Luyện thi đại học chuyên đề hệ phương trình
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (726.53 KB, 20 trang )
LUYỆN THI ĐẠI HỌC
CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
GV. ĐỖ VĂN THỌ
(Biên Soạn Lần 1)
Năm 2012
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
2
Chuyên Đề: Hệ Phương Trình
I. Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương:
* Dạng 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc y khi
đó ta tìm cách rút y theo x hoặc ngược lại
Ví dụ: Giải hệ phương trình
2 2
2
1 1 3 4 1 1
1 2
x y x y x x
xy x x
Giải:
Ta thấy
0
x
không là nghiệm của (2) nên từ (2) ta có
2
1
1
x
y
x
thay vào (1) ta được
2 2
2 2 2 2
1 1
3 4 1 1 2 1 1 3 1
x x
x x x x x x x x
x x
3 2 3 2
1 2 2 1 1 3 1 1 2 2 4 0
x x x x x x x x x x
1
0
2
x
x
x
với
0
x
loại
Suy ra nghiệm của hệ là
1; 1
và
5
2;
2
* Dạng 2: Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các
phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ: Giải hệ phương trình
2 2
2 1
2 1 2 2 2
xy x y x y
x y y x x y
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
3
Giải:
Điều kiện:
1; 0
x y
2 2
1 2 0 2 0
x xy y x y x y x y x y
Từ điều kiện ta có
0
x y
2 1 0 2 1
x y x y
thay vào (2) ta được:
2 2 2 2 1 2 2 0
y x y y y y
(do
0
y
)
2 5
y x
* Dạng 3: Đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc hai
của một ẩn, ẩn còn lại là tham số
Ví dụ: Giải hệ phương trình
2
2 2
5 4 4 1
5 4 16 8 16 0 2
y x x
y x xy x y
Giải:
Biến đổi phương trình (2) về dạng
2 2
4 8 5 16 16 0
y x y x x
.
Xem phương trình (2) là phương trình ẩn y tham số là x ta có
2
' 9
x
từ
đó ta được nghiệm
5 4 3
4 4
y x
y x
Thay (3) vào (1) ta được
2
4
0
5 4 5 4 4
5
0 4
x y
x x x
x y
Thay (4) vào (1) ta được
2
4 0
4 5 4 4
0 4
x y
x x x
x y
Vậy nghiệm của hệ là
4
0;4 ; 4;0 ; ;0
5
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
4
II. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ:
Điểm quan trọng trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ
; ; ;
u f x y v g x y
có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện
sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia một biểu
thức khác 0
Ví dụ:
2
2
1 4 1
1 2 2
x y y x y
x y x y
Giải
Ta có
0
y
không thỏa mãn (1) nên ta có
2
2
1
4
1
2 1
x
y x
y
x
y x
y
Đặt
2
2
1
; 2 1
1
a b
x
a b y x a b
ab
y
. Từ đó ta có hệ
2
1
3
x y
x y
. Giải tiếp
Ví dụ: Giải hệ phương trình
2 2
2
3
4 4 7
1
2 3
xy x y
x y
x
x y
Giải
Điều kiện
0
x y
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
5
2 2
2
3
3 7
1
3
x y x y
x y
HPT
x y x y
x y
Đặt
1
; 2
a x y a
x y
và
b x y
. Khi đó ta được hệ phương
trình
2 2
3 13 1
3 2
a b
a b
. Giải hệ ta được
2; 1
a b
(do
2
a
) từ đó
ta có
1
2
1 1
1 0
1
x y
x y x
x y
x y y
x y
III. Hệ sử dụng phương pháp hàm số:
Hệ loại này ta gặp nhiều ở dạng
; 0
f x f y
f x y
;
f
là hàm đơn điệu trên
tập D và x, y thuộc D. Nhiều khi ta cần phải đánh giá ẩn x, y thuộc tập
mà hàm
f
đơn điệu
* Dạng 1: Một phương trình trong hệ có dạng
f x f y
, phương
trình còn lại giúp ta giới hạn x, y thuộc tập D để trên đó hàm
f
đơn
điệu
Ví dụ:
Giải hệ phương trình
3 3
8 4
5 5 1
1 2
x x y y
x y
Giải
Rõ ràng ta thấy hệ trên thuộc dạng
; 0
f x f y
f x y
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
6
Ta sẽ giới hạn
;
x y
từ phương trình (2)
8 4
1; 1 1; 1
x y x y
Xét hàm số
3
5
f t t t
với
1;1
t có
2
' 3 5 0; 1;1
f t t t , do đó
f t
nghịch biến trên khoảng
1;1
hay PT
1
x y
thay vào PT (2) ta được
8 4
1 0
x x
.
Đặt
4
0
a x
và giải phương trình ta được
4
1 5 1 5
2 2
a y x
* Dạng 2 Là dạng hệ đối xứng loại hai mà khi giải thường dẫn đến cả
hai trường hợp (1) và (2)
Ví dụ: Giải hệ phương trình
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y
Đặt
1; 1
a x b y
ta được hệ
2
2
1 3 1
1 3 2
b
a
a a
b b
Trừ vế theo vế hai phương trình ta được:
2 2
1 3 1 3 3
a b
a a b b
Xét hàm số
2
2
2
1
1 3 ; ' 3 ln3
1
t t
t t
f t t t f t
t
Vì
2 2 2
1 1 0 ' 0,
t t t t t f t t
do đó hàm số
f t
đồng biến trên R nên phương trình (3)
a b
thay vào phương
trình (1) ta được
2
1 3 4
a
a a
. Theo nhận xét trên thì
2
1 0
a a
nên phương trình (4)
2
ln 1 ln3 0
a a a
(lấy
ln hai vế)
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
7
Xét hàm số
2
ln 1 ln3
g a a a a và
2
1
' ln3 1 ln3 0, R
1
g a a
a
hay hàm
g a
nghịch biến
trên R và do PT (4) có nghiệm
0
a
nên PT (4) có nghiệm duy nhất
0
a
. Từ đó ta được nghiệm của hệ ban đầu là
1
x y
IV. Sử dụng phương pháp đánh giá:
Với phương pháp này cần lưu ý phát hiện các biểu thức không âm và
nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản
Ví dụ: Giải hệ phương trình
2
3
2
2
2
3
2
2 9
2
2 9
xy
x x y
x x
xy
y y x
y y
Giải
Cộng vế với vế hai phương trình ta được
2 2
3
2 2
3
2 2
1
2 9 2 9
xy xy
x y
x x y y
Ta có
2
3
2
3
3 3
2 2
2 2
2
2 9 1 8 2
2
2 9 2 9
xy xy
xy
x x x xy
x x x x
Tương tự
3
2
2
2 9
xy
xy
x x
mà theo bất đẳng thức côsi
2 2
2
x y xy
nên
1 1
VT VP
. Dấu bằng xảy ra khi
1
0
x y
x y
thử
lại ta được nghiệm của hệ là
0;0 ; 1;1
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
8
Ví dụ: Giải hệ phương trình
3
3
3 4
2 6 2
y x x
x y y
Giải
HPT
2
3
2
3
2 3 2
2 1 2 1
2 2 3 2
2 2 1 2 2
y x x
y x x
x y y
x y y
Nếu
2
x
từ (1) suy ra
2 0
y
điều này mâu thuẫn với PT (2) có
2
x
và
2
y
cùng dấu. Tương tự với
2
x
ta cũng suy ra điều vô
lí. Vậy nghiệm của hệ là
2
x y
V. Phương pháp thế bằng một biểu thức của ẩn
Ví dụ: Giải hệ phương trình
2 2
2
1 1 3 4 1 1
1 2
x y x y x x
xy x x
Giải
Dễ thấy
0
x
không là nghiệm của hệ phương trình. Do đó
2
1
2 1
x
y
x
thay vào (1)
2 2
2 2
1 1
3 4 1
x x
x x x x
x x
2 2
3 2
1 2 1 1 3 1
1 2 2 1 1 3 1
x x x x
x x x x x x
3 2
0
1 2 2 4 0 1 1
5
2
2
x
x x x x x y
x y
Với
0
x
loại
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
9
Vậy nghiệm của hệ là
5
1; 1 ; 2;
2
Ví dụ: Giải hệ phương trình
3 1
1 1 4 2
x y xy
x y
Giải
3
2 2 1 1 16
x y xy
HPT
x y x y
Điều kiện
3; 0 0; 0
x y xy x y
3
3
2 1 1 11
2 4 11
3
3
4 4 121 22
3 26 105 0
3
35
3
3
x y xy
x y xy
xy x y
xy xy xy
x y xy
x y xy
xy xy xy xy
xy xy
x y xy
xy xy
Với
35
3
xy
loại. Tự giải tiếp
Bài tập
Bài 1:
3 2
2
3 6 0
3
y y x x y
x xy
ĐS:
3 3 3 3
; ; ;
2 2 2 2
Bài 2:
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x
(Khối B - 2008). ĐS:
17
4;
4
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
10
Bài 3:
2 2
2 2
2 3 5
2 3 2
x y x y
x y x y
ĐS:
1 17 13
;1 ; ;
2 20 20
Bài 4:
2 2
5
2
3
2
x y xy
x y
y x
ĐS:
0 0 0
2 ; ; 0
y y y
Bài 5:
2 2
4
1 1 2
x y x y
x x y y y
ĐS:
2; 2 ; 2; 2 ; 1;2 ; 2; 1
Bài 6:
2
5 3
x y x y y
x y
ĐS:
4
1;
5
Bài 7:
2 2 4 2
2
1 3
2
x y y y
xy x y
ĐS:
1;1 ; 1; 1
Bài 8:
2
2
2
2 2 0
y
x y
x
xy y x
ĐS:
2; 1
Bài 9:
2 0
1 2 1 1
x y xy
x y
ĐS:
1 5
2; ; 10;
2 2
VI. Thế bằng hằng số
Ví dụ: Giải hệ phương trình
3 3
2 2 3
1 1
2 2 2
x y
x y xy y
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
11
Giải
2 2
2 2
2
2 2
1
1 3
2 2
2 4
x y x xy y
x y x xy y
HPT
y x xy y
y y x
Thay (3) vào (4) ta được
2
2 2
2 2
2 2
4 2
2 0
2 3 0
y x y x y x xy y
x y y x y x xy y
x y x yx y
Như vậy
3 3
3 3
2 2
1
0
1
2 3 0
x y
I
x y
I
x y
II
x xy y
Hệ (I) vô nghiệm
Hệ
2 2
3 3
2 3 0 lµ ph¬ng tr×nh bËc hai theo x
1
x xy y
II
x y
3 3
2 0
1
x y x y
x y
. Tự giải tiếp
ĐS
3 3
3 3
1 1 1 1
; ; ;
2 2 9 9
Ví dụ: Giải hệ phương trình
3 3
2 2
8 2
3 3 1
x x y y
x y
Giải
3 3
3 3
2 2
2 2
3 6 4 1
2 4
3 6
3 6 2
x y x y
x y x y
HPT
x y
x y
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
12
Thay (2) vào (1) ta có:
3 3 2 2
3 2 2
2 2
2 2
3 3 4
12 0
3 6
3 6
x y x y x y
x x y xy
x y
x y
2 2
2 2
12 0
3 6
x x xy y
x y
2
0 3 6
3 thay vµo (2) 3;1 ; 3; 1
6 6 6 6
4 thay vµo (2) 4 ; ; 4 ;
13 13 13 13
x y VN
x y
x y
Vậy nghiệm của hệ là
3;1 ; 3; 1 ;
6 6 6 6
4 ; ; 4 ;
13 13 13 13
Bài tập:
Bài 1:
2 2
3 3
1
3
x y xy
x y x y
. ĐS:
1;0 ; 1;0
Bài 2:
3 3 2
4 4
1
4 4
x y xy
x y x y
ĐS:
3 3
3 1
0;1 ; 1;0 ; 1;1 ; ;
25 25
Bài 3:
2 2 3 3
4
280
x y
x y x y
ĐS:
1;3 ; 3;1
Bài 4:
2 2
2 2
12
12
x y x y
x y x
ĐS:
3;5 ; 3;5 ; 4;5 ; 4;5
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
13
Bài 5:
5 5
9 9 4 4
1
x y
x y x y
ĐS
0;1 ; 1;0
Bài 6:
2 2
3 3
2 1
2 2
y x
x y y x
ĐS
1;1 1; 1
Bài 7:
3 2
2 2
2 12 0
8 12
x xy y
y x
ĐS
2;1 ; 2; 1
Bài 8: (Khối B - 2002)
3
2
x y x y
x y x y
. ĐS:
3 1
1;1 ; ;
2 2
Bài 9: (Dự bị - 2005)
2 2
4
1 1 2
x y x y
x x y y y
ĐS:
2;1 ; 1; 2
Bài 10: (Dự bị - 2005)
2 1 1
3 2 4
x y x y
x y
ĐS:
2; 1
Bài 11: (Dự bị 2006)
2
2
1 4
1 2
x y x y y
x x y y
,
Bài 12: (A - 2003)
3
1 1
2 1
x y
x y
y x
ĐS:
Bài 13: (Dự bị 2006)
8 3
2 2
8 2
3 3 1
x x y y
x y
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
14
ĐS:
Bài 14: (B - 2003)
2
2
2
2
2
3
2
3
y
y
x
x
x
y
ĐS:
Bài 15: (Dự bị 2006)
2 2
2
2 2
3
7
x xy y x y
x xy y x y
ĐS:
Bài 16: (Dự bị 2006)
2 2
2 2
13
25
x y x y
x y x y
ĐS:
Bài 17: (D - 2009):
2
2
1 3 0
5
1 0
x x y
x y
x
ĐS:
Bài 18: (Dự bị 2007)
4 3 2 2
3 2
1
1
x x y x y
x y x xy
ĐS:
Bài 19: (A - 2010)
2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x
ĐS:
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
15
Bài 20: (Dự bị 2007)
2
3
2
2
2
3
2
2 9
2
2 9
xy
x x y
x x
xy
y y x
y y
Bài 21: (A - 2008)
2 3 2
4 2
5
4
5
1 2
4
x y x y xy xy
x y xy x
ĐS:
Bài 22: (B - 2008)
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x
ĐS:
Bài 23: (D - 2008)
2 2
2
2 1 2 2
x y xy x y
x y y x x y
ĐS:
Bài 24: (B - 2009)
2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
ĐS:
Bài 25:
2 2
2 2
2 3
10
y x y x
x x y y
ĐS:
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
16
Bài 26:
2 2
2 2
2 5 4 6 2 0
1
2 3
2
x y x y x y
x y
x y
ĐS:
Bài 27:
2
2 4 1
5
2
3
2
x xy
x y
x
x y
ĐS:
Bài 28:
6 5
2
x y x y
x y x y
xy
ĐS:
Bài 29:
2 2
20
136
x y x y
x y
ĐS:
Bài 30:
2 1 1
3 2 4
x y x y
x y
ĐS:
Bài 31:
2 2
6
20
x y y x
x y y x
ĐS:
Bài 32:
2 2
2 8 2
4
x y xy
x y
ĐS:
4;4
Bài 33:
2 2
3 2 16
2 4 33
xy x y
x y x y
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
17
Bài 34:
2 2
2 2
3 4 1
3 2 9 8 3
x y x y
x y x y
Bài 35:
2 3
2
12
6
x x
y y
xy xy
ĐS:
Bài 36:
2 2
2 2 2
6
1 5
y xy x
x y x
ĐS:
Bài 37:
2 2
2 2
3
3
3
0
x y
x
x y
y x
y
x y
ĐS:
Bài 38:
3 2
2 2
2 12 0
8 12
x xy y
x y
ĐS:
Bài 39:
2
2
1
2 10
2
2
3
2
x y
x y
x y
x
x y
Bài 40:
1
3
2
4
2
x
x y
x
x y
ĐS:
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
18
Bài 41:
2 2
25 2
10
x y xy
y x y
ĐS:
Bài 42:
2
2 2
2 2
19
7
x xy y x y
x xy y x y
Bài 43:
2 2
2 2
12
12
x y x y
y x y
ĐS:
Bài 44:
20
16
5
y
x y x y
x
x
x y x y
y
ĐS:
Bài 45:
2 2
2 2
3 1 0
4 5 2 1 0
x x y
x x y
ĐS:
Bài 46:
2 2
2 2
3
15
x y x y
x y x y
ĐS:
Bài 47:
2 2
3 2 16
2 4 33
xy x y
x y x y
Bài 48:
2 2
2 2
x y
x y
ĐS:
Bài 49:
6 2 3
6 2 3
x y
y x
ĐS:
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
19
Bài 50:
2 2
2 2
3 4 0
2 2 11 6 2 0
x xy y y
x xy y x y
ĐS:
Bài 51
3 2 2
3
2
64
2 6
y x x y
x y
ĐS:
Bài 52:
2 2
2 2
1 1
3
1 1 3 2
7
xy
x y
x y
xyx y
Bài 53:
2 2 7
3 2 23
x y x y
x y
ĐS:
Bài 54:
2 2
2
4 3 0
2 1 3
x xy y
x x y xy
ĐS:
Bài 55:
3 2 3
2
3 3 1
5
x x y x
x xy y
ĐS:
Bài 56:
5 2 7
2 5 7
x y
x y
ĐS:
Bài 57:
5
5 5 8
x y
x y
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
20
Bài 58:
2 2 7
2 1 3 1 7
x y x y
x y
ĐS:
Bài 59:
1
4 2 3
2
1
4 4
2
x
y x
y
y x
ĐS:
3 1 1 1 1 1 1 1
3; 3 ; 3; 3
8 4 2 3 16 8 8 4
Bài 60:
2 2
2 2
1
1 5
1
1 49
x y
xy
x y
x y
ĐS:
Bài 61:
2
3 1
8 9
y x y
x y x y
ĐS:
Bài 62:
2 2
4 4 2 2
7
21
x y xy
x y x y
Bài 63:
2 2
4
1 1 2
x y x y
x x y y y
