một số bài tập môn hàm biến phức

Bài t
ập nhỏ môn Hàm biến phức
I.BÀI TẬP TRONG VỞ THẦY CHƯA GIẢI
Bài 1. CMR :
,a b C
∀ ∈
ta có
a.
.
a b a b
e e e
+
=
b.
0
a
e ≠
c.
1
a
a
e
e
−
=
d.
Rez z
e e
=
và
arg Im

z
e z=
Giải:
a.Đặt
( ) . ,
z b z
g z e e z C
−
= ∀ ∈
/ / /
( ) ( ) .( ) ( ).( )
z b z z b z
g z e e e e
− −
⇒ = +
/
. .( )
z b z z b z
e e e e
− −
= +
Mà
/ /
( ) .
b z u b z
e e u e
− −
= = −
(với u=b-z) (theo công thức đạo hàm hàm hợp)
/ / /

( ) ( ) .( ) ( ).( ) 0
z b z z b z
g z e e e e
− −
⇒ = − =
, z C∀ ∈
( ) onsg z c t⇒ =
( ) ( )g a g b⇒ − =
.
a b a b
e e e
− +
⇒ =
.
a b a b
e e e
+
⇒ =
, z C
∀ ∈
b. Đặt a = x +yi,
, ,x y R
∀ ∈
.
a x yi x yi
e e e e
+
⇒ = =
Ta có:
0

x
e x R≠ ∀ ∈
và
0
y
e y R≠ ∀ ∈
0,
a
e a C⇒ ≠ ∀ ∈
SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 1
Bài t
ập nhỏ môn Hàm biến phức
c. Ta có:
0
1
,
.
a a
a
a a a
e e
e a C
e e e e
− −
= = = ∀ ∈
d. Đặt z = x+ yi,
, ,x y R
∀ ∈
Khi đó,
. (cos isin )

z x iy x
e e e e y y= = +
Rez x z
e e e⇒ = =
và
arg Im
z
e y z= =
Câu 2: Cho z= x+iy, f(z)=
2 2
2x y xyi+ +
.Tìm các điểm mà tại đó f(z ) có đạo
hàm?
Giải:
Ta có: u(x,y)=
2 2
x y+
và v(x,y)=
2xyi

/ / / /
2 ; 2 ; 2 ; 2
x y x y
u x u y v y v x= = = =
Giả sử f có đạo hàm tại điểm z = x+ iy.Khi đó
( , ) ( , )
( , ) ( , )
u v
x y x y
x y

u v
x y x y
y x
∂ ∂

=

∂ ∂


∂ ∂

= −

∂ ∂

2 2
2 2
x x
y y
=

⇔

= −

0
x
y
∀


⇔

=

Nếu f có đạo hàm thì nó có đạo hàm tại z=x
Tại z=x
2
( )f z x⇒ =
.Hàm này có đạo hàm tại mọi điểm z thuộc C.
SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 2
Bài t
ập nhỏ môn Hàm biến phức
Vậy tại z=x thì hàm số trên có đạo hàm.
Bài 3: CMR
2
1
sin ,
2 1
zt
L
e
dz t
i z
π
=
+
∫
với t>0 và L:
3z =

Giải: Ta nhận thấy
( ,1) (0,3)B i B⊂
và
( ,1) (0,3)B i B− ⊂
Khi đó, hàm
2
1
zt
e
z +
là hàm giải tích trên miền
(0,3) \ ( ( ,1) ( ,1))A B B i B i
= ∪ −
⇒
2
0
1
zt
A
e
dz
z
∂
=
+
∫
.Do đó,
2 2 2
(0,3) ( ,1) ( ,1)
1 1 1

zt zt zt
B B i B i
e e e
dz dz dz
z z z
∂ ∂ ∂ −
= +
+ + +
∫ ∫ ∫
Ta có:
2
( ,1)
1
zt
B i
e
dz
z
∂
+
∫
=
( ,1)
( )( )
zt
B i
e
dz
z i z i
∂

− +
∫
=
( ,1)
( )
( )
B i
f z
dz
z i
∂
−
∫

với
( )
( )
zt
e
f z
z i
=
+
Vì f(z) là hàm giải tích trên
( ,1)B i
nên theo công thức Cauchy ta được
2
( ,1)
1
zt

B i
e
dz
z
∂
+
∫
=
2 ( ) 2
2
it
it
e
if i i e
i
π π π
= =
Lại có
2
( ,1)
1
zt
B i
e
dz
z
∂ −
+
∫
=

( ,1)
( )( )
zt
B i
e
dz
z i z i
∂ −
− +
∫
=
( ,1)
( )
( )
B i
f z
dz
z i
∂ −
+
∫

SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 3
Bài t
ập nhỏ môn Hàm biến phức
với
( )
( )
zt
e

f z
z i
=
−
Vì f(z) là hàm giải tích trên
( ,1)B i−
nên theo công thức Cauchy ta được
2
( ,1)
1
zt
B i
e
dz
z
∂ −
+
∫
=
2 ( ) 2
( 2 )
it
it
e
if i i e
i
π π π
−
−
− = = −

−
Suy ra
2 2 2
(0,3) ( ,1) ( ,1)
1 1 1
zt zt zt
B B i B i
e e e
dz dz dz
z z z
∂ ∂ ∂ −
= +
+ + +
∫ ∫ ∫
=
it
e
π
+
it
e
π
−
−
=
[(cos isin ) (cos isin )]t t t t
π
+ − −
=
2 sini t

π
⇒
2
1
sin , 0
2 1
zt
L
e
dz t t
i z
π
= >
+
∫
(đpcm)
Bài 4: Tính I =
2
4
( 1)
z
L
e
dz
z +
∫
với L là đường cong kín tùy ý không chứa điểm -1.
Giải:
Vì L là đường cong kín tùy ý không chứa điểm -1 nên nên hàm
4

( )
( 1)
zt
e
f z
z
=
+
là
hàm giải tích xác định trên miền bị giới hạn bởi đường L.
SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 4
Bài t
ập nhỏ môn Hàm biến phức
Vì vậy
2
4
( 1)
z
L
e
dz
z +
∫
=0.
Bài 5: Tính I =
2
4
( 1)
z
L

e
dz
z
+
∫
với L :
3z
=
Giải:
Ta có
2
2
4 4
( )
, ( )
( 1) ( 1)
z
z
e f z
f z e
z z
= =
+ +
Vì f(z)=
2z
e
là hàm giải tích trên
(0,3)B
nên theo công thứctính đạo hàm cấp cao
của hàm giải tích ta được

2
4
( 1)
z
L
e
dz
z +
∫
=
(3)
2
( 1)
3!
i
f
π
−
=
1
2
(8 )
3!
i
e
π
−
=
8
3

i
e
π
Vậy
2
4
( 1)
z
L
e
dz
z +
∫
=
8
3
i
e
π
Bài 6: Tính I=
2 2
sin os
( 1)( 2)
L
z c z
dz
z z
π π
+
− −

∫
với L là đường cong kín không đi qua điểm
1 và 2.
Giải:Gọi D là miền bị giới hạn bởi đường cong kín L
Th1:Miền D không chứa điểm 1 và 2
Khi đó hàm
2 2
sin os
( 1)( 2)
z c z
z z
π π
+
− −
là hàm giải tích trên D.Do vậy
SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 5
Bài t
ập nhỏ môn Hàm biến phức
I =
2 2
sin os
0
( 1)( 2)
L
z c z
dz
z z
π π
+
=

− −
∫

Th2: Miền D chứa điểm 1 mà không chứa 2.
Trong miền D,ta vẽ 1 hình tròn tâm là 1 bán kính là
ε
đủ bé
( 0)
ε
>
sao cho
(1, )B
ε
nằm hoàn toàn trong D
Khi đó hàm
2 2
sin os
( 1)( 2)
z c z
z z
π π
+
− −
là hàm giải tích trên miền
\ (1, )A D B
ε
=
.
2 2
sin os

0.
( 1)( 2)
A
z c z
dz
z z
π π
∂
+
⇒ =
− −
∫
Do đó
2 2
sin os
( 1)( 2)
L
z c z
dz
z z
π π
+
− −
∫
=
2 2
(1, )
sin os
( 1)( 2)
B

z c z
dz
z z
ε
π π
∂
+
=
− −
∫
(1, )
( )
( 1)
B
f z
dz
z
ε
∂
−
∫

với
2 2
sin os
( )
2
z c z
f z
z

π π
+
=
−
Vì hàm
2 2
sin os
( )
2
z c z
f z
z
π π
+
=
−
là hàm giải tích trên
(1, )B
ε
nên áp dụng công
thức Cauchy ta được
I =
2 (1)if
π
=
2 (sin os )i c
π π π
− +
=
2 i

π
Th3: Miền D chứa điểm 2 mà không chứa 1.
SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 6
Bài t
ập nhỏ môn Hàm biến phức
Trong miền D,ta vẽ 1 hình tròn tâm là 2 bán kính là
ε
đủ bé
( 0)
ε
>
sao cho
(2, )B
ε
nằm hoàn toàn trong D
Khi đó hàm
2 2
sin os
( )
( 1)( 2)
z c z
f z
z z
π π
+
=
− −
là hàm giải tích trên miền
\ (2, )A D B
ε

=
2 2
sin os
0
( 1)( 2)
A
z c z
dz
z z
π π
∂
+
⇒ =
− −
∫
Do đó
2 2
sin os
( 1)( 2)
L
z c z
dz
z z
π π
+
− −
∫
=
2 2
(2, )

sin os
( 1)( 2)
B
z c z
dz
z z
ε
π π
∂
+
=
− −
∫
(2, )
( )
( 2)
B
f z
dz
z
ε
∂
−
∫

với
2 2
sin os
( )
1

z c z
f z
z
π π
+
=
−
Vì hàm
2 2
sin os
( )
1
z c z
f z
z
π π
+
=
−
là hàm giải tích trên
(2, )B
ε
nên áp dụng công
thức Cauchy ta được
I =
2 (2)if
π
=
2 (sin 4 os4 )i c
π π π

+
=
2 i
π
Th4: Miền D chứa cả hai điểm 1 và 2.
Trong miền D,ta vẽ 2 hình tròn
(2, ), (1, )B B
ε ε

với
ε
đủ bé
( 0)
ε
>
sao cho cả hai
hình tròn này đều nằm hoàn toàn trong D
SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 7
Bài t
ập nhỏ môn Hàm biến phức
Khi đó
2 2
sin os
( 1)( 2)
z c z
z z
π π
+
− −
giải tích trên miền

\ ( (2, ) (1, ))A C B B
ε ε
= ∪
2 2
sin os
0
( 1)( 2)
A
z c z
dz
z z
π π
∂
+
⇒ =
− −
∫
Áp dụng công thức Cauchy cho miền đa liên D ta được

2 2
sin os
( 1)( 2)
L
z c z
dz
z z
π π
+
− −
∫

=
2 2
(1, )
sin os
( 1)( 2)
B
z c z
dz
z z
ε
π π
∂
+
+
− −
∫
2 2
(2, )
sin os
( 1)( 2)
B
z c z
dz
z z
ε
π π
∂
+
− −

∫

=
2 2 4i i i
π π π
+ =
Bài 7: Tính
2 2
(3 )
L
I xy iy dz= +
∫
với
z x iy
= +
a. L là đường thẳng nối 2 điểm
z i
=
và
2z i= −
b.
L là đường cong
2
2 2
1
x t
y i t
= −



= + −

nối 2 điểm

z i
=
và
2z i= −
Giải: a.
1
L
là đường thẳng nối 2 điểm
z i
=
và
2z i= −

Phương trình đường thẳng
1
L
là
SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 8
Bài t
ập nhỏ môn Hàm biến phức
2
1 2
x t
y t
=



= −

với
0 1t
≤ ≤
( ) 2 (1 2 )z t t i t⇒ = + −
/
( ) 2 2z t i⇒ = −
Khi đó
1
2 2
(3 )
L
I xy iy dz= +
∫
1
2 2 2
0
[6 12 (1 4 4 )] .[2-2i]dtt t i t t= − + − +
∫

1
4 3 2
0
(64 64 120 40 2)t t t t dt= + − + −
∫
1
4 3 2
0

( 448 512 168 8 2)i t t t t dt+ − + − + +
∫
448 512 168 8
( 2)
5 4 3 2
i
−
+ + − + +
64 64 120 40
2
5 4 3 2
= + − + −
34 58
5
i
−
=
b.
2
L
là đường cong
2
2 2
1
x t
y i t
= −


= + −


nối 2 điểm
z i
=
và
2z i= −
Ta nhận thấy
2 2
(3 )f xy iy= +
là hàm giải tích trên C và
1 2
,L L
là những đường
cong trơn trong C cùng nối 2 điểm
z i
=
và
2z i= −
nên
2 1
2 2 2 2
(3 ) (3 )
L L
I xy iy dz xy iy dz
= + = +
∫ ∫
34 58
5
i−
=

SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 9
Bài t
ập nhỏ môn Hàm biến phức
Bài 8: Cho
( sin cos )
x
u e x y y y
−
= −
a.CMR u là hàm điều hòa trên miền D thích hợp
b.Tìm hàm giải !ch f=u+iv trên D
Giải:
Ta có: +
/ /
( sin cos )
x x
x x
u e x y e y y
− −
= − =
(sin )( ) cos
x x x
y e x e e y y
− − −
− + +
2
//
(sin )( 2 ) cos
x x x
x

u y e x e e y y
− − −
⇒ = − −
[(sin )( 2) cos ]
x
e y x y y
−
= − −
[ sin 2sin cos ]
x
e x y y y y
−
= − −
(1)
+
/ /
( sin cos ) ( cos cos ysin )
x x
y
u e x y y y e x y y y
− −
= − = − +
( sin 2sin cos )
x
e x y y y y
−
= − + +
2
//
( sin sin sin cos )

x
y
u e x y y y y y
−
⇒ = − + + +
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
2 2
// //
0
x y
u u+ =
.Vậy u là hàm điều hòa.
b. Bây giờ ta cần tìm hàm v(x,y)
Vì u,v thỏa mãn điều kiện Cauchy-Rieman nên
/ /
/ /
x y
y x
u v
u v

=


= −


/ /
/ /

(sin )( ) cos
( cos cos ysin )
x x x
y x
x
x y
v u y e x e e y y
v u e x y y y
− − −
−

= = − + +

⇒

= − = − − +


Do đó
SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 10
Bài t
ập nhỏ môn Hàm biến phức
/
( , ) [(sin )( ) cos ]
x x x
y
v x y v dy y e x e e y y dy
− − −
= = − + +
∫ ∫

( ) (sin )
x x
e x e y dy
− −
= − +
∫
cos
x
e y ydy
−
+
∫
( )cos
x x
e x e y
− −
= −
( sin cos ) ( )
x
e y y y x
ϕ
−
+ + +
/
(cos )( 2 )
x x
x
v y e x e
− −
⇒ = − +

/
( sin cos ) ( )
x
e y y y x
ϕ
−
− + +

/
( cos sin cos ) ( )
x
e x y y y y x
ϕ
−
= − + − +
Suy ra
/
( ) 0x
ϕ
=
( )x C
ϕ
⇒ =
Vậy v(x,y)
( )cos
x x
e x e y
− −
= −
( sin cos )

x
e y y y C
−
+ + +
Hàm f cần tìm là:

f u i v= + =
( sin cos )
x
e x y y y
−
−
[( )cos ( sin cos ) ]
x x x
i e x e y e y y y C
− − −
+ − + + +
Bài 9: Tính
os
n
L
c z
I dz
z
=
∫
với L:
2z =
Giải:
os ( )

( 0)
n n
L L
c z f z
I dz dz
z z
= =
−
∫ ∫
với
( ) cosf z z=
SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 11
Bài t
ập nhỏ môn Hàm biến phức
Vì f(z) là hàm giải tích trên
(0,2)B
nên áp dụng công thức tính đạo hàm cấp cao
của hàm giải tích ta được
os
n
L
c z
I dz
z
=
∫
( 1)
2
( ) 0
( 1)!

n
i
f z z
n
π
−
= =
−
( 1)
2
(cos ) 0
( 1)!
n
i
z z
n
π
−
= =
−
Nếu n là số chẵn (tức n=4k hoặc n=4k+2) thì I = 0
Nếu n = 4k+1 thì
2
( 1)!
i
I
n
π
=
−

Nếu n = 4k+3thì
2
( 1)!
i
I
n
π
−
=
−
II.BÀI TẬP TRONG QUYỂN: ‘BÀI GIẢNG HÀM BIẾN PHỨC’ (TÁC GIẢ:BÙI
TUẤN KHANG – ĐHSPĐN)
Bài 1:Tính các tích phân sau:(trang 58)
a,
z
L
e dz
∫
với L là đường cong parabol y =
3
x
, 1
≤
x
≤
2.
b,
tan
L
zdz

∫
với L là đường cong parabol x =
3
y
, 0
≤
y
≤
SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 12
Bài t
ập nhỏ môn Hàm biến phức
c,
2
( )
L
z zz dz+
∫
với L là cung tròn
1z =
, 0
≤
arg z
≤

π
.
d.
1
L
z

dz
z −
∫
với L là đường elipse
2 2
4 4x y+ =
.
e
sin
L
z zdz
∫
với L là đường cong trơn bất kì nối 2 điểm 0 và
i
π
GIẢI:
a,
z
L
e dz
∫
với L là đường cong parabol y =
3
x
, 1
≤
x
≤
2.
Phương trình đường cong parabol là:

3
x t
y t
=


=

với
1 2t
≤ ≤

3
( )z t t it⇒ = +
/ 2
( ) 1 3z t it⇒ = +
Khi đó
z
L
e dz
∫
3
2
2
1
(1 3 )
t it
e it dt
+
= +

∫
3
2
2
1
(1 3 )
t it
e it dt
+
= +
∫
3
2
1
t
t it
t
e
=
+
=
=
2 8 1i i
e e
+ +
= −
b.
tan
L
zdz

∫
với L là đường cong parabol x =
3
y
, 0
≤
y
≤
1.
SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 13
Bài t
ập nhỏ môn Hàm biến phức
Phương trình đường cong parabol là:
3
x t
y t

=


=


với
0 1t
≤ ≤
3
( )z t t it⇒ = +
/ 2
( ) 3z t t i⇒ = +

Khi đó:
tan
L
zdz
∫
1
3 2
0
[ tan( )](3 )t it t i dt= + +
∫
1
2 3
0
1
os ( )
t
t
c t it
=
=
=
+
2
1
1
os (1 )c i
= −
+
c,
2

( )
L
z zz dz+
∫
với L là cung tròn
1z =
, 0
≤
arg z
≤

π
.
Ta có:

( ) cos sinz t t i t= +
/
( ) sin cosz t t i t⇒ = − +
Khi đó,
2
( )
L
z zz dz+
∫
SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 14
Bài t
ập nhỏ môn Hàm biến phức
2
0
[(cos isin ) 1]( sin cos )t t t i t dt

π
= + + − +
∫
2
0
(2cos i2sin cos )( sin cos )t t t t i t dt
π
= + − +
∫
2 3 2
0
[( 4cos )(sin ) (2cos 2(sin )(cos ))]t t i t t t dt
π
= − + −
∫
2
0
( 4cos )(sin )t t dt
π
= −
∫
3 2
0
[2cos 2(sin )(cos )]i t t t dt
π
+ −
∫
3
0
4cos

t
t
t
π
=
=
=
2
0
[2(1 sin )( ost)i t c dt
π
+ −
∫
2
0
2(sin )(cos )i t t dt
π
+ −
∫
3
0
4cos
t
t
t
π
=
=
=
3

0
cos
2 (cos )
3
t
t
t
i t
π
=
=
+ −
3
0
sin
2
3
t
t
t
i
π
=
=
−
8
8
3
i= − −
d.

1
L
z
dz
z −
∫
với L là đường elipse
2 2
4 4x y+ =
.
Giải:
Đặt
( ) 2cos
,0 2
( ) sin
x t t
t
y t t
π
=

≤ ≤

=

SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 15
Bài t
ập nhỏ môn Hàm biến phức
( ) 2cos isinz t t t⇒ = +
/

( ) 2sin cosz t t i t⇒ = − +
⇒
1
L
z
dz
z −
∫
2
0
2cos isin
( 2sin cos )
2cos isin 1
t t
t i t dt
t t
π
+
= − +
+ −
∫
2
0
( 2sin cos )t i t dt
π
= − +
∫
2
0
1

( 2sin cos )
2cos isin 1
t i t dt
t t
π
+ − +
+ −
∫
2
0
(2cos isin )
t
t
t t
π
=
=
= +
2
0
(2cos isin )
t
t
t t
π
=
=
= +
0
=

e.
sin
L
z zdz
∫
với L là đường cong trơn bất kì nối 2 điểm 0 và
i
π
Đầu tiên ta tính tích phân
1
sin
L
I z zdz=
∫
với
1
L
là đoạn thẳng nối 2 điểm 0 và
i
π
Phương trình đoạn
1
L
là
( ) 0
,0 1
( )
x t
t
y t t

π
=

≤ ≤

=

( )z t i t
π
⇒ =
/
( )z t i
π
⇒ =
Khi đó
SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 16
Bài t
ập nhỏ môn Hàm biến phức
1
sin
L
I z zdz=
∫
1
0
[sin( )]( )i t i t i dt
π π π
=
∫
1

0
[ cos( ) sin( )]
t
t
it i t i t
π π π
=
=
= − +

os( ) sin( )i c i i
π π π
= − +

Vì f là hàm giải tích trên C và các đường cong trơn L,
1
L
cùng nối 2 điểm 0 và
i
π
nên
sin
L
z zdz
∫
1
sin
L
z zdz= =
∫

os( ) sin( )i c i i
π π π
− +

Bài 2: Tìm hàm giải tích f=u+iv biết u= Re f (trang 59)
a.
3 2
( , ) 3u x y x xy= −
b.
2 2
( , ) 2 2u x y x y x= − +
c
.
( , ) 2 3u x y xy
= +
Giải:
a.Đầu tiên ta kiểm tra hàm u là hàm điều hòa.Ta có:
/ 2 2
3 3
x
u x y= −
2
//
6
x
u x⇒ =
/
6
y

u xy
= −
2
//
6
y
u x⇒ = −
SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 17
Bài t
ập nhỏ môn Hàm biến phức
2 2
// //
0
y x
u u⇒ + =
Vậy hàm u(x,y) là hàm điều hòa.
Ta cần tìm hàm v(x,y)
Vì u,v thỏa mãn điều kiên Cauchy-Rieman nên
/ /
/ / 2 2
6
3 3
x y
y x
v u xy
v u x y

= − =

⇒


= = −


/ 2
( , ) 6 3 ( )
x
v x y v dx xydx x y y
ϕ
= = = +
∫ ∫
/ 2 /
3 ( )
y
v x y
ϕ
⇒ = +
Mà
/ 2 2
3 3
y
v x y= −
nên
/ 2 3
( ) 3 ( )y y y y C
ϕ ϕ
= − ⇒ = − +
Suy ra
2 3
( , ) 3v x y x y y C= + − +

Vậy
3 2 2 3
3 (3 )f u iv x xy i x y y C= + = − + + − +
b. Đầu tiên ta kiểm tra hàm u là hàm điều hòa.Ta có:
/
4 1
x
u x
= +
2
//
4
x
u⇒ =
/
4
y
u y= −
2
//
4
y
u⇒ = −
2 2
// //
0
y x
u u⇒ + =
SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 18
Bài t

ập nhỏ môn Hàm biến phức
Vậy hàm u(x,y) là hàm điều hòa.
Ta cần tìm hàm v(x,y)
Vì u,v thỏa mãn điều kiên Cauchy-Rieman nên
/ /
/ /
4
4 1
x y
y x
v u y
v u x

= − =

⇒

= = +


/
( , ) 4 4 ( )
x
v x y v dx ydx xy y
ϕ
= = = +
∫ ∫
/ /
4 ( )
y

v x y
ϕ
⇒ = +
Mà
/
4 1
y
v x
= +
nên
/
( ) 1 ( )y y y C
ϕ ϕ
= ⇒ = +
Suy ra
( , )v x y y C= +
Vậy
2 2
2 2 ( )f u iv x y i y C= + = − + +
c. Đầu tiên ta kiểm tra hàm u là hàm điều hòa.Ta có:
/
2
x
u y=
2
//
0
x
u⇒ =
/

2
y
u x
=
2
//
0
y
u⇒ =
2 2
// //
0
y x
u u⇒ + =
Vậy hàm u(x,y) là hàm điều hòa.
Ta cần tìm hàm v(x,y)
SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 19
Bài t
ập nhỏ môn Hàm biến phức
Vì u,v thỏa mãn điều kiên Cauchy-Rieman nên
/ /
/ /
2
2
x y
y x
v u x
v u y

= − = −


⇒

= =


/ 2
( , ) 2 ( )
x
v x y v dx xdx x y
ϕ
= = − = − +
∫ ∫
/ /
( )
y
v y
ϕ
⇒ =
Mà
/
2
y
v y
=
nên
/ 2
( ) 2 ( )y y y y C
ϕ ϕ
= ⇒ = +

Suy ra
2
( , )v x y y C= +
Vậy
2
2 3 ( )f u iv xy i y C= + = + + +
MỘT SỐ BÀI TẬP KHÁC
Bài 1: Tính
sin
L
z
I dz
z i
=
+
∫
với
{z: =3}L z i= +
Giải: Ta có:
sin ( )
L L
z f z
I dz dz
z i z i
= =
+ +
∫ ∫
Vì hàm
( ) sinf z z=
là hàm giải tích trên

( ,3)B i−
nên áp dụng công thức Cauchy
ta được
SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 20
Bài t
ập nhỏ môn Hàm biến phức
I =
2 ( )if i
π
−
=
2 2
1
2 (sin ) 2 ( ) ( )
2
i i
e e
i i i e
i e
π π π
−
−
− = − = −
Bài 2: Tính
4
, 1
1
z a a
z
I dz a

z
− =
= >
−
∫
Giải: Ta có:

4 2
( )
1 ( 1)( 1)( 1) 1
z z f z
I
z z z z z
= = =
− − + + −



với

2
( )
( 1)( 1)
z
f z
z z
=
+ +
Vì hàm
2

( )
( 1)( 1)
z
f z
z z
=
+ +
là hàm giải tích trên
( , ),( 1)B a a a >
nên áp dụng công
thức Cauchy ta được
2 (1)
2
i
I if
π
π
= =
Bài 3:Tính
3
( )
z
L
ze
I dz
z a
=
−
∫
với a nằm trong chu tuyến L.

Giải: Ta có:
3 3
( )
, ( )
( ) ( )
z
z
ze f z
f z ze
z a z a
= =
− −
Vì hàm là hàm giải tích nên áp dụng công thức tính đạo hàm cấp cao của hàm giải
tích ta được
SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 21
Bài t
ập nhỏ môn Hàm biến phức
(2)
2
( ) (2 ).
2!
a
i
I f a ie a
π
π
= = +
Bài 4: Tính
3
1 1

1
( 1)( 1)
z
I dz
z z
− =
=
+ −
∫
Giải:Ta có
3 3
1 ( ) 1
, ( )
( 1)( 1) ( 1) 1
f z
f z
z z z z
= =
+ − − +
Vì hàm
1
( )
1
f z
z
=
+
là hàm giải tích trên
(1,1)B
nên áp dụng công thức tính đạo

hàm cấp cao của hàm giải tích ta được
(2)
3
2 2
(1)
2! (1 1) 4
i i
I f i
π π
π
= = =
+
Bài 5: Tính
3
1
cos
( )
z i
z
I dz
z i
− =
=
−
∫
Giải:Ta có
3 3
cos ( )
, ( ) cos
( ) ( )

z f z
f z z
z i z i
= =
− −
Vì hàm f(z) là hàm giải tích trên
( ,1)B i
nên áp dụng công thức tính đạo hàm cấp
cao của hàm giải tích ta được
SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 22
Bài t
ập nhỏ môn Hàm biến phức
2 2
(2)
2 1
( ) os( ) ( )
2! 2 2
i i
i e e i
I f i i c i i e
e
π π
π π
−
+ −
= = − = − = +
Bài 6:Tính
3
(1 )
z

D
e
I dz
z z
∂
=
−
∫
a.
1
:
2
D z <
b.
1
: 1
2
D z − <
c.
3
:
2
D z <
Giải:
a.Ta có
3 3
( )
, ( )
(1 ) ( 1)
z z

e f z e
f z
z z z z
−
= =
− −
Vì hàm f(z) là hàm giải tích trên
1
(0, )
2
B
nên áp dụng công thức Cauchy ta được
2 (0) 2I if i
π π
= =
b.Ta có

3 3
( )
, ( )
(1 ) ( 1)
z z
e f z e
f z
z z z z
−
= =
− −
Vì hàm f(z) là hàm giải tích trên
1

(1, )
2
B
nên áp dụng công thức tính đạo hàm cấp
cao của hàm giải tích ta được
SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 23
Bài t
ập nhỏ môn Hàm biến phức
2
(2)
3
2 2 2
(1) ( ) 1
2!
z z z
i e z e ze
I f i z
z
π
π
− −
= = =
I ie
π
⇒ = −
c.Ta có
3 3
( )
(1 ) ( 1)
z z

e e
f z
z z z z
−
= =
− −
giải tích trên miền
3 1 1
(0, ) \ ( (0, ) (1, ))
2 2 2
A B B B
= ∪
3
0
(1 )
z
A
e
dz
z z
∂
⇒ =
−
∫
Do đó
3 3
3 3
(0, ) (0, )
2 2
(1 ) ( 1)

z z
B B
e e
dz dz
z z z z
∂ ∂
−
=
− −
∫ ∫
=
3
1
(0, )
2
(1 )
z
B
e
dz
z z
∂
+
−
∫
3
1
(1, )
2
(1 )

z
B
e
dz
z z
∂
−
∫

=
2 ( ) (2 )i i e i e
π π π
+ − = −
Bài 7:
Tính
1
,( ), 1,2,
( ) ( )
n
z r
I dz a r b n
z a z b
=
= < < =
− −
∫
Giải:Ta có
SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 24
Bài t
ập nhỏ môn Hàm biến phức

1 ( ) 1
; ( )
( ) ( ) ( )
n n
f z
f z
z a z b z a z b
= =
− − − −
Vì hàm f(z)là hàm giải tích trên
(0, ),( )B r a r b
< <
nên áp dụng công thức tính
đạo hàm cấp cao của hàm giải tích ta được
( 1)
2
( )
( 1)!
n
i
I f z z a
n
π
−
= =
−
Mà
( 1) ( 1)
( 1)!
( ) ( 1)

( )
n n
n
n
f z
z b
− −
−
= −
−

Do đó

( 1)
2
( )
( 1)!
n
i
I f z z a
n
π
−
= =
−
1
2 ( 1) ( 1)!
. 2 ( )
( 1)! ( )
n

n
n
i n
i b a
n a b
π
π
+
−
− −
= = − −
− −
SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 25