Tải bản đầy đủ (.pdf) (24 trang)

Chuyên đề tiếp tuyến của hàm số ôn thi đại học

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (307.68 KB, 24 trang )

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Cho
(m 1)x m
(Cm) : y
xm
−+
=

.
Đònh m để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm trên (Cm) có hoành độ x
0
= 4 thì
song song với đường phân giác thứ 2 của góc hệ trục.

y
|
= =
|
m
f(x)
2
2
m
(x m)



Để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm với đường phân giác
2
():y x


Δ
=− , ta phải có:
2
|2
m
2
m
f1 1m(4m)m
(4 m)

=− ⇔ =− ⇔ = − ⇔ =

2
2


Cho
2
(3m 1)x m m
(C): y ,m 0.
xm
+−+
=
+
≠Tìm m để tiếp tuyến với (C) tại giao điểm với trục hoành
song song y = x. Viết phương trình tiếp tuyến.

Hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành
2
0

mm 1
x,m0,
3m 1 3

⎧⎫
=∉
⎨⎬
+
⎩⎭
,1−

2
|
2
4m
y
(x m)
=
+

Tiếp tuyến tại điểm (C) có hoành độ // y = x
2
22
000
2
0
4m
14m(xm) xmx 3m
(x m)
=⇔ = + ⇔ = ∨ =−

+

2
2
mm
m1
m
3m 1
1
m
mm
3m
5
3m 1


=−
=


+


⇔⇔

=−


−=



⎣+


tiếp tuyến tại (-1,0) có pt : y = x + 1 m=−1


1
m
5
=−
tiếp tuyến tại
3
,0
5


⎝⎠


có pt :
3
yx
5
=


Cho
m
(C): y x 1

x1
=−+
+
.Tìm m để có điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thò vuông góc nhau

Gọi là điểm cần tìm là đường thẳng (d) qua M
000
M(x,y)
0
yk(xx)y⇒= − +
0
0

(d) là t
2

00 0
2
0
m
x1 k(xx)y kxkkkx y
x1
1
1k
(x 1)

−+ = − + = + − − +

+





−=
+


0

00
m
x1 k(x1)(1x)ky
x1
1
x1 k(x1)
x1

−+ = + − + +


+



+− = +

⎩+

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt


00
2
m1
x1 x1 (1x)ky
x1 x1
1
1k
(x 1)

−+ = +− − − +

++




=−

+


[]
0
00
0
2
2
2
2
00

m1
y2
y2(x1)k
k
x1
x1
m1
(1 k)(m 1)
y2(x1)k (1k)(m1)
x1
+

+

=+− +


+


+
⇔⇔
⎨⎨
+
⎛⎞
⎪⎪
=− +
+− + = − +
⎜⎟



+
⎝⎠


0
0
22 2
000000
y2
k
x1
(x 1) k 2(2m x )y 2x y 2)k (y 2) 4m 0 (*)
+



+



++− −−−++−=


Từ M
0
kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau
pt (*)

có 2 nghiệm thỏa k

1
k
2
= -1 và khác
0
0
y2
x1
+
+

0
0
22
00
y2
k
x1
m0
(x 1) (y 2) 4m
+



+
⇔⇒


++ + =


>


Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến của đồ thò
x1
y
x3
+
=

với trục hoành , biết rằng tiếp tuyến đó
vuông góc với đường thẳng y = x + 2006

|
2
4
y,
(x 3)
=− ∀ ≠

x3
Gọi (T) là tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = x + 2006 , khi đó (T) có hệ số góc là K
T
= -1
. Gọi (x
0
,y
0
) là tiếp điểm của (d) và (C) , ta có
0

|
2
0
0
T
x5
4
Ky 1
x1
(x 3)
=

=⇔−=− ⇒

=





00 1
x1y 1(T):y x=⇒ =−⇒ =−


00 2
x5y3(T):y x=⇒ =⇒ =−+8
{
}
{
}

12
(T ) (Ox) O(0,0) ; (T ) (Ox) A(8,0)∩= ∩=


Cho hàm số
x2
yf(x)
x1
+
==

; gọi đồ thò hàm số là (C) , và A(0,a).Xác đònh a để từ A kẻ được 2 tiếp
tuyến đến (C) sao cho 2 tiếp tuyến tương ứng nằm về 2 phía đối với trục Ox


Phương trình tiếp tuyến (T) với (C) tại
0
000 0 0
|
(x )
M(x,y):y y f (x x )−=


0 0
00
2 2
00 00
x2 x2
33
y(xx);A(0,a)(T):a

x 1 (x 1) x 1 (x 1)
⎛⎞ ⎛⎞
++
⇔− =− − ∈ − =− −
⎜⎟ ⎜⎟
−− −−
⎝⎠ ⎝⎠
(x)

0
0
2
2
00
00
0
(x )
x1
x10
g (a 1)x 2(a 2)x a 2 0
(a 1)x 2(a 2)x a 2 0


−≠


⇔⇔
⎨⎨
=
−−+ ++=

−−+ ++=




Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Qua A kẻ được 2 tiếp tuyến khi
0
(x )
g
0=
có 2 nghiệm phân biệt khác 1

|2
2
g
a1 0
(a 2) (a 2)(a 1) 0 2 a 1
g(1) (a 1)1 2(a 2)1 a 2 0

−≠

Δ= + − + − > ⇔−< ≠


=− − + ++≠

Khi đó gọi là 2 tiếp điểm nằm về 2 phía Ox
111 2 2 2

M (x ,y ),M (x ,y )
12 1212
12
12 1212
x2x2 xx2(xx)4
yy 0 0 0(1)
x1 x1 xx (xx)1
⎛⎞⎛⎞
++ +++
⇔<⇔ <⇔ <
⎜⎟⎜⎟
−− −++
⎝⎠⎝⎠

Trong đó x
1
,x
2
là nghiệm của có
0
g(x ) 0=
12
12
2(a 2)
xx
a1
a2
xx
a1
+


+=




+

=

⎩−

(1)
a24(a2)4(a1) 9a6
00
a22(a2)a1 3
++ + + − +
⇔<⇔
+− + +− −
<
2
0a
2
a1
3
3
Đk 2 a 1

⇔⇔>−


⇒− < ≠


−<≠



Cho hàm số có đồ thò (C) . Tìm điểm M thuộc đồ thò (C) sao cho tiếp tuyến của
(C) tại M đi qua gốc toạ độ
32
y2x 3x 12x1=+−−


Ta có
|2
00
y
6x 6x 12 , M(x ,
y
)=+− ⇒
tiếp tuyến tại M
(C)


|2 32
00 0 0 0 0 0 0
0
(x )
yy
(x x )

y
(6x 6x 12)(x x ) 2x 3x 12x 1 (T)=−+=+−−++−−

(T) qua gốc toạ độ O(0,0)
32 2
00 0 00
:4x3x10 (x1)(4xx1)0++=⇔+ −+=
00
x1y12 M(1,1⇔=−⇒= ⇒−2)

Cho hàm số
3
1
yxx
33
=−+
2
có đồ thò (C) . Tìm trên đồ thò (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thò (C)
vuông góc với đường thẳng
12
yx
33
=− +


Gọi
3
000
1
Ax, x x

33

−+

⎝⎠
2


là điểm bất kỳ thộc (C) .
Tiếp tuyến (T) với (C) có hệ số góc
2
0
0
|
(x )
k
y
(x 1) (1)==−

Do (T) vuông góc với đường thẳng
12
yx
33
=− +

k3⇒=
Khi đó
2
00
x13 x 2−= ⇔ =±

Vậy
12
4
A2, ,A(2,0)
3
⎛⎞

⎜⎟
⎝⎠


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Cho hàm số
2
x3x6
y
x1
−+
=

, đồ thò (C) . Từ gốc toạ độ có thể kẻ được bao nhêu tiếp tuyến đến hàm số
(C) , tìm toạ độ tiếp điểm

Gọi (T) là tiếp tuyến của (C)
QuaO
Hệ số góc k




(T) : y kx⇔=
2
2
2
x3x6
kx
x1
x2x3
k
(x 1)

−+
=





−−

=



có nghiệm
22
(x 1)(x 3x 6) (x 2x 3)x
x1

−−+=−−





2
x6x30
x3 6
x1

−+=
⇔⇔=



±

Vậy từ O kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến (C)
1
2
M(3 6,363)
x3 6 y363
M(36,363
x3 6 y 363

⎡⎡
=+ −
=+ = −
⇒⇒

⎢⎢

=− − −
=− =− −

⎢⎢
⎣⎣

)


Cho hàm số
32
y mx (m 1)x (m 2)x m 1 , (Cm)=−−−++−
1.Tìm m để (Cm) đạt cực đại tại x = -1
2.Khi m = 1 , tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)

1.m =1
2.
3
(C): y x 3x ; A(a,2) (d): y 2 (d) : y k(x a) 2=− ∈ =⇒ = −+
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ
3
2
x3xk(xa)2
3x 3 k


=−+

−=



2
x1
f(x) 2x (3a 2)x 3a 2 0
=−



=−+++=


Qua A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) có 2 nghiệm khác 1
f(x) 0⇔=
f
(1)
0
f0

Δ>





2
(3a 2) 8(3a 2) 0
aa
3
23a23a2 0
a1


+− +>
2
<
−∨>


⇔⇔
⎨⎨
++++≠


≠−


Vậy điểm cần tìm là A(a,2)
;
2
aa2a
3
<− ∨ > ∧ ≠−
1
1


Cho hàm số , đồ thò (C). Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ
được 3 tiếp tuyến đến (C)
42
yx2x=− + −


Gọi A(0,a) , (d) là đường thẳng qua A dạng
Oy∈ :y kx a
=
+

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ :
42
42
3
x2x1kxa
3x 2x 1 a 0 (1)
4x 4x k

−+ −= +
⇔−−−=

−+=


Từ A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) khi (1) phải có 3 nghiệm
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

1a 0 a 1⇔− − = ⇔ =−
. Khi đó
42
2
3x 2x 0 x 0 x
3
−=⇔=∨=±


Vậy toạ độ điểm cần tìm là A(0,-1)



Cho hàm số ; đồ thò (C)
32
yx 3x 2=− +
1.Qua A(1,0) có thể kẻ được mấy tiếp tuyến với (C) . Hãy viết phương trình tiếp tuyến ấy
2.CMR không có tiếp tuyến nào khác của (C) song song với tiếp tuyến qua A của (C) nói trên

1.Gọi (d) là đường thẳng qua A(1,0) có hệ số góc k dạng
yk(x1)
=

là tiếp tuyến của (C) khi hệ
32
2
x3x2k(x1
3x 6x k

−+=−

−=

)
3
b
có nghiệm
3
(x 1) 0 x 1 k 3⇔− =⇒=⇒=−

Vậy có 1 tiếp tuyến (d) : kẻ đến (C)
y3x=− +
2.Gọi (T) là tiếp tuyến khác của (C) song song tiếp tuyến tại A dạng
y3x
=
−+

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ :
32
2
x3x2 3xb
3x 6 3

−+=−+

−=−

32
bx 3x 2
b3 (T):y 3x3
x1

=− +
⇔⇒=⇒=−

=

+

(T) (d)≡

vậy không có tiếp tuyến nào khác song song với tiếp tuyến tại A

Cho hàm số
4
2
x
y3x
22
=− +
5
a
, có đồ thò (C)
1.Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thò tại điểm M có hoành độ
M
x
=
.CMR hoành độ các giao điểm của
tiếp tuyến (d) với đồ thò là nghiệm của phương trình
22 2
(x a) (x 2ax 3a 6) 0

++−=

2.Tìm tất cả các giá trò của a để tiếp tuyến (d) cắt đồ thò tại 2 điểm P,Q khác nhau và khác M.Tìm
qũy tích trung điểm K của đoạn thẳng PQ

1.Gọi
44
22
(a)

|
(a)
a5 a5
Ma, 3a (C) y 3a y 2a(a 3)
22 22
⎛⎞
−+∈⇒=−+⇒ = −
⎜⎟
⎝⎠
2

Tiếp tuyến tại M có phương trình
242
35
y2a(a 3)x a 3a
22
=−−++

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) là :
4
224
x5 3
3x 2a(a 3)x a 3a
22 2
−+= −− ++
2
5
2
2


22 2
(x a) (x 2ax 3a 6) 0⇔− + + −=
2.Qũy tích trung điểm K
Theo trên để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt P và Q và khác M thì phương trình : = 0 có
2 nghiệm khác a
2
x2ax3a6++−
|2 2
222
a3
a(3a6)0
a1
a2a3a60


<
Δ= − − >


⎨⎨

++−≠




Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Khi đó
K

42
KKK
xa;x3;x
K
75
yx9x
22

=− ≤ ≠


=− + +


1

Vậy quỹ tích trung điểm K là đường cong
42
7
yx9x
22
5
=
−++
và giới hạn bởi 1x 3≠≤

Cho hàm số có đò thò là (Cm).Đònh m để các tiếp tuyến của đồ thò (Cm) tại A và
B điểm cố đònh vuông góc nhau
42
yx2mx2m=− + − +1

x

Điểm cố đònh A(-1,0) B(1,0) và
|3
y4x4m=− +
||
AB
y
44m;
y
44m⇒=− =−+

Tiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau
||
B
A
y
.
y
1

=−

35
(4 4m)(4m 4) 1 m m
44
⇔− −=−⇒=∨=

Cho hàm số
x1

y
x1
+
=

có đồ thò (C) . Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm ấy chỉ có thể kẻ
được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)

Gọi A(0,a) qua A có phương trình
Oy∈ (d)⇒ ykxa
=
+

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ
2
2
2
x1
kx a
x1 2x
x1
a(a1)x2(a1)xa10(1
2
x1 (x1)
k
(x 1)
+

=+


+−


⇒= +⇔−−+++=


−−

=



)

Từ A có thể kẻ được 1 tiếp tuyến đến (C)
(1)

có 1 nghệm
 Xét
(1)
1
a1 0 a 1 4x2 0 x A(0,1)
2
−= ⇔ = ⎯⎯→− + = ⇒ = ⇒


a1 0 a 1
a1A(a,1
'0 2a20


−≠ ≠

⇔⇔=−⇒
⎨⎨
Δ= + =


)−

Cho hàm số
x1
y
x1

=
+
có đồ thò (C)
Tìm trên đường thẳng y = x những điểm sao cho có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thò và góc giữa 2
tiếp tuyến đó bằng
4
π


Gọi M(x
0
,y
0
) tiếp tuyến tại M tiếp xúc (C) dạng
00
yx M(x,x)∈=⇔ ⇒

0
yk(xx)x
0
=
−+ (d)
Phương trình hoành độ của (d) và (C)
00
x1
kx kx x (1)
x1

−+=
+

Theo ycbt thì (1) có nghiệm kép
2
00 0 0
kx (k kx x 1)x x kx 1 0⇔+−+−+−+=
có nghiệm kép
22 2 2
000
k0
(1 x ) k 2(x 3)k (x 1) 0 (2)




Δ= + − + + − =

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt


Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) tạo thành góc
4
π

(2)⇔
có 2 nghiệm phân biệt thỏa
2
12 12
12 12
kk kk
tan 1 1
1k.k 4 1k.k
⎛⎞
−−
π
=
=⇔ =
⎜⎟
++
⎝⎠

0
0
22
2
2
0
00
12 12

00
k
x1
x10
8(x 1) 0
2(x 3) x 1
51
(k k ) 5k .k 1 0
(1 x ) x 1


+≠



⇔Δ= + > ⇔
⎡⎤⎡⎤
⎨⎨
+−
0

−=
⎢⎥⎢⎥
⎪⎪
+− −=
++

⎣⎦⎣⎦



0
0
2
0
x1
M( 7, 7)
x7
x18
M( 7, 7)

≠−
−−


⇔⇔=±⇒
⎨⎨
+=





Cho Parabol . Tìm những điểm trên trục Oy sao cho từ đó ta có thể vẽ được 2 tiếp
tuyến đến (P) và 2 tiếp tuyến này hợp với nhau 1 góc 45
2
(P) : y 2x x 3=+−
0

Gọi M(0,m) . Phương trình qua M có hệ số góc k là
ykOy∈ xm(d)

=
+

Phương trình hoàng độ giao điểm của (P) và (d) là :
22
2x x 3 kx m 2x (1 k)x m 3 0 (1)+−= + ⇔ + − − −=
(d) là tiếp tuyến của (P) khi (1) có nghiệm kép
0

Δ=

2
k2k8m250(2⇔−+ += )
5


12 12
kk 2;k.k8m2+= = +
Hai tiếp tuyến hợp nhau 1 góc 45
0
khi
0
21
12
kk
tan 45 1
1k.k

==
+


22
1 2 12 12
(k k) 4kk (1 kk)⇔+ − =+
(3)
Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến tạo nhau góc 45
0
khi (2) có 2 nghiệm phân biệt thỏa (3)
|
2
2
k
m3
18m 25 0
16m 112m 193 0
44(8m25)(8m26)
<−⎧
Δ=− − = ⎧
⇔⇔
⎨⎨
+
+=
−+=+



314 314
mm
44
+−

⇔=− ∨=

Vậy
12
314 314
M0, ,M0,
44
⎛⎞⎛
+−

⎜⎟⎜
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝






Cho hàm số
2
x
y
x1
=

gọi đồ thò là (C) . Tìm trên đường y = 4 tất cả các điểm mà từ mỗi điểm đó có thể
kẻ tới (C) 2 tiếp tuyến lập nhau góc 45
0


Gọi A(a,4) là đường thẳng tuỳ ý trên y = 4
Gọi (T) là đường thẳng
Qua A(a,4)
có dạng: y k(x a) 4
Có hệ số góc là k

=
−+



Và mọi đường thẳng (T
1
) và (T
2
) đi qua A có hệ số góc k đều có dạng :
12
yk(xa)4vàyk(xa)4=−+ =−+
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Do (T
1
) và (T
2
) tạo nhau 1 góc 45
0
khi
0
12
12

kk
tan 45
1k.k

=
+

22 22
12 1 2 12 1 2 12
(1 kk) (k k) (1 kk) (k k) 4kk 0 (1)⇔+ = − ⇔+ − + + =

Do (T) là tiếp tuyến của đồ thò (C)
2
x
k(x a) 4
x1
⇔=−+

có nghiệm kép
2
(1 k)x (4 ka k)x 4 ka 0⇔− −− − +− = có nghiệm kép khác
1
2
22
k1
1k 0
k (a 1) 4(a 2) 0 (2)
(a 1) k 4(a 2)k 0




−≠
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎡⎤
−− − =
Δ= − − − =


⎣⎦


Qua A kẻ được tới (C) 2 tiếp tuyến lập với nhau 1 gó 45
0
khi phương trình (2) có 2 nghiệm k
1
,k
2
(k 1)


và thỏa mãn hệ thức (1)
2
k0
4(a 2)
k
(a 1)
=





=



thỏa mãn (1) khi
2
2
2
2
2
4(a 2)
k1
a3
(a 1)
a1
4(a 2)
a2a70
k0.(10) 0 4.00
(a 1)


=≠




⎪⎪

⇔≠
⎨⎨

⎡⎤
⎪⎪
+
−=
=+−+ +=

⎢⎥


⎣⎦


a12
a12

=− −


=− +


2
2

Vậy
12
A( 1 2 2,4), A( 1 2 2,4)−− −+



Cho hàm số
2
xx2
y
x1
++
=

có đồ thò (C) . Tìm trên (C) các điểm A để tiếp tuyến của đồ thò tại A vuông
góc với đường thẳng đi qua A và có tâm đối xứng của đồ thò

Giả sử
00
0
4
Ax,x 2
x1

++


⎝⎠


là điểm bất kỳ trên (C) và I(1,3) là giao điểm 2 đường tiếm cận
00
0
4

AI 1 x ,1 x
x1
⎛⎞
⇒=− −−
⎜⎟

⎝⎠
uur

Như vậy là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AI
AI
uur
Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tiếp xúc với (C) tại A , có hệ số góc
|
2
00
0
(x )
4
ky 1 a 1,1
(x 1) (x 1)
⎛⎞
==− ⇒=−

−−
⎝⎠
r
2
4


là vectơ chỉ phương của (d) ; do đó
(d) (AI) a.AI 0⊥⇔=
r
uur

0
4
x18⇒=±

Vậy có 2 điểm
44
44
12
44
4388 4388
A1 8, ,A1 8,
88
⎛⎞⎛
−+ ++
−+
⎜⎟⎜
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝






Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt


Cho hàm số
2
x3x2
y
x
−+
=
.Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm M sao cho từ M kẻ được 2 tiếp
tuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc nhau

Gọi M(1,m) .Đường thẳng (T) qua M có hệ số góc k dạng :
x1∈=
yk(x1)m
=
−+

Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C) khi hệ
2
2
2
x3x2
k(x 1) m
x
x2
k
x

−+
=−+






=


( I ) có 2 nghiệm thỏa mãn
11
22
(x ,k )
(x ,k )



12
k.k 1
=

Từ ( I )
2
(m 2)x 4x 2 0 (*) , x 0⇒+ −+= ≠
Theo ycbt
22
12
22
12
m20
'42(m2)0

(x 2) (x 2)
.1
xx


+≠


⇔Δ=− + >


−−

=−



22
12 1 2 12 12
m2
m0
(xx ) 2 (x x ) 2xx 4 (xx)

≠−


⇔<


⎡⎤

−+− +=−

⎣⎦

22
2m0
244
24
m2 m2 m2 m2
−≠ <


⎡⎤


⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞
−−+=−
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟

+++
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦

2
2
+
2
2m0

2m0
m3
m6m20
m37
−≠ <

−≠ <


⇔⇔⇔=
⎨⎨
++=
=− ±



7−±

Vậy
12
M(1, 3 7),M(1, 3 7)−− −+


Cho hàm số .Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được đúng 3 tiếp tuyến của đồ
thò (C) , trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.
3
yx 3x=+
2

Gọi M(m,0) là điểm bất kỳ trên trục hoành

Đường thẳng (d) đi qua M có hệ số góc là k dạng :
yk(xm)
=


(d) là tiếp tuyến (C) khi
32
2
x3x k(xm)
(I)
3x 6x k

+=−

+=

Qua M kẻ được 3 tiếp tuyến của (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau khi ( I ) có 3 giá trò k
sao cho 2 trong 3 giá trò đó tích bằng -1
Khi đó ( I )
32 2 2
x 3x (3x 6x)(x m) x 2x 3(1 m)x 6m 0
⎡⎤
⇔+ = + − ⇔ +− − =
⎣⎦
2
x0
2x 3(1 m)x 6m 0 (*)
=




+− − =


Theo ycbt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
2
m3
3m 10m 0
1
m0
m0
3
<−


Δ= + +>

⇔⇔



<≠




Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Khi đó pt (*) có 2 nghiệm và
12

12
2
xx (m1
3
xx 3m

+= −



=−

)

Khi qua M kẻ được 3 tiếp tuyến của (C) thì
22
1112 223
k3x6x,k3x6x,k0
=
+=+=

Theo bài toán :
22
12 1 1 2 2
k k 1 (3x 6x )(3x 6x ) 1=− ⇔ + + =−
1
m
27
⇒=
thỏa hoặc m<−3

1
m0
3
−< ≠

Vậy
1
M,0
27
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠


Cho hàm số
2
2x x 1
y
x1
−+
=

có đồ thò (C) . Tìm trên trục hoành 4 điểm từ đó dựng được tiếp tuyến hợp
với Ox góc 45
0
. Viết phương trình tiếp tuyến đó

Tiếp tuyến hợp với Ox góc 45
0
là tiếp tuyến có hệ số góc

k1
=
±

TH1:
|
2
2
ky1 2 1 x1 2
(x 1)
==⇔− =⇒=±


1
2
(T ): y x 2 2 2
x1 2 y332
(T ) : y x 2 2 2
x1 2 y332

⎡⎡
=+−
=− =−
⇒⇒ ⇒

⎢⎢
=++
=+ =+

⎢⎢

⎣⎣


TH2:
|
2
22
ky 1 2 1 x1
(x 1) 3
==−⇔− =−⇔=±


3
4
22
x1 y35
(T ) : y x 4 2 6
33
(T ) : y x 4 2 6
22
x1 y35
33
⎡⎡
=− =−
⎢⎢

=− − −
⎢⎢
⇒⇒ ⇒


⎢⎢
=− + +


=+ =+
⎢⎢
⎣⎣


Cho hàm số có đồ thò (C)
32
yx 3x 2=− +
1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) để tiếp tuyến đó qua
23
A,2
9
⎛⎞

⎜⎟
⎝⎠

2.Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thò (C) 2 tiếp tuyến vuông góc

1.Tiếp tuyến (C) qua A :
23
y
kx 2
9
⎛⎞
=−−

⎜⎟
⎝⎠

Ta có :
32
2
23
x3x2kx 2
9
3x 6x k

⎛⎞
−+= − −

⎜⎟
⎝⎠


−=


2
(x 2)(3x 10x 3) 0⇒− − +=
x2,k0
x3,k9
15
x,k
33



==

⇔==


==−


tiếp tuyến ⇒
(d):y 2
(d):
y
9x 25
56
(d):y x
32


=−

=−


=− +


1
7

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt


2.Gọi A(a,-2)
y2∈=−
Đường thẳng (T) qua A có hệ số góc là k , có phương trình
yk(xa)2
=
−−

Điều kiện (T) và (C) tiếp xúc nhau là:
32
2
2
x3x2k(xa)2
(x 2) 2x (3a 1)x 2 0
3x 6x k

−+=−−
⎡⎤
⇒− − − +=

⎣⎦
−=


2
12 12
x2;k0 y 2
3a 1
g
(x) 2x (3a 1)x 2 0 có x x ;x .x 1

2
==⇒=−





=−−+= += =


Để từ A dựng 2 tiếp tuyến vuông góc khi g(x) = 0 có 2 nghiệm x
1
,x
2
sao cho k
1
(x
1
).k
2
(x
2
) = -1
2
22
12 1122
g
(2)
5
a1a

0
(3a 1) 16 0
3
k .k 1 (3x 6x )(3x 6x ) 1 27a 55
g 0 a2 a2

<
−∨ >
Δ>



−−>



⇔=−⇔− −=−⇔=
⎨⎨ ⎨
⎪⎪ ⎪
≠≠ ≠





55 55
aA,
27 27
⎛⎞
⇔= ⇒ −

⎜⎟
⎝⎠
2
2


Cho hàm số . Tìm những điểm trên đường thẳng y = 2 từ đó dựng được 3 tiếp tuyến đến
đồ thò
32
yx3x=− + −

Gọi A(a,2)
y2∈=
Đường thẳng (T) qua A có hệ số góc k có phương trình :
yk(xa)2
=
−+
là tiếp tuyến của (C) khi hệ :
có nghiệm
32
2
x3x2k(xa)2
3x 6x k

−+ −= −+

−+=

2
2

(x 2) 2x (3a 1)x 2 0 x 2 0
2x (3a 1)x 2 g(x) 0
⎡⎤
⇒− − − +=⇔−=

⎣⎦


−+= =


Để qua A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) khi g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2 thỏa :
g
(2)
5
0
3(a 1)(3a 5) 0
a1a
3
g0
a2
a2

Δ>

+−>
<
−∨ >

⎪⎪

⇔⇔ ⇔
⎨⎨ ⎨









Vậy
5
a1a a
3
<− ∨ > ∧ ≠
2


Cho họ đường cong
(m 1)x m
(Cm) :
y
,m 0
xm
−+
=


.Chứng minh rằng (Cm) tiếp xúc 1 đường thẳng cố

đònh tại 1 điểm cố đònh khi m: thay đổi

Gọi (x
0
,y
0
) là điểm cố đònh mà (Cm) đi qua khi
0
0
0
(m 1)x m
y
xm

+
=


00 00
(x y 1)m x (y 1) 0 :⇔+−− += có nghiệm m0

≠ ;
0
xm


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

00 0 0
00 0 0

x
y
10 x 0 x 2
x(
y
1) 0
y
1
y
1

+−= = =
⎧⎧

⇔⇔∨
⎨⎨⎨
+= = =−

⎩⎩


Điều kiện ; nên A(0,1) thỏa bài toán
m0∀≠
0
xm≠
Vậy A(0,1) là điểm cố đònh mà (Cm) đi qua
Ta lại có
22
||
22

(0)
mm
yy 1;
(x m) (0 m)
=
−−
=⇒ =−∀
−−
m0≠

Vậy phương trình tiếp tuyến với (Cm) tại A là
|
A
A
(0)
yy y
(x x )−= −

yx1⇔=+


Cho hàm số ,đồ thò là (C) . Tìm trên đường thẳng y = -4 những điểm A mà từ đó có thể
kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)
3
yx 12x12=− +

Gọi A(a,-4)
y4∈=− (d): y k(x a) 4⇒=−−
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ
3

2
x12x12k(xa)4
3x 12 k


+= −−

−=


2
x2
g(x) 2x (4 3a)x 8 6a 0
=



=+− +−=


Để qua A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt
g(x) 0

=
có 2 nghiệm phân biệt khác 2
(2)
g
4
0
a4a

3
g0
a2


Δ>
<− ∨ >
⎪⎪
⇔⇒
⎨⎨

⎪⎪




Vậy những điểm
4
A(a, 4);a 4 a a 2
3
−<−∨>∧≠
thỏa bài toán

Cho hàm số , có đồ thò là (C)
43
yx 4x 3=− +
1.Chứng minh rằng tồn tại một tiếp tuyến duy nhất tiếp xúc với đồ thò (C) tại 2 điểm phân biệt
2.Viết phương trình tiếp tuyến thứ 2 với đồ thò song song với tiếp tuyến vừa kể . Cho biết hoành
độ tiếp điểm
3.Dựa vào các kết quả trên , tuỳ theo tham số m , suy ra số nghiệm phương trình :


43
x4x8xm0−++=

1.Tiếp tuyến tại 2 điểm của (C) dạng
yaxb
=
+
(d)
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:
43
x4x3axb

+= +
43
x4xax3b0⇔− −+−=
(1)
Để (d) tiếp xúc (C) thì phải có đồng thời 2 nghiệm kép
43 2
x4xax3b(x )(x)⇔− −+−=−α −β
2

43 4 322 2
x 4x ax 3 b x 2( )x ( 4 )x 2 ( )x⇔ − − + − = − α+β + α +β + αβ − αβ α+β
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Đồng nhất thức 2 vế
22
22
22

40
2( )a a 8
3b b 1
α+β= α+β=
⎧⎧
⎪⎪
α+β+αβ= αβ=−
⎪⎪

⎨⎨
αβ α+β = = −
⎪⎪
⎪⎪
αβ = − =−
⎩⎩
2
1
tiếp tuyến : y 8x 1 (d )
hoành độ tiế
p
điểm : 1 3 ; 1 3
=− −




α= − β= +




2.Tiếp tuyến song song
y8

x=− −1
Ta có
|32
y8 4x12x 8 x1 y0
x1 3
x1 3
=− ⇔ − =− ⇔ = ⇒ =


=−


=+

)
Vậy tiếp tuyến thứ 2 có phương trình
2
y8x8(d
=
−+
3.
3344
x4x8xm0 x4x38xm−++=⇔−+=−+3
Là phưong trình hoành độ giao điểm giữa
34
(C): y x 4x 3
(d):8x m 3


=
−+

−+


{
}
{
}
{}
1
2
(d ) O
y
0, 1 , (d) O
y
0,3 m
(d ) Oy 0,8
∩=− ∩= −
∩=

-m + 3 m Nghiệm phương trình

+∞
m < -5 2 nghiệm
8 m = -5 3 nghiệm (có 1 nghiệm kép x = 1)
-5 < m < 4 4 nghiệm phân biệt
-1 m = 4 2 nghiệm kép x =

13 ±

−∞ m > 4 Vô nghiệm


Cho hàm số
2
(3m 1)x m m
y
xm
+−+
=
+
,
m0

có đồ thò là (Cm)
1.Với giá trò nào của m thì giao điểm của đồ thò với trục hoành , tiếp tuyến sẽ song song với
đường thẳng y = x – 20 . Viết phương trình tiếp tuyến ấy
2.CMR : (Cm) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố đònh
3.Trên đường thẳng x = 1 , chỉ ra tất cả các điểm mà không có đường nào của (Cm) đi qua

1.
2
2
00
mm 1
(Cm) Ox : (3m 1)x m m 0 x ;m 0;m
3m 1 3


∩+−+=⇔= ≠≠
+

Ta có :
22
||
0
22
4m (3m 1)
yy
(x m) 4m
+
=⇒=
+

Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x – 10
2
|
0
2
(3m 1)
y1
4m
+
1

=⇔ =
1
00
2

00
A( 1,0) , (T ): y x 1
m1,x 1,y0
33
13
B,0,(T):yx
m,x,y0
55
55
−=

=− =− =



⇔⇔
⎛⎞


+
=

=− = =
⎜⎟


⎝⎠


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt


2.Gọi đường thẳng cố đònh là y = ax + b
Phương trình hoành độ giao điểm :
2
(3m 1)x m m
ax b
xm
+−+
=
+
+

[
]
22
ax (a 3)m b 1 x m (b 1)m 0⇔+−+−++−=

ĐKTX :
[]
22
a0
a0
m
(a 10a 9)m 2 (a 3)(b 1) 2a(b 1) m (b 1) 0
0




∀⇔

⎨⎨
−+ + − −− − +−=
Δ=


2
1
2
a1
(T ) : y x 1
a9
(T ) : y 9x 1
b1

=

=+



⇔⇔
=
⎨⎨

=+


=



3.Gọi A(1,a)
x1∈=
Ycbt :
2
3m 1 m m
A(Cm)Khi:a
1m
+− +
∉=
+
vô nghiệm m
2
m(a4)ma1⇔+− +−=0 vô nghiệm m khi
m0
Δ
<

2
a12a200 2a10⇔− +<⇔<<

Những điểm mà (Cm) không qua là
A(1,a) ; 2 a 10
<
<


Cho đường cong ; đồ thò (C)
3
y3x4x=−
1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) để tiếp tuyến đó đi qua M(1,3)

2.Tìm trên đường cong y = -9x + 8 những điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến đến (C) và chúng
vuông góc nhau

1.Gọi (d) là đường thẳng qua M(1,3) và có hệ số góc là k có pt : y = k (x – 1) và có x
0
là hoành độ tiếp
điểm , khi đó ta có :
3
00 0 0
2
0
0
3x 4x k(x 1) 3 x 0 ; k 3 ; y 3x
312x k 3
x;k24;
y
24x 27
2

−= −+⇔= = =




−=

=
=− =− +




2.Gọi . Mọi đường thẳng qua A có hệ số góc là k đều có phương trình :
A(a, 9a 8) y 9x 8−+∈=−+
yk(xa)9a8=−−+
và x
0
là hoành độ tiếp điểm khi hệ
3
00
2
0
3x 4x k(x a) 9a 8
312x k

−=−−+

−=

có nghiệm
0
2
00 0
0
2
00
()x
(x 1) 2x (2 3a)x 2 3a 0
x1;k9
f2x(23a)x23a
⎡⎤

⇔− −− +−=
⎣⎦
==



=−− +−=

0

Theo bài toán ta có = 0 có 2 nghiệm phân biệt
0
()xf
2
2
(2 3a) 8(2 3a) 0 a a 2 (*)
3
⇔− − − >⇔>∨<−

0
()xf = 0 thỏa k
1
.k
2
= -1
0
22
12
222
12 11 12 12

(x )
(3 12t )(3 12t ) 1
9 36 (t t ) 2t t 144t t 1 Với t t là 2 nghiệm của f = 0
⇔− − =−
⎡⎤
⇔− + − + =−
⎣⎦

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Gọi (Cm) là đồ thò
2
x(12m)xm
yf(x)
x1
+− −
==

. Hãy xác đònh giá trò m để (Cm) cắt Ox tại 2 điểm và 2
tiếp tuyến đó vuông góc với
Giải



2
2
x2xm
y' f '(x)
(x 1)
++

==
+
;
m
yx2m ;(m0)
x1
=− + ≠
+

(Cm) cắt Ox tại hai điểm phân biệt

phương trình :
2
x(12m)xm0
+
−−= (1) có hai nghiệm
phân biệt khác -1

2
2
(1 2m ) 4( m) 0
(1) (1 2m)(1) m 0

Δ= − − − >


−+− −−≠






đúng.

2
4m 1 0
m0
+>



Vậy với
m
thì (Cm) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt với
0
12
( ,0), ( , 0)Mx Nx
12
,
x
x là 2 nghiệm của
phương trình (1). Khi đó ta có :
12
xx 2m1
+
=− và
12
xx m
=


Tiếp tuyến tại M, N vuông góc nhau

12
'( ) '( ) 1fxfx
=

() ()
()()
22
11 2 2
22
12
22
22
11 2 2 1 2
2222
12 12 1 2 1 2 1 2 12 12 1 2
222
2
x2xmx2xm
1
x1 x1
(x 2x m)(x 2x m) x 1 x 1
(x x ) 2x x (x x ) m(x x ) 2m(x x ) m 4x x (x x x x 1)
4m m(2m 1) 4m m
m(4m m 3) 0
⎛⎞⎛ ⎞
++ ++
⎜⎟⎜ ⎟
⇔=−

⎜⎟⎜ ⎟
++
⎝⎠⎝ ⎠
⇔++ ++=−+ +
⇔ + ++ + + +++ =− +++
⇔+ −−=−
⇔+−=
2

m0⇔=
(loại) V m1 V =−
3
m
4
=

V
1m =−
3
4
m =

Vậy


Nhận xét
:
1) Nếu ko đặt điều kiện để tồn tại (Cm) là hàm hữu tỉ hoặc không nói rõ (Cm) cắt Ox có hai
nghiệm khác mẫu số (nghóa là ) thì ắt hẳn ta nhận m=0 làm nghiệm thì kết quả sai.
0m ≠

0m ≠
2) Thông thường các em quen dùng Viet cho y' . Nhưng yêu cầu bài toán không đề cập y' để
trong Viet của phương trình bậc hai.
12
'( ) '( ) 1fxfx=−

1/ Cho hàm số có đồ thò (C) .Tìm phương trình tiếp tuyến tiếp xúc (C) tại hai điểm
phân biệt , tính toạ độ tiếp điểm.
432
23yx x x=− − +5
6
2/ Chứng minh rằng có 1 tiếp tuyến duy nhất tiếp xúc (C) :
432
427
y
xxxx
=
+−++
tại hai điểm phân
biệt . Tìm toạ độ tiếp điểm.
3/ Xác đònh a, b để (d) : y= ax+b tiếp xúc với đường cong (C) :
432
6263
y
xxx x
=
−+++
tại hai điểm
phân biệt. Tìm toạ độ tiếp điểm
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt













1/ Gọi (d) : y = ax + b.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) :
3x

432
235
x
xx axb

−+=+

432
235xxx axb⇔− − +−−=0

Phương trình (1) phải có 2 nghiệm kép
12
,
x

x phân biệt.
(1) viết lại
432 2 2
12
235 ( )( )x x x axb xx xx⇔− − +−−=− − =0
2432 4 3 2 2 2
12 12 12 1212 12
235 2()()2 2()
x
x x axbx xxx xx xxx xxxxxxx
⎡⎤
⇔− − +−−=− + + + + − + +
⎣⎦
= 0
Đồng nhất thức hai vế ta được:
12
2
12 12
12 1 2
22
12
2( ) 2
()2
2( )
5
xx
xx xx
xx x x a
xx b
+=



++ =−


+=


=−

3

12
12
1
2
4
1
xx
xx
a
b
+=


=−



=−



=

⇒ tiếp tuyến của (C) tại hai điểm phân biệt (d): y= -4x+1. Hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình
:
⇔ x= -1 V x= 2
2
20xx−−=
Vậy 2 tiếp điểm là ; A (-1,5) ; B (2,-7)

2/ Tương tự y = 5x - 3 ; C (1,2) ; D (-3,-18)
3/ Tương tự y = 2x - 13; E (-1,-15) , F (4,-5)

Cho (C) :
2
(1) (52)21
3
mx m xm
y
x
−−++−
=

4
và (d) : y = 2mx + 2 .
1.

Xác đònh m để (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B.
2.


Gọi M là giao điểm của (d) và trục Oy. Tính theo m toạ độ của điểm N trên (d) thoả mãn hệ thức
NA MA
NB MB
=−
uuur uuur
uuur uuur
.
3.

Tìm quỹ tích điểm N khi m thay đổi.

1. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
2
(m 1)x (5m 2)x 2m 14
x3

−++−

=2mx+2;
3x


2
(1) (4)82mx mx m⇔+ +− +− =0 (1).
(d) cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt

(1) có 2 nghiệm phân biệt
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt


2
m1 0
9m 32m 16 0
+≠


Δ= − − >


4
m V m >
9
m-1

<−






4

2.
AN
AM
BN BM
xx
x
xNA MA

x
xxx
NB MB
⎛⎞


=− ⇔ =−
⎜⎟
−−
⎝⎠
uuur uuur
uuuruuur

()2
ABN AB N
xxx xx x⇔+ = ⇔=4
2228
NN
y
mx m=+=− ⇒ N (-4,2-8m).
3.
N
x
= -4 : x = -4 giới hạn bởi:⇒
()Nd∈
1
4
9
4
m

m
m






<






>



2
1
8
29
84
2
4
8
y
y
y











<








>




10
30
50
9
y
y

y



<−⎪






>




Quỹ tích điểm N là phần đường x = -4 , ứng y< -30 V y >
50
9
với
10y



Cho hàm số : ; (C) .Tìm các điểm thuộc đồ thò (C) mà qua đó kẻ được một và chỉ một
tiếp tuyến tới đồ thò (C).
32
3yxx=− + −2



Gọi . Phương trình đường thẳng (t) qua M có hệ số góc là k có dạng
32
000 0 0 0
(, )() 3 2Mxy C y x x∈→=−+−
00
()
y
kx x y=−+
(t) tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm :
32
0
2
32( )
36
0
x
xkxx
xxk

y

+−=−+


−+=


với
32
000

32yxx=− + −
2
0000
0
2
000
0
2
00
0
0
0
()2(3)(3)
0
2(3) (3)0;(3)
(3) : 9( 1) 0, 1
3
V
2
xx x xxxx
xx
xxxxx
xx
xx
xx
x
xxx
⎡⎤
⇔− − ++ + − =
⎣⎦

−=



−++ + −=

=



Δ= − > ∀ ≠

=





==

0

2
00
0
2
0
00
36
3

33
36
2
22
kxx
xx
x
x
x
x
k

=− +
=



⇔⇒

−−

⎛⎞⎛⎞

=
=− +
⎜⎟⎜⎟


⎝⎠⎝⎠



Vậy qua
000
(, )()
M
xy C∈ có 2 tiếp tuyến với tiếp điểm
0
0
3
,
2
x
xxx

==
. Muốn có 1 và chỉ 1 tiếp tuyến
với (C) , điều kiện cần và đủ là 2 tiếp điểm phải trùng nhau
0
00
3
1, 0
2
x
xx
0
y


=⇔==
. Khi đó hệ số

góc của tiếp tuyến là k = 3.
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

2
Kết luận : Vậy có tiếp tuyến duy nhất của (C) là : y=3(x -1) với tiếp điểm
0
(1, 0)M

Cho đường cong
3
3
y
xx=− + +
tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến với
đường cong








Gọi
0
(,0)
M
x∈Ox: Đường thẳng qua M có dạng
0
()

y
kx x
=
− ;(t)
(t) là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm:
32
0
2
00
2
32( )
(1)2 (3 2)3 20;(1
36
xx kxx
xxxxx
xxk

−+ −= −

⎡⎤
⇔+ − + + +=

⎣⎦
−+=


)

Qua vẽ được 3 tiếp tuyến với đường cong khi : (1) có 3 nghiệm phân biệt
0

(,0)Mx
2
00
2
00
(1) 0
000
(3 2) 8(3 2) 0
;() 2 (3 2) 3 2
660
2
1; 1 ; 2
3
xx
fx x x x x
fx
xxx


Δ= + − + >

⇔=−

=+>


⇔<−<<− >
+++

Viết phương trình tiếp tuyến chung của

2
2
y
xx
=
− ;
3
24
y
xx
=
+−
Gọi y= ax+b là tiếp tuyến chung và giả sử
12
,
x
x là hoành độ tiếp điểm. Với
2
2
y
x=−x
4

3
2
y
xx=+− . Khi hệ sau có nghiệm
2
22
111

1111 1
2
1
2
2
12 1
3
22 2
2
2
32
2
2
22 22
2;(1)
2(22)
22;(2)
34
23 2
2
24 ;(3)
(3 4)
32;(4)
24(3 2)
4
xxaxb
bx xxx x
xa
x
xx x

xx axb
x
xa
xx xx


−=+
⎪= − − − =−


−=
+
⎪⎪
⇒−= +⇒=
⎨⎨
+−=+
⎪⎪
⎪⎪
+
+=

+−= +−



43
22 2
2
2
2

2
2
1
2
1
98240
0
32
2
34
4
2
xx x
x
ax
a
x
x
b
bx

−+ =

=

=+

⎪⎪
⇔⇒
=

24yx⇒= −
⎨⎨
+
=
⎪⎪
=−



=−



Cho hàm số
2
2
x
y
x
+
=

.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số đi qua A (-6,5)

Phương trình đường thẳng qua A (-6,5) có hệ số góc là k :
(6)ykx 5
=
++
, (d)
(d) là tiếp tuyến của đồ thò (C)

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

22
44
1(6)51(2)8
22
44
(2) (2)
kx kx k
xx
kk
xx
⎧⎧
+=++ +=−++
⎪⎪
−−
⎪⎪

⎨⎨
⎪⎪
−= −=
−−
⎪⎪
⎩⎩
5

2
2
44
185

2
21
22
2
4
(2 1)
(2)
k
k
xx
x
k
kk
x

+=−++


=
+
−−
⎪⎪
⇔⇔

⎨⎨
⎪⎪
−=
−+=






1
1
4
k
k
=−




=−

với k = -1 :y= -x -1 với
1
4
k =−
:
17
42
yx
=
−+


Cho hàm số
2
43

4
mx x
y
xm
+−
=
+
.Với giá trò nào của m thì tiếp tuyến của đồ thò tại điểm có hoành độ x = 0
vuông góc với tiệm cận.

• Tiệm cận đứng : .
40xm+=
• Tiệm cận xiên :
37
.
416
yx=− + m

• y' =
22
12 6 16
(4 )2
xmxm
xm
−+−
+

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thò tại
0
0x

=

2
(0)
2
16
'
m
y
k
m

=
=
tiếp tuyến vuông góc với TCĐ thì k = 0
2
2
16
04
m
m
m


=⇔ =±
TCX
3
1
4
k⇔− =−

vô nghiệm.
⇒ tiếp tuyến tại x = 0 chỉ vuông góc TCĐ khi
4m
=
±


Cho hàm số
3
():
4
mx
Hm y
x
m

=
+−

1/ Đònh m nguyên để hàm số nghòch biến trên từng khoảng xác đònh
2/ Với m= 2 . Tìm những điểm trên (H) mà tại đó tiếp tuyến của (H) lập với Ox 1 góc dương . Viết
phương trình tiếp tuyến.
0
135


1/
2
2
4

'
(4
mm
y
xm
−+
=
+−
3
)
. Hàm số nghòch biến trên từng khoảng xác đònh
2
'0 4 30ymm

<⇔ − +<
13
2
:
m
m
gt m
<<

⇔⇒

∈Ζ

=

2/ m=2


23
2
x
y
x

=

.
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Gọi
0
00 0
0
23
(, )()
2
x
Mx y H y
x

∈⇒=


0
2
0
2

0
0
0
00
1
00 2
1
'
1
(2)
1
(2)
' tan135 1
3; 3
(1,1)
1; 1 ( 3, 3)
y
x
x
ky
xy
M
xy M

=−


⇒=




== =−

==


⇒→


==



phương trình tiếp tuyến tại
1
2
:2
:6
My x
M
yx
=− +
=− +


Cho hàm số
2
21
1
x

x
y
x
−+
=


1/ Chứng tỏ trên đường thẳng y = 7 có 3 điểm M kẻ được đến (C) chỉ 1 tiếp tuyến // Ox
2/ Chứng tỏ trên đường thẳng y = 7 có 4 điểm sao từ điểm đó có thể kẻ đến (C) 2 tiếp tuyến lập với
nhau 1 góc
0
45
ĐS: 1/
12 3
(1, 7), (2,7), (3,7)MM M
2/
12
( 3 2 6); (5 2 2)MM−± ±


Cho hàm số
2
2
x
mx m
y
x
++
=
+

; đồ thò (Cm) ; m tham số .Tìm m để đồ thò hàm số cắt trục hoành tại hai
điểm phân biệt và tiếp tuyến tại 2 điểm đó vuông góc với nhau.

Đồ thò hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt khi phương trình :
2
0
2
xmxm
x
++
=
+
có hai nghiệm phân
biệt khi
2
x
mx m++
=0 có 2 nghiệm phân biệt
2
40
2
42 0
xm
x
mm

Δ
=− >
≠− ⇔



+≠


0
4
m
m
<



>

. Vậy với m< 0 V m > 4 thì đồ thò hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt A, B có hoành
độ
,
AB
x
x là nghiệm của phương trình :
2
x
mx m
+
+
= 0.
Hai tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau .
() ()
''
AB

yy 1

=−

[]
22
22
2
44
1
(2) (2)
(4 ) 2( ) 4 0,(1)
AA BB
AB
AB AB A B
xxmxxm
xx
mxx xx x x
⎛⎞⎛⎞
++ ++
⇔=
⎜⎟⎜⎟
++
⎝⎠⎝⎠
⇔− + + + +=


Với
AB
AB

xx m
x
xm
=


+=−

thì (1)
22
(4 ) (4 ) 0mm m⇔− +− =
m= 4 (loai) vì m >4
1
m= -1 ( nhân) vì m< 0
m

⇔=−




Cho hàm số có đồ thò là (Cm). Tìm m để đường thẳng (d) : y= -x+1 cắt (Cm) tại 3 điểm
phân biệt A (0,1) , B,C sao cho các tiếp tuyến tại B và C của (Cm) vuông góc
32
1yx mx=+ +
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

f
m⇔Δ = − >



Ta có : . Để (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt thì f(x) = 0
buộc có 2 nghiệm phân biệt khác 0
32
2
()
0
11
10
x
x
xmx x
fxmx
=

++=−+⇔

=+ +=


2
'40

m< -2 V m > 2

12
,
x
x là hoành độ của B và C thoả :
12

12
()
1
xxm
I
xx
+=


=


Ta có hệ số góc tiếp tuyến tại B là :
1
2
1() 1 1
'(32
x
ky x mx==+)
)
hệ số góc tiếp tuyến tai C là :
2
2
2() 2 2
'(32
x
ky x mx==+
Để 2 tiếp tuyến tại B và C vuông góc thì:
12
1kk

=

2
12 12 1 2
96()4 1;()
x
xxx mxx m II
⎡⎤
⇔+++=−
⎣⎦

Từ (I) và (II)
2
5mm⇒=⇒=±5 thoả m< -2 Vm> 2.
Vậy
5m =± thoả bài toán.

Cho đường cong (Cm) :
32
y
xmxm=− + −
và đường thẳng : y= k(x+1)+1 . Tìm điều kiện giữa k và m
để cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt . Tìm k để cắt (Cm) thành 2 đoạn bằng nhau.
()
k
d
()
k
d ()
k

d

()
k
d : y=k(x+ 1)+1 luôn qua A(-1,1) nên ( có điểm chung (Cm) là A. Phương trình hoành độ giao
điểm của
( và (Cm) :
)
k
d
)
k
d
32
x
mx m−+ −
= k(x+1)+1
2
2
(1) (1 ) 10
1
() (1 ) 1 0
xx mxmk
x
gx x mx m k
⎡⎤
⇔+ −+ +++=
⎣⎦
=




=−+ +++=


Để
( cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt khi g(x)= 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1 )
k
d
2
(1)
1
0
(2
4
0
23
g
kmm
g
km


Δ>

<−−
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨





≠− −

3)

Do qua A (-1,1)
∈ (Cm) nên ( cắt (Cm) thành 2 đoạn bằng nhau thì qua điểm uốn
I
()
k
d )
k
d ()
k
d
3
2
,
327
m
mm

−+

⎝⎠


của (Cm) khi đó toạ độ I thoả : ()

k
d
3
2
1
27 3
m
mmk
⎛⎞

+=+
⎜⎟
⎝⎠

3
42(
27( 1) 2
mm
k
mm
+
⇒= −
++
1)


Xét hàm số
2
3
1

x
xa
y
x
++
=
+
, a là tham số .
1/ Khảo sát và vẽ đồ thò khi : a= 3 ;
()
()
H
SC
=
, TCX x=1, x= 5 hoặc
()
()
H
SC
=
, TCX x= -3, x= -2 .
2/ Với những giá trò nào của tham số a thì đồ thò của hàm số trên có tiếp tuyến vuông góc với đường
phân giác thứ nhất của hệ trục toạ độ ? CMR khi đó đồ thò hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu .


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

2
2
23

'
(1)
xx a
y
x
++−
=
+
;1x

tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác , góc phần tư thứ nhất y=x là đường
thẳng có phương trình : y= -x +m. (t). với (t) là tiếp tuyến của(C) khi hệ sau cónghiệm
2
2
2
3
,(1)
1
23
1, ( 2)
(1)
xxa
xm
x
xx a
x

++
=− +


+


++−

=−

+


(1) có nghiệm có nghiệm
2
13()(xxxaxmx≠⇔ + + =−+ +1)
1x



2
2
(1)
2
(4 ) 4.2( ) 0
2( 1) ( 4 )( 1) 0
816
2
mxm
gma
ma
a



−− −≥



=− ++ −+−≠



≥+




m
2
1)

(2) có nghiệm . Có nghiệm
2
123(xxxax≠− ⇔ + + − =− +
1x


.
2
2( 1) 2xa⇔+=− có nghiệm
1x ≠−
2
(1)

20
2
2
2( 1 1) 2
2
a
a
a
ha
a

−≥




⇔⇔
⎨⎨
=−+ ≠−




⇔>

Điều kiện chung của hệ (1),(2) để có nghiệm
1x


là :

2
81
2
ca
a

≥−

>

6
Với a > 2 , y'= 0
2
2
23
0
(1)
xx a
x
++−
⇔=
+

2
23 0;'
1
xx a a
x

++−=Δ=−



≠−

2
0
3

y'= 0 có , do đó có 2 nghiệm phân biệt , nên đổi dấu 2 lần qua nghiệm . Hàm số có cực đại ,
cực tiểu.
'2aΔ= − >
Có thể kiểm nghiệm với chọn
2
38aC=⇒ ≥
2
9CC
=
⇒=±
. Khi đó có 2 tiếp tuyến :
y = -x – 3 ; y = -x + 3 . Lần lượt tiếp xúc với (C) tại
12
54 110
,; ,
33 33
MM
⎛⎞⎛
−− −
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝







Cho hàm số : y = x + 1+
4
1
x

; có đồ thò là (C)
Tìm quỹ tích những điểm trong mặt phẳng từ đó dựng được 2 tiếp tuyến với (C) và 2 tiếp tuyến này
vuông góc với nhau .

Gọi M(x
0
, y
0
) là điểm bất kì thuộc mặt phẳng ; x
0


1
Đường thẳng qua M, có hệ số góc la k dạng : y = k( x – x
0
) + y
0
; (d)
Phương trình hoành độ của (d) và (C) là:
k(x- x

0
) + y
0
= x + 1 +
4
1
x

<=> (k – 1)x
2
– ((x
0
+ 1)k – y
0
)x + kx
0
– y
0
– 3 = 0 (*)
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Để (d) tiếp xúc (C) khi (*) có nghiệm kép
<=> <=>
10
0
k −≠


Δ=


22 2
0000
1
() ( 1) ( 2 5) ( 2) 16 0
k
gk x k x y k y



=− ++ ++−−=

Để từ M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc thì g(k) = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt k
1
, k
2
sao cho k
1
k
2
= -1
và k 1

<=>
2
0
2
0
2
0
(2)16

1
(1)
(1) 0
(1)0
y
x
g
x

−−
=−







−≠



<=>
22
00
000
(1)( 2)16
16
xy
xyy


−+ − =


≠=> ≠∨ ≠−


2
Vậy quỹ tích những điểm M từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc đến đồ thò (C) là đường tròn tâm I(1,2)
, bán kính R = 4 có phương trình : (x -1)
2
+ (y – 2)
2
= 16 trừ đi 2 điểm : (1,-2) và (1, 6)

Cho hàm số y = x
3
+3x
2
+mx +1 ; có đồ thò là (Cm)
1.

Chứng minh rằng với mọi m thì (Cm) luôn cắt đồ thò (C) : y = x
3
+ 2x
2
+ 7 tại hai điểm phân biệt
A và B . Tìm quỹ tích trung điểm I của AB
2.


Xác đònh m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0,1); D và E . Tìm m để các
tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau
3.

Tìm a để mọi x : f(x) = (x -2)
2
+ 2


x
a

3

1.
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và (C) là :
x
3
+ 3x
2
+ mx +1 = x
3
+ 2x
2
+7 <=> f(x) = x
2
+mx – 6 = 0
f(x) = 0 luôn có 2nghiệm phân biệt (Vì
2
24

f
m
Δ
=+>
7 7
0) A,B thỏa
A(x
1
, ) ; B( x
32
11
2xx++
2
, ) ; với x
32
22
2xx++
1
, x
2
là nghiệmsố củaf(x) = 0 có x
1
+ x
2
= -m
Gọi I là tọa độ trung điểm của AB thì :
I
12
33
22 2

12 1 2
12
22
18
()7
22 2
I
I
xx m
x
yy xx
mm
yxx
+−

==



++
−−

==+++= ++


19m

<=>
3
2

2
(2 ) 18(2 )
(2 ) 19
2
I
II
II
mx
xx
yx
=−



=>y
−− − −
=+−+


I
=
32
4 4 18 19
II I
xx x
+
++

Vậy quỹ tích trung điểm I là đường cong : y = 4x
3

+ 4x
2
+18x +9
2.
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và y = 1 là :
x
3
+ 3x
2
+mx + 1 = 1 <=> x(x
2
+ 3x + m) = 0
<=>



2
0
() 3 0(2)
x
gx x x m
=
=++=

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Để (Cm) cắt y = 1 tại 3 điểm C(0,1) ; D và E khi (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 <=>
94 0
9
0

0
4
m
m
m
−>

<=> ≠ <




Khi đó gọi x
D
, x
E
là hoành độ của D,E ta có :
3
.
DE
DE
xx
x
xm
+
=−


=



Tiếp tuyến của (Cm) tại D, E vuông góc khi
() ()
'.'
DE
xx
yy 1
=


22
22 2 2
(3 6 )(3 6 ) 1
.[( )2]
DD EE
DE D E DE
xxmxxm
xx mx x xx m
⇔++ ++=−
⇔−+− +=
1


<=> 4m
2
– 9m + 1 = 0 <=>
965 9
;0
84
mm

±
=≠
<

Vậy
965
8
m
±
=


3. f(x) = (x – 2)
2
+
2xa−≥3,
đặt g(x) = (x -2)
2
+
23xa



ta cần chứng minh f(x)

<=> min g(x)

;
3 0
x



* Nếu x – a <=> x
≥ ; khiđó g(x) = (x – 2)
0≥
m
2
+2(x – a) – 3 có:
g’(x) = 2x - 2 ; g’(x) = 0 <=> x = 1


x a 1
+


g’(x) - 0 +
g(x
-2a


x a =>a
≤ 1 => min g(x) = -2a >0 <=> a ≥

0
*Nếu x – a
≤ 0; g(x) = (x – 2)
2
-
2
; g’(x) = 2x – 6

3xa−−
g’(x) =0 <=> x = 3

x
−∞ 3 a
+


g’(x) - 0 +
g(x)
2a – 8


x
≤ a => a ≥ 3 =>min g(x) = 2a – 8 0 => a ≥ 4≥

Vậy
aa

04≤∨≥





×