Tài liệu một số bài tập điển hình dao động trong kỹ thuật
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (390.21 KB, 12 trang )
1
Bài 5.24
1. Lập phương trình vi phân chuyển động của hệ
- Động năng của hệ:
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
JJT
(1)
- Thế năng của hệ:
2
122
2
1
1
)(
2
1
2
1
tt
kkV
(2)
- Phương trình Lagrange có dạng:
i
iii
M
VTT
dt
d
(với i=1,2) (3)
Thay (1) và (2) vào (3) ta được:
0
0
221222
2212111
tt
ttt
kkJ
kkkJ
(4)
Theo đề bài ta có:
tttt
kkkk 2;
21
;
JJJJJ 22;
121
;
Viết lại phương trình (4) thành:
0222
023
212
211
tt
tt
kkJ
kkJ
(5)
Viết dưới dạng ma trận ta có:
0
0
22
23
20
0
2
1
2
1
tt
tt
kk
kk
J
J
(6)
2. Tìm các tần số riêng:
Phương trình (6) có hai nghiệm điều hoà:
iiii
tAt
cos
với i=1,2; (7)
Thay (7) vào (6) ta được phương trình tần số:
0
222
23
det
0
20
0
22
23
det
0
2
2
2
2
tt
tt
tt
tt
kJk
kkJ
J
J
kk
kk
mk
04223
222
ttt
kkJkJ
04
2242
tt
kJkJ
(8)
Giải phương trình (8) được hai nghiệm:
2
J
k
J
k
J
k
J
k
tt
tt
9138,1;5176,0
32;32
21
2
2
2
1
3. Ma trận dạng riêng của hệ:
Các véc tơ riêng:
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
Ar
A
A
A
A
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
Ar
A
A
A
A
với:
3661,0
2
32
3661,1
2
3
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
t
t
t
t
k
kJ
A
A
r
k
kJ
A
A
r
Ma trận dạng riêng của hệ:
3661,03661,1
11
A
Nghiệm của phương trình (1) là:
22
2
111
1
11
coscos
tAtAt
22
2
111
1
12
cos3661,0cos3661,1
tAtAt
Đề số 1 (Bài tập):
Cho cơ hệ như hình vẽ:
smNMtMM
rad
mN
C
rad
mN
C
mkgJmkgJ
/15;.8;cos
.
10.3;
.
10.2
.10.2;.10.5,1
20202
2
2
2
1
21
2
21
1
1. Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động của hệ:
- Động năng của hệ:
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
JJT
(1)
3
- Thế năng của hệ:
2
122
2
11
)(
2
1
2
1
ccV
(2)
- Phương trình Lagrange có dạng:
i
iii
M
VTT
dt
d
(với i=1,2) (3)
Thay (1) và (2) vào (3) ta được:
tMMccJ
cccJ
cos
0
202221222
2212111
(4)
Viết dưới dạng ma trận ta có:
tM
cc
ccc
J
J
cos
0
0
0
20
2
1
22
221
2
1
2
1
(5)
2. Tìm các tần số riêng:
Phương trình (5) có hai nghiệm điều hoà:
iiii
tAt
cos
với i=1,2; (6)
Thay (6) vào (5) ta được phương trình tần số:
0det
0
0
0
det
0
2
2
22
221
2
1
2
1
2
22
221
2
cJc
cccJ
J
J
cc
ccc
mk
0
2
22
2
221
2
1
ccJccJ
0
21
2
122221
4
21
ccJcJcJcJJ
(7)
Giải phương trình (7) được hai nghiệm:
21
2121
2
122221122221
21
21
2121
2
122221122221
2
2
2
1
4
/
;
4
/
JJ
ccJJJcJcJcJcJcJc
JJ
ccJJJcJcJcJcJcJc
Thay số được:
)/1(1538,66);/1(3776,21
21
ss
3. Ma trận dạng riêng của hệ:
Các véc tơ riêng:
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
Ar
A
A
A
A
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
Ar
A
A
A
A
với:
4
5214,0
4382,1
2
2
2
22
2
1
2
2
2
2
21
2
11
1
1
1
2
1
c
cJ
A
A
r
c
ccJ
A
A
r
Ma trận dạng riêng của hệ:
5214,04382,1
11
A
4. Biểu thức biểu diễn dao động tự do của hệ với điều kiện đầu:
0 ; 6/
0 ; 0
0
22
11
t
Nghiệm của phương trình (1) là:
22
2
1211
1
112
22
2
111
1
11
coscos
coscos
tArtArt
tAtAt
(8)
Ta có:
22
2
12211
1
1112
22
2
1211
1
111
sinsin
sinsin
tArtArt
tAtAt
(9)
Thay điều kiện đầu t=0 vào các biểu thức (8) và (9) ta được:
2
2
1221
1
1112
2
2
121
1
111
2
2
121
1
112
2
2
11
1
11
sinsin0
sinsin0
coscos0
coscos0
ArAr
AA
ArAr
AA
(10)
Giải hệ phương trình (10) công thức 5.18 [S. Rao, Dao động cơ học, tập I], ta có:
00
00
00
00
00
00
1
00
00
1
2112
211
2
2121
212
1
2
2
2
211
2
211
12
2
1
2
1
2
212
2
212
12
1
1
r
r
arctg
r
r
arctg
r
r
rr
X
r
r
rr
X
Thay số ta được:
0)0(
0)0(
2672,0
9597,1.669597,1
1
2672,0
9597,1.669597,1
1
2
1
2
2
1
2
1
1
arctg
arctg
X
X
Biểu thức biểu diễn dao động tự do của hệ với điều kiện đầu là:
5
ttt
ttt
1538,66cos1393,03776,21cos3842,0
1538,66cos2672,03776,21cos2672,0
2
1
5. Dao động cưỡng bức của hệ
Lấy nghiệm riêng của hệ dưới dạng:
.2,1 ;cos jtXtx
jj
Trở kháng cơ học của hệ tính theo công thức:
2,1, ;
2
srkcimiZ
rsrsrsrs
Từ phương trình (5) và so sánh với phương trình 5.27 [S. Rao, Dao động cơ học, tập I], ta có:
tMFF
ckckcck
ccc
mJmJm
cos;0
;;;
0
0;;
2021
2122222111
221211
12222111
Từ đó ta có:
212
22
2
22
211
2
11
;
;
cZ
cJZ
ccJZ
Áp dụng công thức 5.35 [S. Rao, Dao động cơ học, tập I], ta có:
2
222
2
211
2
2011
2
2
2
222
2
211
2
202
1
ccJccJ
MccJ
X
ccJccJ
Mc
X
Thay số được:
)(0703986,0
)(0425579,0
2
1
radX
radX
Nghiệm riêng của hệ phương trình:
ttx
ttx
5cos0703986,0
;5cos0425579,0
2
1
Vậy, biểu thức của dao động cưỡng bức là:
tttt
tttt
5cos0703986,01538,66cos1393,03776,21cos3842,0
5cos0425579,01538,66cos2672,03776,21cos2672,0
2
1
Đề số 2 (Bài tập):
6
Cho cơ hệ như hình vẽ:
smNMtMM
rad
mN
C
rad
mN
C
mkgJmkgJ
/14 ;.6;cos
.
10.5;
.
10.2
.10.3;.10.2
10101
2
2
2
1
21
2
21
1
1. Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động của hệ:
- Động năng của hệ:
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
JJT
(1)
- Thế năng của hệ là:
2
22
2
211
2
1
2
1
ccV
(2)
- Phương trình Lagrange có dạng:
i
iii
M
VTT
dt
d
(với i=1,2) (3)
Thay (1) và (2) vào (3) ta được:
0
cos
2211122
10211111
cccJ
tMccJ
(4)
Viết dưới dạng ma trận ta có:
0
cos
0
0
10
2
1
211
11
2
1
2
1
tM
ccc
cc
J
J
(5)
2. Tìm các tần số riêng:
Phương trình (5) có hai nghiệm điều hoà:
iiii
tAt
cos
với i=1,2; (6)
Thay (6) vào (5) ta được phương trình tần số:
0det
0
0
0
det
0
21
2
21
11
2
1
2
1
2
211
11
2
ccJc
ccJ
J
J
ccc
cc
mk
0
2
121
2
21
2
1
cccJcJ
0
21
2
122111
4
21
ccJcJcJcJJ
(7)
Giải phương trình (7) được hai nghiệm:
21
2121
2
122111122111
21
21
2121
2
122111122111
2
2
2
1
4
/
;
4
/
JJ
ccJJJcJcJcJcJcJc
JJ
ccJJJcJcJcJcJcJc
Thay số được:
)/1(161,52);/1(750,24
21
ss
7
3. Ma trận dạng riêng của hệ:
Các véc tơ riêng:
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
Ar
A
A
A
A
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
Ar
A
A
A
A
với:
7208,1
3874,0
1
21
2
22
2
1
2
2
2
1
1
2
11
1
1
1
2
1
c
ccJ
A
A
r
c
cJ
A
A
r
Ma trận dạng riêng của hệ:
7208,13874,0
11
A
4. Biểu thức biểu diễn dao động tự do của hệ với điều kiện đầu:
0 ; 0
0 ; 6/
0
22
11
t
Nghiệm của phương trình (1) là:
22
2
1211
1
112
22
2
111
1
11
coscos
coscos
tArtArt
tAtAt
(8)
Ta có:
22
2
12211
1
1112
22
2
1211
1
111
sinsin
sinsin
tArtArt
tAtAt
(9)
Thay điều kiện đầu t=0 vào các biểu thức (8) và (9) ta được:
2
2
1221
1
1112
2
2
121
1
111
2
2
121
1
112
2
2
11
1
11
sinsin0
sinsin0
coscos0
coscos0
ArAr
AA
ArAr
AA
(10)
Giải hệ phương trình (10) công thức 5.18 [S. Rao, Dao động cơ học, tập I], ta có:
00
00
00
00
00
00
1
00
00
1
2112
211
2
2121
212
1
2
2
2
211
2
211
12
2
1
2
1
2
212
2
212
12
1
1
r
r
arctg
r
r
arctg
r
r
rr
X
r
r
rr
X
Thay số ta được:
8
0)0(
0)0(
0962,0
6
.3874,0
1082,2
1
4273,0
6
.7208,1
1082,2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
arctg
arctg
X
X
Biểu thức biểu diễn dao động tự do của hệ với điều kiện đầu là:
ttt
ttt
161,52cos1656,0750,24cos1656,0
161,52cos0962,0750,24cos4273,0
2
1
5. Dao động cưỡng bức của hệ
Lấy nghiệm riêng của hệ dưới dạng:
.2,1 ;cos jtXtx
jj
Trở kháng cơ học của hệ tính theo công thức:
2,1, ;
2
srkcimiZ
rsrsrsrs
Từ phương trình (5) và so sánh với phương trình 5.27 [S. Rao, Dao động cơ học, tập I], ta có:
.0;cos
;;;
0
0;;
2101
1122122111
221211
12222111
FtMF
ckcckck
ccc
mJmJm
Từ đó ta có:
112
212
2
22
11
2
11
;
;
cZ
ccJZ
cJZ
Áp dụng công thức 5.35 [S. Rao, Dao động cơ học, tập I], ta có:
2
1212
2
11
2
101
2
2
1212
2
11
2
10212
2
1
cccJcJ
Mc
X
cccJcJ
MccJ
X
Thay số được:
)(01239,0
)(04308,0
2
1
radX
radX
Nghiệm riêng của hệ phương trình:
ttx
ttx
4cos01239,0
;4cos04308,0
2
1
Vậy, biểu thức của dao động cưỡng bức là:
tttt
tttt
4cos01239,0161,52cos1656,0750,24cos1656,0
4cos04308,0161,52cos0962,0750,24cos4273,0
2
1
9
Đề số 3 (Bài tập):
Cho cơ hệ như hình vẽ:
smNMtMM
rad
mN
C
rad
mN
C
rad
mN
C
mkgJmkgJ
/14 ;.5;cos
.
10.2;
.
10.4;
.
10.3
.10.3;.10.2
20202
2
3
2
2
2
1
21
2
21
1
1. Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động của hệ:
- Động năng của hệ:
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
JJT
(1)
- Thế năng của hệ là:
2
23
2
122
2
11
2
1
2
1
2
1
cccV
(2)
- Phương trình Lagrange có dạng:
i
iii
M
VTT
dt
d
(với i=1,2) (3)
Thay (1) và (2) vào (3) ta được:
tMcccJ
cccJ
cos
0
202321222
2212111
(4)
Viết dưới dạng ma trận ta có:
tMccc
ccc
J
J
cos
0
0
0
20
2
1
322
221
2
1
2
1
(5)
2. Tìm các tần số riêng:
Phương trình (5) có hai nghiệm điều hoà:
iiii
tAt
cos
với i=1,2; (6)
Thay (6) vào (5) ta được phương trình tần số:
0det
0
0
0
det
0
32
2
22
221
2
1
2
1
2
322
221
2
ccJc
cccJ
J
J
ccc
ccc
mk
0
2
232
2
221
2
1
cccJccJ
0
323121
2
13122221
4
21
ccccccJcJcJcJcJJ
(7)
Giải phương trình (7) được hai nghiệm:
10
21
32312121
2
1312222113122221
21
21
3231212121
2
1312222113122221
2
2
2
1
4
/
;
4
/
JJ
ccccccJJJcJcJcJcJcJcJcJc
JJ
ccccccccJJJcJcJcJcJcJcJcJc
Thay số được:
)/1(431,67);/1(871,30
21
ss
3. Ma trận dạng riêng của hệ:
Các véc tơ riêng:
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
Ar
A
A
A
A
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
Ar
A
A
A
A
với:
5235,0
273,1
2
32
2
22
2
1
2
2
2
2
21
2
11
1
1
1
2
1
c
ccJ
A
A
r
c
ccJ
A
A
r
Ma trận dạng riêng của hệ:
5235,0273,1
11
A
4. Biểu thức biểu diễn dao động tự do của hệ với điều kiện đầu:
0 ; 0
0 ; 6/
0
22
11
t
Nghiệm của phương trình (1) là:
22
2
1211
1
112
22
2
111
1
11
coscos
coscos
tArtArt
tAtAt
(8)
Ta có:
22
2
12211
1
1112
22
2
1211
1
111
sinsin
sinsin
tArtArt
tAtAt
(9)
Thay điều kiện đầu t=0 vào các biểu thức (8) và (9) ta được:
2
2
1221
1
1112
2
2
121
1
111
2
2
121
1
112
2
2
11
1
11
sinsin0
sinsin0
coscos0
coscos0
ArAr
AA
ArAr
AA
(10)
Giải hệ phương trình (10) công thức 5.18 [S. Rao, Dao động cơ học, tập I], ta có:
11
00
00
00
00
00
00
1
00
00
1
2112
211
2
2121
212
1
2
2
2
211
2
211
12
2
1
2
1
2
212
2
212
12
1
1
r
r
arctg
r
r
arctg
r
r
rr
X
r
r
rr
X
Thay số ta được:
0)0(
0)0(
371,0
6
.273,1
7969,1
1
1525,0
6
.5235,0
7969,1
1
2
1
2
2
1
2
1
1
arctg
arctg
X
X
Biểu thức biểu diễn dao động tự do của hệ với điều kiện đầu là:
ttt
ttt
431,67cos194,0871,30cos194,0
431,67cos371,0871,30cos1525,0
2
1
5. Dao động cưỡng bức của hệ
Lấy nghiệm riêng của hệ dưới dạng:
.2,1 ;cos jtXtx
jj
Trở kháng cơ học của hệ tính theo công thức:
2,1, ;
2
srkcimiZ
rsrsrsrs
Từ phương trình (5) và so sánh với phương trình 5.27 [S. Rao, Dao động cơ học, tập I], ta có:
.cos;0
;;;
0
0;;
2021
21232222111
221211
12222111
tMFF
ckcckcck
ccc
mJmJm
Từ đó ta có:
212
322
2
22
211
2
11
;
;
cZ
ccJZ
ccJZ
Áp dụng công thức 5.35 [S. Rao, Dao động cơ học, tập I], ta có:
2
2322
2
211
2
20211
2
2
2
2322
2
211
2
20322
2
1
cccJccJ
MccJ
X
cccJccJ
MccJ
X
Thay số được:
12
)(01367,0
)(00785,0
2
1
radX
radX
Nghiệm riêng của hệ phương trình:
ttx
ttx
4cos01367,0
;4cos00785,0
2
1
Vậy, biểu thức của dao động cưỡng bức là:
tttt
tttt
4cos01367,0431,67cos194,0871,30cos194,0
4cos00785,0431,67cos371,0871,30cos1525,0
2
1
