Giáo trình lý thuyết xác suất và thống kê toán chương 3: Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Chng3.Cỏcthamsctrngcabinngunhiờn

Chơng 3. Các tham số đặc trng của
biến ngẫu nhiên
A. Các tham số đặc trng của
biến ngẫu nhiên một chiều
i. Kỳ vọng toán
1. Định nghĩa
Nếu X là biến ngẫu nhiên với hàm phân phối xác suất là F(x) thì kỳ vọng toán của nó
đợc ký hiệu và đợc định nghĩa nh sau:
E(X)= xdF( x )
Với giả thiết là

(1)

x dF(x) tồn tại.

Ghi chú: Tích phân nêu trên gọi là tích phân Stieljes của x lấy đối với F(x).
a. Nếu F(x) là hàm bậc thang thì tích phân này trở thµnh

E ( X ) = ∑ x i p( x i )

(2)

iI

Trong đó I là một tập hợp hữu hạn hoặc đếm đợc các chỉ số.
Nh vậy (2) là công thức định nghĩa cho kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên rời rạc X.
b. Nếu F(x) có hàm mật độ xác suất là f(x) thì tích phân này trở thành
+

E (X ) = ∫ xf ( x )dx

(3)

−∞

Do ®ã (3) là công thức định nghĩa của kỳ vọng toán của một biến ngẫu nhiên liên tục X.
Trong hai công thức (2) và (3), nếu chuỗi hoặc tích phân suy rộng không hội tụ tuyệt đối
thì ta bảo biến ngẫu nhiên X tơng ứng không có kỳ vọng toán.
c. Về mặt ý nghĩa thì ta có thể hiểu kỳ vọng toán là giá trị trung bình của biến ngẫu
nhiên X hoặc là điểm cân bằng của phân phối.

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD

111


Chng3.Cỏcthamsctrngcabinngunhiờn

Thí dụ 1: HÃy xác định số trung bình các lần suất hiện mặt sấp nếu ta tung hai đồng xu
đối xứng và đồng chất một lần.
Bài giải
Nếu gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp thì ta đà thiết lập đợc bảng phân phối xác suất
của nó là
X

0

1

2

P(x)

1
4

2
4

1
4

Do ®ã

1 4
1
2
E(X) = (0) + (1) + (2) = = 1
4
4
4 4
Thí dụ 2: Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục phân phối đều trong (a; b) tức là hàm mật độ
xác suất có dạng:

0

f (x) =
1
C = b − a

⎩

x ∉ (a ; b)
x ∈ (a ; b )

a.TÝnh: E(X)
b.TÝnh: P ⎛ X − E ( X ) < b a




4



Bài giải
a. áp dụng công thøc (3) ta cã
b

b

a

a

E ( X ) = ∫ xf ( x )dx = ∫ x

1
a+b
dx =

2
b−a

Ta thÊy v× X phân phối đều trong (a; b) nên E(X) chính là điểm giữa của khoảng này.
a) Biến cố mà ta phải tính xác suất có thể phân tích thành biến cố tơng đơng nh
sau:

ba
a + b b a ⎛ 3a + b
3b + a ⎞
⎛
<
⎟=⎜
⎟
⎜ X − E(X ) <
⎟=⎜X−
4 ⎠ ⎝
2
4 ⎠ ⎝ 4
4 ⎠
⎝
Do ®ã:
Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD

112


Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 

b−a⎞
3b + a ⎞
⎛ 3a + b
⎛
P⎜ X − E ( X ) <
⎟
⎟ = P⎜
4 ⎠
4 ⎠
⎝ 4
⎝
3b+a
4

3b+a

1
1
dx =
x 3a4+ b
= ∫
b−a
3a + b b − a
4

=

1
2

4

ThÝ dô 3: Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc vô hạn với hàm khối lợng xác suất nh
sau:

p ( x ) = P (X = 2 n ) =

1
2n

(n=1, 2, 3, ...)

HÃy chứng tỏ rằng E(X) không tồn tại
Bài giải
Trớc hết ta có thể nghiệm lại rằng hàm p(x) nêu trên là một hàm khối lợng xác suất thật
vậy ta thÊy:
a. p ( x ) = P (X = 2 n ) =

1
>0
2n

víi mäi n = 1, 2, 3,…

1 1 1 1
= + 2 + 3 + ......
n
2 2 2
n =1 2

b.

p(x) =
n

=

1
2

1
1
2

=1

Tuy nhiên chuỗi tuyệt đối

1
xi p(xi ) = 2 2n =1
i=1
i=1
i=1




n

không hội tụ.

Vì vậy E(X) không tồn tại.
Thí dụ 4: Cho hàm số
f (x ) =

A
1+ x2

(− ∞ < x < +∞)

Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD

113


Chng3.Cỏcthamsctrngcabinngunhiờn

a. HÃy xác định A để f(x) là hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục
X.
b. Chứng tỏ rằng E(X) không tồn tại.
Bài giải
a. Để f(x) là hàm mật độ xác suất ta phải có
i. A>0
+

ii.

A

dx = 1
∫
2
− ∞1 + x

Sau khi tÝnh tÝch ph©n ë ®iỊu kiƯn thø hai ta cã: A =

1
π

VËy hµm f(x) muốn là hàm mật độ xác suất thì phải có biĨu thøc cơ thĨ lµ:

f (x ) =

1
π (1 + x 2 )

(− ∞ < x < +∞ )

Mét biÕn ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất nh vừa nêu đợc gọi là tuân theo
quy luật phân phèi Cauchy.
+∞

b. V×

∫

∫

x

xdx
1
=
∫1+ x2 π
0

+∞

x f ( x ) dx =

−∞

−∞

2
=
π
=

+∞

1

π

+∞

[ (

lim ln 1 + B 2

B → +∞

∫
0

1
dx
π (1 + x 2 )
B
d (1 + x 2 ) 1
d (1 + x 2 )
= lim ∫
2
1+ x
π B → + 0 1 + x 2

)]

Vì giới hạn nêu trên không có giá trị hữu hạn nên tích phân đang xét không hội tụ, do đó
E(X) không tồn tại.
2. Một sè tÝnh chÊt cđa kú väng to¸n
TÝnh chÊt 1:
NÕu X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với hàm khối lợng xác suất là p(x) và

Y = (X ) là một hàm của X thì
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD

114

Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 

E(X) = E[ϕ(X )] = ∑ ϕ(x )p( x )
x

T−¬ng tự nếu X là một biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất là f(x) thì:
+

E ( X ) = E[ϕ(X )] = ∫ ϕ( x )f ( x )dx
−∞

ý nghÜa: Khi tÝnh kú väng to¸n cđa một biến ngẫu nhiên, Y là hàm số của biến ngẫu
nhiên X thì dùng giá trị của hàm nhng vẫn dùng phân phối xác suất của X.
Chứng minh
Để cho đơn giản ta xét trờng hợp X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với một số hữu
hạn các giá trị cã thĨ cã lµ

x1, x2 , x3.......... xi ,....... k .
..
x
Ta ký hiệu

yj

là giá trị có thể có của Y (j = 1 , m víi m ≤k nÕu m = k thì là một ánh

xạ 1-1).

(x i

Ta gọi I l là tập hợp các chỉ số i sao cho

l

)=

y

j

Khi đó quy luật phân phối xác suất của Y đợc xác định nh sau:

(

)

( )

p( y j ) = P(Y = y j ) = ∑ P X = x i l = ∑ p x i l
l∈I l

V× vËy

l∈I l

m
m
⎞

⎛
E(Y) = ∑ y jp(y j ) = ∑ ⎜ ∑ p(x i )⎟ y j
j=1
j=1 ⎝ l∈I
⎠
l

l

m
⎛
⎞ m⎛
⎞
= ∑ ⎜ ∑ p(x i )y j ⎟ = ∑ ⎜ ∑ p(x i )ϕ(x i )⎟
j=1 ⎝ l∈I
⎠ j=1 lI

l

l

l

l

l

Do các tập hợp I l tạo nên một phép phân hoạch đối với tập hợp các chỉ số i=1, 2, .., k và
do tổng các số thực có tính chất kết hợp nên
m

j= 1

l I l

=

k



i=1

Vì thÕ
m
⎞ k
⎛
E(Y) = ∑ ⎜ ∑ p(x i )ϕ(x i )⎟ = ∑ ϕ( x i )p( x i )
j=1 lI
i =1
l

l

l

Đó là kết quả phải chứng minh.
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD

115


Chng3.Cỏcthamsctrngcabinngunhiờn

Thí dụ 1: Tung hai đồng xu đối xứng và đồng chất mỗi mặt sấp suất hiện đợc tính 5
điểm. HÃy xác định số điểm trung bình hy vọng thu đợc trong một lần tung.
Bài giải
Ta gọi X là số mặt sấp suất hiện
Y là số điểm thu đợc
Để xác định E(Y) ta có thể thực hiên theo hai cách.
a. Cách thứ nhất.
Từ quy luật phân phối xác suất của X mà ta đà thành lập đợc, cụ thể:
X

0

1

2

P(x)

1
4

2
4

1

4

ta suy ra quy luật phân phối của Y nh sau:
Y

0

5

10

P(y)

1
4

2
4

1
4

Do đó
E ( Y ) = (0 )

1
2
1
+ (5 ) + (10 ) = 5 .
4

4
4

b. Cách thứ hai.
Vì Y=5X nên ta ¸p dơng c«ng thøc võa chøng minh, ta cã:

1
2
1
E(Y) = (5× 0) + (5×1) + (5× 2) = 5
4
4
4
ThÝ dơ 2: Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục tuân theo quy luật phân phối đều trong
[0;1]. HÃy tính E(Y) với Y = X 3
Bài giải
a. Cách thứ nhất
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD

116


Chng3.Cỏcthamsctrngcabinngunhiờn

Trớc hết ta xác định quy luật phân phối xác suất của Y bằng cách căn cứ vào quy luật
phân phèi x¸c st cđa X.
Ta cã

(

)

⎛ 1⎞
FY (y ) = P(Y < y ) = P(X < y ) = P X < y = FX ⎜ y 3 ⎟
⎝
3

3

Do X phân phối đều trong [0;1] nên theo thí dơ 2 phÇn I ta cã:

⎧0
⎪
f (x) = ⎨1
⎪0
⎩

x≤0

víi 0x >1

Suy ra

⎧0
⎪
F( x ) = ⎨x
⎪1
⎩

x≤0
víi

0 < x ≤1
x >1

Tõ ®ã

⎧0
⎪ 1
⎪
FY ( y) = ⎨ y 3
⎪1
⎪
⎩

khi

y≤0
0 < y ≤1
y >1

VËy

⎧0
⎪ −2
⎪1
f Y ( y) = ⎨ y 3 khi
⎪3
⎪0

⎩

y≤0
0 < y ≤1
y >1

V× thÕ
1
1
1 −2
11 1
E ( Y ) = ∫ y. y 3 dy = ∫ y 3 dy =
3
30
4
0

b. Cách thứ hai
Vì Y = X 3 nên theo tính chất đà nêu ta có:

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD

117


Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 

x4 1 1
E(Y) = ∫ x f ( x )dx = ∫ x .1.dx =
=

4 0 4
0
0
1

TÝnh chÊt 2:

1

3

3

E(aX + b ) = aE ( X ) + b

Chøng minh
Ta coi (X) = aX + b và do đó:
a. Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc với quy luật phân phối xác suất là
x i

(i I )
p( x i ) ⎭
⎩

th×

E(aX + b) = ∑ (ax i + b )p( x i ) = ∑ ax i p( x i ) + ∑ bp( x i )
i∈I

i∈I

i∈I

= a ∑ x i p( x i ) + b∑ p( x i ) = aE(X) + b
i∈I

i∈I

b. NÕu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ lµ f ( x )
+∞

+∞

−∞

E (aX + b) =

+∞

−∞

(− ∞ < x < +∞ ) th×:

−∞

∫ (ax + b )f ( x )dx = ∫ axf ( x )dx + ∫ bf ( x )dx
+∞

+∞

−∞

−∞

= a ∫ xf ( x )dx + b ∫ f ( x )dx = aE (X) + b

HƯ qu¶ 1: Cho a = 0 ta đợc E(b) = b
Hệ quả2: Cho b= 0 ta đợc E(aX) = aE(X)
Thí dụ: Với Y là số điểm thu đợc nh đà nêu ở thí dụ 1 mục này ta có Y= 5X vì vậy
E(Y)= E(5X)= 5E(X)
Nh đà tính E(X)= 1 nªn E(Y)= 5.1= 5

(

TÝnh chÊt 3: NÕu C i i = 1 , n

) là các hằng số th×

⎡ n C ϕ (X )⎤ = n C E[ϕ (X )]
E ∑ i i
i
⎥ ∑ i
⎢ i =1
⎦ i =1


Chứng minh:
n

Ta đặt (X ) = C i i (X )

i =1

Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD

118


Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 

ta cã
n
n
E[ϕ(X )] = E ⎡∑ Ci ϕi (X ) ⎤ = ∑ ⎡∑ Ci ϕi (X ) ⎤p( x )
⎥
⎥ x ⎢ i =1
⎢ i =1
⎦
⎣
⎦
⎣

n
n
= ∑ ∑ C i ϕi (X)p( x ) = ∑ C i ⎡∑ ϕi ( x )p( x ) ⎤
⎢x
⎥
⎣
⎦
x i =1
i =1

∑ C E [ϕ
n

=

i

i =1

i

(X )]

ThÝ dơ: Cho biÕn ngÉu nhiªn liên tục X với hàm mật độ xác suất nh sau:
⎧2(1 − x) víi 0 < x < 1
f (x) = ⎨
víi x < 0 vµ x > 1
⎩0

H·y tÝnh:
a. E(X r )
2⎤
⎡
b. E ⎢⎣( 2 X + 1) ⎥⎦

Bµi gi¶i
1

1

a. E ( X ) = ∫ x .2(1 − x ) dx = 2 ∫ (x r − x r +1 )dx
r

r

0

[

0

2
⎡ x r +1 x r + 2 ⎤ 1
= 2⎢
−
⎥ 0 = (r + 1)(r + 2)
⎣r +1 r + 2⎦

b. E (2 X + 1 )

2

] = E [4 X

2

+ 4 X + 1]

= E[4X 2 ] + E[4X] + E(1)

= 4E[X 2 ] + 4E(X) + 1
áp dụng kết quả ở a) ta có:

[

]

E (2X + 1) = 4.
2

2
2
+4
+1 = 3
(2 + 1)(2 + 2)
(1 + 1)(1 + 2)

II. Các Mô_men
1. Các định nghĩa
a. Mô_men bËc k (k ≥0) lÊy ®èi víi mét ®iĨm cè định a là
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD

119


Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 

γ k (a ) = E[ X − a ]k
b. Nếu a là gốc 0 thì ta có mô_men gốc bËc k lµ

α k = E(X k )
Nh− vËy kú vọng toán E(X) chính là mô_men gốc bậc 1, tức lµ E ( X ) = α 1
c. NÕu a là E(X) thì ta có mô_men trung tâm bậc k là

k = E[X E(X)]k
Từ định nghĩa này ta thÊy

μ 0 = E[X − E(X)]0 = E(1) = 1
μ1 = E[X − E(X)]1 = E(X) − E[E(X)]
= E(X) − E(X) = 0

μ 2 = E[X − E(X)]2 = E{X 2 − 2X.E(X) + [E(X)]2 }
= E(X 2 ) − 2[E(X)]2 + [E(X)]2
= E (X 2 ) − [E (X)] = α 2 − α12
2

T−¬ng tù ta suy ra:
3
μ 3 = α 3 − 3α1α 2 + 2α1

μ 4 = α 4 − 4α1α 3 + 6α12 α 2 − 3α14

(

Ghi chó: C¸c biĨu thøc E X − a

k

) , E( X

k

(

) và E X E(X)

k

) đợc gọi là các mô_men

tuyệt đối. Nếu các mô_men tuyệt đối này tồn tại thì các mô_men k ,

k

&

k

tơng

ứng mới tồn tại.

2. Tính chất
Định lý:
Nếu biến ngẫu nhiên X có mô_men bậc k thì nó cũng có mô_men bậc k víi 0 ≤ k’ ≤ k.
Chøng minh
Ta chøng minh cho các trờng hợp k .
Theo giả thiết thì
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD

120


Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 

α

k

+∞

∫

= E ( X )k =

k

x dF ( x ) < +



Mặt khác ta có thể phân tích


k'

= E( X )k' =

+∞

k'

∫

x dF ( x )

−∞

=

∫

k'

x dF ( x ) +

x ≤1

∫

k'

x dF ( x )

x >1

TÝch ph©n thø nhÊt bên vế phải là hữu hạn vì cận tích phân là hữu hạn và

x

k'

1 khi

x 1

Tích phân thứ hai bên vế phải cũng có giá trị hữu hạn vì



x

k'

dF ( x )

x >1

từ đó suy ra E ( X

∫

k

x dF ( x ) ≤

x >1
k'

+∞

∫

k

x dF ( x ) < +



) < +

III. phơng sai v độ lệch tiêu chuẩn
1. Định nghĩa
Giữa những giá trị của X so với giá trị đại diện cho chúng là E(X) có sự phân tán. Để
đặc trng cho độ phân tán này nhiều hay ít, đáng lẽ chúng ta dùng giá trị trung bình của
các độ phân tán, tức là dùng biÓu thøc μ 1 = E[X − E (X )] . Nhng theo kết quả đà biết ta
thấy 1 luôn bằng 0. Sở dĩ nh vậy vì có những giá trị của X lớn hơn E(X) và có những
giá của X nhỏ hơn E(X) nên các độ sai lệch của những giá trị này so với E(X) sẽ bù trừ
lẫn nhau làm cho giá trị trung bình của các độ sai lệch này bằng 0. Để tránh hiện tợng bù
trừ này ta sẽ dùng biểu thức sau đây để đặc trng cho độ phân tán của các giá trị của X
quanh E(X).
Định nghĩa: Phơng sai của biến ngẫu nhiên X đợc ký hiệu và đợc định nghĩa nh sau:

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD

121


Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 

⎧∑ [x i − E(X)]2 p( x i )
⎪i
V(X) = μ 2 = σ 2 (X) = E[X − E(X)]2 = ⎨+ ∞
2
⎪ ∫ [x i − E(X)] f ( x )dx


Ghi chú: Việc có đợc hai biểu thức định nghĩa cụ thể nh đà nêu (cho trờng hợp X là
biến ngẫu nhiên rời rạc và là biến ngẫu nhiên liên tục) là do ta coi [X E(X)]2 là (X )
và áp dụng tính chất đà biết của kỳ vọng.
ý nghĩa: Qua biểu thức định nghĩa ta thấy phơng sai là trung bình của bình phơng các
độ sai lệch giữa các giá trị của X quanh E(X) càng nhiều (tức độ tập trung càng ít) thì giá
trị V(X) cµng lín.
ThÝ dơ 1: H·y tÝnh V(X) víi X lµ số lần xuất hiện mặt sấp khi tung hai đồng xu đối xứng
và đồng chất một lần.
Bài giải
Ta có bảng phân phối xác suất của X là
X

0

1

2

P(x)

1
4

2
4

1
4

Ngoài ra ta cũng đà xác định E(X) = 1
Vì vậy
V ( X ) = ( 0 − 1) 2 .

1
2
1 1
+ (1 − 1) 2 + ( 2 − 1) 2 =
4
4
4 2

ThÝ dụ 2: HÃy tính phơng sai của biến ngẫu nhiên liên tục X tuân theo quy luật phân
phối đều trong (a;b).
Bài giải
Đối với quy luật phân phối này chúng ta ®· biÕt

Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD

122


Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 

⎧0
⎪
f ( x ) = ⎨ 1 víi
⎪b − a
⎩
vµ E(X) =

x ∉ (a ; b )
x ∈ (a ; b )

a+b
2

V× vËy

(b − a )
1
a +b⎞
⎛
V (X ) = ∫ ⎜ x −
dx =
⎟ .
2 ⎠ b−a
12
a ⎝
2

b

2

Ghi chó: Do V(X) có đơn vị đo lờng là bình phơng của đơn vị đo lờng của biến ngẫu
nhiên X nên trong thực tế để biểu thị độ phân tán của các giá trị của X quanh E(X) một
cách dễ hình dung hơn ngời ta còn dùng căn bậc hai của phơng sai và gọi tham số này
là độ lệch tiêu chuẩn của biến ngẫu nhiên X với ký hiệu và công thức định nghĩa nh sau:

(X) = V(X)
2. Công thức tÝnh ph−¬ng sai
Muèn tÝnh ph−¬ng sai cho nhanh, ta cã thể áp dụng công thức đà chứng minh ở mục
các m«_men:

V(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2
⎧∑ x i2 p( x i ) − [E(X )]2
⎪i
= α 2 − α 12 = ⎨+ ∞
2
2
⎪ ∫ x f ( x )dx [E(X)]

Thí dụ1: Nếu ta áp dụng công thức này để tính V(X) của biến ngẫu nhiên rời rạc đà miêu
tả ở trên ta có:

2
1
1
1
V(X) = 0 2. + 12. + 2 2. ⎟ − (1) 2 =
4
4⎠
2

⎝ 4
ThÝ dơ 2: NÕu tÝnh V(X) cđa biÕn ngÉu nhiªn liên tục X tuân theo quy luật phân phối đều
trong khoảng (a;b) bằng công thức ta có:

(b a )
1
a +b⎞
V( X) = ∫ x
dx − ⎜
⎟ =
12
b−a
⎝ 2 ⎠
a
b

2

2

2

Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD

123


Chng3.Cỏcthamsctrngcabinngunhiờn

3. Một số tính chất của phơng sai

Ngoài tính chất đợc xét trong mục này phơng sai còn một số tính chất khác nữa mà
sau này chúng ta sẽ đề cËp tíi.

V(aX + b) = a 2 V(X) trong ®ã a và b là các hằng số.

Tính chất:
Chứng minh

V ( aX + b ) = E [(aX + b ) − E ( aX + b ) ]

2

= E[aX + b − aE(X) + b]

2

= E[a (X − E (X )]

2

[

= E a 2 (X − E (X ) 2

]

= a 2 E[X − E (X )]2

= a 2 V( X)
HƯ qu¶ 1: Cho a= 0 ta cã V(b) = 0

HƯ qu¶ 2: Cho b = 0 ta cã V(aX) = a 2 V(X)
NhËn xÐt: Khi cho a = 1 ta cã V(X + b) = V(X)
Nh− vËy khi thªm một hằng số cộng và một biến ngẫu nhiên ta không làm thay đổi độ
phân tán của nó, mà chỉ làm thay đổi giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên đó. Cụ thể ta
có:
E(X+b) = E(X) + b;

V(X+b) = V(X)

Ghi chú: Cho X là một biến ngẫu nhiên kỳ vọng là E(X) và độ lệch tiêu chuẩn là ( X )
khi đó biến ngẫu nhiên

Z=

X E (X)
( X )

đợc gọi là biến ngẫu nhiên chuẩn hoá từ X và ta luôn có:

E(Z) = 0 ; V(Z) = 1.

Chứng minh:
Ta có thể viết:

Z=

1
1
X
E(X)

( X )
( X )

khi đó áp dơng c¸c tÝnh chÊt cđa kú väng ta cã
Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Ngun, ĐHKTQD

124


Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 

E (Z) =

1
1
1
1
E (X ) −
E [ E ( X )] =
E (X ) −
E (X ) = 0 .
σ(X )
(X )
(X )
(X )

áp dụng các tính chất của phơng sai ta đợc

1

1
1
V( Z) = V
X
E (X) = 2
V(X)
σ( X )
σ( X )
σ ( X)
⎣
⎦
(Do σ ( X ) & E ( X ) là các hằng số ) theo định nghĩa thì 2 (X) = V(X) nªn V( Z) = 1 .

IV. mét sè tham sè đặc trng khác của biến ngẫu nhiên một
chiều
1. Giá trị mốt
Giá trị mốt thờng đựoc ký hiệu là M 0
Nếu X là một biến ngẫu nhiên rời rạc thì giá trị có thể có

xk của nó sẽ đóng vai trò lµ

M o nÕu
⎧ p k ≥ p k −1
⎨
⎩ p k ≥ p k +1
NÕu X lµ mét biÕn ngÉu nhiên liên tục thì giá trị có thể có x sẽ là M 0 nếu tại điểm x
này hàm mật độ xác suất đạt giá trị cực đại.

2. Điểm phân vị và điểm tới hạn
Điểm phân vị bậc q ( 0 q 1 ) thờng đợc ký hiệu là M q . Đây là giá trị thoả mÃn

điều kiƯn:

P(X ≤ M q ) = q

Ghi chó 1: NÕu q =

1
thì điểm M 1 đợc gọi là điểm trung vị và đợc ký hiệu là M e .
2
2

Ghi chú 2: Ta cã P(X > M q ) = 1 − P(X ≤ M q ) = 1 − q . Từ đó điểm phân vị bậc q cũng còn
đợc gọi là điểm tới hạn bậc 1- q.

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD

125


Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 

3. HƯ sè bÊt ®èi xøng
HƯ sè bÊt ®èi xøng của một phân phối đợc ký hiệu và định nghĩa nh sau:

S=

3
3

a. Nếu S > 0 thì phân phối gọi là lệch phải khi đó M 0 < M e < E (X )

b. Nếu S = 0 thì phân phèi cã tÝnh ®èi xøng khi ®ã M 0 = M e = E ( X )
c. NÕu S < 0 thì phân phối gọi là lệch trái khi đó E (X ) < M e < M 0 .
Ba hình sau đây minh hoạ cho ba trờng hợp vừa nêu đối với một phân phối liên tục
đợc thể hiện qua hàm mật độ xác suất f(x).
f(x)

f(x)

0

Mo Ml

E(x)

x

0

Mo = M = E(x)

f(x)

a

0

x

b

E(x) Ml

Mo

x

c

Ghi chó: NÕu ®èi xøng qua trơc tung thì

M q = M1q
Điều này đợc thể hiện qua hình minh ho¹ sau:
Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD

126


Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 

f(x)
q
q

Mq

M1-q

0

4. HƯ sè nhän

HƯ sè nhän cđa mét ph©n phèi đợc ký hiệu và định nghĩa nh sau:

K=

4
3
4

a. Nếu K > 0 thì phân phối gọi là có độ nhọn dơng.
b. Nếu K = 0 thì độ nhọn của phân phối bằng độ nhọn của hàm mật độ xác suất của một
quy luật phân phối đặc biệt gọi là quy luật phân phối chuẩn mà sau chơng này ta sẽ xét
tới ( đối với phân phối chuẩn sau này ta sÏ thÊy

μ4
= 3 , tøc lµ K = 0).
σ4

c. NÕu K < 0 thì phân phối gọi là có độ nhọn âm.
Hình vẽ sau đây sẽ minh hoạ cho ba trờng hợp vừa nêu:
K>0

f(x)

K=0
K<0

0

x

5. Hệ số biến thiên
Hệ số này đợc ký hiệu và đợc định nghĩa nh sau:

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD

127


Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 

CV =

σ( X )
E(X)

Nh− vËy hƯ sè nµy gióp ta có thể so sánh độ phân tán của các giá trị quanh kỳ vọng toán
của các biến ngẫu nhiên có kỳ vọng toán khác nhau.

B. các tham số đặc trng của biến ngẫu nhiên hai
chiều
I. Kỳ vọng toán của hm hai biến ngẫu nhiên
1. Công thức tính
Nếu R = (X, Y ) trong đó X và Y là hai biên ngẫu nhiên thì

( x i , y j ) p ij
⎪ i j
E ( R ) = E[ ϕ ( X , Y )] = ⎨ + ∞ + ∞
⎪ ∫ ∫ ϕ ( x , y ) f ( x , y ) dxdy

⎩ −∞

(a )
(b )

Trong đó công thức (a) áp dụng khi X và Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc, còn công
thức (b) dùng cho hai biến ngẫu nhiên liên tục X và Y với hàm mật độ xác suất đổng thời
là f(x, y)
2. Một tính chất nữa của kỳ vọng toán
ở phần A ta đà thấy một vài tính chất của kỳ vọng toán. Giờ đây ta có thể đa ra một
tính chất nữa của tham số này nh sau:

E(X ± Y) = E(X) ± E(Y)
Chøng minh
Ta chøng minh tính chất này cho trờng hợp X và Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc với
hàm xác suất đồng thời là p ij .
áp dụng công thức (a) nêu trªn tr−íc tiªn ta cã:
Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Ngun, ĐHKTQD

128


Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 

E ( X + Y ) = ∑ ∑ ( x i , y j ) p ij víi quan niƯm r»ng X + Y = ϕ(X, Y)
i

j

khai triĨn vÕ phải ta đợc:

E(X + Y) = x i pij + ∑∑ y j pij
i

=

j

⎛
⎝

i

∑ ⎜∑ p
i

j

ij

j

⎞
⎛
⎞
⎟ x i + ∑ ⎜ ∑ p ij ⎟y j
⎠
j ⎝ i
⎠

= ∑ p i* x i + ∑ p * j y j
i

j

= ∑ p( x i ) x i + ∑ p( y j ) y j = E (X ) + E ( Y )
i

j

TiÕp theo ta cã
E ( X − Y ) = E [ X + (− 1)Y ]
= E ( X ) + E[( −1) Y ]
= E (X ) − 1.E ( Y )

= E(X) E(Y)

II. các mô_men của biến ngẫu nhiên hai chiều
1. Các mô_men gốc
a. Định nghĩa
Mô_men gốc bậc (k, s) của biến ngẫu nhiên hai chiều V= (X, Y) đợc ký hiệu và
đợc định nghĩa nh sau:

k ,s

x ik y sj p ij
⎪ i j
= E[ X k Y s ] = ⎨ + ∞ + ∞
⎪ ∫ ∫ x k y s f ( x , y ) dxdy
⎩ −∞ −∞

(a )
( b)

C«ng thøc (a) dïng cho biến ngẫu nhiên rời rạc còn (b) dùng cho biến ngẫu nhiên liên
tục.
Nhân xét: Từ định nghĩa vừa nêu ta suy ra:
Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD

129


Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 

α1, 0 = E[X 1 Y 0 ] = E(X)
α 0 ,1 = E[X 0 Y 1 ] = E (Y)
Vậy E(X) và E(Y) là toạ độ của một điểm M mà quanh đó đợc phân phối các điểm
(x, y) là các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên hai chiều V=(X,Y). Điểm M [E(X),
E(Y)] này đợc gọi là tâm phân phối.
b. Tính chất
Định lý :
Nếu hai biến ngẫu nhiên thành phần X và Y của biến ngẫu nhiên hai chiều V= (X,Y) mà
độc lập thì 1,1 = 1, 0 ì 0,1 .
Tức là E (XY) = E (X).E (Y ) .
Nãi c¸ch kh¸c: kú väng to¸n của tích phân hai biến độc lập sẽ bẵng tích các kỳ vọng của
hai biến ngẫu nhiên thành phần.
Chứnh minh
Ta chứng minh kết quả cho hai biến ngẫu nhiên rời rạc.
Theo công thức (a) ta có:

E(XY) = x i y j p ij
i

j

Do giả thiết X và Y độc lập nên p ij = p i* ì p * j v× thÕ:

E ( XY ) =

∑∑x
i

j

i

y j p i* .p * j

⎞
⎛
⎞⎛
= ⎜ ∑ x i p i* ⎟⎜ ∑ y j p *j ⎟
⎜
⎟
⎝ i
⎠⎝ j
⎠
= ∑ x i p (x i ) × ∑ y j p (y j )
i

j

= E(X).E(Y)
ThÝ dơ: XÐt biÕn ngÉu nhiªn rêi rạc hai chiều V= (X,Y) với bảng phân phối xác suÊt ®ång
thêi nh− sau:
Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD

130


Chng3.Cỏcthamsctrngcabinngunhiờn

X

1

2

P(x)

0

0,06

0,04

0,10

1

0,30

0,20

0,50

2

0,24

0,16

0,40

P(y)

0,60

0,40

1

Y

ở thí dụ 2, mục B, phần V chơng trên ta đà thấy X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập.
Vì vậy nhất thiết ta sẽ có E (XY) = E (X).E (Y ) .
ThËt vËy theo c«ng thøc (a) ta cã
E (XY ) = (0)(1)0,06 + (0)( 2)0,04 + (1)(1)0,30 + (1)( 2)0,20 +

+ (2)(1)0,24 + (2)(2)0,16 = 1,82

Mặt khác

E(X) = (0).0,10 + (1).0,50 + (2).0,40 = 1,30
E(Y) = (0).0,60 + (1).0,40 = 1,40
Do ®ã E(X).E(Y) = 1,30.1,40 = 1,82
Nh− vËy râ rµng E (XY) = E (X).E (Y ) .
Ghi chó: Tuy nhiªn nÕu E (XY) = E(X ).E (Y) thì cha chắc X và Y đà là hai biến ngẫu
nhiên độc lập. Chẳng hạn ta xét biến ngẫu nhiên độc lập hai chiều V = (X,Y) với bảng
phân phối xác suất đồng thời sau:
X
Y
0
1
2
3
P(y)

1

2

3

1/8
2/8
2/8
1/8
2/8

1/8

1/8

4/8

2/8

P(x)
1/8
3/8
3/8
1/8
1

Ta có
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD

131


Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 
1
2
1
2
E ( XY ) = (0).(1). + (1).( 2). + (1).(3). + ( 2).( 2).
8
8
8
8
1

1
+ ( 2).(3). + (3).(1). = 3
8
8

3
1 3
1
3
E(X) = (0). + (1). + (2). + (3). =
8
8 2
8
8
4
2
2
E(Y) = (1). + (2). + (3). = 2
8
8
8
Nh− vậy

3
E(X).E(Y) = .2 = 3(= E(XY))
2

Tuy nhiên X và Y không độc lập ta, chẳng hạn ta thấy

P[(X = 0)(Y = 1)] =

V×

1
≠ P(X = 0).P(Y = 1)
8

1
1 2 2
P(X = 0).P(Y = 1) = . =
=
8 8 64 32

c. Các kỳ vọng có điều kiện và đờng hồi quy
ứng với mỗi giá trị x của X ta có một phân phối có điều kiện của Y và do đó ta cã mét
kú väng cđa Y gäi lµ kú väng có điều kiện của Y đối với X. Giá trị kỳ vọng có điều kiện
này đợc ký hiện và định nghĩa nh sau (tơng ứng với trờng hợp các biến ngẫu nhiên
rời rạc hay liên tục):

y j p (y j x )
⎪ j
E (Y x ) = ⎨ + ∞
⎪ ∫ yf (y x )dy
⎩ −∞
NÕu E (Y x ) thay đổi theo x, tức là nếu E ( Y x ) = ( x ) thì hàm ( x ) đợc gọi là
hàm hồi quy của Y ®èi víi X.
T−¬ng tù ta cã

⎧ ∑ x i p (x i y )
⎪ i
E (X y ) = ⎨ + ∞

⎪ ∫ xf (x y )dx
⎩ −∞
Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD

132


Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 

NÕu E (X y) = ψ ( y) th× ψ( y) là hồi quy của X đối với Y.
ý nghĩa: Hàm hồi quy ( x ) biểu thị sự phụ thuộc của các giá trị trung bình của X vào Y.
Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì nh ta đà biết các phân phối có ®iỊu kiƯn
cđa Y ®èi víi X sÏ ®ång nhÊt víi phân phối biên của Y và do đó E ( Y x ) = E ( X ) víi mäi
x. Nh vậy trong trờng hợp này đờng hồi quy của Y đối với X sẽ là một đờng thẳng
song song với trục hoành.
Hai hình sau đây sẽ minh hoạ đờng håi quy E ( Y x ) = E ( X ) tơng ứng với các
trờng hợp: a) Y không ®éc lËp víi X vµ b) Y ®éc lËp víi X và với X và Y là các biến
ngẫu nhiên liên tục.
E(Y/x)

E(Y/x)
(x)

0

(x)

0

x

x

Đối với ( y) ta cũng có những nhận xét tơng tự.
Thí dụ: HÃy vẽ đờng hồi quy của Y (số tiền lÃi) theo X (số lần bán đợc hàng) căn cứ và
bảng phân phối xác suất đồng thời đà xét ở mục III, mục B chơng II.
Bài giải
Từ bảng này ta xác định đợc các phân phối có điều kiện và các kỳ vọng có điều kiện của
Y theo X nh− sau:
a. Khi X = 0
Y
p( y x )

0

100

200

300

400

1

0

0

0

0

Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD

133


Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 

E ( Y X = 0) = 0

b. Khi X=1
Y

0

100

200

300

400

0

0,256
0,384

0,128
0,384

0

0

Y

0

100

200

300

400

p( y x )

0

0

0,032
0,096

0,064
0,096

0

200

300

400

0

0

1

p( y x )
E ( Y X = 1) = 133,33

c. Khi X= 2

E ( Y X = 2) = 266,67

d. Khi X= 3
Y

0
0

p( y x )

100
0

E ( Y X = 3) = 400

Đem các điểm (x , E (Y x ) ) lên hệ trục toạ độ và nối chúng lại ta đợc đờng hồi quy
của Y đối với X nh sau:
E(Y/x)

400
300
200
100

0

1

2

3

x

2. Các mô_men trung tâm
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD

134

Chng3.Cỏcthamsctrngcabinngunhiờn

Mô_men trung tâm bậc (k, s) của biến ngẫu nhiên hai chiều V= (X,Y) đợc ký hiệu
và đợc định nghĩa nh− sau:

{

μ ( k ,s ) = E [X − E ( X ) ] [Y − E ( Y ) ]
k

{

s

[

}

]}

⎧∑ ∑ [x i − E ( X ) ]k y j − E ( Y ) s p ij
⎪ i j
⎪
= ⎨ + ∞+ ∞
k
s
⎪
∫∞−∫∞ [x − E (X )] [y − E (Y )] f (x, y )dxdy

{

}

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy
0,0 = 1

{
}
[
= E{ X − E ( X )] [Y − E ( Y )] } = E[Y − E ( Y )] = 0

μ 1, 0 = E [X − E ( X )] [Y − E ( Y )] = E[ X − E ( X )] = 0
1

μ 0 ,1

0

0

1

μ 2, 0 = E[X − E (X)]2 = V(X)
μ 0 , 2 = E[Y − E (Y)] 2 = V (Y)
Nh vậy V(X) và V(Y) đặc trng cho mức độ phân tán của các điểm (x, y) quanh t©m
ph©n phèi M [ E(X), E(Y) ] theo chiỊu cđa các trục toạ độ x0x và y0y. Điều này đợc
minh hoạ qua hình sau:

V(y)

y

M

E(y)

x
E(x)
V(x)

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD

135