bất đẳng thức qua các định lý và bài toán

Bất đẳng thức qua các định lý và bài toán
Trần Nam Dũng
Trường ĐH KHTN TpHCM
Đi chậm tiến xa - Start small, go big
Làm thế nào để học toán một cách hiệu quả? Có phải là giải thật nhiều các bài toán?
Tất nhiên là muốn học toán thì phải biết giải toán. Nhưng nếu chỉ đâm đầu vào giải hay
đọc lời giải các bài toán sao cho thật nhiều, thật nhanh và cố gắng nhớ thì đó không phải
là một cách hay. Học toán là phải bắt đầu từ những vấn đề cơ bản, phải đi chậm để ngấm
và hiểu phương pháp một cách thấu đáo. Và phải luôn luôn bắt đầu từ việc nghiên cứu
các chứng minh định lý, tìm hiểu ý nghĩa và tầm ứng dụng của nó. Chính vì thế mà người
ta mới nói: Đi chậm tiến xa. Ai vội vàng sẽ dễ dàng vấp ngã và bị các bài toán đè lên: Lật
đật là toán đè. Hãy cố gắng làm toán với tốc độ thật chậm, thật chắc. Chậm khi học để
nhanh và chắc khi thi.
Bất đẳng thức là một mảng toán khó trong chương trình phổ thông nói chung và trong
chương trình chuyên toán nói chung. Mặc dù đã được trang bị những công cụ mạnh,
những phương pháp mới như phân tích bình phương, dồn biến, ABC, pqr, hàm lồi …
nhưng đứng trước các bài toán bất đẳng thức mới, chúng ta vẫn cảm thấy lúng túng và
thiếu tự tin.
Vậy thì làm thế nào để có thể tự tin và tìm ra định hướng khi giải một bài toán bất đẳng
thức? Để không bị bối rối và bơi trong một rừng các phương pháp khác nhau, chúng ta
phải nắm được các tư tưởng cơ bản trong chứng minh bất đẳng thức là:
Luôn tìm cách đưa về các bài toán đơn giản hơn bằng cách
+ Giảm dần số biến số
+ Thay thế bằng các biểu thức đơn giản hơn
Luôn nhớ những quy tắc cơ bản “No square is negative – x
2
≥ 0 ∀ x ∈ R”, “Look at the
end – Hãy nhìn vào các đầu mút!”, “Hãy thuần nhất hoá và chuẩn hoá”, “Hãy đối xứng
hoá”, “Hãy sắp thứ tự!”, “Hãy đặt biến phụ!”.
Việc sử dụng các phương pháp đạo hàm, dồn biến, SOS, bất đẳng thức cổ điển, ABC,
pqr, quy nạp … chung quy cũng chỉ phục vụ cho mục đích đưa bất đẳng thức cần chứng

minh về dạng đơn giản hơn.
1. Phương pháp quy nạp toán học
Khi bất đẳng thức phụ thuộc vào biến số nguyên dương n (n có thể là biến số, có thể là số biến
số), ta có thể nghĩ đến phép quy nạp toán học: sử dụng bất đẳng thức ở n = k (hoặc nhỏ hơn) để
chứng minh cho n = k+1.
1. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có bất đẳng thức
.
13
1
2
12

4
3
.
2
1
+
≤
−
n
n
n
2. Cho a, b là hai số thực dương. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức
n
nn
baba







+
≥
+
22
.
3. Cho x
1
, x
2
, , x
n
là n số thực dương có tích bằng 1. Hãy chứng minh rằng
x
1
+ x
2
+ + x
n
≥ n.
4. Cho D là một khoảng thuộc R. Giả sử f là hàm xác định trên D thỏa mãn điều kiện






+

≥
+
22
)()(
2121
xx
f
xfxf
với mọi x
1
, x
2
∈ D.
a) Chứng minh rằng






+++
≥
+++
44
)()()()(
43214321
xxxx
f
xfxfxfxf
với mọi x

1
, x
2
,
x
3
, x
4
∈ D.
b) Chứng minh rằng






++
≥
++
33
)()()(
321321
xxx
f
xfxfxf
với mọi x
1
, x
2
, x

3
∈ D.
Hướng dẫn: Làm thế nào để mất x
4
?
c) Chứng minh rằng với mọi x
1
, x
2
, , x
n
thuộc D ta có






+++
≥
+++
n
xxx
f
n
xfxfxf
nn
)( )()(
2121
5. Cho n ≥ 3 và x

1
, x
2
, , x
n
là các số nguyên dương sao cho
i
ii
i
x
xx
d
11 +−
+
=
nguyên với
mọi i= 1,2, , n. (Ở đây ta hiểu x
0
= x
n
, x
n+1
= x
1
). Chứng minh rằng
.32 ndn
n
i
i
<≤

∑
6. Cho số nguyên dương n ≥ 3. Cho x
1
, x
2
, , x
n
là các số thực thuộc đoạn [0, 1]. Chứng
minh rằng ta có bất đẳng thức
.
2
)1( )1()1(
13221






≤−++−+−
n
xxxxxx
n
Hướng dẫn: Bạn có gặp khó khăn khi chuyển từ n > n+1? Hãy tìm cách vượt qua khó khăn đó!
7. a) (VMO 2011) Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x ta
có bất đẳng thức
12
1
2
1

1
)1(
+
+






+
≤
+
+
n
n
nn
x
x
xx
.
b)* Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng bất đẳng thức
(xy)
n(n+1)/2
(x
n
+y
n
) ≤ 2 đúng với mọi x, y dương và có tổng bằng 2.
2. Phương pháp phản chứng

Phản chứng là phương pháp dùng để thêm giả thiết cho bài toán hoặc lật kết luận với giả thiết.
Trong bất đẳng thức, phương pháp này tỏ ra khá hiệu quả.
1. Cho a + b + c > 0, ab + bc + ca > 0, abc > 0. Chứng minh rằng a > 0, b > 0, c > 0.
2. (USAMO 2001) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c ≥ abc.
Chứng minh rằng 2 trong 3 bất đẳng thức sau là bất đẳng thức đúng
2 3 6 2 3 6 2 3 6
6, 6, 6.
a b c b c a c a b
+ + ≥ + + ≥ + + ≥
3. (IMO 2001) Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 ta có
2 2 2
1.
8 8 8
a b c
a bc b ca c ab
+ + ≥
+ + +
4. Xét hai bài toán sau
(A) Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a
2
+ b
2
+ c
2
+ abc = 4 thì a + b + c ≤ 3.
(B) Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c =
3 thì a
2
+ b
2

+ c
2
+ abc ≥ 4.
Hãy chứng minh rằng từ bài toán (B) có thể suy ra bài toán (A).
5. Cho a, b, c > 0 và 2(a
2
+b
2
+c
2
) + 3abc = 9. Chứng minh a + b + c ≤ 3.
6. (USAMO 1999) Cho a
1
, a
2
, …, a
n
(n > 3) là các số thực thỏa mãn điều kiện
a
1
+ a
2
+ … + a
n
= n, a
1
2
+ a
2
2

+ … + a
n
2
≥ n
2
. Chứng minh rằng
max{a
1
, a
2
, …, a
n
} ≥ 2.
7. Cho các số dương
, , a b c
thỏa mãn
1.abc =
Chứng minh rằng
(a)
1 1 1
1;
5 4 5 4 5 4a b c
+ + ≤
+ + +
(b)
1 1 1
1.
1 3 1 1 3 1 1 3 1a b c
+ + ≤
+ + + + + +

3. Bất đẳng thức AM-GM
1. a) Từ kết quả bài 1.3, hãy chứng minh rằng nếu a
1
, a
2
, , a
n
là các số thực dương thì ta
có
)1.(
2121
n
nn
aaanaaa ≥+++
b) Hãy chứng minh bất đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp lùi như bài 1.4.
c) Chứng minh rằng nếu a
1
, a
2
, , a
n
là các số thực dương và r
1
, r
2
, , r
n
là các số hữu tỉ
dương có tổng bằng 1 thì ta có
∏∑

==
≥
n
i
r
i
n
i
ii
i
aar
11
.(2)
d) Chứng minh bất đẳng thức (2) vẫn đúng nếu r
1
, r
2
, , r
n
là các số thực dương.
2. Chứng minh rằng với mọi n ≥ 2 ta có bất đẳng thức
.
1
1
n
n
n
+<
3. Cho a, b, x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy = ax + by. Chứng minh rằng
( )

2
bayx +≥+
.
4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
a) 2(a
3
+b
3
+c
3
) ≥ a
2
(b+c) + b
2
(c+a) + c
2
(a+b)
b)
6 6 6 4 2 4 2 4 2
.a b b c c a a b c b c a c a b+ + ≥ + +
c) (Bất đẳng thức Muirhead) Giả sử (m, n, p) và (m', n', p') là hai bộ số thực dương sao
cho: (i) m ≥ n ≥ p, m' ≥ n' ≥ p'
(ii) m + n + p = m'+ n' +p'
(ii) m ≥ m', m + n ≥ m' + n'.
khi đó ta viết (m, n, p) > (m', n', p') và nói bộ (m, n, p) trội hơn bộ (m', n', p')
Đặt M
m,n,p
(a, b, c) = a
m
b

n
c
p
+ a
m
b
p
c
n
+ a
n
b
m
c
p
+ a
n
b
p
c
m
+ a
p
b
m
c
n
+ a
p
b

n
c
m

Chứng minh rằng nếu (m, n, p) trội hơn (m', n', p') thì M
m,n,p
(a, b, c) ≥ M
m',n',p'
(a, b, c).
5. a) (Bất đẳng thức Nesbit-Shapiro) Cho a, b, c > 0, chứng minh rằng
.
2
3
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
b) (Trung Quốc 2004) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng
3 4 8
12 2 17.
2 2 3
a c b c
a b c a b c a b c

+
+ − ≥ −
+ + + + + +
6. (Nga 2002) Cho
, , 0 a b c >
và
3.a b c+ + =
Chứng minh rằng
.a b c ab bc ca+ + ≥ + +
7. Cho các số dương
, , a b c
thỏa mãn
3.a b c+ + =
Chứng minh rằng
(a)
2 2 2
1 1 1
3;
1 1 1
a b c
b c a
+ + +
+ + ≥
+ + +
(b)
2 2 2
3 3 3
1;
2 2 2
a b c

a b b c c a
+ + ≥
+ + +

(c)
3 3 3
2 2 2 2 2 2
3
.
2
a b c
a b b c c a
+ + ≥
+ + +
4. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
1. a) Cho a
1
, a
2
, , a
n
; b
1
, b
2
, , b
n
là các số thực thỏa mãn điều kiện
.1
1

2
1
2
∑∑
==
==
n
i
i
n
i
i
ba
Hãy
chứng minh rằng
∑
=
≤≤−
n
i
ii
ba
1
.11
Từ đó suy ra bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:













≤
∑∑∑
===
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
yxyx
1
2
1
2
1
(1) với mọi bộ 2n số thực x
1
, x
2
, ,x

n
; y
1
, y
2
, , y
n
. Dấu
bằng xảy ra khi và chỉ khi x
1
:y
1
=x
2
:y
2
= =x
n
:y
n
.
b) Từ bất đẳng thức hiển nhiên
0)(
2
1
≥−
∑
=
n
i

ii
bxa
với mọi x thuộc R, hãy suy ra bất đẳng
thức












≤






∑∑∑
===
n
i
i
n
i

i
n
i
ii
baba
1
2
1
2
2
1
(2) với mọi a
i
, b
i
thực (i=1 n). Dấu bằng xảy ra khi và
chỉ khi a
i
, b
i
tỷ lệ.
c) Chứng minh rằng nếu a > 0 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số ax
2
+ bx là
.
4
2
a
b
−

Từ đó, xét
các hàm f
i
(x) = a
i
x
2
+ b
i
x với a
i
> 0 và áp dụng nguyên lý minimum của tổng lớn hơn hay
bằng tổng các minimum, ta có
n
n
n
n
a
b
a
b
a
b
aaa
bbb
4

44) (4
) (
2

2
2
2
1
2
1
21
2
21
−−−≥
+++
+++
−
suy ra bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng
n
n
n
n
aaa
bbb
a
b
a
b
a
b
+++
+++
≥+++

) (

21
2
21
2
2
2
2
1
2
1
(3)
d) Chứng minh rằng các dạng (1), (2), (3) có suy ra được từ nhau.
2. a) (Bất đẳng thức Nesbit-Shapiro). Chứng minh rằng với 3 ≤ n ≤ 6 ta có bất đẳng thức
∑
=
++
≥
+
n
i
ii
i
n
aa
a
1
21
.

2
(Ở đây a
n+1
= a
1
, a
n+2
= a
2
). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi nào?
b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng ta có bất đẳng thức
.
3
5
3
4
<
+
+
+
+
+
<
ac
c
cb
b
ba
a
3. (Iran 1998) Cho x, y, z > 1,

2
111
=++
zyx
. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức
111 −+−+−≥++ zyxzyx
.
3. (Ba Lan 1991) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x
2
+ y
2
+ z
2
= 2. Chứng
minh rằng ta có bất đẳng thức x + y + z ≤ 2 + xyz.
4*. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a
2
+ b
2
+ c
2
= 3. Chứng minh
.3
2
1
2
1
2
1
≥

−
+
−
+
− cba
5. (Iran 1998) Cho x, y, z > 1,
2
111
=++
zyx
. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức
111 −+−+−≥++ zyxzyx
.
6. Chứng minh rằng nếu x,y,z
[ 1,1]∈ −
thỏa mãn điều kiện x+y+z+xyz=0, thì ta có:
1 1 1 3x y z+ + + + + ≤

7*. Cho
1
, , 0
n
a a >
và n > 3 sao cho
1
1
n
k
k
a

=
=
∑
và
1
2
n
k
k
ka
=
=
∑
. Chứng minh rằng:
2 1 3 2 1
( ) 2 ( ) 3 ( ) 0
n n
a a a a a a n
−
− + − + + − <
.
5. Một số bất đẳng thức cổ điển khác
1. Bất đẳng thức Bernoulli
a) Chứng minh rằng với mọi x > -1 và với mọi r > 1 ta có
(1+x)
r
> 1 + rx
b) Chứng minh bất đẳng thức trên vẫn đúng nếu r < 0 và sẽ đổi chiều nếu 0 < r < 1.
c) Chứng minh rằng nếu x, y > 0 thì x
y

+ y
x
> 1.
2. a) Cho r > s. Chứng minh rằng nếu a
1
, a
2
, , a
n
là các số thực dương sao cho a
1
s
+ a
2
s
+ + a
n
s
= n thì ta có a
1
r
+ a
2
r
+ + a
n
r
≥ n.
b) (Bất đẳng thức trung bình lũy thừa). Với a = (a
1

, , a
n
) và số thực r ta đặt
r
n
i
r
i
r
n
a
aM
1
1
)(












=
∑
=

Khi đó, nếu r > s thì ta có M
r
(a) ≥ M
s
(a).
3. a) (Công thức tổng Abel) Cho hai dãy số thực (a
1
, a
2
, , a
n
) và (b
1
,b
2
, ,b
n
). Khi đó ta
có
∑∑
−
=
+
=
+++++−=
1
1
111
1
) () )((

n
i
nniii
n
i
ii
bbabbaaba

b) (Bất đẳng thức Abel) Cho hai dãy số thực (a
1
, a
2
, , a
n
) và (b
1
,b
2
, ,b
n
) trong đó dãy thứ
nhất là dãy số giảm. Đặt c
k
= b
1
+ +b
k
và M = max (c
k
), m = min (c

k
). Chứng minh rằng
ma
1
≤ a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ + a
n
b
n
≤ Ma
1
.
c) (Bất đẳng thức hoán vị) Giả sử a
1
, a
2
, , a
n
và b
1
, b
2
, , b

n
là hai dãy đơn điệu giảm.
Nếu c
1
, c
2
, ,c
n
là một hoán vị tùy ý của b
1
,b
2
, ,b
n
thì
a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ + a
n
b
n
≥ a
1
c

1
+ a
2
c
2
+ + a
n
c
n
.
4. Cho 0 < x < y ≤ z ≤ 1 và 3x + 2y + z ≤ 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 3x
2
+
2y
2
+ z
2
.
5. Cho dãy giảm n số dương x
1
, x
2
, , x
n
thỏa mãn điều kiện
kxxx
k
≥+++
21
với mọi k = 1, 2, , n.

Chứng minh rằng






+++>+++
n
xxx
k
1

2
1
14
22
2
2
1
.
6. Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 ta có bất đẳng thức
.
222
2
3
2
3
2
3

a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
++≥++
7. (Crux) Với các số thực dương x
1
, x
2
, ,x
n
có tổng bằng 1, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
.
1

11
2
2
1
1
n

n
x
x
x
x
x
x
f
−
++
−
+
−
=
6. Phương pháp phân tích bình phương
Nhiều bất đẳng thức đối xứng 3 biến có thể đưa về dạng
S
a
(b-c)
2
+ S
b
(c-a)
2
+ S
c
(a-b)
2
≥ 0.
Hiển nhiên là nếu S

a
, S
b
, S
c
không âm thì bất đẳng thức đúng. Tuy nhiên, ngay cả trong trường
hợp một trong các số S
a
, S
b
, S
c
âm thì bất đẳng thức vẫn có thể được chứng minh thông qua phân
tích này.
1. Cho a ≥ b ≥ c hoặc a ≤ b ≤ c. Giả sử rằng S
c
≤ S
b
≤ S
a
. Chứng minh rằng nếu S
c
< 0 và
S
b
+ S
c
≥ 0 thì ta có S
a
(b-c)

2
+ S
b
(c-a)
2
+ S
c
(a-b)
2
≥ 0.
2. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
2
))()((
8
222
≥
+++
+
++
++
accbba
abc
cabcab
cba
3. (Kvant) Cho a, b, c > 0, a + b + c = 1. Chứng minh rằng

.25)(48
111
≥+++++ cabcab
cba

4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
12
)(9
222
333
≥
++
++
+
++
cba
cabcab
abc
cba
5. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức
ba
c
ac
b
cb
a
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+

+
+
≥
+
+
+
+
+
22
2
22
2
22
2
6. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2
3
3( )
2
a b c
a b c a b c
b c c a a b
 
+ + + + + ≥ + +
 ÷
+ + +
 
7. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
222222333

3 accacbbcbaababccba +++++≥+++
7. Phương pháp dồn biến
Ý tưởng của phương pháp dồn biến là làm giảm dần số biến số, đưa việc chứng minh một bất
đẳng thức về việc chứng minh 2 (hay nhiều) bất đẳng thức đơn giản hơn.
Ví dụ để chứng minh f(a, b, c) ≥ 0, ta sẽ lần lượt chứng minh
i)
)
2
,
2
,(),,(
cbcb
afcbaf
++
≥

ii) f(a, t, t) ≥ 0.
Ta có một số chú ý sau
1) Khi thực hành phương pháp dồn biến, nên bắt đầu từ bất đẳng thức ii) trước với các lý do sau:
i) Tìm được các điểm nghi vấn xảy ra dấu bằng. Biết được điểm xảy ra dấu bằng, chúng
ta có thể tìm được các cách tiếp cận thích hợp.
ii) Nếu không chứng minh được ii) thì việc dồn biến là vô ích. Vì vậy phải làm bước này
trước.
2) Bất đẳng thức
)
2
,
2
,(),,(
cbcb

afcbaf
++
≥
nói chung không đúng với mọi a, b, c. Sử dụng
tính đối xứng của bất đẳng thức, ta có thể sắp xếp thứ tự a, b, c để bất đẳng thức này đúng.
3) Việc chọn giá trị để dồn biến đến phụ thuộc vào biểu thức của f và điều kiện ràng buộc. Ví dụ
nếu điều kiện là a + b + c = 1 nên thì ta phải dồn về trung bình cộng (hoặc thành b+c, 0).
1. (Bất đẳng thức Schur) Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng ta có bất
đẳng thức
a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3abc ≥ a
2
(b+c) + b
2
(c+a) + c
2
(a+b)
2. (Việt Nam 2006) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng






++≥+++

cba
cba
111
23
222

3. Cho ba số không âm a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng
.
2
5111
≥
+
+
+
+
+ baaccb
Hướng dẫn: Phải dồn biến thế nào để điều kiện đảm bảo?
4. (Việt Nam 2002) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a
2
+ b
2
+ c
2
= 9. Chứng
minh rằng 2(a+b+c) - abc ≤ 0.
5. Dồn biến về biên. Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng
minh rằng a
2
b + b
2

c + c
2
a ≤ 4.
6. (Iran 1996) Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức
7. (Vietnam TST 2006) Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [1, 2]. Chứng minh rằng ta
có bất đẳng thức








+
+
+
+
+
≥








++++
yx

z
xz
y
zy
x
zyx
zyx 6
111
)(
8. Khử dần các biến số bằng đạo hàm một biến
Nguyên lý Fermat nói rằng nếu c là điểm cực trị của hàm khả vi f(x) thì f'(c) = 0. Điềi này cho
phép chúng ta xây dựng thuật toán tìm cực trị của hàm một biến. Với hàm nhiều biến, ta vẫn có
thể sử dụng phương pháp này bằng cách cố định một số biến, chỉ còn một biến tự do. Việc sử
dụng các "đường mức" (điều kiện cố định) như thế nào phụ thuộc vào từng bài toán.
1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
(
)
22
11319)( xxxxf −++=
trên đoạn [0, 1]
2. (PTNK 2012)
a) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x ta có bất đẳng thức






+≥











++
x
x
x
x
1
31
1
2
3
4
3
4
b) Tìm số thực dương α nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức






+≥







++
x
x
x
x
1
31
1
2
α
α
đúng với mọi x > 0.
3. Cho tam giác đều ABC. Với mỗi điểm M nằm trong mặt phẳng tam giác, gọi D, E, F
lần lượt là hình chiếu của M lên các đường thẳng (BC), (CA), (AB). Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
MFMEMD
MCMBMA
++
++
.
4. (Việt Nam TST 2001) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều kiện 2x + 4y +
7z = 2xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x+y+z.
5. Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện x
2

+ y
2
= 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
2
2
221
)6(2
yxy
xyx
++
+
.
6. Cho
1
12
)(
2
2
+
−+
=
x
xx
xf
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x)f(y)
với x, y là các số thực thoả mãn điều kiện x + y = 1.
7. Cho a, b, c là các số thực phân biệt, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )









−
+
−
+
−
++
222
222
)(
1
)(
1
)(
1
accbba
cba
9. Phương pháp tiếp tuyến
Theo công thức Taylor khai triển đến bậc 2 thì f(x) = f(x
0
) + f'(x
0
)(x-x
0

) + f"(c)(x-x
0
)
2
/2 với c
nằm giữa x và x
0
. Như vậy nếu f"(x
0
) ≠ 0 thì tại lân cận của x
0
, tiếp tuyến của f(x) (đường thẳng y
= f(x
0
) + f'(x
0
)(x-x
0
) sẽ nằm trên hay nằm dưới f(x). Điều này cho phép ta đánh giá f(x) thông qua
hàm tuyến tính. Đây là ý tưởng của phương pháp tiếp tuyến.
1. (Ba Lan 1996) Cho
.1,
4
3
,, =++−≥ zyxzyx
Chứng minh rằng
.
10
9
111

222
≤
+
+
+
+
+ z
z
y
y
x
x
2. a) (Baltic Way) Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi a, b, c > 0
.
3
22
3
22
3
22
3
cba
acac
c
cbcb
b
baba
a ++
≥
++

+
++
+
++

b) Chứng minh rằng nếu a
1
, a
2
, , a
n
là các số thực dương thì ta có
∑
∑
=
=
−
++
−−
≥
+++
n
i
n
i
i
n
ii
n
i

n
i
n
i
n
a
aaaa
a
1
1
1
11
21

(ở đây a
n+1
= a
1
)
3. (Nhật Bản 1997) Chứng minh rằng với a, b, c > 0 ta có bất đẳng thức
( )
2
2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 3
( ) ( ) ( ) 5
b c a
c a b a b c
a b c b a c c a b
+ −

+ − + −
+ + ≥
+ + + + + +
4. (Mỹ 2003) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
.8
)(2
)2(
)(2
)2(
)(2
)2(
22
2
22
2
22
2
≤
++
++
+
++
++
+
++
++
bac
bac
acb
acb

cba
cba
5. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c >0. Chứng minh rằng
.8
)(5)(5)(5
22
2
22
2
22
2
≤
++
+
++
+
++ bac
c
acb
b
cba
a
6. Cho x, y > 0 và x
2
+ y
3
≥ x
3
+ y
4

. Chứng minh rằng x
3
+ y
2
≤ 3.
7. (Romanian TST 2006) Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh
rằng
222
222
111
cba
cba
++≥++
10. Hàm lồi và bất đẳng thức Karamata
Bất đẳng thức Karamata là một công cụ mạnh để giải quyết các bài bất đẳng thức dạng "tổng
hàm". Để phát biểu bất đẳng thức Karamata, ta nhắc lại khái niệm về bộ trội.
Cho hai dãy số thực không tăng a = (a
1
, a
2
, , a
n
) và b = (b
1
, b
2
, , b
n
). Dãy a được gọi là trội hơn
dãy b, ký hiệu là a > b, nếu chúng thỏa mãn

a
1
≥ b
1
, a
1
+ a
2
≥ b
1
+ b
2
, , a
1
+ a
2
+ + a
n
= b
1
+ b
2
+ + b
n
.
1. a) Cho I là một khoảng trong R. Giả sử f là một hàm liên tục, khả vi bậc hai trên I và
lõm trên I (tức là f"(x) ≥ 0 với mọi x thuộc I). Khi đó với mọi x, y thuộc I ta có f(x) ≥ f(y)
+ f'(y)(x-y).
b) (Bất đẳng thức Karamata) Giả sử hàm số f là một hàm liên tục, khả vi bậc hai trên I và
lõm trên I. Khi đó với hai dãy số thực không tăng bất kỳ a = (a

1
, a
2
, ,a
n
) và b = (b
1
,
b
2
, ,b
n
) thỏa a > b, ta có
f(a
1
) + f(a
2
) + + f(a
n
) ≥ f(b
1
) + f(b
2
) + + f(b
n
).
c) (Bất đẳng thức Jensen) Giả sử hàm số f là một hàm liên tục, khả vi bậc hai trên I và
lõm trên I. Khi đó với mọi x
1
, x

2
, , x
n
thuộc I ta có






+++
≥+++
n
xxx
nfxfxfxf
n
n

)( )()(
21
21
d) (Bất đẳng thức Popoviciu) Giả sử hàm số f là một hàm liên tục, khả vi bậc hai trên I và
lõm trên I. Khi đó với mọi x, y, z thuộc I ta có bất đẳng thức













+
+






+
+






+
≥






++

+++
222
2
3
3)()()(
xz
f
zy
f
yx
f
zyx
fzfyfxf
2. a) Cho x, y, z ∈ [1, 2]. Chứng minh rằng
.10
111
)( ≤








++++
zyx
zyx
b) Cho x, y, z ∈ [1, 2]. Chứng minh rằng x
3

+ y
3
+ z
3
≤ 5xyz.
3. (Việt Nam TST 1992) Cho x
1
, x
2
, , x
n
∈[-1, 1] (n > 2) thỏa mãn x
1
+ x
2
+ + x
n
= n -
3. Chứng minh rằng x
1
2
+ x
2
2
+ + x
n
2
≤ n - 1.
4. Cho a, b, c ∈ [0, 1]. Chứng minh rằng
.

2
5
111
≤+
+
+
+
+
+
abc
ab
c
ca
b
bc
a
5. Cho x
1
, x
2
, …, x
n
≥ 0 và x
1
+ x
2
+ … + x
n
= n. Chứng minh rằng
2(x

1
3
+x
2
3
+…+x
n
3
) + n
2
≤ (2n+1)(x
1
2
+x
2
2
+…+x
n
2
)
6. Cho các số dương a, b, c,d thỏa mãn điều kiện a + b + c + d = 4. Chứng minh rằng
.28
1111
8
2222
++++≥







+++ dcba
dcba
7. a) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
)(23
3
222222
cabcabcbacba ++≥+++
b)* Cho a
1
, a
2
, , a
n
là n số thực dương. Hãy chứng minh
2
11
2
1
2
)1(






≥+−
∑∏∑

===
n
i
i
n
n
i
i
n
i
i
aanan
11. Bất đẳng thức và bài toán cực trị
1. Cho x, y là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
22
)1()1(
)1)((
yx
xyyx
++
−−
2. (PTNK 1999) Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: 0 ≤ x, y ≤ 2, 1 ≤ x + y ≤ 3.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = x
2
+ y
2
+ xy – 3x – 3y.
3. (Việt Nam TST 1993) Cho x
1

, x
2
, x
3
, x
4
là các số thực thoả mãn điều kiện
.1
2
1
2
4
2
3
2
2
2
1
≤+++≤ xxxx
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = (x
1
– 2x
2
+ x
3
)
2
+ (x
2

– 2x
3
+ x
4
)
2
+ (x
2
– 2x
1
)
2
+ (x
3
– 2x
4
)
2
.
4. Cho x, y, z và w là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
30,36
22
2222
=+=++=−+ ywxz
wz
zw
xy
yx

Tìm giá trị lớn nhất của (xy + wz)

2
.
5. (Trung Quốc 2003) Cho a
1
, a
2
, , a
2n
là các số thực thỏa mãn điều kiện
(a
1
- a
2
)
2
+ (a
3
- a
4
)
2
+ + (a
2n-1
-a
2n
)
2
= 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = (a

n+1
+ a
n+2
+ + a
2n
) - (a
1
+ a
2
+ + a
n
).
6*. Cho a
1
, a
2
, …, a
n
là các số thực sao cho a
1
2
+ a
2
2
+ … + a
n
2
= 1. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức a
1

a
2
+ a
2
a
3
+ … + a
n-1
a
n
.
7. Phương pháp hệ phương trình kết hợp hàm một biến
a) Cho x, y, z là các số thực thoả mãn điều kiện



=++
=++
9
5
222
zyx
zyx
i) Chứng minh rằng 1 ≤ x, y, z ≤
3
7
ii) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xyz.
b) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = 10, 1/x + 1/y + 1/z =
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = x
3

+ y
3
+ z
3
.
c) (VMO 2004) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều kiện (x+y+z)
3
= 32xyz.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
4
444
)( zyx
zyx
P
++
++
=
d) Cho x, y, z là các số thực thoả mãn điều kiện x + y + z = 0, x
2
+ y
2
+ z
2
= 6. Tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = x
2
y + y
2
z + z
2

x.
12. Bài tập tổng hợp 1
1. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a
2
+ b
2
+ c
2
= 3. Chứng minh rằng
(2-ab)(2-ca)(2-ab) ≥ 1.
2. Cho x, y, z thuộc [0 ; 1]. Chứng minh rằng (xy-y+1)
2
+ (yz-z+1)
2
+ (zx-x+1)
2
≥ 3/2.
3. (IMC 2008) Cho a, b, c, d, e > 0 thoả mãn điều kiện a
2
+ b
2
+ c
2
= d
2
+ e
2
, a
4
+ b

4
+ c
4
=
d
4
+ e
4
. Hãy so sánh a
3
+ b
3
+ c
3
và d
3
+ e
3
.
4. Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 ta có
2 2 2
2( )
5
a b c ab bc ca
b c a a b c
+ +
+ + + ≥
+ +
5. Cho x
1

, x
2
, …, x
n
≥ 0 và x
1
+ x
2
+ … + x
n
= n. Chứng minh rằng
(n-1)(x
1
3
+x
2
3
+…+x
n
3
) + n
2
≥ (2n-1)(x
1
2
+x
2
2
+…+x
n

2
)
6. (Hello 2007, TH&TT) Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng ta có bất
đẳng thức xyz + 2(x
2
+ y
2
+ z
2
) + 8 ≥ 5(x+y+z).
7. (Trung Quốc 2006) Cho các số thực a
1
, a
2
, , a
n
thỏa mãn điều kiện a
1
+ a
2
+ … + a
n
=
0. Chứng minh rằng
1
2 2
1
1
1
max ( ) .

3
n
i i i
i n
i
n
a a a
−
+
≤ ≤
=
≤ −
∑
8. Tìm số m nhỏ nhất sao cho từ bốn số thực a, b, c, d bất kỳ thuộc [0, 1], ta luôn chọn
được hai số x, y sao cho 0 ≤ xy(x-y) ≤ m.
9. Cho x
1
, x
2
, , x
n
là n số thuộc đoạn [0, 2]. Chứng minh rằng
∑∑
= =
≤−
n
i
n
j
ji

nxx
1 1
2
||
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi nào?
10. (Balkan MO 2011) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0.
Chứng minh rằng
.0
12
)2(
12
)2(
12
)2(
222
≥
+
+
+
+
+
+
+
+
z
zz
y
yy
x
xx

11. (USAMO 2004) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức
(a
5
– a
2
+ 3)(b
5
– b
2
+ 3)(c
5
– c
2
+ 3) ≥ (a+b+c)
5
.
12. (IMO 2005) Cho a, b, c > 0, abc ≥ 1. Chứng minh rằng

.0
522
25
252
25
225
25
≥
++
−
+
++

−
+
++
−
cba
cc
cba
bb
cba
aa

13. Các số nguyên dương a
1
, a
2
, …, a
n
thỏa mãn điều kiện tất cả các tổng riêng
1

k
i i
a a+ +
(i
1
< …< i
k
) đôi một khác nhau. Chứng minh rằng
1
1

2
n
i
i
a
=
<
∑
.
13. Bài tập tổng hợp 2
1. (USA MO 2011). Cho a, b, c là các số thực dương sao cho a
2
+ b
2
+ c
2
+ (a+b+c)
2
≤ 4.
Chứng minh rằng
.3
)(
1
)(
1
)(
1
222
≥
+

+
+
+
+
+
+
+
ac
ca
cb
bc
ba
ab
2. a) (Vietnam SMO 2011) Đoạn thẳng [m, n] được gọi là đoạn thẳng tốt nếu với mọi bộ
ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện 2a + 3b + 6c = 0 thì phương trình ax
2
+ bx + c = 0
có nghiệm thuộc đoạn [m, n]. Tìm đoạn thẳng tốt có độ dài nhỏ nhất.
b) Nếu [m, n] là đoạn thẳng tốt, chứng minh rằng m + n – 2mn ≥
.
3
2
3. (IMO 2003) Cho lục giác lồi mà trong đó hai cạnh đối diện bất kỳ có tính chất sau:
khoảng cách giữa các trung điểm của chúng bằng
2
3
lần tổng độ dài của chúng. Chứng
minh rằng tất cả các góc của lục giác bằng nhau.
4. (Romanian TST 2006) Cho a
1

, a
2
, …, a
n
là các số thực sao cho |a
i
| ≤ 1 và a
1
+ a
2
+ … +
a
n
= 0.
a) Chứng minh rằng tồn tại k ∈ {1, 2, …, n} sao cho

.
4
12
| 2|
21
+
≤+++
k
kaaa
k
b) Chứng minh rằng với n > 2 thì đánh giá trên là tốt nhất có thể.
5. (Putnam, Romania, Iran) Cho n số thực x
1
, x

2
, …, x
n
. Chứng minh rằng ta có bất đẳng
thức
∑∑ ∑
= = =
≥+
n
i
n
j
n
i
iji
xnxx
1 1 1
.||||
6. a) (Bất đẳng thức Newton) Cho a
1
, a
2
, , a
n
là các số thực bất kỳ. Đặt
(x-a
1
)(x-a
2
) (x-a

n
) = x
n
- σ
1
x
n-1
+ σ
2
x
n-2
- +(-1)
n
σ
n
và
i
n
i
i
C
S
σ
=
.
Chứng minh rằng
2
11 iii
SSS ≤
+−

với mọi i = 1, 2, , n-1.
b) Bất đẳng thức Maclaurin) Với các ký hiệu như trên và a
i
≥ 0. Chứng minh rằng

3
321
n
n
SSSS ≥≥≥≥
7. (Việt Nam 1996) Cho a, b, c, d là bốn số thực không âm thỏa mãn điều kiện
2(ab + ac + ad + bc + bc + cd) + abc + abd + acd + bcd = 16
Chứng minh rằng
a + b + c + d ≥
3
2
(ab + ac + ad + bc + bd + cd).
và xác định điều kiện xảy ra dấu bằng.
8*. (Việt Nam TST 2011) Cho số nguyên dương n ≥ 3. Các số thực x
1
, x
2
, …, x
n
thỏa
mãn điều kiện
i) x
1
≥ x
2

≥ …≥ x
n
;
ii) x
1
+ x
2
+ … + x
n
= 0;
iii) x
1
2
+ x
2
2
+ … + x
n
2
= n(n-1).
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S = x
1
+ x
2
.
9. (IMO 2003) Cho n là số nguyên dương và cho x
1
≤ x
2
≤ …≤ x

n
là các số thực.
a) Chứng minh rằng
∑∑
==
−
−
≤








−
n
ji
ji
n
ji
ji
xx
n
xx
1,
2
2
2

1,
)(
3
)1(2
||
.
b) Chứng minh rằng dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x
1
, x
2
, …, x
n
là một cấp số cộng.
10*. (IMO 2003 Short list) Cho n là số nguyên dương và (x
1
, x
2
, …, x
n
), (y
1
, y
2
, …, y
n
) là
hai dãy số thực dương. Giả sử rằng (z
2
, z
3

, …., z
2n
) là dãy các số thực dương sao cho
z
2
i+j
≥ x
i
y
j
với mọi 1 ≤ i, j ≤ n
Đặt M = max{z
2
, z
3
, …, z
2n
}. Chứng minh rằng






+++







+++
≥






++++
n
yyy
n
xxx
n
zzzM
nnn

2

2121
2
232
.
11. (Mathlinks Contest) Cho a, b, c,, x, y, z là các số thực sao cho
( )( ) 3a b c x y z+ + + + =

và
2 2 2 2 2 2
( )( ) 4a b c x y z+ + + + =

. Chứng minh rằng ax+by+cz
0
≥
.
12*. Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức.
( ) ( ) ( ) 3( )
a b c
y z x z x y xy yz zx
b c c a a b
+ + + + + ≥ + +
+ + +
13*. (Bất đẳng thức Fejer)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n và với mọi số thực x ta có bất đẳng thức
.0
cos

2
2cos
cos1 ≥++++
n
nxx
x
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n và với mọi số thực x ∈ (0, π) ta có bất
đẳng thức
.0
12
)12cos(

3
3sin

sin >
−
−
+++
n
xnx
x
[Version 1.0, hoàn thành ngày 4/12, dành tặng Ksi và Pi]