Bai tap tinh tong day so co quy luat toan 11 co dap an

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Bài tập tính tổng dãy số có quy luật Tốn 11- Có đáp án
Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.
1. Tính tổng dãy số áp dụng phương pháp quy nạp
Bài toán: Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n  n0
Phương pháp:
Bước 1: Xét P ( n0 ) đúng
Bước 2: Giả sử P ( k ) đúng ta sẽ chứng minh P ( k + 1) đúng với mọi số tự nhiên
k  n0 thì mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n  n0

Ví dụ 1: Chứng minh rằng 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n =

n ( n + 1)
2

đúng với mọi số tự

nhiên n  1
Hướng dẫn giải

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n =

n ( n + 1)
2

(1)

Bước 1: Với n = 1 ta có: VT = VP = 1  ( 1) đúng với n = 1
Bước 2: Giả sử (1) đúng với k, k  , k  1 tức là:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + k =

k ( k + 1)
2

Ta phải chứng minh (1) đúng với k + 1 tức là:

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + k + ( k + 1) =

( k + 1) ( k + 1) + 1 ( k + 1)( k + 2 )
=
2

(2)

2

Ta có

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + k + ( k + 1) = (1 + 2 + 3 + .... + k ) + k + 1 =
k 2 + 3k + 2 ( k + 1)( k + 2 )
=
=

= ( 2 )  dpcm
2
2

k ( k + 1)
2

+ k+1

Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi n  1

Ví dụ 2: Chứng minh rằng sin x + sin 2 x + sin 3x + ... + sin nx =

sin

( n + 1) x
nx
.sin
2
2
x
sin
2

với x  k 2 , n  1
Hướng dẫn giải

x
sin .sin x
2

Với n = 1 ta có VT = sin x , VP =
= sin x = VT  (1) đúng
x
sin
2
Giả sử (1) đúng với n = k  1 tức là:

sin x + sin 2 x + sin 3x + ... + sin kx =

sin

( k + 1) x
kx
.sin
2
2
(2)
x
sin
2

Ta sẽ chứng minh (1) đúng với n = k + 1 tức là:

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

sin x + sin 2 x + sin 3x + ... + sin kx + sin ( k + 1) x =

sin

( k + 1) x .sin ( k + 2 ) x
2

2

sin

x
2

Tức là:

( k + 1) x
kx
.sin
2
2
sin x + sin 2 x + sin 3 x + ... + sin kx + sin ( k + 1) x =
+ sin ( k + 1) x
x
sin
2
( k + 1) x + sin  k + 1 x  .sin x sin kx .sin ( k + 1) x + 2 sin ( k + 1) x .cos ( k + 1) x .sin x
kx
sin .sin
)  2
(

2
2
2
2
2
2
2
=
=
x
x
sin
sin
2
2

( k + 1) x .sin x  sin ( k + 1) x .sin ( k + 2 ) x
kx
sin
+
2.cos


( k + 1) x .  2
2
2=
2
2
= sin
= VP  dpcm

x
x
2


sin
sin


2
2
sin

Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi x  k 2 , n  1
*** Bài tập rèn luyện***
Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 ta ln có:
a. 1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + n ( n + 1) =
b. 12 + 2 2 + 32 + ... + n2 =

c.

n ( n + 1)( n + 2 )
3

n ( n + 1)( 2n + 1)
6

1 2 3
n 3 2n + 3
+ 2 + 3 + ... + n = −

3 3 3
4 4.3n
3

Bài tập 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 ta có:
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 2 cos

Bài tập 3: Chứng minh đẳng thức đúng với mọi n 


2 n +1

*

n ( n + 3)
1
1
1
1
+
+
+ ... +
=
1.2.3 2.3.4 3.4.5

n ( n + 1)( n + 2 ) 4. ( n + 1)( n + 2 )

2. Tính tổng một số dãy số có quy luật đã biết
Phương pháp:
Một số công thức tổng suy ra từ phương pháp quy nạp ở trên:

n ( n + 1)

•

1 + 2 + 3 + ... + n =

•

12 + 2 2 + 32 + ... + n2 =

•

1 + 2 + 3 + ... + n =

•

15 + 2 5 + 35 + ... + n5 =

3

3

3

2

3

n ( n + 1)( 2n + 1)
6
n 2 ( n + 1)

2

4

(

2
1 2
n ( n + 1) 2 n 2 + 2 n − 1
12

)

Ví dụ 1: Tính tổng của dãy số:
a. A =

1
1
1
1
+
+

+ ... +
1.2 2.3 3.4
n ( n + 1)


1 
1
1 
1
b. B =  1 − 2  1 − 3  .  1 − 2  ...  1 − 2 
2 
3 
4   n 

Hướng dẫn giải
a. Ta có:
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

1
1
1
= −
k ( k + 1) k k + 1
A=
= 1−

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
n ( n + 1)

1 1 1
1
1
1
+ − + ... + −
= 1−
2 2 3
n n+1
n+1


1 
1
1 
1
b. B =  1 − 2  1 − 3  .  1 − 2  ...  1 − 2 
2 
3 
4   n 


Ta có: a −

1 ( a − 1)( a + 1)
=
a2
a2


1 
1
1 
1 
B =  1 − 2  1 − 3  .  1 − 2  ...  1 − 2 
2 
3 
4  
n 

1.3 2.4 3.5 ( n − 1)( n + 1) n + 1
= 2 . 2 . 2 ....
=
2n
2 3 4
n2

*** Bài tập rèn luyện ***
Bài tập 1: Tính tổng dãy số:
a. A =

b. B =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5
n ( n + 1)( n + 2 )
3

(1.2 )

2

+

5

( 2.3 )

2

+ ... +

2n + 1
 n ( n + 1) 



2

Bài tập 2: Tính tổng các dãy số:
a. C =

1
2+ 2

+

1
3 2 +2 3

+ ... +

( n + 1)

1
n +n n+1

n ( n + 1)

1 
1 
1
b. C =  1 −  1 −  .....  1 −  , an =
a1 
a2  
an 

2

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

3.Tính tổng theo cơng thức nhị thức Newton
Phương pháp: Dựa vào khai triển nhị thức Newton:

( a + b)

n

= Cn0 an + Cn1 an−1b + Cn2 .an−2 .b2 + ... + Cnn .bn

Một số công thức liên quan:
•

Cnk = Cnn− k

•

n

 a C = (1 + a )
k =0

•

n

•

 ( −1) Cnk = 0
k

k

k
n

n

Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 + ... + Cnn = 2n

k =0

•

n

n

k =0

k =0

 C22nk =  C22nk−1 =

1 n k
C
2 k =0 2 n

( −1) .C n
1
1
1
Ví dụ 1: Tính tổng của dãy: S = .Cn0 − Cn1 + Cn3 + ... +
2
4
6
2 ( n + 1) n
n

Hướng dẫn giải

( −1) .C n
1
1
1
S = .Cn0 − Cn1 + Cn3 + ... +
2
4
6
2 ( n + 1) n
n

n


−1)
(
1  0 1 1 1 3
= Cn − Cn + Cn + ... +
.Cnn 

2
2
3
n+1



Ta có:
S=

( −1)

k

k +1

.C

k
n

( −1)
=

k

n+1

.Cnk++11 nên suy ra:

n
k
k
 n +1
1
−1
1
k +1
k
0 
−
1
C
=
.
(
)

  ( −1) Cn+1 − Cn+1  =
n +1
2 ( n + 1) k = 0
2 ( n + 1)  k = 0
 2 ( n + 1)

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Ví dụ 2: Tính tổng của dãy: S = Cn1 3n−1 + 2Cn2 3n−2 + 3Cn3 .3n−3 + ... + nCnn
Hướng dẫn giải
Ta có: S = C 3
1
n

n −1

+ 2C 3
2
n

k

n− 2

+ 3C .3
3
n

n− 3

1

+ ... + nC = 3  k.C .  
k =1
3
n
n

n

n

k

k
n

k

1
 1
Do kC .   = n.   .Cnk−−11 , k  1
3
 3
n
k

k

k

k

n
n −1
1
1
1

1
 S = 3  k.C .   = 3n.n. Cnk−−11 .   = 3n−1.n. Cnk−1 .   = 3n−1.n.  1 + 
3
k =1
k =1
k =1
3
3
3

n

n

k
n

***Bài tập rèn luyện***
Bài tập 1: Tính tổng các dãy sau
a. A = ( Cn0 ) + ( Cn1 ) + ( Cn2 ) + ... + (Cnn )2
2

2

2

b. B = Cn1 3n −1 + 2Cn2 3n − 2 + 3Cn3 3n −3 + .... + nCnn
Bài tập 2: Tính tổng dãy
a. D = Cn0 .Cnk + Cn2 .Cnk−−11 + ... + CnkCn0−k ,0  k  n
b. E = Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + ... + nCnn
4. Tính tổng của cấp số cộng
 u1 = a
,n 
Cho dãy số ( un ) là cấp số cộng có dạng: 
u
=
u
+
d
n
 n +1

*

Phương pháp: Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng công sai là:

Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un =

(

n
n
u1 + un ) = 2u1 + ( n − 1) d

(
2
2

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188

)

n −1

= n.4 n−1


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

u + 3u3 − u2 = −21
Ví dụ 1: Cho cấp số cộng thỏa mãn  5
 3u7 − 2u4 = −34

Tính tổng S = u4 + u5 + .... + u30
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết bài tốn ta có:

u5 + 3u3 − u2 = −21 u1 + 4d + 3 ( u1 + 2d ) − u1 − d = −21


3
u
−

2
u
=
−
34
7
4

 3 ( u1 + 6d ) − 2 ( u1 − 3d ) = −34
 u + 3d = −7
u = 2
 1
 1
d=3
u1 + 12d = −34

S = u4 + u5 + .... + u30 =

27
 2.u + 26d  = 27. ( u1 + 16d ) = −1242
2  4

u − u3 + u5 = 10
Ví dụ 2: Cho cấp số cộng có dạng:  2
 u4 + u6 = 26

Tính tổng S = u5 + u7 + u9 + .... + u2011
Hướng dẫn giải

u2 − u3 + u5 = 10

u + d − u1 − 2d + u1 + 4d = 10
 1

u1 + 3d + u1 + 5d = 26

 u4 + u6 = 26
u + 3d = 10
u = 1
 1
 1
u1 + 4d = 13
d = 3

S = u5 + u7 + u9 + .... + u2011 =

1003
( 2u5 + 1002.6 ) = 3028057
2
***Bài tập rèn luyện***

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Bài tập 1: Cho cấp số cộng có u4 = −12, u14 = 18 . Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của
cấp số công.

1

Bài tập 2: Cho cấp số cộng biết u5 = 18, Sn = S2 n . Tìm số hạng đầu tiên và cơng
4
sai của cấp số cộng.
Bài tập 3: Cho cấp số cộng u2013 + u6 = 1000 . Tính tổng 2018 số hạng đầu tiên của
cấp số cộng đó
5. Tính tổng của cấp số nhân
 u =a
,n 
Cho dãy số ( un ) là cấp số nhân có dạng  1
u
=
u
.
q
n
 n+1

*

Phương pháp: Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân công bội q là:

qn − 1
Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un = u1 .
q −1
Ví dụ 1: Tính tổng của dãy số
a. S =

1 1 1 1
− + − + ....
2 4 8 16

b. S = 1 +

1 1
1
+
+
+ ...
5 25 125

Tải thêm tài liệu tại: Giải toán 11

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188