1 x+
; iii)
2

x 2
f(x) =
x + 3
−
; iv)
2 2
3 3
f(x) = (x 1) (x 1)+ − −
;
v)
2
2x
f(x) =
x 4−
; vi)
2
2 x
f(x) =
x + 3
−
; vii)
3
2
4 x
f(x) =
x
−
; viii)
2 2
3 3

f(x) = (x 1) (x 1)− − +
;
24
Chương 3 : Hàm nhiều biến (chủ yếu là hai biến)
1. Nội dung cần nhớ :
a) Định nghĩa :
f : D R
(x, y) z = f(x,y)
→
a
,
2
D R⊂
.
Ví dụ : Tìm miền xác định của các hàm số sau :
+
2
z = ln(x y)−
có miền xác định là
{ }
2
D = (x,y) R : x < y x∈ − <
.
+
2 2 2 2
z = f(x,y) = x + y 1 + 4 x y− − −
,
{ }
2 2 2
D = (x,y) R : 1 x + y 4∈ ≤ ≤

.
b) Giới hạn :
i) Dãy điểm :
+
n n n 0 0 0
M (x ,y ) M (x ,y ), khi n → → ∞
.
Ví dụ :
2
n 0
2
n + 1 n 1
M ( , ) M ( , 1), khi n
2n + 1 n + 3 2
→ → ∞
.
+ Nếu
n
x → ∞
hoặc
n
y → ∞
thì
n n n
M (x ,y ) , khi n → ∞ → ∞
.
Ví dụ :
2
n
n 2n + 3

M ( , ) , khi n
n + 1 n + 2
→ ∞ → ∞
.
ii) Hàm số :
0 0 0
0
(x,y) (x ,y ) x x
y y
lim f(x,y) = L hay lim f(x,y) = L
→ →
→
.
25