Tài liệu tổng hợp Môn Toán
Biên soạn: Ngọc Thạnh
1
TÀI LIỆU TỔNG HỢP
MÔN TOÁN LỚP 12
(Lƣu hành nội bộ)
TÀI LIỆU NÀY BAO GỒM 4 PHẦN
Phần 1: Tổng hợp các công thức
Phần 2: 21 vấn đề quan trọng cần quan tâm
Phần 3: 20 đề thi thử có đáp án
Phần 4: 50 đề tự luyện
(Chúc các em thi tốt !)
Quảng Sơn, ngày 15 tháng 9 năm 2011
Tài liệu tổng hợp Môn Toán
Biên soạn: Ngọc Thạnh
2
PHẦN 1
TỔNG HỢP CÔNG THỨC TOÁN 12
I. ĐẠI SỐ
Tài liệu tổng hợp Môn Toán
Biên soạn: Ngọc Thạnh
3
Tài liệu tổng hợp Môn Toán
Biên soạn: Ngọc Thạnh
4
Tài liệu tổng hợp Môn Toán
Biên soạn: Ngọc Thạnh
5
Tài liệu tổng hợp Môn Toán
Biên soạn: Ngọc Thạnh
6
II. LƯỢNG GIÁC
Tài liệu tổng hợp Môn Toán
Biên soạn: Ngọc Thạnh
7
Tài liệu tổng hợp Môn Toán
Biên soạn: Ngọc Thạnh
8
Tài liệu tổng hợp Môn Toán
Biên soạn: Ngọc Thạnh
9
Tài liệu tổng hợp Môn Toán
Biên soạn: Ngọc Thạnh
10
Tài liệu tổng hợp Môn Toán
Biên soạn: Ngọc Thạnh
11
III. ĐẠO HÀM-TÍCH PHÂN-NHỊ THỨC NIUTON
Tài liệu tổng hợp Môn Toán
Biên soạn: Ngọc Thạnh
12
Tài liệu tổng hợp Môn Toán
Biên soạn: Ngọc Thạnh
13
Tài liệu tổng hợp Môn Toán
Biên soạn: Ngọc Thạnh
14
Tài liệu tổng hợp Môn Toán
Biên soạn: Ngọc Thạnh
15
Tài liệu tổng hợp Môn Toán
Biên soạn: Ngọc Thạnh
16
Tài liệu tổng hợp Môn Toán
Biên soạn: Ngọc Thạnh
17
Tài liệu tổng hợp Mơn Tốn
Biên soạn: Ngọc Thạnh
18
PHẦN 2
21 VẤN ĐỀ QUAN TRỌNG CẦN QUAN TÂM
I/. PHẦN GIẢI TÍCH :
1/. Khảo sát và vẽ đồ thò hsố dạng :
y= a x
3
+ bx
2
+ cx + d ; y = ax
4
+bx
2
+c y =
ax b
cx d
2.Các bài toán liên quan :
- Sự tương giao của hai đồ thò
- Ba dạng tiếp tuyến
- Biện luận theo m số nghiệm pt bằng đồ thò
- Tìm các điểm trên (c ) có toạ độ là các số nguyên
- Tìm m để hàm số có cđ và ct
- Tìm m để hàm số đạt cực trò thoả đk cho trước
- Tìm m để (
1
c
) và (
2
c
) txúc nhau
- Tìm GTLN và GTNN (trên 1 khoảng hoặc 1 đoạn )
- Tìm m để pt có n nghiệm
3/.Nguyên hàm và tích phân :
- Tìm nguyên hàm của các hàm số thường gặp
- Tính tích phân bằng p
2
đổi biến số và pp tích phân từng phần
- Ứng dụng của tích phân : tính diện tích hình phẳng , thể tích vật thể tròn xoay
4.Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ và logarit :
- Giải phương trình mũ , bất phương trình mũ và logarit.
- Giải hệ phương trình mũ và logarit .
5. Số phức :
- Môđun của số phức , các phép toán trên số phức.
- Căn bậc hai của số phức
- Phương trình bậc hai với hệ số phức .
- Dạng lượng giác của số phức .
II /. PHẦN HÌNH HỌC :
1/.Hình học không gian tổng hợp :
- Tính thể tích khối lăng trụ , khối chóp.
- Tính thể tích khối trụ , khối nón , khối cầu.
- Tính diện tích xung quanh của hình nón , hình trụ , diện tích mặt cầu .
2/. Phương pháp toạ độ trong không gian :
a/.Các bài toán về điểm và vectơ :
Tìm toạ độ 1 điểm thoả điều kiện cho trước , trọng tâm tam giác , giao điểm của
đường thẳng và mặt phẳng , giao điểm của hai đường thẳng , hình chiếu của 1
điểm trên đường thẳng , mặt phẳng , tìm điểm đối xứng với 1 điểm qua đường
thẳng , mặt phẳng cho trước , tìm giao điểm của đường thẳng và mặt cầu .
Chứng minh hai vectơ cùng phương hoặc không cùng phương , 2 vectơ vuông góc ,
3 vectơ đồng phẳng hoặc không đồng phẳng, tính góc giữa hai vectơ , diện tích
tam giác , thể tích tứ diện , chiều cao tứ diện , đường cao tam giác
Tài liệu tổng hợp Mơn Tốn
Biên soạn: Ngọc Thạnh
19
b/.Các bài toán về mặt phẳng và đường thẳng :
- Lập pt mặt phẳng :qua 3 điểm , mặt phẳng theo đoạn chắn , qua 1 điểm song song
với mặt phẳng , qua 1 điểm
với đường thẳng , qua 1 điểm song song với hai
đường thẳng , qua hai điểm và
với mặt phẳng , qua 1 điểm và chứa một đường
thẳng cho trước , chứa 1 đt a và song song với 1 đt b.
- Lập pt đường thẳng : Qua 2 điểm , qua 1 điểm và song song với đt , qua 1 điểm và
song song với 2 mp cắt nhau , qua 1 điểm và vuông góc với 1 mp , pt hình chiếu
vuông góc của đt trên mp , qua 1 điểm và vuông góc với 2 đt , qua 1 điểm và cắt 2
đường thẳng , qua 1 điểm vuông góc với đt thứ nhất và cắt đt thứ hai.
- Vò trí tương đối của 2 đt , đt và mp.
c/. Khoảng cách :
- Từ 1 điểm đến 1 mp , 1 điểm đến 1 đt , giữa 2 đt.
d/. Mặt cầu:
- Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình cho trước.
- Lập pt mặt cầu : Có đường kính AB , có tâm I và tiếp xúc với mp , có tâm I và đi
qua 1 điểm M , qua 4 điểm không đồng phẳng ( ngoại tiếp tứ diện).
- Lập pt mặt phẳng : Tiếp xúc với mặt cầu tại 1 điểm M thuộc mặt cầu , chứa 1
đường thẳng và tiếp xúc với mặt cầu , song song với mp cho trước và tiếp xúc với
mặt cầu.
e/. Góc :
- Góc giữa 2 vectơ
- góc trong của tam giác
- góc giữa 2 đường thẳng
- góc giữa 2 đường thẳng
- góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
GIẢI TÍCH
VẤN ĐỀ 1 : KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN.
Bài 1: cho hàm số y =2x
3
– 3x
2
1/Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) hàm số
2/Tìm k để phương trình : 2x
3
– k= 3x
2
+1 có 3 nghiệm phân biệt
Đáp số :( - 2 < k < -1)
3/Viết phương trình các tiếp tuyến của ( c ) biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ
Đáp số :
0
9
8
y
yx
Bài 2: Cho hàm số y= x
4
+kx
2
-k -1 ( 1)
1/ Khảo sát và vẽ đồ thò ( c ) hàm số khi k = -1
2/ Viết phương trìh tiếp tuyến vơi ( c) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
y=
2
x
- 1. Đáp số : y= -2x-2
Tài liệu tổng hợp Mơn Tốn
Biên soạn: Ngọc Thạnh
20
3/. Xác đònh k để hàm số ( 1 ) đạt cực đại tại x = -2.
Bài 3: Cho hàm số y= (x-1)
2
( 4 - x )
1/ Khảo sát và vẽ đồ thò (c ) của hàm số
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( c) tại điểm uốn của (c ) . Đáp số : y = 3x - 4
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( c) qua A( 4 , 0 ) . Đáp số : y = 0 và y = -9x +
36
Bài 4: Cho hàm số y=
1
2
x
4
– ax
2
+b
1/ Khảo sát và vẽ đồ thò ( c) của hàm số khi a =1 , b = -
3
2
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (c ) tại giao điểm của ( c ) với ox
Đáp số :
12x34y .
và
12x34y .
Bài 5: a/ Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số y=
1
2
x
4
-3x
2
+
3
2
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) tại các điểm uốn .
Đáp số : y = 4x+3 và y = -4x +3
c/ Tìm các tiếp tuyến của (C ) đi qua diểm A ( 0,
3
2
)
Đáp số : y = 0 ; y =
2
3
x22 .
Bài 6: Cho hàm số y = x
3
+3x
2
+mx +m -2 có đồ thò (Cm )
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò ( C) của hàm số khi m= 3
2/ Gọi A là giao điểm của ( C) và trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C
) tại A.
3/ Tìm m để (Cm )cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Bài 7: Cho hàm số y=
2
2
x
m
3
x
2
2
3
có đồ thò ( Cm )
1/ Khảo sát và vẽ đồ thò( C ) của hàm số với m= -1
2/ Xác đònh m để ( C
m
) đạt cực tiểu tại x = -1.
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
y= -
5
22
x
. Đáp số : y =
6
19
x2
và y =
3
4
x2
Bài 8 :1/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) của hàm số y= -
1
3
x
3
– 2x
2
-3x +1
2/ Tìm các giá trò của m để pt :
1
3
x
3
+2x
2
+3x +m =0 có 3 nghiệm phân biệt
3/ Tìm m để pt :
1
3
x
3
+2x
2
+3x -2 +m
2
= 0 có 1 nghiệm
4/ Viết pttt của ( C ) song song với đường thẳng y= -3x
Bài9 : Cho hàm số y= mx
3
– 3x
1/ Khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số khi m = 4
2/ Tìm giao điểm của (C )với đường thẳng
: y = -x +2
Bài 10 : Cho hàm số y= x
3
– 3x +1
1/ Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số
Tài liệu tổng hợp Mơn Tốn
Biên soạn: Ngọc Thạnh
21
2/ Một đường thẳng d đi qua điểm uốn của (C )và có hệ số góc bằng 1. Tìm toạ độ
giao điểm của d và (C )
ĐS: ( 0, 1) (2, 3 ) ( -2, -1 )
Bài 11 : Cho hàm số y= -
42
19
2
44
xx
1/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) của hàm số
2/ Vẽ và viết pttt với đồ thò (C ) tại tiếp điểm có hoành độ x= 1
ĐS: y= 3x+1
Bài 12 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số : y = x
3
-6x
2
+ 9x
2/. Với các giá trò nào của m , đường thẳng y = m cắt (C) tại 3 điểm phân biệt .
Bài 13 : 1/. Tìm các hệ số m và n sao cho hàm số : y = -x
3
+ mx + n
đạt cực tiểu tại điểm x = -1 và đồ thò của nó đi qua điểm ( 1 ; 4)
2/. Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số với các giá trò của m , n tìm được .
Bài 14: 1/. Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số : y = -x
3
+
2
3
x
2
+ 6x -3
2/. CMR phương trình -x
3
+
2
3
x
2
+ 6x -3 = 0 có 3 nghiệm phân biệt , trong đó có
một nghiệm dương nhỏ hơn ½ .
Bài 15 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số : y = -x
4
+2x
2
+ 2
2/. Dùng đồ thò ( C) , biện luận theo m số nghiệm của pt :
x
4
-2x
2
-2 +m =0
Bài 16: 1/. Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số : y = x
4
+x
2
-3
2/. CMR đường thẳng y = -6x-7 tiếp xúc với đồ thò của hàm số đã cho tại điểm có
hoành độ bằng -1 .
Bài 17 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số : y =
1x2
3x
2/. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành .
3/. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung .
3/. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường
thẳng
(d) : 7x – y +2 =0
Bài 18 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số : y =
1x
1x2
2/. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M( -1 ; 3)
ĐS : y =
4
13
x
4
1
Bài 19 : Cho hàm số y =
32
1
( 1) ( 3) 4
3
x a x a x
1/. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi a = 0
2/. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn của (C) . ĐS : y =
11
4
3
x
Bài 20 : Cho hàm số y = x
3
+ ax
2
+ bx +1
1/. Tìm a và b để đồ thò của hàm số đi qua 2 điểm A( 1 ; 2) và B( -2 ; -1)
ĐS : a = 1 ; b = -1
2/. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số ứng với a và b tìm được .
Tài liệu tổng hợp Mơn Tốn
Biên soạn: Ngọc Thạnh
22
Bài 21 : Cho hàm số y = x
4
+ ax
2
+ b
1/. Tìm a và b để hàm số có cực trò bằng
3
2
khi x = 1
ĐS : a = -2 ; b =
5
2
2/. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số ứng với a =
1
2
và b = 1 .
3/. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 1 .
Bài 22 : Cho hàm số y =
2
2 x
1/. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2/. Tìm các giao điểm của (C) và đồ thò của hàm số y = x
2
+ 1 . Viết phương trình
tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm .
ĐS : y =
1
1
2
x
; y = 2x
Bài 23 : Cho hàm số y =
32
1
x
x
1/. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2/. Tìm các giá trò của m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thò (C) tại 2 điểm phân
biệt.
ĐS :
6 2 5; 6 2 5
0
mm
m
VẤN ĐỀ 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Bài 1: Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y=
2
3
1
x
x
trên [2 ;4 ]
Bài 2: Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y= 2 sinx -
3
4
sin
3
x
1/ Trên đoạn [ 0 ,
] 2/ Trên đoạn [ 0 ;
6
]
3/ Trên đoạn [ -
2
; 0 ] 4/ Trên R
Bài 3 : Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y =
23
1
x
x
trên đoạn [ -2 ;
0
]
ĐS :miny=
3
; maxy =
1
3
Bài 4 : Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số
5x3x2x
3
1
y
23
trên khoảng (1;+
)
ĐS :miny= 5
Bài 5: Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số
5x3x2x
3
1
y
23
trên đoạn [
2
3
;5]
Tài liệu tổng hợp Mơn Tốn
Biên soạn: Ngọc Thạnh
23
ĐS :miny=
3
35
Bài 6 : Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số
2
54
2
x
xx
y
trên đoạn [
2
5
;
2
7
]
Bài 7: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số
x
x
y
2
3
2
trên đoạn [
2
5
; 3] :
Bài 8: Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của hàm số
2
x4xy
:
ĐS : maxy=
22
; miny = -2
Bài 9 : Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của hàm số y = 2sin
2
x +2sinx - 1 với
;
2
x
:
Bài 10: Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của hàm số
2x
y x e
trên [ -1 ; 0 ] :
ĐS : maxy=
1
ln 2
2
; miny = -1 – e
-2
Bài 11 : Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của hàm số
2
2lny x x
trên [
1
e
; e
2
] :
ĐS : maxy= e
4
- 4 ; miny = 1
VẤN ĐỀ 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : y= x
2
- 3x+ 2 , y= x -1, x = 0 , x = 2
ĐS: S= 2
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= x.e
x
, x=1 , y=0
ĐS: S= 1
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= sin
2
x +x , y=x ,x=0 , x=
ĐS: S=
2
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y
2
=2x và y= 2x -2
ĐS : S=
9
4
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y =
2
2 10 12
2
xx
x
và đường thẳng y=0
ĐS: S= 63 -16 ln 8
Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y
2
= 2x +1 và y= x-1
ĐS: 16/ 3
Bài 7 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
31
, 0, 1, 0
1
xx
y x x y
x
Bài 8 : Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh
Oy
của hình
giới hạn bởi Parabol
2
: ; 2; 4
2
x
P y y y
và trục
Oy
Tài liệu tổng hợp Mơn Tốn
Biên soạn: Ngọc Thạnh
24
Bài 9: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi y=
1
1
x
x
, các
trục toạ độ quay quanh trục 0x
ĐS : V=
( 3- 4 ln2 )
VẤN ĐỀ 4: PHƢƠNG TRÌNH –BẤT PT – HỆ PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARÍT
Bài 1 : Giải các phƣơng trình sau :
1/
2
2
1
3
3
xx
ĐS : x =1
2/ 5
x
+ 5
x + 1
+ 5
x+2
= 3
x
+ 3
x+3
– 3
x+1
ĐS : x =
5
3
25
log
31
3/. 3
2x+2
– 28.3
x
+ 2 = 0 ĐS : x =1 ; x = -2
4/. log
2
x + log
4
(2x) = 1 ĐS :
3
2x
5/.
2
12
2
log 3log 1 0 xx
ĐS : x = 2 ; x = 4
6/. 3
x
+2.3
1 – x
-5 = 0 ĐS : x = 1 ; x = log
3
2
7/.
2
39
2log 14log 3 0 xx
ĐS :
3; 27xx
8/.
1
1
37
73
x
x
x
ĐS :
12 x
9/.
2
3
2 1 2 1
xx
ĐS :
35
2
x
10/.
x x x
(7 5 2) ( 2 5)(3 2 2) 3(1 2) 1 2 0.
ĐS: x = -2; 0; 1.
11/.
xx
(2 3) (7 4 3)(2 3) 4(2 3)
ĐS:
x 0; 2.
12/ 125
x
+ 50
x
= 2
3x+1
13/. 4
x
– 2. 6
x
= 3. 9
x
14/. 25
x
+ 10
x
= 2
2x+1
15/.
2 3 2 3 4
xx
16/. 8
x
+ 18
x
= 2. 27
x
Bài 2: Giải bất phƣơng trình :
1/. 2
2x+6
+ 2
x+7
– 17 > 0 5/.
21
1
11
3. 12
33
xx
2/.
1
11
3 5 3 1
xx
6/. log
x
[ log
3
( 3
x
-9) ] < 1
3/. 2. 2
x
+ 3. 3
x
> 6
x
– 1 7/.
2
0,5 0,5
log log 2 0 xx
4/.
1
2 2 1
0
21
xx
x
8/.
2
0,3 6
log log 0
4
xx
x
Tài liệu tổng hợp Mơn Tốn
Biên soạn: Ngọc Thạnh
25
Bài 3: Giải hệ phƣơng trình :
1/.
93
2 .8 2 2
1 1 1
log log (9 )
22
xy
y
x
2/.
5
3 .2 1152
log 2
xy
xy
3/.
log log
log4 log3
34
43
xy
xy
VẤN ĐỀ 5 : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN.
Bài 1 : cho f(x) = sin
2
x , tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết F(
) = 0
Đáp số : F(x) =
11
sin2
2 4 2
xx
Bài 2 : chứng minh F(x) = ln
2
1x x c
là nguyên hàm của f(x)=
2
1
1x
Hướng dẫn : Chứng minh : F
/
(x) = f(x)
Bài 3: Tính các tích phân sau :
1/.
2
23
1
2.x x dx
; Đáp số :
2
(10 10 3 3)
9
2/.
2
2
1
1
xdx
x
; Đáp số :
52
3/.
1
3
2
0
1
x dx
x
; Đáp số :
22
3
4/.
1
3
0
1.x x dx
; Đáp số : 9/28
5/.
1
22
0
1.x x dx
Đáp số
16
Bài 4: Tính các tích phân sau :
1/.
2
0
cos 2xdx
; Đáp số :
2
2/.
2
0
sin 3xdx
; Đáp số :
2
3/.
4
0
sin xdx
; Đáp số :
3
8
4/.
2
5
0
cos xdx
; Đáp số :8/15
5/.
2
63
0
cos .sinx xdx
; Đáp số :2/63 6/.
2
2
0
sin 2
1 cos
xdx
x
; Đáp số :ln2
7/.
4
0
cos2
1 sin 2
xdx
x
; Đáp số :
21
Bài 5: Tính các tích phân sau :
1/.
2
sin
0
.cos
x
e xdx
; Đáp số :e-1 2/.
3
1
2
0
.
x
e x dx
; Đáp số :
11
33e