Hướng dẫn học sinh sử dụng công thức toán học

Hớng dẫn học sinh khai thác sử dụng công thức nghiệm
Phòng GD - ĐT Thạch Thất
Trờng THCS Thạch Hoà
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
I. Sơ yếu lý lịch
Họ và tên: Nguyễn Chí Luyện
Sinh năm: .
Năm vào ngành:
Đơn vị công tác: GV - Trờng THCS Thạch Hoà
Chuyên ngành đào tạo: Toán
Hệ đào tạo: Chính quy
Nhiệm vụ đợc giao: Toán 9A + Hoá 9 A + Hoá 8 A, B,C
II. Nội dung đề tài:
A. Đặt vấn đề
I. Lý do chọn đề tài:
Giải toán là một trong những vấn đề trung tâm của phơng pháp giảng
dạy môn toán, bởi lẽ giải toán là việc mà cả ngời học lẫn ngời dạy thờng
phải làm, đặc biệt là đối với học sinh bậc THCS thì việc giải toán là một
trong những hình thức chủ yếu của việc học toán. Thực tế có một số lợng
bài toán đáng kể trong SGK đã gây cho học sinh gặp những khó khăn nhất
định trong việc đi tìm lời giải dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả
năng của mình. Đây là trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ vơn lên trong học tập
của học sinh. Chính vì vậy trong quá trình giảng dạy toán ở bậc THCS
ngoài việc truyền thụ những kiến thức lý thuyết cơ bản trong SGK, thì ngời
thầy phải có cách nhìn bao quát mở rộng cho từng phần kiến thức, đi sâu
nghiên cứu, tìm tòi khai thác và hớng dẫn học sinh khai thác sử dụng linh
hoạt từng phần kiến thức cơ bản đó áp dụng vào giải các dạng toán. Trên cơ
sở đó xây dựng phơng pháp giải cho từng dạng toán cũng nh rèn cho các em

1
Hớng dẫn học sinh khai thác sử dụng công thức nghiệm
phơng pháp suy nghĩ, phơng pháp suy luận trong việc tìm lời giải một bài
toán.
Mặt khác đối với khối lớp 9, lớp cuối cấp chuẩn bị thi tốt nghiệp kết
thúc chơng trình THCS thì việc chuẩn bị tốt các kiến thức nói chung cũng
nh việc rèn kỹ năng giải thành thạo, linh hoạt các bài toán nói riêng lại càng
trở nên hết sức cần thiết.
Hơn thế nữa việc học tốt môn Toán giúp các em học tốt các môn tự
nhiên khác cũng nh học tốt môn Toán trong những năm học sau này.
Trong sách Đại số 9, phần giải phơng trình bậc 2, là một trong những
phần kiến thức cơ bản của môn Toán 9. Nắm chắc phơng pháp giải phơng
trình bậc 2 không những giải quyết một số lợng lớn bài tập ở phần này mà
còn là nền tảng quan trọng trong việc Giải bài toán bằng cách lập phơng
trình ở phần tiếp theo. Chính vì những lý do đó tôi suy nghĩ, trăn trở và
mạnh dạn đa ra phơng pháp: H ớng dẫn học sinh khai thác sử dụng
công thức nghiệm, sau khi thực hiện thì thu đợc kết quả khá khả quan.
II. Phạm vi và thời gian thực hiện:
1. Phạm vi của đề tài
Trong khuôn khổ đề tài này tôi chỉ đề cập đến cách khai thác sử dụng
công thức nghiệm để giải toán trong chơng trình đại số lớp 9.
Đối tợng để tôi thể nghiệm đề tài này là học sinh lớp 9A trờng THCS
Thạch Hoà.
2. Thời gian thực hiện:
Đề tài này tôi đã áp dụng trong năm học 2004 - 2005 ở lớp 9A trờng
THCS Thạch Hoà và thu đợc kết quả cao.
2
Hớng dẫn học sinh khai thác sử dụng công thức nghiệm
B. Nội dung của đề tài:
I. Thực trạng tình hình qua khảo sát điều tra:

Qua thực tế kiểm tra 37 em học sinh lớp 9A trong thời gian 20 phút
với đề bài sau: (Khi cha thực hiện đề tài)
Bài 1: Giải các phơng trình bậc 2 sau: (Bằng công thức nghiệm)
a. - 2x
2
+ 5x + 3 = 0
b. 3x
2
+ 12x - 66 = 0
Bài 2: Không tính , hãy giải thích tại sao phơng trình sau có 2
nghiệm phân biệt:
3
x
2
- 2 (
2
+
3
) x + -
3
=0
Kết quả bài làm của học sinh nh sau :
Số học sinh dự
khảo sát
Kết quả
Yếu TB Khá Giỏi
37
6
= 16,3%
18

= 48,6%
11
= 29,7%
2
= 5,4%
Qua bài làm của học sinh, tôi thấy một số em còn lúng túng cha vận
dụng tốt và linh hoạt công thức nghiệm dẫn đến kết quả bài làm còn thấp,
chất lợng điểm khá giỏi cha cao (chỉ đạt 35,1%). Do vậy bản thân tôi thấy
cần thiết phải hớng dẫn cho các em cách khai thác sử dụng linh hoạt công
thức nghiệm, từ đó hình thành phơng pháp giải các dạng toán cơ bản của
phần kiến thức này giúp các em giải nhanh và chính xác các bài toán.
II. Nội dung chủ yếu và biện pháp thực hiện
* Phần 1. Trớc hết tôi củng cố và khắc sâu thêm cho các em về công
thức nghiệm:
- Công thức nghiệm của phơng trình bậc 2: ax
2
+ bx + c = 0
= b
2
- 4ac
+ Nếu < 0: Phơng trình vô nghiệm
- b
3
Hớng dẫn học sinh khai thác sử dụng công thức nghiệm
+ Nếu = 0: Phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
2a

-b


+ Nếu > 0: Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt: x
1,2
=
2a
(Chú ý: Nếu ac < 0 thì = b
2
- 4ac > 0 => PT chắc chắn có hai nghiệm
phân biệt )
- Công thức nghiệm thu gọn: (áp dụng khi b chẵn)
Đặt b = 2b; = b
2
- ac
+ Nếu < 0 : Phơng trình vô nghiệm
-b
+ Nếu = 0 : Phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
a
-b
'
+ Nếu > 0 : Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt: x
1,2
=
a
* Phần 2. Giới thiệu; Hớng dẫn và rèn cho các em cách khai thác sử

dụng công thức nghiệm vào giải một số dạng toán cụ thể:
Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a

0)
Ph ơng pháp giải:
- Khi giải phơng trình bậc 2 trớc hết biến đổi phơng trình đã cho về
phơng trình có hệ số đơn giản nhất tơng đơng với phơng trình đó để việc
tính toán gọn hơn.
- Nếu phơng trình có hệ số a < 0 thì nhân cả hai vế của phơng trình
với - 1 để có hệ số a > 0.
- Đối với phơng trình bậc hai đủ thì sử dụng công thức nghiệm tổng
quát và công thức nghiệm rút gọn.
- Đối với phơng trình bậc 2 khuyết b, c ta không sử dụng công thức
nghiệm của phơng trình:
+ Đối với PT bậc hai khuyết c (c = 0)
ax
2
+ bx = 0 <=> x (ax +b) = 0
PT có hai nghiệm x
1
= 0, x
2
= -b/a
4
Hớng dẫn học sinh khai thác sử dụng công thức nghiệm
+ Đối với PT bậc hai khuyết b (b = 0)
ax
2

+ c = 0 <=> x
2
= -
Nếu >0 (Hay a và c cùng dấu) => PT vô nghiệm
Nếu <0 (hay a và c trái dấu) => PT có hai nghiệm là
x
1
= - và x
2
=
Ví dụ:
Giải các phơng trình bậc hai sau:
a) x
2
- 10x + 21 = 0
b) -x
2
- 5x + 14 = 0
c) x
2
- 2(1 +
2
) x + 4 + 3
2
= 0
d) 4x
2
- 2 (1+
3
)x +

3
= 0
H ớng dẫn giải:
a) Hệ số a = 1, b = -10, c = 21, b = - 5, = 25 - 21 = 4 > 0
-> Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
= 5 + 2 = 7
x
2
= 5 - 2 = 3
b) - x
2
- 5x + 14 = 0 <-> x
2
+ 5x - 14 = 0
Hệ số a = 1, b = 5, c = -14, = 25 + 56 = 81 > 0
-> Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
-5 + 9
x
1
= =2
2
-5 - 9
x
2
= =-7
2
c) x
2

- 2(1 +
2
) x + 4 + 3
2
= 0
Hệ số a = 1, b = -2 (1 +
2
), c = 4 + 3
2
= -2 -
2
<0 => phơng trình vô nghiệm
d) 4x
2
- 2 (1+
3
)x +
3
= 0
Hệ số a = 4, b = - 2 (1+
3
), c =
3
, b = - (1+
3
)
5
a
c
a

c
a
c
c
a

c
a

Hớng dẫn học sinh khai thác sử dụng công thức nghiệm
= (
3
- 1)
2
> 0 => phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
3
1
x
1
= ; x
2
=
2 2
Bài tập tự luyện
Giải các phơng trình sau: (Dùng công thức nghiệm)
a) x
2
- 4x + 1 = 0
b) 3x
2

+ 7x + 2 = 0
c) (x +1)(x+2) = 70
Dạng 2: Xác định số nghiệm của phơng trình bậc hai
ax
2
+bx + c= 0(a0)
Ph ơng pháp giải:
- Xác định các hệ số a, b, c của phơng trình ax
2
+ bx + c (a0)
- Tính = b
2
-4ac hoặc = (b)
2
- ac
+ Nếu <0 ( <0) phơng trình vô nghiệm
+ Nếu =0 ( =0) phơng trình có nghiệm kép
+ Nếu > 0 ( > 0) phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ:
Xác định hệ số a, b, c và số nghiệm của các phơng trình sau:
a) 2x
2
+ 3x + 1 = 0
b) 3x
2
+ 2x + 5 = 0
c) 4x
2
- 4x + 1 = 0
d) 3x

2
- 2
3
x- 2 = 0
H ớng dẫn giải:
a) Hệ số a= 2, b = 3, c = 1, = 9 - 8 = 1 -> Phơng trình có hai
nghiệm phân biệt
b) Hệ số a = 3,b =2,c =5, = 4-60 = -56 <0 -> Phơng trình vô nghiệm
c) Hệ số a = 4, b = -4, c =1, =16 - 16 = 0-> phơng trình có nghiệm kép
6
Hớng dẫn học sinh khai thác sử dụng công thức nghiệm
d) Hệ số a = 3, b = - 2
3
, c= 5, = 12 + 24 = 36>0 -> Phơng trình
có hai nghiệm phân biệt
Bài tập tự luyện:
Không giải phơng trình, hãy xác định số nghiệm của các phơng trình
sau:
a) x
2
+ 3x - 10 = 0
b) 3x
2
- 7x + 1 = 0
c) 4 x
2
- 12 x + 9 = 0
Dạng 3: Không tính

, chứng minh phơng trình bậc hai có hai nghiệm

phân biệt
Ph ơng pháp giải:
- Xác định các hệ số a, b, c của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0)
- Nếu ac<0 thì phơng tình có hai nghiệm phân biệt vì =b
2
-4ac >0
Ví dụ:
Hãy giải thích tại sao không cần tính mà có thể kết luận ngay mỗi
phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt.
a) (1 -
2
) x
2
- 2 (1 +
2
) x+1+
2
= 0
b) mx
2
- 2(m+1)x-2m = 0 (m 0)
H ớng dẫn giải :
a) (1 -
2
)x
2
- 2 (1 +
2

) x+1+
2
= 0
Hệ số a = (1 -
2
), b = - 2 (1 +
2
), c = 1+
2
=> a < 0, c > 0 <=> ac < 0
-> Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b) mx
2
- 2(m+1)x - 2m = 0 (m 0)
Hệ số a = m, b = -2(m+1), c = -2m
=> ac - 2m
2
< 0 m 0
-> Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
7
Hớng dẫn học sinh khai thác sử dụng công thức nghiệm
Bài tập tự luyện:
Không tính , hãy chứng minh các phơng trình bậc hai sau có hai
nghiệm phân biệt.
a) 3x
2
- 5x - 8 = 0
x
2
4 1

b) + x- = 0
3 5 12
c)x
2
- 2 (
3
- 1 ) x - 2
3
= 0
Dạng 4: Định tham số để phơng trình bậc hai thoả mãn điều kiện về
nghiệm số
Ph ơng pháp giải:
- Cho phơng trình ax
2
+bx +c = 0 (a 0) (1)
(1) có nghiệm 0 ( 0)
(1) có hai nghiệm phân biệt > 0 ( >0)
(1) có nghiệm kép = 0 ( = 0)
(1) vô nghiệm < 0 ( < 0)
(1) Có 2 nghiệm cùng dấu > 0
c
> 0
a
c
(1) Có 2 nghiệm trái dấu < 0
a
Ví dụ 1:
Với giá trị nào của m phơng trình sau vô nghiệm:
a) 3x
2

- 4x + 2m = 0
b) m
2
x
2
+ mx + 5 = 0
H ớng dẫn giải:
a) 3x
2
- 4x + 2m = 0 vô nghiệm < 0
= 4 - 6m <0 m > 2/3
Phơng trình vô nghiệm khi m >2/3
8
Hớng dẫn học sinh khai thác sử dụng công thức nghiệm
b) m
2
x
2
+ mx + 5 = 0 (m 0) vô nghiệm <0
= m
2
- 4.5m
2
= -19m
2
<0 m 0
Phơng trình vô nghiệm với mọi m 0
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng phơng trình x
2

- 10x - m
2
= 0 luôn có 2 nghiệm trái
dấu với mọi giá trị của m 0.
H ớng dẫn giải:
Phơng trình x
2
- 10x - m
2
= 0 có a = 1, c = - m
2
c
=> = - m
2
< 0 với mọi m 0
a
Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m 0.
Ví dụ 3: Tìm giá trị của m để phơng trình:
(m + 1) x
2
- 2 (m - 1) x+m - 3 = 0 có 2 nghiệm cùng dấu
H ớng dẫn giải:
Phơng trình đã cho 2 nghiệm cùng dấu
> 0
c
> 0
a
(m -1)
2
- (m + 1) (m - 3) > 0 m

2
- 2m + 1 - m
2
+2m+3 = 4>0
m - 3 m - 3 > 0
> 0 m + 1 > 0
m + 1 m - 3< 0
m + 1 0 m + 1 < 0
m - 1
m > 3
m >- 1
m < 3
m <- 1
m - 1
m > 3
m < - 1
Vậy với m > 3 hoặc m < - 1 thì phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu
9
Hớng dẫn học sinh khai thác sử dụng công thức nghiệm
Bài tập tự luyện:
1. Tìm có giá trị của k để phơng trình 10x
2
+ 40x + k = 0
a) có hai nghiệm phân biệt
b) Có nghiệm kép
c) Vô nghiệm
2. Tìm giá trị của m để PT: (m + 1) x
2
+ 5 x + m
2

-1 = 0
Có hai nghiệm trái dấu
3. Tìm giá trị của m để PT: (m + 1) x
2
-2(m - 1)x + m - 3 = 0 có 2
nghiệm cùng dấu.
Dạng 5: Giải và biện luận phơng trình ax
2
+ bx + c = 0
Ph ơng pháp giải:
- Nếu a = 0 phơng trình trở thành bx + c = 0
+ Nếu b 0 thì phơng trình có một nghiệm x = -c/b
+ Nếu b = 0 và c 0 thì phơng trình vô nghiệm
+ Nếu b = 0 và c = 0 thì phơng trình có vô số nghiệm
- Nếu a 0 phơng trình trở thành phơng trình bậc hai
= b
2
- 4ac
+ Nếu < 0 Phơng trình vô nghiệm
- b
+ Nếu = 0 Phơng trình có nghiệm kép x
1
=x
2
=
2a
+ Nếu > 0 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
- b

x

1, 2
=
2a
Ví dụ:
Giải và biện luận phơng trình sau:
( m- 2)x
2
- 2(m+1)x + m = 0
H ớng dẫn giải:
* Nếu m - 2 = 0 hay m = 2 thì phơng trình trở thành - 6x + 2 = 0
<=> x = 1/3
10
Hớng dẫn học sinh khai thác sử dụng công thức nghiệm
Vậy phơng trình có một nghiệm duy nhất x = 1/3
* Nếu m - 2 0 hay m 2
Khi đó ta có:
= (m +1)
2
- m (m-2) = 4m + 1
+ Nếu < 0 4m + 1 < 0 m < -1/4 phơng trình vô nghiệm
+ Nếu = 0 4m + 1 = 0 m = -1/4 phơng trình có
nghiệm kép x
1
= x
2
= -1/3
+ Nếu > 0 4m + 1 > 0 m > -1/4 phơng trình có nghiệm
phân biệt:
m + 1
14 +m

x
1, 2
=
m - 2
Vậy: + Nếu m = 2, PT đã cho có 1 nghiệm x = 1/3
+ Nếu m < -1/4, PT đã cho vô nghiệm
+ Nếu m = -1/4, PT đã cho có nghiệm kép x
1
=

x
2
= -1/3
+ Nếu m > -1/4, m 2, PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt
m + 1
14 +m
x
1, 2
=
m - 2
Bài tập tự luyện
Giải và biện luận các PT sau:
a) x
2
+ 2 (m+1)x + m
2
= 0
b) (m + 1) x
2
+ 5x + m

2
- 1 = 0
c) (m + 1) x
2
- 2 ( 2m - 1) x + m - 5 = 0
C. Kết quả thu đợc: (Có so sánh đối chứng)
Sau khi thực hiện đề tài này để kiểm tra việc tiếp thu kiến thức của
học sinh tôi đã yêu cầu các em làm bài kiểm tra trong thời gian 20 phút với
đề bài sau:
Bài 1:
Cho PT: x
2
+ (2m + 1)x + m
2
+ 3m = 0
a) Giải PT với m = -2
b) Tìm m để PT luôn có 2 nghiệm phân biệt
11
Hớng dẫn học sinh khai thác sử dụng công thức nghiệm
Bài 2: Tìm giá trị của m để PT: (5m
2
- 4m - 1)x
2
+ (3m -1)x - 2 = 0
có 2 nghiệm trái dấu.
Nhận xét bài làm của học sinh tôi thấy:
Hầu hết các em đã có chuyển biến rõ rệt trong việc sử dụng linh hoạt
công thức nghiệm vào giải toán. Chính vì vậy kết quả điểm của các em đạt
đợc khá cao: Tỷ lệ điểm yếu và TB giảm, tỷ lệ điểm khá giỏi tăng lên rõ
rệt (Tăng 35,2%).

Để thấy rõ hiệu quả phơng pháp sử dụng tôi đã lập bảng so sánh đối chứng sau:
Thời điểm
khảo sát
Số học
sinh dự
khảo sát
Kết quả
Yêú TB Khá Giỏi
SL TL % SL TL % SL TL % Sl TL %
Trớc khi thực
hiện đề tài
37 6 16,3 18 48,6 11 29,7 2 5,4
Sau khi thực
hiện đề tài
37 0 0 11 29,7 19 51,4 7 18,9
Diễn biến
chất lợng
Giảm 6 h/s
(= 16,3%)
Giảm 7 h/s
(= 18,9%)
Tăng 8 h/s
(= 21,7%)
Tăng 5 h/s
(= 13,5%)
D. Bài học kinh nghiệm
Kiến thức sách giáo khoa là cơ bản và tổng quát song cha thể lột
tả hết các ngõ ngách kiến thức, vì thế ngời thầy phải biết khai thác từng
đơn vị kiến thức để tạo chiều sâu cho bài giảng. Ngời thầy tránh bắt học
sinh giải nhiều bài tập nhng ít hiệu quả làm cho học sinh coi việc giải toán

là gánh nặng mà phải chú ý việc lựa chọn một hệ thống bài tập đa dạng, đầy
đủ; đặc biệt hớng dẫn cho các em về phơng pháp giải từ đó kích thích đợc
hứng thú học tập bộ môn toán.
Khai thác sử dụng linh hoạt các đơn vị kiến thức cơ bản trong sách
giáo khoa (mà phần trình bày trong bản sáng kiến kinh nghiệm này chỉ là
một thí dụ) là một biện pháp thờng xuyên tôi thực hiện nhiều năm nay, mỗi
năm ở mỗi phần kiến thức hay ở từng dạng toán đều đợc bổ sung thêm sâu
sắc hơn, phong phú hơn trong cách khai thác. Tôi nghĩ rằng đây cũng chính
là phơng pháp tự bồi dỡng, rèn luyện, tự nghiên cứu khoa học để nâng cao
vốn kiến thức cũng nh trình độ chuyên môn của mỗi giáo viên, qua đó càng
kích thích ngời thầy yêu nghề, mến trò, say mê nghiên cứu.
12
Hớng dẫn học sinh khai thác sử dụng công thức nghiệm
E. Những đề nghị và kiến nghị
Từ kết quả thu đợc của các đề tài, chuyên đề tôi càng thấy việc thực
hiện các chuyên đề, đề tài là rất cần thiết, không phải chỉ đối với trò mà còn
rất có ý nghĩa đối với thầy. Đây là một trong những hình thức tự bồi dỡng
chuyên môn nghiệp vụ cũng nh tạo cơ hội học hỏi đồng nghiệp rất có giá
trị. Do đó tôi xin đề nghị với các cấp lãnh đạo ngành thờng xuyên tổ chức
các chuyên đề để mọi ngời có điều kiện học hỏi kinh nghiệm, đặc biệt
những đề tài có giá trị thực tiễn cần đem phổ biến tới các trờng để nâng cao
hơn nữa chất lợng giáo dục.
* Kết kuận:
Trên đây là nội dung biện pháp thực hiện, kết quả và những bài học
kinh nghiệm của đề tài mà bản thân đã rút ra trong quá trình giảng dạy. Nội
dung cơ bản của đề tài này là củng cố, khắc sâu thêm công thức nghiệm cho
các em, qua đó hớng dẫn cách khai thác sử dụng linh hoạt công thức
nghiệm vào giải toán. Đặc biệt đã hình thành và rèn cho các em phơng pháp
giải một số dạng toán cơ bản về phơng trình bậc 2 mà trong đó cách giải có
sử dụng công thức nghiệm. Đồng thời qua đó cũng đã dạy cho các em biết

cách suy nghĩ tìm ra con đờng hợp lý để giải một bài toán, điều đó có ý
nghĩa to lớn trong việc vun đắp lòng say mê học toán của các em.
Mặc dù đã rất cố gắng khi thực hiện đề tài này nhng tôi cảm thấy
vẫn còn thiếu sót. Vậy tôi mong đợc sự trao đổi, góp ý của các đồng nghiệp,
các giáo viên có kinh nghiệm, Hội đồng khoa học trờng THCS Thạch Hoà
và Hội đồng Khoa học Phòng giáo dục - đào tạo Huyện Thạch Thất để đề
tài đợc hoàn thiện hơn và đạt hiệu quả cao hơn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn./.
Thạch Thất, ngày 25 tháng 5 năm 2005
Ngời viết
Nguyễn Chí Luyện
13
Hớng dẫn học sinh khai thác sử dụng công thức nghiệm
ý kiến nhận xét và xếp loại của Hội đồng khoa học cơ sở









Chủ tịch Hội đồng
(Ký tên và đóng dấu)
14