Sáng kiến kinh nghiệm Toán 8 Rèn học sinh kỹ năng toán tích cực trong đại số

Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
A - T VN
I. LI M U
Trong trng ph thụng, mụn Toỏn cú mt v trớ rt quan trng. Cỏc kin thc
v phng phỏp Toỏn hc l cụng c thit yu giỳp hc sinh hc tt cỏc mụn hc
khỏc, hot ng cú hiu qu trong mi lnh vc. ng thi mụn Toỏn cũn giỳp
hc sinh phỏt trin nhng nng lc v phm cht trớ tu , rốn luyn cho hc sinh
kh nng t duy tớch cc, c lp, sỏng to, giỏo dc cho hc sinh t tng o
c v thm m ca ngi cụng dõn.
trũng THCS, trong dy hc Toỏn, cựng vi vic hỡnh thnh cho hc sinh
mt h thng vng chc cỏc khỏi nim, cỏc nh lớ thỡ vic dy hc gii cỏc bi
toỏn cú tm quan trng c bit v l mt trong nhng vn trung tõm ca
phng phỏp dy hc Toỏn trng ph thụng. i vi hc sinh THCS, cú th
coi vic gii bi toỏn l mt hỡnh thc ch yu ca vic hc toỏn.
Cựng vi vic hỡnh thnh cho hc sinh mt h thng vng chc cỏc kin thc
c bn hc sinh cú th vn dng vo lm bi tp thỡ vic bi dng hc sinh
khỏ gii l mc tiờu quan trng ca ngnh giỏo dc núi chung v bc hc THCS
núi riờng. Do ú vic hng dn hc sinh k nng tỡm tũi sỏng to trong quỏ trỡnh
gii toỏn l rt cn thit v khụng th thiu c.
L mt giỏo viờn trc tip ging dy mụn toỏn trng THC, tụi i sõu
nghiờn cu ni dung chng trỡnh v qua thc t dy hc tụi thy: trong chng
trỡnh Toỏn THCS "Cỏc bi toỏn v cc tr trong i s" rt a dng, phong phỳ v
thỳ v, cú mt ý ngha rt quan trng i vi cỏc em hc sinh bc hc ny.
THPT gii quyt cỏc bi toỏn v cc tr i s ngi ta thng dựng n
"cụng c cao cp" ca toỏn hc l o hm ca hm s. THCS vỡ khụng cú
(hay núi chớnh xỏc hn l khụng c phộp dựng) "cụng c cao cp" ca Toỏn
hc núi trờn, nờn ngi ta phi bng cỏc cỏch gii thụng minh nht, tỡm ra cỏc
bin phỏp hu hiu v phự hp vi trỡnh kin thc bc hc THCS gii
quyt cỏc bi toỏn loi ny. Chớnh vỡ vy, cỏc bi toỏn cc tr i s THCS
khụng theo quy tc hoc khuụn mu no c, nú ũi hi ngi hc phi cú mt
cỏch suy ngh logic sỏng to, bit kt hp kin thc c vi kin thc mi mt

cỏch logic cú h thng.
Trờn thc t ging dy Toỏn 8 nhng nm qua tụi nhn thy phn "Cỏc bi
toỏn cc tr trong i s" l mt trong nhng phn trng tõm ca vic bi
dng hc sinh khỏ gii trng THCS. Th nhng thc trng hc sinh trng
chỳng tụi l hc sinh khụng cú hng thỳ vi loi toỏn ny, bi l cỏc bi toỏn v
cc tr i s trng THCS khụng theo mt phng phỏp nht nh nờn cỏc em
rt lỳng tỳng khi lm toỏn v cc tr, cỏc em khụng bit bt u t õu v i theo
hng no. Hu ht hc sinh rt ngi khi gp cỏc bi toỏn cc tr v khụng bit
vn dng gii quyt cỏc bi tp khỏc.
V ũ T h ị T h ù y - T H C S T h ụ y H ả i
- 1 -
Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
Thc trng ú khin tụi luụn bn khon suy ngh: "Lm th no hc sinh
khụng thy ngi v cú hng thỳ vi loi toỏn ny?". Vi trỏch nhim ca ngi
giỏo viờn tụi thy mỡnh cn giỳp cỏc em hc tt hn phn ny.
Tụi ó dnh thi gian c ti liu, nghiờn cu thc t ging dy ca bn thõn
v ca mt s ng nghip; qua s tỡm tũi th nghim, c s giỳp ca cỏc
bn ng nghip. c bit l nhng bi hc sau nhng nm trng s phm.
Tụi mnh dn chn nghiờn cu ti: "Hng dn hc sinh THCS gii cỏc bi
toỏn cc tr trong i s".
Vi ti ny tụi hi vng s giỳp hc sinh khụng b ng khi gp cỏc bi toỏn
cc tr i s, giỳp cỏc em hc tt hn. ng thi hỡnh thnh hc sinh t duy
tớch cc, c lp, sỏng to, nõng cao nng lc phỏt hin v gii quyt vn , rốn
luyn kh nng vn dng kin thc vo hot ng thc tin, rốn luyn np ngh
khoa hc luụn mong mun lm c nhng vic t kt qu cao nht, tt nht.
II. THC TRNG CA VN NGHIấN CU.
1. i vi hc sinh:
Thc trng khi nhn chuyờn mụn phõn cụng dy toỏn 8 nhng tit u tiờn
tụi cm thy ht hng trc cỏch hc ca hc sinh. Thng kờ nng lc tip
thu bi ca hc sinh tụi dựng nhiu hỡnh thc phỏt vn trc nghim rỳt ra mt

hin tng ni bt hc sinh tr li rừ rng mch lc nhng mang tớnh cht hc vt
chp hnh ỳng nguyờn bn, quỏ trỡnh dy kim tra vic thc hnh ng dng
ca hc sinh tụi a ra mt s vớ d thỡ hc sinh lỳng tỳng khụng bit chng
minh nh th no.
Trc thc trng trờn tụi ó iu tra hc sinh qua nhiu bin phỏp kt qu
cho thy.
Lp S s
Gii Khỏ TB Yu- kộm
SL % SL % Sl % SL %
8 49 02 06 31 10
Sau khi kim tra tụi thy rng hc sinh hiu v lm rt m h, mt s hc
sinh lm c ch nm vo mt s hc sinh khỏ- gii. S cũn li ch yu l hc
sinh TB, Yu, Kộm khụng bit gii thớch bi toỏn nh th no.
2. i vi giỏo viờn:
Thc trng ny khụng th li cho tt c hc sinh bi vỡ ngi giỏo viờn l
ngi ch ng, ch o kin thc, cng ch tuõn theo SGK m dy bi toỏn ny
ũi hi hc sinh phi t duy tt v phi thõu túm c kin thc ó hc tn
dng vo lm bi tp .
V ũ T h ị T h ù y - T H C S T h ụ y H ả i
- 2 -
Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
ụi khi giỏo viờn ỏp t gũ bú cỏc em phi th ny, phi th khỏc m khụng a
ra thc t cỏc em nhỡn nhn vn .

V phớa hc sinh cm thy khú tip thu bi vỡ õy l dng toỏn m cỏc em rt
ớt c gp chớnh vỡ lớ do ú m ngi thy phi tỡm ra phng phỏp phự hp
nht hc sinh cú hng hc, bc u hc sinh lm quen vi dng bi toỏn
Toỏn cc tr nờn cm thy m h phõn võn ti sao li phi lm nh vy. Nu
khụng bin i thỡ cú tỡm c kt qu khụng ? T nhng bn khon ú ca hc
sinh , giỏo viờn khng nh nu khụng bin i nh vy thỡ khụng tr li yờu cu

ca bi toỏn.
Sau õy tụi xin a ra mt s kinh nghim hng dn hc sinh gii cỏc bi
toỏn cc tr trong i s 8.
B . GII QUYT VN
I . CC GII PHP THC HIN
1. Khỏi nim v cc tr ca mt biu thc
Cho biu thc nhiu bin s P(x, y, , z) vi x, y, , z thuc min S no ú
xỏc nh. Nu vi b giỏ tr ca cỏc bin (x
0
, y
0
, ,z
0
)

S m ta cú:
P(x
0
, y
0
, , z
0
)

P(x, y, , z) hoc P(x
0
, y
0
, , z
0

)

P(x, y, , z) thỡ ta núi
P(x, y, , z) ln nht hoc nh nht ti (x
0
, y
0
, z
0
) trờn min S.
P(x, y, , z) t giỏ tr ln nht ti (x
0
, y
0
, z
0
)

S cũn gi l P t cc i
ti (x
0
, y
0
, z
0
) hoc P
max
ti (x
0
, y

0
, z
0
).
Tng t ta cú: P t giỏ tr nh nht ti (x
0
, y
0
, z
0
)

S cũn gi l P t cc
tiu ti (x
0
, y
0
, , z
0
) hoc P
min
ti (x
0
, y
0
, , z
0
).
Giỏ tr ln nht, nh nht ca P trờn min xỏc nh S gi l cỏc cc tr ca P
trờn min S.

2. Nguyờn tc chung tỡm cc tr ca mt biu thc
Tỡm cc tr ca mt biu thc trờn mt min xỏc nh no ú l vn rng
v phc tp, nguyờn tc chung l:
* tỡm giỏ tr nh nht ca mt biu thc P(x, y, , z) trờn min xỏc nh S, ta
cn chng minh hai bc:
- Chng t rng P

k ( vi k l hng s ) vi mi giỏ tr ca cỏc bin trờn
min xỏc nh S
- Ch ra trng hp xy ra du ng thc.
* tỡm giỏ tr ln nht ca mt biu thc P(x, y, , z) trờn min xỏc nh S, ta
cn chng minh hai bc:
- Chng t rng P

k ( vi k l hng s ) vi mi giỏ tr ca cỏc bin trờn
min xỏc nh S
- Ch ra trng hp xy ra du ng thc.
(Chỳ ý rng khụng c thiu mt bc no trong hai bc trờn)
V ũ T h ị T h ù y - T H C S T h ụ y H ả i
- 3 -
Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
V D: Cho biu thc A = x
2
+ (x - 2)
2

Mt hc sinh tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc A nh sau:
Ta cú x
2

0 ; (x - 2)
2

0 nờn A

0.
Vy giỏ tr nh nht ca A bng 0.
Li gii trờn cú ỳng khụng?
Gii
Li gii trờn khụng ỳng. Sai lm ca li gii trờn l mi chng t rng A

0 nhng cha ch ra c trng hp xy ra du ng thc. Du ng thc khụng
xy ra, vỡ khụng th cú ng thi:
x
2
= 0 v (x - 2)
2
= 0 .
Li gii ỳng l:
A = x
2
+ (x - 2)
2
= x
2
+ x
2
- 4x +4 = 2x
2

- 4x + 4
= 2(x
2
-2x - +1) + 2 = 2(x - 1)
2
+ 2
Ta cú: (x - 1)
2


0

x


2(x - 1)
2
+ 2

2

x


A

2

x
Do ú A = 2

x = 1.
Vy giỏ tr nh nht ca biu thc A bng 2 vi x = 1.
3. Kin thc cn nh:
tỡm cc tr ca mt biu thc i s ta cn nm vng:
a) Cỏc tớnh cht ca bt ng thc, cỏc cỏch chng minh bt ng thc.
b) S dng thnh tho mt s bt ng thc quen thuc:
* a
2


0

a , tng quỏt: a
2k


0

a (k nguyờn dng)
Xy ra du ng thc

a = 0
* -a
2


0

a , tng quỏt: -a

2k


0

a (k nguyờn dng)
Xy ra du ng thc

a = 0
*
0

a
(Xy ra du ng thc

a = 0)
* -
aaa

(Xy ra du ng thc

a = 0)
*
baba
++
(Xy ra du ng thc

ab

0)

*
baba

(Xy ra du ng thc

a

b

0 hoc a

b

0)
*
2
1
+
a
a


a > 0 v
2
1
+
a
a

a < 0
*
2
2 2
2 2
a b a b
ab
+ +


ữ



a,b (Xy ra du ng thc

a = b)
* a

b, ab > 0


ba
11

(Xy ra du ng thc

a = b)
V ũ T h ị T h ù y - T H C S T h ụ y H ả i
- 4 -

Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
II . CC BIN PHP THC HIN
(Mt s dng bi toỏn cc tr trong i s)
Thụng qua cỏc bi toỏn trong sỏch giỏo khoa (sỏch tham kho) tụi tin hnh
phõn loi thnh mt s dng c bn nht v cỏc bi toỏn cc tr trong i s
THCS ri hng dn hc sinh tỡm kin thc cú liờn quan cn thit gii tng
dng toỏn ú. Sau õy l mt s dng c bn thng gp:
Dạng 1: Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu
thức là TAM THứC BậC HAI
Vớ d 1: Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc.
A(x) = x
2
- 4x+1
Trong ú x l bin s ly cỏc giỏ tr thc bt k.
Hng dn gii
Gi ý: tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc A(x) ta cn phi bin i v dng
A(x)

k (k l hng s) vi mi giỏ tr ca bin v ch ra trng hp xy ra ng
thc.
Li gii: A(x) = x
2
- 4x + 1
= x
2
- 2.2x + 1
= (x
2
- 2.2x+ 4) - 3
= (x - 2)

2
- 3
Vi mi giỏ tr ca x: (x - 2)
2


0 nờn ta cú:
A(x) = (x- 2)
2
- 3

- 3
Vy A(x) t giỏ tr nh nht bng -3 khi x=2
ỏp s: A(x)
nh nht
= - 3 vi x=2
Vớ d 2 : Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc
B(x) = -5x
2
- 4x+1
Trong ú x l bin s ly giỏ tr thc bt k
Hng dn gii
Gi ý: tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc B(x) ta cn phi bin i a B(x) v
dng B(x)

k (k l hng s) vi mi giỏ tr ca bin khi ú giỏ tr ln nht ca
B(x) = k v ch ra khi no xy ra ng thc
Li gii: B(x) = -5x
2
4x+1

= -5 (x
2
+
5
4
x) +1
V ũ T h ị T h ù y - T H C S T h ụ y H ả i
- 5 -
Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
= - 5
1
5
2
5
2
5
2
.2
22
2
+

++
xx
=
1
25
4
5
2
5
2
+

+
x
= -5
1
5
4
5
2
2
++






+
x
= -5
5
9
5

2
2
+






+
x
Vi mi giỏ tr ca x:
2
5
2






+
x


0 nờn -5
2
5
2

+
x


0
suy ra: B(x) = -5
2
5
2






+
x

+
5
9



5

9
Vy B(x) t giỏ tr ln nht khi B(x) =
5
9
khi x = -
5
2
ỏp s: B(x)
ln nht
=
5
9
vi x = -
5
2
Vớ d 3: (Tng quỏt)
Cho tam thc bc hai P = ax
2
+bx + c
Tỡm giỏ tr nh nht ca P nu a > 0
Tỡm giỏ tr ln nht ca P nu a < 0
Hng dn gii
Gi ý: tỡm giỏ tr nh nht (ln nht) ca P ta cn phi bin i sao cho P =
a.A
2
(x) + k. Sau ú xột vi tng trng hp a>0 hoc a<0 tỡm giỏ tr nh nht
hoc ln nht.
Li gii: P = a.A
2
(x) + k

= a (x
2
+
a
b
x) + c

2
2
2
2
2
442
2
a
b
c
a
b
a
b
xxa
+

++=

k
a
b
xa
+






+=
2
2
vi
2
2
4a
b
ck
=

V ũ T h ị T h ù y - T H C S T h ụ y H ả i
- 6 -
Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
Do
0

2
2







+
a
b
x
nờn:
+ Nu a > 0 thỡ
2
0
2
b
a x
a

+
ữ

do ú P

k
+Nu a < 0 thỡ
2

0
2
b
a x
a

+
ữ

do ú P

k
Vy khi x = -
a
b
2
thỡ P cú giỏ tr nh nht bng k (nu a>0)
hoc giỏ tr ln nht bng k (nu a < 0)
dạNG 3: bàI TOáN TìM GIá TRị NHỏ NHấT, GIá TRị LớN NHấT CủA
ĐA THứC BậC CAO
Vớ d 4: Tỡm giỏ tr nh nht ca A = (x
2
+ x + 1)
2
Hng dn gii
(?) Ta nhn thy A = (x
2
+ x + 1)
2

0, nhng giỏ tr nh nht ca A cú phi
bng 0 hay khụng? Vỡ sao?
Tr li : Mc dự A

0 nhng giỏ tr nh nht ca A khụng phi bng 0 vỡ:
x
2
+ x +1 0. Do ú A
min
(x
2
+ x +1)
min

(?) Hóy tỡm giỏ tr nh nht ca x
2
+ x +1 v tỡm giỏ tr nh nht ca A?
Tr li: Ta cú x
2
+ x +1 = x
2
+ 2x.
2
1
+
4
1
-
4

1
+ 1 =
2
2
1






+x
+
4
3


4
3
Vy giỏ tr nh nht ca x
2
+ x + 1 bng
4
3
vi x = -
2
1
Vớ d 5: Tỡm giỏ tr nh nht ca x
4
6x

3
+ 10x
2
6x + 9
Hng dn gii
Gi ý: Hóy vit biu thc di dng A
2
(x) + B
2
(x)

0
-Xột xem xy ra du ng thc khi no? Giỏ tr nh nht ca biu thc bng bao
nhiờu?
Li gii: x
4
- 6x
3
+ 10x
2
- 6x +9
= x
4
- 2.x
2
.3x + (3x)
2
+ x
2
- 2x.3 +3

2

= (x
2
- 3x)
2
+ (x - 3)
2


0
Xy ra ng thc khi v ch khi:
V ũ T h ị T h ù y - T H C S T h ụ y H ả i
- 7 -
Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
x
2
3x = 0 x(x-3) = 0 x = 0
x = 3 x = 3
x 3 = 0 x 3 = 0 x = 3
Vy giỏ tr nh nht ca biu thc bng 0 vi x = 3
ỏp s: Giỏ tr nh nht ca biu thc bng 0 vi x = 3
DạNG 3: bàI TOáN TìM GIá TRị NHỏ NHấT, GIá TRị LớN NHấT CủA
ĐA THứC Có CHứA DấU GIá TRị TUYệT ĐốI
Vớ d 6: Tỡm giỏ tr nh nht ca A = / x 2/ + / x 5/
Hng dn gii
Gi ý: Bi toỏn cp ti du giỏ tr tuyt i do ú chỳng ta phi ngh ti cỏc
khong nghim v nh ngha giỏ tr tuyt i ca mt biu thc.
A nu A

0
/A/ =
- A nu A

0
-
Cỏch 1: tỡm giỏ tr nh nht ca A, ta tớnh giỏ tr ca A trong cỏc khong
nghim. So sỏnh cỏc giỏ tr ca A trong cỏc khong nghim ú tỡm ra giỏ tr
nh nht ca A.
Li gii
+ Trong khong x < 2 thỡ : / x 2/ = - (x -2) = 2 - x
/ x 5/ = - (x - 5) = 5 - x


A = 2 - x + 5- x = 7 - 2x
Do x < 2 nờn -2x > -4 do ú A = 7 - 2x > 3
+ Trong khong 2

x

5 thỡ : / x 2 / = x - 2
/ x 5 / = - (x - 5) = 5 - x

A = x - 2 + 5 - x = 3
V ũ T h ị T h ù y - T H C S T h ụ y H ả i
- 8 -
Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
+ Trong khong x > 5 thỡ : / x 2/ = x - 2
/ x 5 / = x - 5

A = x - 2 + x - 5 = 2x - 7
Do x > 5 nờn 2x > 10 do ú A = 2x 7 > 3
So sỏnh cỏc giỏ tr ca A trong cỏc khong trờn, ta thy giỏ tr nh nht ca A
bng 3 khi v ch khi 2

x

5
ỏp s: A
min
= 3 khi v ch khi 2

x

5
Cỏch 2: Ta cú th s dng tớnh cht: giỏ tr tuyt i ca mt tng nh hn
hoc bng tng cỏc giỏ tr tuyt i.T ú tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc A.
Li gii: A = / x 2 / +
5

x
= / x - 2 / +
x

5

Ta cú: / x 2 / + / 5 x /

/ x - 2 + 5 x / = 3
x - 2

0
A = 3 (x - 2) (5 - x)

0
5 x

0
2

x

5
Vy giỏ tr nh nht ca A bng 3 khi v ch khi 2

x

5
DạNG 4: BàI TOáN TìM GIá TRị NHỏ NHấT, GIá TRị LớN NHấT CủA PHÂN
THứC Có Tử Là HằNG Số, MẫU Số Là TAM THứC BậC HAI
Vớ d 7: Tỡm giỏ tr ln nht ca M =
5 4x - 4x
3
2
+

Hng dn gii:
Gi ý: S dng tớnh cht a

b, ab > 0

ba
11

hoc theo quy tc so sỏnh
hai phõn s cựng t, t v mu u dng.
Li gii:
V ũ T h ị T h ù y - T H C S T h ụ y H ả i
- 9 -
Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
Xột M =
5 4x - 4x
3
2
+
=
414)2(
3
2
++ xx
=
4 1)-(2x
3
2
+
Ta thy (2x - 1)
2

0 nờn (2x - 1)
2
+ 4

4
Do ú:
4 1)-(2x
3
2
+


4
3
Tr li: Vy M ln nht bng
4
3
khi 2x 1 = 0 => x =
2
1
ỏp s: M
ln nht
=
4
3
vi x =
2
1
Vớ d 8: Tỡm giỏ tr nh nht ca B =
4 - x-2x

1
2
Hng dn gii:
Ta cú: B =
4 - x-2x
1
2
= -
4 2x - x
1
2
+
= -
3 1) -(x
1
2
+
Vỡ (x - 1)
2


0 => (x + 1)
2
+ 3

3
=>
3 1) -(x
1
2

+



3
1
=> -
3 1) -(x
1
2
+


-
3
1
Vy B nh nht bng -
3
1
khi x 1= 0 => x =1
ỏp s: M
nh nht
= -
3
1
vi x = 1
Chỳ ý: Khi gp dng bi tp ny cỏc em thng xuyờn lp lun rng
M (hoc B) cú t l hng s nờn M (hoc B) ln nht (nh nht) khi mu nh
nht (ln nht)
Lp lun trờn cú th dn n sai lm, chng hn vi phõn thc

3
1
2
x
Mu thc x
2
- 3 cú giỏ tr nh nht l -3 khi x = 0
Nhng vi x = 0 thỡ
3
1
2
x
= -
3
1
khụng phi l giỏ tr ln nht ca phõn
thc
V ũ T h ị T h ù y - T H C S T h ụ y H ả i
- 10 -
Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
Chng hn vi x = 2 thỡ
3
1
2
x
= 1 > -
3
1
Nh vy t -3 < 1 khụng th suy ra -
3

1
>
1
1
Vy t a < b ch suy ra c
a
1
>
b
1
khi a v b cựng du .
DạNG 5: BàI TOáN TìM GIá TRị NHỏ NHấT, GIá TRị LớN NHấT CủA PHÂN
THứC Có MẫU Là BìNH PHƯƠNG CủA NHị THứC.
Vớ d 9 : Tỡm giỏ tr nh nht ca A =
2
2
)1(
1
+
++
x
xx
Cỏch1 :
Gi ý: Hóy vit t thc di dng ly tha ca x + 1, ri i bin bng cỏch vit
A di dng tng cỏc biu thc l ly tha ca
1
1
+x
. T ú tỡm giỏ tr nh nht
ca A.

Li gii: Ta cú: x
2
+ x + 1 = (x
2
+ 2x + 1) - (x +1) + 1
= (x + 1)
2
- (x + 1) + 1
Do ú : A =

+
+
2
2
)1(
)1(
x
x
+
+
+
2
)1(
)1(
x
x
2
)1(
1
+x

= 1 -
1
1
+x
+
2
)1(
1
+x
t y =
1
1
+x
khi ú biu thc A tr thnh: A = 1 - y + y
2
Ta cú: A = 1 - y + y
2
= y
2
2.y.
2
1
+ (
2
1
)
2
+
4
3

=
2
2
1






y
+
4
3



4
3
Vy giỏ tr nh nht ca A bng
4
3
khi v ch khi:
1 1 1 1
0
2 2 1 2
y y
x
= = =
+

x + 1 = 2


x = 1
V ũ T h ị T h ù y - T H C S T h ụ y H ả i
- 11 -
Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
ỏp s: A
nh nht
=
4
3
khi x = 1
Cỏch 2:
Gi ý: Ta cú th vit A di dng tng ca mt s vi mt biu thc khụng õm.
T ú tỡm giỏ tr nh nht ca A.
Li gii:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2
1 4 4 4 3 6 3 2 1
1 4 1 4 1
x x x x x x x x
A
x x x
+ + + + + + + +
= = =
+ + +

2
22
)1(4
)1()1(3
+
++
=
x
xx
A
2
2
)1(4
)1(
4
3
+

+=
x
x
A
2
)1(2
1
4
3

+

+=
x
x
A
A=
4
3
+






+

)1(2
1
x
x
2


4
3

Vy giỏ tr nh nht ca A bng
4
3
khi x-1=0

x=1
ỏp s: A
nhnht
=
4
3
khi x=1
DạNG 6: BàI TOáN TìM GIá TRị NHỏ NHấT, GIá TRị LớN NHấT CủA MộT BIểU
THứC ĐạI Số BằNG CáCH ĐƯA Về DạNG
2
)(
k
xA

0 HOặC
2
)(
k
xA


0
Vớ d 10: Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: M
(x)
=

32
1063
2
2
++
++
xx
xx
(Vi x thuc tp hp s thc)
Hng dn gii
Gi ý: T M
(x)
=
32
1063
2
2
++
++
xx
xx
ta cú: M
(x)
=
32
1963
2
2
++
+++

xx
xx
=
32
1)32(3
2
2
++
+++
xx
xx
(?) Ta cú th chia c t thc v mu thc ca biu thc cho x
2
+ 2x + 3 c
khụng? Vỡ sao?
V ũ T h ị T h ù y - T H C S T h ụ y H ả i
- 12 -
Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
Tr li: Vỡ x
2
+ 2x + 3 = x
2
+ 2x + 1 + 2 = (x+1)
2
+ 2 > 0 vi mi giỏ tr ca x.
nờn cú th chia c t v mu cho x
2
+ 2x + 3 ta c : M(x) = 3 +
2)1(
1

2
++x
(?) Bi toỏn xut hin iu gỡ mi?
Tr li: Bi toỏn tr thnh tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc
2)2(
1
2
++x
(?) Hóy tỡm giỏ tr ln nht ca
2)(
1
2
++x
t ú suy ra giỏ tr ln nht ca
M(x)
Tr li: Vỡ (x+1)
2

0 Vi mi x
Nờn (x+1)
2
+ 2

2 vi mi x
Do ú
2)1(
1
2
++x

2
1

T ú ta cú: M(x) = 3 +
2)1(
1
2
++x


3 +
2
1
= 3
2
1
Du = xy ra khi x+ 1=0 hay x= -1
Vy giỏ tr ln nht ca M(x) = 3
2
1
khi v ch khi x=-1
ỏp s: M(x)
Ln nht
=3
2
1
vi x = -1
C. KT LUN

1. Thc tin kho sỏt sau khi ỏp dng.
Sau khi ỏp dng cỏc cỏch gii bi toỏn cc tr trong i s 8 thc t hc sinh dn
dn chỳ trng khi gii toỏn ch khụng lỳng tỳng nh trc.
Kt qu tụi ó thu c sau khi ỏp dng ti ny c th hin bng sau:
Lp S s
Gii Khỏ TB Yu- kộm
SL % SL % Sl % SL %
8 49 05 10 34 0
V ũ T h ị T h ù y - T H C S T h ụ y H ả i
- 13 -
Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
2. Kt qu
Sau khi thc hin ging dy phn Cỏc bi toỏn cc tr trong i s 8
theo ni dung ti ny kt qu m tụi thu c khỏ kh quan.
gii quyt cỏc bi toỏn v cc tr i s lp 8 cỏc em phi bin i ng
nht cỏc biu thc a s, phi bin i v s dng khỏ nhiu cỏc hng ng thc
ỏng nh t dy n gin n phc tp. Ngoi ra cũn liờn quan mt thit n cỏc
kin thc chng minh ng thc bi th núi cỏc bi toỏn cc tr i s 8 to ra
kh nng giỳp hc sinh cú iu kin rốn luyn k nng bin i ng nht cỏc
biu thc i s, k nng tớnh toỏn, kh nng t duy.
ti ny giỳp hc sinh gii quyt cỏc bi toỏn v cc tr trong i s 8 cú
phng phỏp hn, cú hiu qu hn v vn dng vo gii quyt cỏc bi tp cú liờn
quan kớch thớch c s am mờ hc toỏn núi chung v s say mờ gii cỏc bi
toỏn cc tr núi riờng.
Yờu cu v phỏt huy tớnh t giỏc rốn luyn kh nng t duy tớch cc c
lp, sỏng to ca hc sinh thụng qua hot ng gii toỏn ó c hc.
V mt t tng cỏc bi toỏn cc tr giỳp hc sinh thờm gn gi vi kin thc
thc t ca i sng, rốn luyn np ngh khoa hc , luụn mong mun lm c
nhng cụng vic t hiu qu cao nht, tt nht.
3. Bi hc kinh nghim:

Vi ti Hng dn hc sinh lp 8 gii cỏc bi toỏn cc tr trong i
s Tụi ó c gng h thng mt s dng c bn nht v cỏc bi toỏn cc tr
trong i s 8. Trong mi gi dy tụi cú a ra c s lớ thuyt v nhng vớ d ,
trong mi vớ d ú cú gi ý v hng dn hc sinh cỏch gii v nhng chỳ ý cn
thit khi gp cỏc vớ d khỏc cỏc em cú th gii c.

Cỏc dng bi tp a ra t d n khú, t n gin n phc tp nhm giỳp
cho hc sinh cú nhng kin thc c bn v gii bi toỏn cc tr trong i s 8.
Bờn cnh ú tụi cũn a ra cỏc vớ d l cỏc bi toỏn tng hp cỏc kin thc v k
nng tớnh toỏn, kh nng t duy cp hc ny, qua ú lm cho cỏc em say mờ
hng thỳ hc tp b mụn Toỏn.
Tuy nhiờn trong quỏ trỡnh ging dy vn cú rt nhiu hc sinh cũn b ng
trong quỏ trỡnh gii cỏc bi toỏn cc tr, lp lun cha cú cn c, suy din cha
hp logic v c bit l mt s dng cha phự hp vi hc sinh trung bỡnh, yu.

Mc dự cú rt nhiu c gng nhng do thi gian khụng nhiu, do trỡnh
nng lc ca bn thõn v ti liu tham kho cũn hn ch li cha cú kinh nghim
trong lnh vc nghiờn cu khoa hc nờn trong cỏch trỡnh by khụng trỏnh khi
nhng s xut thiu sút . Rt mong nhn c s giỳp , gúp ý ca cỏc thy , cụ
v v bn ng nghip tụi cú th rỳt kinh nghim trong quỏ trỡnh ging dy
ca mỡnh trong thi gian sau.
V ũ T h ị T h ù y - T H C S T h ụ y H ả i
- 14 -
Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số


Thy Hi, ngy 14 thỏng 11 nm 2012
XáC NHậN CủA NHà TRƯờNG NGƯờI VIếT

V Th Thu

TI LIU THAM KHO:
1. SGK Toỏn 8- NXB Giỏo dc- Phan c Chớnh, Tụn Thõn.
2. SBT Toỏn 8 NXB Giỏo dc- Tụn Thõn ch biờn
3. Toỏn nõng cao t lun v trc nghim i s 8- NXB Giỏo dc- Nguyn
Vn Lc.
4. Toỏn bi dng hc sinh lp 8 i s-NXB Giỏo dc Trn San
5. hc tt i s 8- NXB Giỏo dc Hong Chỳng Ch biờn
6. Cỏc bi toỏn i s hay v khú NXB Giỏo dc Nguyn
7. PP dy hc mụn toỏn NXB Giỏo dc Phm Gia c.
V ũ T h ị T h ù y - T H C S T h ụ y H ả i
- 15 -