tiếp tuyến của đồ thị hàm số ôn thi đại học

§1. Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm
A. Tóm tắt lý thuyết
Cho
( )
y f x
=

( )
C
.
1. Tiếp tuyến tại một điểm
Tiếp tuyến với
( )
C
tại
( )
( )
0 0
;M x f x

là đường thẳng

( ) ( ) ( )
0 0 0
: '
∆ = − +
y f x x x f x
.
Ta cũng nói rằng
∆
tiếp xúc với

( )
C
hay
( )
C
tiếp xúc
∆
, hoặc
∆
và
( )
C
tiếp xúc nhau.
Chú ý. Khi nói đến tiếp tuyến của
( )
C
tại
M
, ta phải hiểu rằng
M
thuộc
( )
C

và
M
là nơi xảy
ra sự tiếp xúc.
2. Tiếp tuyến qua một điểm
Tiếp tuyến qua

M
của
( )
C
là tiếp tuyến với
( )
C
tại một điểm
N
nào đó. Điểm
M
có thể
thuộc
( )
C
hoặc không, trong trường hợp thuộc
( )
C
thì
M
lại có thể là tiếp điểm hoặc không
(xem các hình vẽ ở dưới).

Bài toán. Viết phương trình tiếp tuyến qua
( )
1 1
;M x y
của
( )
C

.
Phương pháp giải. B1 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
0
x
của
( )
C
:
( ) ( ) ( )
0 0 0
: 'y f x x x f x
∆ = − +
.
B2
∆
đi qua
M
khi và chỉ khi
( ) ( ) ( )
1 0 1 0 0
'y f x x x f x
= − +
. Giải phương trình này để tìm
0
x
.
B3 Thay mỗi
0
x
tìm được ở bước 2 vào phương trình

∆
, ta được một tiếp tuyến qua
M
của
( )
C
.
1
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho
2
2
1
3 1
x x
y
x
− +
=
+

( )
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm
M
có hoành độ

bằng
1
.
Giải. Ta có
( )
2
2
2
3 4 1
'
3 1
x x
y
x
− −
=
+
. Lần lượt thay
1x =
vào các biểu thức của
y
và
'y
, ta được
( )
1
' 1
8
y = −
và

( )
1
1
4
y =
. Suy ra phương trình tiếp tuyến với
( )
C
tại
M
là:
( )
1 1
: 1
8 4
y x∆ = − − +

⇔

1 3
:
8 8
y x∆ = − +
.
Chú ý. Ta có thể dùng ký hiệu
y
và
'y
thay cho
f

và
'f
trong trường hợp bài toán chỉ đề cập
đến một hàm số.
Ví dụ 2. Cho
3 2
4 5 2y x x x= + + +

( )
C
. Viết phương trình các tiếp tuyến của
( )
C
tại những giao
điểm của
( )
C
với trục hoành.
Giải. Từ phương trình của
( )
C
, cho
0y =

ta được:
3 2
4 5 2 0x x x+ + + =

⇔

( ) ( )
2
2 1 0x x+ + =

⇔

2
1
x
x
= −


= −

.
Suy ra
( )
C
có hai giao điểm với trục hoành là
( )
1
2;0M
−
và
( )
2
1;0M
−
.

Từ
2
' 3 8 5y x x= + +
suy ra
( )
' 2 1y − =
,
( )
' 1 0y
− =
. Do đó phương trình tiếp tuyến với
( )
C
tại
các điểm
1
M
,
2
M
lần lượt là:
( )
1
: 1. 2 0y x
∆ = + +

⇔

1
: 2y x∆ = +

,
( )
2
: 0. 1 0y x
∆ = + +

⇔

2
: 0y∆ =
.
Ví dụ 3. [ĐHB08] Cho
( )
3 2
4 6 1y x x C
= − +
. Viết phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm
( )
1; 9M
− −

của
( )
C
.
Giải. Phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm có hoành độ
0

x
là:
2
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
( ) ( ) ( )
0 0 0
: 'y y x x x f x
∆ = − +

⇔

( )
( )
2 3 2
0 0 0 0 0
: 12 12 4 6 1y x x x x x x∆ = − − + − +
.
Điều kiện
∆
đi qua
( )
1; 9M
− −
tương đương với

( )
( )
2 3 2
0 0 0 0 0
9 12 12 1 4 6 1x x x x x− = − − − + − +

⇔

3 2
0 0 0
8 6 12 10 0x x x+ − − =

⇔

0
0
5
4
1
x
x

=


= −

.
•
0
5
4
x =

⇒

( )
( )
0
0
15
'
4
9
16
y x
y x

=




= −


⇒
⇒

15 5 9
:
4 4 16
y x
 
∆ = − −

 ÷
 

⇔

15 21
:
4 4
y x∆ = −
.
•
0
1x = −

⇒

( )
( )
0
0
' 24
9
y x
y x
=


= −



⇒

( )
: 24 1 9y x
∆ = + −

⇔

: 24 15y x∆ = +
.
Vậy phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm
M
của
( )
C
là
15 21
:
4 4
y x∆ = −
,
: 24 15y x∆ = +
.
C. Bài tập
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
biết rằng:
1)

( )
C
là đồ thị hàm số
4 2
2 3y x x= − −

và hoành độ tiếp điểm bằng
2
;
2)
( )
C
là đồ thị hàm số
3 2
3 2y x x= − −

và tung độ tiếp điểm bằng
2
;
3)
( )
C
là đồ thị hàm số
2
3 4
1
x x
y
x
− −

=
−
và tiếp điểm là giao điểm của
( )
C
với trục tung;
4)
( )
C
là đồ thị hàm số
3 2
2 3 5y x x= − +
và tiếp tuyến đi qua
19
;4
12
A
 
 ÷
 
;
5)
( )
C
là đồ thị hàm số
3 2
3 2y x x= − +

và tiếp tuyến đi qua
( )

1;4A −
.
Bài 2. Cho
3 2
2 3 12 1y x x x= + − −

( )
C
. Tìm những điểm thuộc
( )
C
mà tiếp tuyến tại đó đi qua
gốc tọa độ.
D. Hướng dẫn và đáp số
3
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
Bài 1. 1
24 43y x= −
; 2
2y =
,
9 7y x= −
; 3
7 4y x= +
; 4
12 15y x= −
,
21 645
32 128
y x= − +

,
4y =
; 5
4y =
,
9 7
4 4
y x= − +
. Bài 2.
( )
1;12M −
.
4
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
§2. Điều kiện tồn tại tiếp tuyến
A. Tóm tắt lý thuyết
Xét bài toán sau đây.
Bài toán. Cho đồ thị hàm số
( )
y f x
=

( )
C
. Tìm điều kiện của tham số để
( )
C
có tiếp tuyến
thỏa mãn một điều kiện nào đó.
Phương pháp giải. B1 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

0
x
của
( )
C
:
( ) ( ) ( )
0 0 0
: 'y f x x x f x
∆ = − +
.
B2 Áp điều kiện của bài toán lên đường thẳng
∆
để nhận được một phương trình ẩn
0
x
. Tiếp
tuyến tồn lại khi và chỉ khi phương trình này có nghiệm
0
x
.
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho
( )
1
1
x
y x
x
−

=
+

( )
C
. Chứng minh qua điểm
( )
1; 1I
− −
không tồn tại tiếp tuyến của
( )
C
.
Giải. Xét tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
0
x
của
( )
C
( ) ( ) ( )
0 0 0
: 'y f x x x f x
∆ = − +

⇔

( )
( )
0
0

2
0
0
1
2
:
1
1
x
y x x
x
x
−
−
∆ = − +
+
+
.
∆
đi qua
( )
1; 1I
− −
nghĩa là
( )
( )
0
0
2
0

0
1
2
1 1
1
1
x
x
x
x
−
−
− = − − +
+
+

⇔

0
0 0
1
2
1
1 1
x
x x
−
− = +
+ +

⇔

0
0
3
1
1
x
x
−
− =
+

⇔

( )
0 0
0
1 3
1 0
x x
x
− + = −



+ ≠



⇔

0
x ∈∅
.
Vậy không tồn tại
0
x
để
∆
đi qua
I
. Nói cách khác qua
I
không có tiếp tuyến của
( )
C
.
Ví dụ 2. Cho
2
4 3 6y x mx= + +

( )
C
. Tìm
m

để
( )
C

có tiếp tuyến đi qua
( )
1; 2A
−
.
Giải. Phương trình tiếp tuyến với
( )
C
tại điểm có hoành độ
0
x
là:
( ) ( ) ( )
0 0 0
: 'y y x x x y x
∆ = − +

⇔

( ) ( )
2
0 0 0 0
: 8 3 4 3 6y x m x x x mx
∆ = + − + + +
.
( )
C
có tiếp tuyến đi qua
( )
1; 2A

−
khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với
0
x
:
5
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
( ) ( )
2
0 0 0 0
2 8 3 1 4 3 6x m x x mx
− = + − + + +
.
( )
*
Ta có
( )
*

⇔

2
0 0
4 8 3 8 0x x m− − − =
(
' 12 48m
∆ = +
).
Do đó
( )

*
có nghiệm khi và chỉ khi
' 0
∆ ≥

⇔

12 48 0m
+ ≥

⇔

4m
≥ −
.
Vậy
( )
C
có tiếp tuyến đi qua
( )
1; 2A
−
khi và chỉ khi
4m
≥ −
.
Ví dụ 3. Cho
2 1
2
x

y
x
+
=
−

( )
C
. Tìm trên đường thẳng
3x
=
các điểm mà qua đó có tiếp tuyến của
( )
C
.
Giải. Phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm có hoành độ
0
x
(
0
2x ≠
) là:
( ) ( ) ( )
0 0 0
: 'y y x x x y x
∆ = − +

⇔
( )
( )
0
0
2
0
0
2 1
5
:
2
2
x
y x x
x
x
+
−
∆ = − +
−
−
.

Điểm
A
nằm trên đường thẳng
3x
=

⇔
tọa độ
A
có dạng
( )
3;A a
.
Qua
A
có tiếp tuyến tới
( )
C
khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với
0
x
:
( )
( )
0
0
2
0
0
2 1
5
: 3
2
2
x
a x

x
x
+
−
∆ = − +
−
−
.
( )
1
Ta thấy
( )
1

⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
0 0 0 0 0
0
2 5 3 2 1 2 2 0
2 0
a x x x x x
x

− = − − + + − ⇒ − ≠


− ≠




⇔

( ) ( ) ( ) ( )
2
0 0 0 0
2 5 3 2 1 2a x x x x− = − − + + −
⇔

( ) ( )
2
0 0
2 2 2 1 4 17 0a x a x a
− − + + + =
.
( )
2
Trường hợp 1.
2 0a
− =

⇔

2a
=
. Khi đó
( )
2
trở thành

6
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
0
10 21 0x− + =

⇔

0
21
10
x =
.
Trong trường hợp này
( )
2
có nghiệm
⇒

( )
1
có nghiệm.
Trường hợp 2.
2 0a
− ≠

⇔

2a
≠
. Khi đó

( )
2
là phương trình bậc hai có
5 35a
′
∆ = − +
. Do đó,
trong trường hợp này
( )
1
có nghiệm khi và chỉ khi
( )
2
có nghiệm, tức là
0
′
∆ ≥

⇔

5 35 0a
− + ≥

⇔

7a
≤
.
Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là
( )

{ }
3; 7A a a ≤
.
Ví dụ 4. [ĐHD02] Cho
( )
2
2 1
1
m x m
y
x
− −
=
−

( )
C
và
:d y x=
. Tìm
m
để
( )
C
tiếp xúc với
d
.
Giải. Phương trình tiếp tuyến của
( )
C

tại điểm có hoành độ
0
x
(
0
1x ≠
) là:
( ) ( ) ( )
0 0 0
: 'y y x x x y x
∆ = − +

⇔
( )
( )
2
2
0
0
0 0
2 1
1
:
1 1
m x m
m
y x x
x x
− −
 

−
∆ = − +
 ÷
− −
 
⇔
( )
2 2
2
0
0
0 0 0
2 1
1 1
:
1 1 1
m x m
m m
y x x
x x x
− −
   
− −
∆ = − +
 ÷  ÷
− − −
   
.
( )
C

tiếp xúc với
d
khi và chỉ khi tồn tại
0
x
sao cho hai đường thẳng
∆
và
d
trùng nhau. Tức là
hệ sau đây có nghiệm đối với
0
x
( )
2
0
2
2
0
0
0 0
1
1
1
2 1
1
0
1 1
m
x

m x m
m
x
x x

 
−

=
 ÷
−

 

− −
 

−
− + =
 ÷

− −
 

.
( )
*
Ta có
( )
*

⇔

( )
( )
( )
2
0
2
0
0
0
1
1 1
1
2 1
0 2
1
m
x
m x m
x
x

 
−

=
 ÷
−


 

− −

− + =

−

.
7
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
( )
1

⇔

0
0
0
1
1 1
1 1
x
x m
x m
≠


− = −





− = −



⇔

0
0
0
1
2
x
x m
x m
≠


=




= −


.

•
1m
=

⇒

2 1m m
= − =

⇒

( )
1
vô nghiệm
⇒

( )
*
vô nghiệm.
•
1m
≠
:
( )
1

⇔

0
0

2
x m
x m
=


= −

. Thay
0
x m=
vào vế trái của
( )
2
ta có
( )
( )
2
2 1
2 0
1
m m m
VT m
m
− −
= − + =
−

⇒

0
x m=
là một nghiệm của
( )
*

⇒

( )
*
có nghiệm. Vậy
( )
C
tiếp xúc với
d
khi và chỉ khi
1m
≠
.

Ví dụ 5. Cho
4 2
8 7y x x= − +

( )
C
. Tìm
m
để đường thẳng

: 60d y x m= +
tiếp xúc với
( )
C
.
Với mỗi
m
tìm được, hãy chỉ ra hoành độ tiếp điểm của
d
và
( )
C
.
Giải. Phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm có hoành độ
0
x
là:
( ) ( ) ( )
0 0 0
: 'y y x x x y x
∆ = − +

⇔
( ) ( ) ( )
0 0 0 0
: ' 'y y x x x y x y x
∆ = − +

.
( )
C
tiếp xúc với
d
khi và chỉ khi tồn tại
0
x
sao cho
∆
và
d
trùng nhau, điều đó có nghĩa là hệ
sau đây có nghiệm đối với
0
x
( )
( ) ( )
0
0 0 0
' 60
'
y x
x y x y x m
=


− + =



⇔

( ) ( )
( ) ( )
0
0 0
' 60 1
60 2
y x
m x y x
=


= − +


.
( )
1

⇔

3
0 0
4 16 60x x− =

⇔

0

3x =
. Thay
0
3x =
vào
( )
2
ta có
164m
= −
.
Vậy
d
tiếp xúc với
( )
C
khi và chỉ khi
164m
= −
. Khi đó hoành độ tiếp điểm là
0
3x =
.
C. Bài tập
Bài 1. Cho
1
x
y
x
=

−

( )
C
. Chứng minh rằng qua
( )
1;1I
của
( )
C
, không tồn tại tiếp tuyến nào
của
( )
C
.
8
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
Bài 2. Tìm
m
sao cho đồ thị hàm số
1
x m
y
x m
−
=
+ −
có tiếp tuyến đi qua điểm
( )
0; 2A

−
.
Bài 3. Cho
4 2
2y x x= −
( )
C
.
1) Tìm trên trục tung những điểm mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới
( )
C
;
2) Tìm những điểm trên đường thẳng
3y =
mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới
( )
C
.
D. Hướng dẫn và đáp số
Bài 2.
2
1
3
m≤ ≠
. Bài 3. 1 Những điểm cần tìm có dạng
( )
0;A a
với
1
3

a ≤
; 2 Những điểm cần
tìm có dạng
( )
;3A a
với
( )
; 3 3;a
 
∈ −∞ − ∪ +∞
 
.
9
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
§3. Hệ số góc của tiếp tuyến
A. Giới thiệu
Ta biết rằng
( )
0
'f x
là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y f x
=
tại điểm có hoành độ
0
x
. Trong bài học này, chúng ta quan tâm nhiều hơn đến hệ số góc của tiếp tuyến.
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho

3 2
2
2 2
3
y x x x= − − +

( )
C
. Viết phương trình các tiếp tuyến có hệ số góc bằng
2

của
( )
C
.
Giải. Ta có
( )
0
' 2y x =

⇔

2
0 0
2 2 2 2x x− − =

⇔

2
0 0

2 0x x− − =

⇔

0
0
1
2
x
x
= −


=

.
Ta có
( )
7
1
3
y − =
,
( )
2
2
3
y = −
. Suy ra các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
( )

1
7
: 2 1
3
y x∆ = + +

⇔

1
13
: 2
3
y x∆ = +
,
( )
2
2
: 2 2
3
y x∆ = − −

⇔

2
14
: 2
3
y x∆ = −
.
Ví dụ 2. Cho

3 2
3 12 5y x x x= − − +

( )
C
. Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của
( )
C
.
Giải. Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
0
x
của
( )
C
là:
( ) ( )
2
2
0 0 0 0
' 3 6 12 3 1 15 15k f x x x x= = − − = − − ≥ −

⇒

15k
≥ −
.
Dấu “
=
” xảy ra khi và chỉ khi

0
1x =
. Do đó
k
nhỏ nhất bằng
15
−
, đạt được khi và chỉ khi
0
1x =
. Ta có
( )
1 9f
= −
, suy ra tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của
( )
C
là:
( )
: 15 1 9y x
∆ = − − −

⇔

: 15 6y x∆ = − +
.
Ví dụ 3. [ĐHD10] Cho
4 2
6y x x= − − +

( )
C
. Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường
thẳng
1
: 1
6
d y x= −
của
( )
C
.
Giải. Gọi
∆
là tiếp tuyến với
( )
C
tại điểm có hoành độ
0
x

⇒

∆
có hệ số góc là
( )
0
'k y x=
.
10

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
d
∆ ⊥

⇔

1
1
6
k× = −

⇔

6k
= −

⇔

3
0 0
4 2 6x x− − = −

⇔

0
1x =
.
0
1x =

⇒

( )
0
4y x =

⇒

( )
: 6 1 4y x
∆ = − − +

⇔

: 6 10y x∆ = − +
.
Vậy tiếp tuyến vuông góc với
d
của
( )
C
là
: 6 10y x∆ = − +
.
Chú ý. (Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng có phương trình dạng hệ số góc)
Cho
1 1 1
: y k x m∆ = +
và
2 2 2

: y k x m∆ = +
. Ta có:
•
1 2
∆ ≡ ∆

⇔

1 2
1 2
k k
m m
=


=

;
•
1 2
∆ ∆P

⇔

1 2
1 2
k k
m m
=



≠

;
•
1 2
∆ ⊥ ∆

⇔

1 2
1k k = −
;
• Cho
( )
0 ;90
α
∈
o o
, ta có:
1
∆
tạo với
2
∆
góc
α

⇔

1 2
1 2
tan
1
k k
k k
α
−
=
+
;
Đặc biệt, nếu
2
0k =
thì:
1
∆
tạo với
2
∆
góc
α

⇔

1
tank
α
=
.

Ví dụ 4. [ĐHD05] Cho
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x= − +

( )
m
C
. Gọi
M
là điểm thuộc
( )
m
C
có hoành độ bằng
1
−
. Tìm
m
để tiếp tuyến tại
M
của
( )
m
C
song song với đường thẳng
:5 0d x y− =
.

Giải. Phương trình tiếp tuyến tại
M
của
( )
m
C
là
( ) ( ) ( )
: ' 1 1 1y y x y
∆ = − + +

⇔

( ) ( )
: 1 1
2
m
y m x∆ = + + −

⇔

( )
: 1 1
2
m
y m x∆ = + + +
.
Ta có
: 5d y x=
. Do đó

d∆ P

⇔

1 5
1 0
2
m
m
+ =



+ ≠



⇔

4m
=
.
Vậy tiếp tuyến tại
M
của
( )
m
C
song song với đường thẳng
d

⇔

4m
=
.
11
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
Ví dụ 5. Cho
4 2
1
3 2
24
y mx m x
 
= + + +
 ÷
 

( )
m
C
. Gọi
A
và
B
lần lượt là các điểm có hoành độ
bằng
1
−

và
2
của
( )
m
C
. Tìm
m
để các tiếp tuyến của
( )
m
C
tại
A
và
B
vuông góc với nhau.
Giải. Ta có
( )
3
1
' 4 6
12
y x mx m x
 
= + +
 ÷
 

⇒

hệ số góc các tiếp tuyến của
( )
m
C
tại
A
và
B
lần
lượt là
( )
1
' 1 10
12
y m− = − −
và
( )
1
' 2 44
6
y m= +
. Do đó các tiếp tuyến của
( )
m
C
tại
A
và
B

vuông góc với nhau khi và chỉ khi
( ) ( )
' 1 ' 2 1y y
− × = −

⇔

1 1
10 44 1
12 6
m m
  
− − + = −
 ÷ ÷
  

⇔

2
16 71
440 0
3 72
m m+ − =

⇔

1
24
71
1320

m
m

=



= −


.
C. Bài tập
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
biết
1)
( )
C
là đồ thị hàm số
3 2
3 5 1y x x x= − + +
, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
2)
( )
C
là đồ thị hàm số
3 2
1
5 2

3
y x x x= − − + +
, tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
Bài 2. Cho
3 2
1
1
3
y x mx x m= − − + −

( )
C
. Tìm
m
để hệ số góc của tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ
nhất của đồ thị là
10
−
. Viết phương trình các tiếp tuyến đó.
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
biết rằng
1) [ĐHB06]
( )
C
là đồ thị hàm số
2
1
2

x x
y
x
+ −
=
+
và tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
: 1d y x= −
.
2)
( )
C
là đồ thị hàm số
1 2
2 1
x
y
x
−
=
+
và tiếp tuyến song song với đường thẳng
: 4 1 0d x y+ − =
.
3)
( )
C
là đồ thị hàm số
3 2
1 1

2 1
2 2
y x x x= + − +
và tiếp tuyến tạo với đường thẳng
: 3 1 0d x y+ − =
góc
45
o
.
12
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
Bài 4. Tìm tất cả các điểm trên đồ thị
( )
C
của hàm số
3
1 2
3 3
y x x= − +
mà tiếp tuyến tại đó
vuông góc với đường thẳng
1 2
:
3 3
d y x= − +
.
Bài 5. Cho
( ) ( )
3 2
1

1 3 4 1
3
y mx m x m x= + − + − +

( )
m
C
. Tìm điều kiện của
m
để
( )
m
C
có tiếp
tuyến vuông góc với đường thẳng
2012y x= +
.
D. Hướng dẫn và đáp số
Bài 1. 1
2 2y x= +
; 2
7
6
3
y x= +
. Bài 2.
3m
= ±
,
3m

=
thì tiếp tuyến là
1
: 10 11d y x= − +
,
3m
= −
thì tiếp tuyến là
2
: 10 13d y x= − −
. Bài 3. 1
2 2 5y x= − + −
,
2 2 5y x= − − −
; 2
4 7y x= − −
3
1 1
2 2
y x= −
,
1 229
2 54
y x= +
,
2 1y x= − +
,
29
2
27

y x= − +
. Bài 4.
( )
2;0
−

và
4
2;
3
 
 ÷
 
.
Bài 5.
1
48
m =
hoặc
7
240
m = −
.
13
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
§4. Một số tính chất hình học của tiếp tuyến
A. Tóm tắt lý thuyết
Phần này sử dụng một số kiến thức sau:
1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
Cho điểm

( )
0 0
;M x y
và đường thẳng
: 0ax by c∆ + + =
. Ta có công thức tính khoảng cách từ
M
đến
∆
:
( )
0 0
2 2
;
ax by c
d M
a b
+ +
∆ =
+
.
2. Giao điểm của hai đường thẳng
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ gồm các phương trình đường thẳng.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho
3 2
2 4y x x x= − +

( )
C

. Viết phương trình các tiếp tuyến của
( )
C
biết tiếp tuyến tạo
với
Ox
góc
45
o
.
Giải. Hệ số góc của tiếp tuyến
∆
tại điểm có hoành độ
0
x
của
( )
C
là:
( )
2
0 0 0
' 6 8 1k y x x x
= = − +
.
Ta có
( )
, 45Ox
∆ =
o

⇔

tan 45k
=
o

⇔

1
1
k
k
=


= −

.
•
1k =

⇔

2
0 0
6 8 1 1x x− + =

⇔

0
0
0
4
3
x
x
=



=


.
+)
0
0x =

⇒

( )
0
0y x =

⇒

: y x∆ =
.
+)

0
4
3
x =

⇒

( )
0
28
27
y x = −

⇒

4 28
: 1.
3 27
y x
 
∆ = − −
 ÷
 

⇔

64
:
27
y x∆ = −

.
14
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
•
1k
= −

⇔

2
0 0
6 8 1 1x x− + = −

⇔

0
0
1
1
3
x
x
=



=


.

+)
0
1x =

⇒

( )
0
1y x
= −

⇒

( )
: 1 1y x
∆ = − − −

⇔

: y x∆ = −
.
+)
0
1
3
x =

⇒

( )

0
1
27
y x = −

⇒

1 1
:
3 27
y x
 
∆ = − − −
 ÷
 

⇔

8
:
27
y x∆ = − +
.
Các tiếp tuyến tạo với
Ox
góc
45
o
của
( )

C
là:
y x=
,
64
27
y x= −
,
y x
= −
,
8
27
y x= − +
.
Ví dụ 2. Cho
1
2 1
x
y
x
−
=
+

( )
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C

biết tiếp tuyến cách
1 1
;
2 2
I
 
− −
 ÷
 
một khoảng bằng
3
10
.
Giải. Phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm có hoành độ
0
x
(
0
1
2
x ≠ −
) là:

( ) ( ) ( )
0 0 0
: 'y y x x x y x
∆ = − +

⇔

( )
( )
0
0
2
0
0
1
3
:
2 1
2 1
x
y x x
x
x
−
−
∆ = − +
+
+

⇔

( )
2
2

0 0 0
:3 2 1 2 4 1 0x x y x x∆ + + + − − =


⇒

( )
( )
( ) ( )
2
2
0 0 0
0
4 4
0 0
3 1
2 1 2 4 1
3 2 1
2 2
;
9 2 1 9 2 1
x x x
x
d I
x x
− − + + − −
+
∆ = =
+ + + +
.

Do đó:
( )
3
;
10
d A ∆ =

⇔

( )
0
4
0
3 2 1
3
10
9 2 1
x
x
+
=
+ +

⇔

( ) ( )
4 2
0 0
2 1 10 2 1 9 0x x+ − + + =

⇔

( )
( )
2
0
2
0
2 1 1
2 1 9
x
x

+ =


+ =

⇔

0
0
0
0
0
1
1
2
x
x

x
x
=


= −


=

= −

.
15
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
•
0
0x =

⇒

( )
( )
0
0
' 3
1
y x
y x
= −



=



⇒

: 3 1y x∆ = − +
.
•
0
1x = −

⇒

( )
( )
0
0
' 3
2
y x
y x
= −


= −



⇒

( )
: 3 1 2y x
∆ = − + −

⇔

: 3 5y x∆ = − −
.
•
0
1x =

⇒

( )
( )
0
0
1
'
3
0
y x
y x

= −




=


⇒

( )
1
3
: 1y x∆ = − −

⇔

1 1
3 3
: y x∆ = − +
.
•
0
2x = −

⇒

( )
( )
0
0
1
'

3
1
y x
y x

= −



= −


⇒

( )
1
3
: 2 1y x∆ = − + −

⇔

1 5
3 3
: y x∆ = − −
.
Vậy có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
3 1y x= − +
,
3 5y x= − −
,

1 1
3 3
y x= − +
,
1 5
3 3
y x= − −
.
Ví dụ 3. Cho
3 2
1
x
y
x
−
=
+

( )
C
.Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
biết tiếp tuyến cách đều các
điểm
( )
7;6A
−
và
( )

3;10B −
.
Giải. Phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm có hoành độ
0
x
(
0
1x ≠ −
) là:
( ) ( ) ( )
0 0 0
: 'y y x x x y x
∆ = − +

⇔

( )
( )
0
0
2
0
0
3 2
5
:
1

1
x
y x x
x
x
−
∆ = − − +
+
+
⇔

( )
2
2
0 0 0
:5 1 2 6 3 0x x y x x∆ + + + − − =
.
∆
cách đều các điểm
A
và
B
khi và chỉ khi:
( ) ( )
; ;d A d B
∆ = ∆

⇔
( )
( )

( )
( )
2 2
2 2
0 0 0 0 0 0
4 4
0 0
35 6 1 2 6 3 15 10 1 2 6 3
25 1 25 1
x x x x x x
x x
− + + + − − − + + + − −
=
+ + + +
⇔

2 2
0 0 0 0
8 6 32 12 14 8x x x x+ − = + −

⇔

2 2
0 0 0 0
4 3 16 6 7 4x x x x+ − = + −
16
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
⇔

( )

2 2
0 0 0 0
2 2
0 0 0 0
4 3 16 6 7 4
4 3 16 6 7 4
x x x x
x x x x

+ − = + −

+ − = − + −


⇔

( )
2
0 0
2
0 0
2 6 0 ' 5 0
2 0
voânghieämx x
x x

+ + = ∆ = − < ⇒

+ − =



⇔

0
0
1
2
x
x
=


= −

.
•
0
1x =

⇒

( )
( )
0
0
5
'
4
1
2

y x
y x

= −




=



⇒

( )
5 1
4
:
2
1y x∆ = − − +

⇔

5 7
4 4
: y x∆ = − +
.
•
0
2x = −

⇒

( )
( )
0
0
' 5
7
y x
y x
= −



= −



⇒

( )
: 5 2 7y x
∆ = − + −

⇔

: 5 17y x∆ = − −
.
Vậy phương trình các tiếp tuyến cách đều

A
và
B
của
( )
C
là
5 7
4 4
y x= − +
,
5 17y x= − −
.
Ví dụ 4. Cho
2 1
1
x
y
x
+
=
−

( )
C
. Tìm tọa độ điểm
( )
M C
∈
sao cho khoảng cách từ điểm

( )
1;2I
tới
tiếp tuyến của
( )
C
tại
M
đạt giá trị lớn nhất.
Giải. Giả sử
0
x
là hoành độ của
M

⇒
tiếp tuyến tại
M
của
( )C
có phương trình:

( ) ( ) ( )
0 0 0
: 'y y x x x y x
∆ = − +

⇔

( )

( )
0
2
0
0
3 3
: 2
1
1
y x x
x
x
∆ = − − + +
−
−
⇔

( )
2
2
0 0 0
3 1 2 5 0x x y x x+ − − + − =

⇒

( )
( )
( ) ( )
( )
( )

2
2
0 0 0
0
4 4
2
0 0
0
2
0
3 2 1 2 2 1
6 1
6
;
9
9 1 9 1
1
1
x x x
x
d I
x x
x
x
+ − − − +
−
∆ = = =
+ − + −
+ −
−

.
Theo bất đẳng thức Cô-si:
( )
( )
2
0
2
0
9
1 2 9 6
1
x
x
+ − ≥ =
−
, suy ra
( )
, 6d I ∆ ≤
. Đẳng thức xảy ra
khi và chỉ khi
( )
( )
2
0
2
0
9
1
1
x

x
= −
−

⇔

( )
2
0
1 3x + =

⇔

0
1 3x
= − ±
.
17
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
Vậy khoảng cách
( )
;d I
∆
lớn nhất bằng
6
, đạt được khi và chỉ khi
0
1 3x
= − ±

⇔

( )
1 3;2 3M − + −
hoặc
( )
1 3;2 3M − − +
Ví dụ 5. [ĐHD07] Cho
2
1
x
y
x
=
+

( )
C
. Tìm tọa độ điểm
M
thuộc
( )
C
biết tiếp tuyến của
( )
C

tại
M
cắt hai trục

Ox
,
Oy
tại
A
,
B
sao cho tam giác
OAB
có diện tích bằng
1
4
.
Giải. Ta có
( )
2
2
'
1
y
x
=
+
. Xét điểm
( )
M C
∈
,
M
có hoành độ

0
x
. Ta có phương trình tiếp tuyến
với
( )
C
tại
M
:
( ) ( ) ( )
0 0 0
: y f x x x f x
′
∆ = − +

⇔

( )
( )
0
0
2
0
0
2
2
:
1
1
x

y x x
x
x
∆ = − +
+
+

⇔

( ) ( )
2
0
2 2
0 0
2
2
:
1 1
x
x
y
x x
∆ = +
+ +
.
A Ox
= ∆ ∩

⇔

( ) ( )
2
0
2 2
0 0
:
2
2
1 1
0
A
x
x
y
x
y
x
= +
+ +




=


⇔

( )
2

0
;0A x−
,
B Oy= ∆ ∩

⇔

( ) ( )
2
0
2 2
0 0
:
2
2
1 1
0
B
x
x
y
x
x
x
= +
+ +





=


⇔

( )
2
0
2
0
2
1
0;
x
x
B
 
 ÷
 ÷
 
+
.
Ta có
2
0
OA x=
,
( )
2
0

2
0
2
1
x
OB
x
=
+

⇒

( )
4
0
2
0
.
2
1
ABC
x
OAOB
S
x
= =
+
.

1

4
OAB
S =

⇔

( )
4
0
2
0
1
4
1
x
x
=
+

⇔

( )
2
0 0
4
14x x +=

⇔

( )

0 0
0
2
0
2
2 1
2 1
x x
x x

=

= +−

+


⇔

( )
0 0
0 0
2
2
2 1 0
2 1 0 7 0 voângh ieäm
x x
x x
=
+ = ∆ = − < ⇒


− −

+



⇔

0
1
0
2
1x
x
=


= −


⇔

( )
1;1
1
; 2
2
M
M



 

− −
 ÷

 

.
18
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
C. Bài tập
Bài 1. Cho
4 2
1
2 3
2
y mx m x
 
= + − +
 ÷
 

( )
m
C
. Tìm
m
để tiếp tuyến của

( )
m
C
tại các điểm có
hoành độ bằng
1
và
3
tạo với nhau một góc có cô-sin bằng
3
13
.
Bài 2. Cho
3
4
x
y
x
−
=
+

( )
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
biết tiếp tuyến cách
( )
4; 1A

− −

một khoảng bằng
7 2
5
.
Bài 3. Cho
1
3 4
x
y
x
+
=
+

( )
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
biết khoảng cách từ điểm
4 1
;
3 3
I
 
−
 ÷
 

tới tiếp tuyến đạt giá trị lớn nhất.
Bài 4. [ĐHA09] Cho
2
2 3
x
y
x
+
=
+

( )
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
biết tiếp tuyến cắt
các trục tọa độ tại các điểm
A
,
B
sao cho tam giác
OAB
cân tại
O
.
Bài 5. Cho
( )
3
2 1

x
y
x
+
=
+

( )
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
biết tiếp tuyến cắt các trục
tọa độ tại các điểm
A
,
B
sao cho trung trực của đoạn thẳng
AB
đi qua gốc tọa độ
O
.
Bài 6. Cho
2
2
x
y
x
=
−

( )
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
biết rằng tiếp tuyến cắt các
trục tọa độ
Ox
,
Oy
lần lượt tại hai điểm
A
,
B

phân biệt sao cho
2AB OA
=
.
D. Hướng dẫn và đáp số
Bài 1
1
48
m =
hoặc
7
240
m = −
. Bài 2 Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

7 15y x= − −
,
7 43y x= − −
,
1 3
7 7
y x= − +
,
1 25
7 7
y x= − −
. Bài 3 Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu
cầu bài toán là:
1y x= +
,
7
3
y x= +
. Bài 4 Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài
toán là
2y x= − −
. Bài 5 Các tiếp tuyến thõa mãn yêu cầu bài toán là
3
2
y x= − +
,
5
2
y x= − −
.

Bài 6

Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là
4y x= − +
.
19
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
§5. Điều kiện tiếp xúc
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa (Hình ). Cho
( )
y f x
=

( )
C
và
( )
y g x=

( )
'C
.
( )
C

và
( )
'C
tiếp xúc với nhau tại điểm

( )
0 0
;M x y
nếu cả hai điều kiện
sau đây thỏa mãn:
•
M
là một điểm chung của
( )
C
và
( )
'C
;
• Tiếp tuyến của hai đường cong tại
M
trùng nhau.
Điểm
M
được gọi gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho.
Hình
2. Điều kiện tiếp xúc. Để xét sự tiếp xúc của hai đồ thị hàm số
( )
y f x
=

( )
C
và
( )

y g x=

( )
'C
, ta xét hệ:
( ) ( )
( ) ( )
' '
f x g x
f x g x
=



=


.
( )
*
Ta có:
•
( )
C
và
( )
'C
tiếp xúc nhau
⇔
hệ

( )
*
có nghiệm đối với

x
;
• Nghiệm của
( )
*
chính là hoành độ tiếp điểm;
•
0
x
là hoành độ tiếp điểm
⇒
tiếp tuyến chung của
( )
C
và
( )
'C
tại điểm có hoành độ
0
x

là:
( ) ( ) ( )
0 0 0
'y f x x x f x
= − +

.
Hệ quả. Đường thẳng
y kx m= +
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y f x
=

( )
C
khi và chỉ khi
hệ
( )
( )
'
f x kx m
f x k
= +


=



có nghiệm đối với
x
.
B. Một số ví dụ
20
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

Ví dụ 1. [SGKNC] Cho
3
5
2
4
y x x= + −

( )
C
và
2
2y x x= + −

( )
'C
. Chứng minh
( )
C
và
( )
'C

tiếp xúc nhau và viết phương trình tiếp tuyến chung.
Giải. Ký hiệu
( )
3
5
4
2f x x x
= + −

và
( )
2
2g x x x
= + −
. Xét hệ:
( ) ( )
( ) ( )
' '
f x g x
f x g x
=



=


( )
I
.
Ta có
( )
I

⇔

( )
3 2
'

'
3 2
5
2 2
4
5
2 2
4
x x x x
x x x x

+ − = + −



 

+ − = + −
 ÷

 


⇔

3 2
4
2
0
5

3 2 1
4
x
x x
x x

− + =


+ = +



⇔

1
2
x =
.
Vậy
( )
C
và
( )
'C
tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ bằng
1
2
.
1 5

2 4
1
' 2
2
g
g

 
= −
 ÷

  

 

=
 ÷

 


⇒
phương trình tiếp tuyến chung là:
1 5
2
2 4
y x
 
= − −
 ÷

 
hay
9
2
4
y x= −
.
Ví dụ 2. [SGK] Chứng minh rằng đường thẳng
y kx m= +
là tiếp tuyến của parabol
2
y ax bx c= + +
(
0a
≠
) khi và chỉ khi phương trình
2
ax bx c kx m+ + = +

( )
1
có nghiệm kép.
Giải. Ta có
( )
1

⇔

( )
2

0ax b k x c m
+ − + − =
(
( ) ( )
2
4b k a c m∆ = − − −
).
Do đó:
( )
1
có nghiệm kép
⇔

0
∆ =

⇔

( ) ( )
2
4 0b k a c m− − − =
.
Đường thẳng và parabol đã cho tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm đối với
x
( )
I
2
2
ax bx c kx m
ax b k


+ + = +

+ =

.
Ta có
( )
I

⇔

( ) ( ) ( )
( )
2
0 1
2
2
ax b k x c m
k b
x
a

+ − + − =


−
=



.
21
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
( )
I
có nghiệm
⇔

2
k b
x
a
−
=
là nghiệm của
( )
1

⇔

( ) ( )
2
0
2 2
k b k b
a b k c m
a a
− −
 
+ − × + − =

 ÷
 
⇔

( ) ( )
( )
2 2
0
4 2
b k b k
c m
a a
− −
− + − =
⇔

( ) ( )
2
4 0b k a c m− − − =
⇔

( )
1
có nghiệm kép (ĐPCM).
Ví dụ 3. [SGKNC] Viết phương trình đường thẳng qua điểm
( )
1; 2A
−
và tiếp xúc với parabol
2

2y x x= −
.
Giải. Phương trình đường thẳng qua
( )
1; 2A
−
có hệ số góc
k
có dạng
( )
: 1 2y k x
∆ = − −

⇔

: 2y kx k∆ = − −
.
Xét phương trình
2
2 2x x kx k− = − −
hay
( )
2
2 2x k x k− + + +

( )
1
(
( ) ( )
2

2 4 2k k∆ = + − +
).
∆
tiếp xúc với parabol đã cho
⇔

( )
1
có nghiệm kép
⇔

0
∆ =

⇔

2
2
k
k
= −


=

.
•
2k
= −

⇒

( )
: 2 1 2y x
∆ = − − −

⇔

: 2y x∆ = −
.
•
2k
=

⇒

( )
: 2 1 2y x
∆ = − −

⇔

: 2 4y x∆ = −
.
Vậy qua điểm
A
có hai đường thẳng tiếp xúc với parabol là:
2y x= −
và
2 4y x= −

.
Ví dụ 4. [ĐHB08] Cho
3 2
4 6 1y x x= − +

( )
C
. Viết phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm
( )
1; 9M
− −

của
( )
C
.
Giải. Đường thẳng qua
M
, hệ số góc
k
có phương trình dạng
( )
: 1 9y k x
∆ = + −
.
∆
là tiếp tuyến của
( )
C
khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm

( )
I
( ) ( )
( )
3 2
2
4 6 1 1 9 1
12 12 2
x x k x
x x k

− + = + −


− =


.
Thế
( )
2
vào
( )
1
ta có:
22
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
( )
( )
3 2 2

4 6 1 12 12 1 9x x x x x + = +



3 2
4 3 6 5 0x x x+ =



5
4
1
x
x

=


=

.
Do ú:
( )
I
cú nghim


5
4
x =

l nghim ca
( )
2
hoc
1x
=
l nghim ca
( )
2
.
Thay
5
4
x =
vo
( )
2
ta cú
15
4
k =



( )
15
: 1 9
4
y x = +

15 21
:
4 4
y x =
.
Thay
1x
=
vo
( )
2
ta cú
24k
=



( )
: 24 1 9y x
= +



: 24 15y x = +
.
Vy phng trỡnh cỏc tip tuyn i qua im
M
ca

( )
C
l
15 21
4 4
y x=
,
24 15y x= +
.
Vớ d 5. [HD02] Cho
( )
2
2 1
1
m x m
y
x

=


( )
C
v
:d y x=
. Tỡm
m

( )
C

tip xỳc vi
d
.
Gii.
( )
C
tip xỳc vi
d
khi v ch khi h sau õy cú nghim i vi
x
( )
I
( )
( )
' 1
f x x
f x
=



=


.
Ta cú
( )
I

( )
2
2
2 1
1
1
1
1
m x m
x
x
m
x


=







=
ữ

( ) ( ) ( )
2
2 1 1 1
2
1
m x m x x
x m
x m
x

=

=




=





Do ú
( )
I
cú nghim khi v ch khi

( )
( )
1
1
2 1
2 1
laứ nghieọm cuỷa
laứ nghieọm cuỷa
m
m
m
m

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
1
2 1 1
2 1
2 1 2 2 1
m
m m m m m
m
m m m m m





=

=





1
1
1
m
m
m
m










=

Ă


1m

.
Vy

( )
C
tip xỳc vi
d



1m

.
C. Bi tp
Bi 1. [SGK] Chng minh cỏc th sau tip xỳc nhau v vit phng trỡnh tip tuyn chung
23
Tip tuyn v s tip xỳc
1)
2
3 1y x x= − −
và
2
2 3
1

x x
y
x
− + −
=
−
.
2)
2
3
2 2
x
y x= +
và
3
2
x
y
x
=
+
.
3)
( )
2
3 6y f x x x
= = − + +
,
( )
3 2

4y g x x x
= = − +
và
( )
2
7 8y h x x x
= = + +
.
Bài 2. [SGK] Chứng minh có hai tiếp tuyến của parabol
2
3y x x= −
đi qua điểm
3 5
;
2 2
A
 
−
 ÷
 
và
chúng vuông góc với nhau.
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến qua
A
của đồ thị
( )
C
trong các trường hợp sau:
1)
23

; 2
9
A
 
−
 ÷
 
,
( )
C
là đồ thị hàm số
3 2
3 2y x x= − +
.
2)
( )
6;5A
−
,
( )
C
là đồ thị hàm số
2
2
x
y
x
+
=
−

.
Bài 4. Chứng minh rằng qua
( )
1;0A
có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau của đồ thị hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
.
Bài 5. Tìm
m
để đường thẳng
9y mx= −
tiếp xúc với đồ thị
4 2
8 7y x x= − +
.
D. Hướng dẫn và đáp số
Bài 1. 1
5y x= −
; 2
3
2
y x=

; 3
5 7y x= +
. Chú ý. Ba đồ thị hàm số
( )
y f x
=
,
( )
y g x=
,
( )
y h x
=
tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
' ' '
f x g x h x
f x g x h x
= =



= =


có nghiệm đối với
x
. Bài 2.
Đường thẳng

∆
qua
3 5
;
2 2
A
 
−
 ÷
 
có hệ số góc
k

⇔

3 5
:
2 2
y k x
 
∆ = − −
 ÷
 
. Ta chứng
minh tồn tại hai giá trị của
k
có tích bằng
1
−
sao cho phương trình

2
3 5
3
2 2
x x k x
 
− = − −
 ÷
 
có
nghiệm kép. Bài 3. 1
5 61
3 27
y x= − +
,
9 25y x= −
,
2y = −
; 2
1y x= − −
,
1 7
4 2
y x= − +
. Bài 4.
24
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
Chứng minh tồn tại hai giá trị của
k
có tích bằng

1
−
sao cho hệ
( )
2
'
2
2 2
1
1
2 2
1
x x
k x
x
x x
k
x

+ +
= −

+


 
+ +

=
 ÷


+
 


có nghiệm. Bài 5.
0m
=
.
25
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc