giáo án định nghĩa và 1 số đinh lí về giới hạn của hàm số

B.GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ.HÀM SỐ LIÊN TỤC
Bài 4: ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ.
I.Mục tiêu:
1.Về kiến thức:
- Nắm được định nghĩa giới hạn hữu hạn, vô hạn của hàm số tại một điểm và định nghĩa
giới hạn của hàm số tại vô cực.
- Nắm được một số định lí về giới hạn hữu hạn.
2.Về kỹ năng:
- Biết cách vận dụng các định nghĩa giới hạn hàm số vào việc tính một số bài tập giới hạn
hàm số đơn giản.
-Biết cách vận dụng một số định lí về giới hạn hữu hạn để tính các bài tập giới hạn hàm
số đơn giản.
3.Về tư duy:
- Biết quy lạ về quen.
- Tư duy các vấn đề của toán học một cách logic và hệ thống.
4.Về thái độ:
- Tích cực hoạt động phát biểu xây dựng bài.
II.Chuẩn bị:
1.Giáo viên: Giáo án, hệ thống câu hỏi, phiếu học tập, thước kẻ, bảng phụ.
2.Học sinh: Xem bài trước ở nhà, ôn lại kiến thức về giới hạn của dãy số.
III.Phương pháp giảng dạy:
-Sử dụng phương pháp giảng giải, gợi mở, vấn đáp, đan xen với các hoạt động điều khiển
tư duy.
IV.Tiến trình tiết dạy:
1.Ổn định lớp.
2.Ôn lại kiến thức bài cũ: Kết hợp trong quá trình giảng dạy.
3.Bài mới:
Hoạt động 1: Giới hạn của hàm số tại một điểm
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung ghi bảng
Xét bài toán trong SGK
trang 145

+ Gọi HS trả lời yêu cầu
bài toán.
+Nhận xét và củng cố
+ Gọi HS phát biểu ĐN
1.
+Treo bảng phụ đã viết
sẵn định nghĩa.
+Nhắc lại, củng cố định
nghĩa.
Vì
2
n
x ≠
nên
2
2 8
( ) 2( 2)
2
n
n n
n
x
f x x
x
−
= = +
−
Do đó
lim ( ) lim2( 2) 8
n n

f x x= + =
Gọi HS đọc đề VD1
Yêu cầu HS làm VD1b sau
1.Giới hạn của hàm số tại một điểm
a.Giới hạn hữu hạn:
ĐN: Cho
( , )
o
x a b R∈ ⊂
, f là hàm số
xác định trên
0
( , ) \a b x
.
Hàm số f có giới hạn là
( )L R∈
tại
0
x
nếu với mọi dãy
( )
n
x
trong
0
( , ) \a b x

mà
0
lim x

n
x=
,ta đều có
lim ( )
n
f x L=

KH:
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
hoặc
( )f x L→
khi
0
x x→
Ví dụ:Dùng định nghĩa trên tính a.
0
1
lim( cos )
x
x
x
→
.
Giải : Xét hàm số
1

( ) cosf x x
x
=
Với mọi dãy
( )
n
x
mà
0
n
x ≠
với mọi n
và
limx 0
n
=
, ta có
1
( ) os
n n
n
f x x c
x
=

Vì
1
( ) . os
n n n
n

f x x c x
x
= ≤
và
lim 0
n
x =
nên
limf ( ) 0
n
x =
Do đó,
0 0
1
lim ( ) lim( cos ) 0
x x
f x x
x
→ →
= =
-Gọi 2 HS phát biểu định
nghĩa giới hạn vô hạn
của hàm số tại một điểm.
- Nhắc lại và củng cố.
Gọi HS làm VD2
Kiểm tra kết quả và đánh
giá
đó kiểm tra,củng cố lại.
b.
2

1
3 2
lim
1
x
x x
x
→−
+ +
+
Giải: Xét hàm số
Với mọi dãy
( )
n
x
mà
1
n
x ≠ −
với mọi
n và
limx 1
n
= −
, ta có
2
3 2
( )
1
n n

n
n
x x
f x
x
+ +
=
+

Vì
limx 1
n
= −
nên
( 2).( 1)
lim ( ) lim 1
1
n n
n
n
x x
f x
x
+ +
= =
+
Do đó,
2
1
3 2

lim 1
1
x
x x
x
→−
+ +
=
+
Nhận xét:
a.Nếu f(x)=c (c là hằng số) với mọi
x R∈
thì với mọi
0
x R∈
,
0 0
lim ( ) lim
x x x x
f x c c
→ →
= =
.
b.Nếu g(x)=x với mọi
x R
∈
thì với mọi
0
x R∈
,

0 0
0
lim ( ) lim
x x x x
f x x x
→ →
= =
b.Giới hạn vô cực:
ĐN: Cho
( , )
o
x a b R∈ ⊂
, f là hàm số
xác định trên
0
( , ) \a b x
.
Hàm số f có giới hạn là
( )+∞ −∞
tại
0
x
nếu với mọi dãy
( )
n
x
trong
0
( , ) \a b x

mà
0
lim x
n
x=
,ta đều có
lim ( ) ( )
n
f x = +∞ −∞

KH:
0
lim ( ) ( )
x x
f x
→
= +∞ −∞
hoặc
( ) ( )f x → +∞ −∞
khi
0
x x→
.
VD2:Dùng định nghĩa để tính
2
2
1
lim
(2 )
x

x
→
−
−
Giải:
Xét hàm số
2
1
( )
(2 )
f x
x
−
=
−
Với mọi dãy
( )
n
x
mà
2
n
x ≠
với mọi n
và
limx 2
n
=
, ta có
1

( )
2
n
n
f x
x
−
=
−

Vì
lim 1 1− = −
,
2
lim(2 ) 0
n
x− =
và
2
(2 ) 0
n
x− >
với mọi n nên
limf ( )
n
x = −∞
Do đó,
2
2
1

lim
(2 )
x
x
→
−
= −∞
−
Hoạt động 2: Giới hạn của hàm số tại vô cực
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung ghi bảng
-Dựa vào Đn giới hạn
hữu hạn của hàm số tai
1 điểm yêu cầu HS phát
biểu Đn giới hạn hữu
hạn của hàm số tại vô
cực.
-Gọi 2 HS làm VD3
2.Giới hạn của hàm số tại vô cực:
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng
( , )a +∞
.Hàm số f có giới hạn là
( )L R∈
khi x dần đến
+∞
nếu với mọi
dãy số
( )
n
x
trong khoảng

( , )a +∞
mà
limx
n
= +∞
, ta đều có
limf ( )
n
x L=
KH:
lim ( )
x
f x L
→+∞
=
hoặc
( )f x L→
khi
x → +∞
VD3: Dùng định nghĩa giới hạn hàm
số trên để tính
a.
1
lim
1
x
x
→+∞
+
b.

1
lim
2
x
x
→−∞
−
Giải:a.Xét hàm
1
( )
1
f x
x
=
+
Đánh giá và củng cố.
Với mọi dãy số âm
( )
n
x
mà
limx
n
= +∞
, ta đều có
limf ( ) 0
n
x =
Do đó,
1

lim 0
1
x
x
→+∞
=
+
b.Tương tự,
1
lim 0
2
x
x
→−∞
=
−
Nhận xét:
Với mọi
k Z
+
∈
, ta có
a.
lim
k
x
x
→+∞
= +∞
b.

1
lim 0
k
x
x
→+∞
=
c.
1
lim 0
k
x
x
→−∞
=

d.
lim
k
x
x
→−∞
=
neukchan
neukle
+∞


−∞


Hoạt động 3: Một số định lí về giới hạn hữu hạn
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung ghi bảng
3.Một số định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1:
Giả sử
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
và
0
lim ( )
x x
f x M
→
=
( , )M L R∈
.Khi đó
a.
0
lim[ ( ) ( )]
x x
f x g x L M
→
+ = +
b.
0
lim[ ( ) ( )]

x x
f x g x L M
→
− = −
c.
0
lim[ ( ). ( )] .
x x
f x g x L M
→
=
Đặc biệt, nếu c là hằng số thì
0
lim[c.f ( )] .
x x
x c M
→
=
d.Nếu
0M
≠
thì
0
( )
lim
( )
x x
f x L
g x M
→

=
(Định lí trên vẫn đúng khi thay
0
x x→
bởi
x → +∞
hoặc
x → −∞
)
Nhận xét:
Với mọi
0
x R∈
,ta có
0
lim ax
k
x x→
0 0 0
lim .lim lim
x x x x x x
a x x
→ → →
=
0
0
(lim ) ax
k k
x x
a x

→
= =
( , )k Z a R
+
∈ ∈
VD4: Tìm các giới hạn sau
a.
2
2
1
2 1
lim
2
x
x x
x x
→−
− +
+

b.
0
1
lim (1 )
x
x
x
→
−
Giải: a. Ta có

2 2
1 1 1 1
lim(2 1) lim 2 lim lim1 4
x x x x
x x x x
→− →− →− →−
− + = − + =
Và
2 2
1 1 1
lim( 2 ) lim lim(2 ) 1 0
x x x
x x x x
→− →− →−
+ = + = − ≠
Nên
2
2
1
2 1
lim 4
2
x
x x
x x
→−
− +
= −
+
b.Ta có

0 0 0 0
1
lim (1 ) lim( 1) lim lim1 1
x x x x
x x x
x
→ → → →
− = − = − = −
H3 Tìm
4 3
4 2
2
lim
2 7
x
x x x
x x
→−∞
− +
+ −
Giải: Chia tử và mẫu của phân thức cho
4
x
,ta được
4 3
4 2
2
2 7
x x x
x x

− +
+ −
Định lí 2:
Giả sử
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
.Khi đó
a.
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
b.
0
3
3
lim ( )
x x
f x L
→
=
c.Nếu
( ) 0f x ≥
với mọi

{ }
0
\x J x∈
, trong
đó J là một khoảng nào đó chứa
0
x
, thì
0L
≥
và
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
H4:Tìm a.
3
1
lim 7
x
x x
→−
+
b.
3 3
1
lim 7
x

x x
→−
+
Hoạt động 4:Bài tập áp dụng
Tìm các giới hạn sau
a.
2
9
3
lim
9
x
x
x x
→
−
−
b .
2
9
lim 4
x
x
→
−
c .
4 3
4
2 7 15
lim

1
x
x x
x
→−∞
+ −
+
d.
2
lim
2
x
x x
x x
→+∞
− +
Hoạt động 5: Củng cố kiến thức
- Biết cách áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số để tìm giới hạn ( hữu hạn và vô cực)
của một hàm số.
- Biết cách vận dụng các định lí về giới hạn hữu hạn để tìm giới hạn (hữu hạn) của một số
hàm số.
- Làm bài tập trong SGK trang 151-152
V.Rút kinh nghiệm
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN SINH VIÊN THỰC TẬP
PHẠM KIM LONG NGUYỄN THỊ THU HÀ