một số bài tập chọn lọc về đạo hàm

Vấn đề 4. ĐẠO HÀM
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Đònh nghóa đạo hàm tại một điểm
1) Đònh nghóa.
Cho hàm số
( )
y f x=
xác đònh trên khoảng
( )
;a b
và
( )
0
;x a b∈
.
Nếu tồn tại :
( ) ( )
0
0
0
lim
x x
f x f x
x x
→
−
−
thì đạo hàm của hàm số
( )
y f x=
tại điểm

0
x
là :
( )
( ) ( )
0
0
0
0
' lim
x x
f x f x
f x
x x
→
−
=
−
hay
( )
( ) ( )
0 0
0
0 0
' lim lim
x x
f x x f x
y
f x
x x

∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
= =
∆ ∆
, trong đó :

( ) ( )
0 0 0
,x x x y f x x f x∆ = − ∆ = + ∆ −
2) Cách tính đạo hàm tại một điểm
Bước 1. Giả sử
x∆
là số gia của
0
x
, tính
( ) ( )
0 0
y f x x f x∆ = + ∆ −
.
Bước 2. Lập tỉ số
y
x
∆
∆
.
Bước 3. Tính
0
lim

x
y
x
∆ →
∆
∆
.
II. Các quy tắc tính đạo hàm
Giả sử
( )
u u x=
và
( )
v v x=
là các hàm số có đạo hàm tại x thuộc khoảng xác đònh. Ta có :
•
( )
' 'ku ku=
(k là hằng số)
•
( )
' ' 'u v u v+ = +
•
( )
' ' 'u v u v− = −
•
( )
. ' ' 'u v u v uv= +
•
( )

'
2
' '
, 0
u u v uv
v x
v v
−
 
= ≠
 ÷
 
III. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
•
( )
1
' .x x
α α
α
−
=

( )
1
' . 'u u u
α α
α
−
=

•
'
2
1 1
x x
 
= −
 ÷
 

'
2
1 'u
u u
 
= −
 ÷
 
•
( )
'
1
2
x
x
=
( )
'
'
2

u
u
u
=
•
( )
'
sin cosx x=
( )
'
sin '.cosu u u=
•
( )
'
cos sinx x= −
( )
'
cos '.sinu u u= −
•
( )
'
2
2
1
1
cos
tgx tg x
x
= = +
( )

( )
'
2
2
'
'. 1
cos
u
tgu u tg u
u
= = +
•
( )
( )
'
2
2
1
1
sin
cotgx cotg x
x
= − = − +
( )
( )
'
2
2
'
cot '. 1

sin
u
gu u cotg u
u
= − = − +
•
( )
'
x x
e e=
( )
'
'.
u u
e u e=
•
( )
'
.ln
x x
a a a=
( )
'
. '.ln
u u
a a u a=
•
( )
'
1

ln x
x
=
( )
'
'
ln
u
u
u
=
•
( )
'
log
ln
a
x
x
x a
=
( )
'
'
log
ln
a
u
u
u a

=
IV. Đạo hàm cấp cao
Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm cấp
1n −
, kí hiệu là
( )
( )
1n
f x
−
. Nếu
( )
( )
1n
f x
−
có đạo
hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của
( )
f x
, kí hiệu là
( )
n
y
hay
( )
( )

n
f x
.
( )
( )
( )
( )
'
1n n
f x f x
−
 
=
 
với
2n ≥
.
A. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tìm các giá trò của x để đạo hàm của hàm số sau đây bằng 0
( )
5 sin 2 4 3 siny x x x x= + −
.
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Phòng cháy Chữa cháy, 2001)
Giải
Ta có:
( )
' 5 2 cos 2 4 3 cosy x x x= + −
( )
' 0 5 2 cos 2 4 3 cos 0y x x x= ⇔ + − =
( )

2
5 2 2cos 1 4 3 cos 0x x⇔ + − − =
2
4 cos 4 3 cos 3 0x x⇔ − + =
( )
2
2cos 3 0x⇔ − =
3
cos cos
2 6
x
π
⇔ = =
2 ,
6
x k k
π
π
⇔ = ± + ∈ ¢
.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số :
6 6 2 2
sin cos 3sin cos 2001y x x x x x= + + +
có đạo hàm
'y
không phụ thuộc vào x.
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Thái Nguyên, 2001)
Giải
Ta có:
6 6 2 2

sin cos 3sin cos 2001y x x x x x= + + +

( ) ( )
3 3
2 2 2 2
sin cos 3sin cos 2001x x x x x= + + +

( ) ( )
2 2 4 4 2 2 2 2
sin cos sin cos sin cos 3sin cos 2001x x x x x x x x x= + + − + +

4 4 2 2
sin cos 2sin cos 2001x x x x x= + + +

( )
2
2 2
sin cos 2001x x x= + +

1 2001x= +
Do đó:
' 2001y =
(đpcm)
Ví dụ 3. Cho hàm số
( )
1 2
sin sin 3 sin 5
3 5
f x x x x= + +
.

Tính đạo hàm
( )
'f x
và giải phương trình
( )
' 0f x =
.
(Trích ĐTTS vào Học viện Quan hệ Quốc tế, 2000)
Giải
•
( )
' cos cos3 2cos5f x x x x= + +
•
( )
' 0 cos cos3 2cos5 0f x x x x= ⇔ + + =
( ) ( )
cos cos5 cos 3 cos5 0x x x x⇔ + + + =
2cos3 cos 2 2 cos 4 cos 0x x x x
⇔ + =
( )
3
4 cos 3cos cos 2 cos 4 cos 0x x x x x⇔ − + =
( )
2
cos 4 cos 3 cos 2 cos 4 0x x x x
 
⇔ − + =
 
( )
2

cos 2 cos 2 1 cos 2 2cos 2 1 0x x x x
 
⇔ − + − =
 
( )
2
cos 4cos 2 cos 2 1 0x x x⇔ − − =
2
cos 0
4cos 2 cos 2 1 0
x
x x
=

⇔

− − =


cos 0
1 17
cos 2 cos
8
1 17
cos 2 cos
8
x
x
x
α

β


=

+

⇔ = =


−

= =



( )
2
2
2
x k
x k k
x k
π
π
α
π
β
π


= +



⇔ = ± + ∈



= ± +


¢
Ví dụ 4. Cho hàm số
( ) ( )
log 2 0, 1
x
f x x x x= > ≠
.
Tính đạo hàm
( )
'f x
và giải bất phương trình
( )
' 0f x ≤
.
Giải
Với điều kiện
0, 1x x> ≠
, ta có:
( )

log 2
x
f x x=
ln 2
.
ln
x
x
=

ln 2.
ln
x
x
=
( )
2
ln 1
' ln 2.
ln
x
f x
x
−
 
⇒ =
 ÷
 
•
( )

2
ln 1
' 0 0
ln
x
f x
x
−
 
≤ ⇔ ≤
 ÷
 
ln 1 0x
⇔ − ≤
(do
2
ln 0, 0x x> ∀ >
và
1x
≠
)
ln 1x⇔ ≤

0 x e⇔ < ≤

So với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình:
0 x e< ≤
và
1x ≠
.

Ví dụ 5. Chứng minh hàm số
( ) ( )
3cos ln 4sin lny x x x= + 
 
thoả mãn phương trình:
2
'' ' 2 0x y xy y− + =
.
Giải
Ta có:
•
( ) ( ) ( ) ( )
3 4
' 3cos ln 4sin ln sin ln cos lny x x x x x
x x
 
= + + − +
 
 

( ) ( )
7 cos ln sin lnx x= +
•
( ) ( )
7 1
'' sin ln cos lny x x
x x
= − +
Do đó:
2

'' ' 2x y xy y− + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
7 1
sin ln cos ln 7 cos ln sin ln 2 3cos ln 4sin lnx x x x x x x x x
x x
 
= − + − + + +   
   
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
7 sin ln cos ln 7 cos ln sin ln 6 cos ln 8 sin lnx x x x x x x x x x x x= − + − − + +
0
=
(đpcm)
Ví dụ 6. Cho hàm số
2000
x
y =
.Tính đạo hàm
'y
theo đònh nghóa.
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y khoa Hà Nội, 2000)
Giải
Ta có:
( ) ( )
0 0
' lim lim
x x

y x x y x
y
y
x x
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
= =
∆ ∆

0
2000 2000
lim
x x x
x
x
+∆
∆ →
−
=
∆

0
2000 1
lim 2000 .
x
x
x
x
∆

∆ →
 
−
=
 ÷
∆
 

ln 2000
0
1
lim 2000 . .ln 2000
ln 2000
x
x
x
e
x
∆
∆ →
 
−
=
 ÷
∆
 
2000 ln 2000
x
= .
Chú ý.

0
1
lim 1
x
x
e
x
→
 
−
=
 ÷
 
.
Ví dụ 7. Cho hàm số
20
logy x=
.Tính đạo hàm
'y
theo đònh nghóa.
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y khoa Hà Nội, 1998)
Giải
Ta có:
( ) ( )
0 0
' lim lim
x x
y x x y x
y
y

x x
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
= =
∆ ∆

( )
20 20
0
log log
lim
x
x x x
x
∆ →
+ ∆ −
=
∆

20
0
log 1
lim
x
x
x
x
∆ →
∆

 
+
 ÷
 
=
∆

0
ln 1
ln 20
lim
.
x
x
x
x
x
x
∆ →
∆
 
+
 ÷
 
=
∆

0
ln 1
1

lim .
ln 20
x
x
x
x
x
x
∆ →
 ∆ 
 
+
 ÷
 ÷
 
 ÷
=
∆
 ÷
 ÷
 

1
ln 20x
=
.
Chú ý.
( )
0
ln 1

lim 1
x
x
x
→
+
= .
Ví dụ 8. Tìm a để hàm số sau đây có đạo hàm tại
0x =
:

( )
( )
2
1 0
1 0
x
x e khi x
f x
x ax khi x
−

+ >

=

− − + ≤


.

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Giao thông Vận tải Hà Nội, 2000)
Giải
Ta có:
•
( )
( ) ( )
0
0
' 0 lim
x
f x f
f
x
+
+
→
−
=
( )
0
1 1
lim
x
x
x e
x
+
−
→
+ −

=
0
1
lim
x
x
x
e
e
x
+
−
−
→
 
−
= −
 ÷
−
 
1 1 0
= − =
•
( )
( ) ( )
0
0
' 0 lim
x
f x f

f
x
−
−
→
−
=
2
0
1 1
lim
x
x ax
x
−
→
− − + −
=
( )
0
lim
x
x a
−
→
= − −

a= −
( )
f x

có đạo hàm tại điểm
0x =
( ) ( )
0 0f f
+ −
⇔ =
0 a⇔ = −

0a⇔ =
Vậy giá trò cần tìm là:
0a
=
.
Ví dụ 9. Cho hàm số
x
y xe=
.
1) Tính đạo hàm cấp một
'y
và đạo hàm cấp hai
''y
của hàm số trên. Tổng quát, hãy tìm
đạo hàm cấp n
( )
n
y
.
2) Chứng minh rằng :
'' 2 ' 0y y y− + =
.

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Dân lập Duy Tân, 2000)