Dùng phương pháp Monte Carlo để giải một lớp bài toán điều khiển ngẫu nhiên tổng hợp liên quan đến quá trình điểm gắn mã và áp dụng

i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi được hoàn
thành dưới sự hướng dẫn của GS.TS. Nguyễn Quý Hỷ và PGS.TS. Tống
Đình Qu ỳ. Các kết quả được viết chung với các tác giả khác đã được sự
nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận
án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào
trước thời gian công bố.
Hà Nội, ngày 15 tháng 02 năm 2014
Tác giả của luận án
Trần Thị Ngân
ii
LỜI CẢM ƠN
Trước hết, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy
hướng dẫn, GS.TS. Nguyễn Quý Hỷ và PGS. TS. Tống Đình Quỳ. Em vô
cùng biết ơn sự giúp đỡ tận tình , quí báu mà các thầy đã dành cho em
trong suốt quá trình thực hiện luận án. Em xin chân thành cảm ơn sự giúp
đỡ, góp ý của PGS.TS Bùi Khởi Đàm, TS. Trần Cảnh. Các thầy đã dành
nhiều thời gian hướng dẫn và chỉ bảo cho em những vấn đề có liên quan
đến luận án để em có thể hoàn thiện như ngày hôm nay.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô và các cán bộ nghi ên cứu thu ộc
Viện Toán ứng dụng và tin học. Em xin cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy
cô thuộc Viện đ ào tạo sau đ ại học trường Đại học Bách Khoa H à Nội đã
tạo một môi trường làm việc hết sức thuận lợi giúp em thực h iện tốt công
việc nghiên cứ u của mình.
Em cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường đại học Công
nghệ thông tin và Truyền thông, Ban chủ nhiệm khoa Khoa học cơ bản,
đã hết sức tạo đ iều kiện về thời gian và công việc để em có thể tập trung
hoàn thành quá trình học tập, nghiên cứu của mình. Đồng thời, em xin
gửi lời cảm ơn đến các thầy cô, các đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ em
trong suốt quá trình nghiên cứu.

Em xin cảm ơn gia đình và bạn bè, người thân đã luôn là n guồn động
viên để em có thể tiếp tục học tập và nghi ên cứu. Các thành viên trong
gia đ ình luôn sẻ chia những khó khăn vất vả trong quá trình nghiên cứu
và hoàn thiện đề tài.
Em xin chân thành cảm ơn!
Mục lục
Mở đầu 1
Chương 1
Một số công cụ giải tích và ngẫu nhiên có liên quan 7
1.1 Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Phương trình vi phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3 Bất đẳng thức Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Phương pháp số giải bài toán điều khiển tối ưu . . . . . . . . 20
1.2.1 Bài toán điều khiển tối ưu suy rộng . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2 Gi ải số bài toán Mayer không có ràng buộc thông thường 22
1.2.3 Gi ải số bài toán Mayer có ràng buộc trạng thái cuối thông
thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3 Các công cụ ngẫu nhiên hỗ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.1 Mô hình hợp lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.2 Mô hình dò tìm ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Chương 2
Thuật toán Monte Carlo giải 1 loại bài toán Mayer suy
rộng không lồi 33
2.1 Đặt bài toán và các chú ý mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 N ghi ệm tựa tối ưu và sự hội tụ của nó . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Thuật toán Monte Carlo giải bài toán . . . . . . . . . . . . . 51
2.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
iii
iv

Chương 3
Giải một loại bài toán Mayer không lồi mở rộng với ràng
buộc trạng thái 67
3.1 Đặt bài toán và một số chú ý mở đầu . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Sự hội tụ của d ãy điều khiển tựa tối ưu . . . . . . . . . . . . 75
3.3 Quy trình Monte Carlo giải bài toán . . . . . . . . . . . . . . 99
3.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Chương 4
Áp dụng vào mô hình hợp lý cực đại 108
4.1 Mô hình hợp lý cực đại liên tục hóa . . . . . . . . . . . . . . 108
4.2 Mô hình hợp lý cực đại ước lượng tham hàm . . . . . . . . . . 113
4.3 Mô hình hợp lý cực đại liên tục hóa ước lượng tham số . . . . 120
4.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Kết luận chung 129
Danh mục các công trình đã công bố của luận án 130
Tài liệu tham khảo 131
Phụ lục: Phần code các chương trình chính 136
v
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
PTVP phương trình vi p hân
ĐKTƯ điều khiển tối ưu
PPMC phương pháp Monte Carlo
QHĐĐ quy hoạch đo được
DTNN dò tìm ngẫu nhiên
XXTT xấp xỉ tu yến tính
HLCĐ hợp lý cực đại
CNĐ chấp nhận được
TƯ tối ưu
vtnn vec tơ n gẫu nhiên
đlnn đại lượng ngẫu nhi ên

MPTTƯ mô phỏng tựa tối ưu
MPTT mô phỏng tuyến tính tựa tối ưu
ĐKRR điều khiển rời rạc
hcc hầu chắc chắn
hkn hầu khắp nơi
ƯL ước lượng
ƯLKC ước lượng không chệch
TSH tham số hóa
BT bậc th ang (hằng từng khúc)
mes (B) độ đo L ebesgue của tập B
CTTĐ công trình thủy điện
RRĐĐ rủi ro động đất
vi
DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ HÌNH ẢNH
Bảng 2.1: Bảng nghiệm dò tìm ngẫu nhiên thứ r = 1.000.000
Bảng 2.2: Bảng so sánh các nghiệm DTNN, tựa tối ưu , MPTTƯ và MPTT
Bảng 4.1: Bảng các giá trị U
(r)
k
:= (a
k
, d
k
), k = 0, , 4.
Bảng 4.2: Bảng tham số hàm mật độ chấn cấp từ dãy DTNN đơn giản.
Hình 4.1: Mật độ và đường đồng mức xác suất trên dải chấn cấp 4.5 - 5.0
Hình 4.2: Mật độ và đường đồng mức xác suất trên dải chấn cấp 5.0 - 5.5
Hình 4.3: Mật độ và đường đồng mức xác suất trên dải chấn cấp 5.5 - 6.0
Hình 4.4: Mật độ và đường đồng mức xác suất trên dải chấn cấp 6.0 - 6.5
Hình 4.5: Mật độ và đường đồng mức xác suất trên dải chấn cấp 6.5 - 7.0

Hình 4.6: Đồ thị hàm g(s) = g(s; u), u = u
(r)
= u
(100.000)
= 0.182
1
MỞ ĐẦU
Các bài toán điều khiển tối ưu (ĐKTƯ) dạng tất định (determi nistic op-
timal control) xuất hiện trên quốc tế đã quá nửa thế kỷ nay, gắn với tên
tuổi của Pontriagin (1959), Bellman (1957) và với nh ững mô hình ứng dụng
phong p hú trong điều khiển học của nhiều lãnh vực kỹ thuật và quản lý
kinh tế. Trong bài toán này, vào mỗi thời điểm t ∈ [t
o
, T ] ⊂ R
1
(thời gian
điều khiển) đ ối tượng được điều khiển y( t) ∈ R
n
(gọi là biến trạng thái)
liên hệ với yếu tố điều khiển u(t) ∈ R
m
(gọi là biến điều khiển) bởi 1 hệ
phương trình vi phân (PTVP) thường (h oặc đạo hàm riêng) theo ẩn hàm
y(t) (t
o
≤ t ≤ T) (gọi là hệ động lực) và biến điều khiển có thể không phụ
thuộc biến trạng thái (gọi là điều khiển theo chương trình - programme
control) hoặc phụ thuộc biến trạng thái u(t) = u

t; y(s)


(t
o
≤ s ≤ t) (gọi
là điều khiển tổng hợp - synthetic, feedback control). Ngoài ra, biến điều
khiển u(t) (t
o
≤ t ≤ T) còn cần phải thỏa mãn một số điều kiện ràng buộc
nào đó, để nó trở thành điều khiển chấp nhận được (CNĐ). Việc giải bài
toán ĐKTƯ nói trên đồng nghĩa với việc lựa chọn trong số các điều khiển
CNĐ một điều khiển tối ưu, làm cho hàm mục tiêu của bài toán đạt mức
cực đại (hoặc cực tiểu).
Do tầm quan trọng của các bài toán ĐKTƯ nói trên đối với thực tiễn
ứng dụng nên từ khi ra đời cho đến nay, việc giải số các bài toán này đã
nhận được sự quan tâm của không ít tác giả trong và ngoài nước. Đã có
nhiều phương pháp được sử dụng, tuy nh iên mỗi phương pháp chỉ giải được
một lớp bài toán nhất định. Ta có thể điểm sơ lược 1 số phương pháp tiếp
cận chính với vấn đề này n hư dưới đây.
- Phương pháp gián tiếp [21] (t r.240): Đối với các bài toán điều khiển theo
chương trình, xét bài toán điều khiển lồi, trong đó hàm mục tiêu có dạng
Bolza, hệ động lực có dạng tuyến tính, tập hợp các điều khiển CNĐ không
phụ thuộc thời gian và là một tập hợp lồi, đóng. Cơ sở của phương pháp
gián tiếp dùng để giải bài toán n ày là nguyên lý cực đại Pontryagin (dưới
2
dạng điều kiện cần và đủ của ĐKTƯ [21] (240-258)), dùng để chuyển bài
toán ĐKTƯ thành các bài toán cực đại trung gian. Liên quan đến việc
giải số các bài toán cực đại n ày là bài toán giá trị biên 2 điểm. Các kỹ
thuật Neuton - Raphson (Quasilinearization technique [21] tr.188-189) và
bắn (Shooting method [ 21] tr.187-188) của giải tich số có thể thực hiện
điều trên một cách gần đ úng. Nhằm hữu hạn hóa số (không đếm được)

các bài toán cực đại cần giải trong nguyên lý Pontryagin, ta có thể chọn
biến điều khiển thuộc lớp h àm bậc thang (hoặc tuyến tính từng khúc) trên
[t
o
, T ] với lưu ý rằng: Do hàm mục tiêu trong các bài toán cực đại là hàm
lõm (theo u) trên miền lồi, nên ta có thể sử dụng công cụ của quy hoạch
lồi (xem, chẳng hạn [40]) để giải bằng số các bài toán đặt ra.
Khi vượt ra ngoài khuôn khổ của những bài toán điều khiển lồi nói trên,
nguyên lý Pontryagin (trong dạng điều kiện cần của điều khiển "tối ưu")
cũng đã được phát biểu ([21] tr.231-232) cho bài toán điều khiển không có
tính lồi và không có điều kiện ràng buộc, với hàm mục tiêu có dạng Mayer
và biến điều khiển thuộc lớp những hàm liên tục từng khúc. Tuy nhiên,
do bài toán điều khiển (theo chương trình) này không có tính lồi và do
nguyên lý cực đại nói trên chỉ là điều kiện cần, nên khái niệm "tối ưu"
trong trường hợp này chỉ được hiểu theo nghĩa địa phương (không phải là
tối ưu toàn cục). Ngoài ra, do bài toán cực đại trong nguyên lý Pontryagin
nói chung không có dạng của bài toán quy hoạch lồi nên phải dùng phương
pháp Monte Carlo [13] (tr.271-309) để giải nó.
- Phương pháp ẩn : Phương ph áp này thường sử dụng cho bài toán điều
khiển tổng h ợp Mayer có biến trạng thái hoặc điều khiển là bình phương
khả tích và có điều kiện ràng buộc đối với biến trạn g thái. Cơ sở của phương
pháp ẩn dùng để giải bài toán này là nguyên l ý quy hoạch động Bellman
[29] (Mục IV.3), mà liên quan đến việc thiết lập các bài toán cực đại trong
nguyên lý này ta cần giải phư ơng trình quy hoạch động (trong dạng phương
trình đạo hàm riêng đối với ẩn hàm Bellman. Larson (1968) và L amarechal
(1972) đã dùng phương pháp lưới (sai phân) [21] (tr.184-185) để giải quyết
3
vấn đề này nhưng cũng gập nhiều khó khăn, khi phải nội suy kết quả tính
toán trên lưới nhất là khi số chiều n lớn; thậm chí có khó khăn không khắc
phục được như trường hợp n ≥ 4. Michailevich và Shor đã tránh được

phần nào khó khăn nói trên bằng cách sử dụng phương pháp chổi Kiev
[1] (tr.97-104). Nhưng phương pháp này cũng có nhược điểm bởi tính địa
phương của những điều khiển "tối ưu" mà nó thu được và cũ ng bị hạn chế
về số chiều n của biến trạng thái, khi sử dụng các phương pháp này trên
các máy tính tuần tự (do sử dụn g nhiều bộ nhớ cùng thời gian tính toán ).
- Phương pháp trực tiếp : Khác với các phư ơng pháp ẩn và gián tiếp (chuyển
bài toán điều khiển về các bài toán cực đại và giải các bài này), trong các
phương pháp trực tiếp ta có thể dùng cách tiếp cận giải tích hàm hoặc
tham số hóa (TSH) hàm điều kh iển để giải trực ti ếp bài toán ĐKTƯ.
+ Đối với cách tiếp cận giải tích h àm [21] (tr.193-195), người ta thường
xét bài toán Mayer với hàm mục tiêu là một phiếm hàm xác định trên
không gian hàm U nào đó của các hàm điều khiển, thông qua biến trạng
thái vào thời điểm cuối T. Trên cơ sở này, thiết lập bài toán cực tiểu phiếm
hàm. Các công cụ của phép tính biến phân [ 29 ] (Mục I.2-I.6) hoặc của
giải tích số như: phương pháp đường dốc nhất [ 35] (Mục XV.4), gradient
[21] (tr.192-195) đã được sử dụng để giải các bài toán cực tiểu ph iếm hàm
đã thiết lập. Đương nhiên là cách tiếp cận này không có điều kiện xét tới
những ràng buộc trạng thái và ràng buộc hỗn hợp giữa biến trạng thái và
điều khiển, cũng không xét tới bài toán điều khiển tổng hợp.
+ Đối với cách tiếp cận của phương pháp TSH hàm điều khiển, tuy ta
có thể xét bài toán điều khiển theo chương trình với những điều kiện ràng
buộc hỗn hợp nói trên trong bài toán điều khiển, nhưng cần chỉ ra rằng
hàm điều khiển có thể TSH bởi các tham số để cho số không đếm đư ợc
những điều kiện ràng buộc (phụ thuộc thời gian) được thay bằng một số
hữu hạn các ràng buộc theo các tham số. Khi đó ta có thể chuyển bài toán
trên về bài toán điều khiển theo tham số. Trong những năm gần đây nhiều
tác giả trong và ngoài nước như [9], [30], [15], [17] , [10], [14], [43] thường
4
quan tâm đến cách tiếp cận này.
- Phương pháp sai phân : Khi chia thời đoạn [t

o
, T ] bởi lưới điểm cách
đều {t
n
:= t
o
+ nh}
N
n=0
với bước lưới h và thay thế đạo hàm (thường hoặc
riêng phần) trong hệ động lực của bài toán ĐKTƯ (trong mô hình liên tục)
bởi sai phân tương ứng, ta có thể rời rạc hóa hệ động lực nói trên thành
phương trình sai phân (gọi là hệ động lực rời rạc) và rời rạc hóa bài toán
ĐKTƯ thành mô hình ĐKTƯ rời rạc ứng với bài toán ĐKTƯ ban đầu.
Trong những điều kiện nhất định về hàm mục tiêu và hệ động lực của bài
toán Mayer (có hoặc không có ràng buộc trạng th ái), người ta đã chỉ ra [27]
(tr.12-33) sự hội tụ (theo mục tiêu) của hàm điều khiển hằng từng khúc
(còn gọi là điều khiển bậc thang (BT)) lập từ lời giải bài toán rời rạc về lời
giải của bài toán ĐKTƯ (liên tục) tương ứng. Khi đó, nếu bài toán ĐKTƯ
có tính lồi thì bài toán rời rạc tương ứng là 1 bài toán quy hoạch lồi và ta
có thể dùng các phương pháp sai phân trực tiếp, như gradien, hướng có thể,
Errou - Gurvitz [27] (tr.83-90) của quy hoạch phi tuyến để giải bài toán
điều khiển rời rạc này. Ta cũng cũng có thể sử d ụng các phương pháp của
quy hoạch n gẫu nhiên nh ư: phạt ngẫu nhiên [26](tr.212-214), tựa gradient
ngẫu nhiên [26] (tr.101-104) để giải nó. Ngoài ra, người ta còn dùng các
phương pháp sai phân gián tiếp để giải bài toán trên dựa vào ngu yên lý cực
đại rời rạc [27] (tr.61-83).
- Phương pháp Mont e Carlo (PPM C) :
+ Trong các bài toán ĐKTƯ có tính lồi, phương ph áp TSH hàm điều khiển
đã được sử dụng kết hợp với việc mô phỏng nghiệm của hệ động lực (tuyến

tính) ngẫu nhiên hóa để chuyển nó về một bài toán cực tiểu phiếm hàm
[31] hoặc quy hoạch ngẫu nhiên lồi [6] (tr.33-57) và dùng phư ơng pháp xấp
xỷ ngẫu nhiên để giải nó.
+ Trong các bài toán điều khiển rời rạc, phương pháp PPMC được xem
là một loại phương pháp sai phân trực tiếp dùng để giải các bài toán qu y
hoạch đo được (không có tính lồi) [6], [5], [2] hoặc ngẫu nhiên hóa các bài
toán này [9] để sử dụng các mô hình dò tìm ngẫu nhiên. Cũng có thể xem
5
PPMC là một loại phương pháp sai phân gi án tiếp, dùng để thiết lập các
nguyên lý cực đại rời rạc mô phỏng [4] và đưa về việc sử dụng các mô hình
dò tìm ngẫu nh iên.
+ Không chỉ các bài toán ĐKTƯ rời rạc nói trên, PPCM còn được sử dụ ng
trong các phương pháp trực tiếp để giải 1 số bài toán ĐKTƯ bằng phương
pháp gradient [31], phương pháp xấp xỷ ngẫu nhi ên [16 ], [30], phương pháp
bắn ngẫu nhiên Markov [17], phương pháp dò tìm ngẫu nhiên hỗn hợp [6]
(tr.122-145), phương pháp chiếu gradient ngẫu nhiên [6] (tr.73-95). Trong
trường hợp bài toán ĐKTƯ (có tính lồi) đư ợc giải bằng phương pháp gián
tiếp, PPMC cũng đã được sử dụng để mô phỏng nghi ệm của hệ động lực
ngẫu nhiên [7] (tr.114-119) hoặc của bài toán biên 2 điểm [8] (320-334).
Bản luận án này nhằm mục đí ch mở rộng phạm vi ứng dụng của PPMC
vào việc giải số 2 lớp mới trong số các bài t oán ĐKTƯ (dạng Mayer) không
có tính lồi và không (hoặc có) điều kiện ràng buộc trạng thái cuối, trong đó
hệ động lự c gồm cả phương trình vi phân thường lẫn đạo hàm riêng (với
đạo hàm hiểu theo nghĩa t hông thường hoặc suy rộng).
Hai lớp bài toán trên đây có nguồn gốc từ việc giải quyết 1 chủ đề ƯD
toán học của Semina Các phương pháp ngẫu nhiên & giải tích số (thuộc
Hội ƯD Toán học VN) về việc mô phỏng các trận động đất trên vùn g Tây
Bắc bộ, để giải bài toán Giảm thiểu độ rủi ro động đất cho Công trình
Thủy điện (CTTĐ) Sơn La [12] (tr.37-45). Cấu trúc củ a luận án bao gồm:
Chương 1 : Giới thiệu một số công cụ được sử dụng trong luận án, trong

đó: Phương trình vi phân với đạo hàm suy rộng và mô hình hợp lý cực đại
dùng để đặt bài toán ĐKTƯ từ 1 thực tế ứng dụng, các phương pháp số
trong ĐKTƯ và mô hình dò tìm n gẫu nhiên dùng để giải bài toán.
Chương 2 : Thiết lập mô hình rời rạc của bài toán Mayer không có tí nh lồi,
trong ngữ cảnh hệ động lực là PTVP (th ường và đạo hàm riêng) với đạo
hàm suy rộng và các giả thiết về tính Lipschitz theo tất cả các biến (trạng
thái, điều khiển và thời gian) củ a hàm ở vế phải và hàm mục tiêu. Đồng
thời chỉ ra sự hội tụ (theo mục tiêu) của điều kh iển BT lập từ ĐKTƯ
6
trong bài toán rời rạc về ĐKTƯ trong bài toán liên tụ c. Phương pháp
Monte Carlo được sử dụng để giải số bài toán rời rạc nói trên và để thiết
lập điều khiển ngẫu nhiên BT hội tụ hầu chắc chắn (hcc) theo mục tiêu về
ĐKTƯ của bài toán Mayer nói trên.
Chương 3 : Thiết lập mô hình rời rạc củ a bài toán Mayer kh ông lồi có
ràng buộc trạng thái, trong đó hệ động lực là PTVP (thường và đạo hàm
riêng) với đạo hàm thông thường và các giả thiết về tính Lipschitz theo
biến trạng thái, liên tục theo biến điều khiển và Lebesgue-khả tích theo
biến thời gian của hàm ở vế phải và hàm mục tiêu. Đồng thời chỉ ra sự hội
tụ (theo mục tiêu) củ a điều khiển BT lập từ ĐKTƯ trong bài toán rời rạc
về ĐKTƯ trong bài toán liên tục. Phương pháp Monte Carlo cũng được
sử dụng để giải số bài toán rời rạc nói trên và để thiết lập điều khiển ngẫu
nhiên BT hội tu hcc theo mục tiêu về ĐKTƯ của bài toán Mayer có ràng
buộc trạng thái nói trên.
Chương 4 : Mở rộng mô hình hợp lý cực đại (HLCĐ) kinh đ iển về ước
lượng (ƯL) tham số thành Mô hình HLCĐ liên tục hóa ƯL tham hàm và
Mô hình HLCĐ liên tục hóa ƯL tham số (trong dạng bài toán ở Chương
2 và 3), để dùng kết quả 2 chương này vào việc giải số bài toán UL tham
hàm trong mật độ xác suất có điều kiện của chấn tâm động đ ất và bài toán
UL tham số trong mật độ xác suất của biên độ chấn cấp động đất. Các
kết quả tính toán đều gắn với các số l iệu thực trên vù ng Tây Bắc Bộ nước

ta và có thể dùng đ ể mô phỏng các trận động đất trên vù ng này, phục vụ
việc giải bài toán giảm thiểu độ rủi ro động đất cho CTTĐ Sơn La.
Các nội dung trên đã được công bố trong các bài báo [2], [3], [4] của
Tác giả luận án cùng người hướng d ẫn và bài báo [1] của Tác giả cùng
các đồng nghi ệp. Một số phần trong đó có trong các b áo cáo khoa học tại
Hội nghị chuyên ngành quốc gia năm 2010, 2013 và báo cáo tại Hội nghị
chuyên ngành quốc tế năm 2013; Đồng thời được báo cáo tại seminar Các
phương pháp ngẫu nhiên & giải tích số (của Hội Ứng dụng Toán học VN)
và seminar của Viện Toán ứng dụng & Tin học (trường ĐHBK HN).
Chương 1
Một số công cụ giải tích và ngẫu
nhiên có liên quan
1.1 Phương trình vi phân
1.1.1 Phương trình vi phân thường
Xét hàm véc tơ (n-chiều) f(t) =

f
1
(t), ··· , f
n
(t)

∈ R
n
của 1 biến số
t ∈ [a, b] ⊂ R
1
và ký hiệu :
C(a, b) :=


f : [a, b] → R
n
: f
C
:= max
a≤t≤b

f(t)

< ∞

, (1.1.1)
C
k
(a, b) :=

f : [a, b] → R
n
: f
C
k
:=
= max
a≤t≤b

f(t), f
(1)
(t), ··· ,  f
(k)
(t)


< ∞

, (1.1.2)
L
1
(a, b) :=

f : [a, b] → R
n
: f
L
1
:=
b

a
f(t)dt < ∞

(1.1.3)
lần lượt l à B-không gian (không gian Banach ) của những hàm véc tơ có
các thành phần liên tục, khả vi liên tục đến cấp k [45] và Lebesgue khả
tích (L-khả tích) [24] (Định lý III. 6) trên [a, b], trong đó:
f(t) :=

n

i=1
f
2

i
(t)

1
2
, f
(k)
(t) :=

n

i=1
(f
(k)
i
)
2
(t)

1
2
. (1.1.4)
7
8
Từ giải tích cơ sở, ta biết rằng: Nếu f, F : [t
o
, T ] → R
1
là những hàm số,
với f ∈ C(t

o
, T ), F ∈ C
1
(t
o
, T ) và các tích phân hiểu theo nghĩa Rieman,
thì ta có công thức khôi phục hàm số từ nguyên hàm và Neuton-Leibnitz :
d
dt
t

t
o
f(x)dx = f(t) (∀t ∈ [t
o
, T ]), (1.1.5)
t

t
o
˙
F (x)dx = F (t) −F (t
o
) (∀t ∈ [t
o
, T ]). (1.1.6)
Để mở rộng công thức (1.1.5) cho hàm vec tơ f( t) =

f
1

(t), ··· , f
n
(t)

với
tích phân hiểu theo nghĩa Lebesgue [11] (tr.168-174), ta có thể mở rộng
những kết quả trong [36] (Định lý VI.3.1) ra trường hợp n-chiều, dưới dạng:
Định lý 1 .1 .1 Nếu hàm véc tơ f = (f
1
, ··· , f
n
) ∈ L
1
(t
o
, T ) thì ∀t ∈ [t
o
, T ]
hầu khắp nơi (hkn) ta có:
d
dt
t

t
o
f(x)dx = f(t) ⇔
d
dt
t


t
o
f
i
(x)dx = f
i
(t) (∀i = 1 ÷ n). (1.1.7)
Nhằm mở rộng công thức (1.1.6) một cách tương tự, trước hết ta mở rộng
ra trường hợp n-chiều khái niệm "hàm số tuyệt đối liên tụ c" trong [36]
(Định nghĩa VI.3.1), để thu được:
Định nghĩa 1.1.1 Hàm véc tơ f : [t
o
, T ] → R
n
gọi là tuyệt đối liên tụ c
trên [t
o
, T ], nếu ∀ε > 0, ∃ δ = δ(ε) > 0, sao cho đối với mọi hệ

(a
k
, b
k
)

K
k=1
hữu hạn khoảng:
(a
k

, b
k
) ⊂ [t
o
, T ] (∀k = 1 ÷ K), (a
k
, b
k
) ∩(a
i
, b
i
) = ∅ ( k = i), (1.1.8)
ta có :
K

k=1
f(b
k
) −f(a
k
) < ε (Khi
K

k=1
(b
k
− a
k
) < δ). (1.1.9)

Đặc biệt, nếu f : [t
o
, T ] → R
1
thì công thức (1.1.9) trở thành :
K

k=1
|f(b
k
) −f(a
k
)| < ε (Khi
K

k=1
(b
k
− a
k
) < δ), (1.1.9*)
9
gắn với khái niệm hàm số f(t) tuyệt đối liên tục [36] (Định nghĩa VI.3.1).
Chú ý 1.1 .1 Hàm véc tơ f(t) =

f
1
(t), ··· , f
n
(t)


là tuyệt đối liên tục
trên [t
o
, T ] nếu và chỉ nếu mọi thành phần f
i
(t) (i = 1 ÷n) là những hàm
số t uyệt đối liên tục trên [t
o
, T ]. Khi đó hàm véc tơ f(t) là liên tục đều
trên [t
o
, T ].
Trường hợp n = 1 (hàm số tuyệt đối liên tục), ta có các mệnh đề sau:
Bổ đề 1.1.1 ([36], Mục V I.4.4) Mọi hàm số f : [t
o
, T ] → R
1
liên tục tuyệt
đối đều có thể biểu diễn dưới dạng hiệu của 2 hàm đơn điệu không giảm,
liên tục tuyệt đối trên [t
o
, T ].
Bổ đề 1.1.2 ([36], Địn h lý VI.1.1) Mọi hàm số f : [t
o
, T ] → R
1
đơn điệu
đều có trên [t
o

, T ] (hkn) đạo hàm (hữu hạn):
|
˙
f(t)| < +∞ (∀t ∈ [t
o
, T ] (hkn)).
Từ Chú ý 1.1.1 và các Bổ đề 1.1.1 ÷ 1.1.2 ta có thể mở rộng ra trường
hợp n-chiều các Định lý VI.4.2 - VI.4.3 trong [36] về hàm số tuyệt đối liên
tục, dưới dạng véc tơ:
Định lý 1.1.2 Giả sử hàm véc tơ f = (f
1
, ··· , f
n
) ∈ L
1
(t
o
, T ). Khi đó
hàm véc tơ F (t) =

F
1
(t), ··· , F
n
(t) là tuyệt đối liên tục trên [t
o
, T ], nếu
nó có dạng tích phân phiếm định:
F (t) =
t


t
o
f(x)dx ⇔ F
i
(t) =
t

t
o
f
i
(x)dx (∀i = 1 ÷n). (1.1.10)
Định lý 1.1.3 Giả sử hàm véc tơ F (t) =

F
1
(t), ··· , F
n
(t) l à tuyệt đối
liên tục trên [t
o
, T ]. Khi đó sẽ tồn tại đạo hàm (hữu hạn):
˙
F (t) =

˙
F
1
(t), ··· ,

˙
F
n
(t) (∀t ∈ [t
o
, T ] (hkn))
với
˙
F ∈ L
1
(t
o
, T ) và ta có "công t hức Neuton-Leibnitz" sau :
t

t
o
˙
F (x)dx = F (t) −F (t
o
) ⇔






t
t
o

˙
F
i
(x)dx = F
i
(t) −F
i
(t
o
)
(∀i = 1 ÷n).
(1.1.11)
10
Bây giờ ta xét Bài toán Cauchy trên [t
o
, T ] trong R
n
:
˙y(t) = g

t, y(t)

∈ R
n
(t
o
< t ≤ T), (1.1.12)
y(t
o
) = y

o
:= ( y
o1
, ··· , y
on
) ∈ R
n
, (1.1.13)
trong đó (1.1.12) là hệ n phương trình vi phân (gọi là phương trình vi phân
(thường) trong R
n
) với ẩn hàm y(t) =

y
1
(t), ··· , y
n
(t)

(t ∈ [t
o
, T ]) có
đạo hàm ˙y(t) =

˙y
1
(t), ··· , ˙y
n
(t)


thông thường và hàm đã cho g(t, y) =

g
1
(t, y), ··· , g
n
(t, y)

, xác định với mọi (t, y) ∈ [t
o
, T ] ×R
n
; Còn (1.1.13)
là điều kiện đầu, xác định bởi véc tơ y
o
:= ( y
o1
, ··· , y
on
) ∈ R
n
(đã cho).
Liên quan đến sự tồn tại duy nhất lời giải của bài toán Cauchy (còn gọi
là nghiệm của phương trình vi phân) (1.1.12)-(1.1.13), người ta thường đưa
ra 1 loại điều kiện đủ (gọi là điều kiện Lipschitz) dưới đây:
g(t, y

) −g(t, y”) ≤ Ly

−y” (∀t ∈ [t

o
, T ], y

, y” ∈ R
n
), (1.1.14)
trong đó hằng số L>0 gọi là hằng số Lipschitz toàn cục, theo n ghĩ a gắn với
mọi y

, y” ∈ R
n
. Khi đó, ta có:
Định lý 1.1.4 ([45], Mục 13.35). Nếu hàm véc tơ g(t, y) ∈ R
n
liên
tục ∀(t, y) ∈ [t
o
, T ] × R
n
và nếu hàm này thỏa mãn điều kiện Lipschitz
(1.1.14) thì phư ơng trình vi phân (1.1.12)-(1.1.13) có nghiệm duy nhất
y(t) ∈ R
n
(t
o
≤ t ≤ T), khả vi trên [t
o
, T ].
Để nghiên cứu phương trình vi phân (1.1.12)-(1.1.13) thông qua phương
trình tích phân, người ta thường dùng phương pháp chuyển nó về phương

trình tí ch phân Voltera tương ứng (gọi là phương pháp t ích phân phương
trình vi phân), nêu trong mệnh đề sau:
Định lý 1.1.5 Nếu hàm hợp véc tơ g( t) := g

t, y(t)

là L-khả tích theo
t ∈ [t
o
, T ]:
g( ·) := g

·, y(·)

∈ L
1
(t
o
, T ), (1.1.15)
thì mọi nghiệm của phương trình tích phân:
y(t) = y
o
+
t

t
o
g

x, y(x)


dx (∀t ∈ [t
o
, T ]). (1.1.16)
11
đều là nghiệm của phương trình vi phân (1.1.12)-(1.1.13), trong đó đẳng
thức (1.1.12) đúng với mọi t ∈ (t
o
, T ] (hkn). Ngoài ra, nếu phương trình
này có nghiệm khả vi duy nhất trên [t
o
, T ] thì phương trình tích phân
(1.1.16) tương ứn g cũng có duy nhất nghiệm.
Chứng minh. Giả sử y( t) ∈ R
n
(t ∈ [t
o
, T ]) là nghiệm của phương trình
(1.1.16). Khi đó từ giả thi ết (1.1.15) và biểu diễn dưới dạng tích phân phiếm
định của nghiệm này trong (1.1.16), ta có thể sử dụng Địn h lý 1.1.2 để thu
được tính liên tục tuyệt đối của hàm véc tơ y(t) trên [t
o
, T ] và do đó, từ
Định lý 1. 1.3 suy ra sự tồn tại hữu hạn đạo hàm ˙y(t) (∀t ∈ [t
o
, T ] (hkn)).
Trên cơ sở này, khi lấy đạo hàm 2 vế của (1.1.16) ta có:
˙y(t) =
d
dt

t

t
o
g

x, y(x)

dx ( ∀t ∈ [t
o
, T ] (hkn)).
Khi đó, từ giả thiết (1.1.15) và Định lý 1.1.1 ta suy ra:
˙y(t) =
d
dt
t

t
o
g

x, y(x)

dx = g

t, y(t) (∀t ∈ [t
o
, T ] (hkn)). (1.1.17)
Mặt khác, từ (1.1.16) ta còn suy ra y(t
o

) = y
o
. Kết hợp điều này với (1.1. 17)
ta thấy rằng: Nghiệm y(t) (t ∈ [t
o
, T ]) nói trên của phương trình tích phân
(1.1.16) cũng là nghiệm của phương trình vi phân (1.1.12)-(1.1.13).
Ngoài ra, nếu phương trình (1.1. 16) có 2 nghiệm phân biệt thì 2 nghiệm
này cũng là các nghiệm phân biệt của phương trình (1.1.12)-(1.1.13). Điều
này chỉ ra tính duy nhất nghiệm của phư ơng trình (1.1. 16), khi phương
trình (1.1.12)-(1.1.13) có nghiệm duy nhất.
1.1.2 Phương trình vi phân suy rộng
Để xét phương pháp tích phân phương trình vi phân với đạo hàm hiểu
theo nghĩa suy rộng (distribution), trước hết ta xét các khái ni ệm liên quan
đến "hàm suy rộng" dưới đây.
12
Cho khoảng đóng [a, b] ⊂ R
1
và hàm số khả vi vô hạn ϕ ∈ C
∞
(a, b) trên
[a,b], nghĩa là ϕ ∈ C
k
(a, b) (∀k ≥ 1) (ϕ có đạo hàm liên tục ở mọi cấp).
Một khoảng đóng [α, β] ⊂ (a, b) được gọi là giá (support) compac trên [a,b]
của ϕ ∈ C
∞
(a, b), nếu:
ϕ
(k)

(t) ≡ 0 (∀k ≥ 0, t ∈ [a, b] \ [α, β]), với : ϕ
(o)
(t) := ϕ(t), (1.1.18)
và ký hiệu : [α, β] := supp ϕ.
Định nghĩa 1.1.2 Lớp các hàm khả vi vô hạn có giá compac nói trên:
D(a, b) :=

ϕ ∈ C
∞
(a, b) : supp ϕ = ∅

(1.1.19)
gọi là không gian cơ sở trên (a,b). Mỗi hàm (số) ϕ ∈ D(a, b) gọi là một
hàm cơ sở.
Trong không gian cơ sở D(a, b), ta đưa vào phép cộng (2 ph ần tử) và phép
nhân (phần tử với 1 số), dưới dạng thông thường:
ϕ
D(a,b)
:=
ϕ
1
+ ϕ
2
(∀ϕ
1
, ϕ
1
∈ D(a, b))
⇒ ϕ(t) := ϕ
1

(t) + ϕ
2
(t) (∀t ∈ (a, b)),
(λϕ)
D(a,b)
:=
λ.ϕ (∀ϕ ∈ D(a, b), λ ∈ R
1
)
⇒ (λϕ)(t) := λ.ϕ(t) (∀t ∈ (a, b)).
Khi đó, D(a, b) trở thành 1 không gian tuyến tính. Tuy nhiên, nó không
thể là 1 không gian tuyến tính định chuẩn
1
.
Định nghĩa 1.1.3 Dãy hàm cơ sở

ϕ
n

n≥1
⊂ D(a, b) gọi là hội tụ về hàm
cơ sở ϕ ∈ D(a, b), nếu: Tồn tại giá compac chung cho mọi hàm củ a dãy,
trên đó mọi dãy

ϕ
(k)
n
(t)

n≥1

đạo hàm cấp k (k ≥ 0) h ội tụ đều về đạo
hàm ϕ
(k)
(t) (cấp k) của ϕ(t):
∃ [α, β] ≡ supϕ
n
⊂ (a, b) (∀n ≥ 1) : lim
n→∞
ϕ
(k)
n
[α,β]
=
ϕ
(k)
(∀k ≥ 0), (1.1.20)
và ký hiệu: lim
n→∞
ϕ
n
D(a,b)
=
ϕ , hay : ϕ
n
D(a,b)
→
ϕ (n → ∞).
Định nghĩa 1.1.4 [22], [36] (IV.4.3) Một phiếm hàm Y : D(a, b) → R
1
1

Mà chỉ là 1 không gian tuyến tính đa chuẩn [36] (Mục IV.4.2)
13
được gọi là hàm suy rộng (distribution) trên (a,b), nếu nó liên tục theo
nghĩa hội tụ trong không gian cơ sở D(a, b):
lim
n→∞
ϕ
n
D(a,b)
=
ϕ ∈ D(a, b) ⇒ lim
n→∞
Y (ϕ
n
) = Y (ϕ). (1.1.21)
Một hàm suy rộng trên (a,b) được gọi là chính quy, nếu nó là 1 phiếm hàm
tuyến tí nh trên D(a, b) với biểu diễn tích phân gắn với hàm số y ∈ L
1
(a, b):
Y (ϕ) = Y
y
(ϕ) =
b

a
y(t)ϕ(t)dt = (y, ϕ) (∀ϕ ∈ D(a, b)). (1.1.22)
Hàm khả tích y : (a, b) → R
1
trong biểu diễn tích phân nói trên gọi là hàm
sinh của h àm suy rộng chính quy Y = Y

y
: D(a, b) → R
1
. Hàm suy rộng
Y : D(a, b) → R
1
được gọi là kỳ dị (phi chính quy), nếu nó không biểu
diễn được dưới dạng tích phân (1.1.22).
Để đ ơn gi ản cách trình bày, dưới đây ta chỉ xét các hàm suy rộng chính
quy và gọi tắt nó là hàm suy rộng. Khi đó, có thể mở rộng Định nghĩa 1.1.4
thành khái niệm "hàm suy rộng véc tơ", như sau:
Định nghĩa 1.1.5 Mỗi ánh xạ tuyến tính liên tục Y = ( Y
1
, ··· , Y
n
) :
D(a.b) → R
n
được gọi là một hàm suy rộng véc tơ (n-chiều) trên (a,b),
nếu mọi thành phần Y
i
: D(a.b) → R
1
(i = 1 ÷ n) đều là những hàm suy
rộng trên (a,b) và có th ể biểu diễn mỗi ánh xạ này dư ới dạng tích phân,
gắn với một hàm véc tơ y = (y
1
, ··· , y
n
) ∈ L

1
(a, b):







Y (ϕ) = Y
y
(ϕ) =

b
a
y(t)ϕ(t)dt (∀ϕ ∈ D(a, b)) ⇔
Y
i
(ϕ) = Y
y
i
(ϕ) =

b
a
y
i
(t)ϕ(t)dt = (y
i
, ϕ) (i = 1 ÷n),

(1.1.22*)
trong đó y = (y
1
, ··· , y
n
) ∈ L
1
(a, b) gọi là hàm sinh của hàm suy rộng véc
tơ Y = Y
y
.
Chú ý 1.1.2 Từ định nghĩa trên ta thấy rằng: Mỗi hàm suy rộng véc tơ
Y = Y
y
được đặc trưng bởi hàm sinh y tương ứng. Bởi vậy, việc xác định
hàm suy rộng này (theo (1.1.22*)) đưa về việc xác định hàm sinh (véc tơ)
y = (y
1
, ··· , y
n
) ∈ L
1
(a, b).
14
Định nghĩa 1.1.5* Tập hợp D
∗
(a, b) được gọi là không gian các hàm suy
rộng véc tơ trên (a,b), nếu nó là lớp các ánh xạ tuyến tính liên tục (dạng
(1.1.22*)) Y = Y
y

: D(a.b) → R
n
(∀y ∈ L
1
(a, b)) , nghĩa là:





D
∗
(a, b) :=

Y
y
: Y
y
(ϕ) =

b
a
y(t)ϕ(t)dt
(∀ϕ ∈ D(a, b) ), y ∈ L
1
(a, b)

, trong đó :
(1.1.23)
Y

y
1
D
∗
(a,b)
:=
Y
y
2
⇔ y
1
L
1
(a,b)
:=
y
2
(∀ Y
y
1
, Y
y
2
∈ D
∗
(a, b)) . (1.1.23*)
Trong không gian D
∗
(a.b) ta đưa vào phép cộng (2 hàm suy rộng) và phép
nhân (hàm suy rộng với 1 số), dưới dạng thông thường:




Y
y
1
+y
2
D
∗
(a,b)
:=
Y
y
1
+ Y
y
2
(∀Y
y
1
, Y
y
2
∈ D
∗
(a, b))
⇒ Y
y
1

+y
2
(ϕ) = Y
y
1
(ϕ) + Y
y
2
(ϕ) (∀ϕ ∈ D(a, b)),
(1.1.24)



Y
λy
D
∗
(a,b)
:=
λ.Y
y
(∀ϕ ∈ D
∗
(a, b), λ ∈ R
1
)
⇒ Y
λy
(ϕ) = λ.Y
y

(ϕ) (∀ϕ ∈ D(a, b)).
(1.1.24*)
Chú ý 1.1.3 Từ (1.1.23) ta dễ dàng nhận thấy rằng: Các phép toán đưa
ra trong (1.1.24)-(1.1.24*) có tính đóng trong không gian D
∗
(a, b) và nó
trở thành 1 không gian tuyến tính.
Không gian tuyến tính nói trên tuy không định chuẩn, nhưng ta có thể đưa
ra khái niệm "hội tụ" (phép tính giới hạn trong D
∗
(a, b)) theo nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1.6 Dãy các h àm suy rộng véc tơ

Y
n

n≥1
⊂ D
∗
(a, b) gọi
là hội tụ về hàm suy rộng véc tơ Y ∈ D
∗
(a, b), nếu:
lim
n→∞
Y
y
n
(ϕ) = Y
y

(ϕ) (∀ϕ ∈ D(a, b)), với : Y
y
n
:= Y
n
, Y
y
:= Y (1.1.25)
và ký hiệu : lim
n→∞
Y
n
D
∗
(a,b)
=
Y.
Chú ý 1.1.4 Với các khái niệm "hội tụ" (trong định nghĩa trên) và "liên
tục" (trong Định nghĩa 1.1.4), D
∗
(a, b) trở thành không gian tuyến tính
của những ánh xạ Y : D(a, b) → R
n
tuyến tính liên tục (trong dạng tích
phân (1.1.23)).
Với chú ý rằng: Nếu ϕ ∈ D(a, b) thì đạo hàm cấp 1 của nó ϕ
(1)
∈ D(a, b).
15
Bởi vậy ta có thể đưa ra khái niệm "đạo hàm" (phép tính đạo hàm trong

D
∗
(a, b)), theo nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1.7 Đối với mỗi hàm suy rộng véc tơ Y = Y
y
∈ D
∗
(a, b)
trên (a,b) có hàm sinh là y = (y
1
, ··· , y
n
) ∈ L
1
(a, b), ta gọi hàm suy
rộng véc tơ
˙
Y ≡
dY
dt
∈ D
∗
(a, b) là đạo hàm suy rộng của Y , nếu ánh xạ
˙
Y ≡
dY
dt
: D(a, b) → R
n
xác định dưới dạng:






˙
Y
y
(ϕ) ≡
dY
y
dt
(ϕ) =

˙
Y
y
1
(ϕ), ··· ,
˙
Y
y
n
(ϕ)

:=
= −Y
y
(ϕ
(1)

) = −

b
a
y(t)ϕ
(1)
(t)dt (∀ϕ ∈ D(a, b))
(1.1.26)
⇔





˙
Y
y
i
(ϕ) = −

b
a
y
i
(t)ϕ
(1)
(t)dt = −(y
i
, ϕ
(1)

)
(∀i = 1 ÷n, ϕ ∈ D(a, b)).
Chú ý 1.1.5 Từ (1.1.26) và (1.1.23) ta có:
˙
Y
y
(ϕ) = Y
(−y)
(ϕ
(1)
) =
b

a

−y( t)

ϕ
(1)
(t)dt (∀ϕ ∈ D(a, b)). (1.1.27)
Khi đó, do ϕ
(1)
∈ D(a, b) (∀ϕ ∈ D(a, b) nên
˙
Y
y
= Y
(−y)
là hàm suy rộng
véc tơ ứng với hàm sinh −y ∈ L

1
(a, b) và do đó
˙
Y
y
∈ D
∗
(a, b). Nghĩa là
phép tính đạo hàm suy rộng
˙
Y
y
của Y
y
∈ D
∗
(a, b) (trong định nghĩa trên)
có tính đóng trong không gian tuyến tính D
∗
(a, b).
Khái niệm đạo hàm suy rộng đưa ra trong định nghĩa trên còn gọi là
đạo hàm yếu, vì khi xây dựn g nó (theo (1.1.26)) ta chỉ cần tính khả tích
của hàm sinh tương ứng (y ∈ L
1
(a, b)). Điều kiện này đã giảm nhẹ điều
kiện về tính khả vi, khi xây dựng khái niệm đạo hàm thông thư ờng. Ngoài
ra nếu hàm sinh có tính khả vi liên tục thì đạo hàm suy rộng tương ứng
có mối liên hệ với đạo hàm thông thường, qua mệnh đề sau:
Bổ đề 1.1 .3 Nếu hàm suy rộng véc tơ Y
y

có hàm sinh y ∈ C
1
(a, b) thì
đạo hàm su y rộng
˙
Y
y
là 1 hàm suy rộng véc tơ có hàm sinh là ˙y ∈ C(a, b) :
˙
Y
y
(ϕ) = −
b

a
y(t)ϕ
(1)
(t)dt = Y
˙y
(ϕ)(∀ϕ ∈ D(a, b), y ∈ C
1
(a, b)) . (1.1.28)
16
Chứng minh. Nếu ϕ ∈ D(a, b) là 1 hàm cơ sở nào đó thì từ (1.1.19) ta suy
ra tính liên tục của các hàm số ϕ(t), ϕ
(1)
(t) trên [a,b]. Khi đó do các hàm
véc tơ ˙y, y ∈ C(a, b) và do ϕ(a) = ϕ(b) = 0 (xem (1.1.18)), nên từ công
thức tích phân từng phần (véc tơ) ta có:









b
a
˙y(t)ϕ(t)dt = y(t)ϕ(t)



b
a
−

b
a
y(t)ϕ
(1)
(t)dt
⇒

b
a
˙y(t)ϕ(t)dt = −

b
a

y(t)ϕ
(1)
(t)dt.
Từ công thức trên và từ định nghĩa của khái niệm hàm suy rộng véc tơ Y
˙y
∈
D
∗
(a, b) trong (1.1.23), ta có: Y
˙y
(ϕ) = −

b
a
y(t)ϕ
(1)
(t)dt (∀ϕ ∈ D(a, b)).
Kết hợp điều này với (1.1.26) ta thu được (1.1.28).
Từ Chú ý 1.1.5 ta nhận thấy đạo hàm suy rộng véc tơ
˙
Y
y
(y ∈ L
1
(a, b))
cũng là 1 hàm suy rộng véc tơ
˙
Y
y
∈ D

∗
(a, b). Bởi vậy từ Định nghĩa 1.1.5
ta có thể mở rộng một cách hình thức công th ức (1.1.28) (trong trường
hợp y ∈ C
1
(a, b)), để biểu diễn hàm suy rộng này dưới dạng:
˙
Y
y
(ϕ) = Y
˙y
(ϕ) (∀ϕ ∈ D(a, b), y ∈ L
1
(a, b)) (1.1.29)
và đưa ra khái niệm dưới đây:
Định nghĩa 1.1.8 Hàm véc tơ ˙y ≡
dy
dt
∈ L
1
(a, b) được gọi là đạo hàm yếu
(suy rộng) của hàm véc tơ y ∈ L
1
(a, b), nếu nó là h àm sinh của hàm suy
rộng cho bởi đạo h àm suy rộng
˙
Y
y
≡
dY

y
dt
∈ D
∗
(a, b) của Y
y
∈ D
∗
(a, b).
Chú ý 1.1.6 Từ (1.1.29) ta nhận thấy rằng việc xác định đạo hàm suy rộng
˙
Y
y
của hàm suy rộng Y
y
∈ D
∗
(a, b) tương đương với việc xác định đạo hàm
suy rộng ˙y của hàm y ∈ L
1
(a, b). Nghĩa là việc xét các đạo hàm suy rộng
˙
Y
y
∈ D
∗
(a, b) chuyển thành việc xét các đạo hàm suy rộng ˙y ∈ L
1
(a, b).
2

Bây giờ ta xét bài toán khôi phục hàm (hoặc hàm suy rộng) từ đạo hàm
(thường hoặc suy rộng) của nó, nghĩa là bài toán tìm hàm (thường hoặc
suy rộng) Y thỏa mãn phương trình vi phân:
˙
Y = G , trong đó G là hàm (thường hoặc suy rộng) đã cho, (1.1.30)
2
Để đơn giản, sau đây ta sẽ gọi các hàm véc tơ là hàm, các hàm suy rộng véc tơ là hàm suy rộng
17
đạo hàm
˙
Y được hi ểu theo nghĩa thông thường (hoặc suy rộng) và Y gọi
là nghiệm của phương trình vi phân (1.1.30).
- Nếu G = G(t) ∈ R
n
(a < t < b) là hàm thường và đạo hàm
˙
Y =
˙
Y (t) ∈
R
n
(a < t < b) được hiểu theo nghĩa thông thường, thì (1.1.30) có dạng:
˙
Y (t) = G(t) (a < t < b) (1.1.31)
và ta gọi nó là phương trình vi phân thường. Nghiệm Y (t) ∈ R
n
(a < t < b)
của nó gọi là nghiệm thông thường (hay cổ điển).
- Nếu G = G
g

∈ D
∗
(a, b) là hàm suy rộng và đạo hàm
˙
Y =
˙
Y
y
∈ D
∗
(a, b)
được hiểu theo nghĩa suy rộng (với y, g ∈ L
1
(a, b)), thì (1.1.30) có dạng:
˙
Y
y
D
∗
(a,b)
=
G
g
⇔
˙
Y
y
(ϕ) = G
g
(ϕ) (∀ϕ ∈ D(a, b)), (1.1.32)

và ta gọi nó là phương trình vi phân suy rộng. Nghiệm Y = Y
y
∈ D
∗
(a, b)
của nó gọi là nghiệm suy rộng.
- Nếu G = G
g
∈ D
∗
(a, b) là hàm suy rộng và đạo hàm
˙
Y =
˙
Y
y
∈ D
∗
(a, b)
được hiểu theo nghĩa suy rộng (với y, g ∈ L
1
(a, b)), thì từ Chú ý 1.1.6 ta
có thể chuyển (1.1.32) về dạng:
˙y
L
1
(a,b)
=
g ⇔ ˙y(t) = g(t) (∀t ∈ (a, b) (hkn)), (1.1.33)
và ta gọi nó là phương trình vi phân với đạo hàm yếu (hay suy rộng).

Nghiệm y ∈ L
1
(a, b) của nó cũng gọi là nghiệm yếu (hay suy rộng).
Khi xét phương trình vi phân thường (1.1.31) trên khoảng đóng [t
o
, T ] ⊂
(a, b) ta có thể thiết lập bài toán Cauchy (1.1.12)-(1.1.13) và dùng phương
pháp tích phân phư ơng trình vi phân (Định lý 1.1.5) chuyển nó về phương
trình tích phân, để giải quyết bài toán đặt ra trong Chương 3 của Luận án.
Nhằm tạo ra những công cụ tương tự giải bài toán đặt ra trong Chương 2
của Luận án, chúng tôi nhắc lại một số mệnh đề dưới đây:
Định lý 1.1.6 ([36], Định lý IV.4.1) P hương trình vi phân suy rộng:
˙
Y
y
D
∗
(a,b)
=
0 ∈ D
∗
(a, b) (1.1.34)
chỉ có nghiệm Y
y
∈ D
∗
(a, b) với hàm sinh y ∈ L
1
(a, b) là hàm hằng:
y(t) ≡ c(const) (∀t ∈ (a, b) (hkn)). (1.1.34*)

18
Định lý 1 .1 .7 ([36], Định lý IV.4.2) Với mỗi hàm suy rộng G
g
∈ D
∗
(a, b),
phương trình vi phân suy rộng (1.1.32) có nghiệm suy rộng Y
y
∈ D
∗
(a, b).
Định lý 1 .1 .8 ([25], Mục 5.9) Nếu g ∈ C(a, b) và y(t) ∈ R
n
(a < t < b) l à
nghiệm của phương trình vi phân với đạo hàm yếu (1.1.33) thì y ∈ C
1
(a, b).
Khi xét p hương trình vi phân (1.1.33) trên [t
o
, T ] ⊂ (a, b):



˙y(t) = g

t, y(t)

∈ R
n
(t

o
< t ≤ T),
y(t
o
) = y
o
:= ( y
o1
, ··· , y
on
) ∈ R
n
,
(1.1.35)
với ˙y ∈ L
1
(a, b) là đạo hàm yếu của y ∈ L
1
(a, b), ta có thể dựa vào Định lý
1.1.8 để dùng p hương pháp tích phân phương trình vi phân chuyển (1.1.35)
về phương trình tích phân tương ứng, như dưới đây:
Hệ quả 1.1.1 Nếu hàm hợp g(t) := g

t, y(t)

∈ R
n
là liên tục trên [t
o
, T ]:

g( ·) := g

·, y(·)

∈ C(t
o
, T ), (1.1.36)
thì phương trình vi phân với đạo hàm yếu (1.1.35) tư ơng đương với phương
trình t ích phân:
y(t) = y
o
+
t

t
o
g

x, y(x)

dx ∈ R
n
(∀t ∈ [t
o
, T ]). (1.1.37)
Chứng minh. Nếu y(t) ∈ R
n
(t ∈ [t
o
, T ]) là nghiệm của (1.1.35) thì từ

Định lý 1.1.8 ta suy ra y ∈ C
1
(t
o
, T ). Khi đó, do hàm ˙y(t) (t ∈ [t
o
, T ]) là
Rieman-khả tích trên [t
o
, T ]) nên từ công thức Neuton-Leibnitz (1.1.6) ta
thu được (1.1.37), với tích p hân h iểu theo nghĩa Rieman. Như ng từ tính
Rieman-khả tích của hàm liên tục g

t, y(t)

ta suy ra tín h L-khả tích của
hàm này [11] (tr.196). Do đó nghiệm y(t) ∈ R
n
(t ∈ [t
o
, T ]) nói trên cũng
là nghiệm của phương trình tích phân (1.1. 37), với tích phân hiểu theo
nghĩa Lebesgue.
Ngược lại, nếu y(t) ∈ R
n
(t ∈ [t
o
, T ]) là nghiệm của phương trình tích
phân (1.1.37) thì từ (1.1.5) ta suy ra:
˙y(t) =

d
dt
t

t
o
g

x, y(x)

dx = g

t, y(t)

(t
o
≤ t ≤ T). (1.1.38)
19
Khi đó, từ (1.1.36) ta thu được y ∈ C
1
(a, b). N goài ra, từ (1.1.37) ta còn có
y(t
o
) = y
o
. Kết hợp điều này với (1.1.38) ta suy ra n ghiệm y(t) ∈ R
n
(t ∈
[t
o

, T ]) nói trên của (1.1.37) cũng là nghiệm của phương trình vi phân
(1.1.35), trong đó d o y ∈ C
1
(a, b) nên từ (1.1.28) và Định nghĩa 1.1.8 ta
có thể xem đạo hàm thông thường ˙y(t) trong (1.1.38) như 1 dạng đặc biệt
của đạo hàm yếu trong (1.1.35).
1.1.3 Bất đẳng thức Gronwall
Khi ước lượng miền biến thiên của nghiệm y(t) ∈ R
n
phương trìn h
tích phân (1.1.37) hoặc khoảng cách y(t) −y(t

) của nghiệm này tại các
thời điểm t và t’, trong luận án chúng tôi thường sử dụng bất đẳng thức
Gronwall, cho bởi mệnh đề dưới đây:
Định lý 1.1.9 [29] (Phụ lục A). Giả sử m(t) là hàm liên tục, g(t) ≥ 0
là hàm khả tích, h(t) ≥ 0 là hàm giới nội trên [s, T], sao cho:
0 ≤ m(t) ≤ h(t) +
t

s
g( x)m( x)dx (s ≤ t ≤ T ), (1.1.39)
Khi đó ta có:
m(t) ≤ h(t) +
t

s
g( x)h(x)

e


t
x
g(y)dy

dx (s ≤ t ≤ T). (1.1.40)
Hệ quả 1.1.2 Nếu hàm liên tục m(t) (s ≤ t ≤ T ) thỏa mãn điều kiện:
0 ≤ m(t) ≤ D + C
t

s
m(x)dx (s ≤ t ≤ T ), (1.1.41)
với C, D ≥ 0 là các hằng số, thì ta có:
m(t) ≤ De
C(t−s)
(s ≤ t ≤ T ). (1.1.42)