Tài liệu lý thuyết biến dạng dẻo từ biến

LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG - DẺO - TỪ BIẾN
Câu 1: Trạng thái ứng suất tại một điểm? Những kết quả chủ yếu của việc nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm.
Trả lời
I. Trạng thái ứng suất tại một điểm.
+ Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả các thành phần ứng suất tác dụng lên tất cả các mặt vô cùng bé đi qua điểm đó.
+ Trạng thái ứng suất tại một điểm được xác định khi biết được ứng suất trên 3 mặt vuông góc với nhau, chúng bao gồm:
- 3 thành phần ứng suất pháp:
x y z
σ ,σ ,σ
. Qui ước
σ 0>
khi có chiều cùng chiều với lực kéo.
- 6 thành phần ứng suất tiếp:
xy yx yz zy xz zx
τ , τ , τ , τ ,τ ,τ
. Qui ước
τ 0>
khi pháp tuyến của mặt mà nó tác dụng theo phương trục tọa độ thì chiều ứng suất tiếp theo
chiều dương của trục tọa độ tương ứng.
+ Theo định luật đối ứng của ứng suất tiếp: Ứng suất tiếp trên 2 mặt vuông góc về trị số bằng nhau nhưng ngược chiều:
xy yx yz zy xz zx
τ τ , τ τ , τ τ= = =
.
+ Vậy ta còn 6 thành phần ứng suất độc lập và nó là hàm của tọa độ điểm cần tính ứng suất:
x x y y z z
σ σ ( , , ),σ σ ( , , ),σ σ ( , , )x y z x y z x y z= = =
xy xy yz yz zx zx
τ τ ( , , ), τ τ ( , , ), τ τ ( , , )x y z x y z x y z= = =
+ Trạng thái ứng suất tại một điểm bất kỳ được xác định bằng một ten xơ bậc 2 đối xứng.( Ten xo bậc 2 là một đại lượng toán học xác định trong hệ tọa độ
1 2 3
Ox x x

bất kỳ
bởi 9 trị số
kl
T
thỏa mãn phép biến đổi khi chuyển đến hệ
, , ,
1 2 3
Ox x x
theo công thức:
'
ij ik jl kl
T =α .α .T
với
ij i j
α =cos(x ,x )
là các cô sin chỉ phương).
+ Biểu diễn Ten xo ứng suất như sau:
11 12 13 xx xy xz x xy xz
σ ij 21 22 23 yx yy yz yx y yz
31 32 33 zx zy zz zx zy z
σ σ σ σ σ σ σ τ τ
T =σ = σ σ σ = σ σ σ = τ σ τ
σ σ σ σ σ σ τ τ σ
+ Tenxơ ứng suất có thể biểu diễn thành tổng của hai ten xơ ( ten xơ cầu và ten xơ độ lệch) theo quan hệ:
0 x 0 xy xz
σ σo σ 0 yx y 0 yz
0 zx zy z 0
σ 0 0 σ σ τ τ
T =T +D = 0σ 0 + τ σ σ τ
0 0σ τ τ σ σ

−
−
−
Với :
x y z
0
σ σ σ
σ
3
+ +
=

Ứng suất pháp trung bình.
+ Người ta chứng minh rằng:
- Ten xo cầu
σo
T
có tác dụng gây ra biến dạng thể tích.
- Ten xơ độ lệch:
σ
D
có tác dụng gây ra biến đổi hình dáng
II. Những kết quả chủ yếu của việc nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm.
1. Phương trình vi phân cân bằng:
2
ij
i
i
2
j

σ
u
+X =
x t
ρ
∂
∂
∂ ∂
2
2
13
11 12 1 x xz
1 1
2 2
1 2 3
σ
σ σ u σ u
X =ρ X =ρ
x x x t x t
xy
y z
τ
τ
∂
∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + ⇔ + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2
2

yx y yz
23
21 22 2
2
2 2
1 2 3
σ
σ
σ σ u v
X = Y=
x x x t x ty z
τ τ
ρ ρ
∂ ∂ ∂
∂
∂ ∂ ∂ ∂
+ + + ⇔ + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2
2
zy
31 32 33 3
zx z
3
2 2
1 2 3
σ σ σ u
σ w
X = Z=
x x x t x ty z

τ
τ
ρ ρ
∂
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
+ + + ⇔ + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Với
ρ
: mật độ khối lượng của vật thể.
+ Trong trường hợp cân bằng tĩnh: vế phải của hệ sẽ bằng 0.
+ Trong trường hợp cân bằng động: vế phải như trên. phương trình còn gọi là phương trình vi phân chuyển động của môi trường liên tục.
Hệ phương trình được gọi là phương trình cân bằng tĩnh học NAVIER- CAUCHY.
2. Định luật đối ứng của ứng suất tiếp : Ứng suất tiếp trên 2 mặt vuông góc về trị số bằng nhau nhưng ngược chiều
τ
xy
τ
yx
τ
yz
τ
zy
τ
zx
τ
xz
3. Phương trình điều kiện biên theo ứng suất ( Điều kiện bề mặt):
ni ij j ji j
σ =σ n σ n=

n1 11 1 12 2 13 3 nx x xz
σ =σ n σ n σ n σ =σ l m n
xy
τ τ
+ + ⇔ + +
n2 21 1 22 2 23 3 ny yx y yz
σ =σ n σ n σ n σ = l σ m n
τ τ
+ + ⇔ + +
n3 31 1 32 2 33 3 nz zx zy z
σ =σ n σ n σ n σ = l m σ n
τ τ
+ + ⇔ + +
4. Ứng suất toàn phần :
+ Để tìm ƯS tại điểm M(x,y,z) trên mặt cắt nghiêng có pháp tuyến n với các côsin chỉ phương l,m,n. Ta xét cân bằng của
phần tử tứ diện lấy tại điểm M(x,y,z), phần tử có ba mặt vuông góc với các trục tọa độ, trên đó có các ƯS
τσ
,
(như
H.2.6). Mặt thứ tư của phân tử là mặt nghiêng có ƯS toàn phần
nn
σ
r
, các hình chiếu của nó lên 3 trục tọa độ x,y,z là
nx ny nz
σ σ σ
.
+ Ba hình chiếu này giữ vai trò tương tự như lực bề mặt
*
z

*
y
*
x
f,f,f
khi viết điều kiện biên, nên có thể có kết quả tương
tự như sau:
ni ij j ji j
σ =σ n σ n=
n1 11 1 12 2 13 3 nx x xz
σ =σ n σ n σ n σ =σ l m n
xy
τ τ
+ + ⇔ + +
n2 21 1 22 2 23 3 ny yx y yz
σ =σ n σ n σ n σ = l σ m n
τ τ
+ + ⇔ + +
n3 31 1 32 2 33 3 nz zx zy z
σ =σ n σ n σ n σ = l m σ n
τ τ
+ + ⇔ + +
Khi viết dưới dạng toàn phương:
nx x xy xz
ny yx y yz
nz zx zy z
σ σ τ τ l
σ = τ σ τ x m
σ τ τ σ n
 

   
 
   
   
 
   
 
   
 
Giá trị của ƯS toàn phần Pn được tính theo công thức sau :
2 2 2
nn nx ny nz
σ σ σ σ= + +
5. Ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt bất kỳ :
+ Ứng suất toàn phần
n
σ
có thể biểu diễn qua ứng suất pháp và ứng suất tiếp.
a) Ứng suất pháp: là hình chiếu của ứng suất toàn phần
n
σ
trên pháp tuyến
ν
, được ký hiệu
σ
ν
.
nn nx 1 ny 2 nz 3
σ =σ e σ e +σ e+
ν nn nx 1 ny 2 nz 3 nx ny nz

σ =ch(σ )=ch(σ e +σ e +σ e )=σ l+σ m+σ n
2 2 2
x y z yz
σ =σ l σ m σ n 2( lm mn+ nm)
xy zx
ν
τ τ τ
+ + + +
b) Ứng suất tiếp : Trị số ứng suất tiếp
νη
τ
trên mặt cắt nghiêng được tính theo công thức :
2 2 2 2 2 2
nn n nx ny nz n
σ σ σ σ σ σ
νη
τ
= − = + + −
νη x 1 y 1 z 1 xy 1 1 yz 1 1 zx 1 1
τ =σ ll +σ mm +σ nn +τ (lm +l m)+τ (mn +m n)+τ (nl +n l)
Trong đó:
+ v - là pháp tuyến của mp nghiêng
+ l,m,n - là các cosin chỉ phương của pháp tuyến v với hệ XYZ
+ l
1
,m
1,
n
1
- là cosin chỉ phương của phương ứng suất tiếp

6. Mặt chính - Ứng suất chính - Phương chính
a) Khái niệm:
* Mặt chính là mặt trên đó có ứng suất tiếp bằng không;
* Phương chính là phương pháp tuyến của mặt chính.
* Ứng suất chính là ứng suất trên mặt chính . Ký hiệu
1 2 3
σ , σ , σ
.
b) Ứng suất chính:
+ Phương trình đặc trưng:
x xy xz
ij ij yx y yz
zx zy z
σ σ τ τ
σ -δ σ 0 τ σ σ τ 0
τ τ σ σ
 
−
 
= ⇔ − =
 
 
−
 
+ Với
ij
δ
là hệ số croneker;
ij
δ

=1 khi i=j;
ij
δ
=0 khi i ≠ j
+ Khai triển ta được phương trình bậc 3 đối với ứng suất chính
n
σ
:
3 2
1 2 3
σ -σ .I +σ.I -I =0
Trongđó:
1 x y z
Iσ σ σ= + +
-> Lượng bất biến bậc 1
2 2 2
2 x y y z z x xy yz zx
I =σ σ +σ σ +σ σ -(τ +τ +τ )
-> Lượng bất biến bậc 2
2 2 2
3 ij x y z xy yz zx x zy y zx z xy
I =σ =σ σ σ +2τ τ τ -(σ τ +σ τ +σ τ )
-> Lượng bất biến bậc 3
+ Giải phương trình bậc 3 ta nhận được ba giá trị ƯS chính, các giá trị này đều là thực, kí hiệu lần lượt là
321
;;
σσσ
và theo qui ước
321
σσσ

>>
. ƯS chính đều là ứng
suất cực trị.
c) Phương chính:
Tìm phương chính nghĩa là giải hệ:
ij ij j
(σ -σδ )n =0
11 1 12 2 13 3
(σ - )n σ n σ n 0
σ
+ + =
21 1 22 2 23 3
σ n (σ -σ)n σ n 0+ + =
31 1 32 2 33 3
σ n σ n (σ -σ)n 0+ + =
Với
j
n
là cosin chỉ phương của trục chính- các giá trị
j
n
phải thỏa mãn điều kiện trực giao:
2 2 2
1 2 3
n +n +n =1
.Ba phương này trực giao với nhau và lập thành một hệ trục
tọa độ, ký hiệu các trục là 1,2,3.Tenxơ ƯS này được viết là :
Các bất biến của trạng thái ƯS chính :
7) ứng suất tiếp lớn nhất:
+ Phương của mặt cắt có UST lớn nhất nghiêng với phương chính một góc 45

0
8) Đối với lý thuyết dẻo:
a) Khảo sát ten xơ độ lệch ứng suất:
+ Phương trình đặc trưng:
σ σ
3
2(D ) 3(D )
σ +I σ-I =0
% %
+ Các lượng bất biến:
σ
1(D )
I 0=
T
σ
σ
1
0
0
0
σ
2
0
0
0
σ
3











( ) ( )
( )
( )
σ
2 2
2
2 2 2
2(D ) ij ij x y y z z x xy yz zx
1 1
Iσ σ σ σ σ σ σ σ 6 τ +τ +τ
2 6
 
= = − + − + − +
 
 
% %
σ
3(D ) ij
Iσ =
%
+ Trạng thái ứng suất thủy tĩnh ( kéo, nén đều theo 3 phương):
i
τ 0=

+ Trạng thái trượt thuần túy:
i
τ τ=
+ Trạng thái kéo nén đơn:
i
σ
τ =
3
b) Cường độ ứng suất:
i i
σ 3τ=
+ Khi kéo nén đơn:
i
σ σ=
c) Ten xơ ứng suất chỉ phương:
x xy xz
yx y yz
i
zx zy z
σ τ τ
D
Dτ σ τ
τ
τ τ σ
σ
σ
= =
Với:
xy yz
x 0

xz
x xy xz yz
i i i i
τ τ
σ σ
τ
σ ; τ ; τ ; τ
τ τ τ τ
−
= = = =
Các thành phần của ten xơ chỉ phương không có thứ nguyên. Nếu các thành phần này là không đổi khi tăng tải dẫn đến phương chính không đổi thì chất tải được gọi là chất
tải đơn giản.
Câu 2: Trạng thái biến dạng tại một điểm? Những kết quả chủ yếu của việc nghiên cứu trạng thái biến dạng tại một điểm.
Trả lời
I. Trạng thái biến dạng tại một điểm
1. Nhứng khái niệm cơ bản
+ Biến dạng là sự thay đổi hình dáng, kích thước của vật thể hoặc của các yếu tố hình học trong vật thể.
+ Các thành phần biến dạng và ký hiệu :Để định lượng biến dạng của vật thể, ta xét những thay đổi của các yếu tố hình học như chiều dài, góc, thể tích của vật thể .
* Biến dạng dài tương đối :
+ Xét một phân tố chiều dài MN = ds theo phương n. Sau biến dạng MN = ds trở thành M
1
N
1
= ds
1
+ Định nghĩa: Biến dạng dài tương đối, ký hiệu ε
n
, là tỷ số
ds
ds

n
−
=
1
ds
ε
+ Ý nghĩa: Biến dạng dài tương đối là biến dạng của một đơn vị chiều dài, có một chỉ số để chỉ phương của biến dạng. Do đó biến dạng dài tương đối theo các phương x, y,
z trong hệ tọa độ Descartes là : ε
x
, ε
x
, ε
z
.
* Biến dạng góc :
+ Xét góc vuông PMN. Sau biến dạng PMN trở thành P
1
M
1
N
+ Định nghĩa: Biến dạng góc, ký hiệu γ
mn
là hiệu số: γ
mn
= PMN - P
1
M
1
N
1

=
2
Π
- P
1
M
1
N
1
=
βα
+
+ Ý nghĩa: Biến dạng góc là lượng thay đổi của một góc vuông trong mặt phẳng đang xét, có 2 chỉ số chỉ mặt phẳng xét biến dạng góc. Biến dạng góc trong các mặt phẳng
xoy, yoz, zox là : γ
xy
, γ
yz
, γ
zx
.
* Biến dạng thể tích tương đối :
+ Xét phân tố có thể tích dV sau biến dạng trở thành dV
1
.
+ Định nghĩa: Biến dạng thể tích tương đối, ký hiệu θ, là tỷ số : θ=
dV
dVdV −
1

+ Ý nghĩa: Biến dạng thể tích tương đối là lượng thay đổi thể tích của một đơn vị thể tích.

+ Các hàm ε, γ, θ là hàm của các biến x,y,z:
ε = ε(x,y,z)
γ = γ(x,y,z)
θ= θ(x,y,z)
+ Theo giả thiết biến dạng bé ta có: /ε/<< 1, /γ /<< 1, /θ / << 1. Do vậy có ta có thể bỏ qua tích của biến dạng so với biến dạng và so với 1.
+ Qui ước dấu của các thành phần biến dạng
- ε
x
, ε
y
, ε
z
> 0 khi chiều dài đang xét dãn dài ra. Ngược lại < 0.
- γ
xy
, γ
yz
, γ
zx
> 0 khi các góc vuông bé lại. Ngược lại < 0.
2. Trạng thái biến dạng tại một điểm
+ Trạng thái biến dạng tại 1 điểm được đặc trưng bởi 9 thành phần biến dạng trên các mặt cắt vuông góc với hệ trục toạ độ. Chín thành phần này cũng thành lập 1 tenxơ
hạng 2 đối xứng gọi là tenxơ biến dạng bé. Ký hiệu :
ε
T

x xy xz
11 12 13
ε ij 21 22 23 yx y yz
31 32 33

zx zy z
1 1
ε γ γ
2 2
ε ε ε
1 1
T =ε = ε ε ε = γ ε γ
2 2
ε ε ε
1 1
γ γ ε
2 2
+ Tenxơ biến dạng Tε có thể phân tích thành tổng của hai tenxơ hạng 2 là tenxơ lệch biến dạng
ε
D
và Tenxơ cầu biến dạng
ε0
T
x 0 xy xz
0
o 0 yx y 0 yz
0
zx zy z 0
1 1
2 2
0 0
1 1
T =T +D = 0 0 +
2 2
0 0

1 1
2 2
ε ε ε
ε ε γ γ
ε
ε γ ε ε γ
ε
γ γ ε ε
−
−
−
Với
ε
0
ε
x
ε
y
+ ε
z
+
3

biến dạng dài trung bình.
+ D
ε
: Tenxơ lệch biến dạng đặc trưng cho BD hình dạng của phần tử;
+ T
0
ε

: Tenxơ cầu BD đặc trưng cho BD thể tích của phần tử
II. Những kết quả chủ yếu của việc nghiên cứu trạng thái biến dạng tại một điểm
1) Biến dạng dài tương đối theo phương bất kỳ :
Có thể viết dưới dạng toàn phương :
+ Sau khi nhận được (3.5) ta thấy (3.5) hoàn toàn tương tự với (2.7) :
σ
n
= σ
x
.l
2
+ σ
y
.m
2
+σ
z
.n
2
+ 2(T
xy
.ml + T
yz
.mn + T
xz
.nl) (2.7)
2) Biến dạng chính – phương biến dạng chính:
a) Biến dạng chính: Các biến dạng dài tương đối theo phương biến dạng chính là các biến dạng chính, các biến dạng chính là biến dạng dài cực trị tại điểm ấy. Ký hiệu
các biến dạng chính là : ε
1

, ε
2
, ε
3
. => theo quy ước ε
1
> ε
2
> ε
3
.
+ Tương tự như việc tìm các ứng suất chính, biến dạng chính được xác định từ phương trình sau :
Khai triển (3.7) ta được phương trình bậc 3 đối với biến dạng chính:
Trong đó:
+ Các hệ số J
1
, J
2
, J
3
trong phương trình tìm biến dạng chính là những giá trị không đổi khi ta xoay trục. Chúng được gọi lần lượt là bất biến thứ nhất, bất biến thứ hai và
bất biến thứ ba của trạng thái biến dạng tại một điểm.
+ Phương trình (3.8) cho 3 nghiệm biến dạng chính, cả ba nghiệm này đều là thực.
c) Tìm phương biến dạng chính :
+ Trạng thái biến dạng tại điểm M(x,y,z) được đặc trưng bởi tenxơ biến dạng bé. Tại điểm M(x,y,z) ấy ta có thể tìm được ba phương vuông góc với nhau và trên các mặt
phẳng vuông góc với ba phương đó, các biến dạng góc bằng không. Những phương đó gọi là phương biến dạng chính.
+ Sau khi có các biến dạng đường chính ε
1
, ε
2

, ε
3,
ứng với mỗi ε
i
sử dụng hệ phương trình (3.10) và phương trình (3.11) ta có hệ ba phương trình tương ứng với ba ẩn số là
ba cosin chỉ phương của biến dạng chính ε
i
đó.
Và phương trình: l
2
+ m
2
+ n
2
= 1 (3.11)
+ Kết quả ta có 3 phương biến dạng chính tương ứng với 3 biến dạng chính. Ba phương này trực giao với nhau ký hiệu các trục là 1,2,3.
+ Tenxơ và các bất biến biến dạng chính được viết là :
3) Mối liên hệ của các thành phần biến dạng và chuyển vị:
+ Công thức Green:
( )
ij j,i i,j k,i k,j
1
ε = u +u +u +u
2
+ Trong trường hợp biến dạng bé, bỏ qua các đại lượng VCB bậc 2, công thức Green còn lại:
ij
1
ε = +
2
j

i
j i
u
u
x x
 
∂
∂
 ÷
 ÷
∂ ∂
 
x xy
u u v
ε = ;γ = +
x y x
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
y yz
w
ε = ;γ = +
v v
y z y
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
z zx
w w
ε = ;γ = +
u
z x z

∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
4) Phương trình tương thích biến dạng:
Ở mục trên ta đã lập được 6 phương trình vi phân của BD theo 3 chuyển vị u, v, w.
x xy
u u v
ε = ;γ = +
x y x
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
y yz
w
ε = ;γ = +
v v
y z y
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
z zx
w w
ε = ;γ = +
u
z x z
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
- Các phương trình này cho phép tính được các BD bằng cách lấy đạo hàm của các chuyển vị u, v, w. Những hàm chuyển vị này, theo tính liên tục của vật thể sẽ là
những hàm đơn trị và liên tục của các biến số. Dó đó, các biến dạng cũng sẽ là những hàm đơn trị và liên tục.
- Để giải bài toán ngược tìm 3 hàm chuyển vị u, v, w khi biết các BD, ta có 6 phương trình đạo hàm riêng đối với 3 ẩn số. Số phương trình nhiều hơn ẩn số, nên để
xác định được 3 ẩn số là các hàm liên tục và đơn trị thì 6 phương trình này phải có quan hệ với nhau.
Các quan hệ này được gọi là các điều kiện tương thích hay điều kiện liên tục của BD cũng được gọi là các điều kiện Sainti - Venant.
Để nhận được các phương trình này, ta khử các chuyển vị u, v, w trong các phương trình BD Cauchy - Navier.

a) Nhóm phương trình cho các BD trong cùng 1 mp :


b) Nhóm phương trình cho các BD trong các mp khác nhau:
Ý nghĩa : Hệ phương trình (3.12) và (3.13) thể hiện mối quan hệ giữa các BD là điều kiện để tìm u, v, w từ phương trình biến quan hệ hình học Cauchy-Navier gọi là
phương trình liên tục BD.
5) Ten xơ tốc độ biến dạng:
x xy xz
ij yx y yz
zx zy z
1 1
ε γ γ
2 2
1 1
T = =γ ε γ
2 2
1 1
γ γ ε
2 2
ξ
ξ
&
& &
&
& &
&
& &
+ Tenxơ tốc độ biến dạng có thể phân tích thành tổng của hai tenxơ:
x 0 xy xz
0

ξ ξo ξ εo ε 0 yx y 0 yz
0
zx zy z 0
1 1
ε -ε γ γ
2 2
ε 0 0
1 1
T =T +D =T +D = 0ε 0 + γ ε -ε γ
2 2
0 0ε
1 1
γ γ ε -ε
2 2
& &
& &
& &
&
& & &
& &
&
& &
& &
Với
x y z
0
ε ε ε
ε =
3
+ +

& & &
&
+ Cũng như các thành phần biến dạng, các thành phần tốc độ biến dạng không thể cho tùy ý mà phải thỏa mãn điều kiện tương thích biến dạng:
2 2
2
jj ij
ii
2 2
ε ε
ε
2 ;
j i i j
i j
x x x x
∂ ∂
∂
+ = ≠
∂ ∂ ∂ ∂
& &
&
2
jk ij
ii ik
ε ε
ε ε
; ; , , 1,2,3
j k i i j k
i j k i j k
x x x x x x
 

∂ ∂
∂ ∂∂
= − + + ≠ ≠ =
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
& &
& &
5) Đối với lý thuyết dẻo:
a) Độ lệch biến dạng và các lượng bất biến của độ lệch biến dạng.
b) Cường độ biến dạng trượt:
+ Là một đại lượng không âm, xác định bằng công thức:
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
2 2 2 2
i x y y z z x xy yz zx i 2(ε)
2 3 8
γ = ε -ε + ε -ε + ε -ε + γ +γ +γ γ = I
3 2 3
⇔
%
+ Với
2(ε)
I
%
- là lượng bất biến bậc 2 của độ lệch biến dạng.

c) Cường độ biến dạng:
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
2 2 2
i x y y z z x xy yz zx
2 3
ε = ε -ε + ε -ε + ε -ε + γ +γ +γ
3 2
+ Ở trạng thái chính:
( ) ( ) ( )
2 2 2
i 1 2 2 3 3 1
2
ε = ε -ε + ε -ε + ε -ε
3
i i 2(ε)
1 2
ε = γ = I
2 3
%
+ Khi kéo nén đúng tâm:
i 1
ε =ε
vì
2 3 1
ε =ε ε
ν

=
c) Cường độ tốc độ biến dạng trượt:
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
2 2 2
i x y y z z x xy yz zx
2 3
γ = ε -ε + ε -ε + ε -ε + γ +γ +γ
3 2
& & & & & &
& & & &
d) Ten xơ chỉ phương biến dạng:
xy
x 0 xz
i i i
yx y 0 yz
ε ε
i i i i
zy
z 0
zx
i i i
γ
2(ε -ε )
γ
γ γ γ
γ 2(ε -ε ) γ

2
D = D =
γ γ γ γ
γ
2(ε -ε )
γ
γ γ γ
+ Lưu ý rằng:
1(ε)
I =0
%
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
2 2 2
2(ε) x y y z z x xy yz zx
1
Iε ε ε ε ε ε 6 γ +γ +γ
6
 
= − + − + − +
 
 
%
3(ε) ij
Iε =
%
%

Câu 3: Trình bày phương pháp tổng quát giải bài toán lý thuyết đàn hồi theo chuyển vị.
Trả lời
1. Chọn ẩn số cơ bản:
Ta chọn ẩn số cơ bản là các thành phần chuyển vị u
i
(x,y,z): u(x,y,z); v(x,y,z); w(x,y,z).
2. Thiết lập 3 phương trình độc lập chứa 3 ẩn trên.
+ Từ công thức Cosi
+ Ta thay vào các phưong trình của định luật Hooke tổng quát viết dưới dạng ngược:
+ Thay vào hệ phương trình cân bằng (phương trình NAVIER- CAUCHY):
Với ∇
2
=
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
: Toán tử vi phân Laplace.

z

w
y
v
x
u
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=ε
x
+ε
y
+ε
z
=θ : Biến dạng thể tích tương đối
Ta có Hệ phương trình LaMê:
Phương trình LaMê tổng hợp được các yêu cầu về tĩnh học, hình học và vật lý. Giải hệ phương trình LaMê bằng phương pháp tích phân ta tìm được các ẩn u, v, w.
Tuy nhiên các giá trị u, v, w còn chứa các hằng số tích phân. Dựa vào điều kiện bề mặt ta xác định được các hằng số tích phân này, hay nói cách khác nghiệm u, v, w thỏa
mãn điều kiện bề mặt biểu diễn qua chuyển vị:
Trong đó:
Thay các ẩn u, v, w tìm được vào công thức Cosi để xác định các thành phần biên dạng
ij
ε
Thay các giá trị
ij

ε
tìm được vào công thức định luật Hooke viết dưới dạng ngược ta xác định được các thành phần ứng suất
ij
σ
Như vậy ta đã xác định xong trường chuyển vị, trường biến dạng và trường ứng suất.
Câu 4: Trình bày phương pháp tổng quát giải bài toán lý thuyết đàn hồi theo ứng suất (Trường hợp các lực thể tích là hằng số)
Trả lời
1. Chọn ẩn số: Chọn các ứng suất
x y z xy yz zx
σ ,σ ,σ ,τ ,τ ,τ
làm hàm ẩn chính.
2. Thiết lập 6 phương trình độc lập chứa 6 ẩn trên.
a) Về mặt vật lý : Dựa vào định luật Hooke
[ ]
x x y z x x 1
1 1
ε = σ - (σ + σ ) ε = (1+ )σ - S )
E E
ν ν ν
 
⇔
 
y y x z y y 1
1 1
ε = σ - (σ +σ ) ε = (1+ )σ - S )
E E
ν ν ν
   
⇔
   

[ ]
z z y z z 1
1 1
ε = σ - (σ + σ ) ε = (1+ )σ - S )
E E
x
ν ν ν
 
⇔
 
xy xy xy
1 2(1+ν)
γ = τ = τ
G E
yz yz yz
1 2(1+ν)
γ = τ = τ
G E
zx zx zx
1 2(1+ν)
γ = τ = τ
G E
Với
1 x y z
S =σ σ σ
+ +
và
E
G=
2(1+ν)

2. Về mặt hình học :Dựa vào phương trình liên tục của biến dạng:
2 2
2
2 2
y xy
x
y x x y
ε γ
ε
∂ ∂
∂
+ =
∂ ∂ ∂ ∂
2 2
2
2 2
y yz
z
z y y z
ε γ
ε
∂ ∂
∂
+ =
∂ ∂ ∂ ∂
2
2
2
2 2
xy

x
z
x z z x
γ
ε
ε
∂
∂
∂
+ =
∂ ∂ ∂ ∂
Thay các biến dạng
ij
ε
từ các công thức định luật Hooke đã biến đổi vào các phương trình liên tục của biến dạng và biến đổi ta có:
2 2
2
2 2
1 1
2 2 2 2
(1 ) 2(1 )
y xy
x
S S
y x x y x y
σ τ
σ
ν ν ν
 
∂ ∂

 
∂
∂ ∂
+ + − + = +
 ÷
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
2 2
2 2 2
1 1
2 2 2 2
(1 ) 2(1 )
y yz
z
S S
z y y z y z
σ τ
σ
ν ν ν
 
∂ ∂
 
∂ ∂ ∂
+ + − + = +
 ÷
 ÷
 ÷

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
2
2 2 2 2
1 1 x
2 2 2 2
(1 ) 2(1 )
x
z z
S S
x z z x z x
σ
σ τ
ν ν ν
 
 
∂
∂ ∂ ∂ ∂
+ + − + = +
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
3. Về mặt tĩnh học : Dựa vào hệ phương trình cân bằng tĩnh học Navier- Cauchy.
xy xy
0
x xz xz x
X X

x y z y z x
τ τ
σ τ τ σ
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
+ + + = ⇒ + = − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
yx yx
0
y yz yz y
Y Y
x y z x z y
τ σ τ τ τ σ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + = ⇒ + = − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
zx zx
0
zy zy
z z
Z Z
x y z x y z
τ τ
τ σ τ σ
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
+ + + = ⇒ + = − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Tiến hành vi phân phương trình thứ nhất theo x, phương trình thứ hai theo y và phương trình thứ ba theo z.
2

2 2
z
2
xy
x x
y x z x x
τ
τ σ
∂
∂ ∂
+ = −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 2 2
z
2
yx y y
x y z y y
τ τ σ
∂ ∂ ∂
+ = −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2
2 2
zy
x
2
z z
x z y z z
τ
τ σ

∂
∂ ∂
+ = −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Cộng từng cặp rồi trừ đi phương trình thứ ba, ta có:
2 2
2
yz
2 2
2
xy y
x xz
x y x y z x y
τ σ τ
σ τ
 
∂ ∂ ∂
 
∂ ∂
∂
= − + − +
 ÷
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
2 2
2
zx

2 2
2
zy y yx
z
z y z y x y z
τ σ τ
σ τ
 
∂ ∂ ∂
 
∂ ∂∂
= − + − +
 ÷
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
2 2
2
2 2
2
yz yx
zx x
z
z x z x y z x
τ τ
τ σ
σ
∂ ∂

   
∂ ∂
∂ ∂
= − + − +
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
  
Thay công thức navier-cauchy đã biến đổi vào phương trình trên ta có:
2 2 2
2 2
2
2 2 2 2 2
2
xy y y
x x
z z
Z
x y x y z z z x y
τ σ σ
σ σ
σ σ
   
∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂∂
 
= − + − − − = − −
 ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
   
2 2 2
2
2 2
2 2 2 2 2
2
zy y y
x x
z z
X
z y z y x x x y z
τ σ σ
σ σ
σ σ
   
∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂∂
 
= − + − − − = − −
 ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
   
2
2 2 2

2 2
2 2 2 2 2
2
y y
zx x x
z z
Y
z x z x y y y x z
σ σ
τ σ σ
σ σ
 
∂ ∂
   
∂ ∂ ∂
∂ ∂∂
= − + − − − = − −
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
  
 
Thay các biểu thức trên vào phương trình liên tục của biến dạng đã biến đổi ta có:
2 2
2 2
2 2 2
1 1
2 2 2 2 2 2 2
(1 ) (1 )

y y
x x
z
S S
y x x y z x y
σ σ
σ σ
σ
ν ν ν
   
∂ ∂
 
∂ ∂
∂ ∂ ∂
+ + − + = + − −
 ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
   
2 2
2
2 2 2 2
1 1
2 2 2 2 2 2 2
(1 ) (1 )
y y
x
z z

S S
z y y z x y z
σ σ
σ
σ σ
ν ν ν
   
∂ ∂
 
∂
∂ ∂ ∂ ∂
+ + − + = + − −
 ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
   
2
2 2
2 2 2 2
1 1
2 2 2 2 2 2 2
(1 ) (1 )
y
x x
z z
S S
x z z x y x z
σ

σ σ
σ σ
ν ν ν
 
∂
 
 
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
+ + − + = + − −
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
  
 
2 2
2 2
2 2 2
1 1
2 2 2 2 2 2 2
(1 ) 0
y y
x x
z
S S
z y x x y x y
σ σ
σ σ

σ
ν ν
 
∂ ∂
 
∂ ∂
∂ ∂ ∂
+ − + + + + − + =
 ÷
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
2 2
2
2 2 2 2
1 1
2 2 2 2 2 2 2
(1 ) 0
y y
x
z z
S S
x z y y z y z
σ σ
σ
σ σ
ν ν
 

∂ ∂
 
∂
∂ ∂ ∂ ∂
+ − + + + + − + =
 ÷
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
2
2 2
2 2 2 2
1 1
2 2 2 2 2 2 2
(1 ) 0
y
x x
z z
S S
y x x z z z x
σ
σ σ
σ σ
ν ν
 
∂
 
∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂
+ − + + + + − + =
 ÷
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
2 2 2
2 2 2
2
2
2 2 2
1 1
2 2 2 2 2
2
2
2
2 2 2
(1 ) 0
z z z
y
x
z
y
x
z
z x y
S S
x x x x y

y y y
σ σ σ
σ
σ
σ
ν ν
σ
σ
σ
 
 
∂ ∂ ∂
 
− − − +
 ÷
∂ ∂ ∂
 
 
 
 
∂
 
∂
∂ ∂ ∂
 
+ + + + − + =
 ÷
 ÷
 
 ÷

∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 
 
 
∂
∂
∂
 
+ + +
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂
 
 
 
2 2 2
2 2 2
2
2
2 2 2
1 1
2 2 2 2 2
2
2
2
2 2 2
(1 ) 0
x x x

y
x
z
y
x
z
x y z
S S
y y y y z
z z z
σ σ σ
σ
σ
σ
ν ν
σ
σ
σ
 
 
∂ ∂ ∂
 
− − −
 ÷
∂ ∂ ∂
 
 
 
 
∂

 
∂
∂ ∂ ∂
 
+ + + + − + =
 ÷
 ÷
 
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 
 
 
∂
∂
∂
 
+ + +
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂
 
 
 
2 2 2
2 2 2
2
2

2 2 2
1 1
2 2 2 2 2
2
2
2
2 2 2
(1 ) 0
y y y
y
x
z
y
x
z
y x z
S S
x x x z x
z z z
σ σ σ
σ
σ
σ
ν ν
σ
σ
σ
 
 
∂ ∂ ∂

− − −
 
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂
 
 
 
 
∂
 
∂
∂ ∂ ∂
 
+ + + + − + =
 ÷
 ÷
 
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 
 
 
∂
∂
∂
 
+ + +

 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂
 
 
 
Thay
2 2 2
2
2 2 2
x y z
∂ ∂ ∂
∇ = + +
∂ ∂ ∂
và
1 x y z
S =σ +σ +σ
ta có:
2 2 2 2
2
1 1 1 1
2 2 2 2
(1 ) 0
z
S S S S
x y x y
ν σ ν
   
∂ ∂ ∂ ∂
+ −∇ + + − + =

 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂
   
2 2 2 2
2
1 1 1 1
2 2 2 2
(1 ) 0
x
S S S S
y z y z
ν σ ν
   
∂ ∂ ∂ ∂
+ −∇ + + − + =
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂
   
2 2 2 2
2
1 1 1 1
2 2 2 2
(1 ) 0
y
S S S S
x z z x
ν σ ν
   
∂ ∂ ∂ ∂
+ −∇ + + − + =

 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂
   
2
2 2
1
1
2
2
2 2
1
1
2
2
2 2
1
1
2
(1 ) 0
(1 ) 0
(1 ) 0
z
x
y
S
S
z
S
S
x

S
S
y
ν σ
ν σ
ν σ

∂
+ ∇ −∇ + =

∂

∂

⇔ + ∇ −∇ + =

∂


∂
+ ∇ −∇ + =

∂

Vì
+
2
0
θ
∇ =

( Khi lực khối lượng không đổi,
θ
-hàm biến dạng thể tích – là hàm điều hòa
+
2
1
0S∇ =
( Khi lực khối lượng không đổi,
1
S
-lượng bất biến bậc 1 của TTUS – là hàm điều hòa
Nên ta có:
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
(1 ) 0
(1 ) 0
(1 ) 0
z
x
y

S
z
S
x
S
y
ν σ
ν σ
ν σ

∂
+ ∇ + =

∂

∂

⇔ + ∇ + =

∂


∂
+ ∇ + =

∂

(5.5)
+Biến đổi tương tự ta có:
2

2
1
2
2
1
2
2
1
(1 ) 0
(1 ) 0
(1 ) 0
xy
yz
zx
S
x y
S
y z
S
z x
ν τ
ν τ
ν τ

∂
+ ∇ + =

∂ ∂



∂

⇔ + ∇ + =

∂ ∂


∂
+ ∇ + =

∂ ∂


(5.6)
Hệ phương trình (5.5) và (5.6) là phương trình để giải bài toán ĐH theo ƯS, đã tổng hợp các điều kiện về mặt tĩnh học, hình học và vật lý của môi trường. Giải (5.5)
và (5.6) có được các ƯS sau đó tìm các BD theo định luật Hooke và tìm các chuyển vị theo hệ phương trình BD Cauchy.
Hệ (5.5) và (5.6) gọi là hệ phương trình Beltrmi
3. Trình tự giải bài toán LTĐH theo ứng suất:
 Tích phân 9 phương trình gồm 6 phương trình theo ẩn ứng suất vừa thiết lập và 3 phương trình cân bằng. Có 3 phương trình thừa cần thiết để nhận ràng buộc của
tính liên tục
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2

1
2
(1 ) 0
(1 ) 0
(1 ) 0
z
x
y
S
z
S
x
S
y
ν σ
ν σ
ν σ

∂
+ ∇ + =

∂

∂

+ ∇ + =

∂



∂
+ ∇ + =

∂

2
2
1
2
2
1
2
2
1
(1 ) 0
(1 ) 0
(1 ) 0
xy
yz
zx
S
x y
S
y z
S
z x
ν τ
ν τ
ν τ


∂
+ ∇ + =

∂ ∂


∂

+ ∇ + =

∂ ∂


∂
+ ∇ + =

∂ ∂


xy
yx
zx
0
0
0
x xz
y yz
zy
z
X

x y z
Y
x y z
Z
x y z
τ
σ τ
τ σ τ
τ
τ σ
∂

∂ ∂
+ + + =

∂ ∂ ∂


∂ ∂ ∂

+ + + =

∂ ∂ ∂


∂
∂ ∂
+ + + =

∂ ∂ ∂



 Các ẩn
ij
σ
tìm được phải thỏa mãn điều kiện biên:
n1 11 1 12 2 13 3 x xy xz
ni ij j n2 21 1 22 2 23 3 yx y yz
n3 31 1 32 2 33 3 zx zy z
σ σ . +σ . +σ . σ . . .
σ =σ n σ σ . +σ . +σ . . σ . .
σ σ . +σ . +σ . . . σ .
n n n X l m n
n n n Y l m n
n n n Z l m n
ν
ν
ν
τ τ
τ τ
τ τ

= = + +



⇔ = ⇔ = + +
 
 
= = + +



 Xác định các thành phần
ij
ε
theo công thức của định luật Hooke tổng quát:
xy xy
x x y z
y y x z yz yz
z z y
zx zx
1
1
γ = τ
ε = σ - (σ + σ )
G
E
1 1
ε = σ - (σ +σ ) γ = τ
E G
1
1
ε = σ - (σ + σ )
γ = τ
E
G
x
ν
ν
ν



 
 




 
 
 
 
 
 
 
 
 


 Xác định các thành phần
i
u
theo công thức Côsi:
x xy
u u v
ε = ;γ = +
x y x
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
y yz

w
ε = ;γ = +
v v
y z y
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
z zx
w w
ε = ;γ = +
u
z x z
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
D. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Phương pháp thuận : là phương pháp trực tiếp tính tích phân các phương trình Lamê (5.1) khi giải theo chuyển vị hay phương trình Beltrami (5.5) và (5.6) hay Beltrami
Michell (5.7) khi giải theo ƯS với các điều kiện biên xác định . Phương pháp này rõ ràng, minh bạch vê mặt toán học nhưng phức tạp khi thực hiện.
2.Phương pháp ngược : Theo phương pháp này ta cho trước chuyển vị hay ƯS thỏa mãn các phương trình cơ bản, rồi bằng các điều kiện biên (2.3) tìm các ngoại lực
tương ứng với các chuyển vị hay ƯS cho trước. Phương pháp này để tìm được nghiệm đúng thì phải thử nhiều hàm chọn, rất cồng kềnh và có khi không thực hiện được.
3. Phương pháp nửa ngược Saint - Venant : Theo phương pháp này ta cho trước một phần các ngoại lực và một phần các chuyển vị, tìm các yếu tố còn lại từ các điều
kiện biên, chúng phải thỏa mãn các phương trình cân bằng. Phương pháp này mềm dẻo, khắc phục được những khó khăn mang tính toán học của phương pháp thuận và
sự cồng kềnh của phương pháp ngược.
4. Nguyên lý Saint-Venant :Nhiều bài toán của lý thuyết ĐH khi giải hoàn toàn thỏa mãn điều kiện biên thường gặp nhiều khó khăn, đặc biệt cách giải bài toán về thanh,
tấm, vỏ. Khi giải ta có thể sử dụng nguyên lý Saint-Venant đó là nguyên lý về hiệu ứng cần bằng cục bộ của ngoại lực.theo nguyên lý này, nếu trên 1 phần nhỏ nào đó của
vật thể có tác dụng của 1 hệ lực cân bằng thì ƯS phát sinh sẽ tắt dần khá nhanh ở những đểm xa miền đặt lực.
Ví dụ : Khi dùng kìm để cắt 01 sợi dây thép, ta thấy trên sợi dây tại chổ cắt tác dụng 1 hệ lực cân bằng.
Dựa vào qui luật đối với vật rắn tuyệt đối, nguyên lý cục bộ có thể phát biểu theo cách khác nhau: “Tại những điểm của vật rắn cách xa điểm đặt lực thì trạng thái
ƯS, BD của vật phụ thuộc rất ít vào cách tác dụng của lực”.
Ví dụ :
F : Diện tích mặt cắt ngang.
Câu 5: Trình bày phương pháp giải bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi theo ứng suất.

Trả lời
1. Chọn ẩn số: Chọn các ứng suất
x y xy
σ ,σ ,τ
làm hàm ẩn chính.
2. Phương pháp giải:
+ Sử dụng hệ hai phương trình cân bằng:
xy
x
xy y
σ
X 0
σ
Y 0
x y
x y
τ
τ
∂

∂
+ + =

∂ ∂


∂ ∂

+ + =


∂ ∂

Và một phương trình liên tục. Phương trình liên tục viết dưới dạng biến đổi:
2
1
0S∇ =
; suy ra cho bài toán phẳng
( )
2
x y
σ +σ 0∇ =
; Phương trình Morie-Levi
+ Bởi vậy , mục đích đầu tiên là phải tích phân 3 phương trình:
( )
xy
x
xy y
2
x y
σ
X 0
σ
(5.18) Y 0
σ +σ 0
x y
x y
τ
τ
∂


∂
+ + =

∂ ∂


∂ ∂

+ + =

∂ ∂


∇ =



và đồng thời thỏa mãn điều kiện bề mặt:
x xy
yx y
σ . .
.σ .
X l m
Y l m
ν
ν
τ
τ
= +



= +

+ Việc tích phân sẽ đơn giản hơn nhiều nếu trước hết tìm một hàm
( , )x y
ϕ
- hàm ứng suất Eri. Hàm
( , )x y
ϕ
chọn sao cho phương trình vi phân cân bằng ( hai phương
trình đầu trong hệ (5.18) là đồng nhất thức). Để thỏa mãn điều kiện này, hàm
( , )x y
ϕ
phải thỏa mãn tương quan sau:
2
2
2
2
2
(5.19)
x
y
xy y x
y
x
X Y
x y
ϕ
σ
ϕ

σ
ϕ
τ

∂
=

∂


∂

=

∂


∂
= − − −

∂ ∂


+ Thay (5.19) vào phương trình liên tục trong hệ (5.18) ta có:
2 2
2 2
2 2
0 0;(5.20)
y x
ϕ ϕ

ϕ
 
∂ ∂
∇ + = ⇔ ∇ ∇ =
 ÷
∂ ∂
 
4
0;(5.21)
ϕ
∇ =
+ Viết dưới dạng triển khai ta có:
4 4 4
4 2 2 4
2 0;(5.22)
x x y y
ϕ ϕ ϕ
∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂ ∂
+ Hàm
( , )x y
ϕ
- hàm lưỡng điều hòa và từ (5.22) ta tìm được
( , )x y
ϕ
. Hàm
( , )x y
ϕ
phải thỏa mãn điều kiện bề mặt:

2 2
2
2 2
2
. .
. .
y x
y x
X l X Y m
y x y
Y X Y l m
x y x
ν
ν
ϕ ϕ
ϕ ϕ

 
∂ ∂
= + − − −

 ÷
∂ ∂ ∂
  

 
∂ ∂

= − − − +
 ÷


∂ ∂ ∂
 

+ Như vậy giải bài toán phẳng theo ứng suất là tìm được
( , )x y
ϕ
thỏa mãn (5.21) và điều kiện bề mặt (5.23). Thay kết quả vào (5.19) ta tìm được các thành phần ứng suất.
3. Tìm hàm ứng suất
( , )x y
ϕ
- hàm Eri:
+ Việc tìm hàm
( , )x y
ϕ
có thể theo nhiều phương pháp: Phương pháp giải tích, phương pháp số. Trong phương pháp giải tích có phương pháp thuận và phương pháp
ngược; với phương pháp ngược có thể giải theo đa thức, giải theo lượng giác.
* . Giải bài toán theo đa thức:
+ Phương pháp ngược: cho trước các nghiệm (5.12) là các đa thức bậc khác nhau. Lần lượt thu được các dạng đa thức:
1) Đa thức bậc 1:
1 1 1
( , ) ;(5.24)x y a x b y
ϕ
= +
+ Hàm (2.24) luôn luôn thỏa mãn (5.21), nhưng theo (5.19) các thành phần ứng suất luôn bằng không khi lực khối khác không. Không thỏa mãn điều kiện bài toán.
2) Đa thức bậc 2:
2 2
2 2
2 2
( , ) ;(5.25)

2 2
a c
x y x b xy y
ϕ
= + +
+ Ta thấy:
4 4 4
2 2 2
4 2 2 4
0; 0; 0
x x y y
ϕ ϕ ϕ
∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂ ∂
thỏa mãn (5.22) với mọi
2 2 2
, ,a b c
+ Theo (5.19) ta có:
2
2
2
2
2
2
2
2
(5.19)
x
x

xy y x y
c
y
a
x
X Y b X Y
x y
ϕ
σ
ϕ
σ
ϕ
τ

∂
= =

∂


∂

= =

∂


∂
= − − − = − − −


∂ ∂


Trong đó
2 2 2
, ,a b c
được xác định từ các điều kiện biên
3) Đa thức bậc 3:
3 2 2 3
3 3 3 3
3
( , ) ;(5.26)
3.2 2.1 1.2 2.3
a b c d
x y x x y xy y
ϕ
= + + +
+ Thỏa mãn phương trình (5.21) với mọi giá trị
3 3 3 3
, , ,a b c d
. Tương tự, từ hệ phương trình (5.19) ta xác định được các giá trị
, ,
x x xy
σ σ τ
. Trong đó các hệ số
3 3 3 3
, , ,a b c d
được xác định từ các điều kiện biên.
4) Đa thức bậc 4:
4 3 2 2 3 4

4 4 4 4 4
4
( , ) ;(5.27)
4.3 3.2 2.2 2.3 3.4
a b c d e
x y x x y x y xy y
ϕ
= + + + +
+ Tính các đạo hàm:
4 4 4
4 4 2
4 4 4
4 2 2 4
2a ; 2 ; 2c e
x x y y
ϕ ϕ ϕ
∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂ ∂
+ Thay vào phương trình lưỡng điều hòa (5.21) ta có:
4 4 4 4 4 4
2 2 2 0a c e e a c+ + = ⇒ = − −
+ Các hằng số không hoàn toàn độc lập. Thay
4
e
vào công thức (5.27):
4 4 2 2 4
3 3
4 4
4 4 4

( , ) ;(5.28)
4.3 3.4 3.2 2.2 3.4 2.3
b dx y x y y
x y a x y c xy
ϕ
   
= − + + − +
 ÷  ÷
   
+ Phương trình (5.28) thỏa mãn (5.21) với mọi hằng số:
4 4 4 4
, , ,a b c d
. Từ (5.19) xác định các thành phần ứng suất. Các hằng số
4 4 4 4
, , ,a b c d
được xác định từ các điều
kiện biên.
5) Đa thức bậc 5:
5 4 3 2 2 3 4 5
5 5 5 5 5 5
5
( , ) ;(5.29)
5.4 4.3 3.2 2.3 3.4 4.5
a b c d c f
x y x x y x y x y xy y
ϕ
= + + + + +
+ Xác định các đạo hàm:
4
4

5 5
4
4
4
5 5
2 2
4
2
5 5
4
6a 2
2 2
6 6
x b y
x
c x d y
x y
e x f y
y
ϕ
ϕ
ϕ
∂
= +
∂
∂
= +
∂ ∂
∂
= +

∂
+ Thay vào phương trình lưỡng điều hòa (5.21) ta có:
5 5 5 5 5 5
2(3 2 ) 2( 2 3 ) 0a c e x b d f y+ + + + + =
+ Để thỏa mãn đồng nhất thức với x,y bất kỳ:
5 5 5
5 5 5
3 2 0
2 3 0
a c e
b d f
+ + =


+ + =

+ Từ đó ta có:
5 5 5 5 5 5
1 2
3 2 ;
3 3
e a c f b d= − − = − −
+ Thay vào (5.29) ta có đa thức bậc 5 thỏa mãn phương trình lưỡng điều hòa với các hệ số độc lập:
( ) ( )
5 4 4 5 3 2 4 2 3 5
5 5 5 5
5
1 1
( , ) 5
5.4 4.3 5 3.2 2.3 5

a b c d
x y x xy x y y x y xy x y y
ϕ
   
= − + − + − + −
 ÷  ÷
   
+ Các hằng số
5 5 5 5
, , ,a b c d
được xác định từ các điều kiện biên.
* Hàm
( , )x y
ϕ
có thể là tổng của nhiều đa thức. Dùng các đa thức đại số có thể giải hàng loạt bài toán uốn dầm.
Câu 1: Hiện tượng từ biến là gì? Đường cong từ biến?Giới hạn từ biến? Giới hạn đồ bền lâu?
Trả lời
a) Hiện tượng từ biến
+ Từ biến là quá trình thay đổi ứng suất và biến dạng theo thời gian phát sinh trong chi tiết dưới tác động của tải trọng ngoài.
+ Quá trình từ biến phụ thuộc vào vật liệu, nhiệt độ, tải trọng ngoài…
+ Hiện tượng từ biến được phân làm hai trường hợp:
 Sự thay đổi biến dạng theo thời gian khi ứng suất
ij
σ
là hằng số (=const) gọi là hiện tượng sau tác dụng.
 Sự thay đổi ứng suất theo thời gian khi tổng biến dạng không đổi gọi là hiện tượng rão.
+ Hiện tượng từ biến có thể xảy ra khi trong chi tiết phát sinh biến dạng dẻo và cả khi biến dạng ban đầu là đàn hồi.
b) Đường cong từ biến
+ Để nghiên cứu hiện tượng từ biến người ta tiến hành thí nghiệm kéo một mẫu théo ở nhiệt độ và tải trọng không đổi. Quan sát
biến dạng thay đổi theo thời gian, thiết lập sự phụ thuộc giữa biến dạng tỷ đối

ε
và thời gian t, từ đó xây dựng đường cong từ
biến ( đường cong tác dụng đơn).
Trong đó:
 OA là biến dạng ban đầu ( có thể là đh hoặc dẻo)
 AB là giai đoạn 1 ( giai đoạn không ổn định): tốc độ biến dạng giảm, độ dài phụ thuộc vào nhiệt độ, vật liệu và ứng
suất.
 BC là giai đoạn 2 ( giai đoạn ổn định): tốc độ biến dạng không đổi và đạt trị số nhỏ nhất, thường dài hơn giai đoạn 1.
Độ dài cũng phụ thuộc vào nhiệt độ, vật liệu và ứng suất.
 CD là giai đoạn 3: Tốc độ biến dạng dẻo tăng dẫn đến phá hoại ( điểm D).
+ Dạng đường cong từ biến cho một loại vật liệu có thể đủ cả 3 giai đoạn hoặc thiếu, phụ thuộc vào nhiệt độ và ứng suất ( hình
1.2 trang 128)
+ Sư phụ thuộc giải tích cho đường cong từ biến:
 Dựa trên kết quả thực nghiệm người ta đưa ra những phụ thuộc giải tích cho đường cong từ biến. Ta thường bỏ qua giai đoạn từ biến không ổn định ( giai đoạn 1 ) vì
tính phức tạp của nó.
 Với từ biến ổn định, tốc độ biến dạng dẻo là hằng số theo thời gian và là hàm của ứng suất:
( )
p
f
ε σ
=
&
 Nhiều tác giả cho các dạng cụ thể khác, như:
n
p
a
ε σ
=
&
hoặc dưới dạng:

s
p
k h
b
σ
ε
=
&
. Trong đó a, n, k, b là các hằng số phụ thuộc vào nhiệt độ và vật liệu.
0
.
p
y p
y
t
t tg
ε ε ε
ε ε ε
ε ε α

= +

= +


= +

&
 Để mô tả hiện tượng từ biến trong đó kể đến giai đoạn không ổn định thì có hàng loạt phụ thuộc giải tích. Một trong chúng có dạng như sau ( hình 1.3):
1

( ) ( ) ( )
p
Q t Q t
ε σ θ σ
= +
. Có thể lấy
1
( ) ( ); ( ) (1 )
qt
Q Q t K e
σ σ θ
−
= = −
+ Hiện tượng rão: ứng suất giảm theo thời gian khi tổng biến dạng không đổi:
0
ons
y p
c t
ε ε ε ε
= + = =
. Tổng biến dạng là không đổi cho nên khi biến dạng dẻo tăng thì
biến dạng đàn hồi giảm, so đó ứng suất giảm. (Hình 1.4- trang 129)
c) Giới hạn từ biến
+ Khi tính toán CTM, trị số biến dạng từ biến không được vượt quá trị số xác định trong khoảng thời gian làm việc
 Giới hạn từ biến theo biến dạng cho phép : Giá trị ứng suất lớn nhất ở nhiệt độ cho trước không gây ra biến dạng từ biến cho chi tiết vượt quá trị số cho phép được gọi
là giới hạn từ biến theo biến dạng cho phép.
+ Giới hạn từ biến phụ thuộc vào nhiệt độ, trị số biến dạng từ biến cho phép trong khoảng thời gian làm việc
+ Xét trạng thái ƯS đơn và từ biến ổn định:
[ ]
0 k p

t
ε ε ε ε
= + ≤
&
. Nếu bỏ qua biến dạng ban đầu
0
ε
thì:
[ ]
k p
t
ε ε ε
= ≤
&
.Nếu dùng quan hệ
n
p
a
ε σ
=
&
thì ta có:
[ ]
[ ]
1
n
n
k
k
t a

at
ε
σ ε σ
 
≤ ⇒ ≤
 
 
 Giới hạn từ biến theo tốc độ biến dạng : Giá trị ứng suất lớn nhất ở nhiệt độ cho trước không gây ra tốc độ biến dạng từ biến vượt quá trị số cho phép được gọi là giới
hạn từ biến theo tốc độ biến cho phép
+ Giới hạn từ biến theo tốc độ biến dạng phụ thuộc vào nhiệt độ, vật liệu và giá trị tốc độ biến dạng cho phép:
[ ]
1
n
p
n
p p
a
a
ε
ε σ ε σ σ
 
 
 
 
 
= ≤ ⇒ ≤ =
 
 
 
 

&
& &
+ Do đó tính toán theo biến dạng cho phép hoặc tốc độ biến dạng cho phép có thể được thay thế bằng tính toán theo ứng suất cho phép.
d) Giới hạn đồ bền lâu :
+ Khi tính toán chi tiết kết cấu hoặc CTM theo giới hạn từ biến cho phép cần nhớ rằng độ bền của vật liệu làm việc lâu dài dưới tác dụng của tải trọng và nhiệt độ phụ thuộc
nhiều vào khoảng thời gian làm việc- được đánh giá bằng giới hạn độ bền lâu.
+ Giá trị ứng suất lớn nhất mà dưới tác động của nó, ở nhiệt độ cho trước mẫu thí nghiệm không bị phá hoại trong khoảng thời gian cho trước gọi là giới hạn độ bền lâu.
+ Giới hạn độ bền lâu phụ thuộc nhiều vào nhiệt độ và khoảng thời gian làm việc ( Hình 1.5- tr130)
+ Với kim loại thì nhiệt độ càng cao và thời gian làm việc càng lớn thì giá trị giới hạn độ bền lâu càng giảm. Bởi vậy, khi tính toán theo giới hạn từ biến cần phải khẳng định nó
không vượt quá ứng suất cho phép theo giới hạn bền lâu và thấp hơn giá trị giới hạn độ bền lâu.
Câu 2: Thuyết từ biến là gì? Trình bày tóm tắt các thuyết từ biến mà anh chị biết?