giới hạn dãy số qua các định lý và bài toán

Giới hạn dãy số qua các định lý và bài toán
1. Các giới hạn cơ bản. Tính giới hạn bằng định nghĩa và định lý cơ bản. Tiêu chuẩn
Cauchy. Định lý giới hạn kẹp.
1. Chứng minh các tính chất sau
a)
0lim =
∞→
n
n
q
với |q| < 1 b)
0lim =
∞→
α
n
n
nếu α < 0
c)
0lim =
∞→
n
n
a
n
α
với mọi a > 1 d)
0
!
lim =
∞→
n

a
n
n
với mọi a
2. (Định lý giới hạn kẹp) Chứng minh rằng nếu với mọi n ta có x
n
≤ y
n
≤ z
n
và
azx
n
n
n
n
==
∞→∞→
limlim
thì
ay
n
n
=
∞→
lim
.
3. Chứng minh rằng với mọi n ≥ 2 ta có bất đẳng thức
n
n

n
2
1+<
. Từ đó tính giới hạn
n
n
n
∞→
lim
.
4. Sử dụng đẳng thức
nn
nn
++
=−+
1
1
1
và đánh giá
nnnn 2
1
1
1
12
1
<
++
<
+
hãy tính

n
n
n
1

2
1
1
lim
+++
∞→
5. (Canada 1985) Cho 1 < x
1
< 2. Với n = 1, 2, ta định nghĩa x
n+1
= 1 + x
n
- x
n
2
/2.
Chứng minh rằng với mọi n ≥ 3 ta có
.
2
1
|2|
n
n
x <−

6. (VMO 2012) Cho dãy số thực (x
n
) xác định bởi:
1
1
3
2
( 2)
3
n n
x
n
x x
n
−
=



+
= +


với mọi n ≥ 2.
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi n  ∞ và tính giới hạn đó.
7. (Singapore 1997). Cho dãy số {a
k
} xác định bởi a
0
= 1/2,

.1, ,2,1,
2
1
−=+=
+
nk
n
a
aa
k
kk
Chứng minh rằng
.1
1
1 <<−
n
a
n
Gặp gỡ Toán học 2013 Trần Nam Dũng - Trường ĐH KHTN Tp HCM
2. Dãy số dạng x
n+1
= f(x
n
)
Với các dãy số có dạng x
n+1
= f(x
n
) thì phương trình x = f(x) và tính tăng giảm của hàm số f đóng một vai
trò quan trọng. Giới hạn L (nếu có) của dãy số phải là nghiệm của phương trình L = f(L).

1. Cho I là một khoảng đóng của R và hàm số f: I > I. Xét dãy số (x
n
) xác định bởi x
0
=
a ∈ I, x
n+1
= f(x
n
) với mọi n = 0, 1, 2, 3,
a) Nếu f là hàm số tăng trên I thì (x
n
) sẽ là dãy đơn điệu.
b) Nếu f là hàm số giảm trên I thì các dãy con (x
2k
), (x
2k+1
) là các dãy đơn điệu ngược
chiều nhau.
c) Giả sử f liên tục trên I. Nếu lim x
n
= L thì L ∈ I, chuyển qua giới hạn trong biểu thức
x
n+1
= f(x
n
), ta suy ra L = f(L).
2. (VMO 2013) Cho dãy số {a
n
} xác định bởi a

1
= 1 và
n
a
n
n
a
a
2
2
3
1
+
−=
+
với mọi n ≥ 1.
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
3. (VMO 2005) Cho dãy số {x
n
} xác định bởi x
1
= a, x
n+1
= 3x
n
3
– 7x
n
2
+ 5x

n
. Tìm tất cả
các giá trị a để dãy {x
n
} có giới hạn hữu hạn.
Cho I là một khoảng đóng bị chặn. Hàm số f: I > I được gọi là một hàm số co trên I nếu tồn tại số thực
q, 0 < q < 1 sao cho
|f(x) - f(y)| ≤ q.|x - y| với mọi x, y thuộc I.
4. (Nguyên lý ánh xạ co) Cho I là một khoảng đóng bị chặn. Nếu f(x) là một hàm số co
trên I thì dãy số (x
n
) xác định bởi x
0
= a ∈ I, x
n+1
= f(x
n
) hội tụ. Giới hạn của dãy số là
nghiệm duy nhất trên I của phương trình x = f(x).
5. (Đề dự bị VMO 2008) Cho số thực a và dãy số thực {x
n
} xác định bởi:
x
1
= a và x
n+1
= ln(3+cosx
n
+ sinx
n

) – 2008 với mọi n = 1, 2, 3, …
Chứng minh rằng dãy số {x
n
} có giới hạn hữu hạn khi n tiến đến dương vô cùng.
6. (Bà Rịa Vũng Tàu 2009) Cho dãy số xác định bởi
2008
)1(2
1
,1
2
11
−
+
==
+
n
n
x
xx
. Chứng
minh rằng {x
n
} có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng.
7*. Cho dãy số {x
n
} xác định bởi x
0
= a, x
n+1
= 2 - x

n
2
với mọi n = 0, 1, 2, Tìm tất cả
các giá trị a sao cho dãy số {x
n
} có giới hạn hữu hạn.
Gặp gỡ Toán học 2013 Trần Nam Dũng - Trường ĐH KHTN Tp HCM
3. Định lý trung bình Cesaro
1. Chứng minh rằng nếu
0)(lim
1
=−
+
∞→
nn
n
aa
thì
.0lim =
∞→
n
a
n
n
2. (Định lý trung bình Cesaro) Cho dãy {x
n
} có
ax
n
n

=
∞→
lim
. Khi đó ta có
a
n
xxx
n
n
=
+++
∞→

lim
21
Nếu x
i
không âm thì ta cũng có
axxx
n
n
n
=
∞→
lim
21
.
Nếu x
i
≠ 0 thì ta có

a
xxx
n
n
n
=
+++
∞→
1

11
lim
21
3. Cho biết
e
n
n
n
=






+
∞→
1
1lim
. Hãy tính

.
!
lim
n
n
n
n
∞→
4. Cho dãy số {x
n
} xác định bởi x
0
= 1/2, x
n+1
= x
n
(1-x
n
). Chứng minh rằng
1lim =
∞→
n
n
nx
.
5. (Định lý Stolz) Xét hai dãy số (x
n
) và (y
n
), trong đó (y

n
) là dãy số dương tăng và dần
đến vô cùng. Thế thì
.limlim
1
1
−
−
−
−
=
nn
nn
n
n
yy
xx
y
x

6. Cho dãy số {x
n
} được xác định bởi x
0
= 1, x
n+1
= sin(x
n
). Chứng minh rằng
lim

n
.x
n
=
3
.
7. (Vietnam TST 1993) Dãy số {a
n
} được xác định bởi a
1
= 1 và
n
nn
a
aa
1
1
+=
+
. Hãy tìm
tất cả các số thực β

để dãy số (a
n
)
β
/n có giới hạn hữu hạn khác 0.
4. Dãy số dạng tổng
Ta thường gặp các dãy số được định nghĩa dưới dạng tổng các số hạng của một dãy số khác. Khi các số
hạng này là dương thì dãy tổng hiển nhiên là tăng. Sự hội tụ của dãy tổng bây giờ tương đương với sự bị

chặn trên. Ta có thể thực hiện điều này thông qua các đánh giá. Tuy nhiên, để tính được giới hạn, ta bắt
buộc phải tính được tổng chứ không thể thông qua các đánh giá.
Gặp gỡ Toán học 2013 Trần Nam Dũng - Trường ĐH KHTN Tp HCM
1. (Kontum 2013) Cho dãy số (x
n
) được xác định như sau:
1)12(2
,
3
2
11
++
==
+
n
n
n
xn
x
xx
∀n
∈ N*.
Tính
∑
=
+∞→
n
i
i
n

x
1
lim
.
2. (Hải Phòng 2009) Cho dãy {u
n
} thoả mãn:
2008
,1
2
11
n
nn
u
uuu +==
+
. Hãy tính
∑
=
+
∞→
n
i
i
i
n
u
u
1
1

lim
.
3. (VMO 1984) Dãy số u
1
, u
2
, được xác định bởi: u
1
= 1, u
2
= 2, u
n+1
= 3u
n
- u
n-1
với n =
2, 3, Đặt
∑
=
=
n
k
kn
uanarcv
1
)(cot
.
Hãy tìm giới hạn của v
n

khi n dần đến vô cùng.
4. (VMO 2009) Cho dãy số (x
n
) xác định bởi x
1
= 1/2,
2
4
11
2
1 −−−
++
=
nnn
n
xxx
x
với mọi n
≥ 2. Chứng minh rằng dãy (y
n
) với
∑
=
=
n
k
k
n
x
y

1
2
1
có giới hạn hữu hạn khi n  ∞ và tìm giới
hạn đó.
5. (Định lý về giới hạn tương đương) Cho dãy số (c
k
) với 0 < c
k
< 1, k = 1, 2, 3, Xét
các dãy số
∏ ∑∏
= ==
=−=+=
n
i
n
i
inin
n
i
in
czcycx
1 11
),1(,)1(
. Khi đó ba khẳng định sau đây là
tương đương
(i)
+∞=
∞→

n
n
xlim
ii)
0lim =
∞→
n
n
y
+∞=
∞→
n
n
zlim
6. (Trường Đông Toán học phía Nam 2012) Cho a > 0 và dãy số (x
n
) xác định bởi x
1
= a
và
1,
2
1
≥∀+=
+
n
n
x
xx
n

nn
. Chứng minh rằng (x
n
) có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô
cùng.
7. (ĐHSP HN 2000) Cho dãy số (a
n
) xác định bởi a
1
= a
2
= 1,
)1(
1
1
+
+=
−
+
nn
a
aa
n
nn
. Chứng
minh rằng dãy (a
n
) có giới hạn hữu hạn.
Gặp gỡ Toán học 2013 Trần Nam Dũng - Trường ĐH KHTN Tp HCM
5. Dãy số cho bởi phương trình

1. Gọi x
n
là nghiệm của phương trình
0
1

1
11
=
−
++
−
+
nxxx
nằm trong khoảng (0, 1)
a) Chứng minh rằng dãy {x
n
} hội tụ;
b) Tìm giới hạn của x
n
khi n dần đến vô cùng.
2. Cho n > 1 là số nguyên dương. Chứng minh rằng phương trình x
n
= x + 1 có một
nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là x
n
. Chứng minh rằng x
n
dần đến 1 khi n dần đến vô
cùng và tìm

)1(lim
−
∞→
n
n
xn
.
3. (VMO 2007) Cho số thực a > 2 và f
n
(x) = a
10
x
n+10
+ x
n
+ …+x + 1.
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, phương trình f
n
(x) = a chỉ có duy
nhất một nghiệm dương.
b) Ký hiệu nghiệm dương duy nhất này là x
n
, chứng minh rằng dãy số {x
n
} có giới
hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng
4. (VMO 2002) Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng phương trình
2
1
1

1

14
1
1
1
2
=
−
++
−
+
−
xn
xx
chỉ có một nghiệm duy nhất thuộc (1, +∞), ký hiệu là x
n
.
Chứng minh rằng khi n dần đến vô cùng, x
n
dần đến 4.
5. (Ninh Bình 2013) Cho phương trình (ẩn x, tham số n nguyên dương)
x + 2x
2
+ 3x
3
+ + nx
n
- 3/4 = 0
a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n phương trình có 1 nghiệm dương duy

nhất, kí hiệu nghiệm đó là x
n
.
b) Chứng minh rằng
.
3
1
lim =
∞→
n
n
x

6. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, phương trình tan(x) = x có một nghiệm
duy nhất thuộc






++−
π
π
π
π
nn
2
;
2

. Ký hiệu nghiệm đó là x
n
, hãy tính
)(lim
1 nn
n
xx −
+
∞→
.
7*. Cho n > 1 là số nguyên dương. Chứng minh rằng phương trình x
n
= x
2
+ x + 1 có một
nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là x
n
. Tìm giá trị thực a sao cho giới hạn sau đây tồn tại,
hữu hạn và khác 0
)(lim
1
+
∞→
−
nn
a
n
xxn
.
Gặp gỡ Toán học 2013 Trần Nam Dũng - Trường ĐH KHTN Tp HCM

6. Một số bài tập chọn lọc
1. (Moldova 2007) Cho dãy {x
n
} xác định bởi
e
n
n
xn
=






+
+
1
1
. Chứng minh rằng dãy
{x
n
} có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
2. (Quảng Bình 2009) Cho dãy số u
n
xác định như sau
i) u
1
= 1; ii)
*

11
2
1
Nn
u
u
u
n
n
n
∈∀
−+
=
+
Chứng minh rằng






−+≥+++
−1
21
2
1
1
4
1
n

n
uuu
π
.
3. Cho dãy số {x
n
} xác định bởi
i) x
0
= -2;
ii)
2
411
1−
−−
=
n
n
x
x
với mọi n ≥ 1.
Đặt u
n
= nx
n
và v
n
= (1+x
0
2

)(1+x
1
2
) …(1+x
n
2
). Chứng minh rằng các dãy số u
n
và v
n
có
giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng.
4. (Hà Tĩnh) Dãy số (x
n
) với n = 1, 2, 3, … bị chặn trên và thỏa mãn điều kiện:
2 1
1 3
4 4
n n n
x x x
+ +
≥ +
với mọi n = 1, 2, 3, … Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn.
5*. (PTNK 2012) Cho dãy {u
n
} giảm và limu
n
= 0. Với mỗi số nguyên dương n, đặt:
v
n

= u
1
+ u
2
+ + u
n
– nu
n+1
và z
n
= u
1
+ u
2
+ + u
n
.
Chứng minh rằng nếu dãy {v
n
} bị chặn thì dãy {z
n
} hội tụ.
6*. Cho dãy số {a
n
} thỏa mãn điều kiệm lim (a
n+1
– a
n
) = 0 và lim (a
2n

– 2a
n
) = 0.
a) Chứng minh rằng {a
n
} bị chặn;
b) Chứng minh rằng lim a
n
= 0.
7*. Đơn giản các tổng sau:
a)
;
12
cot
12
2
cot
12
cot
222
+
++
+
+
+ n
n
an
n
an
n

an
πππ

b)
.
12
cos
12
2
cos
12
cos
222
+
++
+
+
+ n
n
ec
n
ec
n
ec
πππ
Từ đó suy ra rằng với mọi số nguyên dương n, tổng
222
1

3

1
2
1
1
n
++++
nằm giữa
Gặp gỡ Toán học 2013 Trần Nam Dũng - Trường ĐH KHTN Tp HCM
612
2
1
12
1
1
2
π






+
−







+
−
nn
và
612
1
1
12
1
1
2
π






+
+






+
−
nn
.

Gặp gỡ Toán học 2013 Trần Nam Dũng - Trường ĐH KHTN Tp HCM