Giáo trình lý thuyết xác suất và thống kê toán chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
1
Chơng 1
Biến cố ngẫu nhiên v xác suất
Trong thực tế chúng ta thờng gặp những hiện tợng ngẫu nhiên, tức là những hiện
tợng mà mặc dù với mọi khả năng có thể có ta cố gắng giữ cho những điều kiện cơ bản

của các lần thí nghiệm về các hiện tợng ấy không thay đổi, nhng ta vẫn không thể
khẳng định đợc kết quả của từng thí nghiệm riêng lẻ sẽ nh thế nào. Sở dĩ nh vậy vì
ngoài nhóm những điều kiện cơ bản ra còn có rất nhiều các nguyên nhân không lờng
trớc đợc, gây tác động khác nhau trong quá trình tiến hành các lần thí nghiệm, làm cho
kết quả của các lần thí nghiệm có thể thay đổi từ lần này sang lần khác, khiến cho mọi cố
gắng của chúng ta để dự đoán kết quả chính xác ở mỗi lần thí nghiệm riêng lẻ đều vô
hiệu.
Tuy nhiên, trên cơ sở quan sát rất nhiều hiện tợng thực tế ngời ta thấy rằng nếu nh
ở mỗi thí nghiệm riêng lẻ sự xuất hiện của một sự kiện nào đó còn mang tính chất ngẫu
nhiên thì qua một số lớn lần lặp lại
cùng thí nghiệm ấy, khả năng xuất hiện khách quan
của sự kiện đó lại biểu hiện khá rõ nét. Vì vậy một lý thuyết toán học đã đợc xây dựng
nên nhằm nghiên cứu một cách chính xác tính quy luật của các hiện tợng ngẫu nhiên
khi
ta lặp lại nhiều lần cùng các điều kiện cơ bản làm nảy sinh ra các hiện tợng đó, đợc gọi
là Lý thuyết xác suất
.

A- Các định nghĩa về xác suất
I. Phép thử v không gian các biến cố sơ cấp
Trong lý thuyết xác suất, khi thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản nào đó ngời
ta gọi là thực hiện một phép thử
. Nếu kết quả của phép thử mà không thể khẳng định trớc

đợc thì ta có một phép thử ngẫu nhiên. Ta sẽ ký hiệu phép thử ngẫu nhiên là G
.
Các kết quả có thể xảy ra trong phép thử G sao cho khi G đợc thực hiện thì thể nào
cũng có một trong chúng xảy ra, chúng loại trừ lẫn nhau và không thể phân chia thành
Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
2
những kết quả nhỏ hơn thì các kết quả nh vậy đợc gọi là các biến cố sơ cấp
. Nói cách
khác một biến cố sơ cấp là một kết quả tối giản của phép thử.
Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp
của phép thử G đợc gọi là không gian các biến
cố sơ cấp (không gian mẫu) với ký hiệu là .
Thí dụ 1. Nếu phép thử là tung một đồng xu thì = { S, N } trong đó:
1
= S = kết
quả là sấp;
2
= N = kết quả là ngửa.
Thí dụ 2.
Nếu phép thử là tung một hạt xúc sắc thì: ={1,2,3,4,5,6}
trong đó :
i
= i = đợc mặt i chấm (i= 6,1)
Thí dụ 3. Nếu phép thử là tung cùng một lúc hai đồng xu thì :
={(S,S), (S,N), (N,S), (N,N)}
Thí dụ 4. Nếu phép thử là Tung cùng một lúc hai hạt xúc sắc thì:

={(x,y): x=
6,1

;y=
6,1
}
Thí dụ 5. Nếu phép thử là "tung một đồng xu cho tới khi nào đợc mặt sấp thì dừng" thì:
, }NNNS,NNS,NS,S{=
Thí dụ 6.
Nếu phép thử là "đo khoảng cách từ điểm chạm của viên đạn tới tâm bia với
bán kính của bia là một đơn vị độ dài thì
=
[0,1[.
Nhận xét
:
a. Số lợng các phần tử của
trong các thí dụ 1, 2, 3, 4 là hữu hạn.
b. Số lợng các phần tử của
trong thí dụ 5 là vô hạn nhng đếm đợc (tức là ta có thể
đánh số đợc
1

= S,
2

= NS,
3

= NNS, ).
Các tập hữu hạn hay vô hạn đếm đợc gọi là các tập hơp rời rạc
.
c. Số lợng các phần tử của
trong thí dụ 6 (số các điểm của đoạn [0,1[) là vô hạn

nhng đếm đợc. Trong trờng hợp này ta bảo

có lực lợng continum.

II. - đại số các biến cố
1. Biến cố ngẫu nhiên

Một biến cố ngẫu nhiên A là một tập hợp con của


Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
3
Thí dụ 1: Gọi A là biến cố đợc mặt có số chấm là bội của 3 khi tung hạt xúc sắc thì
A={3,6}


.
Ghi chú

a. Kết quả
nào của G mà làm cho A xảy ra thì kết quả đó đợc gọi là kết quả thuận lợi
cho A. Nh vậy biến cố A ở thí dụ vừa nêu có hai kết quả thuận lợi.
b. Mỗi biến cố sơ cấp
cũng có thể coi là một biến cố ngẫu nhiên { } (gồm một phần
tử ).
c.

đợc gọi là biến cố chắc chắn.
d. Tập hợp trống

đợc gọi là biến cố không thể có.
Các khái niệm vừa nêu có thể minh họa trong hình sau






2. Mối quan hệ giữa các biến cố

Stone đã chứng minh đợc rằng: giữa các tập hợp và các biến cố có một sự đẳng cấu.
Vì vậy ta có thể dùng mối quan hệ giữa các tập hợp để mô tả mối quan hệ giữa các biến
cố. Cụ thể:
a. Nếu B
A thì biến cố B gọi là kéo theo biến cố A. Nh vậy các phần tử của
thuộc B cũng sẽ thuộc A (Hình 1.1). Nói cách khác biến cố B xảy ra cũng làm cho biến cố
A xảy ra.





Hình 1.1
A

x x
x x x

A







B x x
xx
Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
4
Thí dụ 2:
Gọi B là biến cố đợc mặt 3 chấm tức là B = {3}.
Khi đó B
A = {3, 6} = biến cố đợc mặt có số chấm là bội của 3.
b. Nếu B
A và A B thì A và B gọi là hai biến cố tơng đơng và đợc ký hiệu là
A=B.
Thí dụ 3: Giả sử mỗi chấm đợc 5 điểm nếu A là biến cố đợc mặt 6 chấm và B là biến
cố ngời tung đợc 30 điểm thì A = B.
c. Nếu B =
\ A thì B gọi là biến cố đối lập của A. Nh vậy B sẽ xảy ra khi A không xảy
ra (Hình 1.2)
*

Hình 1.2
Thí dụ 4: Nếu A ={3, 6}= biến cố đợc mặt có số chấm là bội của 3 thì B = \{3,
6}={1, 2, 4, 5} là biến cố đợc mặt có số chấm không chia hết cho 3.
Ghi chú
: Biến cố đối lập của biến cố A thờng đợc ký hiệu là
A
.
d. Nếu C = A
B thì C gọi là biến cố tổng của hai biến cố A và B. Nh vậy C sẽ xảy ra
khi ít nhất có một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra (Hình 1.3)
ta cũng có thể ký hiệu C = A + B





Hình 1.3
Thí dụ 5: Nếu A={3, 6}= Biến cố đợc mặt có số chấm là bội của 3



*
(*)Tất cả các thí dụ trong mục này sẽ đợc xét trong phép thử tung một hạt súc sắc khi đó

={1,2,3,4,5,6}

A B

B


A
Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
5
B ={2,4,6} = Biến cố đợc mặt có số chấm là chẵn
thì C = A
B ={2,3,4,6}= Biến cố đợc mặt chẵn hoặc bội 3 .
Tơng tự biến cố tổng

n
1=i
i
A của n biến cố thành phần A
i
(i= n,1 ) là biến cố sẽ xảy ra
khi
ít nhất có một trong các biến cố A
i
xảy ra.

e. Nếu C = A
B thì C gọi là biến cố tích của hai biến cố A và B. Nh vậy C sẽ xảy ra
khi A và B đều xảy ra. (Hình 1.4)
Ta cũng có thể ký hiệu C = A.B




Hình 1.4
Thí dụ 6: Nếu A ={3,6} = Biến cố đợc mặt có số chấm là bội của 3
B ={2,4,6} = Biến cố đợc mặt có số chấm là chẵn.
thì C = A
B ={6}= Biến cố đợc mặt 6 chấm( vừa là chẵn vừa là bội của 3)
Tơng tự biến cố tích

n
1=i
i
A của n biến cố thành phần A
i
là biến cố sẽ xảy ra khi tất cả
các biến cố A
i
đều xảy ra (i=
n,1
)
f. Nếu A
B = thì A và B gọi là hai biến cố xung khắc. Nh vậy A và B sẽ không thể
cùng xảy ra trong phép thử (Hình 1.5)

Hình 1.5
B
A








B

A


Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
6
Thí dụ 7: Nếu A = {3, 6}= Biến cố đợc mặt có số chấm là bội của 3
B ={1, 2}= Biến cố đợc mặt có số chấm không quá 2
thì A
B = (không thể vừa đợc mặt có số chấm là bội của 3 vừa có số chấm nhỏ hơn
hoặc bằng 2).
Nhận xét 1

: Hai biến cố A và B ở hình 1.4 là không xung khắc (phần giao không trống).
Nhận xét 2
: Hai biến cố đối lập A và
A
sẽ thoả mãn cả hai hệ thức:






=
=
)(AA
)(AA
2
1

Nh vậy có thể nào cũng có một (hệ thức 1) và chỉ một (hệ thức 2) trong hai biến cố
này cùng xảy ra trong phép thử.
Ghi chú
: Các biến cố A
i
(i = n,1 ) gọi là xung khắc từng đôi. Nếu bất kỳ cặp biến cố nào
trong chúng cũng là hai biến cố xung khắc.
g. Các biến cố A
i
(i= n,1 ) gọi là một hệ đầy đủ n biến cố (hoặc tạo nên một phân hoạch
của
) nếu :

=
=
=
ji
n
i
i
AA
A

1
(với i

j )
Nh vậy thể nào cũng có một và chỉ một trong các biến cố A
i
(i= n,1)
xảy ra trong phép thử (Hình 1.6).






Hình 1.6

Thí dụ 8:
Nếu A = {1, 2} = Biến cố đợc mặt có số chấm không quá 2

A
n
A
1

A
2
. A
i
.




Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
7
B = {3} = Biến cố đợc mặt có số chấm là 3
C ={4, 5, 6} = Biến cố đợc mặt có số chấm tối thiểu là 4 thì A, B, C là một hệ
đầy đủ 3 biến cố.
Nhận xét
: Hai biến cố đối lập A và A lập thành một hệ đầy đủ 2 biến cố.
Ghi chú
: Vì giữa các tập hợp và các biến cố có sự đẳng cấu nên các tính chất của các phép
toán về tập hợp cũng đúng cho các phép toán về biến cố, chẳng hạn các phép toán hợp và
giao các biến cố có tính chất giao hoán và kết hợp.
Cụ thể ta có:

A
B = B A
( A
B ) C = A (B C)
A
B = B A
( A
B ) C = A (B C)
Vì thế với một số hữu hạn các biến cố sơ cấp A
i
(i= n,1 ) thì các biến
cố

n
1=i
i
A
,

n
1=i
i
A
là hoàn toàn xác định.
Ngoài ra ta cũng có quy tắc đối ngẫu (quy tắc De Morgan) nh sau:

=
=
==
==


n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
AA
AA
11
11


3. -Đại số các biến cố
Trong thực tế có nhiều trờng hợp chúng ta muốn thực hiện vô hạn lần các phép toán
về các biến cố và kết quả vẫn phải đợc một biến cố. Vì vậy đối với một họ

A các biến
cố nào đó đợc xây dựng trên không gian
ta sẽ giả thuyết nó thỏa mãn các yêu cầu sau
đây:
a.


A
b. Nếu A
A thì A A
Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
8
c
. Nếu A
i
(i = ),( 1 là một dãy đếm đợc các biến cố thuộc A thì:

i
i1
A

=

A
Họ
A các biến cố nh vậy đợc gọi là một - đại số ( một trờng Borel) các biến cố.
Từ định nghĩa trên ta suy ra:

.

A.
Vì


A nên =

A.
.
Nếu A

A, B

A thì A

B

A.
Vì A

A nên A

A; B

A nên B

A. Do đó A B

A, tức là AB


A.
Suy ra AB

A . Vậy A

B

A.
. Điều kiện c) tơng đơng với điều kiện
i
i1
A

=


A . Điều này suy
rộng kết quả ở
).
Tóm lại một
- đại số các biến cố sẽ đóng kín đối với một dãy hữu hạn hoặc đếm
đợc các phép tính tổng, tích hoặc lấy đối lập với các biến cố thuộc
A. Nói cách khác
nếu
A là một - đại số các biến cố thì khi ta thực hiện một số hữu hạn hay đếm đợc các
phép toán vừa nêu đối với các biến cố thuộc
A thì kết quả lại đợc một biến cố thuộc A.

Cặp ( , A ) đợc gọi là một không gian đo. Nó dùng để mô hình hoá một phép thử ngẫu
nhiên cùng với các sự kiện mà ta muốn xét gắn với phép thử ấy.
Thí dụ 9: Nếu

={
1

,
2
, ,
n
} và ta xét - đại số A là tập hợp tất cả các tập con của

(kể cả

và ) thì đây là - đại số lớn nhất có thể xây dựng đợc từ

và gồm 2
n

phần tử.

III. Định nghĩa tiên đề về xác suất
Nh ta đã nêu ở phần mở đầu chơng, mỗi biến cố ngẫu nhiên A có một khả năng
xuất hiện khách quan. Vì thế trong lý thuyết xác suất ngời ta lợng hoá khả năng xuất
Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
9
hiện khách quan của một biến cố A bằng một con số. Con số này gọi là
xác suất của A và

đợc ký hiệu là P(A). Đối với P(A) có nhiều cách định nghĩa khác nhau trong đó cách
định nghĩa theo tiên đề là có tính tổng quát nhất và chặt chẽ nhất về mặt lô-gic.

1. Định nghĩa tiên đề về xác suất

Xác suất (hoặc độ đo xác suất) P xác định trên - đại số các biến cố A của không
gian đo (

, A) là một hàm thực ánh xạ A vào R và thoả mãn các tiên đề sau đây:
(P1). P(A)
0 với mọi A

A .
(P2). P(
) = 1.
(P3). Nếu dãy {A
i
} (i=1,

) thỏa mãn điều kiện A
i
A
j
= với mọi i j thì
P(
i
i1
A

=

) =
i
i1
PA()

=

.
Tiên đề (P3) còn gọi là
tính chất

- cộng tính của độ đo xác suất P. Bộ ba ( , A, P)
đợc gọi là
một không gian xác suất.
Ghi chú 1
: Từ tính chất - cộng tính ta có thể suy ra tính chất hữu hạn cộng tính của độ
đo xác suất P, tức là P(

n
1=i
i
A
) =

=
n
i
i
)A(P

1
với A
i

A
j
= (i j).
(xem tính chất 2 ở mục sau ).
Ghi chú 2
: Hệ tiên đề nêu trên đã đợc Can-mô-gô-rốp đa ra vào năm 1933. Ta thấy hệ
tiên đề này
không mâu thuẫn, có nghĩa là ta có thể xây dựng những mô hình thoả mãn
tiên đề đó.
Chẳng hạn giả sử xét
là một tập hợp hữu hạn các phần tử
i
(i = n,1 )
và
A là hệ tất cả các tập hợp con của (kể cả và ). Nh đã nêu, A gồm 2
n
phần tử.
Ta đặt p
i
= P(
i
) sao cho:

=


=
n
i
i
i
p
p
1
1
0
(i=
n,1
)
Khi đó:
Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
10
a. Nếu A = {
1
i
,
2
i
, ,
m
i

} thì P(A) =
k
m
i
k1
p
=


0.
b. P(
) =
n
i
i1
p
=

=1.
c. Nếu A = {
1
i
,
2
i
, ,
m
i
}
B = {

1
j
,
2
j
,
s
j
}
Trong đó:
k
i

l
j
với mọi k l thì AB =
và A
B = {
1
i
,
2
i
, ,
m
i
,
1
j
,

2
j
,
s
j
}
P(A
B) = P{
1
i
,
2
i
, ,
m
i
,
1
j
,
2
j
,
s
j
}
=
k
m
i

k1
p
=

+

=
n
l
jl
p
1
= P(A) + P(B)
Nh vậy các tiên đề của Can-mô-gô-rốp đợc thoả mãn.

Ghi chú 3: Hệ tiên đề Can-mô-gô-rốp không đầy đủ, tức là với cùng một tập hợp ta có
thể xác định xác suất P trên tập hợp
A theo những cách khác nhau.
Chẳng hạn nếu ta tung hạt xúc sắc thì
={
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,

6
}.
Nếu hạt xúc sắc đều đặn và đồng chất thì:
P(
1
) = P(
2
) = P(
3
) = P(
4
) = P(
5
) = P(
6
) =
6
1

Nhng nếu hạt xúc sắc không đồng chất và không cân đối thì các xác suất P phải xác
định khác đi, chẳng hạn ta có thể đặt:
P(
1
) = P(
2
) = P(
3
) =
4
1

; P(
4
) = P(
5
) = P(
6
) =
12
1
.
Nh vậy tính không đầy đủ của hệ tiên đề Can-mô-gô-rốp không phải là một nhợc
điểm, mà trái lại nó là một u điểm vì nó cho phép ta tuỳ theo điều kiện cụ thể của vấn đề
đang xét mà xác định xác suất thích hợp cho các biến cố thuộc
- đại số A.
2. Một số tính chất của xác suất suy ra từ định nghĩa tiên đề

Tính chất 1
: P() = 0.
Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
11
Chứng minh:
Xét dãy biến cố {A
i
} (i = 1, 2, ) sao cho A
i
= với mọi i. Khi đó A
i
A
j

= với i j
và
=

=

1i
i
A .
Vậy theo tiên đề (P3) ta có: P(
) = P(
i
i1
A

=

) =

=
n
i
i
)A(P
1
=
i1

=

P()
Rõ ràng chỉ có một số thực thoả mãn đẳng thức này đó là số 0.
Tính chất 2: P(

n
1=i
i
A)=
n
i
i1
PA()
=

với A
i
A
j
= (ij)
Chứng minh:
Xét dãy các biến cố {A
i
} (i=1, 2, , n, ) sao cho A
i
A
j
= (với i j ) và A
i
=
khi i > n. Khi đó

=1i
i
A =

n
1=i
i
A.
Theo tiên đề (P3) ta có:
P(

n
1i
i
A
=
) = P(


=1i
i
A ) =


=1i
i
)A(P =

=
n
i
i
)A(P
1
+


+= 1ni
i
)A(P
=

=
n
i
i
)A(P
1
+ 0 =

=
n
i
i
)A(P
1
.
Tính chất 3: P(A) + P( A) = 1.

Chứng minh:
Nh đã nêu, A và Athoả mãn hai hệ thức:






=
=
)(
)(
2AA
1AA



Từ (1) ta có P( A
A) = P( ) = 1
Từ (2) ta có P(A
A ) = P(A) + P( A)
Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh.
Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
12

Tính chất 4: 0 P(A) 1.
Chứng minh:
Theo tiên đề (P1) ta đã có P(A)

0
Mặt khác theo tính chất 3 thì P(A) = 1- P(
A)
Mà P(
A)

0 theo tiên đề (P1) nên P(A)

1.

Tính chất 5: Nếu B A thì P(B)

P(A) và P(A\B) = P(A) - P(B).
Chứng minh:
Vì B A nên A = B (A\B). Do B (A\B) = nên P(A) = P(B) + P(A\B) (*).
Do P(A\B)
0 nên P(A) P(B).
Kết quả thứ hai đợc suy ra từ hệ thức (*).

Tính chất 6: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B).
Chứng minh:
Ta có thể phân tích (xem hình 1.7)
A
B =A B AB AB

Hình 1.7
Nh vậy ta đã phân tích tổng của hai biến cố không xung khắc thành tổng của ba biến cố
xung khắc từng đôi. Từ đó theo tiên đề (P3) ta có:
P(A
B) = P(A B ) + P(AB) + P( AB) (1)
Mặt khác:
Do A = A
B +AB nên P(A) = P(A B) + P(AB)

A B






AB
BA
AB
Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
13
suy ra P(A
B ) = P(A) - P(AB) (2)
Do B =
A B + AB nên P(B) = P(A B) + P(AB)
suy ra P(
A B) = P(B) - P(AB) (3)
Thay vào (2) và (3) vào (1) ta đợc

P(A
B) = P(A) - P(AB) + P(AB) + P(B) - P(AB)
= P(A) + P(B) - P(AB)
Ghi chú
: Mở rộng tính chất này ta có:
P(

n
1=i
i
A )=

=
n
i
i
)A(P
1
-

<
n
ji
ji
)AA(P +

<<
n
kji
kji

)AAA(P - +
+(-1)
n-1
P(A
1
A
2
A
n
).
Chứng minh:
Theo tính chất 6 ta có P(

2
1=i
i
A
) = P(A
1
) + P(A
2
) - P(A
1
A
2
)
Giả sử
P(

1n

1i
i
A

=
) =


=
1
1
n
i
i
)A(P
-


=
1
1
n
i
ji
)AA(P
+ +(-1)
n-2
P(A
1
A

2
A
n-1
)
Khi đó:


n
1=i
i
A= (

1n
1i
i
A

=
) A
n

P(

n
1=i
i
A ) = P(

1n
1i

i
A

=
) + P(A
n
) - P(A
n

1n
1i
i
A

=
)
= P(

1n
1i
i
A
-
=
) + P(A
n
) - P(

1n
1i

ni
AA

=
)
áp dụng giả thiết quy nạp cho thành phần thứ nhất và thứ ba ở bên vế phải rồi ghép
các tổng lại với nhau ta sẽ đợc kết quả phải chứng minh.

Tính chất 7:
P(


=1n
n
A )


=
1
)(
n
n
AP
Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
14

Chứng minh:
Thật vậy, nếu đặt B
1

= A
1

B
2
= A
1
A
2


B
n
= A
1
A
2
A
n-1
A
n


thì ta có:
B
n
A
n
(n 2)
B

i
B
j
= (i j)



=1n
n
A =


=1n
n
B .
Do đó:
P(


=1n
n
A ) = P(


=1n
n
B ) =


=

1
)(
n
n
BP




=
1
)(
n
n
AP
( Vì B
n

A
n
nên P(B
n
)

P(A
n
)).

Tính chất 8: Nếu P là một độ đo xác suất xác định trên - đại số A của không gian đo
(

, A) thì các điều khẳng định sau đây là tơng đơng:
a. P có tính chất
- cộng tính.
b. P liên tục trên, có nghĩa là với bất kỳ một dãy đơn điệu tăng
A
1
A
2
A
n
thuộc A sao cho
n
n
A

lim
=


=1n
n
A A thì

)(lim
n
n
AP

= P(

=1n
n
A ).
c. P liên tục dới, có nghĩa là với bất kỳ một dãy đơn điệu giảm A
1

A
2

A
n


thuộc
A sao cho
n
n
A

lim
=


=1n
n
A

A thì

Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
15

)(lim
n
n
AP

= P(


=1n
n
A ).
d. P liên tục tại không tức là với bất kỳ dãy đơn điệu giảm
A
1

A
2



A
n

thuộc A sao cho

=1n
n
A
= thì
)(lim
n
n
AP

=0.
Ghi chú
: Tính chất d) này còn gọi là tiên đề liên tục.
Chứng minh:
a) => b)
Vì A
1
A
2
A
n
nên ta có thể viết:



=1n
n
A = A
1
+ (A
2

\A
1
) + (A
3
\ A
2
) +
Do các biến cố bên vế phải xung khắc từng đôi nên theo a) ta có:
P(


=1n
n
A ) = P(A
1
) + P(A
2
\A
1
) + P(A
3
\ A
2
) +
Do


=1n
n
A A và trên A đã xác định độ đo xác suất P nên P(

=1n
n
A ) tồn tại.
Vì thế chuỗi bên vế phải của đẳng thức trên phải hội tụ.
Do đó ta có:
P(


=1n
n
A
) =
()
)\( )\()(lim
1nn121
n
AAPAAPAP


+
+
+
=
)(lim
n
n
AP

Tóm lại P(
n
n
A

lim
) =
)(lim
n
n
AP

.
b) => c)

Vì {A
n
} là dãy đơn điệu giảm nên nếu ta đặt A
'
n
= A
1
\A
n
thì {A
'
n
} sẽ là một dãy đơn
điệu tăng. Vậy theo b) thì:

)(lim
'
n
n
AP

= P(
'
lim
n
n
A

) = P(


=1n
'
n
A
)
Tức là
)\(lim
n1
n
AAP

= P[

=1n
n1
)A\(A ]
Mặt khác do A
1
A
n
nên ta có thể viết
Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
16
A
n
= A
1
\(A
1
\A
n
)
Do đó P(A
n
) = P(A
1
) - P(A
1
\A
n
)

)(lim
n
n
AP

= P(A
1
) -
)\(lim
nn
n
AAP


= P(A
1
) - P[


=1n
n1
)A\(A ]
Cũng do A
1
A
2
A
n
nên

=1n
n1
)A\(A = A
1
\


=1n
n
A
Vậy :
)(lim
n
n
AP

= P(A
1
) - P[A
1
\


=1n
n
A ]
= P(A
1

) - [ p(A
1
) - P(


=1n
n
A )] = P(


=1n
n
A ).
Tức là P(
n
n
A

lim
) =
)(lim
n
n
AP

.
c) => d)

Mệnh đề này là hiển nhiên, do các kết quả trên ta có:
)(lim

n
n
AP

= P(
n
n
A

lim
) = P(


=1n
n
A ) = P( ) = 0
d) => a)

Trớc hết ta có thể viết



=1i
i
A
=

n
1=i
i

A+


+= 1ni
i
A

Do giả thiết các biến cố là xung khắc từng đôi và vế phải coi nh chỉ gồm hai biến cố
(trờng hợp hữu hạn) nên:
P(


=1i
i
A ) = P(

n
1=i
i
A ) + P(


+= 1ni
i
A )
Nếu đặt B
n
=

=ni
i
A thì P(


=1i
i
A ) = P(

n
1=i
i
A) + P(B
1+n
).
Ta thấy B
n
B
1+n
B
2+n

Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
17
Mặt khác nếu B
n
xảy ra thì một trong các biến cố A
i
xảy ra (i n), do đó các biến cố

A
1+i
, A
2+i
, sẽ không xảy ra vì các biến cố của dãy {A
i
} (i= ,1 )
Theo giả thiết là xung khắc từng đôi. Từ đó các biến cố B
1+i
, B
2+i
, sẽ là không thể
có, vì thế


=ni
i
B = .
Do


=1i
i
A A nên P(


=1i
i
A ) tồn tại.
Vậy ta có thể viết

P(


=1i
i
A ) =
lim
n
P(


=
1i
i
A ) +
lim
n
P(B
1+n
)
=

=

n
i
i
n
)A(P
lim

1
+ 0
=


=
1i
i
AP )(
.

3. Nguyên lý xác suất nhỏ và lớn

Xác suất P(A) nhằm nêu lên khả năng xảy ra của A chứ không khẳng định về hiện
thực của biến cố đó. Tuy nhiên biết đợc khả năng xảy ra của A ta có thể nhận định đợc
tình hình xảy ra của A một cách hợp lý. Cụ thể qua thực nghiệm và quan sát thực tế ngời
ta rút ra nguyên lý xác suất nhỏ sau đây:
Một biến cố có xác suất nhỏ thì thực tế ta có thể coi nó là không thể xảy ra trong một
phép thử.
Tuy nhiên với mức xác suất nhỏ là bao nhiêu thì biến cố sẽ đợc coi là hầu nh không
thể có? Điều này sẽ do từng trờng hợp cụ thể quyết định. Về vấn đề này tác giả Guy
Lefort cũng có ý kiến nh sau: Trong thực hành phải coi sự kiện rất ít khả năng xảy ra
là một sự kiện thực tế không thể xảy ra (nếu không thì chúng ta không bao giờ dám qua
đờng vì thực tế có một xác suất, tuy rất nhỏ, nhng không phải là số 0, để chúng ta bị xe
cán). Nhng một sự kiện rất ít khả năng xảy ra không phải là không thể xảy ra và những
quyết định của chúng ta khi áp dụng quy tắc trên có thể mắc những sai lầm mà chúng ta
cần lu ý.
Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
18

Sai lầm mà Guy Lefort nói tới tất nhiên tuỳ thuộc vào việc chúng ta quy định mức xác
suất nhỏ (lớn) là bao nhiêu thì một biến cố trong thực tế sẽ đợc coi là không thể có (chắc
chắn). Nh vừa nêu trên, điều này là tuỳ thuộc từng hoàn cảnh cụ thể.

IV. một số định nghĩa sơ khai về xác suất

Định nghĩa tiên đề là định nghĩa chặt chẽ nhất về mặt lô-gíc. Tuy nhiên trớc khi Can-
mô-gô-rốp đa ra định nghĩa này thì cũng đã có những định nghĩa sơ khai về xác suất mà
giờ đây ta có thể coi chúng là những trờng hợp riêng của định nghĩa tiên đề. Mặc dù các
định nghĩa sơ khai này có những nhợc điểm nhất định, nhng trong những trờng hợp
thích hợp chúng vẫn phát huy đợc tác dụng của mình.

1. Định nghĩa cổ điển về xác suất
Giả sử đối với phép thử G ta có:

={
1

,
2

, ,
n

}
Với
i
(i=
n,1
) có khả năng xảy ra nh nhau.

Ta lập
-đại số các biến cố A là tập hợp tất cả các tập con của (kể cả và ). Đây là
- đại số lớn nhất có thể xây dựng đợc từ .
Do các
i

(i= n,1 ) là đồng khả năng nên ta xác lập độ đo xác suất P sao cho
P(
1
) = P(
2
) = = P(
n
) =
n
1

Khi đó với A = {
1
i
,
2
i
,
m
i
)

A
P(A) = P(

1
i
) + P(
2
i
) + + P(
m
i
)
=
n
1
+
n
1
+ +
n
1
=
n
m

ở đây m chính là số kết cục của G thuận lợi cho A xảy ra. Từ đó ta có định nghĩa xác suất
theo quan điểm cổ điển nh sau:
Định nghĩa:
Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
19
P(A) =
n

m
=
thửphépcủangănảkhồngđcụckếtSố
rayảxAcholợithuậncụckếtcácSố

Rõ ràng định nghĩa này có nhợc điểm là không chặt chẽ về mặt lô-gích khi dựa vào
tính đồng khả năng để định nghĩa xác suất (là con số xác định khả năng xảy ra của biến
cố). Tuy nhiên đối với những hiện tợng có tính chất đối xứng và số kết cục của phép thử
là hữu hạn thì định nghĩa này vẫn phát huy đợc tác dụng.
Thí dụ 1: Tính xác suất để trong k ngời không quen biết nhau (2k 365) sẽ có ít nhất 2
ngời có ngày sinh nhật trùng nhau biết rằng họ đều không sinh vào những năm nhuận.
Bài giải
Với giả thiết là bất kỳ một ngày nào đó trong 365 ngày của năm đều có thể là ngày
sinh của mỗi ngời thì số kết cục đồng khả năng của phép thử (số ngày sinh nhật có thể
của k ngời) sẽ là
n = 365 x 365 x x365=365
k

Gọi A là biến cố tất cả các ngày sinh của k ngời là khác nhau thì số kết cục thuận lợi
cho A là
m = 365(365-1) [365 - (k-1)]
= A
k
365
=
)!-365(
)!365(
k

Vậy P(A) =

k
k
365
(365)
A
=
k
k )365()!-365(
)!365(

Từ đó xác suất phải tìm là : P(
A ) = 1- P(A) = 1-
k
k )365()!365(
)!365(



2. Định nghĩa thống kê về xác suất
Định nghĩa này dựa vào tần suất của biến cố. Cụ thể nếu phép thử G đợc lặp lại K
lần mà biến cố A xuất hiện k lần thì tần suất của A là
f(A) =
K
k

Béc-nu-ly đã chứng minh rằng với mọi số
> 0 nhỏ tùy ý ta đều có:
Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
20

1=<

))A(P)A(f(P
lim
K

Điều này có nghĩa là khi K tăng vô hạn thì hầu nh chắc chắn f(A) sẽ nhận giá trị rất gần
với P(A). Vì thế nếu K khá lớn thì ta có thể coi
f(A)
P(A)
Nh vậy cách xác định xác suất theo quan điểm thống kê này mang tính chất thực
nghiệm. Mặt khác muốn xác định P(A) một cách tơng đối chính xác ta phải lặp lại một
số lớn lần phép thử. Điều này đòi hỏi nhiều công sức và đôi khi không thực hiện đợc,
chẳng hạn nh khi phép thử đòi phải phá huỷ các đơn vị đợc điều tra (thí dụ nh khi ta
muốn xác định tỷ lệ p các hộp hỏng của một kho đồ hộp).
Sau đây là một thí dụ về cách xác định xác suất thông qua tần suất.
Để xác định xác suất sinh con gái, ta có thể căn cứ vào số liệu thống kê của Thụy Điển
vào năm 1935 mà nhà toán học H. Cramer đã cung cấp nh sau:
Tháng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Cả năm
Tổng số
sinh
7280 6957 7883 7884 7892 7609 7585 7393 7203 6903 6552 7132 88.273
Số con trai

3743 3550 4017 4173 4117 3944 3964 3797 3712 3512 3392 3761 45.682
Số con gái 3537 3407 3866 3711 3775 3665 3621 3596 3491 3391 3160 3371 42.591
Tần suất
sinh con gái
0,486 0,489 0,490 0,471 0,478 0,482 0,462 0,484 0,485 0,491 0,482 0,473
0,4825

Ta thấy tần suất sinh con gái dao động quanh giá trị 0,482. Vậy nếu gọi A là biến cố
sinh con gái thì ta có thể coi P(A)
0,482.
Tất nhiên, đối với hiện tợng này, chúng ta không thể áp dụng định nghĩa cổ điển
đợc vì việc sinh con trai và con gái không phải là hai trờng hợp đồng khả năng. Nói
cách khác, xác suất để một bà mẹ sinh con gái không thể là
2
1
.
Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
21
Để thấy rõ điều này, chúng ta tham khảo thêm một số kết quả nghiên cứu của các nhà
toán học khác. Chẳng hạn, nghiên cứu tình hình sinh đẻ ở Pháp, Darmois đã thu đợc các
số liệu sau :
Năm
1806 1816 1836 1856 1913 1920 1928
Tần suất sinh gái
0,485 0,484 0,485 0,487 0,488 0,489 0,489
Rõ ràng không có tần suất nào đạt tới giá trị 0,5 cả.
Thống kê tình hình sinh đẻ ở các thành phố Luân-đôn, Pê-téc-bua và Béc-lin trong suốt 10
năm, Laplace cũng đã thấy tần suất các cháu gái ra đời là
43
21
.
Theo thống kê dân số của tỉnh Bu-e-nốt-ai-rét, một tỉnh gồm ngời Tây-ban-nha,
ngời
ý và ngời ác-hen-tin-na thì trong khoảng từ 1896 tới 1905, tần suất của cháu gái

ra đời trong các năm đều nằm trong khoảng từ 0,497 tới 0,484.
Rõ ràng các kết quả thu đợc đều phù hợp với nhau.


3. Định nghĩa hình học về xác suất
Nếu nh tập hợp các biến cố sơ cấp là một tập hợp trong không gian Ơ-clit và có
độ đo hình học hữu hạn (chiều dài, diện tích, thể tích) thì với A



ta có:
P(A) =
miềncủaođộĐ
AmiềncủaođộĐ
=
)(mes
)A(mes


Cách xác định xác suất nh vừa nêu gọi là cách xác định xác suất theo quan điểm hình
học.
Thí dụ 2: Giả sử phép thử G là lấy ngẫu nhiên một điểm trong đoạn [0, 1[.
Nh vậy

là tập hợp các điểm của [0,1[, còn - đại số các biến cố A là tập hợp các đoạn
[a, b[
[0, 1[. Khi đó A = [a, b[ là biến cố điểm đợc lấy rơi vào đoạn [a,b[.
Ta xác định độ đo xác suất P trên không gian đo ( ,
A) này nh sau:
P(A)=P([a,b[)=b-a

Khi đó tất cả các tiên đề của Can-mô-gô-rốp đều đợc thoả mãn.
Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
22
Thật vậy:
(P1): P(A)
0 Vì b - a chính là độ dài của [a,b[.
(P2): P( )=1 vì P( ) = P([0,1[) = 1.
(P3): Với các đoạn [a
i
,b
i
[ không giao nhau sao cho
[b,a[
n
1=i
ii

[0,1[ thì P( [b,a[
n
1=i
ii

)=

=

n
i
ii

ab
1
)( =

=
n
i
ii
baP
1
[),([
Ghi chú
Nếu b trùng với a thì biến cố A=[a,b[ sẽ là biến cố lấy đợc điểm cách 0 một
đoạn đúng bằng a. Khi đó P(A) = a a = 0, nhng A không hẳn là biến cố không thể có.
Tuy nhiên trong thực tế điều này rất hiếm xảy ra trong một phép thử (xem nguyên lý xác
suất nhỏ).
Thí dụ sau đây cho thấy phần nào tác dụng của cách xác định xác suất theo quan điểm
hình học.
Thí dụ 3: (Bài toán Buffon)
Kẻ trên mặt phẳng các đờng thẳng song song và cách đều nhau một khoảng có độ dài
là 2a. Tung ngẫu nhiên một chiếc kim có độ dài 2l (l < a) lên mặt phẳng. Tính xác suất để
chiếc kim cắt một đờng thẳng nào đó.
Bài giải
Trớc tiên ta hiểu tính chất: ngẫu nhiên của phép thử ở đây là
a. Tâm của chiếc kim sẽ rơi một cách ngẫu nhiên vào các điểm của các đoạn thẳng có
độ dài 2a và vuông góc với các đoạn thẳng đã vẽ.
b. Xác suất để góc tạo bởi chiếc kim và các đờng thẳng đã vẽ nằm trong khoảng
(
1
,

1
+) sẽ tỷ lệ với .
c. Nếu gọi x là khoảng cách từ tâm chiếc kim tới đờng song song gần nhất thì x và
độc lập với nhau.
Ta thấy x và xác định đợc hoàn toàn vị trí của kim. Vì vậy các vị trí này sẽ là các
điểm của hình chữ nhật có cạnh là a và , còn điều kiện cần và đủ để chiếc kim cắt một
đờng song song là
Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
23
0
x lsin
Đây là tập hợp các điểm nằm trong miền có gạch trong hình 1.8
x
x a
2l x=lsin
2a

0
Hình 1.8
Nếu gọi A là biến cố kim sẽ cắt một đờng thẳng thì theo cách xác định bằng hình học
ta có :
P(A)=
nhậtữch nhì htích diện
chạgmiềntíchdiện
=

sin
0
a

dl




= -



a
cosl
0
=
.a
l2

Ghi chú: Nếu ký hiệu P(A) là p thì từ kết quả này ta suy ra:

=
p.a
l2

Với l và a xác định khi tung n lần (với điều kiện n khá lớn) mà có m lần kim cắt đờng
thẳng thì theo định nghĩa thống kê về xác suất ta có thể lấy p

n
m
và do đó:

am
ln2

Từ đó ta có thể xác định giá trị xấp xỉ của bằng thực nghiệm. Chẳng hạn năm 1850
Wolf đã tung 5000 lần và tính đợc = 3.1596; còn vào năm 1855 Smith tung 3204 lần
và tính đợc = 3.1553.
Qua bài toán trên ta thấy trong những trờng hợp nhất định, định nghĩa hình học cũng
có thể phát huy đợc tác dụng của mình

Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
24
B. X ác suất có điều kiện
I. Định nghĩa v các tính chất
1. Định nghĩa

Cho một không gian xác suất (

, A, P) và một biến cố A nào đó thuộc A với P(A) >
0. Khi đó xác suất có điều kiện của một biến cố B

A tính trong điều kiện biến cố A
xảy ra đợc ký hiệu và định nghĩa nh sau:
P(B/A) = P
A
(B) =
)A(P
)BA(P
.
Nh vậy ta đã xác định một độ đo xác suất mới mà ta có thể ký hiệu là P(

/A). Độ đo
xác suất này đợc xác định trên không gian đo (
A ; A A) trong đó:

A A = {B A; B A }
Nói cách khác, từ không gian xác suất (
, A, P) ta đã chuyển sang không gian xác suất
(
A ; A A; P(

/A)) trong đó P(

/A) đợc định nghĩa nh là tỷ số của hai xác suất
không điều kiện.
Thí dụ 1: Xét phép thử Tung hạt xúc sắc đều đặn và đồng chất và gọi A là biến cố
Đợc mặt có số chấm lớn hơn 3. Khi đó ta có:
= {
31
,,
2654
,, }
A = {
654
,,
}
Trong đó
i

là biến cố Đợc mặt i chấm (i=

6,1
)
Gọi B là biến cố Đợc mặt có số chẵn chấm. Khi đó:
B = {
2
,
4
,
6
}
Ta hãy xác định P(B/A). Nếu nh A xảy ra thì
giờ đây thu hẹp thành

A = A = {
654
,, }
Ta thấy trong không gian này có hai trờng hợp thuận lợi cho B xảy ra là
4
và
6
, vì
vậy P(B/A) =
3
2

Mặt khác ta thấy:
Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
25
P(A) = P{

654
,, }=
6
3

P(A
B) = P{
4

,
6

} =
6
2

Từ đó ta có thể nghiệm lại rằng:
P(B/A) =
)A(P
)BA(P


Nhận xét:
Độ đo xác suất mới P(

/A) cũng thoả mãn các tiên đề của Can-mô-gô-rốp, cụ
thể :
(P1) P(B/A) =
)A(p
)BA(p

0 vì P(AB) 0 và P(A) >0.
(P2) P(
/A) =
P(A)
A)(P
=
)A(P
)A(P
= 1.
(P3) P(


=
1i
i
B /A) =
)(
])[(
1
AP
ABP
i
i


=
=
)(
][

1
Ap
ABP
i
i


=

=
)(
)(
1
Ap
ABP
i
i


=
=


=
1
)(
)(
i
i
AP

ABP
=


=
1
)/(
i
i
ABP
Trong đó B
i
B
j
= với mọi i j.

2. Các tính chất
Vì P(
*
/A) cũng là một độ đo xác suất nên nó cũng có các tính chất tơng tự nh độ đo
xác suất P xác định trên ((

, A). Chẳng hạn ta xét một vài tính chất sau:
Tính chất 1: 0 P(B/A) 1 với mọi B
Chứng minh:
Vế trái của bất đẳng thức đã đợc nêu ở phần nhận xét trên.
Sở dĩ có vế phải vì A
B

A nên P(AB)

p(A), do đó
P(B/A) =
)A(P
)BA(P


1.