chương 5 giao điểm của đường thẳng với các mặt

5.1 Trường hợp đặc biệt
1.Cách giải
2.Các ví dụ
5.2 Trường hợp tổng quát
1.Cách giải
2.Các ví dụ
Chương 5
GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG
VỚI CÁC MẶT
Trong trường hợp này, có thể đường thẳng là
đường thẳng chiếu hoặc mặt là lăng trụ chiếu
hoặc mặt trụ chiếu.
5.1. Trường hợp đặc biệt
(Biết một hình chiếu của giao điểm)
1.Cách giải
Trong trường hợp này, một hình chiếu của các
giao điểm trùng với hình chiếu suy biến của
đường thẳng chiếu, của mặt lăng trụ hoặc mặt trụ
chiếu. Để tìm hình chiếu thứ hai của các giao điểm
ta gắn các giao điểm vào các đường đặc biệt
thuộc các mặt như: đường sinh, vĩ tuyến, đường
thuộc mặt phẳng song song với đường chuẩn,… Dựa
vào sự liên thuộc của điểm với đường để giải bài toán.
2.Các ví dụ
Ví dụ 1: Tìm giao điểm của các đường thẳng m,
n với lăng trụ chiếu bằng ABC.A’B’C’
Giải: Ta gọi các giao điểm
cần tìm là:E=m (AA’B’B),
F=m (ABC), K=n (BB’C’C),
H=n (AA’C’C).

Vì các mặt của lăng trụ
đều là mặt phẳng chiếu nên
ta biết trước một hình chiếu
của giao điểm, dễ dàng tìm
hình chiếu thứ hai.
C
1
C’
1
B
1
B’
1
A
1
A’
1
A
2
A’
2
B
2
B’
2
C
2
C’
2
H

1
H
2
K
1
K
2
E
1
E
2
F
1
I
1
F
2
I
2
m
1
n
1
m
2
n
2
C
1
B

1
A
1
A
2
B
2
C
2
S
2
S
1
d
1
d
2
Ví dụ 2: Tìm giao điểm
của đường thẳng chiếu
bằng d với hình chóp
SABC
Giải: Ta gọi các
giao điểm cần tìm
là:E= d (ABC), F=d
(SBC).
Ta có ngay: E
1
=
d
1

A
1
B
1
C
1
, E
2
d
2
.
Ta cũng có F
2
d
2
,
để tìm F
1
ta gắn F vào
một đường thuộc mặt
phẳng (SBC).
22
IJ
1
I
1
J
Ví dụ 3: Tìm giao điểm của
đường thẳng d P
1

và l P
2
với hình nón xiên có đáy
nằm trên một mặt phẳng
chiếu đứng và có hình chiếu
bằng là một hình tròn
Giải: Gọi các giao điểm
cần tìm là:I,J= l nón ;
B,C= l nón ,
Ta có ngay: I
2
J
2
l
2
. Dễ
dàng tìm được I
1
, J
1
.
B
1
C
1
d
2
. Dễ dàng tìm
được B
2

, C
2
. bằng cách gắn
nó vào các đường sinh SN,
SP
Ví dụ 4: Tìm giao của
đường thẳng chiếu
đứng d với hình cầu
Ví dụ 5: Tìm giao điểm của
đường thẳng chiếu đứng m
và đường thẳng chiếu bằng
n với mặt xuyến
5.2 Trường hợp tổng quát
1.Cách giải
Để xác định giao điểm của đường thẳng và mặt
trong trường hợp tổng quát, ta dùng phương pháp
mặt phụ trợ:
g
A
-Vẽ mặt phẳng phụ trợ R chứa
đường thẳng d
-Xác định giao tuyến phụ g của
R và
-Xác định các giao điểm của g
và d chính là các giao điểm của
d với .
Ta chọn mặt phẳng phụ trợ R sao cho dễ xác định
giao tuyến g và các giao điểm chính xác. Tổng
quát nhất là chọn R là mặt phẳng chiếu. Ngoài ra,
với từng loại mặt hình học ta có thể chọn như sau:

1.Với mặt nón, ta chọn
mặt phẳng R =(S, d), S là
đỉnh nón;
2.Đối với mặt trụ, chọn
mặt phẳng R là mặt
phẳng đi qua d và song
song với trục(đường
sinh) của mặt trụ.
3.Đối với mặt cầu, chọn
R là mặt phẳng chiếu
chứa d hoặc mặt phẳng
R(O, d), O là tâm mặt
cầu.
4.Đối với đa diện
chọn R là mặt phẳng
chiếu chứa d.
2.Các ví dụ
Ví dụ 1: Tìm giao điểm của
đường thẳng d với hình trụ
xiên có đáy dưới là một
hình tròn nằm trên mặt
phẳng hình chiếu bằng P
2
1
t
2
k
1
k
x

2
e
1
e
1
g
1
'g
2
g
2
'g
Giải: - Qua d dựng mặt
phẳng R // đường sinh mặt
trụ: R = d ∩k với k//t.
- Tìm giao tuyến: MN=
R , với N = d đáy trụ, M =
k đáy trụ.
- MN cắt đường chuẩn
của trụ tại hai điểm 1 và 2. Từ
1 và 2 ta dựng hai đường
sinh: g(2) và g’(2) suy ra hai
giao điểm cần tìm là: H, K =
d .
Giải: - Qua d dựng mặt
phẳng Q (d,S).
Tìm giao tuyến: MN=
Q R(mp đáy nón), với N = d R,
M = SA R.
MN cắt đường chuẩn của

nón tại hai điểm 1 và 2. Từ 1
và 2 ta dựng hai đường sinh:
S1 và S2 suy ra hai giao
điểm cần tìm là: I, J = d .
Ví dụ 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d với
hình nón có đường chuẩn nằm trong mặt phẳng
chiếu đứng R
Giải: - Dựng mặt phẳng phụ
trợ R là mặt phẳng chiếu đứng
chứa d. Giao tuyến của R với
mặt cầu là đường tròn e có tâm
H với OH R.
- Thay mặt phẳng hình chiếu
bằng để R//P
2
(x’≡ d
1
). Xác định
hình chiếu đứng mới của các
giao điểm M, N , sau đó tìm các
hình chiếu ban đầu của M, N.
Trên hình chiếu đứng N
1
thấy, M
1
khuất. Trên hình chiếu bằng N
2
thấy, M
2
khuất.

Ví dụ 3: Tìm giao điểm của đường thẳng d với
mặt cầu .